2.10 las aplicaciones de los logarítmos

8/3/2019 2.10 Las aplicaciones de los logartmos

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2.10 Las aplicaciones de los logaritmos

Examinamos anteriormente la frmula que relacionaba la cantidadde dinero y tiempo invertido a una tasa de inters anual del 6% calculadomensualmente. Debido a que el clculo ocurre cada mes, la tasa de inters

mensual es 0.0612

= 0.005. Si comenzamos con $100, la frmula se vuelve

y = 100(1 + 0.005)x = 100(1.005)x

dondey es la cantidad total de dinero yx es la cantidad de meses que los$100 son invertidos.

En el intento de encontrar cunto tiempo le tom al dineroduplicarse y desarrollar una frmula simple basada en la duplicacin, fuenecesario encontrar el perodo de duplicacin usando una grfica.

Seleccionar puntos nos permiti obtener un perodo de duplicacinde 139, lo cual es una aproximacin muy buena. Sin embargo, siquisiramos ahora encontrar cunto tiempo le tomara al dinero duplicarseal 9% anual calculado mensualmente, o, 10% por ao calculadomensualmente, querra decir que cada vez tendramos que dibujar unagrfica nueva. Los logaritmos nos permiten resolver este problema muchoms fcilmente.

Si se fuera a duplicar la cantidad de dinero, entonces, la cantidadser $200, porque comenzamos con $100. Por consiguiente, lo quetenemos que hacer es resolver la ecuacin 200 = 100(1.005)x. Si dividimosambos lados de la ecuacin por 100, obtenemos 2 = (1.005)x. Estamostratando de resolver parax, pero, el problema es que la variablex es un

exponente.Afortunadamente, la tercera propiedad de los logaritmos (log an = n

log a, a > 0) trata con las potencias. sta nos permite cambiar unapotencia en el producto de un nmero y un logaritmo. Esta tcnica haceque todo sea ms accesible para nosotros. Por consiguiente, tiene sentidoque tengamos que introducir los logaritmos para la solucin de laecuacin, 2 = (1.005)x.

Logros del

aprendizaje

Despus de estudiaresta seccin, podrs:

Usar los logaritmospara resolver lasecuacionesexponenciales

Demostrarcomprensin de laaplicacin de loslogaritmos cuando semiden los terremotos,la intensidad del

sonido y la acidezAplicar la Regla del 72para emitir juicio sobrelas tasas de inters.


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Tomemos el logaritmo de cada lado de la ecuacin, porque,sabemos que el logaritmo de una potencia es igual al exponentemultiplicado por el log de la base. Tomando el logaritmo de cada lado dela ecuacin obtenemos

log [2] = log [(1.005)x]

lo cul es

log 2 =x log (1.005)

Resolviendo parax tenemos

x = log2log(1.005)

0.301030.00217

138.7235

Esta contestacin no es exacta, pero, es precisa a 4 espaciosdecimales. Si necesitramos mayor precisin, usaramos la calculadorapara establecer ms espacios decimales.

Sera igualmente fcil encontrar cunto tiempo le toma al dineroaumentar por un factor de 10. Ahora la cantidad original habra aumentadoa $1,000. En este caso, necesitamos resolver la ecuacin 1000 =100(1.005)x. Si dividimos ambos lados de la ecuacin por 100, obtenemos10 = (1.005)x. Tomando el logaritmo de cada lado de la ecuacin, tenemos

log [10] = log [(1.005)x]

lo cual se convierte en

log 10 =x log (1.005)

Resolviendo parax produce

x =log10

log(1.05) =1

0.00217 = 460.8295 meses

lo cual es cerca de 38 aos.

Usa logaritmos y la frmula de inters compuestoy =y0(1 + i)n para

establecer cunto tiempo le tomar al dinero duplicarse si el mismoes calculado anualmente a cada una de las siguientes tasas deinters anual:

(a) 4% (b) 10% (c) 8% (d) 9% (e) 12%

Este enfoque general puede ser usado para resolver las ecuacionesexponenciales de todo tipo y es una de las razones por las cuales los

logaritmos son tan tiles.Una de las reglas ms fciles y tiles para estimar cunto tiempo le

toma al dinero duplicarse se le conoce como la Regla del 72.


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Regla del 72. Si t quieres conocer cunto tiempo le toma al dineroduplicarse, invertido a, digamos al 6% anual, divide la tasa de inters enpor ciento por 72 y tendrs una respuesta aproximada. De manera que el6% de inters anual calculado anualmente, el dinero se debe duplicar encerca de 72

6= 12 aos. Esto es bastante cercano al valor calculado con

precisin delog2

log(1.06)= 0.3010

0.0253= 11.9 aos

1. Usa la Regla del 72 para hacer un estimado de cunto

tiempo le tomar al dinero duplicarse a las tasas de inters

de 8%, 9%, y 12% anual calculado anualmente.

