2. elementos ideales de los circuitos

Capítulo 2

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS

1. Elementos ideales de los circuitos

2. Dipolos2.1. Resistencia2.2. Ftentes independientes

Z.Z.l.Fuente ideal de tensión2.2.2.Fuente ideal de intensidad

2.3. Condensador2.4.Bobina

3. Cuadripolos3. l. Bobinas acopladas magnéticamente3.2. Transformador ideal3.3. Fuentes dependientes3.4. Ampliñcador operacional ideal

Problemas

Soluciones de los problemas

1. ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS

Cuando se estudia un circuito que corresponde a un sistema físico real, se sustituyen

sus componentes por ciertos elementos ideales, caractenzados por unas ecuacionesdeterminadas, con los que se intenta representar la realidad.

Es habitual agrupar los elementos ideales de los circuitos según el número de

terminales (un terminal es un punto de un circuito eléctrico destinado a realizar una

conexión). En el caso general, un circuito que tiene varios terminales recibe el nombre de

multipolo.

2. DIPOLOS

El caso más sencillo de multipolo, representado en la figura 2.1, corresponde a loselementos de dos terminales o dipolos. En un dipolo se cumple que la intensidad que entra

en un instante dado por uno de los terminales sale por el otro. En general, cuando unapareja de terminales cumple con esta propiedad recibe el nombre de puerta.

Figura 2.1

2.1. Resistencia

Se puede definir, inicialmente, el elemento resistencia como aquel que verifica la leyde Ohm, es decir, que al circular a través de é1 una corriente eléctrica, í, aparece unatensión, u, con el mismo sentido y proporcional a ella:

40 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (D

u = R.i lz.t)

R es una constante de proporcionalidad que se conoce, asimismo, con el nombre deresistencia y tiene como unidad el ohmio (símbolo: Q).

También se puede expresar la relación enffe u e i despejando la intensidad de laecuación [2.1] con lo que se tiene:

¡ = (llR).u

= G.u 12.21

En este caso la constante de proporcionalidad G recibe el nombre de conductancia ytiene como unidad el siemens (símbolo: S).

Para representar el elemento resistencia en un esquema se utiliza el símbolonormalizado dado en la figura 2.2a (Norma UNE 60617- 4).El símbolo delafigxa 2.2bha quedado suprimido y se muestra aquí a título informativo, ya que aparecefrecuentemente en la bibliografía.

lü^ iG^b)a)

Figura2.2

Es importante tener en cuenta que, de acuerdo con la ley de Ohm, las ecuaciones [2.1]y t2.2) tienen un signo más (+) cuando las referencias de tensión e intensidad tienensentidos coincidentes a través del elemento, como en el caso mostrado en la figura 2.2, ysigno menos (-) cuando las referencias tienen sentidos opuestos.

Cuando el valor de R es cero, la resistencia recibe el nombre de cortocircuito. En estecaso la tensión u es cero independientemente de la corriente que circule a través de laresistencia. El cortocircuito se representa mediante el símbolo indicado en la frgura 2.3a,como un conductor ideal que enlaza los terminales 1-l'.

Cuando el valor de G es cero, la resistencia recibe el nombre de circuito abierto. Eneste caso la intensidad i es cero independientemente de la tensión que exista a través de laresistencia. El circuito abierto se representa mediante el símbolo indicado en la figura 2.3b,como un conductor discontinuo entre 1 y I' que impide la circulación de corriente por elmismo.

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS 4t

R:0

i:01o>

"l G:o

I'o-b)

Figura 2.3

De forma más general, se define una resistencia como un elemento de dos terminalestal que, en cualquier instante, f, su tensión e intensidad satisfacen una relación de la forma

f(u, i) = g Í2.31

que puede representarse por una curva en el plano u-i. Tanto la función como la curva se

denominan característica de la resistencia en el instante t.

Cuando la característica es una línea recta que pasa por el origen, como la deñnida porla ecuación l2.ll o por la [2.2J,\a resistencia es lineal; en caso contrario, la resistencia es

no lineal.

Si la caracteística es la misma en cualquier instante f, la resistencia es invariable con

el tiempo. Por el contrario, si la característica depende del tiempo, la resistencia es variablecon el tiempo. Una resistencia lineal y variable con el tiempo estrá definida por

u = R(t).i 12.41

o bien por

i = G(t).u [2.5]

Cualquiera que sea el tipo de resistencia, es importante notar que se establece una

relación entre el valor instantáneo de la tensión y el valor instantáneo de la intensidad.

La resistencia definida por la ecuación [2.1] es una resistencia lineal e invariable con

el tiempo.

2.2. Ftentes independientes

2.2.1. Fuente ideal de tensión

Una fuente ideal independiente de tensión (normalmente, si no hay lugar a confusión,se le llama simplemente fuente de tensión) es un elemento de dos terminales que establece

la tensión que existe entre ellos, de acuerdo con una función temporal determinada, ur(t),

I1o>r

,:O I I

,'l I

a)

42 CIRCUITOS ELÉCTRICOS O)

independientemente del resto del circuito. La intensidad que circula a través de la fuente detensión depende del resto del circuito (y de la propia fuente).

Ilo>.tI l+

:l-9"

I

;rea) Figuraz.4 b)

Para representar este elemento está normalizado el símbolo de la figura 2.4a, pero se

utiliza poco. Más extendido estiá el uso del símbolo de la figura 2.4b qure es el que se

adopta en este texto. La polaridad puede indicarse con dos signos, tal como se ha hecho enla figura o solo con el signo +. El terminal marcado con el signo + es el que se encuentra a

mayor potencial cuando u"(t) > 0. Por tanto, de acuerdo con el concepto de referencia detensión, se tiene para la ftgwa}.4b

U: US 12.6)

Cuando la función temporal rur(r) se reduce a una constante se dice que es una fuentede tensión continua. Un caso particular, ya mencionado, es el cortocircuito, en el que us = 0y, por tanto, se puede tratar como una resistencia nula o una fuente de tensión nula.

Ejemplo 2.1

Deducir la expresión de la tensión a en los dipolos representados en la figuraZ.S.

iE,,a)

Figura 2.5

Una conexión de elementos como la mostrada en la figura 2.5a se conoce comoasociación serie y tiene la propiedad de que todos los elementos, en este caso fuentes detensión, están recorridos por la misma intensidad. Aplicando la segunda ley de Kirchhoffse obtiene

b)

It=lt{*ttt2 12.7)


En general, se obtendrá una suma algebraica, dependiendo los signos de los sumandos

del sentido de las referencias de u, u"1y ur2.En cualquier caso, el resultado de la ecuación

f2.71es una función ¿¿ que es independiente del resto del circuito. Es decir, se puede pensar

en una fuente ideal de tensión equivalente, de valor ¿rs, en la que

tls= |tú * 1^tr2 t2.81

Una conexión de elementos como la mostrada en la figura 2.5b recibe el nombre de

asociación paralelo y tiene la propiedad de que todos los elementos, en este caso fuentes

de tensión, estián sometidos a la misma tensión. El cumplimiento de la segunda ley de

Kirchhoff obliga a que

U: -Usl: -Us2 Í2.e)

De la ecuación [2.9] se deduce que sólo pueden conectarse en paralelo fuentes de

tensión si todas ellas definen la misma tensión común, u. Por ejemplo, no puede admitirsela conexión de un cortocircuito en paralelo con una fuente ideal de tensión, salvo que en

ésta arr(r) - 0.

2.2.2. Fuente ideal de intensidad

Una fuente ideal independiente de intensidad (normalmente, si no hay lugar aconfusión, se le llama simplemente fuente de intensidad) es un elemento de dos terminalesque establece la intensidad que circula entre ellos, de acuerdo con una función temporal

determinada, ,r(t), independientemente del resto del circuito. La tensión entre losterminales de la fuente de intensidad depende del resto del circuito (y de la propia fuente).

43

I

;&*,'a)

f i,-,

:19^b)

Flgura2.6

El símbolo normalizado para la fuente de intensidad independiente es el representado

en la figura 2.6a. Más extendido está el uso del símbolo de la figura 2.6b que es el que se

adopta en este texto. El sentido indicado por la flecha es el de circulación de la corriente a

través de la fuente cuando ,r(r) > 0. Por tanto, de acuerdo con el concepto de referencia de

intensidad, se tiene para la figura 2.6b

I:ls t2.101

Cuando la función temporal ir(/) se reduce a una constante se dice que es una fuente de

intensidad continua. Un caso particular, ya mencionado, es el circuito abierto, en el que

M CIRCUITOS ELÉCTRICOS O)

i, : 0 y, por tanto, se puede tratar como una conductancia nula o como una fuente deintensidad nula.

Ejemplo 2.2

Deducir la expresión de la intensidad i en los dipolos

iE,Figtra2.7

En el caso de la figura 2.7a se ffata de una conexión en paralelo de dos fuentes deintensidad. Aplicando la primera ley de Kirchhoff se obtiene

representados en la frgura2.7.ilo*l

lc^,

:$'b)a)

i: i¡ -f i"2 12.tt)

En general, se obtendrá una suma algebraica, dependiendo los signos de los sumandos

del sentido de las referencias de l, is1 e lr2. En cualquier caso, el resultado de la ecuación

l2.ll) es una función i que es independiente del resto del circuito. Es decir, se puede

pensar en una fuente ideal de intensidad equivalente, de valor lr, en la que

is: ir1 * ir2 t2.12)

En el caso representado en la figura 2.7b, el cumplimiento de la primera ley deKirchhoff obliga a que

I : lsl: ls2 12.t3l

Es decir, sólo pueden conectarse en serie fuentes de intensidad si todas ellas definen lamisma intensidad común, í. Por ejemplo, no puede admitirse la conexión en serie de uncircuito abierto con una fuente ideal de intensidad, salvo que en ésta l.(f) = O.

