316

Cuerpos geomtricos11

POLIEDROS REGULARES

PRISMAS

REA TOTAL

AT = PB h + 2AB

REA TOTAL

AP a P a

T

B B=

+

2 2

'

PIRMIDES

POLIEDROS

CILINDRO CONO

REA TOTAL

AT = pirg + pir 2REA TOTAL

AT = 2pirh + 2pir 2REA TOTAL

AT = 4pir 2

ESFERA

CUERPOS DE REVOLUCIN

El centro del universo

Como a otros les ocurri antes y a otros muchos despus, Aristarco de Samos se vio irremediablemente atrado por Alejandra: una ciudad tranquila, patria adoptiva de sabios y protectora del conocimiento.

La magnfica biblioteca de la ciudad le abri sus puertas y Aristarco se empap de los conocimientos de los sabios de otros tiempos. Despus, tras aos de silencioso estudio se decidi por fin a hacer pblicas sus teoras y, ante un concurrido auditorio de sabios, comenz:

Amigos, tras exhaustivos estudios puedo afirmar que la Tierra no est inmvil: se mueve en crculo alrededor del Sol, completando un crculo cada ao y, adems, gira sobre s misma, una vuelta cada da.

Un murmullo de protestas se alz en la sala, entre insultos y burlas que le decan:

Partiendo del hecho de que la Tierra es redonda, lo que ha sido probado por Aristteles, si girara una vuelta cada da, la velocidad en la superficie sera tan elevada que nunca podramos avanzar hacia el Este, pues la Tierra nos adelantara.

Aristarco, en vano, intentaba explicar que ellos tambin giraban a la misma velocidad. Incapaz de convencer al auditorio, recogi los escritos donde explicaba su teora y abandon la sala, diciendo:

A veces lo ms necio es un hombre sabio.

Seala el eje de giro y el radio de la esfera.

Eje

Radio

318

EJERCICIOS

Determina el nombre de los siguientes poliedros. Cuntas caras tienen?

Y cuntas aristas?

a) Pirmide cuadrangular: 5 caras y 8 aristas.

b) Prisma triangular: 5 caras y 9 aristas.

Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior,

indicando los pasos que sigues al hacerlo.

Justifica si es verdadero o falso.

a) En un poliedro, todas sus caras son iguales.

b) El menor nmero de caras de un poliedro es 4.

c) En cada vrtice de un poliedro concurre siempre el mismo nmero de aristas.

a) Falso, pues las caras pueden ser diferentes, y solo son iguales

en los poliedros regulares.

b) Verdadero, ya que el polgono con menor nmero de aristas tiene 3 aristas,

y como cada arista es la interseccin con otra cara, son 4 caras.

c) Falso, por ejemplo en los vrtices de la base de las pirmides concurren

3 aristas, y en el vrtice superior concurren tantas aristas como lados tiene

la base.

Prueba que todos los poliedros regulares cumplen la frmula de Euler.

Tetraedro Caras: 4, vrtices: 4, aristas: 6 4 + 4 = 6 + 2

Cubo Caras: 6, vrtices: 8, aristas: 12 6 + 8 = 12 + 2

Octaedro Caras: 8, vrtices: 6, aristas: 12 8 + 6 = 12 + 2

Dodecaedro Caras: 12, vrtices: 20, aristas: 30 12 + 20 = 30 + 2

Icosaedro Caras: 20, vrtices: 12, aristas: 30 20 + 12 = 30 + 2

004

003

002

a) b)

001

Cuerpos geomtricos

319

11

Determina el nmero de caras que concurre en los vrtices de cada uno

de los poliedros regulares.

Tetraedro: 3 caras. Dodecaedro: 3 caras.

Cubo: 3 caras. Icosaedro: 5 caras.

Octaedro: 4 caras.

Dibuja un poliedro que tenga 7 vrtices. Cumple la frmula de Euler?

Caras: 7.

Aristas: 12.

Vrtices: 7.

C + V = A + 2

7 + 7 = 12 + 2

Puede existir un poliedro regular de 3 caras?

No es posible, ya que el polgono con menor nmero de aristas

tiene 3 aristas, y como cada arista es la interseccin con otra cara,

al menos tendr 4 caras.

Dibuja un prisma recto de base triangular y otro de base pentagonal.

a) Calcula su nmero de caras, aristas y vrtices.

b) Cumplen la frmula de Euler?

c) Dibuja sus desarrollos planos.

a) Prisma triangular Caras: 5, aristas: 9, vrtices: 6

Prisma pentagonal Caras: 7, aristas: 15, vrtices: 10

b) Prisma triangular 5 + 6 = 9 + 2

Prisma pentagonal 7 + 10 = 15 + 2

c)

008

007

006

005

SOLUCIONARIO

F

F

320

Dibuja el desarrollo plano de un prisma oblicuo de base cuadrangular.

