2 construcciones grÁficas

2-1 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

CONCEPTOS

2CONSTRUCCIONES GRÁFICAS

Clasificación de los triángulos, Rectas y puntos notables del triángulo, Construcción de triángulos, Conceptos delínea, semirrecta, segmento y plano, Perpendiculares, Operaciones con segmentos, Ángulos, Triángulos,División de la circunferencia, Construcción de polígonos regulares, Cuadriláteros, Cuadriláteros inscriptibles,Polígonos estrellados, Rectificación de la circunferencia.TEMPORALIZACIÓN: 7 horas

Conceptos de línea recta, semirrecta, segmento, ángulo y plano

Punto es la intersección de dos rectas (se designa con números o letras mayúscu-las)

Línea recta es la sucesión ilimitada de puntos organizados en la misma dirección.(Se designa con letras minúsculas).

Semirrecta es la sucesión de puntos organizados desde un punto extremo.Segmento es la porción de una recta limitada en sus dos extremos. Se designa

por una letra minúscula o dos mayúsculas colocadas en los extremos.Ángulo es la porción de plano comprendido entre dos semirrectas que tienen

el mismo origen (vértice). Se designa por una letra mayúscula en elvértice, o letra griega minúscula o por un punto de cada uno de suslados y el vértice.

Plano es la superficie definida por un punto y una recta, por 3 puntos no alineados,o por dos rectas que se cortan. Se designan por letras griegas minúsculas.

Construcciones gráficas 2 - 2

PERPENDICULARES

Fig.2.1 Fig.2.2

Trazar una perpendicular a un segmento por su punto medio (mediatriz de unsegmento). Fig.2.1

Con centro en los extremos del segmento AB y un radio mayor que la mitad de dicharecta se trazan dos arcos. Unimos los puntos obtenidos C y D resultando la rectaperpendicular.

Trazar una perpendicular a una recta por un punto cualquiera. Fig.2.2

Haciendo centro en el punto D por el que pasará la perpendicular, trazamos dosarcos equidistantes A y B sobre la recta. Con centro en dichos puntos, A y B,dibujamos otros dos arcos que se corten en C. Uniendo C con D tendremos la per-pendicular que se pide.

Trazar una perpendicular a una recta desde unpunto exterior. Fig.2.3

Haciendo centro en el punto D por el que pasará laperpendicular, trazamos un arco que cortará en A y B ala recta dada. Obtenidos A y B el procedimiento es elmismo que para la figura 2.2

Fig.2.3


Fig.2.4 Fig.2.5

Fig.2.6

Levantar una perpendicular en el punto extremo de una semirrecta.

Primer Procedimiento: Fig.2.4Con centro en el punto B, extremo de la semirrecta, trácese un arco con un radiocualquiera. Llévese dos veces el mismo radio sobre dicho arco, a partir de A. Concentro en C y D, trácense dos arcos que se cortarán en E.Uniendo el punto E con el extremo B de la semirrecta, tendremos la perpendicular.

Segundo procedimiento: Fig.2.5Con centro en B, trácese un arco con un radio cualquiera. Con centro en A y elmismo radio córtese dicho arco. Con centro en C, llévese otro arco igual. Trácese larecta AE pasando por C. La recta que une E con B será la perpendicular pedida.

Tercer procedimiento: Fig.2.6Con centro en un punto cualquiera O, exteriora la recta, trácese un arco que pase por elextremo B de la semirrecta. Desde el punto Allévese una recta pasando por O, hasta C.Uniendo C con B se obtiene dicha perpendi-cular.


ÁNGULOS

Repaso:Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si su suma es igual aun ángulo recto, o sea 90°Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si su suma vale un ángulollano, o sea 180°Ángulos consecutivos: Ángulos consecutivos son dos ángulos que tienen el mismovértice y un lado común entre ellos.Ángulos adyacentes: Ángulos adyacentes son dos ángulos consecutivos cuyoslados no comunes están en línea recta.Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos opuestos por el vértice son dos ángulostales que los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro, y portanto iguales dos a dos.