Ejemplo 2.3

Obtener las tensiones e intensidades en los elementos de los circuitos representados enlas figuras 2.8y 2.9.

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS 45

ü:l",

Figura 2.8

En el circuito de la figura 2.8 se tiene la conexión en paralelo de una fuente ideal de

tensión, dos resistencias y una fuente ideal de intensidad, con lo que la tensión en todos los

elementos es la misma e igual a la de la fuente de tensión

Ul: U2: Ui: Us

A partir de las tensiones se obtiene la intensidad en cada una de las resistencias

: u"lR1: urlR2

y, por último, aplicando la primera ley de Kirchhoff se deduce la intensidad que circula porla fuente de tensión

lu : -ll - 12- ls

Es importante observar que la tensión en cada uno de los elementos queda definida por

la función zr(r), independientemente del resto del circuito. Esto implica que si se elimina(se sustituye por un circuito abierto) alguno de los elementos conectados en paralelo con la

fuente de tensión, por ejemplo, R1, el resto no nota el cambio (la intensidad en laresistencia R2 y la tensión en la fuente de intensidad son las mismas que antes). Sinembargo, la fuente de tensión se ve recorrida por distinta intensidad según los elementos

conectados en paralelo con ella.

En el circuito de la figura 2.9 se tiene la conexión en serie de una fuente de intensidad,

dos resistencias y una fuente de tensión, con lo que la intensidad en todos los elementos es

la misma, e igual a la de la fuente de intensidad

ll: lZ: lu: ls

i,

tli2

l-t.

Figura 2.9


Conocidas las intensidades se determinan las tensiones en las resistencias

u1= R1.is

u2: R2.ig

y, finalmente, mediante la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, se obtiene la tensiónen la fuente de intensidad

Ui: -Ul - U2 - .lls

En este circuito la intensidad que pasa por cada uno de los elementos queda definidapor la función is(l), independientemente del resto del circuito. Esto implica que si se

elimina (se sustituye por un cortocircuito) alguno de los elementos conectados en serie conla fuente de intensidad, por ejemplo, R2, el resto no nota el cambio (la tensión en laresistencia R1 y la intensidad en la fuente de tensión son las mismas que antes). Sinembargo, la fuente de intensidad está sometida a distinta tensión según los elementosconectados en serie con ella.

Ejemplo 2.4

Hallar las intensidades i1 e \ y la tensión u2 en el circuito de la figura 2.10

u¡:6Y usz:3 Y

Figura 2.10

La fuente de tensión us2, al estar en paralelo con la fuente de intensidad, definedirectamente la tensión en la misma. Se tiene uz= -3Y.

Para determinar lacerrada formada por lapuede escribir:

intensidad 11 basta aplicar la segunda ley de Kirchhoff a la líneafuente de tensión u{, la resistencia y la fuente de intensidad. Se

-6+l.i1tu2:0

ir:2 A

T-

Si se despeja 11 y se sustituye u2por su valor, se obtiene ir = 9 A.

ELEMENTOS IDEALES DELOS CIRCUITOS

La intensidad \, que circula por la fuente de tensión tls2, sa obtiene al aplicar laprimera ley de Kirchhoff al punto donde concurren dicha fuente, la resistencia y la fuentede intensidad:

\: i1* 2

Al sustituir i1 por el valor obtenido recientemente resulta i¡ = 11 A.

2.3. Condensador

Se.define como un condensador a todo par de electrodos separados por un dieléctrico.Si se considera que el dieléctrico es un aislante perfecto, se tiene un condensador ideal.

En la figura 2.11 se representa el símbolo del condensador.

Figura 2.11

En un condensador lineal se cumple la propiedad de que al aplicar una tensión, u, entrelos electrodos, se acumulan en ellos cargas eléctricas de distinto signo, pero del mismovalor absoluto, 4 proporcional a dicha tensión u. Las cargas positivas se sitúan en el

electrodo que está a mayor potencial.

Independientemente de la polaridad de referencia de la tensión en el condensador,puede asociarse una referencia a la carga q, situando un signo + junto a uno de los

electrodos del condensador para indicar que el valor de 4 es positivo cuando dichoelectrodo es el que está a mayor potencial. Parece lógico elegir esta referencia de q de

forma que se cumpla 4 > 0 cuando z > 0, tal como se ha hecho en la figura 2.11, por lo que

resulta

Q= C.u Í2.14)

donde C es una constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de capacidad delcondensador, siendo su unidad el faradio (símbolo: F).

Mientras no se advierta lo contrario, se supone que la referencia de la carga estlá

asociada a la de la tensión de la forma antedicha y se prescinde del signo + junto al

electrodo (y del símbolo 4).

47

I#

I ^_[t.r1

u

I'

48 crRcurros ELÉcTRrcos (r)

En circuitos eléctricos se maneja normalmente como variable la intensidad, en lugarde la carga. La relación entre estas dos magnitudes se dio en la ecuación [ 1 . 1 ], que se repitepara las referencias de la figura 2.11

.dqi = j lZ.tsldt

de donde se obtiene para el valor de la carga en cualquier instante, supuesto que

4(-o)=0

q(t) : I_,j,,u,: Jit,la,

* 1,6¡a, =

:q(td* f,6a,

Í2.16)

12.r7)

La ecuación 12.16l indica que la carga en un instante t, q(t), es igual a la carga en un

instante anterior to, q(to), más la integral de la intensidad entre 16 y /.

Si se excluye la posibilidad de que la intensidad adquiera valor infinito, la carga es

unafunción continua del tiempo.

Para un condensador lineal, cuya capacidad no depende del tiempo, al sustituir Í2.14)en12.16l se tiene

u(t) : t, f::ro,: L ff:n*: u(to) . i f;n *

. ^dudt

. I f;n)dr =

que es la ecuación de definición de un condensador lineal e invariable con el tiempo, paralas referencias dadas en la figura 2.11.

La ecuación [2.17) pone de manifiesto que, si se excluye la posibilidad de que laintensidad adquiera valor infinito,la tensión en un condensador lineal e invariable con eltiempo es unafunción continua del tiempo.

Nótese que la carga es una función continua del tiempo aún cuando el condensador nosea lineal.

Al derivar t2.14) respecto al tiempo se tiene

Í2.r8)


que es otra forma de la ecuación de definición de un condensador lineal e invariable con eltiempo, para las referencias dadas en la figura 2.11.

Ejemplo 2.5

Verificar el signo de la ecuación [2.18] para las referencias de la figura 2.11.

Sea un instante en el que u(t) > 0, por ejemplo u : Ut.Esto significa que el terminal Iestá a mayor potencial que 1'y, por tanto, que el electrodo del condensador conectado al

terminal 1 tiene una carga positiva Q = Qt y el electrodo conectado al terminal I'una carganegativa de ese mismo valor. A continuación, se supone que la tensión z(r) aumenta

(duldt > 0), pasando a un valor U2, (Uz > U1). Dada la relación de proporcionalidad

expresada por la ecuación l2.l4l se tendrá una nueva carga Q2 en los electrodos del

condensador, siendo Qz > Qt.Por tanto, ha habido un aporte de carga positiva hacia elcondensador, desde el resto del circuito, a través del terminal 1, y un aporte de carganegativa a través del terminal 1' (lo que es equivalente a una salida de carga positiva poreste terminal). Es decir, es como si se hubiera producido una circulación de corriente a

través del condensador, en el sentido de 1 a 1', esto es, i > 0. Por consiguiente, para este

caso, cuando duldt > 0 se tiene i > 0, luego el signo de la ecuación [2.18] es (+).

De forma más general, se define un condensador como un elemento de dos terminalestal que, en cualquier instante, /, su carga y su tensión satisfacen una relación de la forma

f(q, u) = Q L2.t9l

49

que puede representarse por una curva en el plano q-u. Tanto la función como la curva se

denominan característica del condensador en el instante t.

Análogamente a lo dicho para la resistencia, según sea la caracteústica f(q, z) y su

dependencia del instante / se tienen diferentes tipos de condensadores: lineales o nolineales, variables o invariables con el tiempo. Así un condensador cuya caracteústica sea

una recta que pasa por el origen como la definida por la ecuación l2.l41esun condensadorlineal. Si C es constante a lo largo del tiempo se trata de un condensador lineal einvariable con el tiempo.

Cualquiera que sea el tipo de condensador, es importante notar que la ecuación t2.l9lestablece una relación entre el valor instantáneo de la carga y el valor instantiáneo de latensión.

La ecuación [2.18] indica que en un condensador ideal lineal e invariable con eltiempo una discontinuidad en la tensión da lugar a una intensidad infinita. De forma más

general, para cualquier tipo de condensador, la ecuación t2.l5l indica que unadiscontinuidad en la carga eléctrica da lugar a una intensidad infinita. En la realidad las

tensiones o intensidades de un circuito no puedan adoptar valores infinitos y, por tanto, en

CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I)

los condensadores reales la carga eléctrica es una función continua del tiempo. También 1o

es la tensión, cuando estos condensadores son lineales e invariables con el tiempo.

