construcciones gráficas 2

2 - 29 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato

Fig. 2.69

Construir un rectángulo conocida la diagonal y el ángulo que forman lasdiagonales. Fig.2.66

Se toma una semirrecta y por su extremo B se dibuja un ángulo mitad del dado,transportando sobre él la diagonal.

Construir un triángulo rectángulo conocida la diagonal y el ángulo que formacon el lado mayor. Fig. 2.67

Construir un rectángulo conocido un lado y lasuma de la diagonal y el otro lado. Fig.2.68

Construir un triángulo rectángulo ABC cuyos cate-tos sean iguales al lado conocido AB y a la suma d+ l = BC de la diagonal y el otro lado. La mediatriztrazada a la hipotenusa de este triángulo determi-na sobre el cateto BC el vértice D del rectángulo.

Construir un rombo conociendo el lado y unadiagonal. Fig.2.69

Sea AD el lado y AC la diagonal.- Con centros en los extremos A y C de la diagonaly radio igual al lado se describen cuatro arcos,que se cortan en los puntos B y D.- Los puntos A, B, C y D son los vértices del rom-bo.En realidad se procede como en la construcciónde los triángulos isósceles pues la diagonal dividelos rombos en dos triángulos isósceles.

Fig.2.67Fig.2.66

Fig.2.68

Construcciones gráficas 2 - 30

Fig. 2.70

Construir un rombo conociendo un ánguloy su diagonal. Fig.2.70

Sean AC la diagonal y a el ángulo.- Se dibuja el ángulo a conocido, de vértice A,trazando la bisectriz del mismo.- A partir del punto A y sobre la bisectriz selleva la magnitud AC de la diagonal conocida.- Por el punto C se trazan las paralelas a loslados del ángulo que se cortarán con éstos enlos puntos B y D, determinando los otros dosvértices del rombo.

Construir un rombo dado ellado y la suma de las diagona-les. Fig.2.71

Sobre un segmento EA igual a lamitad de la suma dada, se cons-truye en uno de sus extremos, porejemplo el E, un ángulo de 45° ycon centro en el otro extremo Ase traza un arco de radio igual allado dado, el cual al cortar al ladodel ángulo nos determina B, vértice del rombo. El vértice C se obtiene simétrico del B.

Construir un rombo dado un ángulo y la suma de las diagonales. Fig. 2.72

Se dibuja un segmento EA igual a la mitadde la suma dada sobre el que se construyeen uno de sus extremos, por ejemplo el E,un ángulo de 45° y con centro en el otroextremo A se traza un arco de radio igual ala mitad del ángulo dado, el cual al cortar allado del ángulo de 45° nos determina B,vértice del rombo. El vértice C se obtienesimétrico del B.

Fig.2.71

Fig.2.72


Fig. 2.75

Construir un rombo dado el lado y elradio del circulo inscrito. Fig.2.73

Se traza una semicircunferencia de diá-metro AB igual al lado dado. Medianteuna paralela trazada a AB a una distanciaigual al radio r conocido se obtiene elpunto O, centro del rombo. Los demásvértices se obtienen por simetría respectoa O de los puntos A y B.

La construcción está basada en el hecho de que las diagonales de un rombo secortan ortogonalmente y así el ángulo AOB formado por ellas se construye inscritoen media circunferencia con lo que su valor es de 90°

Construir un rombo dado el ángulo entre sus lados y el radio del circuloinscrito. Fig.2.74

Sobre el ángulo dado se traza la bi-sectriz. A continuación se levanta unaperpendicular al lado AB del ángulopor su vértice A. Sobre esta perpen-dicular llevamos la longitud del radioAE.Por el extremo E obtenido se traza laparalela EO al lado tomado comobase, la cual determina en su encuen-tro O con la bisectriz, el centro del

rombo. La perpendicular a la bisectriz por O nos fija los vértices B y C; hallando D porsimetría de A respecto a BC.

Construir un romboide conociendosus lados y un ángulo. Fig.2.75

Sean AD y AB los lados y a el ángulo.- Se dibuja el ángulo a conocido, de vér-tice A, transportando sobre cada lado laslongitudes AB y AD iguales a los ladosdel romboide conocidos.- Desde el punto B y con radio AD, setraza un arco; y desde el punto D y radioAB se traza otro arco que se corta con elanterior en el punto C.