Trazar la bisectriz de un ángulo. Fig.2.8

Con centro en O, vértice del ángulo, trazamos un arco cualquiera AB. Con centro enA y B, y radio mayor que la mitad del segmento AB trazamos dos arcos que secortarán en el punto C. La recta que pasa por O y la intersección de los dos arcos Ces la bisectriz del ángulo.

Fig.2.7


Fig.2.8 Fig.2.9

Fig.2.10

Fig.2.11

Trazar la bisectriz de un ángulo cuyo vértice no se encuentra en el dibujo.Fig.2.9

Sea el ángulo formado por los lados AB y CD. Únanse dichos lados por medio deuna recta MN. Hallamos la bisectriz de cada uno de los 4 ángulos formados por lasrectas. Trazando una recta que una los dos puntos de corte XY, de las bisectricestendremos la bisectriz de dicho ángulo.

Dividir un ángulo recto en tres partes igua-les. Fig.2.10

Sea el ángulo BAC. Con centro en A se trazaun arco cualquiera. Desde los puntos extre-mos de dicho arco, trácense con el mismoradio otros dos arcos que cortarán en D y E.Pasando rectas por dichos puntos desde suvértice A, queda dividido dicho ángulo en trespartes iguales.

Dividir un ángulo cualquiera en tres par-tes iguales (Trisección del ángulo AOC).Fig.2.11

Uno de los problemas de construcción geo-métrica que más se han tratado desdetiempos de la Grecia clásica, es el de latrisección de un ángulo cualquiera. No exis-te solución exacta con regla y compás, aun-que existen procedimientos aproximados,uno de los cuales, atribuido a Arquímedes yque sirve para ángulos menores de 90°, esel que se expone a continuación.


Fig.2.12

Fig.2.13

Con centro en el vértice O, se traza una semicircunferencia con cualquier radio y seprolonga el lado OA, por O. En una tira de papel situamos una longitud XY, igual alradio de la semicircunferencia. La colocamos de forma que X quede sobre la prolon-gación de OA, de modo que la recta XY en su prolongación pase por el punto C,lugar en que el arco corta al ángulo. Trazando desde O, una paralela a XY, obten-dremos el punto E al cortar a la semicircunferencia. El ángulo AOE será la terceraparte del dado.

Bisectriz de los ángulos mixtilíneo (Fig. 2.12) y curvilíneo (Fig.2.13).

Un ángulo se denomina curvilíneo si sus lados son arcos de circunferencia, ymixtilíneo si uno de los lados es una recta. El trazado de la bisectriz se hace conplantilla de curvas.

Dados el arco de circunferencia de centro O y la recta r, para hallar la bisectriz delángulo mixtilíneo procederemos de la siguienteforma:1.- Se traza por un punto cualquiera A de larecta r, una línea perpendicular s2.- Se traza por el centro O del arco, una rectat, que lo corte en el punto B.3.- Se llevan a partir de los puntos A y B, divi-siones iguales sobre las rectas s y t.4.- Se trazan por las divisiones de la recta t,arcos concéntricos de centro O.5.- Se trazan por las divisiones de la recta s,líneas paralelas a la r, que cortan a los respec-tivos arcos concéntricos en los puntos de labisectriz.

En caso de que el ángulo sea curvilíneo (Fig.2.23), el trazado es muy similar, peroen este caso los lados del ángulo son dos arcosde circunferencia de centros O y O', respectiva-mente.


TRIÁNGULOS

Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.Tienen tres lados y tres ángulos.Los puntos de intersección se denominan vértices y los segmentos comprendidosentre cada dos vértices reciben el nombre de lados del triángulo.Los vértices se designan mediante letras mayúsculas, colocadas en sentido contra-rio a las agujas del reloj. Las mismas letras empleadas para la designación de losvértices son empleadas para designar el ángulo correspondiente en dicho vértice.Los lados se designan con letras minúsculas, utilizando siempre la misma asignadaal vértice opuesto: así, el lado a es el opuesto del vértice A.

