1993 - arsenio cornejo jordán

.. AUTOR:

.PROF. ARSENIO CORNEJO JORDAN

. Apuntes de Mat. L/lt

May, 1993

Ots.1s 15% Oi\ ]10}1~

INDICE

Introduccin........................................................................ iv

1 L , . p . . l . ogica ropos1c1ona ........................ .

1. 1 Proposiciones y Conectivas ....................................... . 1.2 Construccin de Tablas de Verdad ........................... . 1.3 Tautologas ................................................................ .. 1.4 Teoremas de Sustitucin y Equivalencia .................. .

1

3 6 7

9, 1.5 Formas Normales....................................................... 12

2.

2.1

2.2

2.3 2.4 2.5 2.6

Lgica proposicional . . , t'

a.xi oma i ca ...................................................... .

Lenguajes, Axiomas y Reglas de Inferencia .............. . Teoremas y Demostraciones ..................................... . Reglas Derivadas ....................................................... . Algunos Teoremas de SP .......................................... . Teoremas y Tautologas ............................................ . Propiedades de Sistemas Formales .......................... .

17

19 20

22

25 26 28

3. Lgica de Cuantificadores............ 35 3.1 Limitaciones del lenguaje proposlcional....................... 35 3.2 Los elementos bsicos ................................................ - 36 3.3 Interpretaciones, significado y verdades lgicas.......... 38 3.4 lntepretaciones............................................................. 39 3.5 Negacin de Cuantificadores....................................... 42 3.6 Razonamientos vlidos................................................ 42 3.7 Reglas de inferencia .................................... _................ 44

ii

.,

\

-'-

:

l -

4.

4.1

4.2

4.3

5.

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

6.

1 ~ ' ..... '

Lenguajes de primer -orden ............. 50 Smbolos del lenguaje................................................... 50

. . ~ .. .. . - . .

Tipos de expresiones .... :............................................... 51 Interpretaciones y valuaciones...................................... 53

Sis temas de primer. _orden .. ~............ 61 Axiomas y reglas de inferencia..................................... 61 Demostraciones y teoremas......................................... 62 Deduccin..................................................................... 63 Sistemas Formales............................................. ......... 63 Numeraciones de Gdel.............................................. 64 Propiedades de Sistemas Formales........................... 67 El Teorema Fundamental............................................ 68

Formalizacin de Estructuras Matemticas .................. . 76

6.1 Sistemas con Igualdad................................................. 76 6.2 Igualdad................... ...................................................... 78 6.3 Modelos normales......................................................... 80 6.4 El Teorema de Compacidad........................ ................. 81

7.

7.1

7.2 7.3

7.4

Los nmeros naturales......................... 85 Funciones y predicados recursivos.............................. 85 El Sistema Formal S..................................................... 88 Relaciones representables........................................... 90 Teoremas de G6del... ... . .. . . .. . . . . . . . . ... . .. . . . .. . .. . . .. .. . .. . . . . . . . . . . 93

Bibliografa .......................................................... 98

iii

INTRODUCCION

.los fmguafas e primer aren lian esempefladQ un pape( importante en e( estu410 e (a matemtica y e sus fandmmtos.

CAPITULO PRIMERO

LOGICA PROPOSICIONAL

La Lgica se ocupa primo~dialmente por caracterizar los r:azonamientcs vlidos. Trata de contestar la pregunta: Qu forma tienen los razonamientos vlidos?

La validez de un razonamiento no puede depender del tema que se trate; debemos juzgar tal validez considerando slo su "estructura lgica".

Consideremos los siguientes:

l. Si se construye la carretera, los productos podrn transportarse al mercado; si los productos se transportan al mercado, la comunidad podr construr su centro de salud. Por lo tanto, si se construye la carretera, la comunidad podr construr su centro de salud.

2. Si el candidato .gana las elecciones, pcndt en prctica su programa de inversiones. Si pone en prctica su programa de inversiones, entonces construir la escuela. Luego, si el candidato gana las elecciones entonces construir la escuela.

Aunque los razonamientos se refieren a distintos temas, poseen la misma estructura:

Si p entonces Q .

Si Q entonces R.

Luego, si p entonces R.

Las premisas son Si p entonces Q, Si Q entonces R.

":i la co11clusi11 es

Si P entonces R

LCGICA !?S.O!?OSICIONJ\J .. - Prof. _!\rsenio Cornejo '?~g. i

Este esun ejemplo de razonamiento vlido. Pero, cmo determinar que, en efecto es un ra:onam:ento

vlido? Por lo pronto es necesario suponer que:

La validez de un razonamiento depende de su forma lgica y no da su contenido.

Una ve:: determinada la forma lgica del ra::onamienco, necesitamos un criterio para determinar su valide:. J.l.dcpta;;i.cs el siguiente:

Un razonamiento consecuencias falsas verdaderas.

es

a vlido partir

si no es posible deducir de premisas (hiptesis)

En conclusin, si deseamos determinar la validez aplicando el mtodo sugerido, parece necesario tener en cuenta ciertas condiciones:

l. Cada enunciado que ocurre en un ra:cnamientc debe ser ormalizado, esto es, escrito en un lenguaje crmal abstracto.Esto es necesario porque la validez no debe depender jel contenido al que se refiere dicho razco~mie~~c.

2. Debe ser posible el asignarle valores de verdad a los e:.unciadc.s tomandc en cuenta slamente su fcrrr.a, es je-.:i:::-, la manera cerno estn construidos a partir de enunciados bs i cos. Esto es neesario porque queremos aplicar el criterio de validez a enunciado.

En este captulo, lenguaje y lgica extenderemos muchos de

y en el siguiente, nos ocuparemos del proposicionales. ?csterion~e~te,

estos resultados a un lengua j e ms e:--:p:?:"esi. ~.re.

1.1 PROPOSICIONES Y CONECTIVAS

En primer lugar, debemos proposic~cnes que consideremos, expresarse, a par~ir de un conjunto a las aue llamamos PROPOSICIONES )\ Tl"\~11"\S 1 .e\. Vl V

suponer que t odas las pueder. obte~erse 6

inicial de proposiciones ATOMICAS o simplemente

1 .i:\unque tambi n l lama r emo s prcposi ci cnes simples a l o s tonc;; .

LOGICA PROPOSICIONJl_L - Prof. Jl..rsenio Cornejo Pq. i.

Los tomos correspcnden, aproximadamente, oraciones afirrnacivas. Aigunos ejemplos son:

l. Pedro come pace. 2. Luis lee el libro. 3. El padre s.ali a comprar juguetes. 4. Roberto compr el radio. 5. Las sustancias picantes afectan 1os rinones. 6. Los riones purifican la sangre. 7. La bronquitis es una enfermedad del corazn.

E:mplearemcs letras maysculas P, Q, R, variables que representan proposiciones simples.

a las

c:cmo

Supcndremos que cada preposicin es verdadera 6 es falsa. Emplearemos los smbolos V y F para indicar los valores verdadero y falso respectivamente.

Para expresar las proposiciones en trminos cie les tomos, necesitamos conocer las conectivas 16gicas. A can tiriua.:in consideramos las ms comunes:

1.1.1 NEGAC/ON

Si 2 es cualquier proposicin, P, que simboli=amos con la e:-:presin debe tener el valor de verdad opuesto Esto lo indicamos as:

? -?

,...

C V

entcn.::es la Nt:G..:.c::rn,: -:? (se lee "n:: P" ~ ,

al de ia propcsi.:i6n P.

Esta es la TABLA. DE VERDAD de -P; en ella ir.dicafcs ~ue cuando P es verdadera,-P es falsa y, cuando P es falsa entonces P es verdadera.

