20130417190438
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4: MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
AMORTIGUADO Y FORZADO
4.1 INTRODUCCIÓN
Los movimientos oscilatorios armónicos hasta aquí considerados se
refieren a sistemas ideales, que oscilan indefinidamente por la acción de
una fuerza lineal de restitución, de la forma F = -ky. Pero en los sistemas
reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción, las cuales
retardan el movimiento del sistema. Por lo tanto la energía mecánica del
sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, lo que hace que la
amplitud del sistema disminuya con el tiempo, y se dice que el movimiento
es amortiguado.
En un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto
de la fuerza disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía
al sistema aplicando una fuerza externa que en cualquier instante actúe en
la dirección del movimiento del oscilador; esto se conoce como un
oscilador forzado
4.2 EL OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO
El amortiguamiento es causado por una fuerza de resistencia, ver figura
4.1. Para una resistencia viscosa tal como la fuerza amortiguadora del aire,
ky
bv
mg
Fig. 4.1 Oscilador amortiguado
la fuerza amortiguadora puede tomarse como proporcional a la velocidad.
Luego, si la fuerza de amortiguamiento es Fb = -bv, donde el signo menos
indica que esta fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del cuerpo
oscilante.
El coeficiente b recibe el nombre de parámetro de amortiguamiento y en el
S.I de unidades se expresa en Nsm-1.
La ecuación del movimiento es de la forma:
- K y – bv = m a (4.1)
d2 ydt2
+ bm
dydt
+ km
y =0 ( 4 .2 )
y haciendo: ωo
2= km
, bm
=2γ
γ, se denomina coeficiente de amortiguamiento, se expresa en s-1 y sirve
para determinar la velocidad de amortiguamiento de las vibraciones. La ec.
(4.2) se puede escribir así:
d2 ydt2
+2γ dydt
+ ωo2 y =0 ( 4 . 3)
La solución de ésta ecuación es de la forma y = eαt
Reemplazando en la ecuación (4.3) obtenemos:
α 2+2α γ+ωo2 =0
De donde,
α 1=−γ+√γ2−ωo2
α 2=−γ- √γ 2−ωo
2
CONSIDEREMOS LOS SIGUIENTES CASOS:
PRIMER CASO: Si γ2 ˃ ωo2
En este caso las raíces αi son reales y distintas, esto es, α1 ≠ α2 y la
solución de la ecuación diferencial del oscilador es:
y=A eα 1 t
+ B eα2 t
y= e-γt [A e√ γ2−ωo2 t
+ B e−√γ 2−ω
o2 t ] (4 . 4 )
Este caso se denomina “MOVIMIENTO SOBRE AMORTIGUADO” y la
ec. (4.4) proporciona la posición de la partícula en cualquier instante t. Las
constantes A y B se determinan por las condiciones iniciales del
movimiento.
SEGUNDO CASO: Si γ2 = ωo2
En este caso, las raíces son iguales y reales, esto es, α1 = α2 y la solución
de la ecuación diferencial del oscilador es:
y= e-γ t [ A + B t ] (4 .5)
Este caso se denomina “MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE
AMORTIGUADO” y la ec. (4.5) proporciona la posición de la partícula en
cualquier instante t. Las constantes A y B se determinan por las
condiciones iniciales del movimiento.
TERCER CASO: Si γ2 ˂ ωo2
En este caso las raíces son complejas de manera que:
α 1=−γ+ i √ωo
2−γ 2
α 2=−γ- i √ωo
2−γ 2
y haciendo,
ω=√ωo2−γ 2
Encontramos que la solución de la ecuación diferencial del movimiento es:
y= A0 e-γ t Cos(ω t+ϕo ) (4 . 6 )
Dónde Ao, es la amplitud inicial, φo, es el ángulo de fase inicial que se
determina por las condiciones iniciales del movimiento y ω es la
frecuencia del movimiento oscilatorio.
Este caso se denomina “MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO O
MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO”.
El término A = Ao e –γt, se denomina amplitud del movimiento.
Además, para este caso definimos:
PERIODO DEL MOVIMIENTO:
T=2πω
=2π
√ωo2−γ2
(4 .7 )
En la figura 4.2 se muestra la relación entre el desplazamiento y el
tiempo para el oscilador amortiguado.
4.3 ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO OSCILATORIO
AMORTIGUADO
La energía total es:
E =12
Ky2+ 12
mv2
E =12
Ky2+ 12
m(dydt
)2
Para amortiguamientos pequeños, γ << ωo , se demuestra que:
E=12
K Ao
2 e-2γ t= Eo e−2γ t (4 . 8 )
Fig. 4.2. Desplazamiento, amplitud y periodo en el movimiento oscilatorio amortiguado.
Donde:
Eo=12
K Ao2
Es el valor de la energía en el instante inicial.
