2. modulaciones de amplitud · 2008. 11. 11. · amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora,...
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2. MODULACIONES DE AMPLITUD
2.1 Introducción……………………………………………………………………….. 2
2.2 Modulación en Doble Banda Lateral (DBL)…..…………………………….. 4
2.2.1 Modulación de tono en DBL…................................................. 10
2.3 Modulación de AM…………………………………………………..……………. 12
2.3.1 Demodulación síncrona de AM……………………..………………… 15
2.3.2 Demodulación asíncrona de AM……………………..………………. 18
2.3.3 Modulación de tono en AM……………………………………………. 22
2.4 Receptores de radio………………………………………………………………. 26
2.4.1 Mezclador o conversor de frecuencia………………………………… 27
2.4.2 El receptor superheterodino de AM………………………………….. 29
2.5 Modulación en Banda Lateral Única (BLU)……………………………….... 34
2.5.1 Método de generación de filtrado selectivo en BLU……………… 35
2.5.2 Demodulación síncrona de BLU……………………..………………. 37
2.5.3 Transformada de Hilbert……………………..……………………….. 39
2.5.4 Método de generación de desplazamiento de fase……………….. 43
2.5.5 Errores de frecuencia y fase en el detector síncrono de BLU…. 45
2.5.6 Potencia y energía de BLU…………………………………………….. 47
2.5.7 Modulación de tono en BLU…………………………………………... 48
2.5.8 BLU con portadora. Demodulación asíncrona……………………. 52
2.6 Modulación de Amplitud en Cuadratura……………………………………. 54
2.7 Modelo genérico de sistema de comunicación paso banda……………… 55
2.8 Multiplexación por División en Frecuencia (MDF)………………………… 57
2.9 Conclusiones (Ventajas de la modulación-demodulación)………..…….. 60
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2.1 Introducción Las señales analógicas que habitualmente se van a transmitir tienen un espectro paso bajo. Por ejemplo, las señales de audio tienen un espectro comprendido entre los 20 Hz y los 20 kHz, concentrándose la mayor parte de la potencia entre los 1 y 3 kHz (figura 2.1). La transmisión en banda base consiste en enviar la señal sin realizar desplazamiento espectral de la señal.
Figura 2.1 Sin embargo, en la mayor parte de las ocasiones la comunicación será paso banda; es decir, se trasladará el espectro en banda base de la señal a otra banda de frecuencias superior. Por ejemplo, cualquier comunicación vía radio siempre es paso banda. Esto es debido a que para la transmisión y recepción de las señales son necesarias antenas, las cuales deben tener dimensiones del orden de la longitud de onda de la señal a transmitir. En el caso de transmitir un tono de 1 kHz la longitud de onda es de 300 km. Es decir, harían falta antenas del orden de 300 km para este caso, lo que, por supuesto, es totalmente inviable. Obsérvese que cuanto mayor sean las frecuencias implicadas, menores deberán ser las antenas. Esto se pone de relieve con la expresión 2-1; donde c es la velocidad de propagación de la onda electromagnética, que se aproxima por la velocidad de la luz en el vacio; λ es la longitud de onda; T su periodo y f su frecuencia. Así, para una frecuencia de 900 MHz se obtiene una λ de 33 cm, y para 1,9 GHz de 16 cm.
fT
c ⋅λ=λ= (2-1)
El desplazamiento espectral se realiza mediante un proceso denominado modulación, que obedece al esquema de la figura 2.2. Algunos autores incluyen dentro del modulador el oscilador de portadora.
X(f)
f 20 Hz 20 kHz
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Figura 2.2 La señal moduladora x(t) tendrá las siguientes características: - es la señal de información. - será paso bajo y estará limitada en banda a B rad/s (figura 2.3). - tendrá valor medio nulo, 0)t(x = .
- estará acotada y su valor de pico será Am, mA)t(x ≤ .
Figura 2.3 La señal portadora p(t) es una señal sinusoidal de la forma dada en 2-2, donde Ap
es su valor de pico, ωp es su pulsación angular y la fase inicial ϕ puede suponerse nula como simplificación. La portadora es una señal periódica que no tiene información.
)tcos(A)tcos(A)t(p pppp ω=ϕ+ω= (2-2)
En el transmisor el proceso de modulación cambia algún parámetro de la portadora de acuerdo al valor que toma la moduladora; así aparece la señal modulada en la salida. La señal moduladora puede modular básicamente la amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora, o hacer una combinación de ellas. De esta forma la información estará dentro de la señal modulada. En el receptor, el demodulador a partir de la señal modulada recibida es capaz de recuperar la señal moduladora (figura 2.4). Al proceso se le llama demodulación, y así se recupera la señal de información.
x(t) Moduladora
y(t) Modulada
p(t) Portadora
MODULADOR
X(ω)
ω +B
X(0)
-B
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Figura 2.4 Se comprobará que la señal modulada es paso banda. Su ancho de banda dependerá del ancho de banda de la señal moduladora y del tipo de modulación empleada.
