document2

1

LIBRO DE PRCTICAS DEL PRIMER SEMESTRE

ESTADISTICA II

CURSO 2009

CONTENIDO

PRACTICA 1: V. ALEATORIA, F. GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES ........ 3

PRCTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ............................................................................ 8

PRCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS.................................... 16

PRCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MLTIPLES.......................................................................... 24

PRCTICA 5: ESTADSTICA DESCRIPTIVA ............................................................................................. 33

PRCTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACIN Y NMEROS NDICE ................................................ 47

PRCTICA 7: SERIES DE TIEMPO............................................................................................................... 51

PRCTICA 8: MUESTREO.............................................................................................................................. 51

PRIMERAS REVISIONES 2003-2008............................................................................................................. 51

2

GLOSARIO Las expresiones CALCULAR, HALLAR y ENCONTRAR se consideran equivalentes. En estos problemas se est solicitando al alumno que realice las operaciones necesarias para obtener una funcin, un parmetro, un nmero, un intervalo, una probabilidad o una distribucin de probabilidad. Las expresiones DEDUCIR, PROBAR y DEMOSTRAR se consideran equivalentes. En estos problemas se trata de realizar una demostracin formal, en la que se pueden utilizar, y en tal caso se deben explicitar, las propiedades y teoremas vistos en el curso y en los cursos previos del sector cuantitativo. RECONOCER UNA DISTRIBUCIN consiste en indicar a cul de las distribuciones estudiadas en el curso corresponde la distribucin en cuestin, explicitando el o los parmetros. Cuando se pide PLANTEAR, el alumno debe encontrar la expresin que permite, mediante operaciones posteriores, resolver un problema. En este caso no se pide resolver el problema, sino solamente encontrar la ecuacin o la frmula que lo resuelve. Cuando en un problema se dice MOSTRAR, se trata de encontrar un ejemplo o contraejemplo, sin necesidad de demostrar. Las expresiones EXPLICAR o INTERPRETAR se utilizan para solicitar al alumno que explique, en un caso concreto, cmo se debe entender el resultado obtenido en relacin con el problema planteado. Por JUSTIFICAR o FUNDAMENTAR se entiende que el alumno debe encontrar los elementos tericos, ejemplos o contraejemplos que validan un cierto resultado obtenido previamente. Cuando se pide ESTIMAR, dependiendo del caso concreto, se est haciendo referencia a uno de tres problemas: a) encontrar un estimador mediante la aplicacin de un mtodo, b) calcular una estimacin puntual, c) calcular un intervalo de confianza.

PRCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES

3


EJERCICIO 1 Calcular media y varianza de las siguientes variables aleatorias. Uniforme discreta px(x, n) = 1/n x = 1,2,3,.,n. Bernoulli px(x, p) = p

x (1-p)1-x x = 0,1. 0 < p < 1 Binomial px(x, n, p) = nxC p

x (1-p)n-x x = 0,1,2,3,.,n. Poisson

px(x,) = p(x,) = !

).(

x

e x x = 0,1,2,3,. R+

Geomtrica px(x, p) = p.(1-p)

x x = 0,1,2,3, 0 < p < 1 Uniforme continua

ab)b,a,x(fX

=

1 si bxa ,b,a a < b

Normal

pi=

2

2

1

2

1 xexp),;x(f X - < < +; > 0; - < x < +

Exponencial (tambin denominada Exponencial Negativa)

>>

=

valor otrocualquier para 0

0 0, )exp(

);(

xx

xf


4

Beta 11 1

+= )x(x

)()(

)(),;x(f > 0; > 0; 0 < x < 1

Gama

>>

=

valorotrocualquier para 0

0, 0, )exp()(),;(

1 axxxaaxfa

a

Weibull

( )[ ]

>>

=

valorotrocualquier para 0

0 , 0; xexp

),;(

1

xx

xf

Pareto

1 , xsi .

),,(1

>>=+

xxf X

EJERCICIO 2 a) Sea la V.A. X tal que pX(x) = 1/x con x = 1, 2, 4, 8, 16, Probar que E(X) no existe.

b) Considere la distribucin de Cauchy,


5

EJERCICIO 4 Obtener la funcin generatriz de momentos para las variables del Ejercicio 1, exceptuando la Weibull y la Pareto. EJERCICIO 5 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que al menos existen sus dos primeros momentos ordinarios y g(x) creciente y no negativa x .

1. Teorema de Markov: Demostrar que ( ) [ ]

g(X)Eg(X)P > que tienese 0 .

2. Teorema de Tchebycheff: Usando la parte anterior demostrar que:

( )2

V(X)E(X)XP > .

EJERCICIO 6 Sea X una variable aleatoria.

a) Encontrar la relacin que vincula a 3(X) = E[X E(X)]3 con los momentos ordinarios de X hasta el orden 3.

b) Idem entre 4(X) y los momentos ordinarios de X hasta el orden 4. c) Sea X una variable aleatoria con distribucin N(, 2). Calcular 3(X) y 4(X).

EJERCICIO 7 Sea X una variable aleatoria discreta con Rec(X) = { 3,2,1,0,1,2,3 } y con probabilidades iguales en todos los puntos del recorrido. a) Hallar recorrido y cuanta de Y = X2. b) Hallar recorrido y cuanta de Z =2X-3

c) Verificar que

+=

2

3zF)z(F XZ

EJERCICIO 8 Sea FX(x) la funcin de distribucin de una variable aleatoria X absolutamente continua. Se pide: Hallar la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria U, definida de la siguiente manera: U = FX(X).


6

EJERCICIO 9 (Examen dic/2001) Sea la variable X tal que:

( )

=

caso otroen 0

10 si 2

1,x

x)x(f X

y sea la transformacin XY 10= , se pide: a) Hallar la densidad de Y, su recorrido y reconocerla.

b) Calcular ( )XE . c) El contenido (en toneladas) de los containers que se cargan en el puerto tiene distribucin

Y. Si se elige un contenedor al azar, cul es la probabilidad de que su contenido supere ( )[ ]YYE + 2 ?

EJERCICIO 10 Sea X uniforme continua en el [0, 1] a) Calcular FX (x) b) Plantear la funcin de distribucin acumulativa de Y = 2LX en funcin de FX (x) c) Hallar la densidad de Y. d) Calcular E(Y) de dos maneras distintas. EJERCICIO 11 Sea una variable aleatoria X y g una funcin continua, con derivada continua y estrictamente montona, tal que Y = g(X) es tambin una variable aleatoria. Utilizando la relacin FY(y) = P(Yy) = P (g(X)y): a) Explicitar la frmula general para pasar de fX(x) a fY(y) para funciones montonas. b) Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad dada por:

>

=

caso otroen 0

0 si 22

xxe)x(f

x

X

Hallar la funcin de densidad de Y= X2. EJERCICIO 12 Sea X ~ N (0,1), hallar la densidad de Y = X2.


7

EJERCICIO 13 (Examen feb/1997) La variable X = proporcin de asientos contables errneos en un conjunto muy amplio de asientos tiene una distribucin cuya funcin de densidad puede modelarse adecuadamente por

PRACTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

8

PRCTICA 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 1 Los boletos de mnibus tienen 5 cifras. La primera puede ser un nmero del 1 al 5, mientras que las 4 restantes pueden ser cualquiera de los 10 dgitos. Si todos los nmeros permitidos en cada cifra del boleto son equiprobables, cul es el valor esperado de la suma de las cinco cifras? EJERCICIO 2 (CANAVOS 4.10) Supngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada pregunta, cul es la probabilidad de aprobar el examen? EJERCICIO 3 A la consulta de un Mdico de Medicina General se anotan 12 pacientes. Por distintos motivos slo un 80% de los anotados finalmente concurre a la consulta. a) Cul es la probabilidad que un da concurran a la consulta todos los anotados? b) Cul es la probabilidad que un da no concurra ninguno de los anotados? c) Cul es el nmero esperado de anotados que concurre efectivamente a la consulta? d) Cul es el nmero ms probable de anotados que concurre efectivamente a la consulta? EJERCICIO 4 (Primera Revisin 2001) De nueve personas que tienen un telfono celular con sistema prepago, 4 lo poseen de la empresa A y 5 de la empresa B. PARTE 1 Se seleccionan sin reposicin tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que slo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea X = nmero de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A.

Determinar E(X). c) Determinar V(X). PARTE 2 Se seleccionan con reposicin tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que slo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea Y = nmero de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A.

Plantear la funcin generatriz de momentos Y. c) Determinar E(Y) a partir de la funcin generatriz de momentos de Y. d) Determinar V(Y) a partir de la funcin generatriz de momentos de Y.


9

EJERCICIO 5 Sea X ~ Geom(p). Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que X tome como valor un nmero par. b) Demostrar que se verifica P(Xk)=(1-p)k, kN. c) Demostrar que P(Xk+x/Xk) = P(Xx) xRec(X), kN. Cmo se debe interpretar este resultado?

EJERCICIO 6 (Primera Revisin 2000) En una distribucin geomtrica donde X mide la cantidad de fracasos antes del primer xito, se sabe que P(X 2) = 0.81. a) Determinar el recorrido de la variable aleatoria X. b) Determinar la cuanta de la variable aleatoria X y hallar el valor de su parmetro. EJERCICIO 7 (CANAVOS 4.32) Un contador recientemente graduado pretende realizar el examen CPA. Si el nmero de veces que se toma el examen constituye un conjunto de eventos independientes con una probabilidad de aprobar igual a 0.6, cul es la probabilidad de que no se necesiten ms de cuatro intentos para aprobar el examen? Son vlidas las suposiciones de independencia y probabilidad constante? EJERCICIO 8 (CANAVOS 4.12) El gerente de un restaurante que slo da servicio mediante reservacin sabe, por experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa no asistirn. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero solamente dispone de 20 mesas, cul es la probabilidad que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? EJERCICIO 9 (CANAVOS 4.27) Una compaa recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan diez unidades de manera aleatoria, y se inspeccionan. Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se acepta; de otro modo, se rechaza. Si el lote contiene un 5% de unidades defectuosas: a) Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribucin

hipergeomtrica. b) Aproximar la respuesta de la parte a) mediante el empleo de la distribucin Binomial c) Aproximar la respuesta de la parte b) mediante el empleo de la distribucin Poisson.


10

EJERCICIO 10

La llegada de autos a un peaje sigue una distribucin de Poisson con un promedio de 3 autos por minuto.

a) Cul es la probabilidad que en un minuto no llegue ningn auto? b) Cul es la probabilidad que lleguen exactamente 4 vehculos en dos minutos? c) Cul es la probabilidad que en un minuto lleguen 2 autos y en el minuto siguiente

lleguen otros dos autos? d) Cul es el nmero esperado de llegada de autos al peaje en media hora? e) Cul es el nmero ms probable de llegadas de autos al peaje en medio minuto?

