INFORMATICA APLICADA A LOS PROCESOS

VECTORES Y MATRICES

INTRODUCCION

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

La respuesta del programa es: 1 2 34 5 67 8 9

Veamos en el Workspace como las almacena Matlab:

Matlab es un programa command-driven, es decir, que se introducen las órdenesEscribiéndolas una a una a continuación del símbolo » (prompt) que aparece en una interfazDe usuario (una ventana).Una herramienta para hacer cálculos matemáticos que utiliza como elemento básico la matriz.Un lenguaje de programación:interactivo: órdenesavanzado pero fácil de utilizar: archivos.mPlataforma de desarrollo: toolboxes

Ventajas del MatlabSu programación requiere menos tiempo que otros lenguajes como FORTRAN, C, Pascal,etc.Utiliza un lenguaje más cercano a la matemática.Permite definir fácil y rápidamente nuevas funciones que se incorporan a Matlab (mediante eltoolboxes)Grandes capacidades gráficas.

OBJETIVO

PolinomiosGráficos 2DGráficos 3DAjuste de curvasInterpolaciónAnálisis numéricoDesarrollo de algoritmosModelado, simulación y prueba de prototiposAnálisis de datos, exploración y visualizaciónGraficación de datos con fines científicos o de ingenieríaDesarrollo de aplicaciones que requieran de una interfaz gráfica de usuario.

En el ámbito académico y de investigación, MATLAB es la herramienta estándar para los cursosIntroductorios y avanzados de matemáticas, ingeniería e investigación.En la industria MATLAB es la herramienta usada para el análisis, investigación y desarrollo de nuevosProductos tecnológicos.La ventaja principal de MATLAB es el uso de familias de comandos de áreas específicas llamadastoolboxes. Lo más importante para los usuarios de MATLAB es que los toolboxes le permitenAprender y aplicar la teoría.Los toolboxes son grupos de comandos de MATLAB (archivos M) que extienden el ambiente deMATLAB para resolver problemas de áreas específicas de la ciencia e ingeniería. Por ejemplo,Existen toolboxes para las áreas de Procesamiento Digital de Señales, Sistemas de Control, RedesNeuronales, Lógica Difusa, Wavelets, etc.

MARCO TEORICO

VECTORES Y MATRICES

En Matlab se usan mucho los arreglos de números, que se llaman vectores si se trata de una fila de números o matrices si se trata de arreglos de filas y columnas. En esta guía empezamos con los vectores.

Vector fila: Un vector fila es una matriz de número ordenados “1 x N” ecritos de la siguiente forma:[X1 , X2 ,…, Xn]Para introducir un vector, se escribe una apertura de corchete, los elementos del vector separados por espacios y un cierre de corchete. Se pueden usar también comas para delimitar los componentes del vector.

>>v = [10 20 30]

v

10 20 30

Vector columna: Un vector Columna es un conjunto ordenado de “n” números escritos de la siguiente forma “N x 1”:Elementos separados con punto y coma (;)

[X1 ;X 2;:X n

]>>v = [ 10;20;30]

Fila a columna y viceversa: con la transpuesta (‘)

El operador (:) : es utilizado para especificar rangos, su forma de empleo es muy simple y sus beneficios inmensos.Forma de empleo: <vector>=[val_ini:paso:val_fin];

v=[0:2:10]v=0 2 4 6 8 10

Ejercicios (1): DE VECTORES

1) Dados los vectores:

a) Obtenga la suma de los elementos de x y y.

x+y= [7 3 9 13]

b)Obtenga un vector z cuyos componentes sean los elementos del vector x elevados a la potencia especificada por cada elemento correspondiente del vector y.

z= [81 2 216 32768]

x=[3 2 6 8];y = [4135]

c)Dividir cada elemento de y para cada elemento correspondiente de x x/y= [1.33 0.5 0.5 0.625]

d)Obtener un vector z cuyos componentes sean los elementos del vector x multiplicados por cada elemento correspondiente del vector y.

z=[12 2 18 40]

e)Ejecutar la operación: x ty-z[0 0 3.6124 inf.]

