1º I.T.I. : 1º I.T.I. : MECANICA IMECANICA I

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA Nº 4: TEMA Nº 4: ESTÁTICAESTÁTICA

CUERPOS RÍGIDOS: SISTEMAS CUERPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZA/MOMENTOEQUIVALENTES FUERZA/MOMENTO

- - 22 - -

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IndiceIndice Punto 4.1 Introducción. Punto 4.2 Momentos y sus características.

4.2.1 Teorema de Varignon. Punto 4.3 Representación vectorial de un momento.

4.3.1 Momento de una Fuerza respecto a un punto. 4.3.2 Momento de una Fuerza respecto a un eje.

Punto 4.4 Pares. Punto 4.5 Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Momento. Punto 4.6 Simplificación de un sistema de Fuerzas: Resultantes.

4.6.1 Sistemas de Fuerzas coplanarias. 4.6.2 Sistemas de Fuerzas no coplanarias. 4.6.3 Sistemas de Fuerzas cualesquiera.

- - 33 - -

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4.1 Introducción

En capítulos anteriores vimos que la fuerza resultante R de un sistema de dos o más fuerzas concurrentes era una fuerza única que producía sobre un cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original.

Si R era nula el sistema de fuerzas estaba equilibrado y el cuerpo sobre el que se ejercía estaba en equilibrio.

En el caso de un cuerpo tridimensional con forma y tamaño definidos, la idealización del punto ya no es válida ya que las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes.

Para estos sistemas, la condición R = 0 es condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe cumplirse una 2ª restricción relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotación del cuerpo (Concepto de Momento).

- - 44 - -

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4.2 Momentos y sus características

El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.

Ejemplo:El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del eje AA. La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.

Punto O: Centro del momento.d: Brazo del momento.Recta AA: Eje del momento.

- - 55 - -

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El momento tiene módulo, dirección y sentido y se suma de acuerdo con la regla de adición del paralelogramo.

Magnitud Vectorial

Módulo: Producto del módulo de la F por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje AA.

dFMM OO .

Sentido del momento (prob. bidimensional):Se indica mediante una flecha curva en torno al punto. Por definición:

- Rotación antihoraria: momento positivo- Rotación horaria: momento negativo

Unidades: N . m

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.14.1

a) Determinar el momento de la

fuerza FA respecto al punto E.b) Determinar el momento de la

fuerza FE respecto al punto A. c) Determinar el momento de la

fuerza FD respecto al punto B.

- - 77 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.24.2

a) Determinar el momento de la

fuerza FB respecto al punto A.b) Determinar el momento de la

fuerza FC respecto al punto B. c) Determinar el momento de la

fuerza FC respecto al punto A.

- - 88 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.2 (bis)4.2 (bis)

Determinar:a) Momento de FB respecto a A.b) Momento de FC respecto a B.c) Momento de FC respecto a A.

- - 99 - -

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“El momento M de la resultante R de un sistema de fuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto”.

Los módulos de los momentos respecto al punto O de la resultante R y de las fuerzas A y B son:.

4.2.1 Principio de los momentos:Teorema de Varignon

)cos(

)cos(

)cos(

hBBbM

hAAaM

hRRdM

B

A

R

En la figura se ve que:

Por lo que:

coscoscos BAR

BAR MMM

- - 1010 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.34.3

Determinar el momento respecto al punto O de la fuerza F.

- - 1111 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.44.4

Aplicar el principio de momentos a la determinación del momento respecto al punto B de la fuerza F.

- - 1212 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.54.5

Determinar los momentos, respecto al punto A, de cada una de las fuerzas.

- - 1313 - -

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4.3 Representación vectorial de un Momento

Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a un punto O, será:

Donde r es el vector de posición de O a A de la recta soporte de F. Así:

MO = r x F = (r F sen ) e es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)

e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F.(r . sen ) : distancia d del centro del momento O a la recta soporte de F

MO = r x F

- - 1414 - -

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En la figura siguiente podemos ver que la distancia d es independiente de la posición de A sobre la recta soporte:

332211 senrsenrsenr

Así pues, podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:

La dirección y sentido del vector unitario e están determinados por la regla de la mano derecha (los dedos de la mano derecha se curvan de manera de llevar el sentido positivo de r sobre el sentido positivo de F y el pulgar señala el sentido de MO

MO = r x F = (r F sen ) e = F d e = MO e

- - 1515 - -

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4.3.1 Momento de una fuerza respecto a un punto

r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k

El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F (A) se puede expresar así:

La ecuación vectorial de cálculo del momento de una fuerza respecto a un punto:

Es aplicable tanto al caso bidimensio-nal como al tridimensional.