EJERCICIO 11

El nmero de automviles que circulan por una autopista, durante una hora, sigue una distribucin de Poisson de parmetro . Cada automvil que circula por esta autopista tiene una probabilidad p de sufrir un accidente. Los accidentes, para cada automvil que circula, son sucesos independientes. Hallar la distribucin de la variable Y = nmero de accidentes ocurridos en la autopista durante una hora. EJERCICIO 12 (CANAVOS 4.21)

Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de cierta vacuna contra la gripe es de 0.00002. Si se administra la vacuna a 100 mil personas y se supone que stas constituyen un conjunto independiente de ensayos, cul es la probabilidad de que mueran no ms de dos personas a causa de la vacuna? EJERCICIO 13 (Primera Revisin 1993) Los cientficos de un centro espacial deciden investigar la superficie de Marte. Envan un robot de 4 metros de ancho para revisar el suelo marciano. El robot camina hacia adelante sin parar y sin doblar y tiene combustible para marchar 5 kms. Se sabe que en un km. cuadrado hay promedialmente 20 pequeos crteres y que si el robot toca uno de ellos no funciona ms. Los cientficos necesitan conocer la probabilidad de que el robot recorra los cinco kms sin tocar ningn crter. Sea X el nmero de crteres en la faja que barre el robot. (Observar que esa faja es de 4*5000 = 20000 m2 es decir 0,02 km2) 1. Qu supuestos, en este caso especfico, sern necesarios para que X se distribuya segn

Poisson? 2. Suponiendo que se dan los supuestos del punto anterior, escribir la cuanta de X. 3. Calcular la probabilidad que preocupa a los cientficos. 4. Los cientficos arreglan el robot para que pueda saltar el primer crter con que se

encuentra y siga caminando, calcular la probabilidad de que culmine con xito su caminata de cinco kms.

5. En el caso 4 cul es la probabilidad de que pueda recorrer por lo menos k kms (k = 1,2,3,4)?


11

EJERCICIO 14 Un jugador de quiniela apuesta todas las semanas al nmero 6.

a) Calcular la probabilidad que el jugador gane por primera vez recin en la semana 10.

b) Cul es la probabilidad que en la semana 15 gane por segunda vez? c) Cul es la probabilidad que en la semana 20 gane por tercera vez?

EJERCICIO 15 (Primera Revisin 1994) Un astillero vende un nico modelo de barco, cuyo precio es P. Los compradores nunca adquieren ms de un barco y la llegada de clientes compradores al local de ventas puede modelizarse adecuadamente a travs de la distribucin de Poisson con tasa . El mantenimiento del local de ventas implica una funcin de costos cuadrtica de forma: c(t) = bt2 b>0 donde t = tiempo que el local de ventas permanece abierto. Sea B(t) los beneficios de la empresa (calculados como los ingresos por ventas menos los costos de mantenimiento). Se pide: 1. Cunto tiempo deber el astillero mantener abierto el local de ventas para maximizar

los beneficios esperados? 2. Se sabe que el riesgo se cuantifica a travs de la varianza de los beneficios. Cul es la

duracin del negocio que minimiza el riesgo? Interprete el resultado. 3. Si P = 20, = 2 y b = 1. Cul es la probabilidad de que una empresa, maximizadora de

beneficios esperados, obtenga beneficios positivos? (Sugerencia: Utilizar la aproximacin normal, es decir que una v.a. Poisson() se aproxima por una N(,))

4. En el caso 3, cul es la probabilidad de pagar ms de 100 de costo antes que venga el primer cliente?

EJERCICIO 16 (Primer Control 1995) Juan Quiniela tiene $ 2 y Pedro Tmbola tiene $ 1. Juegan lanzando una moneda de la siguiente manera: si sale cara, Juan le paga a Pedro $ 1; si sale nmero, Pedro le paga a Juan $ 1. El juego termina cuando uno de ellos queda sin dinero. Sea X = el nmero de tiradas necesarias para terminar el juego. Se pide: a) Hallar el recorrido de X.

b) Calcular P(X=1), P(X=2), P(X=3). c) Deducir la cuanta de X.


12

EJERCICIO 17 (Primera Revisin 1996) La cantidad de vehculos (N) que se reparan por hora en un taller mecnico es una variable aleatoria cuya funcin de cuanta es: P(N = n) = 0,1(0,9)n n = 0,1,2,3,. Cada vehculo reparado le produce al taller mecnico una ganancia de $250. El costo fijo mensual es de $400.000. El taller funciona 8 horas por da, 25 das al mes. Se pide: 1. Analizar si con la cantidad esperada de vehculos reparados por mes se lograr cubrir el

costo fijo 2. Del total de vehculos que se reparan por hora (N), una parte (tambin aleatoria) son

reparaciones elctricas. Sea X = Nmero de reparaciones elctricas por hora de la cual se sabe que (X / N = n) ~ B(n;0,2). a) Hallar la cuanta conjunta del par (X, N), con su recorrido. b) Demostrar que la cuanta marginal de X es geomtrica de razn p y hallar el valor

de p.

Sugerencia: recordar que 11

0

=+

+

=

knnknn

pq)( .

c) Si el costo fijo mensual de la seccin electricidad del taller mecnico es de $100.000. Es dicha seccin rentable para el taller?

EJERCICIO 18 (Examen May/1995) En un Banco se presentan diariamente cheques a cobrar, cuyas firmas son sometidas a un control de verificacin. Los cheques llegan a razn de 300 por da a travs de un proceso de Poisson. Adems, la probabilidad de que un cheque presentado para su cobro tenga una firma falsa es 0.008. Puede suponerse que los cheques se presentan por distintas personas, en forma independiente. Se pide: 1. Plantear (sin calcular) la probabilidad de que en un da determinado se reciban para su

cobro exactamente 350 cheques 2. Sabiendo que en un da llegaron exactamente 300 cheques, calcular la probabilidad de

encontrar a lo sumo tres cheques con firmas falsas. 3. Plantear (sin calcular) la probabilidad que en un da determinado se presenten

exactamente tres cheques con firmas falsas.


13

EJERCICIO 19 (Primera Revisin 1994) Para un viaje diario entre dos ciudades una compaa de aviacin dispone de capacidad para 300 pasajeros. La demanda frecuentemente supera la capacidad del avin. Luego de adquirido el pasaje, la decisin de viajar o no es tomada independientemente por cada pasajero. La probabilidad que una persona que ha comprado el pasaje desista de viajar es constante e igual a 0.20 para cada comprador de pasajes. Sea n el nmero de pasajes comprados en un da y sea la variable aleatoria Xi definida as:

=

viajar no decidei comprador el si 0

viajar decidei comprador el si 1X i

Se pide: 1. Definir, en funcin de n y de las Xi una variable aleatoria Y que indique el nmero de

pasajeros que diariamente deciden viajar 2. Cul es la distribucin exacta de Y? Justificar. 3. Plantear la distribucin aproximada de Y indicando por qu dicha aproximacin vale en

este caso. 4. Usando la aproximacin anterior determinar cuntos pasajes como mximo puede

vender la compaa diariamente para que, con probabilidad de 0,95 no quede ningn pasajero sin asiento.

5. Si la decisin de viajar no se tomara independientemente por cada pasajero (por ejemplo, la gente viaja en pareja o con su familia), este hecho afectara los resultados obtenidos? Fundamentar.

EJERCICIO 20 (Examen Mar/2002) Un fabricante de telas, el Sr. Desmn Telar, desea conocer ms acerca de la calidad de sus productos. Telar sabe que en 4 metros de tela se encuentra una falla en promedio y que el nmero de fallas, X, se distribuye Poisson. Telar vende la tela en cortes de 6 metros. Se pide: 1. Hallar la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 fallas en un corte. 2. Cuntas fallas en promedio se espera encontrar en un corte de tela? Justifique su

respuesta. 3. Sea T el metraje de tela entre 2 fallas consecutivas. Hallar P(T=2). 4. Cunto vale la E(T) y qu significa en este caso? Justifique su respuesta.


14

EJERCICIO 21 (Primera Revisin 1996) La Tienda Italiana tiene dos sucursales (A y B). La llegada de clientes a cada una de las sucursales es un proceso aleatorio con promedio 1 llegadas por hora en la sucursal A y promedio 2 llegadas cada dos horas en la sucursal B. Cada sucursal permanece abierta 8 horas por da. Sean las variables aleatorias X1 = nmero de clientes que llegan a la sucursal A en un da determinado (de 8 horas) X2 = nmero de clientes que llegan a la sucursal B en un da determinado (de 8 horas) Se pide: 1. Explicite los supuestos necesarios para que X1 y X2 tengan ambas distribucin de

Poisson. Especificar los respectivos parmetros. 2. Si se supone que X1 y X2 son independientes, demostrar que la variable T = nmero

total de clientes que llegan a las dos sucursales, tiene distribucin de Poisson. Hallar el parmetro de la distribucin de T. (Sugerencia: utilizar la funcin generatriz de momentos).

3. Sabiendo que 1 = 0.25 y 2 = 0.25, a) Cul es la probabilidad de que en un da determinado lleguen en total 6 clientes a

las dos sucursales? b) Sabiendo que en un da determinado llegaron en total 6 clientes a las dos sucursales,

calcular la probabilidad de que 4 de ellos hayan llegado a la sucursal A. EJERCICIO 22 Un sistema electrnico contiene n componentes que funcionan independientemente entre s. Los componentes estn conectados en serie y por lo tanto el sistema funcionar si todos los componentes funcionan a la vez. Cada componente funciona bien durante un cierto nmero de perodos de tiempo hasta que se estropea. Suponer que para i = 1, 2, ..., n el nmero de perodos en los que la componente i funciona bien es una variable aleatoria discreta con distribucin Geom(pi). Determinar la distribucin del nmero de perodos en los que el sistema funciona bien. EJERCICIO 23 Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si es falso, seale la respuesta correcta. 1. Para calcular probabilidades en una distribucin binomial, debe conocerse el nmero de

ensayos y la probabilidad de xito. 2. La distribucin probabilstica de Poisson es una distribucin continua. 3. Tanto la distribucin Binomial como la de Poisson se ocupan de experimentos que slo

tienen dos posibles resultados, un xito o un fracaso. 4. Si 20% de un grupo de personas son miopes (corta de vista), y se selecciona un gran

nmero de muestras aleatorias de 20 personas, es razonable esperar que poco ms de la mitad de las muestras contenga a lo sumo una persona corta de vista.


15

5. Si 0,1% (0,001) de las lmparas elctricas producidas por una mquina son defectuosas, la probabilidad de no encontrar una lmpara defectuosa en una muestra de 100 es aproximadamente 0,90.

