2.1 introducción - acervos digitales...

Filtros

-Acondicionamiento de MFilters- 6

2.1 Introducción

Cualquier elemento llamado filtro es el que está encargado de separar

componentes que se encuentran mezclados; si nos remontamos al griego antiguo

encontramos que filtro proviene de la palabra filtrum, que significa material encargado de

separar algo. Debe de ser capaz de rechazar los componentes indeseables y darnos como

resultado únicamente los componentes deseados.

Un filtro mecánico muy sencillo con el cual todos estamos familiarizados es el

papel utilizado para filtrar el café. El propósito de este filtro es separar todos los granos

de café del agua y vertir esta a un recipiente pero ya convertida como café líquido. El

mecanismo operativo de este sencillo ejemplo es el que a continuación se describe: El

filtro está hecho de un tipo muy especial de papel el cual no se disuelve cuando se le

vierte el agua hirviendo. El papel contiene muchos poros los cuales son microscópicos,

por estos hoyos el agua puede ir penetrando pero los granos no, ya que son demasiado

grandes para caber en los poros; como resultado obtenemos al final el aromático café sin

granos, y; los que no son deseados, se quedan atrapados en el papel.[9] Esencialmente esa

es la función principal de un filtro la cual ocupamos diariamente y en muchas ocasiones

sin siquiera percatarnos de ello. Producto de lo aprendido en mi querida Universidad y en

mi carrera profesional en específico, en esta tesis unicamente serán tratados los temas

relacionados a FILTROS ELECTRÓNICOS.

Filtros


2.2 Filtros Electrónicos

Los filtros electrónicos fueron introducidos simultaneamente en 1915 en Estados

Unidos por Campbell y en Alemania por Wagner. Los filtros eran realizados con

resistencias, capacitores e inductores, de esta manera los cálculos se volvían muy

laboriosos. En contrapartida la ventaja de los filtros que utilizaban los elementos

previamente mencionados, es que tenían una muy baja sensitividad. Esto quiere decir que

cuando el valor real de cada elemento es diferente al valor ideal, lo cual sucede muy

frecuentemente, el cambio entre la respuesta esperada del filtro y su respuesta real es muy

similar, lo cual lo aproxima mucho a la respuesta esperada para el filtro.

En 1955 los investigadores R. P. Sallen y E. L. Key descubrieron una forma más

sencilla de diseñar los filtros usando resistencias, capacitores y amplificadores

operacionales. Al sustituir el elemento inductivo por el amplificador operacional los

cálculos matemáticos para implementar dichos filtros se tornaron mucho más sencillos,

aunque una desventaja que presentan es que el valor de la sensitividad es mucho mayor.

Estos filtros son conocidos como Sallen-Key, en honor a sus inventores.

La ciencia y la tecnología mientras más van avanzando han sido capaces de

mejorar los filtros con inventos como los transistores; el diseño de filtros con más etapas;

o con el invento del amplificador operacional que funciona de modo de corriente. Los

cálculos ya son mucho más sencillos y accesibles, ya que todos estos ya son simulados

por software.[1]

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2.3 Frecuencia

La característica del filtro electrónico es que deja pasar algunas frecuencias las

cuales son deseadas y rechaza todas las demás frecuencias que no se requieren. Las

señales eléctricas pueden ser tanto de corriente directa (cd) como de corriente alterna

(ca). El valor de la señal de la corriente directa permanece constante a lo largo del

tiempo, como el voltaje que obtenemos de una pila. El valor de la señal de corriente

alterna va variando con el tiempo, es decir va oscilando. Este valor puede ir oscilando

entre valores positivos y negativos, como el voltaje que obtenemos en un enchufe de luz,

en una casa convencional. Este se comporta de una forma senoidal (el cual es el patrón

más simple de oscilación). “Si la oscilación de la señal se repite en forma continua

(independientemente de la forma de la repetición), a la onda se le llama periódica.”[4]