2.2 Modulación en Doble Banda Lateral (DBL) La modulación en DBL consiste en multiplicar la señal moduladora por la portadora (2-3), es una modulación de amplitud puesto que la información se transmite en la amplitud de la señal modulada. El esquema del modulador se muestra en la figura 2.5. La forma de la onda en el tiempo se muestra en la figura 2.6, donde se ha supuesto que la portadora tiene amplitud unitaria y Tp es su periodo.
)tcos(A)t(x)t(p)t(x)t(y ppDBL ω== (2-3)
Figura 2.5
Figura 2.6 El espectro de la señal modulada en DBL se calcula aplicando el teorema de la modulación, o si se prefiere la propiedad de convolución en frecuencia (2-4).
x(t) Demodulada
y(t) Modulada
DEMODULADOR
x(t) yDBL(t)
Apcosωpt
x(t) yDBL(t)
p(t)
-x(t)
Tp
t
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[ ] [ ]
[ ])(X)(X2
A
)()(A*)(X21)tcos(A)t(x`)(Y
ppp
pppppDBL
ω+ω+ω−ω=
=ω+ωδ+ω−ωδπωπ
=ω⋅ℑ=ω
(2-4) Básicamente el espectro de la señal de DBL consiste en el espectro de la señal moduladora desplazada a la frecuencia de la portadora. Suponiendo una forma del espectro de X(ω) como en la figura 2.3 se obtiene un espectro como el de la figura 2.7.
Figura 2.7 La señal de DBL por tanto: - es paso banda, - se encuentra centra a la frecuencia de la portadora, - su ancho de banda es el doble de la señal moduladora (2-5).
B2BDBL = rad/s (2-5) El nombre de “Doble Banda Lateral” le viene impuesto por que se transmiten las bandas de frecuencias que se encuentra por encima y por debajo de la portadora. Es decir; se transmite la banda lateral superior ( Bpp +ω≤ω≤ω ) y la banda lateral
inferior ( pp B ω≤ω≤−ω ).
La modulación de DBL se considera lineal, por que el resultado de modular dos señales y sumarlas es el mismo que sumar las moduladoras y después modular (2-6), suponiendo la misma frecuencia de portadora. Por otro lado se comprueba que la modulación de DBL no es un sistema invariante en el tiempo.
( ) )tcos(A)t(x)tcos(A)t(x)tcos(A)t(x)t(x pp2pp1pp21 ω+ω=ω+ (2-6)
El proceso de modulación no sería útil para la transmisión de señales si no existiera el proceso de demodulación que recupera en el receptor la señal moduladora a partir de la modulada. El demodulador de DBL se tiene en la figura
YDBL(ω)
ω
2B
Ap/2·X(0)
ωp -ωp
ωp+Bωp-B
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2.8, donde se supone que el oscilador tiene amplitud unitaria, a veces se le llama oscilador local.
Figura 2.8 La señal en la salida del multiplicador viene dada por 2-7.
( )
)t2cos()t(x2
A)t(x
2A
)t2cos(121A)t(x)t(cosA)t(x)tcos()t(y)t(r
ppp
ppp2
ppDBL
ω+=
=ω+=ω=ω=
(2-7) En el dominio de la frecuencia se obtiene 2-8, se representa en la figura 2.9.
[ ])2(X)2(X4
A)(X
2A
)(R pppp ω+ω+ω−ω+ω=ω (2-8)
Figura 2.9 Este resultado se podría haber obtenido en el dominio de la frecuencia aplicando el teorema de la modulación o la propiedad de convolución en la frecuencia. En la figura 2.7 se observa que la frecuencia de la portadora es mayor que el ancho de banda de la señal moduladora (ωp>B), por eso no hay solapamiento en el origen de los dos espectros. En general la frecuencia de portadora será mucho mayor que que el ancho de banda de la señal moduladora (ωp>>B), y la señal de DBL está muy alejada del origen. En esta situación el ancho de banda de la señal de DBL será mucho menor que el valor de la frecuencia de la portadora (ωp>>BDBL). Estas dos condiciones se cumplirán generalmente en el resto de las modulaciones.
yDBL(t) s(t)
cosωpt
Filtro Paso Bajor(t)
R(ω)
ω
Ap/2·X(0)
ωp -ωp
Ap/4·X(0)
2ωp -2ωp B -B
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Por otro lado, para poder demodular la señal es suficiente con que los espectros se “toquen” en el origen, sin llegar a haber solapamiento; es decir, debe cumplirse que Bp ≥ω .