MO = r x F

- - 1616 - -

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Consideremos 1º el momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:

r = rx i + ry j

F = Fx i + Fy j

i j krx ry 0Fx Fy 0

= (rxFy – ryFx) k = Mz k

* MO es perpendicular al plano xy (según eje z)* - MO positivo (sentido antihorario)* - MO negativo (sentido horario)

Caso bidimensional

MO = r x F =

- - 1717 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.64.6

a) Determinar el Momento de F respecto a O.

b) Determinar la distancia d del punto B a la recta soporte de la fuerza

- - 1818 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.74.7

Determinar los momentos de las distintas fuerzas respecto al origen O del sistema de coordenadas xy.

- - 1919 - -

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El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F con orientación espacial se determinará así:

r = rx i + ry j+ rz kF = Fx i + Fy j + Fz k

MO = r x F = =

i j krx ry rz

Fx Fy Fz

M= Mx i + My j + Mz k = MO e

= (ry Fz – rz Fy) i + (rz Fx – rx Fz) j + (rx Fy – ry Fx) k =

222zyxO MMMM Donde:

e = i + j + k xcos ycos zcos

Caso tridimensional

- - 2020 - -

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O

xx M

Mcos

O

yy M

Mcos

O

zz M

Mcos

Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.

- - 2121 - -

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El Teorema de Varignon no está limitado a dos fuerzas concurrentes sino que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.

peropor tanto

Así pues,

Ecuación que indica que el momento de la resultante de un número cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas individuales.

RrM O

nFFFR ...21

nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121

nRO MMMMM ...21

- - 2222 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.84.8

Una fuerza de módulo 840 N está aplicada a un punto de un cuerpo.

Determinar:a) Momento de F respecto a B.b) Los ángulos directores asociados al

vector unitario e dirigido a lo largo del eje de momentos.

c) La distancia d del punto B a la recta soporte de la fuerza.

- - 2323 - -

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4.3.2 Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos. Por tanto:El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener: 1º Calculando el momento MO respecto a un punto O cualquiera del eje. 2º Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M

perpendicular a este: MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en

Donde: enx, eny y enz son las componentes cartesianas (cosenos directores) del vector unitario en.

MOB = (r x F). en= enx eny enz

rx ry rz

Fx Fy Fz

- - 2424 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.94.9

Una fuerza de módulo 440 N está aplicada al punto D de un cuerpo.

Determinar:a) Momento de F respecto a B (MB).b) La componente del momento MB

paralela a la recta BC.c) La componente del momento MB

perpendicular a la recta BC.d) El vector unitario asociado a la

componente del momento MB perpendicular a la recta BC.

- - 2525 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.104.10

Una fuerza de módulo 721 N está aplicada al punto A de un cuerpo.

Determinar:a) Momento de F respecto al

eje CD (MCD).b) Momento de F respecto al

eje CE (MCE).

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4.4 Pares

Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de sentidos opuestos forman un par. Como la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier dirección, un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado.

El momento de un par es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen el par.

dFM A 2 dFM B 1

FFF 21 FdMM BA

El módulo del momento de un par respecto a un punto de su plano es igual al módulo de una de las fuerzas por la distancia que las separa.

- - 2727 - -

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Pares

La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto cualquiera O es:

y como:

Vector de posición que va entre dos puntos A y B cualesquiera de las rectas soporte de las dos fuerzas.

2211 FrFrM O 12 FF

11211211 /)()( FrFrrFrFrM BAO

edFesenFrFrMBABAO 111 ...

// Vector unitario perpendicular al plano del par, cuyo sentido se obtiene con la regla de la mano derecha

Por la ecuación anterior vemos que el momento de un par no depende de la situación de O por lo que el momento de un par es un vector libre.

