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 ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  

FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (2S)  

LECCIÓN  8  –  (07H00)  GUAYAQUIL,  FEBRERO  23  DE  2015  

 

 S      O      L      U      C      I      Ó      N                    y                  R      Ú      B      R      I      C      A  

 TEMA  1  (25  puntos)  El  segmento  de  la  tangente  común  exterior  de  dos  circunferencias  mide  20 cm  y  sus  radios  miden  respectivamente  r = 8 cm  y  R =12 cm.  Determine  si  las  circunferencias  son:  tangentes,  secantes  o  exteriores.    Solución:

   

 Suponiendo  que  las  dos  circunferencias  fueran  tangentes,  la  representación  geométrica  sería:    

                   

Considere   el   siguiente   triángulo   rectángulo   en   el   cual   se   observa   que   el   cateto   horizontal   a  corresponde  al  segmento  de  la  tangente  común  a  las  dos  circunferencias,  mientras  que  b  es  igual  a  la  diferencia  de  las  longitudes  de  los  radios  de  ambas  circunferencias:                    Para  que   las  circunferencias  sean  tangentes,   la   longitud  H  de   la  hipotenusa  del  triángulo  debería  ser  igual  a  la  suma  de  las  longitudes  de  los  radios  de  cada  una.    Se   aplica   el   teorema   de   Pitágoras   en   el   triángulo   rectángulo   para   determinar   la   longitud  H     de   la  hipotenusa:  

 

H 2 = a2 +b2 = 202 + 42 = 400+16 = 416

H = 416 cmH > 20 cm

 

 

   

 

 

 

 

   

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Como  la  longitud  de  la  hipotenusa  resultó  mayor  que  la  suma  de  las  longitudes  de  los  radios  de  cada  circunferencia,  se  concluye  que  ambas  circunferencias    deben  ser  exteriores.                            Rúbrica:    Realiza  una  representación  geométrica  de  la  situación.  Realiza   los  cálculos  necesarios  para  determinar   los  valores  que  permitan  concluir  que   las  circunferencias  son  exteriores.  

10  puntos  15  puntos  

     

TEMA  2   (25   puntos)  Se   tiene   un   triángulo   ABC   inscrito   en   una   circunferencia,   de  modo  que   sus  vértices   A  y   B  sean  extremos  de  un  diámetro  y  el  arco   BC  sea  la  sexta  parte  de  la  circunferencia.  Determine  la  medida  de  los  ángulos  internos  de  dicho  triángulo.    Solución:    

Al  aplicar  el  teorema  del  ángulo  central,  se  deduce  que:  

m !ACB( ) = 12m !AOB( ) = 12 180°( ) = 90°    

Se  indica  que  el  arco  BC  es  igual  a  la  sexta  parte  de  la  circunferencia:  

  m !BOC( ) = 360°6 = 60°  

           

Como   OB =OC   y   se   sabe   que   “a   lados   congruentes   se   oponen  ángulos  congruentes”,  se  concluye  que  m !CBO( ) =m !OCB( ) = 60° ,  pero  como  ya  se  dedujo  que  m !BOC( ) = 60° ,  entonces  el  triángulo  OBC  debe  ser  equilátero.        

 Debido   a   que   m !CBA( ) =m !CBO( ) = 60°   y   dado   que   “la   suma   de   las   medidas   de   los   ángulos  

internos  de  un  triángulo  es  igual  a  180o”.    m !BAC( ) =180°−m !ACB( )−m !CBA( ) =180°−90°−60°m !BAC( ) = 30°

 

Por  lo  tanto,  las  medidas  de  los  ángulos  internos  de  este  triángulo  son:  30o,  60o  y  90o.  

 

 

 

 

 

 

   

O

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 Rúbrica:    Utiliza   las   condiciones   especificadas   en   el   problema   y   aplica   teoremas   y   propiedades  geométricas  para  determinar  correctamente  cada  medida  angular.  

25  puntos    

   

TEMA   3   (25   puntos)   Calcule   el   área   de   la   superficie   de   un   hexágono   regular   inscrito   en   una  circunferencia,  si  el  lado  del  cuadrado  inscrito  en  la  misma  circunferencia  mide  5 u.  

 Solución:  

Se   determina   la   longitud   del   radio   de   la   circunferencia   en   base   a   la   representación   geométrica   del  cuadrado  inscrito.    

                               

El   hexágono   regular   inscrito   en   la   circunferencia   tiene   su   lado   L   congruente   con   el   radio   r   de   la  circunferencia:  

   

AHexágono = 6AΔEquilátero = 634L2

"

#$$

%

&''= 6

34

52

"

#$

%

&'

2"

#

$$

%

&

''

AHexágono =75 34

u2

 

   

Rúbrica:    Determina  correctamente  la  longitud  del  radio  de  la  circunferencia.  Determina  correctamente  el  área  de  la  superficie  del  hexágono  regular.  

10  puntos  15  puntos  

       

     

   

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 TEMA  4  (25  puntos)  Si  con  los  puntos   A ,   B  y  C  se  ha  formado  un  triángulo  equilátero,  luego  se  lo  

ha  inscrito  en  un  círculo  de  centro  O  y  se  sabe  que  OA= 2cm ,  calcule  el  área  del  segmento  circular.  

Solución:    Como   ABC   es   un   triángulo   equilátero,   m !ABC( ) = 60° .   Por   el   teorema   del   ángulo   central,  

m !AOC( ) = 2m !ABC( ) = 2 60°( ) =120° = 2π3 .    

Asegmento circular = Asector circular − Atriángulo =12r2θ −

12r2sen θ( ) = 1

2r2 θ − sen θ( )( )

Asegmento circular =12

2( )2 2π

3− sen 2π

3

"

#$

%

&'

"

#$

%

&'

Asegmento circular = 2 2π3−

32

"

#$$

%

&'' cm

2

 

 Rúbrica:    Determina  correctamente  la  medida  del  ángulo  central.  Determina  correctamente  el  área  del  segmento  circular.  

10  puntos  15  puntos