1.1.2 CONJUNCION

Si P y Q CONJTJNCION de

son proposiciones cualesquiera, eritonces la P con Q, que simbolizamos con la expresin P A !? y Q") , es verdacera solar

La ccnjuncin, al conectiva binaria, sto Como cada proposicin

igual que las restantes, es una es, que liga a dos prcpos1 .::1..:>nes. es 6 verdadera 6 fals, 13.

exige el considerar cuatro casos ; en la siguiente tabia cada linea contiene un caso:

p Q T V . V F F V E' E'

i,a siguiente, es la TABLA DE vr:RDAD para la pr:-oposicin ? /\ Q:

p Q p /\ Q

V . V V F F F ' ~ E" F t

~

"

1.1.3 DISYUNCION

La DISYUNCION de dos proposiciones !:", Q es La proposicin de la forma P Q la cual expresaremos en 2.a ::: o rma l? v Q ( se le e " ? Q)

En nuestra lengua, la conectiva "" es ambigua puesto que tiene des significados relacionadcs entre si.

Consideremos por ejemplo el enunciado Luis va al cine a ia playa.

Aqu 2 es "Luis va al cine" 1 Q es ":.u.:..s -.,-a a .L.a pla~'. Aqu.:.. se entiende que si es verdadera, entonces P es verdadero 6 Q lo es, pero no lo pueden ser awbas; ste es un ej empl:: de la DISYTJMCION EXCLUSIVA, la que simbolizamos con la e:-:presin 2

Por otro lado, la "6" que ocurre en la preposicin

Si Francisco recibe el aumento el prerr.ic,

LOGICJI_ l?ROPOSICION.?..L - Prof. ?~se::io Cor::ejo

entonces comprar el televisor

no excluye y tambin DISYUNCION DISYUNCION.

la posibilidad de que francisco reciba e~ aurnenco reciba el premio. Este es un ejempl~ de la

ItlCLUSI,.v'A; sta es la que llamarerrlcs sirrtplerne:--,te

Convenimos en que la DISYUNCION P v Q es falsa solamence cuando ambas, P y Q, sean falsas. Por lo tanto su tabla de -.ler-:!ad es

p Q !? V Q

V V V V F V F TT T T V V E' F F

1.1.4 IMPLICACION

Siendo ? y Q proposiciones, llamamos IMPLICJ...CION a la proposicin que tiene la forrna

tambin,

Emplearemos p~Gpcsicin.

la

Si P er.tcnces Q,

P implica a Q.

expresin p => Q para denotar

Denominamos a P el antecedente y a Q el consecuente de la implicacin. ?ara definir el valar de 7erdad de la implicacin convenirnos en que solamente ser . falsa cuando el anteceder:te sea verdadero y el consecuente sea fals:::i. Esta convencin corresponde al criterio de que una verdad no debe implicar una falsedad.

La TABLA DE v~r Q

V V V 'r t:" t:" V L L

F V V F F V

LOG~C~ PROPOSICIONF.L - Prof. F.rsenio Cornejo Pa. 5

\

Se acostumbra emplear los trminos condicin necesaria 1' Condic1.. o' n sufi' ci ente ~n 1 .. l l ' P ~ re_acion con _a imp_ icacic:r,. _ara afinnar que la implicacin f? => Q es verdadera se .j,;_;:e que "P es condicin suficiente para Q" o tambin que "Q es condicin necesaria para P".

1.1.5 EQUIVALENCIA

Si P y Q son proposiciones, entonces la proposici~n

i? es equivalente a Q, tambin,

P si y s6lc si Q, se representa por

p Q.

Pe~ def~~icin, ? Q es verdadera scl3me~:e ~~a~dc i? y Q tierien .ffibas el mismo valor de verdad. :La L~i..A _r:.. VERDJl..D de la equivalencia i? Q es

p Q i? Q

V V V V e e F V F F f 't

1.2 CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD.

A par~ir de las definiciones presentadas podemcs jecidir el valor de verdad de cualquier proposicin aue est e:{pr:-esada en trrnincs de pr8pcsi.cicnes simples ~ -:!e ~as conectivas -, A, v y =>.

Consideremos, por ejemplo, la tabla de verdad je

(2 => Q) A (Q => i?)

LOGICA ?ROPOSICIONli,.L - PrQf. A.rser:ic Cor!1e~o

" ,

...

(1) (3) ( 2) p Q i? => Q /\ Q => i?

V V V u . V V F F F v-F V V F F f. t:' 1T 1r 1r J.. y . ,

La tabla fu calculada por linea. En cada caso, se calcularon las columr:.as (l l . 1 (2}; ~cst.erior.ner,te se emplearon para calcular la columna (3). Por lo tanto la ~abla de verdad (abreviada) de

(P => Q) /\ (Q => P)

es

i? Q ( i? :::> Q) /\ (Q => ?i

V lT TT V V V F F F V F F ,..., T~ e ~

1.4 TAUTOLOGIAS

Ya he!nos obse.rrado que, a parti!'.' de 12.s tablas bsic=..s, podemos construir la tabla de . cualquier preposicin; estamos empleando dicho trmino, proposicin, de acuer1jo con ls siguiente ~efinicin:

DEFINICION. Se llama proposicin a cualquier =onnada a partir je las proposi~icnes sixplss conectivas, aplicando las siguien~es reglas:

e:-:presifl, .. ., .-.:- , --1 ..... -;:; .LC:..;:?

l. Toda proposicin simple es una propcsicin. 2. Si P y Q son proposiciones, entonces (-P}, ~? A Q), (? v Qi, (i? => Q), \? QJ t:ambin son proposicicnes.

Consideramos a concinuacin un cipo par~icular de proposiciones.

LOGIC:.r\. PROPOSICION_Z\L - Prof. -~senio Cornejo Pg. 7

,

Las tautologas son proposiciones que en cualquier caso asurnen el valor de verdad V.

eje~plo, la tabla de 7e.::dad de 0 v -P es

p

V F

-P P V -P

V V

Luego P v -P es una tautclcgia.

Otro ejemplo de tautologa es U? v Q) (Q v justificamos esta afirmacin con la siguiente tabla:

11 \ ; ~ \ :2;

' - ' '~. p Q p V Q Q V p

V v ,, . ' V F V V V

E' V V V V F r !: V r

'. ~ ' ,

Cor:i.c antes, la tabla se ha calc~ladc linea RCr linea. Para cada lnea, se calcularon primero las columnas (1) y (2i empleando la definicin de v: .. ~csteric::mente se calcul la columna ( 3) empleando las columnas \ .L i , \ L y la definicin de . Observe que la proposicin asume el valor verdadero

e~ cualquier case.

DEFINICION. Una proposicin es una:

a) tautologa si en cualquier caso asume el valor v; b) contradiccin si en cualquier ca.se asume el 7al..:;r C';

c; contingencia si no es ta\.!tclcgia ni con':ra'.:E .:::i.::.

En base a la nocin de tautologa se definen dos re~acicnes entre prcpcsi2icnes:

DEFINICION. Sean P y Q proposiciones.

l. Diremos que P implica lgicamente a Q si P => Q es una tautologia.

LOGIC~ PROPOSICIONAL - Prof. A.rsenio Cornejo Pg. 8

2. Diremos que P es lgicamente equivalente a Q si P es una tatclcgia.

Ejemplos: i. P A Q implica lgicamente a Q. 2 .

(-QJ). (-(P V Q)) es lgicamente equiT[alente a r r _o 1

\ \ - '

1.4 TEOREMAS DE SUSTITUCION Y EQUIVALENCIA.

/\

Las tablas de verdad proporcionan un medio un versal para decidir si una preposicin dada es 6 no una ~au~alcgia.

Existen otros mtodos para verificar si una frmula C:ada es ~na tautclogia.

Tales mtodos, de naturaleza esencialmente algebraica; ::vn.sisten en la aplicacir1 :!e reglas de convierten proposiciones dacas en otras proposicicnes que s~n lgicamente equivalentes. ,

En los teoremas siguientes presentamos tales reglas }' el modo cmo pueden aplicarse para obtener tautologias.

El siguiente es el primer teorema de sustitucin.