Fig.2.73

Fig.2.74


Fig. 2.76

Fig.2.77 Fig.2.78

Construir un romboide conociendosus lados y la altura. Fig.2.76

Sean AD y AB los lados y BE la altura.- Se dibuja un segmento AB igual a unode los lados conocidos.- Por el punto B se traza la perpendicularal mismo, transportando a partir de B ladistancia BE igual a la altura.- Por el punto E se traza la recta paralelaal segmento AB.- Con centro en los puntos A y B y radioigual al otro lado conocido, se trazan sen-dos arcos que cortan a la paralela traza-da por E en los puntos C y D.

Cuadriláteros inscriptibles

Se llama cuadrilátero inscriptible aquel que está inscrito en una circunferencia, esdecir aquel cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia. Fig.2.77Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene sus dos pares de ángulosopuestos A,C o B,D suplementarios, siempre que sus vértices A y C, o B y D esténseparados por la diagonal DB o AC del cuadrilátero. La razón es que los ángulos A yC o B y D están inscritos en los dos arcos capaces en que cada una de las diagonalesdel cuadrilátero dividen a la circunferencia.Recíprocamente: Todo cuadrilátero ABCD que tiene dos ángulos opuestos A y C, o By D suplementarios es inscriptible en una circunferencia. Ya que trazando la circunfe-rencia que pase por tres vértices BC y D del cuadrilátero el otro vértice A deberápertenecer al arco abarcado por el segmento BD distinto al que contiene el vértice C.Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios también lo son losotros dos opuestos al ser la suma de los cuatro ángulos cuatro rectos.


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Fig.2.79 Fig.2.80

CONSECUENCIA: Fig.2.78: Si el cuadrilátero inscriptible es un trapecio de bases ABy CD los ángulos que se oponen a una de sus bases A y B son iguales por abarcararcos iguales y por la misma razón lo son los otros dos C y D. Los lados no paralelosdel trapecio AD y BC también son iguales por abarcar arcos iguales siendo pues eltrapecio isósceles y simétrico con relación al diámetro perpendicular a sus dos bases.Recíprocamente: Todo trapecio isósceles es inscriptible en una circunferencia.

Dividir una circunferencia en 3 y 6 partes iguales. Inscribir un triángulo o unexágono en una circunferencia. Fig.2.79

A partir de un punto cualquiera de la circunferencia llevamos el radio de ésta seisveces. Uniendo los puntos correlativamente se consigue un exágono. Si dejamos unpunto intermedio obtendremos un triángulo.

Dividir una circunferencia en 4 y en 8 partes iguales. Fig.2.80

Trazamos dos diámetros AC y BD perpendiculares entre si. Se unen por medio derectas los puntos AB-BC-CD-DA. La figura ABCD es el cuadrado inscrito. Si hallamoslas bisectrices de los cuatro ángulos rectos dividiremos la circunferencia en ochopartes.


Fig.2.81

Fig.2.82

Dividir una circunferencia en 5 partes iguales o inscribir un pentágono dentro de lacircunferencia (o en 10 partes e inscribir undecágono). Fig.2.81

Se trazan los diámetros perpendiculares AB yCD. Buscamos el punto medio de un radio, G.Con centro en G y radio GC, trácese un arcoque cortará en F al diámetro. Desde C comocentro y con una abertura de compás igual aCF, llévese un arco desde el punto F hastaencontrar en E, a la circunferencia. El arco CE es igual a la quinta parte de la circunfe-rencia, y la cuerda CE es el lado del pentágono regular inscrito.El segmento FO divide la circunferencia en 10 partes iguales.

Dividir una circunferencia en 7 partes iguales o inscribir un heptágono en unacircunferencia (o en 14 partes iguales). Fig.2.82

Trazamos un diámetro cualquiera. Con centro en el punto S, extremo del diámetro, yradio SO, trácese un arco que cortará a la circunferencia en los puntos H y B. Únase Hcon B. La mitad de esta recta es la séptima parte de la circunferencia. Haciendo centroen B, llévese b, hasta A.Para dividir en 14 partes iguales basta con hallar el punto medio de cada lado.