2) Dados los vectores:

a1 = [1234], a2 = = [−102−3], a3 = [−1−2

03

]

a) Calcular el vector 3a1- 2a2 + 4a3

[ 1−2530

]b) Hallar la transposición (obtener vector fila)

a1 =[1 2 3 4], a2 = = [−102−3 ], a3 = [−1−203 ]

c) .^ elevara una potencia elemento a elemento (a.^2)

[ 14916

]d) .* producto elemento a elemento (a1.*a2)

[ −106

−12]e) ./ división elemento a elemento (a1./a2 )

[ −1Inf .1.5

−1.333]

3) Obtener un vector cuyos componentes:

a) Se encuentren entre 5 y 25, y separados por 5 unidades. A=5:5:25

A=[5 10 15 20 25]

b) Sean los números entre 10 y 30 separados por una unidad. B=10:30B=[10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30]

c) 6 números entre 0 y 20 igualmente espaciados.C=0:4:20

C=[0 4 8 12 16 20]

4) Dado el siguiente vector:

V=[0246810 ]

- Realiza la lectura y asignación de posiciones específicas.a) v(1) = 0

b) v(5) = 8

c) v(1) = -4v = -4 2 4 6 8 10

d) v(2) = v(1)v = -4 -4 4 6 8 10

e) v(5) = v(4)+v(3)v = -4 -4 4 6 8 10 10

Funcionesexclusivas sobre vectores:

Siendo x,y vectores: length(x): dimensión del vector. max(x): máximo elemento de un

vector. min(x): mínimo elemento de un

mean(x): valor medio de los elementos de un vector.

std(x): desviación típica. prod(x): producto de los elementos de un

vector.

vector. sum(x): suma de los elementos de un

vector. cumsum(x): devuelve un vector con la

suma acumulativa de los elementos de x.

rank(x): para calcular su rango.

cumprod(x): devuelve el vector producto acumulativo de los elementos de un vector.

sort(x): ordena de menor a mayor de los elementos de un vector x.

dot(x,y),cross(x,y): producto escalar y vectorial

MATRICES

El elemento básico en MATLAB es una matriz compleja de doble precisión, de forma que abarca realmente cada tipo de datos.

Se pueden introducir matrices en MATLAB de varias formas:

- Introduciendo una lista explícita de los elementos.- Generando matrices con funciones predefinidas en MATLAB.

- Cargando matrices desde un fichero de datos externos.

- Creando matrices con funciones definidas por el usuario a través de ficheros M.

GENERACIÓN DE MATRICES EXPLICITAMENTE

Para obtener una matriz escribiendo sus elementos solo hay que tener en cuenta unas pocas reglas:

Los elementos de la matriz hay que introducirlos fila a fila.Los elementos de cada fila deben estar separados por comas (,) o espacios en blanco.Para indicar el final de una fila se debe escribir (;).

Debe observarse que el número de elementos en cada fila debe ser el mismo; en caso contrario, MATLAB produciría un mensaje de error. Por ejemplo para introducir la matriz.

A = [16 3 2 135 10 11 894

615

714

121

]

5) Dado el siguiente vector w=[1 2 3 4 5]

Hallar:a) sum(w) = 15

b) mean(w) = 3

c) std(w) = 1.5811

d) cumprod(w) = 1 2 6 24 120

La lista de todos los elementos debe estar encerrada entre corchetes,[].

OBSERVACIONES:

Observación (1):En Matlab se permite la creación de matrices vacías.

Ejemplo:>>A=[]A = []

>>whosName Size Bytes Class Attributes

A 0x0 0 double

Observación (2):Referenciar o visualizar los elementos de una matriz se acceden por dos acciones.Poniendo los 2 índices entre paréntesis separados por coma.A(6)

>> A= [1 2 3;4 5 6;7 8 9]A=

1 2 34 5 67 8 9

Por ejemplo:>>A(3,2)ans= 8>>A(6)

ans= 8

Observación (3):Se debe visualizar todos los elementos de la fila 2 de A:

>>A(2,:)

ans= 4 5 6

Observación (4):Se desea visualizar todos los elementos de las columnas 2 y 3 de A:

>>A(:,2:3)ans=

2 35 68 9

Observación (5):Si estamos trabajando con vectores bastaría colocar un solo índice.

>> v = [10 20 30]

v 10 20 30

>> v(3)

ans= 30

EJERCICIOS (2): Ingrese las siguientes instrucciones de asignación y absorbe detenidamente sus resultados.