Qu polgono forma la base de un prisma que tiene 18 aristas?

La base del prisma es un hexgono.

Calcula el rea de un cubo cuya arista mide 2 cm.

A = 6 AB = 6 22= 24 cm2

Determina el rea de un prisma:

a) Pentagonal regular de altura 10 cm, lado de la base 4 cm

y apotema 2,75 cm.

b) Triangular regular de altura 8 cm, lado de la base 4 cm y altura

de la base 3,46 cm.

a)

b)

Un prisma cuadrangular recto, con arista de la base de 3 cm, tiene un rea

total de 78 cm2. Calcula su altura.

Halla la longitud de la arista de un cubo para que su rea sea igual

que la de un ortoedro de 6 cm de ancho, 3 cm de alto y 2 cm de profundidad.

AOrtoedro = 2 6 3 + 2 6 2 + 2 3 2 = 72 cm2

ACubo = 6l2 6l2 = 72 l = = 3,46 cm

La arista mide 3,46 cm.

12

014

A A P h h hB= + = + = =2 78 2 3 3 460

1252 cm

013

A P hP a

= + = + =2

212 8 12 23,46 140,98 cm

A P hP a

= + = + =2

220 10 20 455 22,75 cm

012

011

010

009

Cuerpos geomtricos

321

11

Dibuja una pirmide recta de base triangular y otra de base pentagonal.

a) Calcula su nmero de caras, aristas y vrtices.

b) Comprueba que ambos poliedros cumplen la frmula de Euler.

c) Dibuja sus desarrollos planos.

a) Pirmide triangular Caras: 4, aristas: 6, vrtices: 4

Pirmide pentagonal Caras: 6, aristas: 10, vrtices: 6

b) Pirmide triangular 4 + 4 = 6 + 2

Pirmide pentagonal 6 + 6 = 10 + 2

c)

Dibuja el desarrollo plano de una pirmide oblicua de base cuadrangular.

Qu polgono forma la base de una pirmide que tiene 18 aristas?

Y de una pirmide que tiene 9 vrtices?

La pirmide con 18 aristas tiene un enegono de base.

La pirmide con 9 vrtices tiene un octgono de base.

017

016

015

SOLUCIONARIO

Calcula el rea de una pirmide regular de base cuadrangular, si su arista bsica

mide 7 cm y la altura de sus caras laterales es 4 cm.

AL 56 cm2

AB = l2= 72 = 49 cm2

AT = AL + AB = 56 + 49 = 105 cm2

Halla el rea total de una pirmide cuadrangular de altura 4 cm y arista

de la base 4 cm.

La altura de los tringulos laterales es:

a = = 4,47 cm

Determina el rea total de la pirmide regular.

La apotema del hexgono es:

La altura de los tringulos laterales es:

Dibuja el desarrollo plano de un cilindro de 3 cm de radio y 7 cm de altura.021

A AP a

T B= +=

+

=

'

2

18

2

18

2

22,6 4,77 66,33 cm

a a h' = + = =2 2 22,75 4,77 cm

a = = =3

4

27

4

2l 2,6 cm

4 c

m

3 cm

020

A A AT B t= + = +

=4 4 4 44

2

24,47 51,76 cm

16 4+

019

= =

=4

24

7 4

2

b a

018

322

7 c

m

9,42 cm

3 cm

Cuerpos geomtricos

Dibuja el desarrollo plano de un cilindro cuya circunferencia de la base

mide 12 cm y tiene una altura de 6 cm.

Determina los cuerpos de revolucin que al girar generan estas figuras planas.

Calcula el rea total de un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 7 cm.

AL = 2pirh = 2pi 7 10 = 439,6 cm2

AB = pir2

= pi 72 = 153,86 cm2

AT = AL + 2 AB = 747,32 cm2

Luis y Ana tienen que forrar un tubo cilndrico de 12 m de altura y 2 m

de dimetro. Si el papel les cuesta 12 /m2, cunto les costar forrar

la superficie lateral del tubo?

AL = 2pirh = 2pi 1 12 = 75,36 m2

Les costar forrarla: 75,36 12 = 904,32 .

Halla la superficie total de un tronco de madera cilndrico recto,

de 3 m de altura y dimetro de la base de 30 cm.