La repetición de la onda en el tiempo se le llama ciclo. Un ciclo tiene un tiempo

de duración específico. Esta repetición del ciclo es la frecuencia de la señal. La

frecuencia se mide en número de ciclos que ocurren en un segundo. La frecuencia se

mide en Hertz (Hz) y es denotada por la letra f. La duración de un solo ciclo de la señal

se llama periodo denotado por la letra T. La frecuencia se puede obtener mediante a la

siguiente ecuación:[9]

f =1T

(1)

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En la figura 2-1 se ilustran dos señales las cuales tienen la misma amplitud pero

diferente frecuencia. La segunda señal tiene una frecuencia 2 veces mayor a la de la

primera señal.

Figura 2-1 Representación de dos frecuencias diferentes

Para obtener la frecuencia angular, la cual es abarcada en 2π radianes, se tiene que

multiplicar la frecuencia por 2π y la ecuación queda de la siguiente manera:

ω = 2πf =2πT

(2)

2.4 Fase

En la figura 2-2 se ilustran dos señales aparentemente iguales. Estas señales

tienen la misma amplitud y frecuencia pero no pueden ser idénticas, ya que tienen

diferente valor instantáneo. Las ecuaciones de estas dos señales difieren en su ángulo de

fase, el cual indica que las ondas están separadas entre sí en el tiempo. [4]

Figura 2-2 Dos señales con igual amplitud y frecuencia pero diferente fase

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2.5 Comportamiento de Elementos Pasivos

Los elementos pasivos son las resistencias, capacitores e inductores los cuales se

comportan de manera distinta dependiendo del valor de la frecuencia. Las resistencias

pueden estar elaboradas de carbón, grafito, porcelana etc… además tienen la

característica de atenuar un voltaje dependiendo del valor de dicha resistencia. Esta

atenuación que da la resistencia no depende del valor de la frecuencia a la que se este

trabajando, trabaja de la misma manera a cualquier frecuencia. Un capacitor se compone

de 2 conductores separados por un dieléctrico, el cual maneja campos eléctricos, a bajas

frecuencias se comporta como un circuito abierto; a altas frecuencias se comporta como

un corto circuito. Por último el inductor se compone de una bobina que maneja campos

magnéticos, y se comporta inversamente a un capacitor, con frecuencias bajas este

funciona como corto circuito y a altas frecuencias como circuito abierto.

2.6 Tipo de Filtros

Los tipos básicos de filtros son 4 los cuales se pueden diseñar en el programa

MFilters. Los filtros son: PASA BAJAS, PASA ALTAS, PASA BANDA Y RECHAZA

BANDA, los cuales se explicarán brevemente a continuación. Esta variedad de filtros se

debe a que son requeridos para aplicaciones diferentes las cuales deben ser seleccionadas

por el usuario el cual deberá de establecer sus parámetros de diseño. Existe otro tipo de

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filtros como son el pasa todo y rechaza todo, los cuales no me detengo a explicar por su

sencillez operativa.

2.6.1 Filtro Pasa Bajas

Un filtro pasa bajas deja pasar las frecuencias que van desde una señal de directa

(f = 0) hasta una frecuencia de corte determinada (Fc). Después de la frecuencia de corte

todas las frecuencias siguientes serán rechazadas. El comportamiento de un filtro pasa

bajas ideal se ilustra en la figura 2-3. Donde se puede apreciar que existe una banda de

paso y una banda de rechazo. Esta gráfica muestra una frecuencia de corte ideal, corta

exactamente donde la frecuencia de corte es deseada.

Figura 2-3 Filtro pasa bajas ideal

La forma en que se implementa dicho filtro es en base al circuito que se muestra en la

figura 2-4.