2. Comparado a las respuestas que obtuviste anteriormente,

cun precisa es la Regla del 72?

3. Por qu funciona tan bien?

En el mundo hay muchos fenmenos que varan sobre mbitosenormes. Un ejemplo son los terremotos. Cada da ocurren muchosterremotos alrededor del mundo, y an, no escuchamos nada sobre ellos.Sin embargo, de vez en cuando, un terremoto fuerte ocasiona muchasmuertes y destruccin masiva, debido a que es mucho ms fuerte que losms dbiles que ocurren frecuentemente.

Recordars que la palabra logaritmo viene de la raz griega logos, quesignifica proporcin y arithmos, que significa nmero. Muchasescalas logartmicas estn basadas en proporciones numricas.

La escala que ha sido desarrollada para medir los terremotos se le

conoce como la escala Richter que lleva el nombre del sismlogoamericano Charles Richter (1900-1985). La fuerza de un terremoto medidapor la escala Richter est dada por la expresinR = log

0

E

IdondeEes la

intensidad de las vibraciones del terremoto medido yI0 es la intensidad dela unidad de un terremoto estndar. Esta unidad estndar es medida por uninstrumento conocido como un sismgrafo, el cual detecta las vibracionesen la corteza terrestre. En efecto, la escala Richter es una medidacomparativa, ms que una medida absoluta.

El da 14 de mayo de 1995, a las 18:28:25, el Servicio deInformacin Nacional de Terremotos de los Estados Unidos inform un

terremoto en el sur de California que midi 3.0 en la escala Richter, pero,pocas personas se dieron cuentade esto.


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Anteriormente, ese mismo ao, el da 17 de enero de 1995, un terremotoen Kobe, Japn, ocasion sobre 2000 muertos y billones de dlares endaos. ste midi 7.2 en la escala Richter. Cun ms severo fue elterremoto de Kobe, que el del sur de California?

De acuerdo a la definicin de la escala Richter

3.0 = log0

ECalifornia

I

! "# $# $% &

y

7.2 = log0

EKobe

I

! "# $# $% &

Escribiendo nuevamente estas ecuaciones usando la propiedad de los logs

que dice log ab

! "# $% &

= log a log b, ahora tenemos dos ecuaciones nuevas

3.0 = logECalifornia logI0

y

7.2 = logEKobe logI0

Cuando restamos las dos ecuaciones tenemos

7.2 3.0 = logEKobe logI0 (logECalifornia logI0)

4.2 = logEKobe logI0 logECalifornia + logI0

4.2 = logEKobe logECalifornia

Usando ahora la misma propiedad de los logaritmos inversamente,4.2 = log

E

E

Kobe

California

! "# $# $% &

Por lo tanto,E

E

Kobe

California= 104.2

Usa tu calculadora para confirmar que 104.2 = 15,849. De hecho,

EKobe = 15,849 ECalifornia

El terremoto de Kobe tuvo una intensidad de 15,849 veces mayorque el terremoto de California. Esta es la razn por la cual el terremoto deKobe estuvo en las noticias nacionales!

Debido a que la escala Richter es una escala logartmica, las diferenciaspequeas en los valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se traducen en diferenciasenormes en la intensidad de los terremotos.

Otras dos escalas logartmicas usadas comnmente son la escala dedecibelio y la escalapH.


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La escala de decibelioD = 10 logR

I

IdondeIes la intensidad de la

cantidad siendo medida,IR es la intensidad del valor de referencia, yD esla cantidad de decibelios.

Encuentra la medida de los decibelios y por qu es una medida

ms importante hoy en da de lo que era hace muchos aos.Escribe un prrafo explicando tus conclusiones.

La escala pH,pH= log [H] donde [H] denota la concentracin de ionesde hidrgeno.

Encuentra la medida del pH, y por qu sta es una medida ms

importante hoy en da de lo que hubiera sido en el pasado.

Nombra, por lo menos, dos situaciones es las cules se utiliza

esta escala.

REFLEXIONA

Este captulo ha repasado algo de tu trabajo anterior con los exponentes yte introdujo a los tpicos nuevos de crecimiento, declive y las funcioneslogartmicas. Estas ideas nuevas tienen muchas aplicaciones en la cienciay en el mundo que nos rodea. El inters compuesto, el crecimiento de loscultivos de bacterias, la descomposicin radioactiva, la medicin de losterremotos, la intensidad del sonido y el pH, todos dependen de lacomprensin de las funciones de crecimiento, las funciones de declive ylos logaritmos. Aprendiste tambin, distintas maneras en las cules sepueden usar los logaritmos para el anlisis de los datos experimentales.