TEOREii'i ;_. Sea .'1 una preposicin las proposiciones simples P1, ...

p~oposicior.es ~i:alesc;r~iera.

en la que ocu r re.r. , Pn,y sean .4z,

Si A es tauccicga y E se obtiene de . .J. reernpiazancio (en li.) cada ocurrencia de Pi por A::, entonces E

~je!llplc. P';ede :er.:fi car se que 1 i'D \ o: => !) \ ' -

una cauL.ologa. La proposicin

( (R => (S V i?) /\ Qj => \K => (S V -. \ L

es

'.

se obtuvo sustituyendo? por (R =>\S. v Fi}. Luego, dicha. proposicin tambin es una tautologa.

LO:;ICA PROPOSICION.A..L - Pr.~f . .A..rsenio Cornejo Pg. 9

Observe que, como consecuencia del teorema 1, pode~cs afirmar que las relacior1es de irnpli.:a.ci6:i 16gi::a y equivalencia lgica son transitivas.

Es consecuencia inmediata de tautologa el siguiente teorema.

'I'EORENA 2. Si .. ; .Y A => B son ta.;tolcgas, entonces B es una tautologa .

.:..plicando el teorema l puede ~1erif icarse que

( {AB) => {A=>B)), { '..ll..B) => {B=>l>.))

son tautologas. Aplicando el teorema 2, tenemos:

TEORD1 .. ;; 3. Si .. ; E es una taucologa, enconces A => B y B => A tambin son tautoloaas.

Como aplicacin del tecrema 3, el lector debe demostrar lo siguiente:

?ROBLrJIf.... Demuestre que si A => B y B => !4. son tautologas, entonces 'A B es tarnbin 1Jf!a tautologa.

~ A continuacin, algunas aplicaciones del teorema l.

TECREHA 4 (Leyes de De Norgan) . Seaa A. y E proposiciones. Entonces , .... (-(A A B)) es lgicamente ecuivalente

a ((-A) v (-B)) . L. (-(A vE)) es lgicamente equ'iaente

a ((-Jl.) A (-B)) .

TEORE11A 5 (Leyes asocia ti vas) . Sean A, B y C propcsiciones. En tan.ces

2. (.~ V (B V C)) es 26gi c:me!"lte equi "~~ale.rite -

((A V B) V CJ . " (" A (B A C)) .;:;s lgicai.ttet'lt2 .....~ .. ..: --- , ..... -~ -L.

'"' :::'-:!_~..:..-. ~- CJ. L..'::: a

((A A B) A C) .

'::EORE.M.A 6. (Leyes con.mur:at::i'i1as). 3ean A y B proposiciones. Entonces

LOGICA PROPOSICIOl'ln.L - Prof. F..rsenio Corne~o Pg. 10

,,

1 (_;J__ V E) es lgica.!!le!:. te equi '4'ale;;te a (E V - . A) .

,.., 01 !3) 167 i c..::mer: te equi 1/a.l er: te (E . /\ es -

/\ _::;)

.

TEOREl'1A 7 (T . .::>tro ~ .jistributi ras) Sea!! A, Q "

. ~-..L -- . ..L

\..... proposiciones. Entonces

~ (A /\ (E V C)) es lgicaDiente equiiialent.::: -'-. a ((A /\ B) V (}\. /\ B))

2. (A V (B /\ C)) es lgicamente equivalen ce a ((A V E) /\ (.4 v B)).

TEOREMA 8. Sean .l\. y B pro_oosiciones. Sen taut.:::lcqias:

1 -.li A

2. -21 /\ 3. :i V n 4. (A --~,..J.;_.;_~~

'--" V .l.4..._...-L. '-__._ :._,.J.Q .......

A t-1 ,,

A r1 => B)

Dcb!..e Neqaci .. r:.. Leyes de

Idcupctencia (-A V E) Def. de la

t...L siguiem::e teorema nos perrni t:e obt:ener, a pa.::-t.i r de una proposicin dada, otra proposicin que es 6 .. gicamente equivalente a la dada.

TEORE:L1A 9. Sea A una proposicin en la que ocurre uri proposicin A'. Supongamos que en A se sustituye una 6 ms ccurre!lcia.s de _n_' pcr B' para cbtener '..l~a proposicin a. Si A' es lgicamente equivalente a .a', entonces B es lgicamente equivalente a A.

AL comienzo de la seccin sugerimos q~e exis~ia un mtodo algebraico para establecer tautologas. Ahora estamos en condiciones de presentar dicho mtcdc.

Supongamos que el problema es establecer que

((P A -Q) => R) (P => (Q V R))

es una ~aut:ologa.

12grarl::;, "ei miembro izquierdo"

LOGICA PROPOS ICION~.L - Prof. 3-rsenio Cornejo Pg. 11

( p /\ -Q; => R

sustitu~'endo por expresiones que son .Logicamente equi~lalentes a las sustituidas. El teorerr.a 10 ncs ga.:::-ar1'.::i.=a q~e, e:: .::::..::!:::. paso la proposi~in que resulta es lgicamente equivalenLe a la anterior. Por lo tanto, la proposicin que obtengamos al final, es lgicamente eq~ivalente a la proposicicn i~i2~al.

Veamos:

(P /\ -Q) => R -\P 1\ -Q) V R. 7autol. \ 4) del Tecr. ~ o. (-P V -Q) V R Tautol. 1 1 '

' - ' del Teor. 4.

(-P V Q) V R Tautol. ( 1) del Teor. lj -P V (Q V R) Tautol. '? 1 del Tevr. .., \ - I 1 D .. => (Q V R) Tautol. ( 4) del Teo!:". lj

Hemos demostrado que (P A -Qj => R es lgicamente equivalente a P => (Q v R).

1.5 FORMAS NORMALES

Ya hemos observado que asignarle una tabla de verdad. direccin opuesta.

a cada proposicin podemos El teorema siguiente va e~ la

~---- ,..., ., ;""I i. ;:., \... rtJ:.,l'lfi .l lJ determinada

Cualquier funcin por una proposicin

v.eri ~a ti va en la que

ocurren con-acti-..ras del ccnjunto (-, v, /\ }.

est slo

Ilustramos el tecre.~a ccn el siguier.te eje~plc. Consioeremos una proposicin A en la que slo ocurren :Las proposiciones simcles P, Q v R; suponga~o~ aue su tabla es

p 1 Q R 1 !>: ( 1)

~ 2) ( 3) l. 4) ( e:: 1 ~, ( 6)

1 i'"'t' "o j

V j V V j V 11 j V F 1 V 1 F V 1 F V 1 F 1:' 1 V Fl'l VI F F 1 V F 1 F

~ 1 ~ ~ 1 ~ LOGJ:c_n._ PROPOSICIONAL - Prof. Jlrsero C:::rnejo

Obser"':)e que -~ s6lc asurne e2- 1_;alc.:- :!e ":_. ... e=:ia::! ei': les cas::.:3 (i), (4) y (o). Para cada caso fomiamos una conjuncin que SOLM-IENTE ES VERDADERA para dicho c.:::iso:

(1) PAQ/\R {4) 2 /\ -Q /\ -R !8) -P /\ -Q /\ -R

El lector puede c.omprobar que 1a proposicin A es lgicamente equi rralente a

(P /\ Q /\ R) V (P /\ -Q /\ -R) V (-P /\ -Q /\ -R).

Esta proposicin se llama la Fo:r:ma No:r:mal. Disyuntiva de la proposic:in A.

Presentamos la siguiente definicin.

DEFINICION. Sea A una proposicin que no es una contradiccin. La Forma No:ana.l. Disyuntiva asociada a .r.... es la

de 1 o. fe rrrta. m J n Q . ) v.-/\ - l' l= J=l ..;

en donde Qi~ es una proposicin simple la neoaci6n de una proposicin simple.

En el ejemplo hemos ilustrado el siguience teorema.

TEOREHf._ 11. contradiccin

Toda proposicin que no es lgicamente equivalente a

Ncrrna2. Disyunti -,ra.

sea un::t su Fo.r.1Tia

De manera similar, a c ualquier proposicin que no sea una tautcloga puede asocirsele su FormaNormal Conjuntiva en el sentido de la siguiente definicin.

