1a propiedad de traslación tl
TRANSCRIPT
CAPÍTULO
6La transformada de Laplace
6.4.2 Primera propiedad de traslación
Para cualquier a 2 R:
L˚
eatf .t/
D
∫
1
0
e�st Œeatf .t/� dt D
∫
1
0
e�.s�a/tf .t/ dt D F.s � a/I
es decir,
L˚
eatf .t/
D F.s � a/: (6.1)
Entonces, la TL de eatf .t/ es la misma que la de f .t/, con un corrimiento hacia a. Por ejemplo:
L˚
e3t t2
D2
s3
∣
∣
∣
∣
s!s�3
D2
.s � 3/3:
El símbolo∣
∣
s!s�ase usa sólo para indicar que hay que reemplazar la variable s en todas sus ocurrencias
por s � a. Con este resultado obtenemos las siguientes fórmulas:
L˚
eat tn
DnŠ
snC1
∣
∣
∣
∣
s!s�a
DnŠ
.s � a/nC1:
L˚
eat cos bt
Ds
s2 C b2
∣
∣
∣
∣
s!s�a
Ds � a
.s � a/2 C b2:
L˚
eat sen bt
Db
s2 C b2
∣
∣
∣
∣
s!s�a
Db
.s � a/2 C b2:
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010
1
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 6.4.1 Obtener L˚
e�3t cos t
& L˚
e�3t sen t
.
H
L˚
e�3t cos t
Ds
s2 C 1
∣
∣
∣
∣
s!sC3
Ds C 3
.s C 3/2 C 1:
L˚
e�3t sen t
D1
s2 C 1
∣
∣
∣
∣
s!sC3
D1
.s C 3/2 C 1:
�
Ejemplo 6.4.2 Calcular L�1
�
1
s2 C s � 2
�
.
H Primero completamos cuadrados en el denominador:
1
s2 C s � 2D
1(
s C 12
)2� 9
4
:
Luego consideramos solamente1
s2 � 94
. De acuerdo con la tabla, la fórmula .10/ nos da:
23
senh 32t ! 2
3
[
32
s2�
�
32
�2
]
D1
s2 � 94
:
Por lo tanto:
23
senh 32t � - 2
3
[
32
s2 � 94
]
23e�
t2 senh 3
2t
e�
t2
?
� - 23
[
32
(
s C 12
)2� 9
4
]
D1
s2 C s � 2
s ! s C 12
?
Así concluimos que
L�1
�
1
s2 C s � 2
�
D 23e�
t2 senh 3t
2:
�
Ejemplo 6.4.3 Hallar L�1
n s
s2 C 6sC 10
o
.
H Completamos cuadrados en el denominador:s
s2 C 6sC 10D
s
.s C 3/2 C 1. Sabemos que:
cos t !s
s2 C 1:
Por lo tanto:cos t � -
s
s2 C 1
e�3t cos t
e�3t
?
� -s C 3
.s C 3/2 C 1
s ! s C 3
?
Ecuaciones diferenciales ordinarias 6 3
Nos ha resultados C 3
.s C 3/2 C 1y no
s
.s C 3/2 C 1. Arreglamos esta diferencia de la siguiente manera:
s
.s C 3/2 C 1D
.s C 3/� 3
.s C 3/2 C 1D
s C 3
.s C 3/2 C 1�
3
.s C 3/2 C 1:
Incorporamos esta idea para hallar:
cos t � 3 sen t � -s
s2 C 1�
3
s2 C 1
.cos t � 3 sen t/e�3t
e�3t
?
� -s C 3
.s C 3/2 C 1�
3
.s C 3/2 C 1D
s
.s C 3/2 C 1
s ! sC 3
?
En consecuencia:
L�1
�
s
.s C 3/2 C 1
�
D L�1
n s
s2 C 6s C 10
o
D e�3t .cos t � 3 sen t/:
�
Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Soluciones en la página 4
En cada uno de los ejercicios, calcular Lf f .t/g o bien L�1fF.s/g, según se requiera:
1. f .t/ D 3 sen 4t � 2 cos 5t .
2. f .t/ D t3 � 4t2 C 5.
3. f .t/ D e�4t .t2 C 1/2.
4. f .t/ D sen ˛t cos ˇt .
5. f .t/ D sen 2at .
6. F.s/ D5
s2 C 4C
20s
s2 C 9.
7. F.s/ D2
.s C 2/4C
3
s2 C 16C
5.s C 1/
s2 C 2sC 5.
8. F.s/ D7
s2 C 10s C 41.
9. F.s/ Ds C 1
s2 C 2s C 5.
10. F.s/ DsC 3
s2 C 2s C 10.
11. F.s/ D3s C 1
s2 � 4sC 20.
4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Página 3
1. F.s/ D�2s3 C 12s2 � 32s C 300
.s2 C 16/.s2C 25/.
2. F.s/ D6 � 8sC 5s3
s4.
3. F.s/ D24C 4.sC 4/2 C .s C 4/4
.s C 4/5.
4. F.s/ D˛s2 C ˛.˛2 � ˇ2/
Œs2C .˛ C ˇ/2�Œs2C .˛ � ˇ/2�.
5. F.s/ D2a2
sŒs2C 4a2�.
6. f .t/D5
2sen 2t C 20 cos 3t .
7. f .t/D1
3e�2t t3 C
3
4sen 2t C 5e�t cos 2t .
8. f .t/D7
4e�5t sen 4t .
9. f .t/D e�t cos 2t .
10. f .t/D e�t cos 3t C2
3e�t sen 3t .
11. f .t/D e2t
„
3 cos 4t C7
4sen 4t
«
.