Dividir una circunferencia en 9 partes iguales (o inscribir un eneágono regularen una circunferencia. Fig.2.83

Se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD. Se describen los arcos OF y OEcon centros en B y A y radio igual al de la circunferencia.Seguidamente se trazan dos nuevos arcos con centros en A y B y radios BE y AF, loscuales se cortan en G, punto éste que se toma como centro del arco AB.La porción es el lado de un eneágono regular inscrito.

Fig.2.83


Fig.2.86

Dividir una circunferencia en 11 partes iguales, einscribir un endecágono regular en una circunfe-rencia. Fig.2.84

Se trazan los diámetros perpendiculares. Se describendos arcos de radios iguales a los de la circunferenciacon centros en C y en A, con lo que se obtienen lospuntos E y F.Con centro en F y radio FE se describe un arco quecortará en G al diámetro DC. Por último, con centro enE se transporta G sobre la circunferencia en H.EG es la undécima parte de la circunferencia.

Este sistema es sólo aproximado.

Dividir una circunferencia en 12 partes iguales (o inscribir un dodecágono enuna circunferencia). Fig.2.85

Dividir una circunferencia en un número cualquiera de partes iguales. Fig.2.86

Trazamos dos diámetros perpendiculares AB y CD, y se divide uno de ellos, el CD, entantas partes como queramos dividir la circunferencia. Tomamos el punto C comocentro y con un radio igual al segmento CD trazamos un arco que corte al diámetro ABen el punto E. Unimos el punto E con la 2ª división del diámetro CD y prolongamoshasta que corte en F a la circunferencia. El segmento CF es aproximadamente el ladodel polígono inscrito que queremos dibujar.

Dividir un arco de circunferencia en un número cualquiera de partes iguales.

Arco menor que una semicircunferencia. Fig. 2.87

Fig.2.84

Fig.2.85


Fig.2.87

Fig.2.88

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

Sea DM el arco dado. Trazamos el diá-metro CD. Tomando los extremos deeste diámetro como centro y con un ra-dio igual a dicho segmento CD trazamosdos arcos que se cortarán en el punto E.Uniendo el extremo M del arco a dividircon el punto E, se determina sobre eldiámetro CD el punto G. Dividimos elsegmento D G en tantas partes igualescomo se pretenda dividir el arco. El hazde semirrectas con origen en E que pa-sen por los puntos de división del seg-mento DG, dividen a su vez el arco en un número igual de partes iguales.

Arco mayor que una semicircunferencia.Fig. 2.88Por el procedimiento descrito para la Fig.2.87 obtenemos el punto E. Se traza lamediatriz de la cuerda DN que une losextremos del arco, hasta cortarlo en M. Elsegmento ME corta al diámetro en el pun-to G. Divídase el segmento DG en tantaspartes iguales como se desee dividir elarco y únase la división 2 con E hasta cor-tar al arco en P. DP se lleva sucesivamen-te sobre el arco hasta conseguir su divi-sión.

Construir un pentágono dado el lado.

Primer procedimiento. Fig.2.89Sobre una recta cualquiera se toma la distancia AB igual al lado dado. Se determina elpunto F, centro del segmento AB. En el extremo B, trácese la perpendicular BG.Haciendo centro en B y con radio BA se describe el arco AC. Con centro en F, y radioFG, descríbase el arco GH. Con centro en A y B, respectivamente y radio AH descrí-banse dos arcos que se corten en D. Los vértices E y C se determinan por medio dearcos de radios AB.El vértice E, con centro en D, y A. El vértice C con centro en D y B.


Fig.2.89 Fig.2.90

Fig.2.91 Fig.2.92

Segundo procedimiento. Fig.2.90Se levanta una perpendicular en el punto medio F, del lado AB, a la cual y desde F sele asigna una distancia igual al lado, obteniéndose el punto n. Desde el extremo B setraza una recta que pase por n, y desde ese punto se le agrega una distancia n-m igualque la mitad del lado AB. Haciendo centro en A y B, extremos del lado y con radio Bm,determinaremos en la prolongación de la perpendicular levantada sobre F, el punto D,vértice del pentágono opuesto al lado dado. Hallado este vértice, los otros dos, E y Cse determinan como en el procedimiento anterior.