AL = 2pirh = 2pi 0,15 3 = 2,83 m2

AB = pir2

= pi 0,152 = 0,07 m2

AT = AL + 2 AB = 2,97 m2

026

025

024

324

Un botn de forma cilndrica tiene una altura de 1 mm. Si su rea

total es 188,4 mm2, cabe por un ojal que tiene una altura de 8 mm?

Calculamos el dimetro del botn:

A = 2pir 2 + 2pirh 188,4 = 2pi (r 2 + r) 30 = r 2 + r r 2 + r 30 = 0

Por tanto, el dimetro es 12 mm, y no cabe por el ojal de 8 mm.

Dibuja el desarrollo plano de un cono con radio de la base 4 cm

y generatriz 8 cm.

Calcula la generatriz del cono.

g = + =5 42 2 6,4 cm

325

11

Determina la altura de este cono.

132 = h2 + 92

h2 = 132 92

Un tringulo equiltero, al girar sobre cualquiera de sus lados, genera un cono?

Y uno obtusngulo?

Solo generan conos los tringulos rectngulos al girar sobre uno

de sus catetos.

Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de dimetro de la base.

Calcula su rea total.

AL = pirg = pi 4 12 = 150,72 cm2

AB = pir2

= pi 42 = 50,24 cm2

AT = AL + AB = 150,72 + 50,24 = 200,96 cm2

Cul es el rea de esta esfera?

A = 4pi 52 = 314 cm2

Se desea cubrir con lona un torren de forma cnica de 15 m de altura

y dimetro de 8 m. Qu cantidad de lona se necesita?

Hallamos su generatriz:

AL = pirg = pi 4 15,5 = 194,98 m2

Razona si un crculo puede generar una esfera. Cuntos ejes de giro puede tener?

Un crculo genera una esfera al girar sobre alguno de sus dimetros,

por lo que tiene infinitos ejes de giro.

035

g = + = + = =15 4 225 16 2412 2 15,5 m15 m

4 m

g

034

5 cmG

033

032

031

h = =13 92 2 9,38 cm

030

326

ACTIVIDADES

Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la diagonal del cubo.

Diagonal de la cara:

Aplicamos el teorema de Pitgoras:

d 2 = 52 + 52 d 2 = 50 d = 7,07 cm

037

036

Cuerpos geomtricos

HAZLO AS

CMO SE CALCULAN LAS DIAGONALES DE UN ORTOEDRO CONOCIENDO SUS ARISTAS?

Calcula la longitud de las diagonales de este ortoedro.

PRIMERO. Se identifican los tipos de diagonales que hay en el poliedro.

En un ortoedro hay tres tipos de diagonales: las de sus caras laterales, las de sus

bases y las situadas entre vrtices de caras opuestas.

SEGUNDO. Se determinan las diagonales de las caras, que son la hipotenusa del

tringulo rectngulo cuyos catetos son los lados de la cara. Se aplica el teorema de

Pitgoras.

d 2 = 22 + 42

d 2 = 22 + 22

TERCERO. Se determinan las diagonales que hay situadas entre vrtices de caras

opuestas.

Estas diagonales son la hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son las

diagonales de las caras laterales y las aristas de la base. Se aplica el teorema de

Pitgoras.

d 2 = 22 + 4,472

d = + =22 24,47 4,9 cm

4,47 cm

2 c

md

d = + =2 2 2 832 2 , cm2 cm

2 c

m d

d = + =2 4 4 472 2 , cm4 cm

2 c

m d

4 cm2 c

m

2 cm

D

d

d

5 cm

5 c

m

327

11

Diagonal del cubo:

Aparece otra vez un tringulo rectngulo:

D 2 = 52 + 7,072 D 2 = 74,98 D = 8,66 cm

Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud

de las diagonales de las caras y de la diagonal del ortoedro.

Diagonal de la cara rectangular mayor:

Aplicamos el teorema de Pitgoras:

d 2 = 52 + 92 d 2 = 106 d = 10,3 cm

Diagonal de la cara rectangular menor:

Aplicamos el teorema de Pitgoras:

d' 2 = 72 + 52 d' 2 = 74 d' = 8,6 cm

Diagonal del ortoedro:

Aparece otra vez un tringulo rectngulo:

D 2 = 72 + 10,32 D 2 = 155,09 D = 12,45 cm

Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la arista

y de la diagonal del cubo.

d 2 = l2 + l2 = 2l2

D 2 = l2 + d 2

Completa la tabla, sabiendo que los datos pertenecen a poliedros

en los que se cumple la frmula de Euler.

