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18 Unidad 10 | Rectas y ngulos

10 Rectas y ngulos Este cuadro de Wassily Kandinsky (1866-1944), titulado Composicin VIII, est constituido exclusivamente por elementos geomtricos. Combinando estos elementos de manera intencionada, el autor ha sido capaz de crear unas sensaciones en el espectador.

10.1. Busca en el cuadro dos rectas y dos ngulos.

10.2. Cuntas rectas has de trazar para poder formar, con su interseccin, un tringulo?

Tres.

10.3. En el cuadro hay tringulos y crculos. Todos los tringulos son similares? Y todos los crculos?

No, los tringulos tienen distintas formas. Los crculos son similares, pues solo varan de tamao.

10.4. Qu instrumentos de dibujo crees que emple Kandinsky para hacer este cuadro?

Comps, regla, escuadra y cartabn.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

El fresco La santa cena, que se encuentra en una iglesia de Miln, es una de las obras ms conocidas de Leonardo da Vinci (1452-1519).

Unidad 10 | Rectas y ngulos 19

BA M

10.1. Observa, en la sala representada en el fresco, los cuatro tipos de lneas siguientes:

Las rectas que determinan cada pared lateral con el techo de la sala (en verde). Las rectas que siguen las vigas del techo dispuestas longitudinalmente (en naranja). Las rectas que definen las partes superiores de los rectngulos de las paredes laterales (en rojo). Estas rectas, convergen en un mismo punto o en puntos diferentes? En un mismo punto.

10.2. Traza las diagonales de la pintura. Qu particularidad tiene el punto de corte de estas? Dicho punto se encuentra en la figura de Jesucristo.

10.3. El punto donde convergen las lneas reales o imaginarias que contribuyen a crear una ilusin de espacio en una pintura se llama punto de fuga. En qu punto de la pintura se encuentra el punto de fuga? Qu figura encontramos en ese punto? En el punto de corte de las diagonales, en la figura de Jesucristo.

ACTIVIDADES 10.1. Dibuja con regla y escuadra:

a) Dos rectas paralelas a una dada. b) Dos rectas perpendiculares a una dada.

10.2. Dibuja un segmento de 7 cm y traza la mediatriz utilizando regla y comps.


s r

t

10.3. La recta r es perpendicular a la recta s, y la recta t es paralela a la recta r. Cmo son entre ellas s y t? Dibuja esquemticamente la situacin descrita.

Perpendiculares.

10.4. Dibuja la interseccin de dos calles perpendiculares y los cuatro pasos de peatones correspondientes. Cmo es la direccin que determina un paso de peatones respecto a las rectas que determinan las aceras opuestas? Por qu?

Perpendicular, para minimizar la distancia al cruzar la calle.

10.5. Cmo son los dos rales de tren entre ellos? Y los rales de tren con las traviesas de madera?

Paralelos. Perpendiculares.

10.6. Observa el plano.

a) Indica:

Dos calles paralelas a la calle Barco.

Dos calles con direcciones secantes no perpendiculares a la calle Universidad.

Dos calles perpendiculares a la avenida del Mar.

b) Localiza a Sara. Se encuentra en la interseccin de una calle paralela a la calle Universidad y una calle paralela a la avenida del Mar.

c) Jaime se encuentra en el punto rojo de la calle Universidad. Qu direccin debe tomar para cruzar la calle con el mnimo recorrido?

a) Paralelas a calle Barco: calle Vela y avenida del Mar. Secantes y no perpendiculares a calle Universidad: calle Barco y paseo Imperial. Perpendiculares a avenida del Mar: calle Diputacin y avenida Po XII. b) Est en la interseccin de la calle Bergara con la calle Barco. c) Perpendicular a la direccin de la calle.

10.7. Clasifica estos ngulos segn su medida.

a) 122 b) 198 c) 88 d) 342 e) 9

a) Obtuso, convexo b) Obtuso, cncavo c) Agudo, convexo d) Obtuso, cncavo e) Agudo, convexo

Pl. Cor tes

Avenida Po XI I

C. B

arco

C. V

ela

C. Uni ver sidad

C. BergaraC. Taller

C. Fontana

Pase

oIm

peria

l

Ave

nida

del

Mar

C. n

dico

C. Diputaci

C. Pelayo


8025

C

DE

A

B

80

25

80

25

10.8. Observa estos ngulos.

Dibjalos con el transportador en tu cuaderno.

Cpialos despus con regla y comps.

Dibuja + A B y - A B .

10.9. (TIC) Haz lo siguiente:

Dibuja un ngulo recto y traza la bisectriz.

Dibuja la bisectriz de uno de los dos ngulos en que ha quedado dividido el ngulo recto. Qu amplitud tiene cada uno de los ngulos resultantes?

Las primeras bisectrices originan ngulos de 45, y la segunda, de 22,5.