Propiedades fundamentales

- La suma de los ángulos interiores es 180° - Un lado cualquiera es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia. - A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos y los

dos ángulos opuestos son complementarios puesto que "+$=( siendo (=90° - Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos en partes

proporcionales

TRIÁNGULOS

En función de

sus lados

EQUILÁTEROS Tres lados iguales y tres ángulos de 60°

ISÓSCELES Dos lados iguales y dos ángulos iguales

ESCALENOS 3 lados y 3 ángulos desiguales.

En función de

sus ángulos

ACUTÁNGULOS Tres ángulos agudos (Menores de 90°)

RECTÁNGULOS Un ángulo recto (de 90°)

OBTUSÁNGULO Un ángulo obtuso (Mayor de 90°)


RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULOÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Fig.2.14

Mediatriz: Cada una de las tres perpendiculares a los lados de un triángulo en suspartes medias. Las mediatrices de los tres lados de un triángulo cualquiera concurren en un puntoque equidista de los vértices del mismo llamado circuncentro del triángulo. Elcircuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por los vértices deltriángulo, puesto que al pertenecer simultáneamente a las tres mediatrices, equidistade los extremos de los lados, vértices del triángulo. Si el triángulo es acutángulo, elcircuncentro es interior al triángulo. Si es obtusángulo, el circuncentro es exterior altriángulo y si el triángulo es rectángulo, el circuncentro es el punto medio de lahipotenusa.

Bisectriz: Es la línea recta que divide el ángulo en dos partes iguales.Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo cualquiera pasan por unpunto, llamado incentro del triángulo; este punto es el centro de una circunferenciatangente a los tres lados del triángulo (circunferencia inscrita), debido a que elincentro, por pertenecer simultáneamente a las tres bisectrices, equidista de los treslados del triángulo.

Altura: Es la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto de un triángulo.

Las alturas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienen comointersección un punto, llamado ortocentro del triángulo.


Fig.2.15Fig.2.16

Mediana: Es el segmento comprendido entre cada vértice y el punto medio del ladoopuesto. Las medianas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienencomo intersección un punto, llamado baricentro del triángulo. Se encuentrarespecto a los vértices a dos tercios de la longitud total de la mediana correspon-diente.La mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a lamitad del valor de la hipotenusa.

Apotema: es la perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a unocualquiera de sus lados. También es la altura de las caras triangulares de unapirámide regular.

Triángulo órtico. Fig. 2.15

aDado un triángulo ABC, se denomina órtico a aquel cuyos vértices son los pies H ,

b c cH , H de las alturas del triángulo dado. O es el centro de la circunferencia inscritaen este triángulo.

Triángulo complementario. Fig. 2.16

a b cTriángulo complementario de uno ABC conocido, es aquel cuyos vértices M , M , Mson los puntos medios de los lados a, b, c.Los lados de un triángulo complementario son paralelos a los lados del triángulo quelo contiene.Ceviana: es la línea que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto.

Triángulo podar. Fig.2.17

Se denomina triángulo podar de un triángulo

a b cdado ABC a aquel H , H , H cuyos vértices son los piesde las perpendiculares trazadas a los lados desde unpunto H definido

Fig.2.17


Fig.2.18

Relaciones entre los elementos de un triángulo. Fig. 2.18

Llamando p al semiperímetro de un triángulo ABC cualquiera, al que se han trazado

a b clas circunferencias, inscrita de centro I (incentro) y exinscritas de centros I , I , I ,determinadas por las intersecciones de las bisectrices a sus ángulos exteriores, se

cumple que:

MN=a + bPQ=a + cRS=b + c

siendo a, b y c los lados del triángulo y M, N, P, Q, R, S los puntos de tangencia delas circunferencias exinscritas con las prolongaciones de los lados.


CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Fig.2.19

a b cLlamando T , T , y T los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas enlos lados del triángulo y X, Y, Z los de la circunferencia inscrita se verifica:

c bNT = PT = QY =MZ =a;

a cRT = MT = SX = NZ =b;

b aQT = ST = RX = PY = c

Todas las relaciones consignadas son ciertas puesto que los segmentos tangentes auna circunferencia trazados desde un punto son iguales.