040

D D= + = + = =4 2 2 16 8 242 2( ) 4,9 cm

dd

= = = =l l22

4

22 2 cm

039

038

SOLUCIONARIO

D

7,07 cm

D

5 c

m

5 c

m d

9 cm

5 c

m

7 cm

d'

7 c

m 9 cm

5 cm10,3 cm

D

D

N. de caras N. de vrtices N. de aristas

9 14 21

6 8 12

11 18 27

12 20 30

10 16 24

7 c

m

328

Clasifica los siguientes poliedros en cncavos o convexos. Evala si cumplen

la frmula de Euler.

a) c) e) g)

b) d) f) h)

a) Convexo. Caras: 24, vrtices: 14, aristas: 36 24 + 14 = 36 + 2 S cumple la frmula de Euler.

b) Cncavo. La cumple por ser cncavo.

c) Cncavo. La cumple por ser cncavo.

d) Convexo. Caras: 10, vrtices: 16, aristas: 24 10 + 16 = 24 + 2 S cumple la frmula de Euler.

e) Cncavo. La cumple por ser cncavo.

f) Cncavo. La cumple por ser cncavo.

g) Convexo. Caras: 10, vrtices: 16, aristas: 24 10 + 16 = 24 + 2 S cumple la frmula de Euler.

h) Convexo. Caras: 9, vrtices: 13, aristas: 21 9 + 13 21 + 2 No cumple la frmula de Euler.

Comprueba que se cumple la frmula de Euler.

Qu poliedro o poliedros regulares se pueden obtener utilizando como

caras tringulos equilteros? Y con pentgonos regulares? Y con hexgonos

regulares?

Tringulos equilteros: tetraedro, octaedro e icosaedro.

Pentgonos regulares: dodecaedro.

Hexgonos regulares: no se puede obtener ningn poliedro regular.

043

042

041

Cuerpos geomtricos

Poliedro N. de caras N. de vrtices N. de aristas C + V A + 2

Tetraedro 4 4 6 8 8

Cubo 6 8 12 14 14

Octaedro 8 6 12 14 14

Dodecaedro 12 20 30 32 32

Icosaedro 20 12 30 32 32

329

11

Dibuja estos prismas, indicando todos sus elementos. Dibuja tambin

sus desarrollos planos.

a) Prisma triangular

b) Prisma cuadrangular

c) Prisma pentagonal

d) Prisma hexagonal

a)

b)

c)

d)

Dibuja un prisma regular y otro irregular.

Regular Irregular

045

F

F

F

F

044

SOLUCIONARIO

330

Dibuja un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma base.

Recto Oblicuo

Dibuja un prisma pentagonal regular y su desarrollo. Colorea en azul el rea

lateral, y en rojo, el rea de las bases. Cmo se calcula el rea total?

AT = AL + 2 AB

Seala qu afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas.

Justifica tu decisin.

a) Un cubo es un ortoedro.

b) La altura de un prisma oblicuo es la arista lateral.

c) Los prismas oblicuos se clasifican en regulares e irregulares.

a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Falsa, pues todos los prismas oblicuos son irregulares.

048

047

046

Cuerpos geomtricos

h

F

331

11

Calcula el rea total de estos prismas.

a) d) g) i)

b) e) h) j)

c) f)

a) A = 2 2 7 + 2 2 4 + 2 4 7 = 100 cm2

b)

c)

d)

e)

f) A = 6 72 = 294 cm2

g)

h)

i)

j)

A =

+ =28

23 8 2

6,935,2 180,24 cm

hCara Lateral 5,2 cm= =6 32 2

hTringulo 6,93 cm= =8 42 2

A =

+ =2 86

248 15 2

7,241.067,52 cm

A =

+ =2 55

25 5 11 361 2

3,44cm

h = =4,25 2,5 3,44 cm2 2

A =

+ =68

26 8 12 2

6,93742,32 cm

a = =8 42 2 6,93 cm

A = + =2

6 4

28 5 3 144 2cm

h = =5 3 42 2 cm

A =

+ =25 5

25 5 12 386 2

3,44cm

A =

+ =2 66 5 2

26 6 8 2

,475,2 cm

A =

+ =25

23 5 9 2

4,33156,65 cm

h = =52 22,5 4,33 cm

049

7 cm

7 cm

4 c

m

8 cm

12 c

m

5 cm

9 c

m

12 c

m

15 c

m

6 cm

5 cm 6 cm

8 c

m

5 c

m

5 cm

6 c

m

3 cm8 cm

6 cm

5,2 cm

4,25 cm

8 c

m

2 cm

5 c

m

G

G

G

5 cm

4,25 cm

7,24 cm

11 c

m

G

SOLUCIONARIO

332

El rea total de un cubo mide 24 cm2. Calcula la arista del cubo, la diagonal de la cara y la diagonal del cubo.