>>B= [2 ; 4 ; 6 ; 10]B=

24610

>>C=[5 3 5; 6 2 -3]

C= 5 3 56 2 −3

>>E= [3 5 10 0;0 0 0 3;3 9 9 8]

E=3 5 10 00 0 0 33 9 9 8

>>T = [4 24 9]

T= 4 24 9

>>Q= [T 0 T]

Q= 4 24 9 0 4 24 9

>>v= [C(2,1);B]

V=

624610

EJERCICIO 3:

Dada la siguiente matriz:

G=[0.6 1.5 2.3 −0.58.2 0.5 −0.1 −2.05.70.51.2

8.20.5

−2.3

9.02.4

−4.5

1.50.50.5

]Indique el contenido de las siguientes matrices:a) >>A=G(:,2)

A=

1.50.58.20.5

−2.3

b)>>T1=G(4:5,1:3)

T1= 0.5 0.5 2.41.2 −2.3 −4.5

c) >>T2= G(1:2:5,:)

T2= = 0.6 1.5 2.3 −0.55.7 8.2 9 1.51.2 −2.3 −4.5 0.5

d) >>C=10:15

C= 10 11 12 13 14 15

e) >>D= [4:9;1:6]

D= 4 5 61 2 3

7 8 94 5 6

f) >>F=0.0:0.1:1.0

F=

GENERANDO MATRICES CON FUNCIONES PREDEFINIDAS EN MATLAB

>>eye(5)

Ans=Matriz de números

F= rand(3)

F=

eye(n) Matriz unitaria (n x n)

1 0 0 0 00 1 0 0 0000

000

100

010

001

rand(n) aleatorios entre 0 y 1(n x n)

0.8147 0.9134 0.27850.9058 0.6324 0.54690.1270 0.0975 0.9575

zeros(n) Matriz de ceros(n x n)

>>zeros(3)

Ans= 0 0 00 0 00 0 0

rand(n,m)Matriz de números aleatorios entre 0 y 1(n x m)

>>rand(3,4)Ans=0.7922 0.9649 0.9572 0.14190.9595 0.1576 0.4854 0.42180.6557 0.9706 0.8003 0.9157

zeros(n,m)Matriz de aceros(n x m)

>>zeros(3,4)

Ans= 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

magic(n)

Matriz mágica (nxn):1 hasta N^2 con sumas iguales en filas, columnas y diagonales.

ones(n)Matriz de unos (n x n)

>>ones(2)Ans=

1 11 1

Ones (n,m)

Matriz de unos (n x m)

>>ones(3,4)

Ans=1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

PRACTICA

EJERCICIOS (4):

SOLUCIONES DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1.- Considerando el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determinar los valores x1 y x2 mediante el método de la matriz inversa.

a) b)

a) 2X1+3X2=8 4X1-3X2=-2

b) 3X1+2X2-X3=4 2X1+X2-2X3=3X1+X2-2X3= -3

c) x-2y+3z=17 3x+y-2z=0 2x+3y+2=7

d) 0.1X1-0.5X2+X 4=2.7 0.5X1-2.5X2+X3-0.4X 4= -4.7X1+0.2X2-0.1X3+0.4X 4= 3.6 0.2X1+0.4X2-0.2X3 = 1.2

c) d)

2.-Ajustar la siguiente reacción:

Fe2O3( s)+C(s )→Fe(l)+CO(g)

Que se produce cuando calentamos mineral de óxido de hierro con un exceso de carbono para obtener hierro puro.

Fe: 2X1 + OX2 = 1X3 + 0X 4

O: 3X1 + 0X2 = 0X3 + 1X 4

C: 0X1 + 1X2 = 0X3 + 1X 4

2X1 + OX2 - 1X3 - 0X 4 = 0

3X1 + 0X2- 0X3 - 1X 4 = 0

0X1 + 1X2- 0X3 - 1X 4 = 0

3. Los solventes Xileno, Estireno, Tolueno y Benceno son separados mediante un tren de columnas de destilacón, donde F, D,W, D1, W1, D2 y W2 son los flujos molres en mol/ min.

Calcular:

Los flujos molares de las corrientes D1, W1, D2 y W2.

Los flujos molares y las cmposiciones de las corrientes D y W.

Los flujos son los siguientes:

Composición de las corrientesComponentes F D-1 W-1 D-2 W-2Xileno 15 7 18 15 24Estireno 25 4 24 10 65Tolueno 40 54 42 54 10Benceno 20 35 16 21 1

- Considere una alimentación de 70 mol/litro.

Las ecuaciones de un balance de materia para los componentes individualmente son:

Xileno : 0.07 D1 + 0.18 W1 + 0.15 D2 + 0.24 W2 = 0.15 *0.7

Estireno: 0.04 D1 + 0.24 W1 + 0.10 D2 + 0.65 W2 = 0.25 *0.7

Tolueno: 0.54 D1 + 0.42 W1 + 0.54 D2 + 0.10 W2 = 0.40*0.7

Bnceno: 0.35 D1 + 0.16 W1 + 0.21 D2 + 0.01 W2 = 0.20*0.7

El balance global y el balance por componentes de la columna T-102 pueden ser utilizadas para encontrar para encontrar los flujos molares y fracciones mol de la corriente D: