2.1.1. actividad 1.- establecer la relación entre momento torsional aplicado y desplazamiento...

8/16/2019 2.1.1. Actividad 1.- Establecer La Relación Entre Momento Torsional Aplicado y Desplazamiento Angular en Elementos Circulares.

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Defnición de momentode torsión

El momento de torsión se defnecomo la tendencia a producir uncambio en el movimiento

rotacional.

El momento de torsión se defnecomo la tendencia a producir uncambio en el movimiento

rotacional. Ejemplos:



El momento de torsión sedetermina por tres actores:

La magnitud de la uerza aplicada.La dirección de la uerza aplicada.

La ubicación de la uerza aplicada.

La magnitud de la uerza aplicada.La dirección de la uerza aplicada.

La ubicación de la uerza aplicada.

20 N

Magnitude o orce

40 N

The 40-N force

produces twice thetorque as does the

20-N force.

Each of the 20-N

forces has a differenttorque due to the

direction of force. 20 N

Direction o Force

20 Nθ

θ 20 N

20 N

Ubicación de uerza Las fuerzas más

cercanas al extremo dela llave tienen mayores

momentos de torsión.20 N

20 N



Unidades para el momento detorsión

El momento de torsión es proporcionala la magnitud de F y a la distancia rdesde el eje. or tanto! una órmulatentativa puede ser:

El momento de torsión es proporcionala la magnitud de F y a la distancia r desde el eje. or tanto! una órmulatentativa puede ser:

τ = Fr

τ = Fr Unidades:N⋅m o lb⋅t

" cm

40 N

τ = (40 N)(0.60 m)

= 24.0 N⋅m, cw

τ = 24.0 N⋅m, cw

τ = 24.0 N⋅m, cw



Dirección del momento detorsión

El momento de torsión es unacantidad vectorial #ue tiene tanto

dirección como magnitud.

El momento de torsión es unacantidad vectorial #ue tiene tanto

dirección como magnitud.

$irar el mango de undestornillador en sentido

de las manecillas del reloj yluego en sentido contrario

avanzar% el tornillo primero&acia adentro y luego &acia

auera.



on!ención de signos para elmomento de torsión

or convención! los momentos de torsión en sentidocontrario al de las manecillas del reloj son positivos ylos momentos de torsión en sentido de las manecillas

del reloj son negativos.Momento de

torsión positivo:contra manecillasdel reloj! uera de

la p%gina

mr

cmr

Momento de torsiónnegativo: sentido

manecillas del reloj! &aciala p%gina



El brazo de momento

El brazo de momento de una uerza es ladistancia perpendicular desde la l'nea deacción de una uerza al eje de rotación.

El brazo de momento de una uerza es ladistancia perpendicular desde la l'nea deacción de una uerza al eje de rotación.

F (

F )

F *

r

r r



"lculo de momento de torsiónLea el problema # dibu$e una fgura burda.

E%tienda la l&nea de acción de la uerza.

Dibu$e # eti'uete el brazo de momento.

alcule el brazo de momento si esnecesario.

(pli'ue defnición de momento de torsión:

Lea el problema # dibu$e una fgura burda.E%tienda la l&nea de acción de la uerza.Dibu$e # eti'uete el brazo de momento.

alcule el brazo de momento si esnecesario.(pli'ue defnición de momento de torsión:

τ = Fr τ = Fr omento de torsión = fuerza x

!razo de momento



Ejemplo 1: Una fuerza e !0 N ac"#a en el ex"remo e una lla$e

e 12 cm como %e mue%"ra. Encuen"re el momen"o e "or%&'n.

• E+tienda l'nea de acción! dibuje!

calcule r.

τ = (!0 N)(0.104 m)

= !.1 N m

τ = (!0 N)(0.104 m)

= !.1 N m

r , )2 cm sen*00 + )0.4

cm

r , )2 cm sen*00 + )0.4

cm



l"erna"&$o: Una fuerza e !0 N ac"#a en el ex"remo e una

lla$e e 12 cm como %e mue%"ra. Encuen"re el momen"o e

"or%&'n.

Descomponga la uerza de -/0 encomponentes como se muestra.

0ote de la fgura: r + + 0 y r y , )2 cm

τ = (6*. N)(0.12 m) τ = !.1 N m como an"e%τ = !.1 N m como an"e%

positivo

)2 cm



,esumen

El momento de torsión es el producto deuna uerza # su brazo de momento

defnido como:

El momento de torsión es el producto deuna uerza # su brazo de momento

defnido como:El brazo de momento de una uerza es la distancia

perpendicular desde la l'nea de acción de una uerza al ejede rotación.

El brazo de momento de una uerza es la distancia

perpendicular desde la l'nea de acción de una uerza al ejede rotación.

1a línea de acción de una uerza es una l'nea imaginariade longitud indefnida dibujada a lo largo de la dirección

de la uerza.

1a línea de acción de una uerza es una l'nea imaginariade longitud indefnida dibujada a lo largo de la dirección

de la uerza.