Conjunto de ejercicios: 2.10

1. (a) Resuelve la ecuacin 2x = 3 usando logaritmos, y usando lacalculadora.

Podras usar un mtodo de adivinar y de cotejo o lascaractersticas de las tablas. Necesitas obtener una respuestaprecisa a cuatro espacios decimales.

(b) De estos tres mtodos, cul t crees que es ms fcil? Explica.

(c) Si el problema requiriera 8 dgitos de precisin, hara esto msdifcil la solucin de la ecuacin con logaritmos? Qu tal losotros mtodos?


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2. Resuelve cada una de las siguientes parax:

(a) 2x 1 = 5 (b) e2x = 3 (c) 3e1x= 7 (d) 5(3x + 2) 1 = 14

3. El texto de abajo nos provee la poblacin estimada para el ao 2005 yel ritmo de crecimiento anual para tres pases diferentes.

Australia 20,090,437 1.3%Chile 15,980,912 1.0%

Camern 16,380,005 1.9%

Aprendiste anteriormente que un aumento continuo de los fenmenospuede ser modelado por la frmula de crecimiento exponencialy =y0e

ktdondey0 es la cantidad inicial (en este caso la poblacin), tsonlos aos de crecimiento y kes el ritmo de crecimiento. Asumiendoque las tendencias actuales continen, predice cundo las poblacionesde Camern y Australia sern iguales.

4. La escala Richter es usada para medir la magnitud de un terremoto,usando la frmulaR = log

0

E

I

! "# $# $% &

dondeEes la intensidad de un

terremoto siendo medido yI0 es la intensidad de una unidad estndarde terremoto. Si llamamosI0 1 unidad, entonces, la frmula se reduceaR = logE.

(a) Escribe esta frmula de forma exponencial.

(b) El terremoto de San Francisco en el ao 1989, registr unamagnitud de 6.9 en la escala Richter. El nmero de vctimasfatales fue de 62. En el ao 1906, en esta misma ciudad, ocurriun terremoto que midi 8.3 en la escala Richter. La cantidad devctimas fatales fue de 503. Calcula cun ms poderoso (intenso)fue el terremoto del ao 1906, que el del ao 1989.

(c) En el ao 2003, hubo un terremoto en el sur de Irn que registr6.6 en la escala Richter. El nmero de vctimas fatales fue unacifra trgica de 31,000. Cun menos poderoso fue esteterremoto que el de San Francisco en el ao 1989? Por qu tcrees que la cantidad de vctimas fatales fue mucho ms alta?Qu factores podran haber contribuido a la enorme diferenciaen fatalidades?

(d) Supn que un terremoto en la ciudad de Los Angeles es la mitad

de poderoso que el terremoto del ao 2005 en Indonesia, el culmidi 8.7 en la escala Richter. Cul hubiera sido la medida delterremoto de Los Angeles en la escala Richter?


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5. La acidez del agua se mide con una unidad conocida como pH.Mientras mayor es el pH, menor es la acidez. Mientras menor es elpH, mayor es la acidez. El pH ideal para una piscina es 7.6. Si sube a7.8, se le debe aadir un qumico para bajar el pH. Si baja tanto comoa 6.8, entonces, se requiere echarle un qumico para subirlo.

(a) Escribe la frmula pH = log[H] en forma exponencial.(b) Si el pH del agua es 7.0 (neutral), entonces, cul es la

concentracin de iones de hidrgeno en el agua?

(c) Cul es el pH de una muestra de lluvia cida que tiene unaconcentracin de iones de hidrgeno de 3 105?

(d) Si el pH es 7.6, entonces, cul es la concentracin de iones dehidrgeno?

(e) Si el pH es 6.8, entonces, cul es la concentracin de iones dehidrgeno?

(f) Cunto ms cida es el agua con un pH = 6.8, que el agua conun pH = 7.6?

(g) Si la acidez ideal para el terreno donde se cosechan papas es de5 108, cul es el pH del terreno?

(h) Si la acidez del agua salada (concentracin de iones dehidrgeno) es aproximadamente 109, entonces, cul es el pH?Quiere decir esto que el agua es cida o no?

(i) Explica por qu es mucho ms fcil trabajar con el pH que conlos nmeros que son tpicamente usados para medir laconcentracin de iones de hidrgeno.

6. Un da t llegas a la escuela para encontrar que la clase de natacinha sido cancelada ese da, porque el agua de la piscina no tienebalance qumico. La lectura de pH es 7.2.

(a) Cuntas veces es esto ms cido que lo ideal?

(b) Por qu razn no querras nadar en una piscina donde el aguaes tan cida?

7. Mientras los nios envejecen, el ritmo de crecimiento se reduce.

(a) Cundo los nios crecen ms rpidamente? Cundo crecen

ms lentamente?(b) Explica por qu el comportamiento de la funcin logartmica

hace posible que se pueda modelar el crecimiento de loshumanos.