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Figura 2-4 Implementación de un filtro pasa bajas

2.6.2 Filtro Pasa Altas

El filtro pasa altas trabaja de manera inversa al filtro pasa bajas previamente

mencionado. Las frecuencias que van desde cero (corriente directa) hasta una frecuencia

de corte son rechazadas. De ahí en adelante todas las frecuencias siguientes se dejan

pasar. Como se ilustra en la figura 2-5.

Figura 2-5 Filtro pasa altas ideal

La forma en que se implementa dicho circuito para hacer el filtro pasa altas se muestra en

la figura 2-6.

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Figura 2-6 Implementación de un filtro pasa altas

2.6.3 Filtro Pasa Banda

El filtro pasa banda no deja pasar frecuencias bajas que van desde una frecuencia

con valor de 0 (corriente directa) hasta una frecuencia de corte. El filtro consta de dos

frecuencias de corte las cuales se designan como Fl y Fh por las palabras en inglés low y

high (bajo y alto). La frecuencia de corte low la dejará pasar y así sucesivamente todas

las frecuencias hasta llegar a la siguiente frecuencia de corte. Después de la segunda

frecuencia de corte rechazará todas las frecuencias siguientes. Esta gráfica se muestra en

la figura 2-7, este tipo de filtrado es utilizado en radios y celulares.

Figura 2-7 Filtro pasa banda ideal

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Este tipo de filtrado se puede llevar a la práctica con la realización del siguiente circuito,

que se muestra en la figura 2-8.

Figura 2-8 Implementación de un filtro pasa banda

2.6.4 Filtro Rechaza Banda

Los filtros rechaza banda deja pasar desde una frecuencia de cero, que sería una

señal de corriente directa hasta una frecuencia de corte. Estos filtros al igual que los pasa

banda tienen dos frecuencias de corte. Después de la primer frecuencia de corte no dejan

pasar las frecuencias siguientes hasta llegar a la segunda frecuencia de corte. Después de

la segunda frecuencia de corte dejan pasar todas las frecuencias siguientes. Este filtro se

ilustra en la figura 2-9. La forma en que se implementa dicho circuito en el laboratorio es

como se muestra en la figura 2-10.

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Figura 2-9 Filtro rechaza banda ideal

Figura 2-10 Implementación de un filtro rechaza banda

2.7 Filtros Pasivos

Los filtros pasivos son realizados únicamente con elementos pasivos como son las

resistencias, capacitores y algunas veces se utilizan los inductores. Este tipo de filtros no

pueden lograr ninguna amplificación y los cálculos de diseño resultan muy difíciles. Una

ventaja representativa de estos filtros es que presentan una sensitividad baja.

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2.8 Filtros Activos

Los filtros activos se construyen utilizando elementos activos como los

transistores, amplificadores operacionales, circuitos integrados etc... Esto significa que

presentan una etapa de amplificación. Todo este tipo de filtros requiere de una fuente, las

ventajas que presentan es que los cálculos matemáticos son más fáciles de llevarse a

cabo, ya que el elemento inductivo queda eliminado. Esta es una gran ventaja por que

normalmente es el más difícil de implementar. Como desventaja estos filtros presentan

una alta sensitividad.

2.9 Factor “Q”

Una especificación muy necesaria cuando se están diseñando filtros,

especialmente pasa banda o rechaza banda, es el valor de “Q,” también conocido como el

factor de calidad. Este valor esta dado para cualquier capacitor, inductor o algún circuito.

Si el valor de “Q” es alto significa que habrán pocas pérdidas y una gran eficiencia para

el circuito o el componente. En sentido inverso utilizando una “Q” pequeña indica que

hay muchas pérdidas y poca eficiencia. El valor de “Q” para un circuito puede ser

calculado por la siguiente ecuación:

Q =FcBW

(3)

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De la ecuación 3 se puede ver claramente que mientras mayor es el ancho de

banda, en sentido opuesto la “Q” disminuye. Sí se esta utilizando un filtro pasa banda del

cual se quiera obtener un ancho de banda pequeño se debe de buscar utilizar una “Q”

pequeña.