A = 6l2 24 = 6l2 l = 2 cm

d 2 = l2 + l2

D 2 = 3l2

Halla la diagonal de un cubo de rea total 150 m2.

A = 6l2 150 = 6l2 l = 5 m

Diagonal de la cara:

Aplicamos el teorema de Pitgoras:

d 2 = 52 + 52 d 2 = 50 d = 7,07 m

Diagonal del cubo:

Aparece otra vez un tringulo rectngulo:

D 2 = 52 + 7,072 D 2 = 74,98 D = 8,66 m

052

D = =l 3 2 3 cm

d = =l 2 2 2 cm

051

050

Cuerpos geomtricos

HAZLO AS

CMO SE CALCULA LA ARISTA DE UN CUBO CONOCIENDO SU REA?

Calcula la arista de un cubo sabiendo que su rea es 54 cm2.

PRIMERO. Se aplica la frmula del rea total.

AT = 6 ACuadrado = 6 l l = 6l2

SEGUNDO. Se iguala con el rea conocida.

6 5454

69 9 32 2l l l= = = = = cm

l

l

D

D

d

d

5 m

7,07 m

D

5 m

5 m

333

11

Calcula el rea de los tringulos coloreados.

a) c)

b) d)

a) La diagonal de cada cara es: .

Se forma un tringulo equiltero, de lado 19,8 cm.

b) La diagonal de cada cara es: .

Se forma un tringulo rectngulo, de catetos 28,28 cm y 20 cm.

c) Las diagonales de cada cara son:

Se forma un tringulo, de lados 14,42 cm, 13 cm y 9,43 cm.

169 89 + 208 = 28,84x x = 9,67 cm

h2 = 132 x2 h2 = 169 93,58 h = 8,68 cm

d) La diagonal del lateral es: .

Se forma un tringulo rectngulo, de catetos 7,21 cm y 10 cm.

A =

=10

2

27,21 36,05 cm

d = + =16 36 7,21 cm

A =

=14,42 8,68

62,58 cm2

2

x = 9,67

h x

h xx

2 2 2

2 2 2

2 213 13=

=

=

9,43 14,42( ) 99,43 14,422 2 ( )x

d 32 28 5= + = 9,43 cm

d 22 212 5= + = 13 cm

d 12 212 8= + = 14,42 cm

A =

=20

2

228,28 282,8 cm

d = + =20 202 2 28,28 cm

A =

=19,8 17,15

cm2

169 78 2,

h = =392 98 17,15 cm

d = + =14 142 2 19,8 cm

10 cm6 c

m

4 c

m

20 c

m12 cm

8 cm

5 c

m

14 c

m

053

SOLUCIONARIO

334

Dibuja estas pirmides y su desarrollo plano, indicando todos sus elementos.

a) Pirmide triangular c) Pirmide pentagonal

b) Pirmide cuadrangular d) Pirmide hexagonal

a)

b)

c)

d)

Dibuja una pirmide regular y otra irregular.

Regular Irregular

055

054

Cuerpos geomtricos

F

F

F

F

Dibuja una pirmide recta y otra oblicua que tengan la misma base.

Recta Oblicua

Dibuja el desarrollo plano de una pirmide triangular regular con aristas laterales

de 6 cm, y base, un tringulo equiltero de 4 cm de lado.

Identifica similitudes y diferencias entre una pirmide triangular regular

y un tetraedro.

El tetraedro es una pirmide triangular con la caracterstica de que las aristas

laterales miden igual que las aristas de la base, por lo que es una pirmide

triangular regular.

Seala qu afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas.

Justifica tu decisin.

a) En una pirmide regular, las caras laterales son tringulos equilteros.

b) Una pirmide es un prisma triangular.

c) La altura de una pirmide es cualquiera de sus aristas laterales.

d) Una pirmide regular es un tetraedro.

a) Falsa, pues los tringulos son issceles.

b) Falsa, ya que la pirmide tiene caras laterales que son tringulos,

y los prismas, paralelogramos.

c) Falsa, porque la altura es la perpendicular que pasa por el vrtice superior.

d) Falsa, ya que el tetraedro es una pirmide regular en la que las aristas

laterales miden igual que las aristas de la base.