Construir un exágono regular dado el lado. Fig.2.91

Sea AB el lado dado. Desde A y B, extremos del mismo y con un radio igual al ladodado se trazan arcos que al cortarse determinan el centro O, del exágono. Desdedicho centro y sin variar la abertura de compás se hallan los vértices F y C en laprolongación de los arcos citados. Desde F y C y con la misma abertura de compás setrazan nuevos arcos por el centro O, a los cuales y desde el citado centro se les aplicala medida del lado AB.

Construir un octógono regular dado el lado. Fig.2.92

Por el centro del lado dado AB se levanta una perpendicular. Tomando como centro elpunto medio de este lado y con radio hasta el punto A se traza un arco que dará en laperpendicular, al cortarla, el punto r. Desde r como centro y con radio rA se traza un


Fig.2.93

Fig.2.95

nuevo arco que al cortar a la perpendicular nos determina el punto O centro de lacircunferencia que pasa por los puntos A y B y que contendrá al lado dado 8 veces.

Construir un heptágono regular dado el lado. Fig.2.93

Sea AB el lado dado. Desde los extremos del mismo y con una abertura de compásigual a la de dicho lado AB se dibujan los arcos AN y BN. Se traza la bisectriz de NAB,la cual corta en M a la perpendicular del lado levantada sobre B. Con centro en A yradio AM, se traza el arco MO. El punto O es el centro de la circunferencia circunscritaal polígono de 7 lados.

Construir un polígono regular de 12 lados (Dodecágono) conocido su lado.Fig.2.94

Se toma una magnitud AB igual al lado dado, trazando por su punto medio M unaperpendicular. Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio AB que se corten enS, sobre la perpendicular.Con centro en S se describe una circunferencia que pase por A y B, la cual cortará enO a la perpendicular al lado dado, siendo este punto el centro de una nueva circunfe-rencia que pasando por A y B, contiene 12 veces al lado, con lo que quedará construi-do el polígono.

Construir un polígono regular de cualquiernúmero de lados, dada la longitud de unode ellos. Fig.2.95

Con un radio cualquiera se describe una cir-cunferencia y se divide en el número de partesque se desee, por ej. 8. Unase el centro O conlos puntos de división a-b-c-d-e-f-g-h y prolón-guense los radios. Trácese la cuerda "ha" yprolónguese. Se lleva la longitud dada AB desde

Fig.2.94


h, y por el punto obtenido s se traza la paralela sC al radio OJ hasta que se encuentreen C al diámetro GC. Haciendo centro en O y con radio OC, se describe una circunfe-rencia que al encontrarse con los radios OD-OE-OF etc., la divide en 8 partes iguales.Únanse por medio de cuerdas los puntos CDEFGHIJ, obteniendo el polígono que sedesea.

Construir un pentágono regular conocida su altura. Fig.2.96

Sobre una recta base se traza una perpendicular AC igual a la altura dada. Con cen-tro en A se describe un arco de radio AChasta cortar a la recta base en los puntos By D.Por el punto medio M de AB se levanta unaperpendicular y con centro en M y radioMD se traza un arco que corta en E a laperpendicular construida por M.La paralela al segmento EB trazada por elextremo C de la altura corta a la base en elpunto F, siendo FA la mitad del lado delpentágono y C el vértice opuesto a la base.Este sistema es sólo aproximado

Construir un octógono regular conocida la diagonalmenor. Fig.2.97

La diagonal menor de un octógono inscrito es el lado delcuadrado inscrito en la misma circunferencia.Sea AB la diagonal conocida. Trazada su mediatriz, dondees cortada por la semicircunferencia descrita con diámetroAB se encuentra el punto O, centro de la circunferencia deradio OA=OB que inscribe al polígono. El lado AC quedadeterminado en la intersección con la mediatriz trazada ala diagonal.

Construir un exágono regular conocida la distanciaentre caras. Fig.2.98

Se trazan dos rectas paralelas a una distancia igual a ladistancia entre caras, dad.Con centro en A y radio AD arbitrario se describe unarco y, haciendo centro en su origen D, sin variar elradio, se traza un arco que cortará al anterior en E.

Fig.2.96

Fig.2.97

Fig.2.98


POLÍGONOS ESTRELLADOS

Fig.2.100

Se une A con E hasta cortar a la otra paralela en C. CA es el diámetro de la circunfe-rencia que inscribe al exágono, de lado AM igual al radio.