Ejemplo 2.6

Escribir las ecuaciones corespondientes a las [2.15] y t2.I6) para un condensador con

las referencias de lafrgura2.l2.

ilo>=t,l"II l+q'l

I' o-a)

Figura2.l2

a) La relación entre intensidad y carga es

.dsa-

dt

de donde

q(t) :

i1o->lI l*q"l'T

1'o-b)

,dqL-

dt

fl-,,rlo" :

I-]- í(r)ldr + J'[-,ro]a, =

I n', ü: q(to)* Ji1,la"

: q(ti * I't- i(r)ldr

b) La relación entre intensidad y carga es

de donde

q(t) :

Ejemplo 2.7

Escribir las ecuaciones correspondientes a las 12.14), [2.171 y [2.18] para el

condensador de la figura 2.12, supuesto que es lineal e invariable con el tiempo.

a) Q=- C.u

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.6 se tiene

ELEMENTOS IDEALES DELOS CIRCUITOS 51

& -vdt dt

-cu(t) - -c.u(ti* I't- i@)lü

u(t):u(to)+ Il,"n *

b) Q=-c.u

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.6, se tiene

,-dq- nd'dt dt

- cu(t) - - c.u(to) * 1,6a,

u(t):u(to) + t l,,f ie)pc

Como se ha indicado, la referencia habitual para la carga es la contraria a la indicadaen la figura 2.12, en cuyo caso no se indica el signo + junto al electrodo correspondiente.Compruébese que si se toma esta referencia acorde con la de tensión, solo cambia el signode las ecuaciones donde aparece la carga de forma explícita. Como es lógico, el signo delas ecuaciones que relacionan la tensión con la intensidad no depende de la referencia dela carga.

Ejemplo 2.8

Hallar la forma de onda de u(t) en el condensador de la figura 2.13, a partir de la formade onda de i(r) que se muestra en ella, con la condición u(0) = g y.

C=2F

iil'l_l-

Figura 2.13

52 CTRCUTTOS ELÉCTRTCOS (r)

La función i(/) es discontinua a tramos por lo que el estudio se va a hacer por separadoen cada uno de ellos.

Intervalo (0.1): i(t) =)¡ ¡.

Mediante la ecuación 12.171, teniendo en cuenta las referencias de tensión e

intensidad, se puede escribir

u(t): * l::nr, = -L !\*'ru, - t l¡n oc =u(0) - I !;rnu,

y, sustituyendo valores, se tiene

u(t) :, i k, d r : - tf*ll,: - f, u

Al final del intervalo la tensión en el condensador es z(l) = -0,5 V. Este resultado se

obtiene, también, calculando el área encerrada por la función i(t) en el intervalo (0,1) ymultiplicrándola, en este caso, por -llC = -112.

Intervalo (1.2): i(r) = g 4.

Ahora se tiene

u(t) :,o) - ; f ,g¡a, : - :-i l:* = - f,

v.

Es decir, la tensión permanece constante en todo el intervalo. Este resultado era deesperar ya que el condensador, al ser nula la intensidad, mantiene su carga y, por tanto, latensión.

Intervalo (2.3): i(t) =- 1 A

En este caso se puede escribir

u(t) = u(2) - ) f;n u, : - + - | f,t-»u,

: - l. ;li,::_1* (l__Z\:_?*Lv.

2\22) 22

Parat = 3 s, ¿r(3) =-312+312=0Y.

En la figura 2.14 se representa gráficamente el resultado obtenido parau(t).


u(t)tvl

0

-0.2

-0.4

-0.6

Figura2.l4

2.4. Bobina

Cuando se habla de una bobina surge inmediatamente la imagen de un conductorarrollado en forma de hélice, tal como se muestra en la figura 2.15. La circulación de

corriente por el conductor da lugar a un campo magnético cuyo flujo es recogido por lapropia bobina.

El flujo magnético concatenado por una bobina de N espiras, ), conocido tambiéncomo enlaces de flujo, se puede poner en función del flujo medio recogido por cada espira,

@, como

),= N.@ 12.2ol

r@Figura 2.15

En la figura 2.16 se representa el símbolo de la bobina.

iD.@>0,i>0

Figura 2.16

54 crRcurros mÉcrrucos 0)

Para dar referencia al flujo se fija un sentido arbitrario a una línea de campo magnéticoy se conviene que el flujo creado por líneas de campo con ese sentido sea positivo(o negativo). Así se hace en la bobina representada espacialmente en la figura 2.15. Otraposibilidad, más cómoda de utilizar en la práctica, consiste en dar la referencia al flujoapoyándose en la intensidad de la bobina, diciendo, por ejemplo, para el caso de la figura2.16, se considerará @> 0, cuando i > 0.

En el caso de una bobina lineal los enlaces de flujo son proporcionales a la intensidadque los ha creado. Para las referencias de la figura 2.16 se tiene

)"= L.i Í2.21)

donde L recibe el nombre de coeficiente de autoinducción (o inductancia) de la bobina,siendo su unidad el henrio (símbolo: H).

En circuitos eléctricos se maneja normalmente como variable la tensión, en lugar de

los enlaces de flujo. La relación entre estas dos magnitudes viene dada por la ley de

Faraday, que para las referencias de la figura 2.15, se escribe

t2.221

de donde se obtiene para el valor de los enlaces de flujo en cualquier instante, supuesto que

2(-o)=Q

üu: -dt

x(t) : f:*O>*: f_'"A>a, * f u!)dc =

Í2.231

: ).(tg +

La ecuación Í2.23) indica que los enlaces de flujo en un instante t, )" (t), son iguales a

los enlaces de flujo en un instante anterior t¡, )" (ts), más la integral de la tensión entre

toy t.

Si se excluye la posibilidad de que la tensión adquiera valor infinito, Ios enlaces de

tlujo son unafunción continua del tiempo.

Para una bobina lineal, cuya inductancia no dependa del tiempo, al sustituir Í2.211en12.231se tiene

f ,ur*

i(t): iflr*. if;n)dz :

=(,0) * lf"«>a,

[2.24)


que es la ecuación de definición de una bobina lineal e invariable con el tiempo, para las

referencias dadas en la figura 2.16, y en donde se pone de manifiesto que, si se excluye la

posibilidad de que la tensión adquiera valor infinito,la intensidad en una bobina lineal einvariable con el tiernpo es unatunción continua del tiempo.

Nótese que los enlaces de flujo son una función continua del tiempo aún cuando la

bobina no sea lineal.

Al sustituir Í2.211 en Í2.221 se tiene

12.2s)

que es otra forma de la ecuación de definición de una bobina lineal e invariable con el

tiempo, para las referencias dadas en la figura 2.16.

Ejemplo 2.9

Comprobar el signo de las ecuaciones 12.22) y t2.25) para la bobina de la figura 2.16.

Sea un instante en el que i > 0 y dildt > 0. Hay, por tanto, una circulación de corriente

desde I a l', a través de la bobina, con tendencia a crecer de valor. Si se considera como

referencia para el flujo que Q> 0 cuando i > 0, en ese instante se tiene <D> 0 yd<ildt > 0. La variación del flujo hace que se induzca en la bobina una tensión que, según

la ley deLenz, intentará oponerse a la causa que la ha creado. Como la causa última es el

crecimiento de la intensidad que circula de I a 1', la bobina reaccionará haciendo que el

punto I se ponga a mayor potencial que 1', para que esta barrera de potencial intente frenar

el crecimiento de i. Es decir, para las referencias de la figura 2.16, se tiene u > 0 y el signo

de ambas ecuaciones,Í2.221y 12.251, es (+).

De este ejemplo se deduce, como regla práctica, que el terminal de una bobina por el

que entra la corriente con tendencia a crecer es el que está a mayor potencial.

También se puede afirmar que si los sentidos de las referencias de tensión e intensidad

son coincidentes, a través de la bobina, el signo de la ecuación!2.251es (+).

Es interesante observar que, según la referencia adoptada para @, puede haber un

signo u otro en la ecuación Í2.211. Signo (+) si @>0parai > 0, y viceversa. Asimismo

esta ecuación, con su signo, permite pasar de una a otra de las ecuaciones 12.22)y 12.25).

De forma más general, se define una bobina como un elemento de dos terminales tal

que, en cualquier instante, f, se establece una relación funcional entre el flujo magnético

concatenado por ella, )", y laintensidad, ir

55

-diu-L-dt

fQ", i) =0 12.261

56 CTRCUTTOS ELÉCTRTCOS (r)

que puede representarse por una curva en el plano .1-i. Tanto la función como la curva sedenominan característica de la bobina en el instante t.

Análogamente a lo dicho para la resistencia y para el condensador, según sea lacaracterística f(1", i) y su dependencia del instante , se tienen diferentes tipos de bobinas:lineales o no lineales, variables o invariables con el tiempo. Así, una bobina cuyacaracterística sea una recta que pasa por el origen como la definida por la ecuación

Í2.211es una bobina lineal. Si Z es constante a lo largo del tiempo, se trata de una bobinalineal e invariable con el tiempo.

En la práctica es frecuente tener que estudiar circuitos en los cuales las bobinas estána:rolladas sobre un núcleo de material ferromagnético, con lo que la función característicade la bobina no es lineal. En estos casos no se puede aplicar la ecuación

12.251, debiendo utilizarse la ecuación 12.22) junto con la ecuación característica

Í2.26) correspondiente.

La ecuaciónf2.251indica que en una bobina ideal lineal e invariable con el tiempo unadiscontinuidad en la intensidad da lugar a una tensión infinita. De forma más general, porÍrcualquier tipo de bobina, la ecuación t2.22) indica que una discontinuidad en los enlaces deflujo da lugar a una tensión infinita. Como ya se ha dicho, en la realidad las tensiones ointensidades de un circuito no puedan adoptar valores infinitos y, por tanto, en una bobinareal los enlaces de flujo son una función continua del tiempo y, también 1o es la intensidad,cuando esta bobina es lineal e invariable con el tiempo.