6. Si el nmero de ensayos permanece constante, la forma de una distribucin binomial tiende a volverse ms simtrica conforme p aumenta.

7. Se sabe que las llegadas de camiones con basura a la usina de descarga siguen una distribucin de Poisson. Por lo tanto, los kg. de basura que traen dichos camiones tienen distribucin de Poisson.

8. La variable aleatoria Binomial cuenta el nmero de ensayos necesarios para observar k xitos y la variable aleatoria Binomial Negativa cuenta el nmero de xitos observados en n ensayos.

9. La cuanta Binomial Negativa puede escribirse como el producto de una Binomial donde se obtuvieron (k-1) xitos por la probabilidad de obtener un xito.

10. Si no ley el tema y adivin la respuesta a cada una de estas 10 preguntas de verdadero o falso, la probabilidad que haya adivinado las 10 en forma correcta es 1 en 1000.

PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS

16

PRCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 1 Sea X una variable aleatoria con distribucin uniforme sobre el intervalo (1, +1). a) Calcular el desvo estndar de X. b) Calcular P(| X - X | > X ). c) Calcular P(X > 2.X ). EJERCICIO 2 (CANAVOS 5.21) Sea X una variable aleatoria con distribucin uniforme sobre el intervalo (a,b). Si E (X) = 10 y VAR (X) = 12, encontrar los valores de a y de b. EJERCICIO 3 (CANAVOS 5.9) La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribucin normal con una media de 200 unidades y desviacin estndar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B tambin tiene una distribucin normal con media de 500 unidades y desviacin estndar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacn 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes. Cul es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse independencia entre ambos eventos. EJERCICIO 4 Los frascos de dulce de leche tienen un peso neto (en gramos) con distribucin N(998, 25). Cul es la probabilidad que un frasco elegido al azar tenga menos de 995 gramos? EJERCICIO 5 En la central telefnica de La Paloma, al estudiar la duracin (T) de las llamadas telefnicas, se ha encontrado que la misma es, aproximadamente, una variable aleatoria con la siguiente funcin de densidad:

0)>(k 0 < t sie

0 t i s0

= (t)fkt-

T

Se pide: a) Determinar para que fT(t) sea una funcin de densidad. b) Suponiendo que k = 0,5 minutos, calcular la probabilidad de que una conversacin dure

ms de dos minutos. c) Calcular la probabilidad de que la conversacin dure entre 3 y 6 minutos.


17

EJERCICIO 6 (Primera Revisin 1996) Un restorn est especializado en el jabal asado. Tras larga experiencia se sabe que el peso de los jabales tiene una distribucin normal donde el 33% de los jabales pesa menos de 27,8 kg. y slo el 7,5% sobrepasan los 37,2 kg. El encargado de compras del restorn rechaza todo jabal que pese menos de 26 kg. Si en un mes se adquieren 250 jabales, qu cantidad se espera que sean rechazados con el criterio del encargado de compras? Cul es la probabilidad aproximada de que se rechacen por lo menos 50 jabales? EJERCICIO 7 (Primera Revisin 2000) A un aeropuerto pequeo llegan, a travs de un proceso de Poisson, un promedio de tres aviones por hora. a) A partir de un momento dado, cul es la probabilidad de tener que esperar ms de

media hora hasta la prxima llegada de un avin? b) Calcular la probabilidad de que la demora entre dos llegadas consecutivas sea inferior a

15 minutos. c) Cul es la probabilidad de que en los prximos 15 minutos no llegue ningn avin al

aeropuerto, si se sabe que en los 15 minutos anteriores no hubo ninguna llegada? Fundamentar.

d) Considere los siguientes sucesos: A = al aeropuerto llegan seis aviones en tres horas y B = al aeropuerto llegan tres aviones en la primera hora, dos aviones en la segunda hora y un avin en la tercer hora. Cul de los dos sucesos tiene mayor probabilidad de ocurrencia? Fundamente su respuesta.

EJERCICIO 8 Una linterna es alimentada por 5 pilas que funcionan de forma independiente, y cuyo tiempo de vida, para cada pila medido en horas, es una variable aleatoria exponencial con = 0.001. La linterna deja de se til cuando dejan de funcionar 3 o ms pilas. Cul es la probabilidad de que la linterna funcione durante ms de 1000 horas? EJERCICIO 9 PARTE A Si X ~ Exp(). Demostrar que para los nmeros a y b, con a>0 y b>0, se cumple:

P(X>a+b/X>a)=P(X>b). PARTE B Un sistema consta de n componentes, que funcionan de forma independiente. El tiempo de vida de la componente i es una v.a. Xi ~Exp() i = 1, 2, ..., n 1) Hallar el tiempo medio transcurrido hasta que falla la componente que se rompe

primero. 2) Hallar el tiempo medio hasta que fallan k componentes. (k n).


18

EJERCICIO 10 La empresa MORDISCON, administradora de un servicio de telefona celular, factura sus servicios de acuerdo a la duracin de las llamadas. Se sabe que la duracin de una llamada (medida en minutos) se puede modelar aproximadamente por medio de una v.a. X con funcin de densidad:

>>

=

caso otroen 0

0)( 0 xsi e)(

xX xf

Se pide: a) Qu significado tiene en este problema? b) Si el precio de cada minuto es de $3 (ms IVA), Cul es el costo esperado por

llamado? c) Si la empresa cambia su modo de facturar, pasando a cobrar el nmero de minutos que

dura una llamada por exceso (o sea si dura 2.3 minutos cobra 3, si dura 3.5 cobra 4). Hallar el costo esperado por llamado (Considerar = 1/10, 1/2, 1, 2, 10).

d) Calcular el beneficio medio suplementario obtenido por modificar el sistema de cobro (Utilizar los mismos valores de del punto anterior).

EJERCICIO 11 (Examen Dic/1999) En un hormiguero conviven 1000 hormigas. Todos los das 550 de ellas salen a buscar alimento. Cada una trae, en promedio, el doble del alimento que necesita para sobrevivir un da. Todas las hormigas tienen diariamente las mismas necesidades de alimento. Si la unidad representa el alimento necesario diario, la comida que trae cada hormiga es un variable aleatoria X que se distribuye N(2,2). Se sabe que la cantidad de alimento que consigue una hormiga es independiente de la que consiguen las dems. Se pide: 1. Deducir (fundamentando) la distribucin del alimento total diario que traen las 550

hormigas. 2. Cul es la probabilidad de que el alimento total diario alcance para las necesidades de

toda la poblacin? 3. Un da aparece un oso hormiguero y se come exactamente 100 de las 550 hormigas que

haban salido a buscar alimento. Cul es la probabilidad de que el alimento, que traen las dems, alcance para las necesidades de la poblacin resultante?

4. Ante la presencia del oso hormiguero las hormigas deciden organizarse de otra manera. En primer lugar, con certeza, toda hormiga que sale a buscar alimento, debe volver con una carga que exactamente duplique lo necesario para su sustento diario. En segundo lugar, al salir del hormiguero se habrn de dispersar de tal forma que la probabilidad de que una hormiga sea atrapada por el oso sea exactamente 0.15. En tercer lugar, cada da habrn de salir exactamente la cantidad mnima de hormigas necesarias (n) para cubrir la demanda de alimento diario (K) con probabilidad no menor que 0.99. Se trata de ayudar al hormiguero a calcular la cantidad de hormigas que deben salir en busca de alimento el da que han quedado 900 sobrevivientes.

a) Sea W = nmero de hormigas que se come el oso ese da, plantear la distribucin de W en funcin de n.

b) Interpretar la expresin 2(n W) y determinar n.


19

EJERCICIO 12 (CANAVOS 5.29) Sea X una variable aleatoria con distribucin gama con a = 2 y = 0.02. a) Cul es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media? b) Cul es la probabilidad de que X tome un valor mayor de dos desviaciones estndar

con respecto a la media? c) Cul es la probabilidad de que X tome un valor menor al de su moda? EJERCICIO 13 (CANAVOS 5.31) La edad a la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aleatoria con distribucin gama. Si la edad promedio es de 30 aos y lo ms comn es que el hombre se case a los 22 aos, encontrar los valores de los parmetros a y para esta distribucin. EJERCICIO 14

Sea:

0 para que f sea una funcin de densidad de la variable aleatoria X. 2. Hallar el modo de la variable X y la E(X). 3. Sea Y = Nmero de piezas defectuosas en un lote. Su distribucin de probabilidad

puede aproximarse por la de X aplicando las correcciones de continuidad:

)2

1

2

1()( +== yXyPyYP

Hallar P(Y>10). Aproximando a dos cifras decimales. 4. Se observa una M.A.S. c/r de 50 lotes. Hallar el nmero esperado de lotes que

contienen ms de 10 piezas defectuosas. 5. Cul es el nmero esperado de piezas defectuosas en la muestra de 50 lotes? Usar la

aproximacin dada por (1). EJERCICIO 15 (Primera Revisin 1995) La demanda semanal (en kg.) de cierto producto se puede modelar aproximadamente por la siguiente funcin de densidad:

>

=

caso otroen 0

0 x si e)(

x

X xf

A principios de cada semana se hace un aprovisionamiento de k kilogramos del producto. Por semana la demanda de kg. del producto produce una ganancia de ax unidades monetarias y el sobrante (que no es reutilizable) una prdida de b(k-x) unidades monetarias. 1. Plantear la funcin de beneficio neto semanal en funcin de x y k. (Recordar que si no

hay sobrante no hay prdida y como mximo se pueden vender k kilogramos, an cuando la demanda supere ese valor).

2. Hallar el valor de k que maximice el beneficio, neto semanal, esperado.


20

EJERCICIO 16 (Examen Feb/1997) En el camino a Paso de los Potros hay una sola estacin de servicio con un surtidor de nafta. Don Margarito, quien la atiende, se entretiene anotando la hora en que llega cada vehculo a cargar nafta as como los litros que carga. De las anotaciones de Margarito se deduce que el nmero de vehculos que llegan a su estacin es una variable (X) que puede modelarse adecuadamente por Poisson con media de 1 por hora. A su vez la cantidad de nafta que carga cada uno es una variable (Y) modelable por una N(15,400). X e Y son independientes y adems los litros de nafta que carga un vehculo se suponen independientes de los que carga cualquier otro. Se pide: 1. Calcular la probabilidad de que en una maana de trabajo (4 horas) lleguen ms de 3

vehculos. 2. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehculo que llegan carguen ms

de 20 litros de nafta cada uno. Justifique. 3. Al comenzar la jornada de trabajo (de 12 horas), Margarito mide el contenido del

depsito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese da llegan exactamente 40 vehculos, Cul es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer completamente a todos? Fundamentar cada paso.