10.10. Son ciertas o falsas estas afirmaciones? Raznalo.

a) Los ngulos que resultan de dividir un ngulo obtuso con la bisectriz son agudos.

b) Los ngulos que resultan de dividir un ngulo cncavo con la bisectriz son convexos.

c) Si A y B son ngulos agudos, su suma ser tambin un ngulo agudo.

d) La diferencia entre dos ngulos obtusos es necesariamente un ngulo agudo.

e) Si sumamos un ngulo recto y uno obtuso, el resultado ser un ngulo cncavo.

a) No necesariamente. Por ejemplo, la bisectriz de uno de 300 da lugar a dos de 150, que siguen siendo obtusos. b) Verdadero. c) No necesariamente. Por ejemplo, 80 + 70 = 150, que no es agudo. d) No. Por ejemplo, 350 100 = 250, que es obtuso. e) Verdadero.

10.11. Di, para cada uno de los ngulos indicados, si es agudo, recto u obtuso.

Obtusos: A , B y C

Recto: E

Agudo: D


A BC

D F

E

34

G

BA

CF

ED

10.12. Segn la ley de reflexin, el ngulo con que incide un rayo de luz en una superficie pulida es igual al ngulo de reflexin. El dibujo muestra el ngulo de incidencia de un rayo de luz.

Con el mtodo para copiar ngulos, copia este dibujo en tu cuaderno y dibuja la direccin que seguir el rayo de luz reflejada.

10.13. (TIC) Determina el complementario de estos ngulos.

a) 43 b) 15 c) 65 d) 3

e) 84 f) 27 g) 75 h) 9

a) 47 b) 75 c) 25 d) 87 e) 6 f) 63 g) 15 h) 81

10.14. (TIC) Determina el suplementario de estos ngulos.

a) 112 b) 135 c) 25 d) 42

e) 43 f) 162 g) 73 h) 90

a) 68 b) 45 c) 155 d) 138 e) 137 f) 18 g) 107 h) 90

10.15. Identifica los pares de ngulos que sean complementarios y suplementarios.

Suplementarios: A y B

Complementarios: E y F

10.16. (TIC) Halla el valor de los ngulos que faltan.

A = 146, B = 34, C = 146, D = 34, E = 146, F = 34, G = 146

ngulode incidencia

ngulode reflexin

ngulode incidencia


C

r

s24

111

70 7020 20 505040 4055 5535 35

ARayo incidente

B

Rayo refractante

Aire

Aire

Vidrio

10.17. Observa el dibujo. La recta discontinua r es paralela al segmento s. Calcula el ngulo C .

C = 45

10.18. Un carpintero ha preparado distintas molduras para hacer 3 marcos de cuadros.

a) Aydalo a agrupar las piezas. Fjate en los ngulos indicados. Razona las elecciones.

b) Quieres que los cuatro listones de un marco tengan todos la misma anchura. Qu ngulo debern tener los ingletes?

a) Dos de 70 con dos de 20, dos de 35 con dos de 55 y dos de 40 con dos de 50. b) 45

10.19. Un rayo de luz cambia de direccin al pasar de un medio de propagacin a otro. Este fenmeno se conoce como refraccin de la luz. Un rayo de luz ha pasado del aire al vidrio y, de nuevo, del vidrio al aire. El rayo que incide en el vidrio y el que sale del vidrio son paralelos.

Es cierto que si los rayos de luz son paralelos, los ngulos A y B deben ser iguales? Explcalo.

S, porque las dos caras del vidrio son paralelas y, por tanto, dos rectas paralelas secantes a dichas caras forman los mismos ngulos con ellas. Es decir, el lado de A formado por el vidrio es paralelo al lado de B formado por el cristal, y el lado oblicuo, formado por el rayo incidente, de A es paralelo al lado de B formado por el rayo refractante.

10.20. (TIC) Completa en tu cuaderno. a) 8 = ' b) 5 = '' c) 2 h = min d) 3 h = s e) 2 min = s f) 360 s = min g) 540 min = h h) 3.600 s = h

a) 480 b) 18.000 c) 120 d) 10.800 e) 120 f) 6 g) 9 h) 1


Track 1 ........................... 3:55 Track 2 ........................... 3:27 Track 3 ........................... 2:48 Track 4 ........................... 3:40 Track 5 ........................... 5:03 Track 6 ........................... 4:26 Track 7 ........................... 3:20 Track 8 ........................... 4:09

10.21. (TIC) Expresa en segundos.

a) 3 45' b) 4 17' 36'' c) 1 h 20 min d) 3 h 45 min 24 s

a) 13.500'' b) 15.456'' c) 4.800 s d) 13.524 s

10.22. (TIC) Expresa en grados o en horas.

a) 2 25' 35'' b) 12 50' 12'' c) 1 h 30 min 45 s d) 8 h 45 min 36 s

a) 2,426 b) 12,837 c) 1,5125 h d) 8,76 h

10.23. (TIC) Expresa en forma compleja.