A partir de R(ω) se puede recuperar el espectro en el origen con un filtro paso bajo. Suponiendo un filtro ideal con ancho de banda de B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso se obtiene la señal demodulada (2-9 y 2-10).
)(X2
A)(S p ω=ω (2-9)
)t(x2
A)t(s p= (2-10)
Estrictamente sería suficiente que el ancho de banda del filtro fuese tal que dejase pasar el espectro en el origen y rechazace la componente pasobanda; es decir se cumpliera 2-11. Se toma el ancho de banda del filtro igual al ancho de banda de la moduladora para rechazar todas las señales indeseables que se encuentran fuera de la banda de interés.
B2BB PFILTRO −ω≤≤ (2-11) Si el filtro hubiese tenido otra ganancia distinta de 1 en la banda de paso se hubiese recuperado la señal con distinta amplitud. En los sistemas prácticos habrá un retardo entre la señal demodulada y moduladora, debido al canal y los circuitos del trasnmisor y receptor. En cualquier caso se ha realizado transmisión sin distorsión. Conviente mostrar la señal a la salida del multiplicador en el dominio del tiempo (figura 2.10), el valor de pico de esta señal “sigue” la forma de onda de la moduladora, el filtro paso bajo es el encargado de rechazar las componentes de alta frecuencia responsables de las variaciones rápidas de la señal quedándose con la componente de baja frecuencia. Se observa de nuevo en la figura que las componentes de alta frecuencia son del doble de frecuencia de la portadora.
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Figura 2.10 Al demodulador de la figura 2.8 se le llama detector o demodulador síncrono u homodino, por que el oscilador está en perfecta sincronía de frecuencia y fase con la portadora de la señal modulada que se recibe. Esta situación que parece trivial en realidad no lo es. Existen tres técnicas básicas de sincronización: - El transmisor y el receptor están gobernados por un sistema maestro que les envía señales de sincronización. - Autosincronización: el receptor recupera la portadora a partir de la señal recibida. En este caso se hace pasar la señal por sistemas no lineales y sistemas de enganche y seguimiento: Bucle de Costas, Bucle Engancho en Fase (PLL, Phase Lock Loop), etc. - En la tercera técnica el transmisor envia al receptor una señal piloto de la que se puede extraer la portadora. La señal piloto puede ser la propia frecuencia de la portadora, una frecuencia multiplo, etc. A continuación se analizará la demodulación cuando existe en el oscilador local del receptor un error de fase arbitrario pero fijo de ϕ rad; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωpt+ϕ). En este caso la salida del multiplicador viene dada por 2-12.
( ) )cos()t(x2
A)t2cos()t(x
2A
)cos()t2cos(21A)t(x
)tcos()tcos(A)t(x)tcos()t(y)t(r
pp
ppp
ppppDBL
ϕ+ϕ+ω=ϕ+ϕ+ω=
=ϕ+ωω=ϕ+ω=
(2-12) Haciendo la transformada de Fourier de 2-12 se comprueba que el primer término no pasa por el filtro paso bajo, es una señal paso banda centrada a la frecuencia 2ωp con 2B rad/s de ancho de banda; el segundo término es X(ω) multiplicado por una constante. Luego la salida del filtro, supuesto ideal y de ganacia unitaria, será la dada por 2-13 y 2-14.
x(t) yDBL(t)
p(t)
r(t)
t
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)cos()(X2
A)(S p ϕω=ω (2-13)
)cos()t(x2
A)t(s p ϕ= (2-14)
Luego la señal demodulada en este caso está multiplicada por cos(ϕ), un factor que puede tomar valores entre -1 y +1. Cuando este factor es cero la señal recibida es nula, y se pierde la comunicación. Cuando este factor es negativo la forma de onda recibida está invertida, esto no se considera distorsión para una señal de audio. En otras ocasiones la forma de onda sufre atenuación. Es deseable por tanto que el error de fase sea nulo o de valor pequeño. Si existe en el oscilador local del receptor un error de frecuencia arbitrario pero fijo de ∆ω rad/s mucho menor que la frecuencia de la portadora; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωp+∆ω)t. En este caso la salida del multiplicador viene dada por 2-15.