Construir un polígono regular conocida su apote-ma y el número de sus lados. Fig.2.99

Se dibuja el polígono regular y su apotema. Tomandocomo centro el del polígono, se dibuja una circunferen-cia de radio igual al de la apotema conocida. Se pro-longa la apotema hasta cortar a la circunferencia. Porparalelismo se dibuja el polígono cuya apotema es ladada.

Sus lados son cuerdas de la circunferencia en la que están inscritos, de forma queunen puntos de división no consecutivos. El paso es un número entero que indica laposición de los vértices de un lado del polígono respecto de las divisiones de lacircunferencia y que comienza a numerarse a partir de la división siguiente a la quearranca el lado.

Dibujar un polígono estrellado de 6 puntas. Fig.2.100

No existe polígono estrellado de 6 puntas. Una construc-ción errónea aunque similar de polígono estrellado puedeconstruirse trazando los dos triángulos equiláteros inscri-tos en la circunferencia.

Fig.2.99


Fig.2.101 Fig.2.102

Fig.2.103


Divídase la circunferencia en 5 partes iguales. Únanse de 2 en 2 los puntos de división.


Tiene dos estrellados. Divídase la circunferencia en 9 partes iguales. Únanse de 3 en 3los puntos de división, o de 2 en 2.


Divídase la circunferencia en 8 partes iguales. Únanse de 3en 3 los puntos de división.


RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Fig.2.104 Fig.2.105

Fig.2.106

La rectificación es el proceso que permite determinar la longitud de una linea curva.

Rectificación de la semicircunferencia.

Primer procedimiento. Método de Kochansky. Fig.2.104Dada la circunferencia se traza el diámetro AB y por B una recta perpendicular a él. Setraza a continuación la recta OC que forma un ángulo de 30° con el diámetro y que cor-tará a la recta perpendicular en C. Tomamos desde C, en dirección a B, tres radios dela circunferencia 0 y obtendremos el punto D. La recta que une el punto D con elextremo A del diámetro será la rectificación aproximada de la semicircunferencia.

Segundo procedimiento. Método de Mescheroni. Fig.2.105La longitud de la semicircunferencia es igual a lasuma de los lados del triángulo y del cuadrado inscri-tos en ella.

Rectificación del cuadrante de una circunferen-cia. Fig.2.106

Se traza el diámetro AB, y haciendo centro en losextremos A y B, con radio AO, se trazan dos arcosque cortarán en D y C a la circunferencia. Con centroen A y B, y radio BC, descríbanse dos arcos que se


Fig.2.107Fig.2.108

corten en F. Por último con centro en D, y radio DF descríbase un arco que cortará a lacircunferencia en E. Unase E con B, y la longitud de la recta BE corresponde a lacuarta parte de la circunferencia desarrollada.

Rectificación de la circunferencia.

Primer procedimiento. Fig. 2.107Dividiendo el diámetro de la circunferencia en 7 partes iguales, y tomando 22 de estaspartes tendremos la longitud aproximada de la circunferencia.

Segundo procedimiento. Fig.2.108Se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD, describiendo con centros en losextremos A y B dos arcos de radio igual al de la circunferencia dada, los cualesinterceptan a la circunferencia en los puntos M y N. El segmento MN cortará al diámetroCD en el punto E. Se traza por el extremo opuesto D de este diámetro una tangente ala circunferencia, transportando sobre la misma seis veces el radio, obteniendo conello el extremo F. El segmento DF es la rectificación aproximada de la circunferencia.

Rectificación de un arco de circunferencia menor que un cuadrante.

Primer procedimiento. Fig.2.109Se prolonga el diámetro y se divide el radio OX en 4 partes. Se agregan tres de estasdivisiones del radio en la prolongación por el punto X. Por el extremo C del diámetroque limita al arco dado EC se lleva una perpendicular. Uniendo el punto 3 de laprolongación del radio con E, extremo del arco a rectificar y prolongando hasta el puntoD, de la perpendicular levantada desde C, obtendremos la recta CD igual a la rectifica-ción o longitud del arco dado.


Fig.2.109

Segundo procedimiento. Fig.110Sea el arco dado AC de centro O. Se divide la cuerda AC correspondiente al arco entres partes iguales, trazando por la división 2 el radio OM. Se une el extremo A con Mhasta cortar en B a la paralela trazada por el otro extremo C al radio construido. Elsegmento AB es aproximadamente la rectificación del arco dado.