059

058

057

056

335

11SOLUCIONARIO

4 c

m

6 c

m

F

336

Calcula el rea total de estas pirmides.

Pirmide cuadrangular:

AT = AB + AL = 252+ 100 31,62 = 3.787 m2

Pirmide pentagonal:

A A AT B L= + =

+

=30

2

30

2

24,12 8,49 189,15 m

a' = =5,1 4,12 m2 23

a = =9 32 2 8,49 m

a = =34 12 52 2, 31,62 m

34 m

25 m

9 m

6 m

5,1 m F

061

060

Cuerpos geomtricos

HAZLO AS

CMO SE CALCULA EL REA DE UNA PIRMIDE CONOCIENDO SUS ARISTAS?

Calcula el rea total de esta pirmide.

PRIMERO. Se calcula la apotema de la pirmide.

Se aplica el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo for-

mado por: la apotema de la pirmide, la mitad del lado de la

base y la arista lateral.

252 = a2 + 52

SEGUNDO. Se calcula la apotema de la base.

Se aplica el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo formado por: la apotema

de la base, la mitad del lado de la base y el radio de la base.

TERCERO. Se determina el rea.

AP a P a

T

B B=

+

=

+

=

2 2

6 10 24 49

2

6 10 8 66

2

' ( ) , ( ) ,9994,5 cm2

10 5 10 52 2 2 2 2= + = =( ) 8,66 cma a' '

10 c

m

5 cm

r = 10 cm

r

a'r

F

a = =25 5 24 492 2 , cm5 cm

25 cm

a

10 cm

25 cm

a

337

11

Halla el rea total de un tetraedro de arista:

a) 3 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 6,2 cm

a)

b)

c)

d)

Calcula el rea total de estas pirmides.

a) b)

a)

b)

Determina el rea total de una pirmide pentagonal que tiene un rea de la base

de 100 cm2 y una altura de 20 cm.

Como la base es un hexgono: .

Calculamos la apotema de la pirmide:

El rea lateral es: .

AT = 100 + 385,02 = 485,2 cm2

AL =

=62

26,2 20,7 385,02 cm

a = + =5,36 20,7 cm2 220

l l= = =38,5 6,2 cm 5,36 cm3

2

3 3

2100

100 2

3 3

2 2l l= =

= 38,5

AB =

=6

3

2

2

3 3

2

2

l l

l

064

A A AT B L= + =

+

=36

2

32

2

25,2 9,54 265,52 m

a' = + =8 272 9,54 ma = =6 32 2 5,2 m

A A AT B L= + = +

=6432

2

210,77 236,32 m

a = + =10 42 2 10,77 m

8 m

6 m

10 m

8 m

063

A AT B= =

=4 42

26,2 5,37 66,59 cma = =6,2 3,1 5,37 cm2 2

A AT B= =

=4 49

2

27,79 140,22 cma = =92 24,5 7,79 cm

A AT B= =

=4 45

2

24,33 34,3 cma = =52 22,5 4,33 cm

A AT B= =

=4 43

2

22,6 15,6 cma = =32 21,5 2,6 cm

062

SOLUCIONARIO

l

3

2l

l

2

G

El rea total de una pirmide cuadrangular regular es 4 cm2 y su altura

mide 6 cm. Calcula la arista que tiene un cubo cuya rea total es igual

que la de la pirmide.

AT = 6 AB 4 = 6l2 l = 0,81 cm

Halla la longitud de la arista de un tetraedro, para que su rea sea igual

que la de una pirmide hexagonal regular, con arista bsica 3 cm y apotema

de sus caras laterales 10 cm.

Pirmide hexagonal:

Tetraedro:

La arista del tetraedro es 8,1 cm.

La altura de un cilindro es 9 cm y el dimetro de la base mide 6 cm.

Dibuja su desarrollo.

Calcula el rea total de estos cilindros.

a) b)

a) A = 2pi 72 + 2pi 7 10 = 747,32 m2

b) A = 2pi 122 + 2pi 12 5 = 1.281,12 m2

339

11

Halla la altura de un cilindro de rea lateral 756,6 cm2 y radio

de la base 10 cm.

AL = 2pirg 756,6 = 2pi 10 g

El rea total de un cilindro es 471 cm2 y su altura es el doble de su radio.

Obtn la altura y el radio.

471 = 2pir 2 + 2pir 2r 471 = 6pir 2 r = 5 cm

h = 2r h = 10 cm

Dibuja el desarrollo de un cono, y calcula el valor de la longitud del arco

del sector correspondiente, si el radio de la base del cono es 4 cm

y su generatriz 15 cm.