( ) tcos)t(x2
At)2cos()t(x
2A
tcost)2cos(21A)t(x
t)cos()tcos(A)t(xt)cos()t(y)t(r
pp
ppp
ppppDBL
ω∆+ω∆+ω=ω∆+ω∆+ω=
=ω∆+ωω=ω∆+ω=
(2-15) Igual que antes, se comprueba que el primer término no pasa por el filtro paso bajo, es una señal paso banda centrada a la frecuencia de (2ωp+∆ω) rad/s con 2B rad/s de ancho de banda; el segundo término es x(t) multiplicado por una señal sinusoidal de baja frecuencia que prácticamente si pasaría por el fitro paso bajo. Luego la salida del filtro, supuesto ideal y de ganacia unitaria, se puede aproximar con 2-16 y 2-17.
[ ])(X)(X4
A)(S p ω∆+ω+ω∆−ω=ω (2-16)
tcos)t(x2
A)t(s p ω∆= (2-17)
La señal de salida sufre una fuerte distorsión, de hecho cuando el término cos∆ωt pasa por cero la señal de salida se anula. Ahora se calculará la potencia de la señal de DBL (2-18) suponiendo que la señal moduladora es de potencia. El segundo valor medio de 2-18 es nulo por que si se cumple que Bp ≥ω no se tiene componentes espectrales en el origen, su área es
nula, y por tanto su valor medio es nulo.
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( )
x
2p2
2p
p2
2p2
2p
p2p
2p
22p
22DBLDBL
P2
A)t(x
2A
t2cos)t(x2
A)t(x
2A
t2cos121A)t(x)t(cosA)t(x)t(yP
==ω+=
=ω+=ω==
(2-18) Ahora se calculará la energía de la señal de DBL (2-19) suponiendo que la señal moduladora es de energía. La segunda integral es nula por que el integrando no tiene componentes espectrales en el origen.
x
2p2
2p
p2
2p2
2p
p22
p22
DBLDBL
E2
Adt)t(x
2A
dt)t2cos()t(x2
Adt)t(x
2A
dt)t(cosA)t(xdt)t(yE
==ω+=
=ω==
∫∫∫
∫∫∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
(2-19) 2.2.1 Modulación de tono en DBL Sea la señal moduladora en DBL el tono de valor de pico Am dado por 2-20, se conoce su transformada de Fourier (2-21) que se representa en la figura 2.11.
tcosA)t(x mm ω= (2-20)[ ])()(A)(X mmm ω+ωδ+ω−ωδπ=ω (2-21)
Figura 2.11 La expresión de la señal modulada en el dominio del tiempo se tiene en 2-22.
tcostAcosAtcosA)t(x)t(y ppmmppDBL ωω=ω= (2-22)
La señal moduladora, portadora y modulada se muestran en el dominio del tiempo en la figura 2.12.
ω
X(ω)
+ωm-ωm
Amπ
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Figura 2.12 La transformada de Fourier (2-23) se puede obtener por tres métodos a partir de 2-22: - desarrollando por trigonometría, - aplicando la propiedad de la convolución en frecuencia, - aplicando el teorema de la modulación.
[ ])()()()(2AA
)(Y mpmpmpmppm
DBL ω+ω+ωδ+ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδ+ω−ω−ωδπ
=ω (2-23)
La transformada de Fourier de la señal modulada se representa en la figura 2.13.
Figura 2.13 La potencia de la señal de DBL en este caso viene dada por 2-24.
4AA
2A
2A
P2
AP
2p
2m
2m
2p
x
2p
DBL === (2-24)
En la salida del multiplicador del detector síncrono se tiene 2-25 (figura 2.14) en el dominio del tiempo y 2-26 en el dominio de la frecuencia (figura 2.15).
t2costcos2AA
tcos2AA
tcos)t(y)t(r pmpm
mpm
pDBL ωω+ω=ω= (2-25)
ω
YDBL(ω)
AmApπ/2
ωp+ωmωpωp-ωm-ωp+ωm-ωp -ωp-ωm
yDBL(t) x(t)
-x(t)
t
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[ ]
[ ])2()2()2()2(4AA
)()(2AA
)(R
mpmpmpmppm
mmpm
ω+ω+ωδ+ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδ+ω−ω−ωδπ
+ω+ωδ+ω−ωδπ
=ω (2-26)
Figura 2.14
Figura 2.15 Si el filtro paso bajo es ideal con ganancia unitaria el espectro de la señal de salida es 2-27 y en el dominio del tiempo viene dada por 2-28.
