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Historia de la Matemática.
Los Tres Problemas Clásicos.
Pérez, Nora.
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Los Tres Problemas Clásicos.
Entre los griegos se consideraba que la forma correcta de resolver los
problemas geométricos era utilizando únicamente dos instrumentos: la regla
(sin graduar) y el compás.
Es muy posible que el responsable sea Platón, porque consideraba que
resolver los problemas geométricos por medios mecánicos, es decir, cualquier
otro que no fuese la regla y el compás, era vulgar y degradante. Así lo cuenta
Plutarco en sus Vidas paralelas: “...Platón se indispuso e indignó contra ellos
(Eudoxo y Arquitas), porque degradaban y echaban a perder lo más excelente
de la geometría con trasladarse de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y
emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales...”.
En su afán de estudiar la geometría con la única ayuda de la regla y el
compás, hacia el siglo V a.C. comenzaron a circular por la Grecia antigua una
serie de problemas que cautivaron a los matemáticos de la época.
Estos problemas, hoy llamados “problemas clásicos de la geometría”, son tres:
La duplicación del cubo,
La trisección del ángulo y
La cuadratura del círculo.
Enunciado de los tres problemas
1) Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo de volumen el doble del
anterior: duplicación del cubo.
2) Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la tercera partedel ángulo dado: trisección del ángulo.
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3) Dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado que tenga el mismo
área que el círculo: cuadratura del círculo. (Fernández)
La Duplicación del Cubo
Existe una leyenda que vincula el problema con los mismísimos dioses del
Olimpo.
Una epidemia de peste que apareció en Atenas hacia el 428 a.C. atemorizó
tanto a los ciudadanos que los dirigentes atenienses tuvieron que recurrir a
pedir ayuda al dios Apolo para que les ayudara a acabar con la epidemia.
Desde Atenas enviaron mensajeros para que consultaran al oráculo de Delos
qué podían hacer para acabar con el mal. Este les dijo que para terminar con la
peste tendrían que construir un altar de volumen doble que el que tenía Apolo
en el templo. La peste no acabó, pero los sobrevivientes trataron de construir
un altar; el cual era un cubo, con un volumen doble del que tenía Apolo.
“Eutocio, matemático del siglo VI formado en Constantinopla, y desconocido
para casi todo el mundo, nos brinda en su obra Comentarios , una versión del
origen del problema bien distinta, atribuida al mismísimo Eratóstenes. Tiene
como protagonista al rey Minos de Creta (el del Minotauro) y el objeto a
duplicar es, en este caso, el sepulcro de su hijo Glauco:
Escaso recinto señalaste para tumba real; que sea el doble y, sin que pierda
belleza, al punto duplica cada miembro del sepulcro
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El error de Minos era grave. Si se duplicaba el lado del cubo lo que
obtendrá es un cubo con un volumen ocho veces mayor que el de partida.
(Robertson., Historia de la Duplicación del Cubo, 1999)”
Los orígenes del problema de duplicar el cubo pueden ser un tanto
oscuros como acabamos de ver. Pero fueron muchos los matemáticos que
intentaron encontrar una solución, entre ellos están: Hipócrates de Quíos,
Arquitas de Taras, Eudoxo, Menecmo, Platón, Filón, Herón, Nicomedes y
Diocles.
Aunque todos intentaron métodos distintos para duplicar el cubo,
importantes descubrimientos matemáticos fueron realizados en los intentos, los
antiguos griegos nunca habrían de encontrar la solución que realmente
buscaban, es decir, una solución que pudiera hacerse mediante una
construcción con regla y compás. Nunca encontrarían tal construcción ya que
ésta no puede lograrse. Sin embargo, no había forma de que los antiguos
griegos pudieran demostrar este resultado porque requiere matemática que
estaban muy lejos de las que ellos desarrollaron. (Robertson., 1999)
Trisección de un ángulo.
Otro problema, que se hizo popular por las mismas fechas fue el de la
trisección del ángulo que consistía en dividir un ángulo cualquiera en tres
partes iguales con el único uso de la regla y el compás.
Hay muchas diferencias entre el problema de trisecar un ángulo y los
otros dos problemas griegos clásicos. En primer lugar no tiene ninguna historiaverdadera referente a la manera que el problema vino a ser estudiado. En
segundo lugar es un problema de un tipo algo diferente. Uno no puede ajustar
ningún círculo, ni puede uno doblar cualquier cubo. Sin embargo, es posible a
ciertos ángulos trisecarlos.
Aunque es difícil determinar la fecha exacta del momento en el que el
problema de trisecar un ángulo apareció por primera vez, sabemos que
Hipócrates, quien hizo la primera aportación importante a los problemas de
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cuadrar un círculo y duplicar un ángulo, también estudió el problema de trisecar
un ángulo empleando un método mecánico.
Otros matemáticos que aportaron soluciones mecánicas al problema
fueron Arquímedes, Nicomedes y Apolonio.
Los griegos 'mejoraron' sus soluciones al problema de trisecar un
ángulo, pero nunca progresaron hacia las soluciones planas porque sabemos
que son imposibles.
La Cuadratura del Círculo
Es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Entre los babilonios
y los egipcios consistía en hallar una razón expresable, entre el área de un
círculo y la de un cuadrado inscrito o circunscrito. Las aproximaciones que
habían obtenido con ese planteo les bastaban para sus necesidades.
El problema de la cuadratura del círculo lo plantearon los griegos de la
siguiente forma: construir a partir del radio r de un círculo un cuadrado de la
misma área que el círculo. El problema pasaba por relacionar el radio con el
área del círculo o la longitud de la circunferencia, es decir por determinar . El
problema del cálculo de apareció en el Papiro de Rhind, escrito hacia el 1700
a. C. y los egipcios estimaron un valor de = 3,1604938.
Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los
polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba
inaplicable y, al igual que en los otros dos problemas clásicos, los intentos de“cuadrar el círculo”, mediante la regla y el compas, resultaron infructuosos.
Son interesantes los intentos que en este sentido realizaron los sofistas
Antifón y Brisón. El primero llego a una conclusión final falsa. Brisón, por su
parte, habría señalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará
notables resultados.
Otros que dieron aportes importantes fueron Dinóstrato Eudoxio e
Hipócrates de Quíos.
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Conclusión.
“Los tres problemas clásicos de la antigüedad fueron promotores de las
más importantes investigaciones. Así el problema de la duplicación del cubocondujo a Eudoxio y Menecmo a profundizar en las cónicas dando paso al
tratado de Apolonio , también había conducido a Diocles , anteriormente ,a
inventar una curva de tercer grado ,la “cisoide de Diocles”, y fue causa de que
Nicomedes inventara la “concoide” ,que es una curva de cuarto grado…
Estos tres problemas junto con otros como la demostración del quinto
postulado de Euclides, así como el Teorema de Fermat entre otros han ejercido
una acción profunda en el progreso de las matemáticas y muchos matemáticos
trabajaron en forma directa o indirecta al tratar de resolverlos. (Autores Varios:
Francisco Florentino)”
Fueron tres matemáticos del siglo XIX quienes acabaron con los tres
problemas griegos, N.H. Abel, noruego, y Evaristo Galois, francés, ambos
muertos a temprana edad. Otro joven de 23 años, Pierre Wantzel en el tomo II
del Jornal de Mathématiques, publicado en 1837, demostró que lasconstrucciones con regla y compás conducen a cantidades expresables por
raíces cuadradas (pero no cubicas, quintas, etc.), por lo tanto no pueden ser
resueltas con regla y compás.