- - 2828 - -

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Pares

Las características de un par, que rigen su efecto exterior sobre los cuerpos rígidos, son:

• El módulo del momento del par• El sentido del par (sentido de rotación)• La dirección o pendiente del plano del par (definida por la normal al plano n)

Se pueden efectuar diversas transformaciones del par sin que varíen sus efectos exteriores sobre un cuerpo:

• Un par puede trasladarse a una posición paralela en su plano o a cualquier plano paralelo.• Un par puede hacerse girar en su plano.• El módulo de las dos fuerzas del par y las distancia que las separa se pueden variar mientras se mantenga constante el producto F.d

- - 2929 - -

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Pares

Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para dar un par resultante único. Como el momento de un par es un vector libre colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas, descomponemos cada par según sus componentes rectangulares y sumamos las componentes correspondientes.

Un número cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente para dar un par resultante.

eCkCjCiCCCCC zyxzyx 222 zyx CCCC kjie zyx coscoscos

C

C

C

C

C

C

zz

yy

xx

arccos

arccos

arccos

- - 3030 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.114.11

Se carga una viga con el sistema de fuerzas representado en la figura. Expresar en forma vectorial cartesiana la resultante del sistema de fuerzas.

- - 3131 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.124.12

Los módulos de los cuatro pares aplicados al bloque de la figura son:• C1=75 m.N• C2=50 m.N• C3=60 m.N• C4=90 m.NDeterminar el módulo del par resultante C y los ángulos directores asociados al vector unitario e que describe la normal al plano del par resultante.

- - 3232 - -

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4.5 Descomposición de una fuerzaen una fuerza y un par

En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una fuerza paralela y un par (según figura):

Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se pueden combinar dando una fuerza única en el plano en cuestión.

Así pues, el único efecto exterior de combinar un par con una fuerza es desplazar a una posición paralela la recta soporte de la fuerza. El módulo y sentido de la fuerza permanecen inalterados

- - 3333 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.134.13

Se aplica una fuerza de 1500 N al punto A de un soporte.

Sustituir la fuerza FA por una fuerza FO y un par en el punto O.

- - 3434 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.13 (bis)4.13 (bis)

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.144.14

La fuerza F tiene un módulo de 763 N. Sustituir la fuerza F por una fuerza FO y un par C.

a) Expresar la fuerza FO y el par C en forma vectorial cartesiana.

b) Determinar los ángulos directores del vector unitario e que describe el aspecto del plano del par.

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.14 (bis)4.14 (bis)

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IndiceIndice Punto 4.1 Introducción. Punto 4.2 Momentos y sus características.

4.2.1 Teorema de Varignon. Punto 4.3 Representación vectorial de un momento.

4.3.1 Momento de una Fuerza respecto a un punto. 4.3.2 Momento de una Fuerza respecto a un eje.

Punto 4.4 Pares. Punto 4.5 Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Momento. Punto 4.6 Simplificación de un sistema de Fuerzas: Resultantes.

4.6.1 Sistemas de Fuerzas coplanarias. 4.6.2 Sistemas de Fuerzas no coplanarias. 4.6.3 Sistemas de Fuerzas cualesquiera.

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4.6 Simplificación de un sistemade fuerzas: Resultantes

Dos sistemas de fuerzas se dice que son equivalentes si producen el mismo efecto exterior al aplicarlos a un cuerpo rígido.

La resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera es el sistema equivalente más sencillo al cual puede reducirse el sistema dado.

Esta resultante, en función de que sistema se trate, puede ser:• Una única fuerza.• Un par.• Una fuerza y un par.

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4.6.1 Resultante de un sistema de fuerzas coplanarias

Su resultante puede determinarse mediante las componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier pareja conveniente de direcciones perpendiculares.

eRjRiRRRR yxyx

R

FR

F

jie

FFR

FR

FR

yy

xx

yx

yx

yy

xx

cos

cos

coscos

22

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La situación de la recta soporte de la resultante respecto a un punto arbitrario O se puede localizar aplicando el principio de los momentos:

OnnR MdFdFdFdFRd ...332211

Luego:R

Md O

R

Sentido de dR : (horario o antihorario) según OM

La situación de la recta soporte de la resultante respecto a O se puede especificar también determinando la intersección de la recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.

y

OR R

Mx

- - 4141 - -

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Caso particular:Sistema de fuerzas coplanarias paralelas

En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanarias sea nula pero no lo sea el momento, la resultante es un par cuyo vector es perpendicular al plano de las fuerzas

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.