a) 5,24 b) 85,835 c) 1,725 h d) 4,0275 h

a) 5 14' 24'' b) 85 50' 6'' c) 1 h 43 min 30 s d) 4 h 1 min 39 s

10.24. (TIC) Calcula estas sumas y restas.

a) 12 22' 35'' + 23 45' 32'' b) 2 h 15 min 45 s + 45 min 11 s

c) 45 23' 19'' 32 20' 40'' d) 55 h 14 min 18 s 22 h 14 min 25 s

a) 36 8' 7'' b) 3 h 56 s c) 13 2' 39'' d) 32 h 59 min 53 s

10.25. (TIC) Calcula estas operaciones.

a) 2,25 6 b) 3 14' 15'' : 3 c) 12 h 34 min 3 d) 28 min 9 s : 6

a) 13,5 b) 1 4' 45'' c) 37 h 42 min d) 4 min 41,5 s

10.26. La tabla muestra los tiempos que un piloto ha hecho en 5 vueltas en un circuito. Una periodista ha escrito que la media por vuelta ha sido de 2,20 min. Es correcto?

Vuelta 1 2 3 4 5

Tiempo 2' 14'' 2' 14'' 2' 12'' 2' 12'' 2' 13''

2,20 min = 2 min 12 s, que no es la media, pues es el valor inferior.

10.27. En un disco compacto podemos leer esta informacin.

a) Qu expresan los nmeros en negrita?

b) Qu funcin tienen los dos puntos en la expresin 3:40? De qu otra manera suele escribirse?

c) Mental y rpidamente, determina si la duracin de las ocho canciones es superior a media hora. Cmo lo has hecho?

a) La duracin de cada tema. b) Separar los minutos de los segundos. 3 min 40 s. c) Redondeando cada una de ellas, se ve que la duracin total es superior a media hora.


10.28. Actividad interactiva.

10.29. (TIC) Aqu tienes las funciones de los botones de GeoGebra. Investiga la funcin de cada uno.

Busca en cul de los mens desplegables est cada una de estas herramientas.

Punto medio o centro Bisectriz Recta paralela

Recta perpendicular Interseccin de dos objetos

Las funciones son, de izquierda a derecha, las siguientes. Elige y Mueve: arrastrar y seleccionar objetos. Nuevo Punto: dibujar un punto. Recta que pasa por Dos Puntos: dados dos puntos, dibujar la recta que pasa por ellos. Recta Perpendicular: trazar la recta perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado. Polgono: trazar un polgono dados sus vrtices. Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos: dibujar una circunferencia dados su centro y uno de sus puntos. Elipse: trazar una elipse dados sus dos focos y uno de sus puntos. ngulo: dibujar un ngulo dados el vrtice y un punto de cada lado, o dadas dos rectas. Refleja Objeto en Recta: obtiene la figura simtrica a una dada respecto a una recta dada. Deslizador: inserta un deslizador, que es un nmero representado con un segmento o un ngulo. Desplazar Vista Grfica: permite desplazar los ejes, elegir la escala, etc. Punto medio o centro: Nuevo Punto. Bisectriz: Recta Perpendicular. Recta paralela: Recta Perpendicular. Recta perpendicular: Recta Perpendicular. Interseccin de dos objetos: Nuevo Punto.

10.30. (TIC) Despliega el men del botn del puntero.

a) Con la ayuda de GeoGebra, averigua qu te permite hacer cada una de las opciones que aparecen.

b) Dibuja un segmento cualquiera y experimenta las modificaciones que puedes hacer con las herramientas del men correspondiente al botn del puntero.

a) Elige y Mueve: permite seleccionar y mover objetos. Rota en torno a un Punto: permite girar un objeto libre alrededor de un punto dado. Registra Cambios en la Hoja de Clculo: anota en la hoja de clculo los valores que va tomando un objeto como, por ejemplo, un segmento, un ngulo, etc. b) Actividad prctica.

10.31. (TIC) Dibuja con GeoGebra tres segmentos y llmalos AB, CD y EF, respectivamente. A continuacin, guarda esta hoja de trabajo con el nombre Segmentos 1.


10.32. (TIC) Recupera el archivo que has guardado con el nombre Segmentos 1 en la actividad anterior y mueve los segmentos para conseguir que AB sea paralelo a CD y perpendicular a EF.

10.33. (TIC) *Reproduce un dibujo como el siguiente y gurdalo con el nombre Dibujo 1.

Nota: Las rectas s y t son paralelas, y las rectas u y v, perpendiculares a las anteriores.

Actividad prctica.

10.34. (TIC) *Recupera Dibujo 1 de la actividad anterior y usa las herramientas de GeoGebra para hallar la medida de los dos ngulos que forma la semirrecta r con la recta s. Comprueba que su amplitud es de 180.

135 y 45, respectivamente 135 + 45 = 180

10.35. (TIC) Dibuja un ngulo cualquiera y, usando la herramienta "Bisectriz" del men del botn , divide el ngulo en dos partes iguales.