2.10 Sensitividad

Al momento de armar un circuito en el laboratorio, se espera que no trabaje de

forma ideal, pero se busca hacer la mejor aproximación posible al comportamiento ideal.

Los elementos electrónicos tienen una cierta tolerancia, es decir no tienen su valor ideal

pero se encuentran próximos a el. Esto crea fallas en el comportamiento del circuito, a

mayor fallas la sensitividad es mayor y entre menos fallas existan habrá una sensitividad

menor como en los elementos pasivos. Para conocer los cambios de comportamiento de

un circuito es necesario hacer un análisis de sensitividad que se realiza con la siguiente

fórmula:[1]

∆FF

= SxF ∆x

x (4)

2.11 Filtro Ideal contra Filtro Real

Todas las gráficas de los filtros previamente ilustradas fueron mostradas en la

forma ideal como se espera que el circuito trabaje. Esto consiste en que las frecuencias

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que deben de ser rechazadas son completamente rechazadas y las frecuencias que son

deseadas se dejan pasar. El caso ideal se puede considerar perfecto pero este no existe en

la práctica. Realmente un filtro jamás se va a comportar de una manera ideal debido a que

violaría algunos principios físicos como la causalidad.

Esta forma real consiste, en un caso pasa bajas como se muestra en la figura 2-11,

que el filtro después de la frecuencia de corte siga dejando pasar las frecuencias

siguientes que no son deseadas. También podría darse en un filtro pasa altas que después

de la frecuencia de corte no deje pasar las frecuencias deseadas.

Figura 2-11 a) Filtro pasa bajas ideal b) Filtro pasa bajas real

Puede presentarse el caso de que en la banda de rechazo existan rizos. Debido a

estas características de los filtros reales se han inventado muchas aproximaciones las

cuales intentan aproximarse al caso ideal como la aproximación Butterworth, Chebyshev,

Chebyshev inversa, Elíptico, Thomson Bessel, filtros digitales, los cuales serán

explicados a continuación. Existen otros tipos de aproximaciones de filtros como son los

filtros Notch, peine, filtros controlados por voltaje, etc...

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2.12 Aproximación Butterworth

Hoy en día la aproximación Butterworth es una de las mas usadas, ya que tiene

mucha similitud con la ideal. En este tipo de aproximación en la banda de paso la

magnitud se comporta de una forma plana dejando pasar las frecuencias. Antes de llegar

a la frecuencia de corte la magnitud empieza a disminuir. La magnitud se va

decrementando lentamente, aún cuando esta ya pasó la frecuencia de corte. Este tipo de

aproximación funciona muy bien en la banda de paso pero en la banda de rechazo tiene

una caída lenta, es decir no tiene buen corte. En la figura 2-12 se muestra la forma en

que se comporta la aproximación Butterworth para un filtro pasa bajas.

Figura 2-12 Aproximación Butterworth

Para poder realizar esta aproximación se debe usar una magnitud que se comporte

de una forma plana para ω=0. Para lograr la atenuación los ceros deben de ser colocados

en el infinito. El numerador de N(jω)2 será constante y los coeficientes bi=0. La

magnitud esta dada por la siguiente ecuación:

N(jω)2 = H2/(1+aNω2n) (5)

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A esta ecuación se le conoce como función de Butterworth, la cual tiene diversas

propiedades. Para frecuencias de ω entre 0 y 1, se le conoce como banda de paso. Con

una ω mayor a 1 es la banda de rechazo. Cuando ω=1 la pendiente es proporcional a

–n/2.Los polos de una función N(s) de la aproximación Butterworth se obtienen por

medio de las siguientes ecuaciones:

para n par: s=(-1)1/2n /n√ε =e jπk/2n / n√ε (k= 1,3,5,7,…, 4n-1) (6)

para n impar: s =1

12n

εn=

ejπk

2n

εn (k= 0, 2, 4, 6,…, 4n-2) (7)

Los polos se encuentran equidistantes como se muestra en la figura 2-13.