De ello se deduce que RC = BS = PC = AQ = MA = NB = p

c b ay T Z = a - b; T Y = a - c; T X = c - b, por lo que resulta:

b cAZ = AY = CT = BT = CS = BR = p - a

c aBZ = BX = CQ = AP = AT = CT = p - b

b aCX = CY = AT = AN = BT = BM = p - c

alas bisectrices interiores AI, BI y CI contienen en sus prolongaciones a los centros I ,

b cI , I de las circunferencias exinscritas. Estas bisectrices son perpendiculares a los

a b clados del triángulo cuyos vértices son los puntos I , I , I , siendo, por tanto, las

a b calturas del mismo. De aquí que el triángulo ABC es órtico respecto al I , I , I .

Construcción de un triángulo cono-ciendo los tres lados. Fig.2.19

Se conocen los lados a=BC, b=AC yc=AB. Se coloca uno de los lados, porejemplo el a=BC y con centro en B y radioc=AB trazamos un arco que se corte en Acon el arco trazado desde C y radio b=AC.El vértice A define el triángulo al unirsecon B y C.


Fig.2.20

Fig.2.21

Fig.2.22

Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido.Fig.2.20

Se conocen los lados a=BC, c=AB y el ángulo del vértice B. Se coloca uno de loslados conocido, por ejemplo el a=BC y en el vértice B se construye el ángulo de Bcon ayuda del arco 1-2; sobre el lado obtenido de este ángulo se lleva c=BA;finalmente se une A con C para completar el triángulo.

Construcción de un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes.Fig.2.21

Se conocen el lado c=AB y los ángulos adyacentes A y B al lado c; en el vértice A sedibuja el ángulo de A con ayuda del arco 1-2 y en el vértice B se dibuja el ángulo deB con ayuda del arco 3-4; los lados a y b, de estos ángulos prolongados, se cortanen el vértice C, que completa el triángulo.

Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a unode ellos. Fig.2.22

Sean los lados a y c y el ángulo enC opuesto al lado c. Se construyeel lado a = CB y se coloca sobre elextremo C el ángulo en C determi-nado por los puntos 1 y 2; se pro-longa el lado que contiene el lado by con centro en el vértice B, se tra-za un arco de radio igual al lado cdado, con lo que se obtiene el vérti-ce A.El problema tiene dos soluciones,que son los triángulos ABC y A'BC.


Fig.2.23

Fig.2.24

Si el valor del lado c es igual a la perpendicular trazada desde el vértice B al lado bel problema sólo tiene una solución. Si el lado c es menor que la perpendicular, elproblema no tiene solución.

Construcción de un triángulo conociendo un lado y el ángulo opuesto. Fig.2.23

Se puede obtener el triánguloconstruyendo el arco capaz delsegmento a, bajo el ángulo A.

1Si el lado b=b , hay dos solucio-nes que son los dos triángulos

1A CB los cuales se obtienencortando el arco capaz con lacircunferencia de centro en B y

1 2radio b . Si b=b , igual al diáme-tro de la circunferencia que con-tiene el arco capaz, hay una

2sola solución, el triángulo A CB.

3Si b=b , mayor que el diámetrode la circunferencia, el proble-ma no tiene solución.

Construir un triángulo dadas la altura, la mediana y la bisectriz relativa a unode los lados. Fig.2.24

aSe construye un triángulo rectángulo AED, tomando por cateto AE la altura h y por

ahipotenusa AD la mediana m , trazan-do por D una perpendicular al catetobase ED. Con centro en el vértice A y

aradio w , bisectriz conocida, se des-cribe un arco hasta cortar en F al ca-teto ED. Prolongamos el segmentoAF hasta cortar en G a la perpendicu-lar trazada anteriormente por D. Lamediatriz del segmento AG corta a laperpendicular ya indicada en el puntoO, punto que se toma como centropara trazar una circunferencia auxiliarque pase por A y G. Esta circunferen-cia corta a las prolongaciones de EDen los puntos B y C, vértices del trián-gulo solución ABC.


Fig.2.25 Fig.2.26

Construir un triángulo equilátero dado el lado AB. Fig.2.25

Se traza el lado AB dado. Tomando los extremos como centro y con un radio igual allado AB, trazamos arcos que se corten en C (vértice del triángulo) y obtendremos losotros dos lados.

Construir un triángulo equilátero conociendo la altura.

Primer Procedimiento. Fig.2.26: Construimos un triángulo equilátero cualquiera,según el procedimiento descrito en el párrafo anterior. Dibujamos la altura del trián-gulo y sobre ésta llevamos la altura dada, con lo que obtendremos el vértice opuestoa la base. Trazamos por este vértice paralelas a los lados del triángulo equiláteroauxiliar.

Segundo Procedimiento. Fig.2.27: Sobre unarecta indefinida se levanta una perpendicular delongitud igual a h. Se traza por su extremo libre Auna paralela a la recta libre. Con centro en A yradio arbitrario se describe un cuadrante de cir-cunferencia EF; sin variar el radio y con centro enE, dibujaremos otro arco que corte al anterior enD.Uniendo D con A se obtiene el vértice B sobre labase, el cual se transporta a C, con centro en A.(Según la construcción realizada el ángulo EADvale 60°, con lo que resulta DAF=30°)

Dadas tres circunferencias concéntricas, construir un triángulo equiláteroapoyando sus vértices en cada una de ellas. Fig.2.28

1 2 3Sean las circunferencias de radios R , R y R . Con centro en un punto cualquiera A

3de la circunferencia mayor y radio R se traza un arco, determinando sobre la misma

1el punto O1, centro que se toma para trazar una circunferencia de radio R . Estacircunferencia corta a la intermedia en dos puntos B y B' que nos definen lossegmentos BA y B'A, lados respectivos de dos triángulos equiláteros, solucionesambas del ejercicio.

Fig.2.27


Fig.2.30

1Si al trazar la circunferencia de centro O , resulta tangente a la intermedia, Fig.2.29el ejercicio presenta una solución, no existiendo ninguna en el caso de que no secorten.

Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y la altura.Fig. 2.30

Sea BC el lado y AB la altura. Sobre una recta r se toma un punto A arbi-trario. Por el punto A se traza una perpendi-cular a la recta r. Se transporta la altura da-da AB sobre la perpendicular, a partir delpunto A. Con centro en el punto B y radioigual al lado se describe un arco que corta ala recta r en dos puntos C y D que, junto conel punto B, son los vértices del triángulo.

Construir un triángulo isósceles conocidala base y los lados iguales. Fig.2.31

Se toma la magnitud de la base a dada y concentro en sus extremos se dibujan arcos deigual radio que c.

Fig.2.28Fig.2.29

Fig.2.31


Construir un triángulo isósceles conocida la base y la altura. Fig.2.32

Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y el ángulocomprendido entre los mismos. Fig.2.33. (También puede redactarse: conociendolos lados iguales y el ángulo desigual)

Construir un triángulo isósceles conociendo la base y uno de sus ángulosadyacentes. Fig.2.34

Construir un triángulo isósceles conociendo uno de sus lados iguales y unode sus ángulos iguales. Fig.2.35

Fig.2.32

Fig.2.33 Fig.2.34

Fig.2.35 Fig.2.36


Construir un triángulo isósceles conociendo la base y el ángulo opuesto a lamisma. Fig. 2.36

Se construye un ángulo igual al dado, con vértice en uno de los extremos C de labase y sobre su prolongación. La bisectriz del ángulo suplementario nos determinalos ángulos adyacentes a la base (siendo la suma de los ángulos de un triánguloigual a 180°, los ángulos iguales de un triángulo isósceles valen la mitad del suple-mento del ángulo opuesto a la base).

Construir un triángulo isósceles conocida la base y el radio de la circunferen-cia circunscrita. Figs.2.37 y 2.38

Primer Procedimiento. Fig.2.37: Se traza una circunferencia con el radio dado. Poruno de los extremos M del diámetro se traza una perpendicular hacia ambos lados,transportando sobre la misma la base dada (la mitad a cada lado).