Ejemplo 2.10

Para las bobinas de la figura 2.17 dibujar el esquema equivalente sin mostrar el sentidodel arrollamiento, asociando la referencia de flujo a la de intensidad, y escribir lasecuaciones correspondientes alas Í2.221y [2.23) para las referencias dadas.

a) Figura2.lT

El esquema equivalente es el de la figura 2.18

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCTJITOS 57

il@>0,i<0

b)

Figura 2.18

a) La relación entre enlaces de flujo y tensión es

@>0,i<0

a)

üu: --dt

1(t) : f_"n *: x(to¡ +

de donde

x(t): f_y^rl": I,J- u@)lü + l,ol-,{i)o, =

: t(to) * I,'t-

u@)ldt

b) La relación entre enlaces de flujo y tensión es

üu: -dt

- Li(t) : - Li(ts) * J't- ui)fdt

i(t) :,(ro) + | f,rrrrro,

de donde

l'uk)d,Jro

Ejemplo 2.11

Escribir las ecuaciones corespondientes alas 12.21), [2.241y 12.25) para las bobinas

de la figura 2.17, supuesto que son lineales e invariables con el tiempo.

a) )"= - L.i

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.10a, se tiene

5g crRcurros Br-Écrrucos (l)

ü" _diu: __- L_dt dt

2=- L.i

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.10b, se tiene

-Li(t): -Li(ts)

i(t):,(ro) +

3. CUADRIPOLOS

Reciben este nombre aquellos circuitos que tienen cuatro terminales. Es muy frecuenteque los terminales puedan agruparse en dos puertas, l-1' y 2-2', como en el casorepresentado en la figura 2.19, con lo que el cuadripolo recibe el nombre de bipuerta. Engeneral, si no se dice lo contrario, cuando se hable de un cuadripolo se entenderá que setrata de un cuadripolo bipuerta.

Figura 2.19

3.1. Bobinas acopladas magnéticamente

Cuando el comportamiento de una bobina se ve afectado por el campo magnéticocreado por otra, se dice que ambas están acopladas magnéticamente. Aunque, acontinuación, solo se va a tratar este tipo de acoplamiento, puede haber otros tipos deinfluencias mutuas, por ejemplo a través del campo eléctrico (acoplamiento capacitivo), opor alguna conexión eléctrica entre ellas (acoplamiento galviánico).

En la figura 2.20 se muestra una pareja de bobinas acopladas magnéticamente. Sesupone que los flujos indicados atraviesan todas las espiras de la bobina coffespondiente(flujo medio por espira).

b)

* f'.l,a'

I l,,r u@)ld,

ü" _d,ll:

-=-[-dt dt


Cuando circula por la bobina I (de terminales 1-1') una corriente eléctrica, se crea en

ella un campo magnético que da lugar a un flujo en la propia bobina, @11. Parte de laslíneas de campo llegan hasta la bobina 2 (de terminales 2-2') y producen allí un flujo@21 (flujo que llega a la bobina 2 procedente de la 1), y parte dan lugar a un flujo sólo en

la bobina l, que se conoce como flujo de dispersión de esta bobina, @r1.

I'j@"t

I'

@^

Figura2.20

Análogamente, si una corriente circula por la bobina 2, se crea un campo magnético

que da lugar a un flujo en la propia bobina, @22. Parte de las líneas de campo llegan hasta

la bobina I y producen allí un flijo eDp (flujo que llega a la bobina. 1 procedente de la 2), yparte dan lugar a un flujo sólo en la bobina 2, qu,e se conoce como flujo de dispersión de

esta bobina, @s2.

En la figura 2.20 se ha tomado como referencia común de los flujos el sentido de las

agujas del reloj, que supone sentido ascendente para las líneas de campo que atraviesan labobina 1 y descendente para las de la bobina 2. Así, se puede escribir para el flujo totalrecogido por cada espira de la bobina l, @1, y por cada espira de la bobina2, @z,lasecuaciones siguientes:

59

@zt

@t: @st+ @zt+ @n@2 = @sz* @n* @zt

Se pueden agrupar estos flujos según la bobina que los ha creado

@fi: (D¡* (D21

@22: (Ds2* (Dp

o bien, definiendo un flujo común o flujo mutuo, @,,

@^= @p* @27

12.271

12.281

f2.zel

Í2.301

t2.3rl

Si se sustituyen las ecuaciones t2.291 a Í2.31) en las [2.27) y Í2.28) se obtienen las dos

alternativas siguientes:

(Dzz

60 CTRCUTTOS ELÉCTRTCOS (D

o bien,

Si se supone que el campo magnético se establece en un medio lineal, se puedeplantear una relación de proporcionalidad entre los flujos y las intensidades que los hancreado. El signo en estas relaciones depende de las referencias adoptadas. En el caso de lafigura 2.20 se verifica que @ > 0, cuando i1 ( 0, o iz> 0, con 1o que se obtiene:

@t: @11-t @n@z = @zz+ @zt

@t: @stt @^

@2: @s2+ @m

N¡@n: - Lt.itNz.@zt: - Mzt.itNr.@rr : - Sr.ir

Nz.@zz: Lz.iz

Nt.@n: Mo.izNz.@"2: Sz.iz

Í2.32)t2.33)

12.341

12.3sl

Í2.36)12.371

t2.381

Í2.3e1

Í2.401

Í2.4t1

En estas ecuaciones se introducen los coeficientes de dispersión de las bobinas, Sr y

^S2, y los coeficientes de inducción mutua, Mt2 y Mzt, junto con los coeficientes de

autoinducción. Todos ellos tienen como unidad el henrio. En un medio magnético lineal se

verifica, además, que M12: M2t, por lo que se sustituyen ambos por un único símbolo: M.

En la práctica se emplea una representación plana para las bobinas. Para evitar unapérdida de información, disponible en la representación espacial de éstas, se introduce elconcepto de terminales correspondientes. Se dice que dos terminales, uno por cada bobina,de una pareja de bobinas acopladas mngnéticamente son coruespondientes, cuando alentrar (o salir) simultáneamente la corriente por cada uno de ellos se crean líneas decampo magnético común con el mismo sentido. Por ejemplo, en las bobinas representadasen la figura 2.20 son terminales correspondientes el I y el2 (o el I'y el?'). Obsérvese quelos terminales correspondientes son independientes de las referencias adoptadas para lasintensidades de las bobinas.

iz

Inill@>0. ir<0

Figura2.2l


En la figura 2.21 se hace una representación plana de las bobinas mostradas en lafigura 2.20, en la que se han marcado con un punto los terminales correspondientes y, alavez, se indica la referencia de los flujos a través de la intensidad ir. Mediante los

terminales correspondientes indicados puede comprobarse que @ > O cuando iz > 0.

También se han añadido las referencias de las tensiones de las bobinas.

Para establecer los signos adecuados en las ecuaciones que relacionan tensión conenlaces de flujo en cada bobina, es viálido todo Io que se dijo respecto a la ecuación

[2.22), ya que ésta es general, independientemente del origen de dichos enlaces. Así, como

la relación de a1 con i1 vendría afectada de signo (+) y se ha supuesto que eD < 0 cuando

ir>0setiene

ut: - N¡{CDlldt 12.42)

Análogamente, como la relación de u2 con i2 vendría afectada de signo (-) y se ha

supuesto que @> 0 cuando iz> 0 se tiene

uz: - N2.d@2ldt [2.43)

Sustituyendo en las ecuaciones l2.42ly p.a! bs 12.32)y 12.331se obtiene

6t

y si se ponen los flujos en función de las intensidades, mediante las ecuaciones [2.36] a

Í2.411, el resultado, para el caso de bobinas lineales, es:

üt = - N¡d@ ¡ldt - N1.d@ pldtttz : - N2.dtD211dt - N2.d<0221dt

u1: L1.di1ldt - M.di2ldtu2: M.dilldt - L2.di2ldt

Í2.441

12.4s)

12.461

Í2.471

Las ecuaciones [2.46] y [2.47) se pueden obtener directamente, atendiendo tan sólo,como es lógico, a las referencias de las tensiones e intensidades. Para ello se interpretacada uno de los sumandos de dichas ecuaciones como la contribución de cada una de lasintensidades a cada una de las tensiones.

Por ejemplo, el término en 11 se puede interpretar como la parte de la tensión u1

debida a la circulación de il, suponiendo que no circula corriente por la bobina 2. Es decir,es como si para la bobina I no existiera la bobina 2 y, por tanto, el signo es el que se

pondría para la ecuación de la bobina 1: u7 : L1.di1ldt. Un razonamiento análogo en la

bobina 2 justifica el signo del término en L2.

Los términos en M definen la relación entre la tensión en una bobina y la intensidadque circula por la otra. Por ejemplo, en la ecuación 12.46) el término en M es la parte de latensión de la bobina I debida a la circulación de corriente en la bobina2.Para razonar elsigno se imagina, a través del concepto de terminales correspondientes, una corriente


(ficticia) en la bobina I que de lugar al mismo efecto en dicha bobina que la corriente que,de hecho, circula por la bobina 2. Se observa que la referencia de ü es saliente del terminal2.Larelación entre u1! vna intensidad ficticia que saliese del terminal l, correspondiente

delZ,llevaría el signo menos, luego el término M.di2ldt tiene un signo (-)

ttt: - M.di2ldt [2.48]

De manera análoga se deduce el signo del término en M de la ecuación de u2.

Ejemplo 2.12

Escribir las ecuaciones que relacionan las tensiones y las intensidades de las bobinasacopladas de la ftgtura 2.22.

lJ>- &z tJ' t2

l'\¿' l taFlt',; Uil; ;'Uil;

Figtra2.22

Para escribir el signo de los diferentes términos de las ecuaciones, para el caso de lafigura 2.22a, se puede seguir el procedimiento indicado anteriormente: Así, los términos en,L llevan un signo (+), al ser coincidentes los sentidos de las referencias de tensión e

intensidad en ambas bobinas. Para el término M.di2ldt se observa que la referencia de 12 es

saliente del terminal 2. La relación entre u1y una intensidad ficticia que saliese del

terminal 1, correspondiente del 2,llevaría el signo menos, luego el término M.di2ldt tieneun signo (-). Un razonamiento análogo lleva a que el término M.diyldt tiene, también,signo (-).

Como consecuencia de lo anterior las ecuaciones de las bobinas son, ahora,

b)a)

u1: L1.di1lü - M.di2ldtu2 : - M.dilldt + L2.di2ldt

12.4el

t2.501

Análogamente, para el caso mostrado en la figura 2.22b los términos en Z llevan unsigno (+), al ser coincidentes los sentidos de las referencias de tensión e intensidad en

ambas bobinas. Para el término M.di2ldt se observa que la referencia de 4 es entrante porel terminal 2'. La relación entre u1y una intensidad ficticia que entrase por el terminal 1,

correspondiente del 2', llevaría el signo (+), luego el término M.di2ldt tiene un signo (+).

Un razonamiento análogo lleva a que el término M.dilldt tiene, también, signo (+). Porconsiguiente, las ecuaciones de las bobinas son, ahora,


Las ecuaciones que relacionan tensiones con intensidades son las empleadas

normalmente al tratar las bobinas lineales en el análisis de un circuito. En ocasiones,

cuando las bobinas representan parte del circuito de una máquina eléctrica, es habitualtrabajar con ecuaciones en las que las tensiones de las bobinas se relacionan con el flujocomún. Para obtenerlas, en el caso estudiado de las bobinas representadas en la frguraZ.2l,basta sustituir las ecuaciones [2.34] y t2.351 en las l2.42ly p.a! con lo que resulta

u1: L1.di1ldt + M.di2ldt

u2: M.di1lü + L2.di2ldt

ut : - Nyd@ "11

dt - N1.deD ^l

dt

tt2 = - N2.d{D "21

dt - N2.dcD^l dt

ut: S1.di1ldf - N1.dcD^ldt

u2 : - S2.di2ldt - Nz.dcD^ldt

f2.sll12.521

t2.s3lt2.s4l

f2.ss)L2.s6l

t2.s8l

o bien, si se escribe el flujo de dispersión de cada bobina en función de la intensidad

respectiva, mediante las ecuaciones [2.38] y 12.41),

donde puede verse que los términos que dependen de § tienen el mismo signo que los que

dependen de L en las ecuaciones [2.46] y P.a7l.

Se define como coeficiente de acoplamiento de la bobina 1, k1, el cociente entre el

flujo que llega a la bobina 2 procedente de la bobina 1 y el flujo creado por la bobina l,

k1= (D¡I(D¡ 12.57)

Análogamente, el coeficiente de acoplamiento de la bobina 2, k2, sa define como

k2= @pl@22

Mediante estos coeficientes se encuentran algunas relaciones útiles entre los

coeficientes definidos anteriormente. Por ejemplo, en la definición del coeficiente de

dispersión de la bobina I se puede introducir la relación dada por la ecuación 12.571con loque se obtiene

[,#) :r,(t-rc,): - Nt'@tt

ir

Análogamente, para la bobina 2 se puede escribir

Í2.se)

6+ crRcuros Br_ÉcrRrcos (r)

52: L2(I-k2) 12.60)

También, si se multiplican miembro a miembro las ecuaciones t2.37)y p.a$resulta

Mn.Mzt: li : kft2 L1L2

o bien,

M = $th ,[fA =k"ft.112

donde

¡ = ,!814

recibe el nombre de coeficiente de acoplamiento de la pareja demagnéticamente.

12.611

12.621

t2.63)

bobinas acopladas

Los coeficientes k1, kz y k, según se desprende de su deñnición, están comprendidosentre 0 y 1. Por consiguiente ha de cumplirse que

M <,[Lt4 t2.641

Cuando k = l, es decir, ¡a = "[t¿, se dice que el acoplamiento entre las bobinas es

perfecto.

3.2. Transformador ideal

Se define un transformador ideal como una pareja de bobinas ideales acopladasmagnéticamente, con coeficiente de acoplamiento unidad (los flujos de dispersión sonnulos), y en las que el medio que conduce el campo magnético es un medio depermeabilidad infinita en el que no se producen pérdidas de energía.

Imagínese un devanado de N espiras arrollado sobre un circuito magnético lineal. Alcircular una intensidad de corriente de i amperios por el devanado se establece un flujo porel circuito magnético que es directamente proporcional al producto N.i (amperios-vueltadel devanado o fuerza magnetomotiz) y a la permeabilidad magnética del medio. Suponerque la permeabilidad del medio es infinita equivale a decir que, para mantener circulandoun flujo magnético finito por el circuito magnético, el número de amperios-vueltanecesarios es nulo.

Para estudiar el transformador ideal se va tomar como ejemplo las bobinas acopladasrepresentadas en la figura 2.21. Al no haber flujo de dispersión en las bobinas, lasecuaciones Í2.531y f2.54 se convierten en las siguientes:

ELEMENTOS IDEALES DELOS CIRCUITOS 65

u1: - N1.dcD^ldt

tt2: - N2.d,@^ldt

y, dividiendo miembro a miembro estas igualdades, resulta

Í2.6s)12.66)

ut _Nt _ou2N2 1

Í2.671

t2.681

Esta ecuación, que se conoce como ecuación de tensiones del transformador ideal,

indica que la relación entre las tensiones ul y uz, es independiente del resto del circuito. Elsigno de las ecuaciones [2.65J y [2.66) se deduce como en el caso de las ecuaciones 12.42)y Q.a3l en las bobinas acopladas. Conocido el signo de estas ecuaciones se obtiene el de la

ecuación t2.67). Para esta última se puede decir, como regla nemotécnica, que si las

referencias de tensión parten ambas de terminales corespondientes el signo de la ecuación

es (+) y si una parte y otra llega al terminal correspondiente el signo es (-).

Al cocienteN,

6: -!-N2

se le denomina relación de transformación del transformador ideal.

En cuanto a los flujos creados por cada bobina, si las intensidades son distintas de cero

y dado que la permeabilidad del medio se ha supuesto infinita, se tendía que los amperios-

vuelta N1.11 darían lugar a un flujo @n = - o y los amperios-vuelta N2.i2 a un flujo

@22= oo. Sin embargo, el flujo mutuo, @m: (Dn + @22,ha de tener el valor definido por

la ecuación Í2.651o por la 12.66). Si el valor de las tensiones es tal que el valor del flujomutuo permanece acotado, los amperios vuelta totales que actúan sobre el circuitomagnético, y que dan como resultante dicho flujo mutuo, han de ser nulos. Es decir

Amperios vuelta totales = - Nr.ir -f N2.i2 = 0 t2.6el

en donde, para escribir el signo de cada sumando se ha tenido en cuenta la referencia

@ > 0 para \< 0 y, por tanto, @ > 0cuando iz> 0.

En realidad, como en la ecuación 12.691no aparece el flujo de forma explícita, no es

preciso tener en cuenta la referencia de flujo sino el hecho de si las dos referencias de

intensidad dan lugar a flujos del mismo sentido o de sentido conffario. Está claro que laecuación Í2.691 puede escribirse también

N¡i1- N2.i2: 0 t2.70)

La ecuación 12.691, (o su equivalente 12.70)), se conoce como ecuación de

intensidades del transformador ideal y, como en el caso de la ecuación de tensiones, es una

relación independiente del resto del circuito

66 clRcurros elÉcrRrcos (l)

También se puede dar para ella una regla nemotécnica que permite escribirnápidamente los signos de los sumandos: Ambos sumandos llevan el mismo signo si lasreferencias de las dos intensidades entran, o salen, por terminales correspondientes y signodistinto en caso contrario

La ecuación[2.70) se puede poner en la forma

i, =N, =u,i2 Nl 12.71)

con 1o que, en un transformador ideal de dos devanados, la relación entre las intensidades(sin tener en cuenta el signo) es la inversa de la obtenida para las tensiones.

Es importante observar que al no intervenir el flujo en las ecuaciones 12.671y l2.7ll elsigno de los distintos términos que aparecen en éstas no depende de la referencia de dichoflujo.

En la figura 2.23 se representa el símbolo de un transformador ideal de dos devanados,en el que se indica de forma explícita la relación de transformación a, que es la quedetermina tanto la relación de tensiones como la de intensidades.

izll

a/lFigxa2.23

Ejemplo 2.13

Deducir la ecuación de tensiones y la de intensidades del transformador de tresdevanados que se muestra en la figura 2.24a. En cada devanado el número de espiras es,

respectivamente, N1, Nzy Nl.

Inill

z',

1

Ut

I'

i,i'l ..- I ,,t-l -.^-rv\d l;*3

'; [il;b)a)

Figura2.24


En primer lugar se van a determinar los terminales correspondientes. Para la pareja debobinas 1 y 2 puede verse que si entra corriente en ellas por los terminales I y 2' se creauna línea de campo magnético común con el mismo sentido, luego ambos soncorrespondientes. Aniálogamente, en el acoplamiento de las bobinas 2 y 3 soncorrespondientes los terminales 2' y 3 y en el acoplamiento de las bobinas I y 3 losterminales 1 y 3. Lo habitual es marcar cada pareja de terminales correspondientes condistinto símbolo. Sin embargo, en los casos en los que, como en éste, hay transitividad enla correspondencia de terminales (siendo correspondientes entre sí los terminales 1,2' y 3),basta con utilizar un único símbolo, tal como se muestra en la figura 2.24b.

