Ejercicios de integrales definidas y clculo de reas de las PAUIES JUAN DE ARJULA1Ejercicios de integrales definidas y clculo de reas de las PAUrea del recinto limitado por una funcin y el eje de abcisas90 modelo 6 de sobrantes de 2001 - Opcin B. Ejercicio 1.2'5 puntos] Calcula el rea encerrada entre la curva y = x3 -4x y el eje de abscisas (Solucin: 8 u2)117 Modelo 1 de sobrantes de 2004 - Opcin B. Ejercicio 2.Considera la funcin f : denida por f(x) = e x + 4e -x . [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin). [15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grca de f , el eje de abscisas y las rectas x =0 y x = 2. (Solucin: e2+3-4e-2 u2)154 Modelo 3 de sobrantes de 2007 Opcin B Ejercicio 2.Sea f : la funcin denida por f(x)= x(x 3)2 . [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. [05 puntos] Haz un esbozo de la grca de f. [1 punto] Calcula el rea del recinto limitado por la grca de f y el eje de abscisas. (Solucin: 27/4 u2)rea del recinto limitado por dos funciones167 modelo 4 de sobrantes de 2008 - Opcin A Ejercicio 2.Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x3 4x y g(x) = 3x 6[075 puntos] Determina los puntos de corte de las grficas de f y g. (Solucin: x=-3, x=1, x=2)[175 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por dichas grficas. (Solucin: 131/4 u2)164 modelo 2 de Septiembre 2008 - Opcin B Ejercicio 2. Sean f: y g: las funciones definidas por f(x) = x2 1 y g(x) = 2x + 2[05 puntos] Esboza las grficas de f y g.[2 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por dichas grficas. (Solucin: 32/3 u2)161 Modelo 1 Sobrantes 08 - Opcin A Ejercicio 2.[25 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por :y calcula el rea del recinto limitado por las grficas de f y g. (Solucin: 1/12 u2)153 Modelo 3 de sobrantes de 2007 Opcin A Ejercicio 2. Considera las funciones f : y g : denidas por f(x) = e x 1 y g(x) = e 1 x[125 puntos] Esboza las grcas de f y de g y determina su punto de corte. [125 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por el eje OY y las grcas de f y g. (Solucin: -2+e+1/e u2)rea del recinto limitado por una funcin y una recta tangente160 Modelo 6 de sobrantes de 2007 OpcinB Ejercicio 2.Sea f : la funcin definida por f(x) = x2. (a) [075 puntos] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x =1. (b) [175 puntos] Dibuja el recinto limitado por la grfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su rea. (Solucin: 1/12 u2)166 modelo 3 Junio 2008 - Opcin B. Ejercicio 2. Sea f : la funcin definida por f(x) = e -2x(a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuacin y = -2ex es la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = -1/2.(b) [15 puntos] Calcula el rea el recinto limitado por la grfica e f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. (Solucin: e/4-1/2 u2)129 Junio 05-Opcin B. Ejercicio 2. Considera la funcin f : definida por f (x) = e x/2. (a) [075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 0.(b) [175 puntos] Calcula el rea de la regin acotada que est limitada por la grfica de f, la recta de ecuacin x = 2 y la recta tangente obtenida en (a). (Solucin: a) y=-x+1 b) e-2/e u2)162 Modelo 1 Sobrantes 08 - Opcin B Ejercicio 2. Sea g : (0, +) R la funcin dada por g(x) = ln x (ln denota logaritmo neperiano). (a) [075 puntos] Justifica que la recta de ecuacin y = (1/e)x es la recta tangente a la grfica de g en el punto de abscisa x = e. (b) [175 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior. (Solucin: e/2-1 u2)150 Modelo1 de sobrantes de 2007 Sep 07 - Opcin B Ejercicio 2. Sea f: (-1,+ ) la funcin definida por f(x) = Ln(x+1). (Ln denota la funcin logaritmo neperiano).(a) [1 ] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 0.(b) [15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1. (Solucin: 0,1137 u2)rea del recinto limitado por una funcin a trozos132 Modelo 3 de sobrantes de 2005 - Opcin A. Ejercicio 2. Sea f : la funcin definida por f(x) = .(a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha grfica.(b) [15 puntos] Halla el rea de la regin acotada que est limitada por la grfica de f y por el eje de abscisas. (Solucin: 20/3 u2)163 Modelo 2 Septiembre 08 - Opcin A Ejercicio 2. Dada la funcin g: , definida por g(x) = 2x + |x2 - 1|.