2010_practica campo electrico y ley de gauss

1

2010 Instituto de Física. Manual de prácticas para el laboratorio de Física II Elaborado por : Lucelly Reyes H

Campo Eléctrico y Ley de Gauss Objetivo

Medir las líneas equipotenciales para luego calcular el campo eléctrico en varias configuraciones espaciales. Comparar los campos obtenidos con aquellos calculados por la ley de Gauss.

Equipo

Cubeta electrostática

Circulo de 2,4 cm

Cuña de aluminio

Generador Leader

2 Cables banana caimán

Cilindro de Al de 5 cm

Multímetro Fluke

Cable caimán_caimán de 25 cm

Cilindro de PVC de 5 cm

Marco Teórico Campo y potencial electrostáticos La interacción entre partículas se hace admitiendo que todo cuerpo cargado eléctricamente modifica las propiedades físicas del espacio que le rodea, este efecto se reconoce por la fuerza que sufre una partícula "testigo" colocada en dicha región. Esta situación se describe mediante un campo

vectorial ( campo eléctrico), donde a cada punto del espacio se le asigna un vector. Por tanto, el campo eléctrico en un punto del espacio depende, esencialmente, de la distribución espacial de las cargas eléctricas y de la distancia de éstas al punto donde se desea conocer el campo.

Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q (testigo) del punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.

Podemos construir un mapa tridimensional del

campo eléctrico debido a una distribución estática de cargas. Asociamos a cada punto del mapa un vector que tenga el modulo, dirección y sentido de la

intensidad del campo . Quizá resulte más claro decir que asociamos a cada punto del mapa una terna de números, que son los vectores de las componentes Ex, Ey, Ez. Dicho mapa se conoce como campo vectorial.

Supongamos que se ha trazado dicho mapa del campo eléctrico en una región del espacio. Es una magnitud, cuyo conocimiento resulta muy útil, porque podemos escribir que la fuerza sobre cualquier carga de módulo q en esta región es

Aquí depende de la posición de q porque ha de

tomarse en dicha posición. Si está producido por una carga única Q en la posición , podemos expresar el campo eléctrico como:

( )

| | | |

En esta formula aparece en el denominador el cubo de | | porque en el numerador tenemos un vector de módulo | |. Si consideramos que el origen está en la carga Q, resulta y podemos volver a escribir nuestra ecuación como

( )

Donde es el vector posición unitario del punto de observación respecto a la carga

Potencial electrico La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

3


Cuando una carga de prueba q pasa de un punto a a un punto b en presencia de una carga Q fija en un lugar del espacio, la energía potencial del sistema cambia.

( ) ( ) ∫

∫

Para fuerzas conservativas, la integral en esta expresión es una integral de línea, cuyo valor es independiente de la trayectoria de integración entre los puntos a y b.

La figura representa el campo radial de una carga puntual positiva Q, y la linea continua entre los puntos a y b es cierta trayectoria arbitraria que une estos dos

puntos. El acampo electrico en un elemento de longitud de la trayectoria

forma con esta un angulo θ. El valor de su componente tangencial es

, y la integral curvilinea de , desde el punto a al b,

∫

∫

∫

Y de la figura se deduce que Evaluando ahora el cambio de energia potencial

( ) ( ) ∫

∫

∫

(

)

Tenemos libertad de escoger que el cero de la función de energía potencial este en cualquier valor de r que queramos. Puede ser conveniente y natural escoger que la energía potencial cero sea en el infinito.

( )

(

)

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P.

( ) ( )

(

)

El potencial es una magnitud escalar. La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).

Relaciones entre campo y diferencia de potencial El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es Va a otro lugar en el que el potencial es Vb es la diferencia entre la energía potencial inicial y final ya que el campo eléctrico es conservativo.

( ) ( ) ∫

( )

∫

( )

Líneas equipotenciales La distribución del potencial eléctrico en una cierta región donde existe un

campo eléctrico puede representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.

5


Una curva o superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de igual potencial, donde se cumple que el potencial eléctrico generado por alguna distribución de carga o carga puntual es constante. Como se dijo antes, si el potencial eléctrico es constante, la diferencia de potencial se define de la siguiente manera.

∫

Si ΔV=Vb-Va pero Vb = Va , entonces Vb-Va = 0

La única manera de que el producto escalar de los vectores y sea nulo es que los dos vectores sean perpendiculares, entonces

∫

De aquí se puede determinar que las líneas de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales, y por tanto el trabajo requerido para llevar a una carga de un sitio a a un sitio b (siendo a y b pertenecientes a la equipotencial) es cero. Generalizando dado el potencial V(x,y,z) podemos calcular el vector campo eléctrico E(x,y,z), mediante el operador gradiente.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) (

) ( ) ( ) ( )

Al ser V una magnitud escalar, en general, puede calcularse y medirse con

mayor facilidad que . De la ecuación [1] puede deducirse que las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales, definidas por los puntos que verifican

V(x,y,z) = constante

En la figura (a), se representan las líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas concéntricas y en la figura (b) vemos las líneas equipotenciales para un conjunto de cargas puntuales

Figura (a) Figura (b)

En la figura siguiente se muestra las líneas equipotenciales (rojas) y las líneas de campo (blancas) de un conjunto de cargas puntuales, se observar que donde hay mayor densidad de líneas es donde es mas intenso el campo eléctrico.