Figura 2-13 Polos de la aproximación Butterworth

Estos polos tienen una distancia entre ellos de π/n. [1]

2.13 Aproximación Chebyshev

En la aproximación Chebyshev se tiene que en la banda de paso existen rizos. Lo

cual genera que el valor de la magnitud este oscilando. Estas oscilaciones se mantienen

hasta llegar a un frecuencia de corte, como se puede ver en la figura 2-14. La magnitud

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empieza a decrementar hasta no dejar pasar mas frecuencias, conocida como banda de

rechazo.

Figura 2-14 Aproximación Chebyshev

Usando un polinomio de Chebyshev se obtiene una función cuya magnitud tiene

rizo en su banda de paso, para valores de ω menor a 1. Para valores de ω mayor a 1 el

valor comienza a disminuir momentáneamente. La magnitud se obtiene de la siguiente

ecuación:

/N( jω) /2 =H 2

1+ ε2Cn2(ω)

(8)

El valor de ε es el mismo al de la aproximación Butterworth, se da con la siguiente

ecuación:

ε = 10Amax

10 −1 (9)

Para saber el orden de la aproximación Chebyshev en la banda de paso se deben de contar

el número de máximos que hay y multiplicarlos por 2.

De la ecuación (10) se pueden obtener los polos para las funciones Chebyshev de

un filtro pasa bajas. Los polos de N(s) y N(-s) son las raíces de la ecuación (11).

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N (s)N (−s) = / N ( jω )/ω = s

j

2 =H 2

1 + ε 2Cn2 s

j⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

(10)

Cn2 s

j⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = −

1ε 2 ó Cn

sj

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = ±

jε

(11)

El lugar geométrico donde los polos de Chebyshev se encuentran, se muestran en la

figura 2-15.[1]

Figura 2-15 Ubicación de los polos de Chebyshev

2.14 Aproximación Chebyshev Inversa

En esta aproximación como su nombre lo dice se comporta inversamente a la

aproximación Chebyshev. En su banda de paso se comporta de forma plana y en la banda

de rechazo tiene rizos los cuales se van comportando de una manera monótona (mostrado

en la figura 2-16). La ventaja de esta aproximación es que las características de las fases

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son mejores. Algunas de sus desventajas es que los ceros deben de ser colocados en el eje

jω, en puntos finitos, esto complica su realización.

Figura 2-16 Aproximación Chebyshev Inversa

Los ceros están dados por zk= αk+jβk dados en la ecuación (12).

αk = 0 βk =1

cosuk

k = 1,2,3,...,n (12)

El valor de uk es el siguiente:[6]

uk =2k − 1

2nπ (13)

2.15 Aproximación Elíptica

Este tipo de filtros en magnitud presentan rizos tanto en la banda de paso como en

la banda de rechazo, como se muestra en la imagen 2-17; fueron desarrollados en los 30’s

por el ingeniero Wilhelm Cauer, por esto también son conocidos como filtros Cauer. La

ventaja de estos filtros en relación con los Butterworth, Chebyshev y Chebyshev inversa

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es que se puede obtener un filtro de menor orden y el circuito tendrá menos componentes

electrónicos y su costo se verá reducido.

Figura 2-17 Aproximación Elíptica

Las funciones de magnitud se obtienen de las ecuaciones (14) y (15) dependiendo si n es

par o impar.

para n impar: N1(s) = H0

s2 + ΩCi2( )

i=1

n−12

∏a0 + a1s + a2s

2 + ...+ sn (14)

para n par: N p (s) = H0

(s2 + Ωai2 )

i=1

n2

∏a0 + a1s + a2s

2 + ...+ sn (15)