10.36. (TIC) Dibuja dos rectas paralelas y llmalas paralela 1 y paralela 2 respectivamente. A continuacin, sigue estos pasos:

a) Dibuja una recta que sea secante a las anteriores y llmala secante.

b) Dibuja los 8 ngulos que quedan determinados al dibujar las rectas pedidas en los apartados anteriores.


c) Comprueba que se cumple lo que hemos explicado en el apartado 3 de esta unidad para los ngulos determinados por una secante a dos paralelas.

10.37. (TIC) Dibuja dos rectas secantes. Despus, dibuja los 4 ngulos que quedan definidos por estas rectas. Cmo son las medidas que corresponden a ngulos opuestos por el vrtice?

Los ngulos opuestos por el vrtice que se forman al intersecarse dos rectas secantes tienen la misma amplitud.

10.38. (TIC) Dibuja un ngulo haciendo que aparezca su medida en la pantalla. A continuacin, mueve uno de sus lados hasta conseguir un ngulo de 45.

10.39. (TIC) Reproduce estos dibujos con GeoGebra.

Actividad prctica.


c)b)a)

c)

b)a)

lado lado ngulo vrtice

45 60 25 128 170 240

BA M

45

60

25

128

170

240

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN Y APLICACIN

10.40. Paralelas y secantes

Indica cmo son las rectas entre ellas.

a) Paralelas b) Secantes c) Secantes

10.41. Rectas, semirrectas y segmentos

Indica en cada caso si es una recta, una semirrecta o un segmento.

Copia el segmento y halla la mediatriz con regla y comps.

a) Segmento b) Semirrecta c) Recta

10.42. El ngulo

Completa el esquema en tu cuaderno.

10.43. Dibujo de ngulos

Dibuja estos ngulos con el transportador.

Vrtice

Lado

ngulo

Lado


AB

D

C

>, e) >

10.46. Rectas secantes y tipos de ngulos

Dibuja cuatro puntos no alineados en tu cuaderno (no los hagas muy prximos). Despus, dibuja todas las rectas que contengan dos de estos puntos.

a) Cuntas rectas obtienes?

b) Pinta los ngulos que forman segn este criterio:

agudos rectos obtusos

Cuntos hay de cada tipo?

a) 6 rectas b)


35C70A 50B

45

90 4590

60

30

A B C

D

E

A B C D

A = 70

A + B A B A C B CA + B + CA + A + B

B = 50 C = 35

10.47. Suma y resta de ngulos

Dibuja los ngulos en tu cuaderno con un transportador. Despus, representa con regla y comps los ngulos correspondientes a estas operaciones.

a) A + B b) A + B + C c) A + A + B

d) A B e) A C f) B C

10.48. ngulos complementarios y suplementarios

a) Dibuja con un transportador un ngulo de 28 y su complementario. Indica cul es la medida del complementario.

b) Dibuja con un transportador un ngulo de 98 y su suplementario. Indica cul es la medida del suplementario.

c) Completa la tabla en tu cuaderno.

ngulo ngulo

complementario ngulo

suplementario

30 60 150

45 45 135

60 30 120

90 0 90

a) 62 b) 82

10.49. Escuadra y cartabn

Observa los ngulos de una escuadra y un cartabn.

a) Calcula los ngulos formados.

28

629882


15 30 45 60 75 90

9839

B

D

C

A

A

B

C

42

a) b)

A

135

H

AB

MJ

EF

K L

N

C D

GI

907560

453015

b) Dibuja, con escuadra y cartabn, estos ngulos.

a) A = 135, B = 150, C = 120, D = 225, E = 105 b)

10.50. ngulos opuestos por el vrtice

Determina, sin medir, los ngulos que faltan.

a) A = 138, B = 42, C = 138 b) A = 39, B = 43, C = 98, D = 43

10.51. Paralelas a una secante

Determina, sin transportador, cunto mide el ngulo A .

A = 45

10.52. ngulos iguales

Agrupa los ngulos que son iguales.

A = H = D = G = J = N = L ; B = F ; C = K = M = E ; I

10.53. (TIC) Expresin decimal

Expresa en horas.

a) 15 min b) 30 min c) 45 min

d) 90 min e) 180 s f) 33 min y 15 s

a) 0,25 h b) 0,5 h c) 0,75 h d) 1,5 h e) 0,05 h f) 0,55416 h


A = 103 21' 44'' B = 59 55' 29'' C = 33 1' 8''

110C

105B

90A

120D 135E

10.54. (TIC) Operaciones numricas con ngulos

Dados los ngulos siguientes, calcula:

a) A + B + C b) A + C B c) Complementario de C

d) B 4 e) Suplementario de A + B f) A : 5

a) 196 18' 21'' b) 76 27' 23'' c) 56 58' 52'' d) 239 41' 56'' e) 16 42' 47'' f) 20 40' 20,8''