La velocidad de decrecimiento de la energía es:
dEdt
= -2γ Eoe−2γ t=−2γ E (4 . 9 )
4.4 MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO
En un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto
de la fuerza disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía
al sistema aplicando una fuerza externa que en cualquier instante actúe en
la dirección del movimiento del oscilador, que debe hacer un trabajo
positivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecerá
constante si la energía de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento
es igual a la energía que se pierde por la fricción.
Un oscilador forzado, ver figura 4.3, se puede obtener cuando un oscilador
amortiguado es impulsado por una fuerza externa que varía armónicamente
en el tiempo, de la forma F = Fo Cosω1t, donde ω1 es la frecuencia
angular de la fuerza y Fo es una constante. Agregando ésta fuerza a la
ecuación del oscilador amortiguado, se obtiene:
ky
bv
mgFo Cosω1t
Fig. 4.3 Oscilador forzado
- K y – bv + Fo Cosω1t = m a
d2 ydt2
+2γ dydt
+ ωo2 y =
Fo
mCosω1 t ( 4 .11)
La solución general de la ec. (4.11) es:
y= Ao e-γ t Cos ( ω t+ϕ )+Fo
m√(ωo2−γ 2)2+4γ2ω1
2Cos(ω1 t+α ) (4 .12 )
El primer término en (4.12) se denomina TRANSITORIO y está presente
en el transcurso inicial del proceso, es decir, durante el
ESTABLECIMIENTO DE LAS VIBRACIONES y con el transcurso del
tiempo desaparece debido al factor e-γt, quedando solo el Segundo término
para describir las vibraciones ESTABLES.
Para las oscilaciones estables, la solución (4.12) toma la forma:
y=Fo
m√(ωo2−ω1
2 )2+4γ2 ω12
Cos(ω1 t +α ) (4 .13)
Donde:
Tanα =2γω1
ωo2−ω1
2 (4 .14 )
Dónde, 0 ≤ α ≤ π
Fig. 4.4 Oscilaciones transitoria y estable en el establecimiento del movimiento oscilatorio forzado
La amplitud, C, de las oscilaciones estables es:
C=Fo
m√(ωo2−ω1
2 )2+4γ2 ω12
(4 .15 )
4.5 RESONANCIA MECÁNICA
En la ecuación (4.13) se observa que la masa oscila con la frecuencia ω1 de
la fuerza impulsora. Para un amortiguamiento pequeño, la amplitud
aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la
frecuencia natural de la oscilación, es decir, cuando ω1 ≈ ωo. El aumento
tan significativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce
como resonancia, y la frecuencia correspondiente se llama frecuencia de
resonancia del sistema, la cual se determina a partir de la siguiente
relación:
ωRES=√ωo2−2γ2
En la figura 4.5, se muestra la variación de la amplitud en función de la
frecuencia, para diferentes valores del parámetro de amortiguamiento.
Fig. 4.5. Variación de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza
impulsora, ω1.
4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una partícula ejecuta oscilaciones amortiguadas. Si su frecuencia
angular propia es ωo=10 rad/s y la constante de amortiguamiento es γ
=7,0 s-1. Sabiendo que la partícula oscila sobre un plano horizontal y
que en el instante inicial se encuentra en reposo en la posición xo= 5
cm, vo = 0, escribir la ecuación diferencial y su correspondiente
solución, de las oscilaciones que realiza.
2. Un bloque de 260 N se cuelga de un resorte vertical, el cual se estira
60 cm. A partir de ésta posición, el bloque se desplaza 30 cm hacia
abajo y se libera. Si una fuerza de amortiguamiento igual a 15 veces la
velocidad instantánea actúa sobre el bloque, determine si el
movimiento del bloque es oscilatorio amortiguado, sobre amortiguado
o críticamente amortiguado.
3. Se cuelga un objeto de masa 0,2 kg de un resorte cuya constante es 80
N/m y se somete el objeto a una fuerza resistente dada por f = - bv,
siendo v su velocidad en m/s. Si la frecuencia con amortiguamiento es
√3/2 de la frecuencia sin amortiguamiento, ¿Cuál es el valor de la
constante b?
4. Una masa en un resorte con frecuencia angular propia de 38 rad/s
se coloca en un ambiente en donde hay una fuerza de
amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa. Si su
amplitud se reduce a 0,82 veces su valor inicial en 9,9 s. ¿Cuál es la
frecuencia angular del movimiento amortiguado?
5. Una masa de 0,40 Kg se mueve sobre una superficie horizontal, fija
al extremo de un resorte (K = 300 N/m), sometido a la acción de
una fuerza amortiguadora fx =-bv. Si b = 9,00 Kg/s, a) ¿Qué
frecuencia de oscilación tiene la masa? b) ¿Con qué valor de b la
amortiguación será crítica?