La longitud de arco es igual a la longitud de la circunferencia de la base:

L = 2pi 4 = 25,12 cm.

Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de dimetro de la base.

Calcula su rea total.

A = 2pi 42 + 2pi 4 12 = 401,92 cm2

Halla la altura de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio

de la base 5 cm.

Obtn el radio de una esfera, sabiendo que el rea de su superficie

es 803,84 cm2.

A = 4pir 2 803,84 = 4pir 2 r = 8 cm

074

h = =13 5 122 5 cm

073

072

071

r = 5 cm

471 2 2

2

2= +

=

pi pir rh

h r

070

g = =756,6

62,8cm12

069

SOLUCIONARIO

15 c

m

4 c

m

341

11

Calcula el rea lateral y total de un monolito en forma de pirmide hexagonal,

cuyo lado del hexgono mide 10 cm y el lado de los tringulos laterales

mide 25 cm.

AL = 60 24,49 = 1.469,4 cm2

Determina el coste de construir este edificio, sabiendo que el metro cuadrado

de ladrillos cuesta 4,35 , y el de tejas, 9,65 .

Tejado de la torre:

Tejado de la iglesia:

A = 2 15,81 30 = 948,6 m2

Fachadas laterales: 2 (30 15 + 10 30) = 1.500 m2

Fachadas frontales y traseras: 15 30 + 15 15 + 15 15 = 900 m2

Coste de las tejas: (223,6 + 948,6) 9,65 = 11.311,73

Coste de los ladrillos: (1.500 + 900) 4,35 = 10.440

Coste total: 11.311,73 + 10.440 = 21.751,73

Una tienda de campaa de forma cnica tiene una altura de 2 m y un dimetro

de 1 m. Cuntos metros cuadrados se necesitan para forrarla, incluyendo

la base?

El rea total de la tienda es la superficie que hay que forrar:

A = pi 0,52 + 2pi 0,5 2 = 7,065 m2

081

l = + =15 52 2 15,81 m

A =

=40

2

211,18 223,6 m

a = + =10 52 2 11,18 m

080

AT =

+ =60

2

28,66 1.469,4 1.729,2 cm

a' = =25 52 2 24,49 cm

a = =10 52 2 8,66 cm

079

15 m

30 m10 m

15 m

10 m

5 m G

GF

30 m

GF

SOLUCIONARIO

342

Una bobina de papel de forma cilndrica tiene una altura de 1,75 m

y un dimetro de la base circular de 80 cm. Calcula el rea total.

A = 2pi 402 + 2pi 40 175 = 54.008 cm2

Determina la superficie esfrica de un baln que tiene 30 cm de dimetro.

A = 4pi 152 = 2.826 cm2

Obtn el rea total de estas figuras.

rea de la casa:

rea del helado:

rea de la cpula:

Si consideramos C = 11, V = 11 y A = 20 se cumple la frmula de Euler.

Existe algn poliedro cuyas caras, aristas y vrtices coincidan

con esas cantidades? En caso afirmativo, dibjalo.

S, por ejemplo un prisma coronado por una pirmide.

085

A =

+ =4 5

25

22pi

pi 235,5 m2

A =+

=

4 3

2

2 3 7

2

pi pi94,2 cm2

A = + +

=pi pipi

3 2 32

22 2,5

3,5 4,03119,65 m2

g Tejado 3,5 4,03 m= + =22 2

7 c

m

3 m

2,5

m

3,5 m

2 m

10 m

5 m

3 cm

084

083

082

Cuerpos geomtricos

343

11

Con 1.000 cubitos construimos un cubo que tiene 10 cubitos por arista.

A continuacin, pintamos las 6 caras del cubo. Cuntos cubitos tienen 3 caras

pintadas? Cuntos cubitos tienen 2 caras pintadas? Y cuntos tienen 1 cara?

Cuntos cubitos no tienen ninguna cara pintada?

Tienen 3 caras pintadas los cubitos que forman las esquinas: 8 cubitos.

Tienen 2 caras pintadas los cubitos que forman las aristas menos

los que estn en las esquinas: 12 8 = 96 cubitos.

Tienen 1 cara pintada los cubitos que forman las caras exteriores menos

las aristas: 81 6 = 486 cubitos.

No tienen ninguna cara pintada: 1.000 486 96 8 = 810 cubitos.

Ariel tiene 36 cubitos de madera para hacer construcciones. Cuntos prismas

diferentes puede formar utilizando todos los cubitos?