DEFINICION. Sea A una proposicin que no es una tautologa. La Forma Normal Conjuntiva asociada a A es la prcpcsicin de la fcrrna

/\ r:r1 (v!! QiJ') , -1 ..,_, ---- J-....

en donde Q:.J es una 9ro9osicin simple la negacin de una preposicin simpl e.

LOGICJ._ PS.OPOSICIONJ.ll - P:cof. J>..rsenio rnrno-i n ___ ... _..) .._ p.:. 1 .,, - ::::Q.

Consije~emcs ahcra lo. prcpvsici5u E mostramos a continuacin; esta vez consideramos los casos para los cuales es falsa.

p o R B . , ' ,, ,, ,, ,, .J.. 1 V

" V

" ( 2) V V F f (~\ V F \_T f . . ~' ( 4)

" F F

" ( 5) F V V V ( 6) F V ;' V \ i 1 t t v t ( 8) F F F V

i?ara cada caso consideramos la DISYUNCION que slo o-_,::, fa:i.sa para este caso:

(?' -1 -P V -Q V R

".

Derr.ostracin. El conjunt:::; conjunto { -,

f-' , /\ \ J es

teorema 11, el t:atologia

V } es adecuado. La

P V Q -(-P /\ -Q) implica oue {-,A}. es adecuado. De modo similar se demuestra que los otros conjuntos son adecuados.

Un ejemplo de ccmjt:nto ne ade.::lado es {-, }. !?or ejemplo, A /\ B no es lgicamente equivalente a ninguna proposicin const ruda slamente con lo.s .:onecti Vs en }. Esta es una consecuencia del prximo teorema.

TEORE.l'1A 14. S A es una frmula cuya tabla de verdad tiene cuatro casos y en }l. slo ocrren connecti as del conjunto valores

{-, } entonces las nicas posibiiidades para 1os de verdad de A son:

E.1 todos los casos .4 .as V. L. En todos los casos A es F. 3. En dos casos l'... es V y en los otros dos ..Zl. es r.

Demostracin. La demostracin es~ ~obre el nrnero de conectivas de A.

Supongamos que en A slo ocurre una cone~ti7a. En este caso A es de la fc~3 o r on .--1.-.n .-40 q 'r

- .. ,,,. - - ---- - .!

C son proposiciones simples disi:irrcas. t:m:cnc::es, en la tabla de verdad de .n... ocurren dos V y des F.

Supongamos ahora que el resul tao es cier;:o para proposiciones con menos de n conectivas y se~ ~~i.. una prcpcsicili ccr1 n ..:onecti--:.ras.

Si A es de la forma -B entcnces, pe~ la hipt:esis de induccin, 3 sat:isface uno de los t:res

de los tres casos.

Si, pcr ctrc ladc A es de la fc~a 3< =>S debernos considerar las siguientes posibilidades:

a) Er1 todcs l~s 2as~s 8 aswue el ~.-alcr "':/. Si r slo asume solamente el valor v o SOLO eL valor r, entonces lo mismo ccurre con BC. Si C asume en

LOGICA PROPOSICIONAL - !?r:Jf. ;...rseni:J C0r!1.e~0

\

dos casos el valor B y en los otros dos casos el valer F, lo mismo ocurre con B C.

b) En tcdcs l:::s .::ases B as:..!me el ~:al:::: F. El argumen~o es similar al anterior.

e). En des cases B TT-.,1-'V'" ~,. .. .- r.-. ,_~ ., O...i...v- -; 1 ;;:::1. ....,...,..:;: otros cios casos, B asume ei valor F. Si e slo asume el valor V slo asume el v:alor F, entonces BC asu..11e el v-alcr .'.r en des casos "1 el valcr f er.. los otros casos. Supongamos ahora que e asume el valor V en dos casos y F en los otros cases. Sin prdida de generalidad podemos suponer quE: en los dos primeros casos B asume el valor v. Las pcsitilidades pa~a e sen: l. --V L. V 3 . lT V

CAPITULO SEGUNDO

LOGICA PROPOSICIONAL AXIOMATICA

t:"l enf~q'..le axiomticc es una de las caracteri.sti::as :!e la matemtica moderna.

Dichc enfoque consiste en una organi::acion de los conceptos y enunciados verdaderos de una idea bsica es el aceptar ciertos enunciados axiomas) y demostrar, a partir de ellos, otros verdaderos en la teoria.

sistemtica teora; la

(llamados eni.liciados

Gracias a los esfuerzos de matemticos cerno D~viJ Hlbert, el mtodo axiomtico adquiri una gran importancia en el estudio de la Matemtica '/ de sus fundamentos.

Una caracterstica fundamental de su trabajo, es el formaliza.!:" ccmpletamente una teora sealando e:-:plici tamente:

l. El lenguaje adecuado para "hablar" de la teqra. ~

. El mecanismo axiomtico-deductivo cuyos teoremas sean enunciados verdaderos de la teora.

Adems, la especificacin del lenguaje y el mecanismo tenan que ser de tipo "sintctico". Es decir, que su descripcin no deba referirse al "significado" de las expresiones del lenguaje.

Hilbert se propona formalizar la Matemtica para poder mostrar que estaba libre de contradicciones. Aunque no pudo

alcanzar su meta, sus ideas prccarcn ser de una fec'-.lr:didad insospechada.

Sn es~e captulo deseamcs introducir al lector a alg~nas de estas ideas.

Para elle ncs prcpcnemcs presentar ur.a a::icrrcati::a.:i:::l. de la lgica proposicional. Esperamos que dicha axiomatizacin satisfaga las condiciones:

l. Toda tautologa puede demostrarse. 2. Todo lo que pueda demostrarse es una tautologia.

Cap. 2 LOGICA PROP. AXIOMJl.T. Prof. Arseni8 Corne~o ?g. 17

Para investigar tales cuestiones recurriremos a la nocin de sistema formal.

Un sistema formal consiste de un lenguaje formal y un mecanismo deductivo.

La caracterstica fundamental de los lenguajes formales es que pueden definirse completamente sin hacer referencia a ninguna interpretacin del mismo. Las propiedades de los smbclos ::;ue se emplean estn .corr-.pletarr..ente determir..a::ias ~or un conjunt.o de reglas. En particular, las . expresiones que estimamos "significativas" deben ser especificadas sin hacer referencia al "significado" que podamos tener en mente; deben ser especificadas en relacin con la "fo.rma" que la distinguen de las otras e::presiones del lenguaje. Lla..rnaremos frmulas a este tipo de e:-::presiones.

Todo lenguaje que cumpla la rest::-i:::cin descri t: a en el prrafo anterior es un lenguaje formal.

Por otro lado, un sistema formal ta;rbin ..::onsiste je u.ll mecanismo deductivo.

::::::.. mecanismo deductivo consta de axiomas ~'~ reglas de inferencia.

Para ciemost:rar algo deoemos part:ir de ciert:as n1ptesis que estimamos c omo "verdaderas"; tales hiptesis, que llaruarerr,cs axiomas, est.n representadas por las e:-:pres:::...cr.es del lenguaje fo.rmal que hemos denominado frmulas.

_;.Jems de les a x iomas, necesitamos ciertas re'.Jlas de transformacin, llamadas reglas de inferencia; ellas dete~inan las relaci ones de consecuencia inmediata que pueden corresponder a nuestra nocin de "razonamient:o vlido".

La idea es que aceptaremos como "demost:rada" a cualquier expresion que pueda derivarse de los a:dcmas empleandc las reglas de inferenci a.

El p!:'cceso de idea intuitiva de deductivo no puede

deri 1raci6n puede cor:!'."esponder a razonamiento vlido. Pero el mecanismo depender de la int:erpretacin pare icular

que tenga.mes en mer.te. Tal mecanismc est: ::egidc s:::2.a'11e!lt.e por las reglas expl citas espec i f icadas en el sistema formal.

Cao. 2 LOGICA PROP. P.XIOMAT. ?rof. Jl..rsenio Cornejc i?g. ~ .:;

2.1 LENGUAJE, AXIOMAS Y REGLAS DE INFERENCIA

Nos proponemos presentar un sistema formal oara la lgica proposicional.