6. Un resorte, de constante elástica K = 2,0 N/m, unido a un
bloquecito oscilan en un medio viscoso. El primer máximo, de +
5,0 cm de la posición de equilibrio, se observa cuando t = 2,0 s, y el
siguiente, de +4,9 cm, cuando t = 3,0 s. Hallar el coeficiente de
amortiguamiento. ¿Cuál era la posición del bloquecito en t = 0 s y
cual será en t = 3,5 s?
7. Un bloque de 5,0 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 125
N/m. El bloque se jala de su posición del equilibrio en x = 0 m a una
posición en x = + 0,68 m y se libera del reposo. El bloque entonces
ejecuta oscilaciones amortiguadas a lo largo del eje X. La fuerza
amortiguadora es proporcional a la velocidad. Cuando el bloque por
primera vez vuelve a x = 0 m, su velocidad es - 2,0 m/s y tiene una
aceleración de +5,6 m/s2.
a) Calcule la magnitud de la aceleración del bloque inmediatamente
después de ser liberado en x = + 0,68 m?
b) Calcule el parámetro de amortiguamiento b.
8. Considere un oscilador ligeramente amortiguado y una fase inicial
nula. Obtenga una expresión para la aceleración inicial.
9. Demuestre que la rapidez de cambio de la energía mecánica para un
oscilador amortiguado, no impulsado, está dada por dE/dt = -bv2 y
por lo tanto siempre es negativa.
10. Cuando se pulsa la nota Do de un piano (frecuencia 262 Hz), la mitad
de su energía se pierde en 4 s. ¿Cuál es el coeficiente de
amortiguamiento? ¿Cuál es la perdida de energía relativa por ciclo?
11. Un péndulo se ajusta para tener un período exacto de 2 segundos y se
pone en movimiento. Después de 20 minutos, su amplitud ha
disminuido a 1/4 de su valor inicial. Si el movimiento del péndulo
puede se representado por θ = θo e- γt Cosωt, ¿Cuál es el valor de γ?.
Considere: e−1,386 = ¼.
12. Un péndulo de 1,000 m de longitud se suelta desde una amplitud
angular inicial de 15°. Después de 1000 s, debido a la fuerza de
resistencia del aire, su amplitud se ha reducido a 5,5°. ¿Cuál es el
valor de la constante de amortiguamiento?
13. Un resorte tiene una constante elástica de 3,2 N/m y una masa de
2,2 Kg en su extremo. Cuando éste resorte se sumerge en un medio
viscoso, el movimiento resonante se presenta cuando la frecuencia
angular es 1,2 rad/s. ¿Cuál es el parámetro de amortiguamiento, b,
debido al medio viscoso?
14. La constante elástica de un resorte es 40 N/m. Un extremo está fijo y
en el otro hay suspendida una masa m = 0,16 kg. Si la masa se
introduce en aceite se origina la fuerza resistente viscosa f = - bv.
Hallar la frecuencia del movimiento para b = 0,4 Ns/m.
15. En el problema anterior. Si además aparece una fuerza impulsora
sinusoidal de amplitud 0,5 N y frecuencia doble que la propia, calcular
a) La amplitud de la oscilación.
b) Calcular la frecuencia de resonancia y la amplitud en resonancia.
16. Un objeto de masa 0,2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 80
N/m. El cuerpo se somete a una fuerza resistente dada por - bv, siendo
v su velocidad (m/s) y b = 4 N.m/s y a una fuerza impulsora sinusoidal
dada por la expresión F(t) = Fo Sen ω1t, siendo Fo = 2 N y ω1 = 30
rad/s. En estado estacionario, ¿Cuál es la amplitud de la oscilación
forzada?
17. Una masa de 2,00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza
externa F = 3,00 Cos2πt N. Considerando la constante elástica del
resorte es 20,0 N/m y despreciando el amortiguamiento, determinar el
periodo y la amplitud del movimiento.
18. Calcular la frecuencia de resonancia de los siguientes sistemas: a) una
masa de 3 kg sujeta a un resorte de constante 240 N/m, b) un péndulo
simple de 1,5 m de longitud.
19. Un peso de 40 N se suspende un resorte cuya constante elástica es
200 N/m. El sistema es subamortiguado y se somete a una fuerza
armónica de 10,0 Hz de frecuencia, lo que origina una amplitud de
movimiento forzado de 2,00 cm. Determine el máximo valor de la
fuerza.
20. Un objeto de 2,0 kg oscila sobre un muelle de constante K=400 N/m
con una constante de amortiguamiento b = 2 kg/s. Está impulsado por
una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular ω1
= 10 rad/s. Calcular la amplitud de las oscilaciones estacionarias, la
frecuencia angular y amplitud en resonancia.
21. Una fuerza externa impulsora armónica actúa sobre una masa de 6,0
Kg que se encuentra suspendida del extremo inferior de un resorte de
constante K = 150 N/m. La fuerza de amortiguamiento es proporcional
a la velocidad instantánea y tiene un valor de 80 N cuando la rapidez
del oscilador es 2 m/s. Encuentre la frecuencia a la cual ocurre la
resonancia.