4. Suponiendo que ese da en lugar de llegar 40 vehculos, llegan exactamente k vehculos, plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en funcin de k y determinar el mximo k natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.2. (Sugerencia: para resolver la

inecuacin, hacer el cambio de variables uk = ) 5. Cunta nafta debera tener el depsito de la estacin al iniciar la jornada de manera

que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el da en que llegan un nmero de vehculos exactamente igual al mximo valor de k hallado en el punto anterior?

6. Calcular la probabilidad de que en una maana de trabajo (4 horas) lleguen ms de 3 vehculos.

7. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehculo que llegan carguen ms de 20 litros de nafta cada uno. Justifique.

8. Al comenzar la jornada de trabajo (de 12 horas), Margarito mide el contenido del depsito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese da llegan exactamente 40 vehculos, Cul es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer completamente a todos? Fundamentar cada paso.

9. Suponiendo que ese da en lugar de llegar 40 vehculos, llegan exactamente k vehculos, plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en funcin de k y determinar el mximo k natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.2. (Sugerencia: para resolver la

inecuacin, hacer el cambio de variables uk = ) 10. Cunta nafta debera tener el depsito de la estacin al iniciar la jornada de manera

que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el da en que llegan un nmero de vehculos exactamente igual al mximo valor de k hallado en el punto anterior?


21

EJERCICIO 17 (Examen Feb/1998) Una compaa de aviacin realiza diariamente los siguientes vuelos:

08:00 Montevideo Punta del Este 0900 Punta del Este Montevideo 20:00 Montevideo Punta del Este 21:00 Punta del Este Montevideo

El avin tiene una capacidad mxima de 250 pasajeros. Estos, al tomar la decisin de viajar, lo hacen independientemente de otros pasajeros, lo que permite suponer que la demanda de pasajes se distribuye binomial. Tambin puede suponerse que son independientes las cantidades de pasajes demandados por tipo de viaje. Se dispone de la siguiente informacin:

Tipo de viaje Precio Demanda Distribucin de la

Demanda 08:00 Montevideo Punta del Este U$S 30 X1 B(275,0.80) 0900 Punta del Este Montevideo U$S 25 X2 B(250,0.80) 20:00 Montevideo Punta del Este U$S 20 X3 B(200,0.80) 21:00 Punta del Este Montevideo U$S 25 X4 B(250,0.80)

Se pide: 1. Hallar aproximadamente la probabilidad de que en el vuelo de las 8:00 la demanda

supere la capacidad mxima. Qu puede decirse de los restantes vuelos? 2. Demostrar que la demanda total de pasajes diaria se distribuye tambin binomial,

especificando los parmetros de la distribucin. 3. Sea Y el valor en U$S de las ventas diarias de pasajes. Expresar Y en funcin de las Xi. 4. Deducir, justificando, la distribucin aproximada de Y. 5. Plantear en funcin de X2, X3 y X4 (sin calcular) la probabilidad de que las ventas

superen los U$X 20.000, si la demanda en el vuelo de las 8:00 es de 200 pasajeros. EJERCICIO 18 (Primera Revisin 2000)

La funcin de densidad de la variable aleatoria X es


22

EJERCICIO 19 (CANAVOS 5.26) La proporcin de unidades defectuosas en un proceso de fabricacin es una variable aleatoria que se encuentra aproximada por una distribucin beta con = 1 y = 20. a) Cul es el valor de la media y de la desviacin estndar? b) Cul es la probabilidad de que la proporcin de artculos defectuosos sea mayor que un

10%? y Mayor que un 15%? EJERCICIO 20 (CANAVOS 5.36) Sea X una variable aleatoria con distribucin de Weibull y parmetros a = 2 y = 0.05. a) Graficar la funcin de densidad de probabilidad. b) Calcular la probabilidad de que X tome un valor mayor que la media. c) Calcular la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo de

amplitud igual a una desviacin estndar desde la media, y despus en un intervalo de amplitud igual a dos desviaciones estndar desde la media.

EJERCICIO 21 El ingreso de los hogares tiene distribucin Log-N(8, 2). SE PIDE: a) Cul es la probabilidad que un hogar tenga ingresos entre $5.000 y $10.000? b) Calcular el ingreso esperado. EJERCICIO 22 Una marca de computadoras se vende con 3 aos de garanta. El tiempo hasta que se produce la primera falla de las computadoras tiene distribucin W( = 2, = 1/8). SE PIDE: a) Cul es la probabilidad que una computadora elegida al azar tenga su primera falla en

el perodo de garanta? b) Cul es el modo de la distribucin? c) Hallar el tiempo esperado hasta la primera falla. d) Graficar la densidad W( = 2, = 1/8). EJERCICIO 23 La proporcin de consumidores de un producto (X) vara de una ciudad a otra siguiendo una distribucin beta con parmetros (2, 3).

a) Calcular E(X). b) Calcular P(X > E(X)). c) Calcular la proporcin de consumidores ms probable en una ciudad. d) Graficar fX.


23

EJERCICIO 24 Los ingresos personales (X) en dos ciudades tienen distribuciones de Pareto con parmetros ( = 500, = 2) y ( = 700, = 3) respectivamente.

a) Hallar el ingreso medio en las dos ciudades. b) Hallar el ingreso mediano en la primera de las ciudades. c) Calcular la probabilidad que un perceptor gane ms de $2.000 en cada ciudad. d) En qu ciudad es ms probable el suceso (1.000 X 2.000)? e) En qu ciudad hay mayor concentracin del ingreso? Calcular los ndices sinttico y

analtico de Gini.

PRCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MLTIPLES

24

PRCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MLTIPLES EJERCICIO 1 Sean X e Y dos variables aleatorias discretas con la siguiente distribucin conjunta de probabilidad.

PXY(x, y) X Y 0 1 2 0 0,15 0,10 0,05 1 0,10 0,10 0,10 2 0,05 0,10 0,25

a) Hallar las funciones de probabilidad marginales px(x) y py(y). b) Las variables aleatorias X e Y son estadsticamente independientes? c) Calcular pX/Y=0(x). d) Calcular pY/X=2(y). e) Calcular E(Y/X=x). f) Calcular FXY(x, y) (x, y). EJERCICIO 2 (NOVALES 7.13) a) Demostrar que la funcin de dos variables:

==

+=

caso otroen 0

2 , 1 y 3 , 2 , 1 si 21),(,

yxyx

yxYXp

es una funcin de probabilidad bivariante.

b) Obtener las funciones de probabilidad marginales de las dos variables X e Y, as como sus esperanzas y varianzas.

a) Son independientes ambas variables? b) Obtener la distribucin de Y condicional en un valor de X, y calcular la esperanza

matemtica y la varianza de Y condicionales en X = 3. EJERCICIO 3 Se tiran dos dados, uno a continuacin del otro. Sean X1 = resultado de la cara superior del primer dado y X2 = resultado de la cara superior del segundo dado. Sean Y1 = Mx {X1,X2} y Y2 = Mn {X1,X2}. Hallar la distribucin conjunta del par (Y1,Y2).


25

EJERCICIO 4 (Examen Setiembre 1998) Sea X Bernoulli (p), Y Bernoulli (1-p) y X, Y independientes. Se pide: 1. Hallar la distribucin de T = X Y 2. Hallar la distribucin de U = T + 1 y reconocerla EJERCICIO 5 (Examen Febrero 1997) Sean X e Y dos variables aleatorias discretas independientes con cuantas dadas por:

=

=

=

=

1 si 21

0 si 41

1 si 41

)(

x

x

x

xpX

=

=

=

1 si 31

1 si 32

)(y

yypY

Se pide: c) Determinar las cuantas de W = X + Y y de T = XY, d) Son W y T independientes? Justificar la respuesta. EJERCICIO 6 (CANAVOS 6.3 y 6.6) Sean X e Y dos variables aleatorias continuas con una funcin de densidad conjunta de probabilidad dada por:


26

EJERCICIO 8 (Examen de Mayo de 1998) Sea X la variable aleatoria que mide la propensin de las familias a viajar en Semana de Carnaval y sea Y la variable aleatoria que mide la propensin de las familias a viajar en Semana de Turismo. La distribucin conjunta del par (X, Y) es:


27

EJERCICIO 13 (Examen Diciembre de 1996) Una automotora comercializa dos marcas: FIEL y FORO. Las ventas diarias de ambas marcas tiene la siguiente distribucin conjunta:

pX1, X2 (x1, x2) = 91

500,3X1 p X2 REC(X1, X2) = {(0,0); (0,1); (1,0); (1,1)}

Donde X1 = Ventas diarias de autos FIEL

X2 = Ventas diarias de autos FORO Se pide: 1. Hallar p para que pX1, X2 sea una cuanta conjunta. 2. Hallar las distribuciones marginales de X1 y X2 y reconocerlas. 3. Son X1 y X2 independientes? Fundamentar. 4. Cul es la distribucin de X1 sabiendo que ese da no se vendi ningn auto FORO? 5. Hallar la distribucin de la variable Y = N de autos vendidos por da en la

automotora. 6. Son X1 e Y independientes? Fundamentar. EJERCICIO 14 (Examen de Marzo de 2001) Una empresa de electrnica vende un solo tipo de alarmas para hogares en las siguientes condiciones:

Alarmas con colocacin incluida; U$S 700 Alarmas sin colocacin: U$S 500

La demanda mensual tiene la siguiente distribucin:

2121

21

11050602211 4060

xxxxxx ,.,CC)xX,xX(P

+===

con { }5021060210 2121 ,....,,,x;,....,,,x)X,X(Rec === Donde: X1 = demanda mensual de alarmas con colocacin X2 = demanda mensual de alarmas sin colocacin Se pide: 1. Deducir las distribuciones marginales de X1 y X2 y reconocerlas. 2. Son X1 y X2 independientes? Fundamentar la respuesta. 3. La empresa realiza las compras de alarmas una vez por mes. Cuntas alarmas debe

comprar en un mes si el stock remanente del mes anterior es de 10 alarmas y se pretende satisfacer la demanda con una probabilidad del 99%?

4. Sea la variable Y = recaudacin mensual en U$S por venta de alarmas (con o sin colocacin). Hallar la distribucin aproximada de Y fundamentando la respuesta.

5. Calcular la probabilidad de que la recaudacin mensual supere los U$S 50.000.


28

EJERCICIO 15 (Examen de Marzo de 1996) Sean dos variables aleatorias X e Y tales que X Poisson ( ) y (Y/X = x) B(x, p) Se pide:

1. Probar que ( )[ ]

( ) !y! yx.pe

)y,x(px

Y,X

=

1 .y

p

p

1y deducir el Rec (X ,Y).

2. Utilizando el resultado anterior y recordando que ( )qk

kn

n

eq! kn

q=

+

=

Deducir la cuanta marginal de Y, y reconocerla. 3. Son X e Y independientes? Fundamentar la respuesta. 4. En el proceso de produccin de telas se presentan ciertas fallas que solo pueden

detectarse mediante inspeccin visual. La aparicin de fallas sigue un proceso de Poisson a razn de una falla cada dos metros. La produccin de telas se corta en piezas de 10 metros que son entregadas a los inspectores de calidad para la deteccin de fallas. Al analizar una pieza de 10 metros, la probabilidad de que una falla sea detectada por un inspector es 0,95 y es constante e independiente en la deteccin de las fallas que pudieran aparecer en la pieza. Sea X = Nmero de fallas en una pieza de 10 metros e Y = Nmero de fallas detectadas por el inspector en una pieza de 10 metros.

a) Verificar que el par (X , Y) tiene una distribucin conjunta como en el punto 1). b) Si un inspector revisa 15 piezas. Qu distribuciones siguen las siguientes

variables? : T1 = Total de fallas en las 15 piezas T2 = Total de fallas detectadas por el inspector en las 15 piezas

c) Hallar el nmero esperado de fallas no detectadas por el inspector en las 15 piezas revisadas.

EJERCICIO 16 En una urna hay N bolillas, de las cuales N1 son blancas y N2 = N - N1 son negras. Se extraen 2 bolillas sin reposicin. Sean las variables aleatorias:

=

=

negra bolilla una saleextraccin segundala en si0

blanca bolilla un saleextraccin segundala en siX

negra bolilla una saleextraccin primer la en si0

blanca bolilla un saleextraccin pimer la en siX

1

1

2

1

a) Demostrar que X1 y X2 son idnticamente distribuidas. b) Mostrar que X1 y X2 no son variables aleatorias independientes.


29

EJERCICIO 17 Supongamos que unos artculos con probabilidad p de ser aceptables se someten a inspeccin, de manera que la probabilidad de que un artculo sea inspeccionado es p'. Tenemos cuatro clases "aceptable e inspeccionado", "aceptable pero no inspeccionado", etc. con probabilidades correspondientes pp', pq', p'q, qq', donde q = 1-p y q'=1-p'. Sea N el nmero de artculos que pasa por el escritorio de inspeccin (tanto inspeccionados como no inspeccionados) antes de que se encuentre el primer defectuoso y sea K el nmero (no descubierto) de artculos defectuosos entre ellos. Se pide: Encontrar la distribucin conjunta de N y K y sus correspondientes distribuciones marginales. EJERCICIO 18 (Primer control de 1995) Sean las v.a. X e Y con funcin de densidad conjunta:

=

caso otroen 0

10 , si 6),(

2

,xxyxy

yxf YX

Se pide : a) Calcular E (Y/X = x) b) Calcular E (X/Y = y) EJERCICIO 19 (Primera Revisin de 1995) Si se compran y venden artculos de acuerdo al juego libre del mercado se deben esperar fluctuaciones tanto en la cantidad que se debe pagar por un artculo como en la cantidad en que se podr venderlo. Se supone que un comerciante paga una cantidad X (en unidades normalizadas de forma adecuada) por un artculo que luego debe vender en una cantidad Y. La distribucin conjunta del vector (X, Y) es la siguiente:

>>=

=

+

resto el en 0

0 ,0 ,t ,,.....,,n !n

)t(e)t,n(f

nt)(

T,N

0210

1. Cul es el nmero esperado de intentos antes que se encuentre una terminal disponible?

2. Para agilizar los trmites, se harn k intentos, donde k es el nmero de intentos que se esperara hacer si la respuesta demorara t0 minutos, pasado ese nmero de intentos se enva automticamente la autorizacin del crdito independientemente del historial del cliente. Indicar cul es el nmero k de veces que se tiene que intentar antes de autorizar automticamente el crdito si:

a) t0 es igual a 5 minutos. b) t0 es el tiempo promedio que se tarda en recibir respuesta. Por qu este

valor es igual al hallado en el punto 1)? Fundamentar. EJERCICIO 22 Sea una variable aleatoria Y que tiene la siguiente distribucin de probabilidad:

P(Y=-1) = 1/3 P(Y=1)=2/3 y una variable aleatoria X que sigue una distribucin uniforme sobre el intervalo [0,2] si Y = -1 y una distribucin uniforme sobre el intervalo (1, 5) si Y = 1. Se pide: a) Obtener la distribucin de probabilidad de X condicionada por la variable Y. b) Obtener la distribucin de probabilidad de la esperanza condicional E(X/Y). c) Obtener la distribucin marginal de X. d) Comprobar que la esperanza de X, coincide con la de la variable aleatoria E(X/Y).


31

EJERCICIO 23 Un examen consta de tres partes que se califican por separado. Los puntajes de cada parte, X1, X2, X3, siguen una distribucin conjunta normal multivariada con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas :

=

=81 3 3

3 64

18

31881

40

65

60

Se pide: 1. Si se exige para aprobar cada parte por lo menos 50 puntos, calcular las probabilidades

de aprobar cada parte. 2. Si para aprobar el examen es suficiente obtener 50 puntos de media entre las tres partes,

calcular la probabilidad de aprobar el examen total. 3. Hallar la distribucin de (X2 , X3). 4. Hallar el coeficiente de correlacin lineal entre X2 y X3, e interpretar el resultado.

5. Sea: 3

5150 321 X.XX.Y++

= . Hallar la distribucin de Y.

6. Se perdieron las partes 1 y 2 del examen de uno de los alumnos, cul sera el valor esperado del puntaje de las partes 1 y 2 si se sabe que el alumno obtuvo 50 puntos en la parte 3?

EJERCICIO 24 El vector aleatorio (X,Y) tiene la siguiente funcin de densidad:

{ } { }

>>

pi=

+

resto el en

y,xy,xene)y,x(f

)yx(

Y,X

0

00001 222

1

1. Demostrar que las variables marginales X e Y siguen una distribucin N(0,1). 2. X e Y son variables aleatorias independientes? 3. Es normal bivariante la distribucin conjunta de (X,Y)? Qu deduce de estas

conclusiones? EJERCICIO 25 (CANAVOS 6.1) Se seleccionaron aleatoriamente 60 personas y se les pregunt su preferencia con respecto a tres marcas A, B y C. Estas fueron de 27, 18 y 15 respectivamente. Qu tan probable es este resultado si no existen otras marcas en el mercado y la preferencia se comparte por igual entre las tres?


32

EJERCICIO 26 Tres monedas son lanzadas al mismo tiempo, este experimento se repite n veces. Sean:

X = nmero de tiradas en las que no aparece ninguna cara Y = nmero de tiradas donde aparece una sola cara Z = nmero de tiradas donde aparecen dos caras

Se pide: a) Encontrar la cuanta conjunta de (X,Y,Z). b) Encontrar la cuanta de (X,Z/Y=y). EJERCICIO 27 Dadas U1 ~ U (0, 1) y U2 ~ U (0, 1) independientes entre si, hallar las distribuciones conjuntas y marginales en los siguientes casos:

=

=

+=

2ln2)12cos(

ln2)2sen( )

/

. )

)

21

21

21

21

21

UU

UU

Y

Xc

UU

UU

Y

Xb

UU

UU

Y

Xa

pi

pi

EJERCICIO 28 Dadas X1, X2, .. , Xn iid con distribucin FX(x), hallar las densidades de: U = max { X1, X2, .. , Xn } V = min { X1, X2, .. , Xn } EJERCICIO 29 Dadas las variables aleatorias X e Y independientes ambas con distribucin Geom(p), hallar la cuanta de U = min{ }Y,X y de V = X Y. Demostrar que U y V son independientes. EJERCICIO 30 Dos amigos convienen en encontrarse en un boliche entre la hora cero y la una de la madrugada. Las llegadas sern independientes y convienen en que cada uno ha de esperar al otro por espacio de 10 minutos, y si no se encuentran, se retirarn del boliche. Si se supone que las llegadas tienen distribucin uniforme continua en el intervalo (0, 1), cul es la probabilidad de que los amigos se logren encontrar?

PRCTICA 5: ESTADSTICA DESCRIPTIVA

33


EJERCICIO 1

Indicar si los siguientes datos son de corte transversal o de series temporales: a) Ingresos de los hogares de Montevideo en el mes de setiembre de 2006. b) Nmero de inasistencias de los docentes de un establecimiento escolar de los ltimos 6

meses. c) Tasa de desempleo del Interior en los 8 trimestres calendario de 2005 y 2006. d) Resultados del examen de Estadstica del 15/10/2006, en el cual rindieron la prueba 148

alumnos. e) Total anual de egresos en el conjunto de las instituciones universitarias del pas, en los

ltimos 5 aos.

EJERCICIO 2

La siguiente tabla muestra los aos que un conjunto de 30 trabajadores encuestados ha estado en su actual empresa:

4 8 11 3 6 10 1 5 21 4 7 8 2 2 6 9 11 13 14 7 12 14 18 9 4 11 17 9 2 13

a) Construir la distribucin de frecuencias absolutas. b) Obtener las frecuencias relativas para cada clase y su representacin grfica. c) Qu porcentaje de trabajadores ha estado en su actual empresa ms de 8 aos? Y

menos de 13? d) Dibujar el grfico de frecuencias acumuladas. e) Repetir los pasos anteriores utilizando ahora intervalos de clase con 1 como lmite

inferior del primer intervalo de clase, y longitud de cada intervalo igual a 4. EJERCICIO 3 (Novales 1.13)

Suponga que dispone de m observaciones de la variable X, con las que calcula su media x

y de n observaciones de la variable Y, con las que calcula su media y . Pruebe que el

promedio z de los m + n datos, tomados todos conjuntamente, puede escribirse:

ymn

nx

mn

mz

++

+=


34

EJERCICIO 4 Una empresa tiene 200 administrativos que reciben U$S 500 mensuales y 800 obreros que reciben U$S 200 por mes. En tiempo de depresin temporal, todos los salarios se rebajan un 20% y 600 obreros son mandados a seguro de paro. Sin embargo el departamento de relaciones pblicas da a conocer una declaracin en el sentido de que el salario promedio aument. Explique por qu sucede esto. EJERCICIO 5 (Primera revisin 1997) El grfico adjunto corresponde a la funcin de distribucin emprica acumulada de la cantidad de automviles diarios vendidos en una automotora, observada en un mes de trabajo.

0 .2

0 .9

0 .5

1

2 41 3x

F X (x )

Se pide: 1. Explicitar la funcin de distribucin emprica acumulada. 2. Determinar la distribucin de frecuencias relativas y graficarla. 3. Qu porcentaje de das se vende en la automotora un automvil o ms? Fundamente su

respuesta. EJERCICIO 6 (Primera Revisin 2000) A partir de una muestra de 10 datos se obtuvieron los siguientes resultados:

Media aritmtica = 4 Mediana = 5

Realizados los clculos se descubre que la observacin con valor ms pequeo estaba equivocada y en lugar de 2 era 1. a) Cul es el valor correcto de la media aritmtica? Fundamente su respuesta. b) Cul es el valor correcto de la mediana? Fundamente su respuesta.


35

EJERCICIO 7 Una empresa de transporte lleva estadsticas, desde hace varios aos, del rendimiento de dos marcas de llantas. De las mismas se han sacado los siguientes resultados (en Km.)

LLANTA MEDIANA MEDIA A 25.000 27.000 B 27.000 25.000

Suponga que las dos llantas se venden al mismo precio. Qu marca recomendara usted al negocio de transportes? Por qu? EJERCICIO 8 (Primer control 2000) El porcentaje de insectos muertos luego de una aplicacin de insecticida se registra en la siguiente tabla:

Tiempo en minutos Porcentaje de insectos muertos

5 50 10 75 30 85 45 95 60 100

Indicar, justificando brevemente, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El tiempo de vida aproximado ms frecuente desde la aplicacin del insecticida es de 2

minutos 30 segundos. (b) Slo el 15% sobrevive ms de 30 minutos. (c) El 10% de las muertes se produce aproximadamente luego del primer minuto. (d) El tiempo medio aproximado de vida luego de la aplicacin es de 11 minutos y medio. EJERCICIO 9 Indicar qu medidas de posicin seran ms tiles en cada uno de los siguientes casos, justificando la respuesta. 1. El gerente de produccin de una fbrica de envases de vidrio quiere saber cul es el

tamao de envase que debe fabricar en mayor cantidad. Tiene a mano un buen nmero de datos de los tamaos de envases ordenados por los clientes.

2. El gerente de ventas de una compaa que produce mobiliario de lujo desea seleccionar

regiones para establecer salas de exhibicin. En qu medida del ingreso familiar estar ms interesado?


36

EJERCICIO 10 (Mltiple opcin seleccionada de los exmenes de 2001) 1. En una muestra de hogares la mediana de los ingresos de los varones (Xmed) es 4000 y

la mediana de los ingresos de las mujeres (Ymed) es 3500. Entonces,

a) )(F)(F *Y*X 40004000 <

b) )(F)(F *Y*X 40004000 =

c) )(F)(F *Y*X 40004000 >

2. Para comparar la dispersin entre la distribucin del ingreso de los hogares de

Maldonado y la distribucin del recorrido hasta la escuela rural de los alumnos de Lavalleja, el indicador ms apropiado es:

a) La varianza b) La desviacin estndar c) El coeficiente de variacin

EJERCICIO 11 (Seleccionado del examen de Mar/2000) Comente las siguientes afirmaciones fundamentando su veracidad o falsedad: 1. La mediana es una medida de posicin que es invariante a alteraciones en los valores

extremos. 2. Cuando se tienen datos agrupados es imposible calcular exactamente los valores de la

media y la varianza de los datos originales sin agrupar. 3. El coeficiente de variacin no es tan bueno para medir la dispersin de una variable

como el desvo estndar porque aquel depende de la unidad de medida de la variable. EJERCICIO 12 (Examen Mar/2000) PARTE A A continuacin se presenta un cuadro aparecido en un anlisis de concentracin a partir del Censo de Establecimientos Industriales.

NUMERO DE EMPLEADOS

PORCENTAJE ACUMULADO

DE ESTABLECIMIENTOS

PORCENTAJE ACUMULADO DE VALOR AGREGADO POR EL

FABRICANTE

1-4 36,5 1,1 5-9 52,3 2,7 10-19 67,6 5,9 20-49 80,5 13,3 50-99 83,0 21,5 100-249 96,2 36,5 250-499 98,4 49,8 500-999 99,4 63 1000-2499 99,8 78,2 2500 4000 100,0 100,0


37

EJERCICIO 12 (continuacin) 1. El 80.5 % de los establecimientos representan el 21.5 % del valor agregado?

Justifique su respuesta. 2. Qu porcentaje de los establecimientos tienen 2.500 empleados o ms. 3. Qu participacin tienen en el total del valor agregado industrial los establecimientos

que tienen 2.500 empleados o ms? 4. Si sabemos que el total de 100.000 establecimientos del pas tienen en conjunto un

valor agregado total de 400 millones. 4.1) Cul es el valor agregado generado en establecimientos que tienen hasta 49

empleados? 4.2) Cuntos empleados hay trabajando en establecimientos que tienen hasta 49

empleados? PARTE B 1. Completar el siguiente cuadro, a partir del cuadro presentado en la PARTE A. Utilice

como definicin de los intervalos: [ )

NUMERO DE EMPLEADOS

FRECUENCIA RELATIVA DE ESTABLECIMIENTOS

1-5 5-10 10-50 50-250 250-4000

LAS SIGUIENTES PREGUNTAS DEBEN RESPONDERSE EN BASE AL CUADRO CALCULADO EN B.1. 2. Cul es la mediana del nmero de empleados? 3. El 50 % de los establecimientos tienen hasta ___________ empleados. 4. El primer cuartil es ___________ 5. El tercer cuartil es ___________ 6. El 50 % central de las observaciones se encuentra en un intervalo de amplitud _______ 7. Cul es la cantidad media de empleados por establecimiento? Cuntos empleados hay

en el total del pas? 8. Cul es el intervalo modal de la cantidad de personal ocupado?


38

EJERCICIO 13 La siguiente es la distribucin de los ingresos de los hogares a partir de la muestra de la Encuesta Nacional de Hogares de un mes

[ yi-1 yi ) ni 1000 - 2000 2000 - 3000 3000 - 5000 5000 - 7000 7000 - 10000 10000 - 15000

100 120 150 100 80 50

Se pide: 1. Calcular la distribucin de frecuencias y representarla grficamente. 2. Calcular la funcin de distribucin acumulada de frecuencias relativas y representarla

grficamente. 3. Calcular las medidas de posicin e interpretar su significado. 4. Calcular las medidas de dispersin. 5. Calcular las medidas de simetra y apuntamiento. EJERCICIO 14 (Examen Set/1997) Parte A En una muestra de 100 datos se obtuvieron los siguientes resultados:

X = 5.55 x0.5 = xmediana = 5.15 s2 = 16

Realizados los clculos se descubre que una observacin con valor 10 estaba equivocada y corresponda el valor 15. Cul es el valor correcto de la media, la mediana y la varianza de la muestra? Parte B El ao pasado en esta poca, los datos de prstamos personales de EFECTIVO-YA mostraron una media de $ 650 y una desviacin estndar de $ 300. Recientemente se calcul la media en $ 1.000 y la desviacin estndar en $ 350. Se pide: mostraron mayor o menor variacin relativa los prstamos del ao pasado respecto al ao actual? Parte C Por qu se elevan al cuadrado las desviaciones respecto a la media al calcular la desviacin estndar?


39

EJERCICIO 15 (Primera Revisin de 2001) PARTE A En la siguiente tabla se presentan los salarios anuales (en miles de dlares) de los directores ejecutivos de 100 grandes empresas.

'i

'i x,x 1

Frecuencia absoluta

90 , 790 40 790 , 1490 36 1490 , 2190 14 2190 , 2540 10 TOTAL 100

Utilice las columnas libres del cuadro para efectuar los clculos que considere necesarios. a) Calcule la media. Interprete su significado. b) Calcule la mediana. Interprete su significado. c) Calcule el recorrido intercuartil. Interprete su significado. d) Calcule la varianza y la desviacin estndar. PARTE B En la siguiente tabla se presentan las edades de los ejecutivos de la Parte A. En base a ella se calcularon algunas medidas de resumen.

'i

'i x,x 1

Frecuencia absoluta

661.x = (61 aos y 7 meses) Mediana = 61.6 (61 aos y 7 meses)

50 , 60 42 Primera cuartila = 55.95 (55 aos y 11 meses) 60 , 70 50 Tercera cuartila = 66.6 (66 aos y 7 meses) 70 , 80 8 Varianza = 38.44 aos 2

TOTAL 100 Desviacin estndar = 6.2 aos Se desea comparar la dispersin de los salarios y las edades de los directores ejecutivos. a) En su opinin, cul es el indicador ms apropiado para comparar la dispersin en este

caso? Fundamente su respuesta. b) Calcule el indicador apropiado y comente el resultado obtenido. c) Dado que la mediana para las edades es 61.6 (61 aos y 7 meses), se puede afirmar

que los ejecutivos menores de 61 aos y 7 meses ganan hasta el valor de la mediana de los salarios hallado en la Parte A? Fundamente su respuesta.

EJERCICIO 16 (Novales 1.7) Demuestre que si se efecta un cambio de variable: baXY += , entonces la media

aritmtica de Y es: bxay += , y su varianza: 222 xy SaS = . Probar asimismo que la

mediana y la moda experimentarn la misma transformacin que la media. Suponga a > 0.


40

EJERCICIO 17 (Examen Set/1996) Una empresa comercializa diferentes productos cuyos precios oscilan en el mes de abril entre $10 y $14. Una muestra de las ventas del mes de abril arroj los siguientes resultados:

Precio Cantidad de productos 10 11 12 13 14

50 150 100 80 20

Se pide: a) Calcular media y varianza de la distribucin de la muestra de precios de abril. b) Los precios de la tabla no incluyen el IVA. Hallar, aplicando las propiedades

correspondientes, la media y la varianza de los precios con IVA (23%). c) Para el mes siguiente (mayo), los precios sin IVA se incrementarn en $ 1. Hallar

media, mediana, modo y varianza de la distribucin de los precios (sin IVA) del mes de mayo, suponiendo que las cantidades de productos en la muestra permanecen inalterados.

EJERCICIO 20 Los sueldos que paga una empresa a sus empleados, vienen dados por:

[ yi-1 yi ) Ni 14000 - 15000 15000 - 16000 16000 - 17000 17000 - 18000 18000 - 19000 19000 - 20000 20000 - 21000 21000 - 22000

5 7 8 6 5 4 3 2

La empresa propone al personal dos posibles arreglos de negociacin:

Arreglo 1: yi = 0.8 ui - 2000

Arreglo 2: ti = 1.2 yi + 3000

Se pide: a) Cul es el sueldo promedio que paga la empresa? b) Cul es el nuevo sueldo promedio u , segn el Arreglo 1? c) Cul es la mediana del sueldo, t0,5, segn el Arreglo 2? d) Sobre qu sueldo yi , estn el 20% de los sueldos superiores? e) Qu porcentaje del dinero destinado a pagar sueldos representan los sueldos de las

personas que ganan ms de yi = $ 18.000? f) Cul es la varianza de los sueldos U, segn el Arreglo 1? g) Cul es el coeficiente de variacin de los sueldos U, segn el Arreglo 1? h) Cul es el coeficiente de variacin de los sueldos T, segn el Arreglo 2?


41

EJERCICIO 19 Con la finalidad de conocer la calidad de produccin de una fbrica (Fbrica A), se extraen al azar 100 lotes de un conjunto de n lotes de igual tamao, de un cierto artculo. El examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados:

Cantidad de piezas defectuosas de cada lote

Cantidad de lotes observados

0 1 2 3 4 5 6 7

10 11 14 20 13 14 11 7

Se pide: 1. Calcular la distribucin de frecuencias y representarla grficamente. 2. Calcular la funcin de distribucin acumulada de frecuencias relativas y representarla. 3. Calcular las medidas de posicin. 4. Calcular las medidas de dispersin. 5. Calcular las medidas de forma (simetra y apuntamiento). Para conocer la calidad de produccin de otra fbrica competidora de la anterior (Fbrica B), tambin se extraen al azar 100 lotes de un conjunto de n lotes de igual tamao, de un cierto artculo. El examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados:

Cantidad de piezas defectuosas de cada lote

Cantidad de lotes Observados

0 1 2 3 4 5 6 7

5 8 7 23 18 10 19 10

Calcular las medidas de posicin, dispersin, simetra y apuntamiento para la Fbrica B y compararlas con las calculadas para la Fbrica A.


42

EJERCICIO 20 Los siguientes datos corresponden a la tasa de alfabetizacin de 21 pases donde opera una empresa hotelera.

Pas Tasa de alfabetizacin

Hait Guatemala Nicaragua El Salvador Honduras Bolivia Brasil Dominicana R. Per Colombia Mxico Ecuador Panam Venezuela Paraguay Chile Costa Rica Cuba Argentina Uruguay Barbados

53 55 57 73 73 78 81 83 85 87 87 88 88 88 90 93 93 94 95 96 99

Se pide: 1. Clasificar la variable tasa de alfabetizacin en, cualitativa (nominal u ordinal) o

cuantitativa (discreta o continua). Justifique su respuesta. 2. Construir un grfico de tallos y hojas, con hojas de un dgito. 3. Determinar los cuartiles. 4. Construir un diagrama de cajas. 5. En base al diagrama de cajas construido identificar los pases atpicos. Justifique su

respuesta.


43

EJERCICIO 21 A continuacin se presentan datos del PBI por persona en dlares anuales de pases de Asia

Pas PBI (por persona en dlares anuales)

Bangladesh 202 Afganistn 205 Vietnam 230 Camboya 260 India 275 China 377 Pakistn 406 Indonesia 681 Filipinas 867 Corea del Norte 1000 Tailandia 1800 Malasia 2995 Corea del Sur 6627 Taiwan 7055 Hong Kong 14641 Singapur 14990 Japn 19860

Se pide: 1. Clasificar la variable PBI en, cualitativa (nominal u ordinal) o cuantitativa (discreta o

continua). Justifique su respuesta. 2. Construir un grfico de tallos y hojas, con hojas de tres dgitos. 3. Determinar los cuartiles. 4. Calcular el recorrido intercuartlico e interpretar su resultado. 5. Construir un diagrama de cajas. 6. En base al diagrama de cajas construido identificar los pases atpicos. Justifique su

respuesta.


44

EJERCICIO 22 (Examen Feb/2001) Una encuesta por muestreo dirigida a 1.000 parejas con 10 o ms aos de convivencia se realiz para investigar el nmero de hijos varones e hijas mujeres de las parejas, obtenindose los resultados que se presentan en el siguiente cuadro.

MUJERES VARONES 0 1 2 3 4 Total

0 200 100 80 50 10 440 1 100 150 40 20 0 310 2 70 30 20 10 0 130 3 50 20 10 10 0 90 4 20 10 0 0 0 30

Total 440 310 150 90 10 1.000 Se pide: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso que la afirmacin sea falsa, justificar la respuesta. 1. En la poblacin de parejas con 10 o ms aos de convivencia no hay parejas con 7

descendientes o ms. 2. Si se considera la variable aleatoria Nmero de descendientes, el modo es 2. 3. Los resultados son coherentes con la teora de que en los nacimientos hay un leve

predominio de los varones sobre las mujeres. 4. El nmero medio de descendientes por pareja en la muestra es 2. EJERCICIO 23 La siguiente tabla muestra la distribucin conjunta de frecuencias relativas de la variable CRED que representa el nmero de tarjetas de crdito que posee una persona y la variable COMP que refleja el nmero de compras semanales pagadas con tarjeta de crdito.

Nmero de compras por semana N Tarjetas 0 1 2 3 4 1 0,08 0,13 0,09 0,06 0,03 2 0,03 0,08 0,08 0,09 0,07 3 0,01 0,03 0,06 0,08 0,08 1. Hallar la distribucin marginal de la variable COMP. Cul es el numer medio y la

desviacin tpica del nmero de compras semanales pagadas con tarjeta de crdito? Obtener la distribucin del nmero de tarjetas de crdito que poseen las personas de dicho estudio. Cul es el nmero ms frecuente de tarjetas de crdito que posee una de estas personas?

2. Calcular la distribucin del nmero de compras semanales pagadas con tarjetas de crdito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. Cul es la media de esta distribucin?

3. Qu conclusiones pueden extraerse a partir de la distribucin conjunta sobre la relacin entre ambas variables?


45

EJERCICIO 24 A continuacin se presenta el puntaje otorgado por los clientes a un nuevo sistema de gerenciamiento de las relaciones con los clientes (CRM). Cuanto mayor el puntaje, se considera mejor la opinin acerca del sistema.

EDAD OPININ [20,40) [40,60) [60,80) TOTAL

1 70 20 20 110 2 40 50 30 120 3 50 70 50 170 4 40 60 100 200

TOTAL 200 200 200 600 Se pide: 1. Determinar la distribucin conjunta de frecuencias relativas (trabaje con dos dgitos

decimales). 2. Determinar la distribucin marginal de frecuencias relativas de la variable EDAD. 3. Determinar la distribucin marginal de frecuencias relativas de la variable OPINION. 4. Determinar el promedio de edades en la muestra. 5. Determinar la distribucin de frecuencias relativas de la edad condicionada por

OPINION = 1. 6. Determinar la distribucin de frecuencias relativas de la edad condicionada por cada

uno de los valores de opinin. 7. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por OPINION = 1. 8. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por cada uno de los valores

de opinin. 9. Comente el vnculo entre ambas variables, en base a los promedios condicionales

calculados. EJERCICIO 25 En la siguiente tabla se dan las alturas, medidas en metros, de 12 padres y sus hijos mayores:

Altura del padre (X)

1.65 1.60 1.70 1.63 1.73 1.57 1.78 1.68 1.73 1.70 1.75 1.80

Altura del hijo (Y)

1.73 1.68 1.73 1.65 1.75 1.68 1.73 1.65 1.80 1.70 1.73 1.78

Se pide: a) Construir el diagrama de dispersin. b) Calcular la covarianza entre X e Y. c) Calcular el coeficiente de correlacin lineal y comentar el resultado obtenido.


46

EJERCICIO 26 (Novales 1.14) Pruebe que si las dos variables que estudia, X e Y, estn relacionadas mediante: Y = a.X + b, entonces su coeficiente de correlacin es +1 si a > 0 y es igual a 1 si a < 0. EJERCICIO 27 (Novales 1.12) Cmo afecta al coeficiente de correlacin entre dos variables X e Y que multipliquemos las observaciones correspondientes a X por una constante , y a las observaciones correspondientes a Y por una constante , ambas positivas? Y si sumamos o restamos una constante a cada variable? Depende del signo de dicha constante?

PRACTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE

47

PRCTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACIN Y NMEROS NDICE EJERCICIO 1 De las siguientes afirmaciones indicar aquellas que son verdaderas justificando su respuesta: a) La mediana nunca es mayor que la mediala. b) El valor absoluto del ndice de Gini (IG) es siempre menor que 2. c) Si el eje de las Y representa F* y el eje de las X representa T, entonces la grfica de la

curva de Lorenz tiene concavidad negativa. d) El valor cero del IG indica que no hay concentracin. EJERCICIO 2 Se tienen los datos de la Encuesta Continua de Hogares de 1988, relativos a la distribucin del ingreso per cpita (en S.M.N.) del hogar de estudiantes universitarios:

0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 30

5578 2804 680 219 103 86

a) Hallar la funcin de distribucin acumulada. b) Hallar la funcin de distribucin del ingreso acumulado, T(x). c) Hallar la mediala e interpretar el valor obtenido. d) Representar grficamente T(x) en funcin de F*(x). e) Hacer un estudio de la concentracin:

1. relacionando t(x) con h(x). 2. relacionando T(x) con F*(x). 3. calculando los ndices de concentracin.

f) Sabiendo que el ingreso per cpita de un hogar se calcula sumando los ingresos de todos los integrantes del hogar y luego dividindolo entre el nmero de integrantes del mismo, existir realmente concentracin o Ud. cree que podra haber otro tipo de causas que influyen para que exista concentracin? Especifique cules le parece que son las causas.


48

EJERCICIO 3 (Examen de Diciembre de 2001) Si en una poblacin de 100 hogares 90 de ellos tienen un ingreso de $1000 y los 10 restantes tienen un ingreso de $11000 cada uno, entonces el ndice sinttico de Gini es:

a) G = 0.6 b) G = 0.55 c) G = 0.45 d) Ninguna de las anteriores.

EJERCICIO 4 (Examen de Marzo de 2001) El 80% de los hogares ms pobres detenta el 20% del ingreso total, mientras que el 20% de los hogares ms ricos detenta el 80% del ingreso total. Entonces,

a) El ndice sinttico de Gini es 0.16. b) El ndice sinttico de Gini es 0.40. c) El ndice sinttico de Gini es 0.60.