10.55. (TIC) Paso de horas a minutos

Convierte las horas en minutos.

a) 0,50 h = min b) 0,25 h = min

c) 0,05 h = min d) 0,75 h = min

e) 0,90 h = min f) 0,20 h = min

g) 0,10 h = min h) 0,30 h = min

i) 0,60 h = min j) 0,15 h = min a) 30 b) 15 c) 3 d) 45 e) 54 f) 12 g) 6 h) 18 i) 36 j) 9

10.56. Expresin compleja y decimal

En las conversiones se han cometido dos errores. Identifcalos y corrgelos.

a) 3 h 36 min = 3,60 h b) 1 h 18 min = 1,18 h c) 3 h 3 min = 3,05 h

d) 3 h 51 min = 3,85 h e) 1 h 48 min = 1,8 h f) 1 h 39 min = 1,49 h

Nota: Para hallar los errores, no calcules; fjate en la expresin decimal en horas de 15 min, 30 min, 45 min...

Los errores son b (1 h 18 min = 1,30 h) y f (1 h 39 min = 1,65 h).

10.57. Suma de ngulos

Con tres de los cinco sectores circulares dibujados se puede formar un crculo. Cules son?

B, D y E

10.58. Duracin de la ESO

Durante los 4 cursos de ESO, un alumno pasa en la escuela una media de 6 h al da, durante 5 das cada una de las 36 semanas que tiene aproximadamente un curso. Cuntos minutos pasa en el colegio este alumno?

4 36 5 6 60 = 259.200 minutos


10.59. (TIC) Segundos

Cuntos segundos tiene una hora? Y una semana? Y un ao?

3.600 s; 604.800 s; 31.536.000 s un ao no bisiesto y 31.622.400 s uno bisiesto

10.60. Salida de una contrarreloj

En una contrarreloj, los corredores salen individualmente separados por pequeos intervalos de tiempo. En la carrera participan 136 corredores, y se quiere que el primero salga a las 12 h 15 min y el ltimo, a las 16 h. Cunto tiempo separar la salida de un corredor y el siguiente?

3 h 45 min : 135 = 1 min 40 s

10.61. Tiempo por kilmetro

En las Olimpiadas de Pekn 2008, el atleta Alex Schwazer hizo los 50 km marcha en un tiempo de 3 h 37 min 09 s. Suponiendo que su velocidad fuera uniforme, cuntos minutos y segundos necesit para recorrer cada kilmetro?

3 h 37 min 09 s : 50 = 4 min 20,58 s

10.62. Tiempo de viaje

Un barco sali del puerto de Barcelona a las 21 h 45 min del martes y lleg a Menorca a las 6 h 40 min del mircoles. Cunto dur el viaje?

6 h 40 min + 2 h 15 min = 8 h 55 min

10.63. Reflexiona

Carlota dice que ha dibujado dos rectas perpendiculares, pero que no son secantes. Es posible? Razona la respuesta.

No, si son perpendiculares, necesariamente se cortan, luego son secantes.

10.64. Puntos y rectas

a) Dibuja un punto sobre una hoja de papel. A continuacin traza rectas que pasen por este punto. Cuntas puedes hacer?

b) Marca ahora dos puntos. Cuntas rectas puedes dibujar que pasen por ambos?

c) Dibuja en tu cuaderno una recta r cualquiera. A continuacin traza dos rectas paralelas p y p', separadas cada una 4 cm de la recta r.

a) Infinitas rectas b) Solo una recta c)

rp p'


10.65. Dibujo de la bisectriz

Dibuja con el transportador un ngulo de 75.

a) Si trazamos la bisectriz, cunto medir cada uno de los ngulos resultantes?

b) Tendremos dificultad para trazar la bisectriz con el transportador de manera precisa? Explcalo.

a)

37,5 cada uno. b) S, al tener que precisar medios grados, que es una medida muy pequea.

10.66. Bisectrices de un tringulo

Dibuja un tringulo cualquiera en tu cuaderno. Con regla y comps, dibuja la bisectriz de cada uno de los ngulos interiores del tringulo. Si has hecho correctamente el dibujo, las tres bisectrices se cortarn en un mismo punto. Este punto se llama incentro.

10.67. Atraso de un reloj

Un reloj se atrasa 2 s cada 5 das.

a) Cuntos segundos se atrasar en un ao? Cuntos minutos son?

b) Si en dos aos este reloj funciona sin que nadie ajuste la hora, qu hora ser en realidad cuando, transcurridos los dos aos, este reloj indique que son las 11 h?

a) El reloj se atrasa 25

= 0,4 segundos cada da, por lo que en un ao no bisiesto se atrasar

365 0,4 = 146 s = 2 min 26 s = 2,43 min. b) En dos aos no bisiestos se habr atrasado 2 (2 min 26 s) = 4 min 52 s. Es decir, marcar las 11 h cuando realmente sean las 11 h 4 min 52 s.

75


60 dientes32 dientes

10.68. *Engranajes

Observa este engranaje.