[ ])()(2AA
)(S mmpm ω+ωδ+ω−ωδπ
=ω (2-27)
tcos2AA
)t(s mpm ω= (2-28)
2.3 Modulación de AM La modulación en AM, del inglés Amplitude Modulation, viene dada por la ecuación 2-29, es una modulación de amplitud puesto que la información se transmite en la amplitud de la señal modulada. Puede verse de dos formas, se le suma una componente continua a la moduladora y después se multiplica por la portadora de amplitud unitaria; o consiste en una modulación de DBL donde se le suma portadora de valor de pico Ap. Los esquemas posibles del modulador se muestran en la figura 2.16.
yDBL(t) x(t)
r(t)
t
ω
R(ω)
AmApπ/2
2ωp+ωm2ωp 2ωp-ωm -2ωp+ωm -2ωp -2ωp-ωm
AmApπ/4
ωm -ωm
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)tcos()t(x)tcos(A)tcos())t(xA()t(y pppppAM ω+ω=ω+= (2-29)
Figura 2.16 La forma de la onda en el tiempo se muestra en la figura 2.17. A (Ap+x(t)) se le llama envolvente superior, y a -(Ap+x(t)) se le llama envolvente inferior. En el dibujo se ha supuesto Ap>Am, por este motivo la envolvente superior siempre es positiva. En la expresión 2-30 se define el índice de modulación en AM. En la señal del dibujo por tanto el índice de modulación es menor que 1, se dice que la señal no está sobremodulada.
p
m
AAm = (2-30)
Figura 2.17 El espectro de la señal modulada en AM se tiene en 2-31.
[ ] [ ])(X)(X21)()(A)(Y pppppAM ω+ω+ω−ω+ω+ωδ+ω−ωδπ=ω (2-31)
Básicamente el espectro de la señal de AM consiste en el espectro de la señal moduladora desplazada a la frecuencia de la portadora, más el término de portadora. Suponiendo una forma del espectro de X(ω) como en la figura 2.3 se obtiene un espectro como el de la figura 2.18.
x(t) yAM(t)
cosωpt
Ap
x(t) yAM(t)
cosωpt Ap
yAM(t)
Ap+x(t)
t
Ap
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Figura 2.18 La señal de AM por tanto: - es paso banda, - se encuentra centra a la frecuencia de la portadora, - su ancho de banda es el doble de la señal moduladora (2-32).
B2BAM = rad/s (2-32) Ahora se calculará la potencia de la señal de AM (2-33) suponiendo que la señal moduladora es de potencia. El primer término se corresponde con la potencia de la portadora (PP) y el segundo con la potencia de las bandas laterales (PBL).
( )
BLPx
2p
2p2p
2p
2p
2pp
2p
2p
p2
pp22
p2AMAM
PPP21
2A
)t(x21)t(x
2A2
A21)t(x)t(xA2A
21
))t(xA(21t2cos))t(xA(
21))t(xA(
21
t2cos121))t(xA()t(cos))t(xA()t(yP
+=+=
=++=++=
=+=ω+++=
=ω++=ω+==
(2-33) El rendimiento en potencia de la modulación se puede calcular como la potencia que acarrea la información dividida por la potencia total (2-34), que en el caso de AM es siempre menor que 1. En el caso de DBL vale 1.
x2p
x
x2p
x
BLP
BL
AM
BL
PAP
P21A
21
P21
PPP
PPientodimnRe
+=
+=
+== (2-34)
Obsérvese que si la señal moduladora fuera de energía, o incluso nula, la señal de AM sería de potencia. La modulación de AM es no lineal, por que el resultado de modular dos señales y sumarlas (2-35) no es el mismo que sumar las moduladoras y después modular
YAM(ω)
ω
2B
X(0)/2
ωp -ωp
ωp+Bωp-B
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(2-36), suponiendo la misma frecuencia de portadora. Por otro lado se comprueba que la modulación de AM no es un sistema invariante en el tiempo.
)tcos())t(x)t(xA2()tcos())t(xA()tcos())t(xA( p21pp2pp1p ω++=ω++ω+ (2-35)
)tcos())t(x)t(xA()tcos()))t(x)t(x(A( p21pp21p ω++=ω++ (2-36)
2.3.1 Demodulación síncrona de AM Para demodular señales de AM se puede emplear el demodulador síncrono (figura 2.19).
Figura 2.19 La señal en la salida del multiplicador viene dada por 2-37.
( )
)t2cos(2
)t(x)t2cos(2
A2
)t(x2
A
)t2cos(121))t(xA()t(cos))t(xA()tcos()t(y)t(r
pppp
ppp2
ppAM
ω+ω++=
=ω++=ω+=ω=
(2-37) En el dominio de la frecuencia se obtiene 2-38, se representa en la figura 2.20.