~ 1 LENGUAJE de nuestro sistema consta de:

a. Smbolos de conect i vas lgicas. Adoptamos las conectivas -, =>.

b. Smbolos de letras proposicionales. Adoptamos los smbolos Po, P 11 , Pn, ..

e. Los smbolos de parntesis ) , (. Cualquier sucesin finita de smbolos es una expresin

del lenguaje. Entre las expresiones distinguimos las frmulas

definidas pcr:

l. Cualquier letra proposicional es una frmula. ~

2. Si A es una frmula, entonces (-A) tambin es una frmula.

3 . Si A y 8 son frmul as, entonces (A =>B) tambln es una frmula.

4. Solo son fnnulas las expresiones obtenidas aplicando 1, 2, j ' 3.

J:'l MECANISMO DEDUCTIVO -;:crsta de a :-:icrr.as y reglas de inf erencia.

Por axiomas entendemos esque.rnas de a:dcmas, _es decir que indicamos la "forma" que deben tener las frmulas que son

a:~iomas:

Par a fnnulas cualesquiera A, B, C son axiomas las frmulas: A

1. (A => (B => ~ ))

L . ((A => (B=>C i) => (( A=>B) =>{A=>Ci)) Cap. 2 LOGICA PROP. AXIOMJl.T. Prof . P..rsenio Cornejo Pg. 19

3. (((-Al =>(-B)) => (B=>All.

Slo J:endremcs una regla de inferencia.:

Regla de inferencia. (Modus Ponens) De las frmulas A y A => B se deriva la frmula B.

Llan~aremos SP al sist9."Tia fcrrr:.al. que hemos descri te.

El le.::tor habr cbsen;-ado que el lengua.je: de SP s5lc tiene dos conectivas lgicas. Esto nos permite emplear un lenguaje simple aunque suficiente para nuestros prcpsit.::::.:s. Observe que de haber aceptado ms ccnectivas, nuestro conjunto de axiomas y reglas de inferenci~s hubiese sida mas ccrnplejc. lenguaje f2.ja.dc es para nuestros propsitos.

Pol:' otro ladc, ne es qu he:ncs esccgi.d:~ los debe

de la observar que ellos lgica pro9csicional.

axiomas fijados. El lec~or corresponden a las tautologas Tales a:-:iomas nos permiten estable.:e.:-fundamentales de nuestro sistema formal. Naturalmente no es la nica eleccin posible.

2.2 TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES.

Lla.mare.i.11os demostracin , cu.:;.lquier sucesin :r::;.ni.::a de frmulas que satisface ciertos requisitos.

uC:i:INICICN. Una demostracin es una sucesin finita de frmulas tal que cada frmula es un axioma es la consect;encia f6rrm.:las anteriores pcr 1la ~egla de ~Icdus Ponens.

CEFINICION. Se lla...T.a teorema a cual::;.:er f6.r:mla que ocurra en el ltimo lugar de una demostracin.

Es conveniente observar que:

l. Si la suces~n demostracin, entonces la

n~ --- '

sucesin A1, ,J!-r:., . , P-n

P..'J_ I '.L..~ e~ .ma formada

pe::: las prirneras k ftnnulas, tarnbin es urla de:n:;s-t:raci.rr. Luego .?...;: es un teorema tambin. Cap. 2 LOGICA PROP. AXIOMJlJ. 20 Prof. _r,_rsenio Cornejo Pg.

2. Les a::.:c:mas son taxin ~eoremas. son sucesiones con un slo elemen~o .

.Abre~"-iaremvs simbo lo

l -..LO

bP A.

frase

Ej emplc: t s;i A => d.

"A es

P~esentam~s la demcstraci~.

,..,.nn ~'C

l. 2

A => ( (1\=>A) =>AJ => ( A => (Jl.=>1'.) ) => (.l\ => l\)

2. A => ( (.!\=>A). =>A) 1

3. U\ => A => l\. ) ) => ( [1,2]

4. A => (A => .r..)

:J. A = > A [ 3, 4]

A => .A.) )

P..:r:

MP

-~..:..-:. 1

tlP

Por definicin, en una demostracin slo se emolean axicmas 1 reglas de inferen=ia. Nas !~teresa =~~s!derar "deducciones" en donde las "prewisas" pueden ser frmulas arbitrarias; en otras palabras, debemos precisar la nc cion de

.e ,l..,,........., . .. , - - " .J... '--' .L.!UU..J.C:.::l

S."nplear emcs let.:::-as g!:iegas cerne f (Ga'r~.:r:a), '"' (S:.~:r.al, (Phi) , n (Omega i para denotar conjuntos de frmulas.

DEFINICION. Sea r un conjunto de frmulas. Llamaremos deduccin a partir de r a c_alquier sucesi6r1 :fir t:;;; de frmulas tal que cada frmula es un axioma, una frmula en r 6 es la ccn.secuen::ia de frrnulas anter.::.c:::-es :;cr la Re;; l: je Modus Pcnens.

Diremos que l a ltima f rrr.ula e r1 la. cejt.;c.: L::i es 1.l r.C: consecuencia de r 6 que es deducible de r.

Para abrevia r la frase

Cap. 2 LOGICA PROP. AXIOM?.T. --; 1 ?ro f. Ji..rsenio Ccr-nej o P3g. -

escribiremos

Ejempl.0:

Ob.se!"ve S?. Le que frmula como letras .-=-~, B referirnos a

B es deducible de [ en

r f- sp a

{-A} =>8)

1. -.n.. 2. -A=> (-B => . ~A)

Hiptesis. Az 1

3 . {-i3 => -A) => (A => B) k.i:.. 3 4. {-B => -A) 5. (A => Bi

Modus Pone ns [ l, 2] Hodus .Ponens [3,~J

que la lista p!"esentada no e.s '..!na ded!.lccir:. e::. hemos hecho es mostrar cmo deducir .:uaJ..quier

A. => B de la frmula correspondiente -_A_. Las r10 son parte del lenguaje; las empleamos par la deduccin presentada. Por esta razn ia lista

c!"denada del ejemple no es una deduccin puesto que A y 8 no son parte del lenguaje. La idea bsica es que si ~l~Gien nos propusiera deducir

podramos obt:ener dicha deduccin sustituyendo, de nuest:.ro ejemplo, el smbolo ;._ por la frmula la f :cmula P1.

2.3 REGLAS DERIVADAS .

?ara facilitar la demost:racin otras reglas de inferen.:ia que inferencia derivadas.

de t:eoremas 112!!1.a remos

en .:a..:ia paso P':' y a B pc r

necesi1:amos reglas de

matemtica, es el siguient:e. Se desea demost:rar una f.!:TI1ula

J!. => 2

Para ello es suficiente emplear r y P.. cerno premisas a partir de !as c~ales se obtiene 9. Can. 2 LOGICA PROP. A.t"\IOt!fl.T. -:; ?_ Prof. Arsenio Cornejc: ?g.

._ ____ ,_,...,,

'--......- ..... ~u\=: esta.tlece - .... -1-. _-::;':!~ mencionada.

TEORS!F~ 1 norh, ........ -...; .~.,..' ~- ....... -----..--... s:.. r u L t:: 1 ~1 entonces r ~ P.. => B. nom,.., c:-t- r::i1-; An ---- .__._ ___ ..,....4 ....

deciuc::in .

C:cnsideremcs el .:ase n l. En este ~ase la deduccin, que tiene slo una frmulo., es un a:-:ioma

~na f6rrr.ula en r. Debemos considerar tres cases.

c:.?.SO l. Si B es un a:-:icma, entonces la siguiente es una deduccin de A => B a partir de [:

l.. B 2. (B =>{A=> B)l 3. A => 3

J...:-:icr.:1a. Axioma l. t.TD r i '; l ......... L.-1-j

CA.SO 2. B es una f6!'.T!'!ula en r. El a.J:gu!'!"!.ent::: es si!!'..ilar ai case anterior.

c.e:._so 3. B es ~r... En este :ase ss S.ete :r.cs'.:.:-2.:- q'..ie A es un ~eorema. La.demoscraciOn se deja al \eccar.