τ = Fr τ = Fr Momento de torsión ,uerza + brazo de momento

Momento de torsión ,uerza + brazo de momento



-orsión de barras circulares



-orsión de barras circulares - n n

L

x dx

-τ τ n

d φ

dx

a b

cdb

c

γ d φ

τ

r

d"

ρ

d ρ

/ección



-orsión de barras circularesDurante la torsión ocurrirá unarotación alrededor del ejelongitudinal, de un extremo de labarra respecto al otro. Porejemplo, si se fija el extremoizquierdo de la barra, entonces el

- n n

L

x dx

-τ τ n

d φ

extremo derecho girará un pequeño ángulo φ con respecto al extremo izquierdo(er figura!. "l ángulo φ se conoce como ángulo de torsión. #demás, una l$nealongitudinal en la superficie de la barra, tal como la l$nea nn, girará un pequeñoángulo a la posición nn# . Debido a esta rotación, un elemento infinitesimal

rectangular sobre la superficie de la barra, tal como el elemento de longitud dx adquiere la forma de un romboide.




dx

a b

cdb

c

γ d φ

"ste elemento (er figura!, donde laporción discoide se separa del restode la barra. %a configuración originaldel elemento se designa por a!cd .Durante la torsión la sección

transersal derecha gira conrespecto a la cara opuesta, & lospuntos ! & c se trasladan a !# & c# ,respectiamente. %as longitudes delos lados del elemento no cambiandurante esta rotación, pero losángulos de las esquinas &a no miden'). #s$, se aprecia que el elementoestá en un estado de cortante puro & lamagnitud de la deformación porcortante γ es igual a la disminución enel ángulo recto en a.




a!

!!+=γ

dx

a b

cdb

c

γ d φ

"sta reducción en el ángulo es*

%a distancia !!# es la longitud deun arco pequeño de radio r subtendido por el ángulo d φ , que es

el ángulo de rotación de unasección transersal con respecto ala otra. De esta manera, sedetermina que !!# =rd φ.




dx

rd φ γ =

dx

a b

cdb

c

γ d φ

#demás, la distancia a! es igual a dx,la longitud del elemento. #l sustituirestas cantidades en la ecuaciónanterior, se obtiene*

como la expresión para la

deformación por cortante.




θ φ

γ r dx

rd ==

dx

a b

cdb

c

γ d φ

%a cantidad d φ dx representa la razónde cambio del ángulo del torsión φ . "ngeneral, tanto φ como dφ d+ sonfunciones de x. +e indicará lacantidad dφ d+ mediante el s$mbolo θ

& se referirá como ángulo de torsiónpor unidad de longitud . #s$,




L

r r

φ θ γ ==

dx

a b

cdb

c

γ d φ

"n el caso especial de torsión purad φ dx es constante en toda la longitudde la barra, &a que cada seccióntransersal esta sometida al mismopar. Por lo tanto, se obtiene θ =φ L,

en donde L es la longitud de la barra,por lo que la ecuación resulta*

para la torsión pura. +e adierte quelas ecuaciones anteriores se basannicamente en conceptosgeom-tricos & son álidas para unabarra circular de cualquier material,tanto elástico como inelástico, lineal

o no lineal.




θ γ τ $r $ ==

"l esfuerzo cortante t en la barra circular tiene los sentidos mostrados enla figura. Para un material linealmente elástico, esos esfuerzos cortantesse relacionan con las deformaciones angulares por medio de la le& de oo/een cortante0 por lo tanto, se obtiene que*

donde $ es el módulo de elasticidad en cortante.




ρθ τ ρθ γ $==

%as deformaciones & esfuerzos en el interior de la barra puedendeterminarse en forma similar a la empleada por un elemento en lasuperficie de la misma. 1n elemento interior tambi-n se encuentra en unestado de cortante puro con su deformación angular & su esfuerzo cortantecorrespondiente representado por las ecuaciones siguientes*

"stas ecuaciones establecen que la deformación angular & el esfuerzocortante en una barra circular ar$an linealmente con la distancia radial ρ

desde el centro, & tienen alores máximos para un elemento de la superficieexterna.




%a distribución de esfuerzos sobre la sección transersal se puede apreciaren la siguiente figura mediante el diagrama de esfuerzos triangular.

τ

r d"

ρ

d ρ

+ección transersal




p$% T =θ

"n una barra circular el ángulo de torsión θ se calcula como*

"n donde*θ * denota el ángulo de torsiónT * denota el momento torsionante$* denota al módulo de elasticidad en cortante % p* denota el momento polar de inercia




22

44

d r % p π π ==

Para secciones transersales circulares el momento polar de inercia secalcula como*

"n donde*r * denota el radiod * denota el diámetroπ * 2.3435




p$% T =θ

"n la ecuación de abajo a $% p se le conoce como rigidez torsional total de labarra .




p$% TL=φ

"l ángulo de torsión φ es*

"l ángulo de torsión φ se mide en radianes. "n el +6 se expresa en 78m.%a cantidad $%

p

&L se le conoce como rigidez torsional unitaria de la barra.




p %

Tr =maxτ

"l esfuerzo cortante máximo tmax en una barra circular sometida a torsiónpuede determinarse al sustituir la expresión para #. Por lo tanto*

"n donde*

T * denota el momento torsionanter * denota el radio % p* es el momento polar de inercia

9órmula de torsión




max

162

d

T

r

T

π π τ ==

( ) ( )4444max 162d '

T'r (

T(−

=−

=π π

τ

+ustitu&endo en la ecuación % p se obtiene

E$e macizo

E$e 1ueco



En muc1as aplicaciones pr"cticas los "rboles se utilizan para transmitirpotencia. De la Din"mica se sabe 'ue la potencia ) transmitida por unpar constante T 'ue gira a !elocidad a !elocidad angular constante ω est" dada por:

f T )

óT )

π

ω

2=

=

Donde:

) : 3otencia transmitida

T : 3ar de torsión

ω: elocidad angular 5medida en radianes por unidad de tiempo6

f : recuencia

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