[ ]
[ ])2(X)2(X41
)2()2(2
A)(X
21)(A)(R
pp
ppp
p
ω+ω+ω−ω+
+ω+ωδ+ω−ωδπ
+ω+ωπδ=ω (2-38)
Figura 2.20 Este resultado se podría haber obtenido en el dominio de la frecuencia aplicando el teorema de la modulación al espectro de la figura 2.18.
yAM(t) s(t)
cosωpt
Filtro Paso Bajor(t)
R(ω)
ω
X(0)/2
ωp -ωp
X(0)/4
2ωp -2ωp B -B
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En la figura 2.18 se observa que la frecuencia de la portadora es mayor que el ancho de banda de la señal moduladora (ωp>B), por eso no hay solapamiento en el origen de los dos espectros. En general la frecuencia de portadora será mucho mayor que que el ancho de banda de la señal moduladora (ωp>>B), y la señal de AM está muy alejada del origen. En esta situación el ancho de banda de la señal de AM será mucho menor que el valor de la frecuencia de la portadora (ωp>>BAM). Estas dos condiciones se cumplirán generalmente en el resto de las modulaciones. Por otro lado, para poder demodular la señal es suficiente con que los espectros se “toquen” en el origen, sin llegar a haber solapamiento; es decir, debe cumplirse que Bp ≥ω .
A partir de R(ω) se obtiene la señal dada por 2-39 y 2-40 en la salida del filtro paso bajo, supuesto ideal con ancho de banda de B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso.
)(X21)(A)(S p ω+ωπδ=ω (2-39)
2)t(x
2A
)t(s p += (2-40)
Solo falta añadir un circuito bloqueador de componente continua, que puede realizarse con un condensador en serie. Conviene mostrar la señal a la salida del multiplicador en el dominio del tiempo (figura 2.21), el valor de pico de esta señal “sigue” la forma de onda de la moduladora salvando el valor de la componente continua. El filtro paso bajo es el encargado de rechazar las componentes de alta frecuencia responsables de las variaciones rápidas de la señal quedándose con la componente de baja frecuencia. Se observa de nuevo en la figura que las componentes de alta frecuencia son del doble de frecuencia de la portadora.
Figura 2.21
yAM(t)
Ap+x(t)
r(t)
t
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Cuando existe en el oscilador local del receptor un error de fase arbitrario pero fijo de ϕ rad; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωpt+ϕ), se tiene en la salida del filtro paso bajo la señal 2-41 y a la salida del bloqueo de componente continua la dada por 2-42. Las consideraciones son las mismas que en el caso de DBL.
)cos())t(xA(21)t(s p ϕ+= (2-41)
)cos()t(x21 ϕ (2-42)
Si existe en el oscilador local del receptor un error de frecuencia arbitrario pero fijo de ∆ω rad/s, mucho menor que la frecuencia de la portadora; es decir, el oscilador del receptor vale cos(ωp+∆ω)t, la salida del filtro paso bajo y la salida del bloqueo de componente continua coinciden (2-43).
)tcos())t(xA(21)t(s p ω∆+= (2-43)
La señal de salida sufre una fuerte distorsión, de hecho cuando el término cos(∆ωt) pasa por cero la señal de salida se anula. La demodulación síncrona síempre es posible, independientemente del valor del índice de modulación (m). En la figura 2.22 se ha supuesto Ap<Am, por eso la envolvente superior es negativa en ciertos intervalos de tiempo. En la señal del dibujo el índice de modulación es mayor que 1, se dice que la señal está sobremodulada. En la figura 2.22 se representa también la salida del multiplicador en el detector síncrono para este caso.
Figura 2.22
yAM(t)
Ap+x(t)
t
Ap
x(t)
r(t)
18
2.3.2 Demodulación asíncrona de AM Hasta ahora el alumno no conoce ninguna ventaja de la señal de AM frente a la de DBL, de hecho tienen el mismo ancho de banda y el rendimiento en potencia de AM es menor que el de DBL, por el hecho de transmitir potencia en forma de portadora que no lleva información. La ventaja de la señal de AM es que si el índice de modulación (m) es menor que 1 se puede realizar la detección asíncrona, también llamada por envolvente. Esto evita en el receptor el oscilador y los problemas de sincronización. El demodulador por detección de envolvente consta de un rectificador de media onda u onda completa, un filtro paso bajo y un bloqueo de componente continua (figura 2.23).
Figura 2.23 Sea la señal de la figura 2.17 donde m<1, en la figura 2.24 se muestra la salida del rectificador de media onda.