~-- =>

Suponemos que en la deduccin je B a partir je r n {A} ocurren n+l frmulas y que el teorema es cierre -;:ara

partir de r n f .U.} en la que ocurren n menes frmu.las.

Debemos considerar cuatro cases.

c:..ri..so 1 B es un a~:icrna. La derr1cst~3.ci.:-: e.s .:~:ns el ::ase l de la primera parLe.

1'.:rlSO ,. B es una 1:6rrnula en r. I..a demcst:::a..:.in es ..:c:mo el caso 2 de la primera parce.

CA.SO 3. B es A. Similar.

por MP (Modus ?onens). en una deduccin con

Las frmulas C y C => 3 CCU!:'!:'en menos de n+ 1 frmula~. Por la

J... => e ~, ;... => deducirse del conjunto r. Tenemos:

Cao. 2 LOGICA PROP. AXIO~~:r. ?rof. Arsenio C:::i:::-nejo i?g. 23

-.l.

2. 3. 4.

,. => ~ !~ \~

A =:> 1 ' => B! . - (A =>(C =>BJ l => ((A=> C) => (~ => ((A => C) => (A =>B)) (_n_ => B:

B} j ;......::,:i:.:rna 2. MP [ 2, .3 j

r 1 ,1 i .. - , - J

Esto muestra que A => B es deducible de r. Hemos demostrado el teore.ma.

En el prximo teorema mostrarnos coma cbtener 'Jtras ~eglas deri7adas.

de

TEOREMA 2. (Regla del silogismo hipottico). { (A=>B), (E=>C)} ~ (_n.=>C:).

De!Tlostracin. Es suficiente demostrar que

{ (FP>B), (B:=>C)} ,A ~ C.

2or el teorema de deduccin sigue , -J..a. a.firrr.acir ..

l. 1 Li =>B) Hiptesis. .- -L J-'. Hiptesi.s. 3. B t-IP ( l, 2 J . 4 ro ='>'\ !!ip6t:es~s.

.- , ~ '

5. ' HP [ 3, 4} ~ .

Este =cncl~ye la demcstraci6n del ~e=re~a 2.

Podemos aolicar el Teorema 2 para demostrar teoremas.

Ejemplo: -_n.. => (A => B) es un .teorema.

l. (-A=> (-B => -A). 2. (-3 => -Aj => (A => 8) 3. -A=> (A=> 8)

A.:dcma 1. .P-..:~icma. 3.

Teor. 2 [ 1, 2 J

El lector debe comparar lo obtenido c::::n la demcstracin

-A ==> (A => B)

em9leando slo la regla MP. (Se necesican siece pasos. ; Cap. 2 LOGIQ1 PROP. AXIOMP_T. :'""> .e - r o o - -'>a 2 4 i::-ro .1.. . p.rsenic ~orn._J !:'""-.

2.4 ALGUNOS TEOREMAS DE SP.

esta secc~tn presenta~cs - 1 .......... - ..... -a ...... -:::1,,J.~J.c~ .l

deducciones.

~ecrerna 3. Sean " ... , B fr:m;_;_las Entonces:

Tl. f- A => _"A_.

T2. f- -A => (A=>B) .

TJ. f- -A => A.

T4. r A => -.i'\. T5. f- (A => B) => (-A => --9).

T6. ~ (A => B) => (-8 => -A). TI. f- (-A => Ai => (B =>_r.. .

TS. f- (-A => Al => A.

~a. n~s hernas ~.::upa::;c je Tl ~'!" ':'2. El le -::t2~ .:!ete establecer T3 a T6. Nosotrcs demostraremos T7 y T~.

8emostraci6 de T~.

l. -A=> (A=> -B)

(-A=> (A=> -B)) => (-A => A; => (-A =>-3}

3. ~-~ => A) => (-A =>-B~

4. (-J.._ => -B) => ( B => J._)

5. (-A =>_;.;..) => (B => F_) [3,

l. (-A=> A) => ( (-A =>A) =>A)

2. (-11-=>.!1.} => ( (-F_ =>A) =>F_) => ( ( (-A =>A) =>(-A =>A./ i => :, i_-i-'. =>I..._ =>j:..) j

3. ( (-A =>A) =>(-A =>A) ) => ( (-"J.. =>F.) =>I>.) MF r, ? 1 - .i..., - 2

4. (-A=> A) => (-A=> A) Tl

5. (-A =>Al => A MP [ 3, 4]

2.5 TEOREMAS Y TAUTOLOGIAS.

Consideremos ahora una interprecacin je J.. J..engua.j e subyacente a nuestro sistema foLmal SP. Dicha interpretacin c:c.:-respcnde a las definici:mes, emr::lea:idc tatlas de ,e::::::::iad, que preseni:amos en el captulo ancerior.

DEF:NICICN. Sea F el =cnjuntc de prcpcsi=ic~es ~el lenguaje de SP. Liamaremcs valuacin en i? 3. cualquier un-.::in

u.:!?--> {V,:t}.

~ualquier valuacin puede extenderse de manera ~a~~=a! a una funcin, el conjunto de todas las frmulas al conjunto {V,F}. Definimos dicha e~tensin por:

. Caso l. La frmula es -A. En este caso el valor de a(-A! es V si a(Aj es F; adems a(-Ai es e si a(A.j es V.

Caso L.. La frmula es A => c. C:n esi:e caso a J_=>ci e.s e si y slo si a!A) es V y atBl es F.

El lector debe observar que:

a. Las definiciones coinciden con las ciadas a ~ra7s de las tablas de verdad.

b. Sea h. es una frmula en letras p !"opcs i ::ion.al es e Q "

-' .!

va:uacicnes

l. .3. que Q _,, ~i a

slo " ./

ocu::::!"er1 a' s.:::!"!

las d'"'c::

que le asignan el mismo valor a d:.. .:-has lec ras, entonces Cap. 2 LOGICll~ PROP. AXIOiP.T. Pr~f. Arsenio Cornejo ? .:]. 26

a (.3'>.) = a 1 (P..)

Presentamos la definicin de tautologa.

Dt:i:INICION. Sea A. una frmula el lenguaje. Diremos que n es 1.ln2 tautologa si aU>.; = V para cualqJ.ier '.r2l\.la.::i(:n a.

Consideremos ahora la pregunta:

Qu relaciqn exis~e entre la interprecacin prepuesta i el sistema formal presentado?

De hecho aqui tenemos tres preguntas:

l. Podemos expresar ,:ualquier furicin de ~.cerdaJ p,')r alguna frmula de nuestro lenguaje?

2. Es cierto que todos los teoremas son t~utclc~~as?

3. Es cie~tc q" -~ todas las

La respuesta a la primera pregunta es , - ,

afirmati~ra. derr~cs1:..:-a"!lcs, 1: Cap. el , '_,,,_,.......,..... ...... ___ ....... ..l... \ . ,

que el conjunto (-, =>} es adecuado. :.a respuesta a la tercera pregunta involucra .::cr..::ept:::s

que presentaremos en la prxima seccin.

~a respuesta a la segunda pregunta es ei siguie~te teorema.

TEOREMA 4. Todo teorema es una tautologa.

Demostracin. Es suficience demoscrar que ~uaiquier frmula que ocurra en una demost:r:aci6n es 1.rna tautologia. Por lo to.nto, la .jemostracir1 prc .... --:--:::je p.;::r induccin sobre la longitud n de la demostracin.

Supongamos que n = 1. En este caso, la ni.:a f!.T~:.a que ocurre es un axioma. El lector puede verificar que los tres a~icmas de nuestra sistema sen tautclcgias. Supongamos ahora que en cua:i.quier jemostraci:n 'je n frmulas t:cdas las frmulas que ocurren son tau-::..::;icgias.

, .C~'-......,.,...111:::i.c::: - -\..~ -- .... ----.