Fig.2.110


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dibujar un polígono regular de 7 lados iguales al segmento X, siendo X el segmentoaúreo del segmento a.

2.- Sabiendo que el lado de un decágono regular es igual a 17 mm. ¿Cuánto mide el radiode la circunferencia donde se inscribe? (Modelo de ejercicio para Selectividad. Junio94)

3.- Dado un heptágono (45 mm de lado) circunscrito a una circunferencia, hallar uno de loshexágonos regulares inscritos en la misma (Selectividad 1990. Valencia)

4.- Dibujar: a) Un pentágono regular inscrito en una circunferencia de diámetro d=63mm

b) Un octógono regular adosado al primero, de lado igual al lado del pentá-gono inscrito.

5.- Construir un pentágono regular conocida la diagonal d=45 mm. (Selectividad 94.Madrid)

6.- Inscribir una circunferencia en un triángulo cualquiera, señalando los puntos de tangen-cia.

7.- Dadas dos circunferencias con centros O1 (r=64 mm) y O2 (r=32 mm) hallar lascircunferencias de radio 23 mm tangentes a las mismas.Los centros O1 y O2 se encuentran separados 110 mm.

8.- Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa AB se toma como base, y su ánguloen B es de 60°. La suma de la hipotenusa AB y del cateto BC es 120 mm. Hallar elcentro y dibujar la circunferencia tangente al cateto BC y a las prolongaciones de lahipotenusa AB y del cateto AC, señalando los puntos de tangencia.

9.- Sabiendo que a=45 mm. es el segmento áureo del lado de una estrella de siete puntasy paso=3, dibujar la estrella.

10.- Construir un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa valga 8 cm y la suma de loscatetos sea 10 cm(Selectividad. Madrid. Junio 1996)


11.- Deducir razonadamente el valor del ángulo a marca-do en la figura, sabiendo que ésta representa undecágono regular estrellado. (Selectividad. Madrid1995)

12.- Deducir razonadamente el ángulo a que for-man las diagonales d1 y d2 de un decágonoregular. (Selectividad. Madrid 1995)


EJERCICIOS RESUELTOSCAPITULO 1º

Ejercicio 3

1.- La razón es un cociente entre dos números; en este caso cociente entre alturas ycociente entre sombras. Puesto que entre ambos cocientes existe una igualdadpodemos establecer que:

cociente de alturas=cociente de sombras

es decir ; Luego y por tanto a=25 m que es la altura del otro árbol.

2.- Para hallar el segmento cuartaproporcional dibújese un ángulocualquiera y sobre uno de los la-dos llévese el segmento a a partirdel vértice. Sitúese también a par-tir del vértice y sobre el mismolado el segmento c.Colóquese sobre el lado libre delángulo el segmento b y únase suextremo con el del segmento a.Trazando la paralela por c se ob-tiene la cuarta proporcional sobreel segmento b.

3.- El centro radical de 3 circunfe-rencias es el punto de igual po-tencia respecto de todas ellas.Para determinarlo debemos ha-llar el punto de intersección de almenos dos ejes radicales de lascircunferencias dadas, para loque aplicaremos directamente lateoría desarrollada en el capítulo.

Ejercicio 2


Ejercicio 4

4.- Por el centro O se traza la recta w que forma60° con el diámetro AB, de 8 cm. Obtene-mos así el segmento MN, cuerda de la cir-cunferencia dada y segmento del arco ca-paz de 60°. Para hallar la raíz cuadrada dela cuerda dividimos el segmento MN en unnúmero de partes iguales, p.e. 7 y tomamosuna de estas partes en la prolongación delsegmento MN con lo que se obtiene el seg-mento MS.Hallamos el punto medio de dicho segmen-to MS, O1 y trazamos una semicircunferen-cia con radio O1S. La perpendicular levan-tada desde N hasta la semicircunferenciaserá la raíz cuadrada que se busca.