La rueda pequea da una vuelta en 1 min y 22 s.

a) Cuntas vueltas debe dar la rueda pequea para conseguir que la grande d una?

b) Calcula cunto tarda la rueda grande en dar una vuelta.

c) Calcula qu ngulo ha girado la rueda de 32 dientes cuando la pequea ha dado una vuelta.

a) 60 : 12 = 5 vueltas b) (1 min 22 s) 5 = 6 min 50 s

c) 12 36032

= 135

10.69. Planos, rectas y segmentos

Observa este edificio de Mies van der Rohe.

a) Indica elementos que correspondan a trozos de plano y a segmentos.

b) Identifica rectas paralelas y perpendiculares.

c) Por qu crees que son importantes las rectas perpendiculares en arquitectura?

a) Trozos de plano: paredes, techos, paneles laterales, etc. Segmentos: vigas, peldaos de escalera, marcos de ventanas o de paneles, etc. b) Rectas paralelas: los peldaos de las escaleras, las columnas (unas respecto a otras), las bases de suelo y techo. Rectas perpendiculares: las columnas forman ngulos perpendiculares con el suelo y el techo, al igual que los marcos laterales de los paneles. c) Sirven para asentar o sostener el edificio, evitando construcciones inestables, pues si las columnas fueran oblicuas respecto al suelo y al techo, no tendran suficiente resistencia para soportar la carga del edificio.


10.70. Geometra y arte

Este cuadro de Piet Mondrian (1872-1944) se llama Composicin con rojo.

a) Describe verbalmente la obra.

b) Busca en internet otras obras de la poca abstracta de Piet Mondrian. Qu tienen en comn?

c) Haz una composicin copiando el estilo de Mondrian.

d) Compara esta obra con esta otra de Kandinsky (1866-1944).

a) Coleccin, sobre fondo blanco, de rectas y segmentos paralelos y perpendiculares de color negro a distintas distancias. Uno de los cuadrados formados entre ellas se ha coloreado de rojo, y otro, de amarillo. Tambin hay un segmento de color gris. b) Todos se basan en lneas rectas paralelas y perpendiculares. c) d) La obra de Mondrian destaca por su simplicidad geomtrica y por la ausencia de curvas. La obra de Kandinsky est realizada principalmente con lneas curvas y es mucho ms compleja, aunque tambin disponga de elementos geomtricos.


10.71. La pendiente

La figura muestra la pendiente que actualmente tiene un tramo de una carretera. Para facilitar la circulacin, se ha decidido hacer obras y rebajar la pendiente a la mitad.

a) Copia este ngulo en tu cuaderno y dibuja el trazado de la nueva carretera.

b) Qu ngulo forma la direccin de la nueva carretera con la horizontal?

a) b) 2

10.72. El Arco de Ltoile

El plano muestra la plaza de Ltoile de Pars, donde se encuentra el conocido Arco del Triunfo.

a) Cuntas avenidas convergen radialmente?

b) Indica dos avenidas perpendiculares.

c) Si la divisin angular del crculo de la plaza se hubiera hecho en partes iguales, qu ngulo hara una avenida con la siguiente?

d) En la realidad, qu par de avenidas forman un ngulo mayor? Y cules un ngulo menor? Indica una avenida que forme un ngulo obtuso con la avenida de la Grande Arme.

a) 12 b) Mac Mahon y Friedland c) 360 : 12 = 30 d) ngulo mayor: Friedland y Champs-Elyses; ngulo menor: Carnot y Mac Mahon; ngulo obtuso con la avenida de la Grande Arme: Friedland.

10.73. Media

En la prueba de 5 km, un atleta hace en cada kilmetro el tiempo parcial que indica la tabla.

Espacio (km) 1 2 3 4 5

Tiempo 3' 05'' 3' 10'' 3' 08'' 3' 02'' 2' 57''

a) Expresa en minutos y tambin en horas el tiempo en que ha hecho la prueba.

b) Calcula su velocidad en kilmetros por hora.

a) 15 min 22 s = 15,36 min = 0,2561 h b) 5 : 0,2561 = 19,52 km/h

2

Av . des Cham ps-Elyses

Pl. deL toile

Av . de la Grande Arme

Av. Foch

Av. de Fri edland

Av. V

i ctor

Hugo

Av. K

lebe

r Av. dIen

aAv . M

arceau

Av. d

e W

agra

m

Av. H

oche

Av . Carnot

Av. M

ac Mahon


a) b) c) d)

a) b)

N N

65

240

Rumbo 65 Rumbo 240

Trayectoriaque seguimos

Trayectoriaque seguimos

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS 10.74. El reloj y los ngulos

1. Indica, sin utilizar el transportador, el ngulo que forman las agujas del reloj. Considera siempre el ngulo que seguira la aguja grande al desplazarse hacia la pequea.