Campo eléctrico dentro de un conductor y un aislante Si la carga de un electrón de conducción de un metal es –e, y el electrón está

en presencia de un campo , el electrón se acelera pues la fuerza sobre él es

. O sea que donde haya electrones y campo eléctrico, necesariamente hay corriente eléctrica. Por tanto, dentro de un conductor, en condiciones

estáticas, , pues si fuera diferente de cero habría movimiento de cargas y

la situación no seria de equilibrio estático: . En cambio, en un aislante,

puesto que no tiene electrones de conducción, aunque sea diferente de cero no se presenta corriente eléctrica. Remplazando en la ecuación (1) el valor del campo eléctrico dentro de un

conductor sin corrientes eléctricas

( ) ( )

⇒

( )

Esto quiere decir que V es constante: si un conductor está a cierto potencial, todo su interior estará al mismo potencial.

7


Método experimental para trazar una línea de campo E

Para trazar una línea de Campo nos basamos en que la máxima variación

, con fijo, se presenta en la dirección de

Para saber la dirección de en un punto P0, centremos una de las puntas de multímetro en P0. Después recorremos con la otra punta el perímetro de un circulo C0 centrado en P0 para determinar el punto P1

donde es máximo. La dirección de en P0 es, aproximadamente, la del segmento P0P1. Luego repetimos el procedimiento con un nuevo circulo C1 centrado en P1 para hallar un punto P2, y así sucesivamente. Entre menor sea el diámetro del circulo, más

se aproxima la línea de a la línea real. En el laboratorio se utiliza un círculo de 2,4 cm de diámetro.

Teorema de Gauss El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de

dicha superficie dividido entre .

∮

El campo existente entre electrodos de nuestra cubeta de radio interior d/2, radio exterior D/2, y longitud h, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región d/2< r <D/2, ya que fuera de esta región el campo eléctrico es cero. Vamos a considerar la cubeta como un cilindro de altura h. La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada, y requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. Para la cubeta la dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro.

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo; Para la

cubeta se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud h. Tal como se muestra en la figura.

El cálculo del flujo, tiene dos componentes

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son perpendiculares, el flujo es cero.

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo es paralelo

al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que,

∫ ∫ ∫

El flujo total es por tanto;

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada. La

carga en el interior de la superficie cerrada vale , que es la carga de la armadura cilíndrica interior, donde λ es la carga por unidad de longitud.

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones r<d/2 y r>D/2 es nulo. En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r<d/2 y de longitud h, dicha superficie no encierra carga alguna. En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r>D/2 y longitud h, la carga total encerrada es +Q-Q=0, es nula, el flujo es cero y el campo es cero. En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r obtenido por un alumno en el laboratorio. La diferencia de potencial entre los electrodos de la cubeta se calcula

9


integrando, (área sombreada de la figura).

∫

Donde se define la capacidad de la cubeta como:

( )

La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio d/2 y radio D/2 de los electrodos, y de su profundidad)

Procedimiento Parte A: Trazado de las líneas equipotenciales y campo

1. Haga el montaje de la figura 1.

Figura 1

2. Mida el diámetro de los electrodos de aluminio el central y el periférico que conforman la cubeta.

3. Llene la cubeta con agua hasta una profundidad de 1 cm, correspondiente a la altura del primer escalón del electrodo central de aluminio.

4. Encienda el generador y espere cerca de 8 minutos para empezar a tomar datos, mientras se estabiliza la señal de salida. Seleccione una frecuencia de 1000Hz (Si se utiliza una señal continua se presenta electrolisis del

agua, con la consecuente emisión peligrosa de hidrogeno) poniendo la perilla de frecuencia en 10, y el multímetro o rango de frecuencia en x100; ponga el máximo de voltaje llevando el rango de voltaje a HIGH y rotando la perilla de voltaje FINE completamente a la derecha; seleccione una señal seno con el conmutador de forma de onda WAVEFROM.

5. Lleve el selector del multímetro a la posición para medir voltajes alternos; utilice las entradas COM y VΩ.

6. Coloque una de las puntas del multímetro en 2cm de L. Registre la diferencia de potencial marcada por el multímetro, el ángulo y el radio.