Segundo procedimiento. Fig.2.38: Se traza la mediatriz a la base, y con centro enuno de sus extremos y radio r, se describe un arco que corte a la mediatriz en unpunto. Este punto será el centro que se toma para trazar la circunferencia circuns-crita.El vértice A se encuentra en ambos métodos en la intersección de la mediatriz conla circunferencia.

Construir un triángulo isóscelesconociendo el semiperímetro y laaltura correspondiente al lado dis-tinto. Fig.2.39

Trácese la altura h y el semiperímetrok formando ángulo recto. K=MNLa mediatriz del segmento AN deter-mina sobre MN el vértice C, obtenién-dose el B por simetría e C respecto deM.

Fig.2.37 Fig.2.38

Fig.2.39


Si los datos son el valor del perímetro y la altura, el problema se reduce a hallar elvalor del semiperímetro, en función del perímetro.P=2K o K=P/2.

Construir un triánguloisósceles dada la sumade la altura y uno de loslados iguales, así comoel ángulo opuesto a labase. Fig.2.40

Se levanta sobre unarecta base cualquiera unaperpendicular de longitudigual a la suma conocida.Por el extremo E se cons-truye un ángulo igual a lacuarta parte del dado, obteniendo con ello sobre la recta base el vértice B. El A sedetermina trazando la mediatriz al segmento EB, y el C por simetría del B respecto aD.

Construir un triángulo rectángulo isósceles, dada la hipotenusa. Fig.2.41

Con un diámetro igual a la hipotenusa dada se dibuja una semicircunferencia. Lamediatriz del diámetro determina sobre la semicircunferencia el vértice del ángulorecto.

Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. Fig.2.42

Construir un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo opuesto.Fig.2.43

Sobre un segmento cualquiera AN se levanta por uno de sus extremos una perpen-dicular de longitud igual al cateto conocido y por el otro extremo se construye un

Fig.2.40

Fig.2.41Fig.2.42


ángulo igual al dado. La hipotenusa del triángulo es el segmento que resulta altrazar una paralela al lado libre del ángulo por el extremo B del cateto.

Construir un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo comprendidoentre éste y la hipotenusa. Fig.2.44

Se dibuja el cateto b y por uno de sus extremos el ángulo dado. Por el extremo libredel cateto b se levanta una perpendicular que corte al lado del ángulo.

Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y uno de losángulos agudos. Fig.2.45

Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos. Fig.2.46

Construir un triángulo rectángulo da-do un cateto y la mediana correspon-diente al otro cateto. Fig.2.47

Se sitúa el cateto conocido levantandopor su extremo A una perpendicular.Con centro en el otro extremo B, se des-cribe un arco de radio igual a la media-

bna, obteniéndose en su intersección M

Fig.2.44Fig.2.43

Fig.2.45 Fig.2.46

Fig.2.47


con la perpendicular, el punto medio del otro cateto. Llevando sobre la perpendicu-

b b blar, y a partir de M la distancia M C = M A

a bConstruir un triángulo rectángulo conocidas las medianas M y M correspon-dientes a la hipotenusa y uno de los catetos. Fig.2.48

b bSobre la mediana m =BM , comodiámetro, se describe una semi-circunferencia (arco capaz de90°). Con centro en G, punto si-

btuado sobre M a 2/3 de su longi-tud desde B, se traza un arco de

aradio 2/3 de m . Este arco deter-mina sobre la semicircunferencia

bel vértice A. Unido A con M obte-nemos la mitad del lado del trián-gulo y por tanto AC al duplicar lalongitud.

aBC será la hipotenusa y G M (enla prolongación de AG) será eltercer tercio de la mediana.

cConstruir un triángulo rectángulo conociendo la mediana m correspondientea un cateto y el ángulo adya-cente al mismo. Fig.2.49

Sobre un segmento arbitrarioST se trazan por uno de susextremos S una perpendicular ypor el otro extremo se constru-ye el ángulo dado. Donde secorten ambas rectas se en-cuentra el vértice C. Unamos Ccon el punto medio de ST,transportando sobre esta semi-rrecta la mediana. Al dibujar porsu extremo D una paralela STobtendremos al triángulo al cor-tar en A y B a las prolongaciones de CS y CT.