Teniendo en cuenta que, por la estructura del circuito magnético, el flujo es el mismopara las tres bobinas, y que dicho flujo es el resultado de los amperios-vuelta de las tresbobinas, para estos terminales correspondientes y las referencias de tensión e intensidaddadas, se obtienen las ecuaciones de tensiones e intensidades siguientes:

!J_=_uz _ u3

Nl N2 ¡/3

-Nrlr + N2i2+ N3i3:0

Los transformadores reales con núcleo de hierro tienen un comportamiento muyaproximado al del transformador ideal. Se utilizan para variar las magnitudes de u e i conlas que se transmite la energía o una señal eléctrica. Por ejemplo, de una tensión moderaday una intensidad grande, como son las que se producen en los generadores de las centraleseléctricas, mediante un transformador se puede elevar la tensión y reducir la intensidad, enla misma relación, consiguiéndose, de esta manera, menores pérdidas en el transporte deenergía por la línea. Al final de la línea, mediante otro transformador, se convierten denuevo las variables u e i a los valores apropiados para su uso.

Un transformador ideal no puede utilizarse con corriente continua. La constancia de u

exigiría que @- creciera indefinidamente, 1o que es irrealizable.

3.3. Fuentes dependientes

En este tipo de fuentes, las funciones que caracterizan la tensión o la intensidad de lasmismas dependen de variables del resto del circuito. La relación de dependencia puedeimaginarse tan compleja como se quiera, pero, en la práctica, suelen considerarse fuentesque dependen sólo de una variable: tensión o intensidad. Se tienen, por tanto, todas lascombinaciones posibles: fuentes de tensión dependientes de una tensión (figura 2.25a),fuentes de tensión dependientes de una intensidad (figura 2.25b), fuentes de intensidaddependientes de una tensión (figura 2.25c) y fuentes de intensidad dependientes de unaintensidad (figura 2.25d).

La relación de dependencia más frecuente, es a través de un parámetro constante, talcomo se indica en la figura 2.25 debajo del símbolo de cada una de las fuentes. En loscasos representados se trata de fuentes dependientes lineales e invariables con el tiempo,

67


que serán a las que se haga referencia en este texto. El parámetro p recibe el nombre deganancia de tensión y es adimensional. El parámetro r recibe el nombre de transresistenciay se expresa en ohmios. El parámetro g recibe el nombre de transconductancia y se expresa

en siemens. Por último, el parámetro B recibe el nombre de ganancia de intensidad y es

adimensional.

iz:0

I'us: p.u2

a)

i, iz= 0i o>-1 ¡+o;

;'l-9-J';i": g.u2

c)

l.].1-.t

:'19"u": r.i2

1 "L-, b)

;'l-9^ir: F.iz

Figura2.25 d)

iz

r,u,:oL_j,,

l2

r'*:ol_j,,

Ejemplo 2.14

Hallar la tensión U enel circuito delafrgxa2.26

1r:6 A Rz:2 Q

Figura2.26

Por aplicación de las leyes de Kirchhoff se obtienen las ecuaciones siguientes

(J=-4.1+2.1'6=I+I'

Por otro lado, la ecuación de la resistencia Rr es

U =3.1

Se obtiene, así, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que una vez resueltopermite obtener el valor U = 4Y.

Rr :3 C)

II,


3.4. Amplificador operacional ideal

El amplificador operacional (AO) es un dispositivo muy empleado como elemento

constituyente de numerosos circuitos electrónicos. Haciendo abstracción de su constitucióninterna e idealizando su comportamiento se llega al circuito equivalente de la figura 2.27bpara representar el comportamiento lineal de un amplificador operacional, cuyo símbolo se

muestra en la figura 2.27a.

l^a) :¿'

b)

Figura2.27

Como puede verse, se trata de un circuito de cuatro terminales, uno de los cuales se

conecta a masa (al chasis del circuito, que habitualmente se pone a tierra). El terminalmarcado con el signo menos (-) se conoce como terminal inversor y el marcado con elsigno más (+) recibe el nombre de terminal no inversor.

En ocasiones no se representa el terminal unido a masa del AO ideal para dar más

claridad al dibujo de un circuito, quedando representado como un elemento de tres

terminales. No obstante, debe tenerse presente esta conexión para plantear correctamente

las ecuaciones correspondientes al análisis de dicho circuito. A veces la conexión a masa

de dicho terminal se hace a través de algún otro elemento.

El circuito equivalente está formado por dos resistencias, una de entrada, R1, y otra de

salida, Rs, ] por una fuente de tensión de ganancia p, dependiente de la diferencia de las

tensiones de entrada.

El valor de R1 suele ser alto, mayor que I MO, y el de Re bajo, menor de 100 C), por loque en la mayoría de los casos resulta permisible simplificar aún más el circuito

equivalente, sustituyendo R1 por un circuito abierto y Rs por un cortocircuito. En estas

condiciones,las ecuaciones que definen el comportamiento del dispositivo son

69

i+: i-:0uo: Au+ - u-) : p.ua

donde u¿recibe el nombre de tensión diferencial

Í2.72)f2.73)

Ud

Il+

Es decir, se trata de un amplificador de tensión ideal que da lugar a una tensión desalida proporcional a la diferencia de las tensiones de entrada.

1'U1

1

a)

b)

Figwa2.28

La ganancia p suele ser muy elevada, mayor que 105, por lo que, en un paso más haciala simplificación del modelo, suele tomarse como infinita. Esto implica que para un valorfinito de z6 ha de ser a/¿ : uo /p = 0, es decir, \ua u+: u- . El elemento que cumple con lascondiciones dichas se denomina amplificador operacional ideal. Su símbolo, sobre el quese indica el valor infinito de la ganancia, se representa en la figura 2.28ay las ecuacionesque lo definen son

tt+ - tl- : Ul: 0i+: i-:0

Como consecuencia de la ecuación 12.751se puede escribir también

i2: - i2'

Í2.741Í2.7s1

12.76)

12.77)

El uso de estas ecuaciones permite analizar de una forma muy sencilla elcomportamiento de circuitos con amplificadores operacionales. No obstante, no debeolvidarse que se trata de un modelo ideal que, en ocasiones, puede resultar inadecuado.

En un AO real la tensión de salidatensión de saturación, ni descender porsaturación.

Si se cumple la condición

- Esatl u2 1 Esat

no puede superar un valor dado E u1, llamadodebajo del valor negativo de dicho valor de

las ecuaciones [2.74] y 12.751son válidas y se dice que el AO trabaja en la zona lineal. Enla figura 2.28b se representa la característica de entrada-salida de un AO ideal, en el que sehan tenido en cuenta sus tres zonas de funcionamiento: la lineal, la de saturación positiva y

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS 7t

la de saturación negativa. Cada una de estas últimas zonas viene representada,respectivamente, por los circuitos equivalentes de las figuras 2.29a, y 2.29b. En todas ellasse verifica la ecuación 12.751.

r 0A.É__>Url

+1' 0A

Figura2.29

:q<0

b)

En principio se va a suponer que el AO ideal trabaja siempre en la zona lineal (q:0),aunque debería comprobarse en cada caso que se satisface la desigualdadl2.TTl.

A continuación se dan algunos ejemplos de aplicación del AO ideal. En todos ellos seutiliza algún tipo de conexión entre la salida y la entrada, lo que se conoce con el nombrede realimentación.

Ejemplo 2.15

Seguidor de tensión Esta aplicación corresponde al circuito mostrado en la figura2.30a. En estas condiciones, al ser ut:0, se cumple

us: ue 12.78]

o sea, la tensión de salida es idéntica a la tensión de entrada. Como se debe verificartambién la condición12.77), esto implica que

* Esatl lte< * E "t

t2.791

I 0A -?''iT@u.,.

l' 0A II:u>0

a)

l" l".=2'a)

Figura 2.30

Esta desigualdad expresa los límites de variación de la tensión de entrada para que elAO trabaje en la zona lineal. Además, como la intensidad de entrada es nula, la ecuación12.781 indica que su circuito equivalente es una fuente de tensión dependiente de una

b)

u1:0Y


tensión, de ganancia unidad, tal como se representa en la figura 2.30b. Este circuito no

absorbe corriente de la fuente de tensión y la tensión de salida reproduce la tensión de

entrada, independientemente de la corriente de salida, de aquí su nombre.

1.,:

Figtxa2.3l

En el AO de la figura 2.30a la realimentación consiste en la conexión directa del

terminal de salida con el terminal inversor. Si se hubiesen intercambiado los terminales de

entrada, tal como se indica en la figura 2.31, al utilizar el modelo ideal de AO se llega a lamisma solución de la figura 2.30b; sin embargo, la conexión de la figura 2.31 llevaría al

AO real a la saturación, lo que indica que el modelo ideal, válido para analizar el circuitode la figura2.30, resulta inadecuado para el análisis del circuito de la figura 2.31. Más

adelante, al estudiar el comportamiento en régimen transitorio de los circuitos, podremos

explicar la razón del comportamiento diferente de ambos montajes. Por el momento, baste

con la llamada de atención sobre la limitación del modelo y advertir que la conexión

correcta para un seguidor de tensión es la de la figura 2.30a, es decir, la realimentación ha

de hacerse a la entrada inversora. Nótese que en todos los ejemplos siguientes larealimentación se hace a dicha entrada inversora, que es lo correcto, aunque el modelo

lineal daría el mismo resultado si se intercambiasen los terminales de entrada como en este

ejemplo.