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8. Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en los niosentre las edades de 2-16 aos puede ser aproximado por medio de lafuncinP= 18.6 ln(A) + 37.1 dondePes el por ciento de la estaturade un adulto yA es la edad del nio en aos.

(a) Haz una grfica de esta funcin.

(b) Qu por ciento de su estatura de adulto tendr un nio a la edadde 5 aos?

(c) Qu por ciento de su estatura de adulto tendr un nio a la edadde 12 aos?

(d) Si un nio tiene una estatura de 36 pulgadas cuando tiene 2aos, cun alta podramos esperar que fuera su estatura al llegara la adultez?

(e) Qu factores ocasionaran que este modelo de crecimientohumano sea impreciso?

9. Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en las niasentre las edades de 5-15 aos puede ser aproximado por la funcinP= 31.11 ln(A) + 16.27 dondePes el por ciento de la estatura de unadulto yA es la edad de la nia en aos.

(a) Haz una grfica de esta funcin.

(b) Por qu sera esta frmula diferente a la frmula usada para losnios?

(c) Qu por ciento de su estatura de adulta tendr una nia a laedad de 7 aos?

(d) Qu por ciento de su estatura de adulta tendr una nia a laedad de 10 aos?

(e) Si una nia tiene una estatura de 56 pulgadas cuando tiene 7aos, cun alta podramos esperar que fuera su estatura al llegara la adultez?

10. La intensidad del sonido es medida en la escala de decibelio (dB). Laclasificacin en decibelios para un sonido est dada porD = 10 log

R

I

I

! "# $# $% &

dondeIes la intensidad del sonido en Vatios/cm2 yIR es la

intensidad ms baja de un sonido que puede ser escuchado por los

humanos. El valor deIRes

16

2

10 Vatios

cm

!

(a) Escribe esta frmula en su forma exponencial.


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(b) Completa la siguiente grfica.

Sonido (I)

R

I

I

! "# $# $% &

dB = 10 logR

I

I

! "# $# $% &

Apenas audible

Murmullo suaveConversacin

Trfico pesado

Estreo a alto volumen

Tren subterrneo

Bocina de automvil

Aeroplano

Dolor de odos

11. Usa la ecuacinD = 10 logR

I

I

! "# $# $% &

donde IR=16

2

10 Vat ios

cm

!

para calcular

la clasificacin en decibelios de los sonidos para contestar cada unade las siguientes:

(a) Cun ms alto es un sonido de 60 dB que un sonido de 40 dB?

(b) Cun ms alto es un sonido de 75 dB que un sonido de 70 dB?

(c) El comit de seguridad de la escuela requiere que la intensidadde sonido en el gimnasio durante la clase de baile no exceda los80 dB. Cuando comienza el baile, el sonido es medido

utilizando un metro para el nivel del sonido a 90 dB. Losestudiantes a cargo de la clase no piensan que esto representauna gran diferencia en la intensidad del sonido. Cuntas vecesest ms alta la msica de lo que debera estar? Estjustificado el profesor a cargo de la clase al pedirle al DJ quebaje el volumen de la msica?

(d) En un concierto de rock el nivel de sonido da una medida de110 dB. Cun ms alto es esto que el nivel permitido en elbaile (80 dB)?

(e) La Ley de Salud y Seguridad Ocupacional (OSHA, por sus

siglas en ingls) declara que la exposicin continua a niveles desonido de 90 dB y ms altos pueden llevar a la prdida de laaudicin. Cun alto t tocas tu equipo de msicaestereofnica? Si el nivel de tu equipo de msica es 88 dB y losubes a 91 dB, cun ms intenso es el sonido?

(f) Por qu el personal de tierra en un aeropuerto usa proteccinen los odos?


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12. La poblacin mundial para varios aos est dada en la tabla de abajo.

1650 550 (millones)

1750 725

1850 1175

1900 1600

1950 2564

1980 4478

2000 6085

(a) Dibuja una grfica para representar estos datos. Qu tipo defuncin aparenta ser esta grfica?

(b) Estos datos pueden ser aproximados por la funcinP= 0.0085e0.0065x, dondePes la poblacin yx es el ao. Hazuna grfica de esta funcin. Aparenta esta grfica tener lamisma forma general que los datos?

(c) Usa la funcin para hacer un estimado de la poblacin en el ao1965.

(d) sala para hacer un estimado de la poblacin en el ao 2010.

(e) Cul de estos estimados es ms probable que sea fiable? Porqu?

(f) Qu significan los trminos interpolary extrapolar?

(g) En la parte (c), estabas extrapolando o interpolando? Por qu?

Cul es el ms arriesgado de los dos?(h) Qu suposiciones hacen que los modelos de poblacin

matemtica sean tan inciertos?

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