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos.Fig.2.50

Se toma un segmento DC igual a la suma b+c de los dos catetos, construyendo enuno de sus extremos D, un ángulo de 45°, y con centro en el otro extremo C se des-

Fig.2.48

Fig.2.49


cribe un arco de radio igual a lahipotenusa dada. Este arco cor-ta al oblicuo del ángulo en elvértice B. El vértice A se obtienetrazando una perpendicular aDC desde B. El punto B', dondeel arco también corta a DE, nosproporciona otra solución, quees simétrica a la obtenida.(Al ser el ángulo ADB de 45° yBA perpendicular a DA, el trián-gulo DAB es rectángulo e isós-celes: al ser BA=DA=c, DC=c+b)

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenu-sa y la diferencia de los catetos. Fig.2.50 bis

Se dibuja un segmento DC, igual a la diferencia decatetos conocida. En uno de los extremos del segmen-to se dibuja un ángulo de 45°, trazando con centro enel otro extremo, y radio igual a la longitud de la hipote-nusa dada, un arco que cortará al lado libre del ánguloen el vértice B. La perpendicular trazada por B a laprolongación de DC nos determina el vértice A.

Siendo el triángulo BAD rectángulo e isósceles por construcción, BA=AD, con lo que el segmento DC

resulta igual a la diferencia de los catetos.

a aConstruir un triángulo rectángulo dadas la mediana m y la altura h correspon-diente a la hipotenusa. Fig.2.51

Dado que la hipotenusa de un triángulo mide dos veces su mediana correspondien-te, el problema se reduce a la construcción de un triángulo rectángulo conocida lahipotenusa y la altura rela-tiva a dicha hipotenusa.Para ello se toma por hipo-tenusa un segmento BC

aigual a 2 veces m descri-biéndose con centro en su

apunto medio M una semi-circunferencia. Trazandouna paralela a BC a una

adistancia igual a h quedadeterminado en su inter-sección sobre la semicir-

Fig.2.50

Fig.2.50bis

Fig.2.51


Fig.2.53 bis

cunferencia, el vértice A. La intersección A' produce otra solución simétrica.

Construir un triángulo rectángu-lo dados un cateto c y la bisec-

btriz w correspondiente al otrocateto. Fig.2.52

Se traza una circunferencia de

bdiámetro igual a la bisectriz w ycon centro en B, extremo de estediámetro se transporta sobre lacircunferencia el cateto conocidoc, obteniendo los puntos A y N enuno y otro sentido. Uniendo A con D y B con N se determina el vértice C.

bW es la bisectriz del ángulo B al ser los arcos AD y DN iguales por construcción. Elángulo en A es recto por estar inscrito en una semicircunferencia.

bConstruir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la mediana mcorrespondiente a un cateto. Fig.2.53

Describir una semicircunferencia dediámetro BC igual a la hipotenusadada, trazando concéntricamente ala misma un arco de radio igual a lasexta parte de la hipotenusa. Concentro en uno de los extremos B dela hipotenusa y radio 2/3 de la me-

bdiana m conocida, trazar un nuevoarco que cortará al anterior en elpunto G. Prolongar BG en una lon-gitud igual a la mediana y unir su

bextremo M con C hasta cortar en Aa la semicircunferencia, punto vérti-ce del ángulo recto.

Según la construcción realizada, G es el baricentro del triángulo rectángulo, toda vezque la mediana correspondiente al ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.

Construir un triángulo conociendo el períme-tro y los ángulos B y C. Fig.2.53 bis

Se toma el segmento perímetro (a+b+ c) y sedibuja en sus extremos los ángulos de amplitudla mitad de B y C.

Fig.2.52

Fig.2.53


Los lados respectivos se cortarán en el vértice A del triángulo buscado.Las mediatrices trazadas a los segmentos (AA') y (AA”) concretarán los vértices B yC del triángulo que definitivamente soluciona la construcción, pues [(A'B)] = [(BA),por ser B un punto de la mediatriz (AA');[(AC)] = [(CA”), por ser C un punto de la mediatriz (AA”);

Fig.2.53. tris

2 construcciones grÁficas

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