5.- Aplicando la teoría sobre potencia vistaen el capítulo anterior sabemos que:

PC1 x PC2 =K; y por tanto:(distancia-radio)(distancia+radio)=Kde donde, sustituyendo (d-3)(d+3)=16; d2-9=16; d2=25, es decir

distancia = 5

6.- Cuando el punto se encuentra dentro dela circunferencia la potencia es negativa y en este casoigual a -R2

(PA)(-PB)=-R2

7.- Se traza una circunferencia auxiliarde radio cualquiera Oaux que cortea las circunferencias de radio dadoO1 y O2. El eje radical de estas doscircunferencias es la recta que pa-sando por el punto de igual poten-cia de ambas circunferencias esperpendicular a la recta que unesus centros. Otra circunferencia O3,cuyo eje radical respecto de O1 yO2 coincida, ha de tener, también,


Solución Ejerc. 9

su centro en la recta que une sus centros. Si desde P trazamos una tercera recta, lacuerda 1, 2 es el eje radical de todas las circunferencias que pasan por estos dospuntos. La que tiene sus centro en la recta O1-O2 cumple la condición necesaria.Hallamos su centro trazando la mediatriz del segmento 1-2 sobre dicha recta.

8.- Puesto que las circunferencias de radio 20 mm deben ser tangentes al eje radical delas circunferencias dadas, lo primeroserá hallar dicho eje radical por el pro-cedimiento teórico descrito en el capí-tulo. Para ello nos servimos de una cir-cunferencia auxiliar Vaux que corte a lascircunferencias dadas V1 y V2. Deter-minado el eje radical común aplicare-mos un procedimiento de análisis paraacceder a la solución, es decir supues-to el resultado que se debe alcanzar,se intenta el camino inverso para hallarlos pasos que conducen a la solución. Puesto que las circunferencias de 20mm han de ser tangentes al eje radicalde las circunferencias dadas los cen-tros de las posibles soluciones necesa-riamente han de situarse en una paralela al eje radical distante 20 mm de éste. Porotro lado si la circunferencia tangente al eje ha de pasar por el punto P es necesarioque el centro de dicha circunferencia se encuentre a 20 mm de P; por ello con centroen el punto dado P y con un radio de 20 mm trazamos una circunferencia que corte a laparalela antes trazada. Los puntos de corte O1 y O2 serán las soluciones de esteejercicio.

9.- En la expresión AB2=AM.AC se repiteuna de las magnitudes, la magnitud AB,que por otro lado se conoce, junto con lamagnitud AC. Pero los lados AB y BCforman ángulo recto, por lo que AB resul-ta un cateto del triángulo rectángulo. Sise aplica el teorema del cateto encontra-remos rápidamente el lado AM.

10.- Sabemos que toda circunferencia que pase por dos puntos A y B tiene su centro en lamediatriz del segmento que definen, por lo que inicialmente se trazará dicha mediatriz,así como una circunferencia auxiliar, de centro en un punto cualquiera de la mediatriz yradio tal que la curva contenga a los puntos A y B dados.


Por otra parte, ba-sándonos en elconcepto de poten-cia de un punto res-pecto de una cir-cunferencia, sabe-mos que, dado quela recta definidapor los puntos A yB corta a la rectadada en un puntoC, se cumple queCA x CB = CD2, siendo D el punto de tangencia entre la circunferencia y la tangentetrazada desde C.La medida del segmento CD nos determina los puntos T de tangencia en la recta. Elproblema tiene dos soluciones simétricas respecto al punto C.Si se deseara el trazado de las circunferencias, éstas quedan definidas por los puntosA, B y cada uno de los puntos de tangencia con la recta anteriormente obtenidos.

11.- Si se traza una circunferencia auxiliar quecontenga a los puntos A y B y corte a la cir-cunferencia dada, observamos que el ejeradical de ésta y la circunferencia dada es larecta MN. El eje radical de la circunferenciaauxiliar y la solución es la recta AB, por pasarambas curvas por estos puntos; luego el cortede AB con MN en el punto C representa elcentro radical de tres circunferencias. Al dibu-jar las tangentes desde C a la circunferenciadada se obtienen los puntos de tangencia Tbuscados entre las circunferencias solución yla dada.En el dibujo las circunferencias en negro re-presentan las soluciones: dos curvas quepasando por los puntos A y B son tangentes ala dada en los puntos de tangencia T.

12.- Se trata de obtener los arcos capaces de los segmentos AB y BC bajo un ángulo de75°. El punto común de ambos arcos capaces será la solución del ejercicio.

Solución ejerc. 10

Solución ejerc.11

construcciones gráficas 2

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