Figura 2.24 La salida del rectificador de media onda se puede modelar como el producto entre la señal modulada y una señal periódica cuadrada unipolar q(t), de valor 0 y +1, en sincronización de frecuencia y fase con la señal de portadora. Entonces la salida del multiplicador viene dada por 2-44. La transformada de Fourier se calcula aplicando la propiedad de la convolución en frecuencia (2-45).
)t(q)t(y)t(r AM= (2-44)
)(Q)(Y21)(R AM ω∗ωπ
=ω (2-45)
yAM(t) s(t)
Filtro Paso Bajor(t)
Rectificador Bloqueo de DC
yAM(t)
q(t)
r(t)
t
19
Como q(t) es una señal periódica se puede expresar según la serie exponencial de Fourier (2-46) y su transformada de Fourier viene dada por (2-47), donde ak son los coeficientes de la serie de Fourier.
∑+∞
−∞=
ω=k
tjkk
pea)t(q (2-46)
∑+∞
−∞=
ω−ωδπ=ωk
pk )k(a2)(Q (2-47)
Entonces la transformada de Fourier de la señal rectificada se calcula como en 2-48.
...)2(Ya)(Ya
...)2(Ya)(Ya)(Ya)k(Ya
)k(a)(Y)k(a2)(Y21)(R
pAM2pAM1
pAM2pAM1AM0k
pAMk
kpkAM
kpkAM
+ω+ω+ω+ω+
+ω−ω+ω−ω+ω=ω−ω=
=ω−ωδ∗ω=ω−ωδπ∗ωπ
=ω
−−
∞+
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
∑
∑∑
(2-48)
Bosquejando el espectro dado por 2-48 se tiene la figura 2.25.
Figura 2.25 En el origen de frecuencia se tiene una componente continua y la señal moduladora, debido a los términos dados por a1 y a-1 (2-49), si se sustituye la expresión de YAM(ω) se obtiene 2-50.
)(Ya)(Ya pAM1pAM1 ω+ω+ω−ω − (2-49)
[ ] [ ]
[ ] [ ]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω+ω+ω+ω+ωδ+ωδπ+
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω+ω−ω+ωδ+ω−ωδπ
− )2(X)(X21)2()(Aa
)(X)2(X21)()2(Aa
ppp1
ppp1
(2-50)
Los términos de frecuencia en el origen se tienen en 2-51, y es la salida del filtro paso bajo, en 2-52 se tiene en el tiempo. El coeficiente (a1+a-1) es real, dado que la señal periódica es real y los coeficientes ak y a-k son complejos conjugados. Notar que filtrando: generar AM con frecuencia de portadora múltiplo.
ωp -2ωp
R(ω)
ω. . .. . .
2ωp 3ωp -ωp -3ωp
20
[ ] [ ])(X21)aa()(A)aa()(S 11p11 ω++ωδπ+=ω −− (2-51)
)t(x21)aa(
2A
)aa()t(s 11p
11 −− +++= (2-52)
Tras el bloqueo de componente continua se tiene la señal demodulada (2-53).
)t(x21)aa( 11 −+ (2-53)
En la figura 2.26 se muestra la salida del rectificador de onda completa en el demodulador por detección de envolvente. Igualmente se supone que se recibe la señal de la figura 2.17 donde m<1.
Figura 2.26 La salida del rectificador de onda completa se puede modelar como el producto entre la señal modulada y una señal periódica cuadrada bipolar q(t), de valor -1 y +1, en sincronización de frecuencia y fase con la señal de portadora. El razonamiento utilizado para el rectificador de media onda es válido para el rectificador de onda completa, con la salvedad que los coeficientes ak son los de la señal periódica bipolar. La demodulación por envolvente funciona siempre que la envolvente superior sea siempre positiva; es decir Ap ≥ Am. O lo que es lo mismo, el índice de modulación es menor o igual que 1 (m≤1) ¿Se puede demudular en caso contrario? Sea la señal de la figura 2.22 donde m>1, en la figura 2.27 se muestra la salida del rectificador de media onda. En este caso la salida del rectificador no se puede modelar multiplicando la señal modulada por la señal periódica.
yAM(t)
q(t)
r(t)
21
t
Figura 2.27 Al rectificar la señal y filtrar paso bajo se obtendría la forma de onda del valor absoluto de la envolvente superior, donde ya se introduce una fuerte distorsión. En la figura 2.28 se muestra esta señal y la salida en el bloqueo de componente continua.
Figura 2.28 Sea la señal modulada de la figura 2.22 donde m > 1, en la figura 2.29 se muestra la salida del rectificador de onda completa. Las conclusiones son las mismas que para el rectificador de media onda.