Ejemplo 2.16

I"

Figura2.32

Atenuador. Una ligera variante del seguidor de tensión

mostrado en la figura 2.32. Se verifica en este caso la igualdad

¿¡r:0 V I

se tiene con el atenuador

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUMOS 73

con la particularidad de que esta relación no se ve modificada por lo que se conecte a laderecha de los terminales 2-2', ya que, al ser nula la corriente de entrada al AO por el

terminal 1, la tensión en R1 y, por tanto, rzr, es independiente del circuito que queda a su

derecha.

Ejemplo 2.17

Amptificador inversor. Este circuito viene dado en la figura 2.33, donde se haconectado una resistencia R de realimentación entre la entrada y la salida del AO. Al ser

las intensidades de entrada y la tensión diferencial nulas, se verifica que 11 : i,

tlRt: ttey Lts: - rz . Teniendo en cuenta las ecuaciones de las resistencias, se obtiene

R,ll-- ' u^" R1+R, w

Rus:_

^ru"

- f a* <tte<* f,a*

t2.801

t2.811

f2.82)

t.

Figura2.33

Como, además, para que el AO trabaje en la zona lineal, se tiene que cumplir lacondición 12.771,1os límites de la tensión de entrada vienen dados por la desigualdad

Según la ecuación [2.81], este circuito funciona como un amplificador de tensión con

una ganancia igual a- NR1, por 1o que se invierte el signo de la tensión de entrada; de ahí,

su nombre. En el caso particular de que R : R1 so tiene u, : - Lte y el dispositivo se

denomina inversor de fase.

-::- lq:ouRt l?-


Problemas

P2.l a) Hallar la intensidad 1y la tensión u en el circuito de la figura p2.r.b) Repetir el ejercicio sustituyendo la resistencia R1 por un circuito abierto.

U": 6Y Rz=1O

Figura P2.1

P2,2 Hallar la intensidad l que circula por el cortocircuito de la figurap2.2.

Rr:3O A Rz:2 {2

U": 4Y /.=64

FiguraP2.2

P2.3 Hallar la intensidad / y la tensión u en el circuito de la figura p2.3.

Rr:2O Rz:4 {2

U.r:6V

1.:3 A

U#

Rt=2Cl

l"

Figura P2.3

Usz: 4Y

76 CTRCUTTOS ELÉCTRICOS (I)

P2.4 Enel circuito de la figura P2.4 tanto la tensión us como la intensidad en todos los

elementos es nula. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, la tensión er,

pasa a valer 2.sen(10/) V. Obtener la intensidad en todos los elementos del circuito para

f>0.

usQ)

idt)

Figura P2.4

P2.5 Deducir la forma de onda de la intensidad i que circula por la bobina de la figura

P2.5, conocida la tensión u(t) aplicada a ella. Se supone i = 0 para t = 0. Estudiar el

intervalo0<r13.

I: 0,5 H

Figura P2.5

P2.6 Escribir las ecuaciones de las bobinas acopladas magnéticamente que se

representan en las figuras P2.6ayP2.6b en función:

a) De las inductancias propias y mutua.

b) De las inductancias de dispersión y del flujo mutuo.

l2i-t -2;[il;

(D> 0, h> 0

a)

l2<<,))Lt lu,

h. I, o2'

iz> 0@> 0,

b)

L:lH

i(t)

R:2 Cl

Figura P2.6


P2.7 Comprobar que la ecuación que relaciorrt u1 a i1 es la misma en los dos dipolosrepresentados en las figuras P2.7ay P2.7b.

77

it iz 1 R:2Qlo-> <-_t-l-

,,1 '

.1,1

I' zlt 2'

a)

Figura P2.7

Hl.8 Deducir un cuadripolo formado por dos dipolos, constituido cada uno de ellostan solo por una fuente dependiente, que tenga las mismas ecuaciones que el transformadorideal de la figura P2.8.

it iz

P2.9 El circuito de la figura P2.9a se ha construido con las tres bobinas idealesacopladas magnéticamente mostradas en la figura P2.9b. Se pide:

a) Mostrar en el circuito de la figura P2.9a los terminales correspondientes de las

bobinas.

b) Se sabe que el coeficiente de autoinducción de cada bobina vale 2H y los de

inducción mutua entre cualquier pareja de bobinas lH. Hallar la tensión a circuitoabierto del dipolo, zas.

b)

inillall

Figura P2.8


1

R:2 Q

ar: 10 cos l00rV

a)fJb)Figura P2.9

P2.10 Determinar en el circuito de la figura P2J01a intensidad i(r) en función de latensión rzr(r). Las bobinas acopladas cumplen las condiciones del transformador ideal con

una relación de transformación a: NtlNz: 4.

R,:1 O Nl Nz

R¡:3 C)

Figura P2.10

Y2.ll El circuito de la figura P2.11 se conoce como sumador. Demostrar que se

cumple la siguiente relación para la tensión de salida r,r..

3

3'

I

I'

(n R )tts= -

[r*, ', *

nr", )

1,,

Rz:2 {2

Figura P2.ll


Y2.12 Si en el circuito de la figura 2.33 se sustituye la resistencia de realimentaciónpor un condensador, se obtiene el circuito de la figura P2.12 cuya función es integrar la

tensión de entrada. Demostrar que, en efecto, se verifica la ecuación siguiente

79

ils= -* l-!"u'

t.

Figura P2.12

P2.13 El circuito de la figura Y2.13 recibe el nombre de amplificador no inversor. Se

pide:

a) Comprobar que se verifica la ecuación siguiente:

( R)

" = ['* *r)""

D) Determinar los límites de la tensión

funcionamiento lineal y, por tanto, laapartado a.

u" entre los que queda garantizado

validez de la ecuación obtenida enelel

c) Comparar la carga que supone para la fuente de tensión a" el circuito conectado a

ella en este caso y en el caso del amplificador inversor representado en la figura2.33.

Figura P2.13

CIRCIJITOS ELÉCTRICOS fl)

P2.14 En la figura P2.14 se muestra un circuito conocido como amplificadordifurenciaL Demostrar que se cumple en él la relación siguiente

P2.15 Verificar que

ur: ?r@o -

u^)

Figura P2.14

en el circuito de la figura P2.15 se cumple la relación siguiente

( R,R. \*,=[ffi*,),,

Figura P2.15


/r:34

U..-4 I

R, :2 Q U*rlt

Soluciones de los problemas

SP 2.1

1.:3 A

Ur:6V Rz: I C)

Inz

a) b)

Figura SP 2.1

a) En la figura SP 2.la las intensidades en las resistencias R1 y R2 son

Ip1: UslRl: 3 AInz= Is:3 A

Mediante la primera ley de Kirchhoff, aplicada al punto A, se tiene

I:Imt1.:l+l:§A

Mediante la segunda ley de Kirchhofl aplicada a la trayectoria cerrada formada por la

fuente de tensión, la fuente de intensidad y la resistencia R2, resulta

U: U"- Unz: 6 - l'3: 3 V

b) Al eliminar la resistencia R1 se tiene el circuito mostrado en la figura SP 2.1b.

Ahora se tiene directamente

I: Ir:3AInz: Is:3 AU:Ur-Unz:6-l'3=3V

Como puede verse, solo se produce un cambio en el valor de la intensidad de la fuente

de tensión. Los restantes elementos no notan la eliminación de la resistencia Rr.

SP 2.2 La tensión en la resistencia R1 (véase la figura SP 2.2) vale

Um: U": 4Y

U4

U":6V R2:1C)

CIRCUITOS ELÉCTRICOS fl

Es interesante observar que la tensión Unr no depende del circuito que queda a laderecha del cortocirtuito. El cortocircuito, que se puede tomar como una fuente de tensiónnula, hace independientes entre sí a los dipolos que quedan en paralelo con é1.

U": 4Y 1r:6 A

Figura SP 2.2

Por su parte, la intensidad en R1 es

Im:UmlRt=4/3A

De forma inmediata se tiene

Inz:Is=6A

Finalmente, mediante la primera ley de Kirchhoff, aplicada al punto A, se obtiene

I : Int t Inz:22/3 A

SP 2.3

Urr:6V Usz: 4Y

En la figura SP 2.3

cerrada formada por ladependiente

Figura SP 2.3

se tiene al aplicar la segunda ley

fuente de tensión de valor Ur1,

UN:6-U

de Kirchhoff a la trayectoriala resistencia R1 y la fuente

R,{9Inr A t*Rr:2Q-------+

Unt<__

Unz

+Unt

<-I Unz

lu

+

y, por tanto,


Im: Um / Rt:3 - (U I 2)

Análogamente para la trayectoria cerrada formada por la fuente de tensión de valor

Us2,laresistencia R2y la fuente dependiente se tiene

Unz:4 - U

Y, Por tanto,

Inz:Unz/Rz:1-(U/4)

La intensidad Inzcoincide con -d por lo que se puede escribir

-I:l-(Ul4) t2.831

Además de la primera ley de Kirchhoff aplicada al punto A se deduce

Im: -21 + I

y sustituyendo el valor de 1¡1 en función de U, se tiene

3-(Ul2)=-t Í2.841

Resuelto el sistema de ecuaciones [2.83] y l2.8fise obtiene 1= I A y U= 8 V.