Considerando que son iguales los prismas que tienen las mismas

dimensiones, aunque estn en posicin diferente, tenemos estos prismas

con las siguientes dimensiones.

1 1 36 1 6 6

1 2 18 2 2 9

1 3 12 2 3 6

1 4 9 3 3 4

En total, se pueden formar 8 prismas diferentes.

Una hormiga se desplaza desde el punto X al punto Y

sobre la superficie de un cilindro.

Cul es la mnima distancia recorrida por la hormiga?

La mnima distancia recorrida es dando menos

de una vuelta. Si desarrollamos el rea lateral,

la distancia es la diagonal de un rectngulo

de base la mitad de la circunferencia,

y de altura, la altura del cilindro.

L = + h r2 2( )pi

088

087

086

SOLUCIONARIO

X

Y

pi r

h L

344

EN LA VIDA COTIDIANA

La empresa FACHADAS LIMPIAS se dedica al cuidado y limpieza de fachadas

de edificios. El ltimo trabajo que les han encargado consiste en limpiar

las ventanas y puertas, as como pulir el mrmol de la fachada de un edificio.

Para elaborar el presupuesto, un tcnico se ha acercado hasta el edificio

para tomar medidas.

Estas medidas se entregan en el departamento de Facturacin y Presupuestos,

donde se calculan los costes de la limpieza.

089

17 m9

m

2 m

1 m

1m1 m

2 m

3 m

5 m

Cuerpos geomtricos

345

Cul es el coste de la limpieza total del edificio?

Suponemos que el edificio ocupa la totalidad de la manzana

y que las ventanas se reparten de manera similar por todo el edificio.

El nmero de ventanas es: 2 9 4 + 2 2 9 = 108 ventanas, que tienen

un rea de: 108 1 2 = 216 m2, que es la superficie de cristal

de las plantas altas.

El mrmol que recubre cada ventana tiene una superficie

de: 3 4 1 2 = 10 m2, siendo 1.080 m2 la superficie de mrmol

en las plantas altas.

En la planta baja hay una puerta con 8 cristales de: 2 3 = 6 m2, que hacen

un total de 48 m2 de cristal en la planta baja.

La superficie de mrmol de la planta baja es la superficie del zcalo menos

la del espacio de la puerta: (17 2 + 9 2) 5 4 3 = 248 m2.

El coste de la limpieza del edificio ser:

48 8,50 + 216 14,30 + 248 19,80 + 1.080 26,10 = 36.595,20

La escultora Mara Cincel ha recibido un encargo del ayuntamiento de Buril.

Queremos una escultura que simbolice la relacin entre el ser humano

y la naturaleza, la simbiosis entre nuestrasgentes y el entorno que les rodea.

090

En planta baja En planta alta

Cristal 8,50 /m2 14,30 /m2

Mrmol 19,80 /m2 26,10 /m2

COSTES DE LIMPIEZA

11SOLUCIONARIO

346

La escultora ha pensado en realizar una escultura de granito, que es la piedra

predominante en los alrededores, y en una estructura similar a esta.

Cuando ha llamado a una cantera en la que le pueden proporcionar el granito,

le han informado de que tienen estas piezas.

Para conseguir esa estructura tendr que hacer un corte al cono y otro a la esfera.

A qu altura los tiene que hacer?

Como son tringulos semejantes:

El cono lo ha de cortar a 1,37 m de la base.

La esfera ha de cortarla a una distancia de 30 cm del centro

o, lo que es lo mismo, a 20 cm de la superficie.

h = =0,5 0,4 0,3 m2 2

1,4

2,4

0,81,37 m= =

hh

Un cono de 2,4 m de altura

y un dimetro de 1,4 m.

Un cilindro de 0,4 m de

radio y 0,6 m de altura.

Una esfera de 0,5 m

de radio.

Cuerpos geomtricos

1,4 m

2,4 m 0,8 m

h

0,8 m

0,5 mh

G

F

347

11

Tenemos un trozo de corcho con esta forma.

Si la boca de la botella es un crculo de 314 mm2 de rea, a partir de qu

punto podemos cortar el corcho para que sirva para tapar la botella?

El radio de la boca de la botella es:

A = pir 2 314 = pir 2 r = 10 mm = 1 cm

El dimetro es 2 cm.

La altura del cono es: .

La altura del tronco de cono medir: .

Hay que cortar el corcho a partir de 2,29 cm de la base.

4

2= =

4,582,29 cm

hh

H = =5 22 2 4,58 cm

091

314 mm2

SOLUCIONARIO

4 c

m

5 cm

4 cm

5 c

m 2 cm

h

H