Figura 2.29 Uso del detector síncrono frente al de envolvente para bajas RSR en la entrada.
Salida del bloqueo de componente continua
s(t)
t
t
22
La ventaja del demodulador síncrono, frente al detector de envolvente, aparece cuando la Relación Señal a Ruido en la entrada es pequeña, por debajo de un cierto umbral, como muestra la figura 2.30.
Figura 2.30 2.3.3 Modulación de tono en AM Sea la señal moduladora en AM el tono de valor de pico Am dado por 2-54.
)tcos(A)t(x mm ω= (2-54) En este caso la señal de AM viene dada por 2-55.
)tcos()tcos(A)tcos(A)tcos())tcos(AA()t(y pmmpppmmpAM ωω+ω=ωω+= (2-55)
La forma de la onda en el tiempo se muestra en la figura 2.31, donde el índice de modulación es menor que 1.
Figura 2.31
t
Por envolvente
Se/Ne
Ss/Ns
Síncrono
umbral
23
El espectro de la señal modulada en AM se tiene en 2-56. Su transformada de Fourier se muestra en la figura 2.32.
[ ][ ])()()()(
2A
)()(A)(Y
mpmpmpmpm
pppAM
ω+ω+ωδ+ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδ+ω−ω−ωδπ+
+ω+ωδ+ω−ωδπ=ω (2-56)
Figura 2.32 La potencia de la señal de AM se tiene en 2-57.
4A
2A
2A
21
2A
P21
2A
P2m
2p
2m
2p
x
2p
AM +=+=+= (2-57)
El rendimiento en potencia en este caso se calcula en 2-58.
2m
2p
2m
2m
2p
2m
BLP
BL
AM
BL
AA2A
4A
2A
4A
PPP
PPientodimnRe
+=
+=
+==
(2-58) Si la demodulación fuese síncrona la señal en la salida del multiplicador viene dada por 2-59.
( )
t)2cos(4
At)2cos(4
A)t2cos(2
A)tcos(
2A
2A
)t2cos()tcos(A21)t2cos(
2A
)tcos(A21
2A
)t2cos(121))tcos(AA(
)t(cos))tcos(AA()tcos()t(y)t(r
mpm
mpm
pp
mmp
pmmpp
mmp
pmmp
p2
mmppAM
ω−ω+ω+ω+ω+ω+=
=ωω+ω+ω+=
=ω+ω+=
=ωω+=ω=
(2-59) En el dominio de la frecuencia se obtiene 2-60, se representa en la figura 2.33.
YAM(ω)
ω
2ωm
ωp -ωp
ωp+ωmωp-ωm
24
[ ] [ ]
[ ])2()2()2()2(4
A
)2()2(2
A)()(
2A)(A)(R
mpmpmpmpm
ppp
mmm
p
ω−ω+ωδ+ω+ω−ωδ+ω+ω+ωδ+ω−ω−ωδπ
+ω+ωδ+ω−ωδπ
+ω+ωδ+ω−ωδπ+ωπδ=ω (2-60)
Figura 2.33 A partir de R(ω) se obtiene la señal dada por 2-61 y 2-62 en la salida del filtro paso bajo, supuesto ideal con ancho de banda de B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso.
[ ])()(2
A)(A)(S mmm
p ω+ωδ+ω−ωδπ+ωπδ=ω (2-61)
)tcos(2
A2
A)t(s m
mp ω+= (2-62)
Solo falta añadir un circuito bloqueador de componente continua. Conviene mostrar la señal a la salida del multiplicador en el dominio del tiempo (figura 2.34).
Figura 2.34 En la figura 2.35 se muestra la señal de salida del rectificador de media onda cuando se realiza la demodulación asíncrona, en la señal modulada se cumple m<1.
t
R(ω)
ω
ωp -ωp ωm -ωm 2ωp
2ωp+ωm 2ωp-ωm -2ωp
-2ωp+ωm -2ωp-ωm
25
Figura 2.35 En la figura 2.36 se muestra la salida del rectificador de onda completa en el demodulador por detección de envolvente, para el mismo caso anterior.
Figura 2.36 En cualquiera de los casos anteriores, al rectificar la señal y filtrar paso bajo se obtendría una forma de onda proporcional al valor absoluto de la envolvente superior, donde ya se introduce una fuerte distorsión. En la figura 2.37 se muestra esta señal y la salida en el bloqueo de componente continua.
Figura 2.37
yAM(t)
r(t)
t
s(t)
Salida del bloqueo de componente continua
t
yAM(t)
r(t)
t