SP 2.4 La intensidad en la resistencia vale

ip: usl2: sen(l0r)

La intensidad en el condensador es

83

is: Cdu,/dt = 3*l2.sen(10r)]= 60cos(l0r)

La intensidad en la bobina viene dada por l

iL:ir(o)* !f u,ar= i

= í¿(0). i [ 2.sen(10r)d r =0 -Zco(l0r)l á = 0,2 - 0,2cos(l0r)

Finalmente, la intensidad en la fuente de tensión se obtiene al aplicar la primera ley deKirchhoff

cIRCUrros ruÉcrrucos 0)

i: ip * i¡-r i¿ = 0,2 + sen(lQr) + 59,8cos(l0r).

SP 2.5 Para las referencias adoptadas se verifica

i(t) : i(ts) - I l rnrd,r = i(ti - z f'u!)dcLJh

Además, por la continuidad de la intensidad en una bobina lineal e invariable con eltiempo, se va a tomar la intensidad al comienzo de un intervalo, l(ls+), igual al valor que

tenía al final del intervalo contiguo anterior, ,(rA). En la figura SP 2.5 se muestragráficamente la evolución de i(r) a lo largo del tiempo.

Intervalo [0; 1]: u(r) = y

i(r)=¿16.¡ -lf¡n o,

Al final del primer intervalo se tiene

(lJ=-(1)2=-1A

Intervalo U; 21: u(r) =- I V

=i(o) -rf^,

i(r) = ¿11.¡ - i |rrdr = i(r-) -, [:[- r]a" =

= -1+ zrl', = -l+2(t - l) = 2t -3 A

= o _rrl:,0= _t2 A

Figura SP 2.5


Al final del segundo intervalo se tiene

i(2-)=2.2-3 = 1A

Intervalo 12;2,57: u(r) = 1Y

Al final del tercer intervalo se tiene

i(2,5')=-2.2,5+5 =0A

A partir de t = 2,5 s: u(t) = 0 V

i(t)=¡12.¡- ilfn d,r =i(2-)-zfrjr, =

:t-Zcll =l-z(t -2) = -2t + 5 A

=i(2,5-)-rr:r.0, =0 A

sP 2.6

a) El resultado para las bobinas representadas en la figura P2.6a es

u1: L1.di1ldt - M.di2ldtttz: - M.dilldt + L2.di2ldt

ttt: S1.di1lü + N1.d,@^ldt

u2: S2.di2ldt - N2.d,<D^ldt

b) El resultado para las bobinas representadas en la figura P2.6b es

ttr : - L¡dilldt - M.dizldttt2: - M.di1/dt - L2.di2ldt

ttt : - Sl.di1ldt - N1-d'@^ldt

tt2 = - Sz.dizldt - N2.d@^ldt

SP 2.7 Si se escribe la expresión de z2 en función de i2 para el circuito representado

en la figura P2.7a, considerando los elementos que quedan a la derecha de los terminales

2-2', se tiene

i(t)=¡12,5\- +f urG)a,

tt2: - Ri2* u" t2.8sl

Siseponen u2ei2efunción deule i1 mediantelasecuacionesdeltransformadorideal

lly: OU2

a\ - i2:0

y se sustituyen en la ecuación t2.851 se obtiene

ulla: - R.ai1* u"es decir,

ttl: R.a2.i1 *ct.us

Si se sustituyen valores en la ecuación [2.86] se obtiene

[2.86)

ttt: - 8.i1* 2.ut

que es la ecuación que relaciona u l con i1 en el dipolo de la figura p2.7b.

Es interesante observar que el resultado equivale a haber transferido el dipoloconectado enae 2-2'a través del transformador ideal, lo que da lugar a un dipolo que tienela misma configuración, con el valor de la resistencia multiplicado po, o2 y el valor de lafuente multiplicado por a (con otros terminales correspondientes sería - a). Esta es unapropiedad muy importante del transformador ideal que se desarrolla al estudiar bobinasacopladas en régimen permanente sinusoidal.

SP 2.8 Las ecuaciones del transformador ideal de la figura p2.8 son

Ul: AU2

i2= - a.i1

,,1 ,A(fr:,I YY Ilt+-J ' o 2'

Figura SP 2.8

En la figura SP 2.8 se muestra la solución buscada, en la que las ecuaciones son lasmismas que las del transformador ideal y en la que se han respetado las referencias depolaridad del cuadripolo de la figura P2.8.

SP 2.9l. En la figura SP 2.9 se muestra el circuito en estudio en el que se han marcado los

terminales correspondientes. Se trata de un circuito magnético serie por lo que tienen lapropiedad transitiva y solo se emplea un símbolo para marcarlos.

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUMOS 87

b) Las ecuaciones de las bobinas son las siguientes:

u1: Lldilldt + M72di2/dt + Mpd\ldtu2: Mpdilldt + L2di2ldt + Mydlldt4: Mpdilldt + Mydi2lü + \d\ldt

R:2 OI

a.= l0cos 100rV |.1I'

Figura SP 2.9

Al estar los terminales A-B a circuito abierto, se cumple

iz:-h:0

con lo que, al sustituir estos valores en las ecuaciones de las bobinas, resulta

u1:2di1ldtu2: dilldtq: dilldt

El resto del circuito impone las condiciones siguientes:

llAB:-U3*U2us:2i1t u1

De la primera se deduce uAB:0. La segunda ecuación se convierte en la ecuacióndiferencial siguiente, que, una vez resuelta, permite determinar el valor de i1

ur:2\ + Zdilldt

SP 2.10 De acuerdo con las referencias de la figura SP 2.10 se tienen las siguientesecuaciones para el transformador ideal

" -o-4u2

j, =-1=-1i2a4

88 crRcurros ELÉcTRrcos (r)

R::3 O

Además, mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff se puede escribir

l:11-12us: l.h+ q+2.iu2= 2.i -3.i2

Si se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene i -- 5utl99 A.

sP 2.11

S

1..

Figura SP 2.11

En la figura SP 2.11 se muestra el circuito en estudio, en el que, al ser nulas las

intensidades en las entradas del amplificador operacional ideal, así como la tensión

diferencial, se obtiene

u1: R1i1

u2: R2i2

ur: - Ri

y, además,

i:i1*i2

intensidades en función de tensiones en esta última ecuación,Si se sustituyenresulta

*U1

Rz:2 {l

O

--+U2

Figura SP 2.10

las


Us _Ul , U2-R-*r-R,

Si se despeja de esta ecuación la tensión zr, se obtiene el resultado buscado.

SP 2.12 En la figura SP 2.12 se muestra el circuito en estudio, en el que, al ser nulaslas intensidades en las entradas del amplificador operacional ideal, así como la tensióndiferencial, se obtiene

u": Rii: - C.dusldt

Figura SP 2.12

Si se sustituye el valor de la intensidad i, dado por la segunda ecuación, en la primera,resulta

ue: - RC.durldt

Si en esta ecuación se despeja zr, se obtiene el resultado buscado.

sP 2.13

ut:}Vt O

Figura SP 2.13


a) En la figura SP 2.13 se muestra el circuito en estudio, en el que, al ser nulas lasintensidades en las entradas del amplificador operacional ideal, así como la tensióndiferencial, se obtienen las ecuaciones siguientes

uRl: ue

U: Up1 - Us

i: - int

Si se sustituyen las intensidades en función de tensiones en esta última ecuaciónresulta

L = -untRRI

y, haciendo uso de las dos primeras ecuaciones, se tiene

ue-us =_u"RRl

Si se despeja de esta última ecuación la tensión 2., se obtiene el resultado buscado.

b) Para que el AO trabaje en la zona lineal se debe verificar la condición

-Esat 1 us1 Esat

que, en este caso, se convierte en

- Esat +r. < E ut

es decir,

- fta at1 tte' ^*^&;a",

c) En este circuito i.:0, luego la fuente ideal de tensión de valor u"está conectada a

un dipolo que se comporta como un circuito abierto.

En el circuito inversor de la figura 2.33 se puede verificar que ?/e = RlL, es decir, a laentrada del amplificador la relación entre tensión e intensidad corresponde a la de una

resistencia de valor R1.

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS 9I

sP 2.14

:Figura SP 2.14

En la figura SP 2.14 se muestra el circuito en estudio en el que se han indicado lasreferencias de polaridad de tensiones e intensidades. En el subcircuito formado por lafuente de tensión 26, y las resistencias h y Rzse tiene

l,16: lt'1 * tl'2

u'1= R1.i1

u'2: R2.i1

con lo que resulta

u'2: R2.u6l(Rl +Rr. 12.871

Además, con las tensiones en las resistencias indicadas en la figura SP 2.14, se tiene

, _U^-U'2 _ UZ-U'2

nl R2

De esta última ecuación resulta

RZ.uu- R2.u'2: Rt.u'Z- Rt.uZ

Si de esta ecuación se despeja la tensión u2 y se sustituye ut2 poÍ el valor dado enf2.871, se obtiene el resultado pedido.

SP 2.15 En la figura SP 2.15 se muestra el circuito en estudio en el que se hanindicado las referencias de tensión e intensidad, así como las intensidades y la tensióndiferencial a la entrada de los AO.

Al ser nula la tensión diferencial a la entrada de los AO se verifica: yAE:$ y, portanto,

g ¡ ;!z- u'z

"L-, -R' ,o v I o--+rt'I

Rz

¿/s1 : R5.15 [2.88]

92 crRcurros elÉcrRrcos (D

OV<_D

Además se tieneFigura SP 2.15

.. _:t4- t5

Ra.ia+ R3.i3 = 0

i3: - Ra.i5l R3.

luego,

Análogamente,

12: 13

R1i1 + R2.i2:0

luego,

it: - R2.\l fu: R2.R4.i5l(RlR3).

Si se despeja de esta ecuación í5 ] se sustituye en la ecuación [2.88], se obtiene el resultado

buscado.

2. elementos ideales de los circuitos

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