Para saber el orden de una función elíptica simplemente se debe de sumar el

número de máximos en la banda de paso y multiplicarlo por 2. En caso de que la función

sea impar, el máximo que se encuentra en ω=0 se toma como medio. En la figura 2-17 se

tiene un caso impar con 2 máximos y uno medio, el orden de esta función es de 5.[1]

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2.16 Aproximación Thomson

De las aproximaciones vistas anteriormente, todas son de magnitud y no se tomó

nunca en cuenta la fase de estas funciones. Tampoco se vio como se pueden comportar en

el dominio del tiempo. Esto se debe a que para unos casos es mas importante el filtrado

de la magnitud como en audio frecuencia o en el filtrado de la voz. En esos casos la fase

no resulta tan importante porque el oído humano no puede detectar los cambios de fase.

Para otras aplicaciones como video o comunicaciones digitales, la fase es de suma

importancia lo cual se da en la aproximación Thomson. Donde se pretende tener las fases

lo mas lineal posibles para que de esta manera las señales tarden el mismo tiempo en ser

procesadas por un circuito de fase lineal, sin importar su espectro.

El procedimiento que se sigue para encontrar los coeficientes de la función N(s),

para un filtro pasa bajas con ganancia unitaria es:

N(s) =a0

sn + an−1sn−1 + ...+ a1s + a0

(16)

La forma de evaluar los coeficientes de la ecuación (16) se da por medio de los

polinomios de Bessel, esta evaluación se puede realizar con la ecuación (17).

ak =(2n − k)!

2n−k k!(n − k)! k= 0, 1, 2,…, n-1 (17)

Los polinomios de Bessel se denotan por B(s) y se dan en base a la siguiente fórmula:

Bn (s) = (2n −1)Bn−1(s) + s2Bn−2(s) (18)

Las funciones de transferencia pasa bajas con fase lineal se conocen como filtros Bessel o

Thomson, ya que Thomson fue el primero en proponer la necesidad de tener filtros con

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fase lineal. En la figura 2-18 se muestra como los polos de los filtros Thomson no

aparecen en el círculo o elipse, aparecen fuera del ancho de banda de un filtro pasa banda,

en relación con los Butterworth o Chebyshev.[6]

Figura 2-18 Ubicación de polos Butterworth, Chebyshev y Thomson

2.17 Orden de un Filtro

Las aproximaciones explicadas anteriormente cuando se realizan en el laboratorio

dependiendo del número de componentes empleados se puede saber el orden del circuito.

Entre mayor sea el orden el filtro se comportará de una forma más próxima a la ideal. Se

puede apreciar en la figura 2-19, donde se muestra una aproximación Butterworth con

diferentes órdenes. Cuando el orden llega hasta 6 el corte en la frecuencia de corte se

realiza de una manera mas rápida con una pendiente mas pronunciada.

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Figura 2-19 Aproximación Butterworth para diferentes órdenes

2.18 Filtros Digitales

Por definición se puede establecer que el filtrado es análogo o da una función

lineal. Hoy en día todos los circuitos digitales han crecido mucho y se han vuelto muy

dominantes. Los circuitos digitales han ido remplazando toda la electrónica análoga, al

igual que en el caso de los filtros. Los circuitos digitales también pueden hacer filtrado de

alguna señal, de los cuales hay dos tipos básico IIR y FIR, los cuales serán explicados a

continuación:

El nombre técnico para un filtro digital es Filtro Conmutador. Esta idea se

muestra en la figura 2-20, donde la señal de entrada pasa por una resistencia hasta llegar a

un switch. El switch va pasando por un banco de capacitores de una manera muy rápida

pero regular. Cuando el switch llega al último capacitor este regresa al primero y vuelve a

empezar la secuencia.

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Figura 2-20 Filtro digital

Sí el switch se quedara en un capacitor tendríamos un filtro pasa bajas, pero

mientras va cambiando de capacitor en capacitor se comporta como un filtro pasa banda.

