Función

Definición: una función es una relación entre dos conjuntos A y B llamados dominio y

rango de la función respectivamente, en donde a cada elemento del dominio le

corresponde uno y solo un elemento del rango.

Clasificación de funciones:

-Función Inyectiva: a los elementos del conjunto de llegada les corresponde a lo sumo un elemento del dominio (unicidad del conjunto de llegada)

-Función Sobreyectiva: a todos los elementos del conjunto de llegada les corresponde por lo menos uno del dominio (existencia del conjunto de llegada)

-Función Biyectiva: si es inyectiva y biyectiva. Notación f , :f A B! , ( )a f a! . Valor numérico ( )f x Gráfica de una función.

Si f es una función con dominio A, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados

( ){ }, ( )x f x x A! .

Prueba de la recta vertical.

Una curva en un plano corresponde a la gráfica de una función si y solo si ninguna recta

vertical (paralela al eje de las y) intersecta a la curva más de una vez.

x

Función f

Entrada Salida F(x)

Función

No es función

Dominio, rango y contradominio de una función

Definición.

Si f satisface la condición )()( xfxf !=! para todo número x de su dominio, entonces

se dice que f es una función impar.

Si f satisface la condición ( ) ( )f x f x= ! para todo número x de su dominio, entonces se

dice que f es una función par.

Ejercicio.

1. Para 1)( 2!= xxf encontrar:

)1(f , )(kf , )2(!f , !"#

$%&x

f1

, )3( tf , ( )3f , !"#

$%&

2

1

xf

2. Encontrar cada valor para !(t) =t

1+ t2

: )0(! , )4

1(! , )( 3

x! , )1(

4z

!

3. Encontrar el dominio de:

a) 32)( += zxF b) 4625)( yyh !!= c) 32)( += uu!

d) f (x) =4 ! x

2

x2! x ! 6

e) f (y) =1

y +1 f) f (x) =

3! x

x ! 2

4. Para las siguientes funciones, especificar si son par, impar o ninguna de las dos,

determinar su dominio y trazar su gráfica.

a) 4)( !=xf b) xxf 3)( = c) 12)( += xxF

d) 23)( != xxf e) g(x) =x

x2!1

f) !(z) =2z +1

z "1

g) 4)( 2+= xxh h) xxf 2)( = i) 3)( +!= ttF j)

g(x) =x

2 k) 12)( != xxG l) g(u) =

u3

8

m) !"

!#

$

%&

<<+

'

=

21

201

01

)(2

tsit

tsit

tsi

tg n) !"#

>

$+%=

13

14)(

2

xsix

xsixxh

Álgebra de funciones

Sean f y g funciones con dominio A y B respectivamente. Entonces las funciones

, , ,f

f g f g fgg

+ ! y f g! se definen como:

Suma de funciones

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + con dominio { }x x A B= ! "

Sustracción de funciones

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x! = ! con dominio { }x x A B= ! "

Producto de funciones

( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= con dominio { }x x A B= ! "

Cociente de funciones

( )( )( )

( )

f f xx

g g x= con dominio { }, ( ) 0x x A B g x= ! " #

Composición de funciones

[ ]( )( ) ( )f g x f g x=! con dominio { }Rango( ( )) Dominio( ( ))x x g x f x= ! "

Ejercicio.

1. Sea 4 1)( += xxF y 29)( xxG != encontrar: GF + , GF ! , F

G y 5F y

determine sus respectivos dominios.

2. Sean f (x) =6x

x2! 9

y xxg 3)( = encontrar ( )( )12gf ! y ( )( )xgf ! dando

su dominio.

3. Para f (x) =x

x !1 y 21)( xxg += encontrar cada valor (si es posible)

a) ( )( )2gf + b) ( )( )0gf ! c) ( )3!!"

#$$%

&g

f d)

( )( )0gf !

4. Si 2)( 3+= xxf y

1

2)(

!=x

xg establecer una fórmula para las siguientes

expresiones y determinar su dominio.

a) ( )( )xgf + b) ( )( )xgf ! c) ( )xg

f!!"

#$$%

& d)

( )( )xgf !

e) ( )( )xfg ! Tipos de funciones.

- Función constante. ( )f x c= , donde c es un valor real

( ) 5f x =

( ) 2f x = !

- Función potencia. ( ) nf x x=

2( )f x x=

3( )f x x=

- Función raíz. ( ) nf x x=

( )f x x=

5( )f x x=

- Función recíproca. 1

( )f xx

=

1( )f x

x=

2

1( )f x

x=

- Función polinomio. 1 2

1 2 1 0( ) ...n n n

n n nf x a x a x a x a x a! !

! != + + + + +

Función lineal. 1 0( )f x a x a= + Función cuadrática. 2

2 1 0( )f x a x a x a= + +

Función cúbica. 3 2

3 2 1 0( )f x a x a x a x a= + + +

1( ) 3

4f x x= ! +

2( ) 4 8f x x x= ! +

-1 -0.5 0.5 1

-2

-1

1

2

3

-2 2 4 6

5

10

15

20

25

3 21( ) 5 3

3f x x x x= ! + + !

-3 -2 -1 1 2 3 4

-15

-10

-5

5

10

6 2( ) 1f x x x x= + + +

-2 -1 1 2

10

20

30

40

- Función racional. ( )

( )( )

P xf x

Q x= , donde P y Q son polinomios Y ( ) 0Q x !

2 5( )

2 5

x xf x

x

+=

+

-6 -4 -2 2

-60

-40

-20

20

40

60

2

3( )

8 9

xf x

x x=

+ !

-1 1 2 3

-15

-10

-5

5

10

- Función trascendente

Función exponencial. ( ) xf x a= donde a es una constante positiva

Función logarítmica. ( ) logaf x x=

Función trigonométrica. Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

( ) 4xf x =

-1 1 2 3

10

20

30

40

50

60

( )f x Log x=

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

( )f x Sin x=

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

( )f x Cos x=

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-1

-0.5

0.5

1

- Función mayor entero

Se denota por el símbolo

x!"#$%& sirve para denotar en entero más alto que sea mayor o

igual a x , esto es:

x!"#$%& = n si n x<n+1! donde n es un entero

f x( ) = x!"#

$%& , encontrar ( ) 3f x = , ( ) 4f x = ! , ( ) 1.4f x = , ( ) 1.6f x = ! , ( )

3

5f x = ,

( )7

5f x = ! ,...,