a) 300 b) 120 c) 150 d) 30 2. Calcula en un reloj estos ngulos. a) Qu ngulo se desplaza la aguja horaria en una hora? Y en un minuto? b) Qu ngulo se desplaza la aguja minutera en un minuto? a) 30 en una hora y 0,5 en un minuto b) 6 3. Al hacer los ejercicios de los apartados anteriores, has hallado el ngulo que forman las agujas del reloj a las 4 h en punto, y el ngulo que se desplaza cada una de las agujas en un minuto. Utiliza estos resultados para calcular el ngulo que formarn las agujas a las siguientes horas. a) 4 h 1 min b) 4 h 5 min a) 120 6 + 0,5 = 114,5 b) 120 30 + 2,5 = 92,5 4. Indica, sin utilizar el transportador, el ngulo que forman las agujas del reloj. Para hacer el clculo te sern tiles los resultados del apartado 2. a) 300 + 0,5 15 = 307,5 b) 120 + 0,5 45 = 142,5 5. Te dicen que las agujas forman un ngulo determinado; por ejemplo, 60. a) Puedes saber qu hora es? Raznalo. b) Si adems de decirte el ngulo, te dicen la posicin de una de las agujas, es ms fcil saber la hora? c) Calcula qu hora es cuando la aguja que indica los minutos se encuentra sealando las 3, es decir, 15 min, y el ngulo que forma con la otra aguja es de 97 30'. a) No. Pueden formar el mismo ngulo y estar colocadas en cualquier zona del reloj. b) S, y es nica si determinamos el sentido de giro, por ejemplo, de la aguja minutera hacia la horaria. c) La aguja horaria est 90 ms avanzada de las 3, es decir, en las 6 horas, y adems 7 30', es decir, que corresponden a los 15 minutos (0,5 es 1 min) de la aguja minutera. Esto es, son las 6 h 15 min.

10.75. Navegacin En navegacin, se llama rumbo al ngulo que forman la direccin norte-sur y la semirrecta que indica nuestra trayectoria. Este ngulo se mide en el sentido en que giran las agujas del reloj. Para obtener la direccin norte-sur se utilizan la brjula y las indicaciones del mapa.


N

Salida

P

Eran las 12 del medioda y nos encontrbamos en la isla de la Calma. Subimos al pequeo barco y decidimos recorrer las islas que tenamos alrededor. Despus de hacer 25 km rumbo 50, llegamos a la isla del Viento. A continuacin avanzamos 15 km rumbo 160 y llegamos a la isla del guila. Finalmente hicimos 30 km rumbo 210 y llegamos a la isla de la Serpiente. Eran las 5 de la tarde.

1. Calca este dibujo en tu cuaderno.

Utiliza el transportador e indica el rumbo que en cada etapa ha seguido un barco que ha hecho la trayectoria que se indica en el mapa.

Nota: Te ser de ayuda dibujar un segmento que siga la direccin N-S en el punto donde empieza cada etapa.

30 y 45, respectivamente 2. Qu rumbo deber seguir para volver directamente al puerto de salida desde el punto P?

245 aproximadamente 3. Si la escala del mapa es 1 : 400.000, qu distancia ha recorrido el barco para ir a P?

En el mapa ha recorrido 7,4 cm, que representan 7,4 400.000 = 2.960.000 cm = 29,6 km en la realidad. 4. Lee este texto.

a) Dibuja las islas y el recorrido a escala 1 : 400.000.

b) Mide en el plano y calcula la distancia real entre la isla de la Serpiente y la de la Calma.

a) b) 25,75 km

Isla de la Serpiente

Isla del Viento

Isla del guila

Isla de la Calma

50

210

160

30 km

25 km15 km


Coordenadas geogrficas Para identificar un punto de la Tierra se utilizan dos dimensiones o coordenadas; a la primera la llamamos longitud, y a la segunda, latitud. La longitud de un punto es la distancia en grados que separa el punto del meridiano 0 o de Greenwich. Se mide en dos sentidos: este (E) y oeste (W). La latitud de un punto es la distancia en grados que separa el punto del Ecuador. Se mide en dos sentidos: norte (N) y sur (S).

10.76. Las coordenadas geogrficas

1. El punto A del plano de la derecha tiene las coordenadas geogrficas siguientes:

(0 55' E, 42 31' N)

Explica el significado de estas coordenadas. Te ser de utilidad el texto siguiente.

Se sita en el meridiano que se encuentra a 0 55' al este del meridiano de Greenwich y en el paralelo situado a 42 31' al norte del Ecuador.

2. Observa los planos.

a) Determina las coordenadas de los puntos A y B.

b) Los dos puntos tienen la misma longitud. Qu quiere decir eso?

Planos Estos planos, a escala 1 : 25.000, corresponden a dos parajes de la misma longitud.