Can. 2 LOGICA PROP. ?.XIO~W..T. Prof. Arsenio Cornejo ?g. - ..., '

. . . . ~

C'..?.SO l. La ltima frmula es Ufi a:-:ioma. ~(a hemos .-1,.-,,-0 .................. rl-v,,_::;; __ Jo....-.v l""Tl"

'1'-'- tcdo a: .. :.:c~la es :;na tal.l:~l~gia.

C!--50 2. La ltima f rrnula B es c0nsecuencia ~ P:)r MP) de f.::r1.las qe le ar1 te::e-jen, P.. j:- ... ;. ==> B. ~~l este caso, A y induccin). tc.utologa.

A => B son t:aucologias (hipcesis ce Por el teorema 2, Cap. 1, B tambi~n es

Hemos demostrado el teorema.

2.6 PROPIEDADES DE SISTEMAS FORMALES.

Iniciamos la seccin con algunas Jefir.icic[!e.3 L~sL:.::s.

!:::~!N!C:::!:O~r. (E::-:tensi6r.;. I.l2~~2!:"e:!'.cs extensin :::e ::..:!es+.:!::-: sisc::ema formal es cualquier sisr:ema que se oot:enga a.it:er:=tnj;) el conjunto de a:omas de manera que todcs les tecremas de .... ,~e::.-+- --.1..1.1...4-a::l \...-v sistema siga~ sie~dc tecre~as .

En otras palabras, cualquier e;:tensin debe tf:r .. er, ocr !l\encs, les w~smos teoremas qe ......... __ ..... -- -~ -~-- -.LJ. u-::::.::,_..:_........ .::: ... .::::: '- ~-~.

DEFINICION (Consistencia). Un consistente si no e:dste queA y -A sean teoremas.

~rmulo algun.a ~ ctel

TEOREMA 5. El sistema formal S? es consistent:e.

~ - , L.O..l..

Demostracin. Supongamos que A y -A sean tecremas. o~...- el te crema ,, 'fa. .. -A sor: 4V- .. ' :J

absurdo puest:o que si una (digamos la otra es una contradiccin.

~a~tclcq:as. ~st~ es Ai es una ~a~tolo?,a,

TEORENA 6. Sea s-:1' una e:~tensin. de nuescro sis::ema SP. Entonces S* es consistente si y slo si e~iste una

frrr~la. que no es un teorewa de S*

Dern0str3.cin. Si S* es cualquier frmula ,_, no puede se::: que A y -.r... se::in aE-..cas ti::ori::mas de S*.

Pa.:::a el recprocc, supongamos que s~ rLo es .:::ns.:..st.::=rn:e; 1:.r9.:-e!!'_os que t:.i::.d=. f.:)!:"!!11.ll=. es 1.in. tec!.""e!"!'_~ de L '=".

Cao . 2 LOGICA PROP. _l\[email protected].

En efecto, sea B cualquier frmula; como s,.. no es ccr:sist:ete, o~-..: r:::._ e

-...1-- '- - un f 6rmula A ~al que

1- A, 1- -A.

Por el teorema 3 (T2i, tenemos

1- -A => (A => 8)

Si aplicamos MP dos veces obtenemos

1- B.

Hemos demostrado el teorema.

En el prximo teorema se descrite un modo de ootener extensiones consistentes. El resultado es una pie:a clave en la demostracin del teorema lO.

TEOR.SA 7. Sea B una frmula de S? r S"' e.l. sisterr,a .:uyos a:-:iomas son los de SP y la frrnula -B. Si B nc.1 es un teorErna de SP entonces s~ es consistente.

Ent:cnces teoremas

existe una frmula A de S*. Podemos afirmar,

tal que :'.. J -A sen por lo tanto , que B es

url teo~ewo. de S-f- \L .j~rnvstrac.itr. :.::.s i jri.~ica :;. :.=.s. .jel Teorema 6.) Por la definicin de :3"", hemos demostrado que

-8 1- B;

por el Teorema de Deduccin se tiene

t {-8 => B} Ya hemos demostrada, Teorema 3 (T8), que

por MP obtenemos ~ 2.

Cap. 2 LOGICJl. f'ROP. AXICM?.T.

=> o 1 t.J,; ,

?::::-cf. ,:.._;:senic Ccr:~ej o ?g. 2 9

Esto demuestra el teorema.

Una consecuencia inmediata la siguience:

TEOREJ'VlA. 8. Sea S"" es una e}:tensin consistente de S? B una frmula de SP que no es un teorema de S*. Sea S** la extensi6n de S* cuyos axiomas son los de ,., ... ,:, i~ la f.::rrrtula -B. Entonces, S** tambin es consistente.

Los argumentos que presentaremos ms adeiante se oasan en la nocin de conjunto enumerable.

Un conjunto in~'ec:tiva que le nmero natural.

es enumerable 2sign2 a c:ad.::.

si e:dste ele!!1.er:t':) del

una funcin

~a idea es que si un scDj~~~c es enume~able ent~~ces sus elementos pueden ordenarse en una lisca ~an un primer elemento, un segundo elemento, ... de modo aue cada element:) del conjunte aparecer event~almente

Un conjunto enumerable puede ser finito. trm.ir,c conjunto denumerable ;;ara ref erir;-cs que sea enumerable e infinito.

----=- -.._-.. . .._V t.i. J ..J.J.l r_._

i::l lector recordar que el leriguaje de S? C;:)nti~r.e ;J. conjunto de.numerable de smbolos de letras proposicicr1al.=s.

Para demostrar aue el conjunto de frmulas tambin es denunerable es sufi::ie~te acudir al si;uie~te ~todc.

En primer lugar asignarnos a cada srnbolc les nrner'.)s iridi::ados:

P: Nmero asignado L 3 4 . 1 -'* .i 5

p l 51 S:i:l

a --.. . ...:--a ........ a f rwula, viceversa, podemos determinar si un nmero dado una frmula y a qu frmula corr12sponde.

- .. .. -- -- ... U.L..1. .. l 1-.a. .. L~7"" - I }r corres9onde a

Por ejemplo, el nmero 2245111341513 ..:orrespon.:;e a la frmula

( (-2~} =>2 :) Cao. 2 LOGICA PROP. A..~IOHA.T. ?rof. ? ... rsen.:..o 30

-~11ora po.derr,os C=::!errar las .:6r~rJ2..as c.:-:ie:-:a:--.j:, les :-.l~~e~.::s que les corresponden. Hemos demoscrado el siguiente teorema.

TEOREMA 9. El conjunto e frmulas e S~ es denurr,erabl.e.

En e.L teorema 12 demostraremos que tocia tautologa es un te0rema. Para ello debemos referirnos la nocin de completi-::ud.

DEFIN!C!ON. Se3 S* una e~tensi6n de SP. Diremcs que S* es una e:~tensin ccmp.ieta si, para cada frnmla J..:

~A I , n - .... , . Sea SP.

Entonces existe una e~t.ensin consistente y .:omp~e~a de S*

Demo.st:racin. ?or el teorema 9, exis~e una enumeracin

de las fnnulas de SP. Definimos 3 .:cnt inu:i..::.:..~n una scesir1

E ' E 11 E :1

de e~tensiones de S*.

E:n p.!:'i!!'.e.!:' luga!.', definimos E 1 coma - "

= S*. Pa!.'a la definicit~ de S e, 0 .si ~ ;._.1 , en :=aso co;t:cari:: E

: es la extensin de E 0 ccn -JI--:- :orne a:-:i::ima adi.:i '.:'.!l-31. En general, para cualquier n ~ 1, tenemcs ~os cases:

a.

b. Si e::ter,sir1

- A -.

es n

A !10

Definimos ahora

es de

es

cerno la extensin de s~ cuyos a:cmas son todas las .fr:n1J.las q1Je cc1Jr:-::en. .::::rri .. ~ 2:-:i ::rrlas de alguna E n.

Ca o. 2 LOS ICA PROP. AXIOM?.T. Pro f . Arsen ~a Cc rne j c 31 ?.g.