Dependiendo del número de capacitores con los que se cuente, su valor y el valor de la

resistencia se puede saber cual será la frecuencia central de paso. Este valor se puede

calcular con la siguiente ecuación:[9]

FC =1

2nRC (19)

2.18.1 Filtros Digitales IIR

Para los filtros digitales IIR (respuesta infinita al impulso) la función de

transferencia esta dada por z; la s es reemplazada por z; es una función de transferencia

de un filtro análogo. Esto se debe a que hay mucha similitud entre las dos funciones de

transferencia. La forma más común de diseñar los filtros IIR es haciendo una versión

digital de un filtro análogo. Para realizarlo primero se debe de construir un filtro análogo

con la función de transferencia H(s) apropiada. Después se debe de cambiar la H(s) por

H(z). Lo que dará como resultado un filtro IIR. La función de transferencia del filtro IIR

se da por la siguiente ecuación:

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Vo

Vi

=b2z

−2 + b1z−1 + b0

a2z−2 + a1z

−1 +1 (20)

Entre menor número de localidades de memoria sean utilizadas (retrasos en el tiempo) el

costo del filtro será menor. En la figura 2-21 se muestra el mapeo para los polos y ceros

en el dominio s y z.[2]

Figura 2-21 Mapeo de polos y ceros en el plano “s” y “z”

2.18.2 Filtros Digitales FIR

La función de transferencia de un filtro FIR (respuesta finita al impulso) está dada

por:

H(z) = h(n)z−n

n= 0

N−1

∑ (21)

La respuesta al impulso tiene una distancia o duración de N, para valores muy grandes de

N la frecuencia de corte debe de tener una pendiente muy pronunciada, la cual es una de

sus desventajas. Para el filtro FIR se debe de satisfacer la siguiente condición:

h(n) = h(N −1− n) (22)

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En la gran mayoría de las situaciones se requiere tener una fase lineal o un grupo

de retrasos, esto se debe a la ecuación (22). Los ceros de un filtro FIR con fase lineal

deben de tener cierta simetría. Es importante tener una fase lineal para aplicaciones donde

se desee conservar la forma de onda original. Los filtros FIR se mantienen siempre

estables y el ruido no afecta mucho a este tipo de filtrado, ya que se puede hacer muy

pequeño.

Para diseñar los filtros FIR se tiene que truncar la serie infinita de los coeficientes

de Fourier en una serie finita. Si estos coeficientes son truncados el filtros se verá

afectado y se producirá el efecto de Gibbs. Se producirán ondulaciones antes y después

de cualquier discontinuidad. Estas ondulaciones no desaparecerán, sin importar que tan

larga sea la serie, ya que siempre será finita. Por esto es que se emplea el método de

ventana donde se usa un número finito de secuencias de w(n). Primero se debe de buscar

la transformada inversa de Fourier de la respuesta deseada. Después se aplica la ventana

para aplanar los rizos.[2]

Ventana Rectangular:

w(n) =1 para 0 ≤ n ≤ N −1 (23)

w(n) = 0 para cualquier otro valor (24)

Ventana Barlett o Triangular:

w(n) =2n

N −1 para 0 ≤ n ≤

N −12

(25)

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w(n) = 2 −2n

N −1 para N − 2

2≤ n ≤ N −1 (26)


Ventana Hann:

w(n) =12

1− cos 2πnn −1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ para 0 ≤ n ≤ N −1 (28)


Ventana Hamming:

w(n) = .54 − .46cos 2πnN −1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ para 0 ≤ n ≤ N −1 (30)


Ventana Blackman:

w(n) = .42 − .5cos 2πnN −1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + .08cos 4πn

N −1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ para 0 ≤ n ≤ N −1 (32)


Ventana Kaiser:

w(n) =

I0 ωaN −1

2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

− n −N −1

2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

I0 ωaN −1

2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

para 0 ≤ n ≤ N −1 (34)


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Figura 2-22 Filtro pasa bajas a) Antes de la ventana b) Después de la ventana

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