- - 4242 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.154.15

Se aplican cuatro fuerzas a una placa rectangular.

Determinar la resultante de las cuatro fuerzas.

- - 4343 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.15 (bis)4.15 (bis)

- - 4444 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.164.16

A un soporte se aplican tres fuerzas y un par.

Determinar:a) El módulo, dirección y

sentido de la resultante.b) La distancia dR del punto

O a la recta soporte de la resultante.

c) La distancia xR del punto O a la intersección con el eje x de la recta soporte de la resultante.

- - 4545 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.16 (bis)4.16 (bis)

xR

dR

- - 4646 - -

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4.6.2 Resultante de un sistema de fuerzas no coplanarias

Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la fuerza resultante tiene por módulo su suma algebraica y la recta soporte de la resultante se determina mediante el principio de los momentos:

nnO

n

FrFrFrRrM

kFkRFFFR

...

...

2211

21

La intersección con el plano xy de la recta soporte de la fuerza resultante se localiza así:

R

My

R

Mx

MyFyFyFRy

MxFxFxFRx

xR

yR

xnnR

ynnR

;

...

...

2211

2211

¡ Signo - !

- - 4747 - -

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En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas paralelas sea nula pero no lo sean los momentos, la resultante sería un par cuyo vector estaría en un plano perpendicular a las fuerzas.

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas paralelas no coplanarias podrá ser o una fuerza R o un par C.

- - 4848 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.174.17

Determinar la resultante del sistema de fuerzas paralelas de la figura y localizar la intersección con el plano xy de la recta soporte de la resultante.

- - 4949 - -

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4.6.3 Resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera (figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.• Un sistema de pares no coplanarios.

- - 5050 - -

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Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los dos sistemas se pueden descomponer en componentes según los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)

La resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un fuerza R que pasa por el origen y la resultante del sistema de pares no coplanarios es un par C.Casos particulares:

• R = 0• C = 0• R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.

- - 5151 - -

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Casos especiales:

A) Par C perpendicular a la fuerza resultante R

El sistema será equivalente a una fuerza única R cuya recta soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una dirección y sentido que haga que el momento de R respecto a O sea igual al momento de C.

- - 5252 - -

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Casos especiales:

B) Par C oblicuo a la fuerza resultante R

El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la fuerza resultante R. La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella , se pueden combinar como se ha explicado en la hoja anterior.Además, se puede trasladar la componente paralela del par hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante R.La combinación del par con la fuerza resultante R recibe el nombre de torsor.

C

C

C

- - 5353 - -

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• Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es positivo (hoja anterior).• Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).

La acción del torsor puede describirse como un empuje (o tracción) más una torsión en torno a un eje paralelo al empuje (o tracción).

- - 5454 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.184.18

Sustituir el sistema de fuerzas representado en la figura por una fuerza que pase por el punto O y un par C.

- - 5555 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.194.19

Se aplican tres fuerzas a un cuerpo rígido como se indica en la figura.a) Reducir las fuerzas a un torsor.b) Determinar la intersección con el plano xy de dicho torsor.

- - 5656 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.19 bis4.19 bis

- - 5757 - -

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PROBLEMA EJEMPLO PROBLEMA EJEMPLO 4.204.20

Sustituir el sistema de fuerzas representado en la figura por una fuerza R que pase por el punto O y un par C.

- - 5858 - -

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Problema 4.97 Problema 4.97 (pag. 130)(pag. 130)

Se aplican 4 fuerzas y un par a una estructura. Determinar :

a) Módulo dirección y sentido de la resultante.

b) La distancia dR del punto A a la recta soporte de la resultante.

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Problema 4.134* Problema 4.134* (pag. 147)(pag. 147)

Una barra doblada soporta una fuerza de 450 N. Determinar :

a) Sustituir la fuerza de 450 N por una fuerza R que pase por O y un par C.

b) Determinar los momentos de torsión que origina la fuerza F en los tres segmentos de la barra.