(a) [1 punto] Esboza la grfica de g. (b) [15 puntos] Calcula (Solucin: 6 u2)157 Modelo 5 de sobrantes de 2007 Opcin A Ejercicio 2. Sea f : la funcin denida por (a) [1 punto] Determina el valor de sabiendo que f es derivable. (b) [05 puntos] Haz un esbozo de la graca de f. (c) [1 punto] Calcula (Solucin: a) =-1 c) 5/2-1/e u2 )149 Modelo1 de sobrantes de 2007 Sep 07 - Opcin A. Ejercicio 2. Sea f: la funcin definida por f(x) = x|x-2|.(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2.(b) [05 puntos] Esboza la grfica de f.(c) [1 punto] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f y el eje de abscisas. (Solucin: 4/3 u2)Funcin integral10 modelo 4 del libro 96_97-Opcin B. Ejercicio 2. La figura siguiente representa la grfica de una funcin f : [0, 7] Sea F : [0, 7] la funcin definida por F(x) = f(t) dt. (1) [1 punto]. Calcula F(4) y F(7). (2) [1'5 puntos] .Dibuja la grfica de F explicando cmo lo haces.(Solucin: F (4) = 4 F (7) = 3)35 modelo 5 de 1997 - Opcin A. Ejercicio 1. Considera la funcin f : definida por f(x) = e x sen(2x)(a) Sea F : la funcin definida por Que dice el teorema fundamental del clculo integral sobre la funcin F?(b) Halla F(p ) (Solucin: 2/5(-e+1))76 modelo 6 de sobrantes de 2000 - Opcin A. Ejercicio 1.[ 2,5 puntos] Sea F: + la funcin definida por F(x) =(2t+) dt.(a) [ 1'5 puntos] Determina F(1).(b) [ 1 p.] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de F en el punto de abscisa x = 1.(Solucin: a) F(1) = 5/3 b) y-5/3 = 3(x-1))96 Modelo 3 (Sept.) de sobrantes de 2002 - Opcin A. Ejercicio 1. Consideremos F(x) = f(t) dt. (a) [1'5 puntos] Si f fuese la funcin cuya grfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta: F(a) = oF' (a) = O F es creciente en (0,a ). (b) [1 punto] Calcula F(1) siendo f(t) = 1/[(t)](Solucin: i) no ii) s iii) s b) F(1) = 2(2 -1) )rea de un recinto dependiente de un parmetro.78 Modelo 1 de 2001 - Opcin A. Ejercicio 1. Se quiere dividir la regin encerrada entre la parbola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual rea mediante la recta y = a. Halla el valor de a (Solucin: a = 3(1/4))127 Junio 04-Opcin B. Ejercicio 2. [2'5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que e! rea de la regin limitada por la curva y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2. (Solucin: b=3)169 modelo 5 de sobrantes de 2008 - Opcin A Ejercicio 2. [25 puntos] Sean f : R R y g : R R las funciones dadas por f(x) = x2 y g(x) = a (con a> 0) Se sabe que el rea del recinto limitado por las grficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a. (Solucin: a = 1) 159 Modelo 6 de sobrantes de 2007 Opcin A Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula > 0 para que el rea del recinto limitado por las grficas de las funciones f : y g : definidas por f(x) = x2 y g(x) = x2 + 22 sea 72 (unidades de rea). (Solucin: = 3 )125 Modelo 5 de sobrantes de 2004 - Opcin B. Ejercicio 2.[25 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el rea del recinto limitado por la parbola de ecuacin y los ejes coordenados es igual a 8. (Solucin: b = 2)105 Modelo 2 de sobrantes de 2003 - Opcin B. Ejercicio 2.En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0; 2] la grfica de la parbola de ecuacin y = x2/4. Halla el valor de m para el que las reas de las superficies rayadas son iguales.Solucin: m = 17/12)OTROS136 Modelo 5 de sobrantes de 2005 - Opcin A. Ejercicio 1.Se sabe que la grfica de la funcin f : definida por f (x)= x3 + ax2+ bx + c es la que aparece en el dibujo. (a) [125 puntos] Determina f . (b) [125 puntos] Calcula el rea de la regin sombreada. (Solucin: 27/4 u2)116 Modelo 1 de sobrantes de 2004 - Opcin B. Ejercicio 1. [25 puntos] Halla una funcin f : tal que su grca pase por el punto M(0,1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x y + 3 = 0 y que f (x) = 3x2. (Solucin: f(x) = x4/4+2x+1)87 modelo 5 de sobrantes de 2001 - Opcin A. Ejercicio 1.Sea f : la funcin definida por f(x) =(a) [ 1'25 puntos] Determina m sabiendo que f es derivable. (b) [ 1'25 puntos] Calcula f(x) dx (Solucin: a) m = -1 b) ln2+7/6)84 Modelo 3 de sobrantes de 2001 - Opcin B. Ejercicio 1. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f : (-1,+ ) definida por f(x) = (a) [ 1 punto] Determina el valor de a sabiendo que f es derivable.(b) [ 1'5 puntos] Calcula f(x) dx (Solucin: a) a = 1 b) 2ln2-5/4)