0 54 0 55

B

0 54 0 55

4116

4115

4231

4230

A

Oeste

Norte

Sur

Longitud

Latitud

Ecuador

Meridiano de Greenwich

Este


La longitud de un meridiano terrestre es de 40.000 km

c)b)a)

s

r

s

r sr

BA M

9,5 cm

c) Cuntos grados vara la latitud entre los dos puntos? Exprsalo en forma incompleja.

a) A(0 55' E, 42 31' N), B(0 55' E, 41 15' N) b) Que ambos estn en el mismo meridiano. c) 1 16' = 1,27 3. Lee esta informacin.

a) A cuntos kilmetros equivale un grado sobre la circunferencia de un meridiano?

b) Calcula, sobre los planos, la distancia en kilmetros entre los puntos sealados.

c) Calcula la latitud de un punto que se halla a mitad de camino entre estos dos puntos.

d) Imagina que nos desplazamos, desde el Ecuador, 4.000 km en direccin norte. Cuntos grados aumentar la latitud de nuestra posicin? Cul ser entonces nuestra latitud?

a) 40.000 : 360 = 111,11 km b) 1,27 111,11 = 141,1097 km c) 1 16' : 2 = 38', luego latitud 41 53' N d) 36 aumentar la latitud, y ser 36 N. 4. *Nos encontramos en un punto donde la latitud es de 42 25' 53'' N. Cul es la latitud de un punto situado 1.000 km al norte?

9 aumentar la latitud, luego ser 51 25' 53''. 5. Sabemos que dos puntos estn sobre un mismo meridiano, pero el primero tiene una latitud de 48 4' 15'' N, y la latitud del otro es 19 50' 20''S. Cuntos km hay que recorrer sobre la superficie de la Tierra para ir del uno al otro?

La diferencia entre ambos es de 67 54' 35'', que equivale a 7.545,52 km.

AUTOEVALUACIN

10.1. Indica cmo son estas rectas entre ellas.

Las de a y c son secantes, y las de b son paralelas.

10.2. Dibuja un segmento de 9,5 cm y traza la mediatriz.


DAC

B

41 10

225

18

11055

75

10.3. Dibuja estos ngulos con un transportador.

a) 55 b) 110 c) 18 d) 225

10.4. Define estos ngulos.

a) ngulo agudo b) ngulo llano

c) ngulo cncavo d) ngulos adyacentes

a) Menor de 90 b) De 180 c) Mayor de 180 d) Consecutivos que suman 180.

10.5. Dibuja un ngulo de amplitud comprendida entre 45 y 90, y traza la bisectriz.

10.6. Cmo son estos ngulos entre ellos?

a) b) c)

a) Suplementarios b) Opuestos por el vrtice c) Complementarios

10.7. Encuentra el complementario y el suplementario de un ngulo de 24 40' 5''.

Complementario: 65 19' 55'. Suplementario: 155 19' 55'

10.8. Determina, sin utilizar el transportador, el valor de los ngulos que faltan.

A = 41 10', B = C = D = 138 50'

10.9. Expresa 40,25' en segundos.

2.415''

BA

A

B

A

B


10.10. Expresa 29.900 s en horas.

8,3056 h

10.11. Expresa 38,0575 en grados, minutos y segundos.

38 3' 27''

10.12. Calcula:

a) 2 45' 58'' + 3 9' 16'' + 7 11' 46'' b) 19 32' 41'' 5 c) 109 18' 17'' : 4

a) 13 7' b) 97 43' 25'' c) 27 19' 34,25''

10.13. Un grupo de expedicionarios est a una latitud de 22 41' 30'' S, y quiere llegar a un punto sobre el trpico de Capricornio cuya latitud es de 23 28' S. Qu ngulo debern recorrer hacia el sur?

Restando, 46' 30''.

APRENDE A PENSAR CON MATEMTICAS

Rectas paralelas secantes?

Son paralelas las rectas de las imgenes? Comprubalo.

S, son paralelas. Segmentos iguales o diferentes?

Los segmentos de las imgenes, tienen o no la misma longitud? Comprubalo.

S, tienen la misma longitud.

Proyecto editorial: Equipo de Educacin Secundaria del Grupo SM Autora: Miguel ngel Ingelmo, Yolanda Zrate, M. ngeles Anaya, Rafaela Arvalo, Jos Luis Gonzlez, Rafael A. Martnez Edicin: Pedro Machn, Eva Bjar Correccin: Ricardo Ramrez Ilustracin: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Flix Moreno, A. Muoz, Jos Santos Fotografa: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda lvarez, Jos Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Toms; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Bo; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrin; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; NDEX; PAISAJES ESPAOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogfico Nacional Diseo: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetacin: SAFEKAT S. L. Coordinacin de diseo: Jos Luis Rodrguez Coordinacin editorial: Josefina Arvalo Direccin del proyecto: Ada Moya (*) Una pequea cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna correccin en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra solo puede ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista por la ley. Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra, a excepcin de las pginas que incluyen la leyenda de Pgina fotocopiable. Ediciones SM Impreso en Espaa Printed in Spain

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1esomamu so esu10

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