7. Mida la profundiddad del agua h(cm)

8. Incremente el ángulo y busque el valor mas próximo al potencial medido para 2cm, consigne el radio, repita hasta completar los 60°. Registre sus datos en la interfaz del Laboratorio.

11


9. Incremente el radio de a 1 cm y mida el ∆V. Repita para cada radio hasta 10cm desde el numeral 6.

Cálculos 1. Haga un grafico de x=r,cosθ y y=rsenθ. 2. Haga un calculo de la media aritmética de ∆V para cada radio

r(cm) ∆V(V) θ d(cm) D(cm) x=rcos(θ) y=rseno(θ) h(cm) profundidad del agua

3. Adicione el gráfico en el numeral 1 para cada radio 4. Haga una copia de sus datos en otra hoja de cálculo. Ordenemos de

acuerdo al ángulo.

5. De esta tabla. Grafique las nuevas coordenadas x,y para cada ángulo. 6. Calcule el campo la magnitud del campo eléctrico usando la formula

aproximada en donde ∆r es la distancia entre dos equipotenciales seguidas y es la diferencia de potencial entre ellas.

7. Calcule el radio promedio entre las dos equipotenciales (medidos todos a partir del centro del electrodo central) ( + ) .

8. Haga para cada ángulo un grafico de E vs r. Preséntelos todos en la misma grafica con diferentes colores.

9. Haga un ajuste de potencia para las curvas de E vs r. ¿Qué concluye? 10. Determine la carga Q.

∮ ∮

11. Compare su dato con

( )

12. Donde ∆V es el voltaje aplicado a la cubeta electrostática, y

⁄

13. Calcule la relación de la carga y la diferencia de potencial de la cubeta

( )

14. Calcule la constante dieléctrica del agua 15. halle el porcentaje de error en su cálculo.

Parte B Cuña 1. Haga el siguiente montaje. Para asegurarse de que el electrodo externo y la

cuña sean equipotenciales, conéctelos con un cable caimán-caimán. La cuña debe estar muy bien centrada entre las líneas L5 y L6.

2. Trazado de una superficie equipotencial. Para el trazado de la

superficie equipotencial, consigne en la tabla siguiente, los puntos que determine en la cubeta. La distancia r de un punto sobre las líneas L al

13


centro está marcadas en cm. Lleve una punta del multímetro al electrodo central.

Mantenga verticales las puntas del multímetro que estén en el agua.

r(cm) θ x=rcos(θ) y=rseno(θ) ∆V(V)

10 0

Con la otra punta, mida V sobre L1 en la posición 6 cm, registre su dato en la tabla. Busque el mismo valor V sobre las otras 5 líneas L2 a L6, y sobre cada una de las líneas radiales del sextante comprendido entre L6 y L1. Localice algunos puntos entre L y L6.

Sea L la línea determinada por el vértice de la cuña y el centro de la cubeta, Busque dicho V sobre L.

Haga un grafico de sus datos en Excel. Como la equipotencial debe ser simétrica respecto a L, copie simétricamente la curva trazada entre L y L1 en el sector comprendido entre L5 y L

3. Trazado de una línea de campo eléctrico. Deposite en el fondo de la

cubeta, sobre una de las líneas L, el círculo transparente. Lea su diámetro sobre la misma línea. Anote el radio en la hoja de cálculo.

Aplique el método que se describe en la introducción para trazar las líneas de campo. Coloque el círculo contra la cuña y el electrodo externo, y sobre el sextante reticulado; P0 es el centro del disco. Una punta del multímetro manténgala vertical sobre P0, y con la otra, también perpendicular al agua, explore el perímetro del circulo. Halle P1 y anote el máximo ∆V entre P0 y P1 y sus coordenadas (r,θ).

r(cm) θ x=rcos(θ) y=rseno(θ) ∆V(V)

10 0

Desplace el centro del circulo a P1 y repita el procedimiento para hallar P2 y así sucesivamente hasta llegar al electrodo central. Grafique sus datos. Aplique el

hecho de que estático es perpendicular a una superficie metálica, para

prolongar los extremos de la línea de hasta el aluminio.

Como se esta aplicando una señal de entre los electrodos, va dirigido, en un segundo, 1000 veces en un sentido y 1000 veces en sentido contrario; por esto ni se puede asignar un sentido único a la línea que acaba de trazar.

4. dentro de un conductor y de un aislante. Lleve una punta del

multímetro al electrodo central; desplace la otra punta sobre la cuña y

dentro de ella; registre sus datos. ¿Cuánto vale dentro de la cuña metálica?

Deposite en lugares arbitrarios dentro de la cubeta los cilindros de aluminio y de PVC; repita con ellos el párrafo anterior.

Retire los cilindros y el disco. Apague el generador y el multímetro.

2010_practica campo electrico y ley de gauss

Documents