EJERCICIO 5 La poblacin rural de un pas est distribuida en 2414 poblados, el poblado ms chico tiene 100 habitantes y el ms grande tiene 20.000. La siguiente es la clasificacin de los poblados por nmero de habitantes en miles de personas:

menos de 3 entre 3 y 5 entre 5 y 7 entre 7 y 9 entre 9 y 15 ms de 15

342 964 553 289 120 146

a) Estudie si existe concentracin de la poblacin rural en ese pas. b) Sabiendo que para un pas vecino el ndice de Gini es igual a 0.67, qu puede decir de

la concentracin en cada uno de los pases? EJERCICIO 6 Una cooperativa de ahorro y crdito desea instalar sucursales en dos localidades diferentes (ciudad A y ciudad B). Dado que el costo de instalacin y puesta en funcionamiento de cada sucursal es elevado, se ha tomado como resolucin instalar primero una sucursal en una de las ciudades y al ao siguiente instalarla en la otra. Se ha decidido instalar primero la sucursal en la ciudad donde se observe el mayor potencial de ahorro y donde se espera obtener cuentas de ahorro con mayor monto depositado. Para ello se ha tomado una muestra de 1.000 habitantes en cada una de las ciudades y se los clasific segn su potencial de ahorro (en U$S) y se obtuvo que:


49

Ciudad A [[[[Xi-1 - Xi) ni

0 - 100 100 200 200 300 300 500 500 1000

150 200 300 200 150

Ciudad B Realizados los clculos se obtuvieron las siguientes medidas de resumen:

x = 280 x0.50 = 257.14 sx2 = 24.350 IG = 0.2883 xmed = 329.16

Se pide: En qu ciudad aconseja usted instalar la sucursal si utiliza como criterio de decisin las siguientes medidas:

a) media b) mediana c) ndice sinttico de concentracin d) media y coeficiente de variacin e) media, mediana y coeficiente de simetra f) mediana y mediala.

Para cada uno de los casos fundamente claramente su respuesta y aclare adems cules son los problemas que representa restringir nuestro criterio de decisin a un nmero limitado de medidas para tomar una resolucin, de acuerdo al siguiente ejemplo: En la cuidad A el modo es igual a 233.33 y en la ciudad B es igual a 242.85. Dado que el modo es el valor de la variable que ms veces se repite en la muestra, entonces en la cuidad B, la posibilidad de ahorro ms comn es de U$S 242.85 por lo cual se aconsejara instalar la sucursal en la ciudad B . El problema de decidir slo usando el modo es que no sabemos como se distribuye la variable alrededor del modo, por ejemplo en la ciudad A hay como mximo 650 casos que estn por encima del modo, y si en la cuidad B, hubiera menor cantidad de casos, nuestra eleccin hubiera sido incorrecta. Otra objecin a nuestra eleccin sera si justo en la ciudad B el modo es el mximo valor que toma la variable. EJERCICIO 7 (Examen de Mayo de 2001) Sabiendo que en el punto 70.F * = el ndice analtico de Gini es 45.j = entonces, el 30% ms rico de la muestra detenta:

a) El 60% del ingreso total. b) El 70% del ingreso total. c) El 80% del ingreso total.


50

EJERCICIO 8 (examen Mar/2003) F*(x) 1 La figura adjunta representa la funcin de 0,9 distribucin emprica del ingreso de una muestra de 500 perceptores en 2002 en Kinshasa. 0,5 a) Calcular el ndice Sinttico de Gini. b) El ndice de Gini de Ciudad El Cabo fue de 0,2518 0,2 en el ao 2002, cul de estas dos ciudades tuvo mayor concentracin del ingreso en el 2002? 0 100 200 250 300 x EJERCICIO 9 Dados los siguientes ndices de produccin industrial (1992 = 100):

1985 1986 1990 1992 1993 1994 1995 75 81 96 100 93 105 105

1. Interpretar el valor del ndice del ao 1993. 2. Desplazar la base a 1985 = 100 3. En qu ao se produjo el mayor aumento del ndice respecto al ao anterior? 4. Se sabe que el valor del ndice de produccin industrial en 1990 con base 1970 = 100,

es 315. Presentar la serie anterior con base 1970 = 100. EJERCICIO 10 Usted desea calcular y publicar cada ao un ndice de uso especial, que planea denominar ndice de Actividad Empresarial. Tres series parecen promisorias como bases para el ndice, y son el precio de la lana, el nmero de automviles nuevos vendidos y la velocidad de circulacin del dinero (publicada por el Banco Central). Su jefe (economista de gran jerarqua) decide que el movimiento de dinero debe tener una ponderacin de 60%; el nmero de automviles nuevos vendidos, de 30%; el precio de la lana, de 10%. Se pide: a) Elaborar el ndice de Actividad Empresarial para 1981 (el perodo base) y 1990.

Precio de la lana

(por kilo)

Nmero de automviles vendidos

Velocidad de circulacin del

dinero (un ndice) Ao 1981 U$S 0.20 100.000 80 Ao 1990 U$S 0.50 80.000 120

b) Interpretar los ndices.


51

EJERCICIO 11 Se va a elaborar un ndice de precios de ropa para 1989 con base en 1982. Los precios de 1982 y 1989 y las cantidades consumidas en dichos aos, se muestran a continuacin:

Artculos Precio En 1982

Cantidad Vendida en 1982

Precio en 1989

Cantidad Vendida en 1989

Vestidos ( unidad) U$S 35 500 U$S 65 400 Zapatos ( par) U$S 40 1200 U$S 90 980

Se pide: 1. Hallar el ndice de precio ponderado de Laspeyres para 1989 usando 1982 como base. 2. Interpretar el resultado. EJERCICIO 12 (Primera Revisin de 2001) Indique cul de las afirmaciones es correcta para cada uno de los tems siguientes, sabiendo que slo una de ellas es correcta. Fundamente su respuesta. 1. Un ndice de valor se puede obtener:

1.a. Multiplicando un ndice de precios de Paasche por un ndice de cantidades de Laspeyres, o multiplicando un ndice de precios de Laspeyres por un ndice de cantidades de Paasche.

1.b. Solamente multiplicando ndice de precios de Laspeyres por un ndice de cantidades de Paasche.

1.c. Solamente multiplicando ndice de precios de Paasche por un ndice de cantidades de Laspeyres.

1.d. Ninguna de las anteriores 2. Si el Indice de Gini sinttico en dos ciudades distintas es 0.35

2.a. La curva de Lorenz es la misma en ambas ciudades. 2.b. La distribucin del ingreso es menos equitativa en una tercer ciudad con

IG= 0,3. 2.c. El ingreso medio es el mismo en las dos ciudades. 2.d. Ninguna de las anteriores


52

EJERCICIO 13 Las siguientes son las cantidades vendidas y los precios de tres productos en los aos 1988,1989 y 1990, comercializados por una empresa.

Ao 1988 Ao 1989 Ao 1990 p q p q p q

Producto A 80 300 100 400 150 350 Producto B 150 30 160 50 200 60 Producto C 300 120 320 100 400 120

1. Calcular los ndices de precios de Laspeyres con base 1988 = 100. 2. Calcular los ndices de cantidades de Paasche con igual base. 3. Calcular los ndices de valor con base 1988 = 100. EJERCICIO 14 (Novales 3.1) Probar que los ndices de Laspeyres y de Paasche de cantidades estn relacionados por: tt PL /00/ 1= .

PRACTICA 7: SERIES DE TIEMPO

53

PRCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (Novales 2.1) Considere la expresin gtt ePP 0= , y aproxime linealmente por un desarrollo en serie de

Taylor la funcin exponencial para valores pequeos de g. Muestre que, si g es prximo a

cero, se tiene: gtP

PPt=

0

0 y explique que esta expresin refleja un crecimiento que es

lineal en tP para valores de g prximos a cero.

a) Suponga que una variable responde al proceso: gtt ePP 0= , con 0P , g conocidos, y

escribimos: t

t PP )1(0 pi+= (1)

para una constante pi calculada como: 1= gepi . Pruebe, a partir de (1), que

gPP tt =

/ . Es decir, siempre que exista una determinada relacin entre los parmetros

pi y g, ambos procesos de crecimiento generan exactamente el mismo comportamiento temporal.

b) Recprocamente, suponga que una variable responde al proceso: tt PP )1(0 pi+= para

una constante pi conocida, pero escribimos: gt

t ePP 0= (2)

con un parmetro g calculado a partir de )1ln( pi+=g . Pruebe, a partir de (2), que:

pi=

1

1

t

tt

P

PP

EJERCICIO 2 (Novales 2.3)

Suponga que el valor del ndice mensual de produccin de un determinado sector industrial es, en diciembre de 1994, de 185, y que la produccin en dicho sector experimenta tasas sucesivas de incremento, durante los seis primeros meses de 1995, de 0.74%, 0.24%, 0.53%, 0.64%, 0.83% y 0.44%. Obtenga el valor numrico del ndice en junio de 1995. Aproxime las tasas de crecimiento intermensual a un solo decimal, y utilcelas para calcular el valor numrico del ndice en junio. Cunto dira que ha crecido el ndice durante el semestre de acuerdo con ambas estimaciones? Cules seran las tasas anualizadas correspondientes en ambos casos?


54

EJERCICIO 3 Se considera la serie de datos de ventas de una empresa durante 11 aos (medida en millones de pesos constantes).

Ao 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ventas 0,2 0,4 0,5 0,9 1,1 1,5 1,3 1,1 1,7 1,9 2,3 Se pide: 1. Representar grficamente la serie. 2. Determinar la tendencia mediante una recta. 3. Determinar la tendencia utilizando promedios mviles de 3 aos. 4. Determinar la tendencia utilizando promedios mviles de 4 aos. 5. Representar sobre el grfico de la parte 1 las tendencias obtenidas en las partes 2 a 4. EJERCICIO 4 (Primera Revisin de 2000) Se considera la serie de datos del valor de la Unidad Reajustable U.R. (yi ) durante 22 meses (desde Setiembre de 1998 hasta Junio de 2000). MES (xi ) U.R. (yi ) MES (xi ) U.R. (yi ) MES (xi ) U.R. (yi ) MES (xi ) U.R. (yi )

1 180.82 7 189.35 13 193.46 19 197.00 2 181.84 8 189.68 14 193.87 20 197.00 3 183.22 9 190.60 15 194.87 21 197.62 4 183.79 10 191.18 16 194.93 22 198.26 5 185.01 11 191.72 17 195.17 6 186.00 12 191.96 18 195.62

7849051 808803415 3795 4202.57 25322

1

22

1

222

1

222

1

22

1

.yx.yxyxi

iii

ii

ii

ii

i ===== =====

Se pide: a) Determinare la recta de tendencia. b) Determinar el valor del coeficiente de correlacin de la muestra. Fundamente su

respuesta. c) Considera adecuado un resumen lineal de la relacin entre el mes y el valor de la

unidad reajustable? Fundamente su respuesta.


55

EJERCICIO 5 Se considera la serie de ingresos netos de una empresa (medidos en miles de dlares).

Trimestre 1995 1996 1997 1998 1999 I 9 10 13 11 14 II 16 15 22 17 18 III 18 18 17 25 25 IV 21 20 24 21 26

Considerando un m

document2

Documents