La extensin E es consistente. Por induc:in, 'r . aplicando el teorema 8, puede jerncstrarse q~e :aja En es consisL.ente. Supongamos ahora que c.. no es consis"Cenr.e;

A f6r:nulas tec!:"emas de r. r-,..,... .... . ._, ..,,. .. ........ demostracin contiene un nmero .rinit:o de a:domas, existe un n tal que todos los axiomas que ocurren en las demostraciones de A y de -A son axicmas de ~0 ; pera sL.c imolica que En es inconsistente lo cual es una scnt~adic~in.

La extensin es completa. Sea A cualquier fnnula. -~ aparece en la enurnera.::in de f~tllas. es A k Si A k es un L.eorema ae E kr enL.onces A k es un

,..: r.. ............ .i....., s~ A k ~e es un teorema ont- """"' -oc::: --...... . _ ............ __ _

.;;. 1-: es un axioma de E r.:+1 por lo que L.ambin es "Ceorema je :: . :::r:. c:i...lalquie!" :::2s:::, ~ F,.. es !..1~ tecre!'!'!2 d9 :: A -P._ lo es. Esto demuestra que E es completa.

Sea S* extensin cc:nsiste:;,~e SP. Entonces existe una valuacin a que asigna el valor V a

~cdo tecrema de S*.

Demostracin. Por el tecrema 10, existe una exL.ensin E de S la cual es consistente 7 completa. Consideremcs valuacin a definida, para cada letra proposicicna l

' .. ..... a

P,

a ( !? : es V s~ si 0 es un t-c,-,rom:::. do t:" ------~- -- - Podemos e::tender a al conj 1.J.nto de todas las f0rrr.11l:::s; empleamos el mismo smbolo a para dicha e.Ktensin.

::;'=!ltCstrawcs ahora que, ;;ara ,::_alquier frmula _-::.,_

a (1-~} es "'.t si ~ .. slc: si A es u1 !:e~reffia

Distinguimos tres casos ~Indu.:.:in sobr'2 el rnirner0 de ccnectivas de Al :

l. F_ es una letra proposi.:ional. L. A es de ia f onna -B. 3. ];_ es de la forrna B => c.

Cap. 2 LOGICA PROP. AXIO~~.'!'. Pr:-if. Jl.rsenic Ccrnej :: ?g. 32

., t

El ~rimer caso es cierta por definicir.. -+-o--,........,-.. ,... -1....--.J,..-:::: .. ~10 -;:::.:::

menos de n l. ,-. ... - Y"'+--.

-..o..~.L ............. .e .::... _.......,, ~ - -.. ..... .a...\... -L lt ll_:. -- :::::: .:;

En el caso 2, cenemos por la hip6cesis de induccci0n

a(B) es ~ si y slo si 6 es un teorema de ~-

Luego, si a(AJ es F entonces a(BJ es 7 de do~de E es un teorema de E. Como E es consistente, A !que es -B! ne es

--un ceorema de E. Por ocro lado , si a(Aj es ., enconces IP\ .~, es F de ~c~tje E '1,... '-' es rlo r. ....... _ ...... completa, A (es decir -B) es 11n teorema de E. ;:;n el caso 3 es neceso.rio consh:ierar J..as .Jos oosibilidades:

i. a (.L\.J es V .:.i. a( .. ~) es F. Consideramos la posibilijad .!.r el leccor ceoe cem:::st:rar la restante.

Supongamos entonces que a ~A) es V

En la seccin anterior demostramos aue tecr:effias :!e SP s:::I! tatclc;:os .. F~vra pc.::.e;;-ics afirmat:.ivament:.e a la pregunt:.a:

San tecremas tedas las taLltalcgias?

---- -~ .......... .....,..._ ' 4-:;.::J~-.L....A~Ji...

TEOREMJ._ 12. Si p._ es cualquier frmula de SP qi . .:t:= ~ea una tautologia, entonces A es un teorema de SP.

Demcstracin. Supongamos que J._ es una f6rr!1.ula de S.!? que no es un teorema. Podemos definir {Teorema ., una extensin consistente S*, de SP, con axioma adicional -;.,.. Por el teorema 11, e:.:iste una valuacir1 a po.ra la cual -A es verdadera de donde a (A) es F. Pero sto

Cap . 2 LOGICA PROP . _;x I ONi'.T . J J. ?rof . Arsenio Cornejo ? g . -

CAPITULO TERCERO

LOGICA DE CUANTIFICADORES

En el primer captulo afi.rmamos que la Lgica trata de caracterizar los razonamientos vlidos.

Tal objetivo requiere un lenguaje ms expresiva que el de la lgica proposicional.

En este capitulo presentarnos de manera informal dicho lenguaje con el propsito de facilitar su comprensin. En el siguiente captulo lo presentaremos de manera formal.

3.1 LIMITACIONES DEL LENGUAJE PROPOSICIONAL ~

La lgica proposicional tiene aplicaciones _interesantes. En particular nos ha permitido presentar, en un contexto elemental, los conceptos bsicos que son relevantes para un estudio formal de la lgica.

Pero si deseamos razonamientos, nos daremos lenguaje proposicional.

formalizar cuenta de

cierto tipo la insuficiencia

Consideremos, por ejemplo, el razonamiento siguiente: (1) El Sol es una estrella. (2) Todas las estrellas tienen brillo propio.

Por lo tanto,

(3) El Sol tiene brillo propio.

de del

Desde el punto de vista de la lgica proposicional, los tres enunciados son proposiciones simples. Por consiguiente, el lenguaje proposicional no nos permite expresar la "estructura interna" de dichos enunciados y mucho menos, el formalizar el razonamiento a fin de determinar su validez.

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 35

/

3.2 LOS ELEMENTOS BASICOS

3.2.1 PREDICADOS Y CONSTANTES

Consideremos .el enunciado

El Sol es una estrella.

Simbolicemos por la letra Q al predicado

" es una estrella".

Si empleamos la constante s para simbolizar "Sol", entonces dicho enunciado puede expresarse corno

Q ( s}

Por otro lado, el enunciado

El Sol tiene brillo propio

puede expresarse como B(s)

en donde B representa al predicado

"tiene brillo propio".

3.2.2 CUANTIFICADORES

Consideremos ahora el enunciado

Todas las estrellas tienen brillo prqpio.

Podernos parafrasearlo en la forma

Todo lo que sea estrella tiene brillo propio.

tambin: Para todo x, si x es una estrella

entonces x tiene brillo propio.

empleando el simbolo 'i (que se llama cuantificador universal) el enunciado se simboliza por Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 36

Vx (Q(x) => B(x)). Consideremos ahora al enunciado

Existen planetas que no tienen atmsfera.

Podemos parafrasearlo as: Existen cosas que son planetas y que no tienen atmsfera

Empleando la variable y tendriamos

Existe y tal que y es un planeta y y no tiene atmsfera.

Empleando el sirnbolo 3, enunciado ya formalizado es

cuantificador existencial,

3y ( p (y) /\ -,A (y) )

Otros ejemplos de formalizacin son los siguientes: l. Todos los planetas tienen atmsfera.

Vx(P(x) => A(x)) 2. Todos los nmeros pares son divisibles entre dos.

Vx(P{x) =>D(x)). 3. Algunos paralelogramos son rectngulos.

3x(P(x)AR(x)). 4. Ningn tringulo es un cuadriltero.

Vx(T(x) =>-,C(x)). 5. Algunos tringulos no son issceles.

3x (T (Y.) A ...,r (X) )..

3.2.3 RELACIONES

el

Los predicados se han introducido en nuestro lenguaje como interpretacin de propiedades que pueden o no compartir los elementos de un conjunto.

Pero tambin podernos referirnos a la "relacin" que puede haber entre dos o ms elementos del conjunto.

Por ejemplo, en el caso de nmeros enteros tenernos los enunciados:


l. Existen nmeros mayores que 5. 2. Todos los nmeros mayores que 5 son mayores que 2. 3. Para todo nmero entero , existe un nmero mayor que

l. 4. Existe un nmero que es mayor que cualqui~r otro

nmero.

Los enunciados presentados pueden expresarse empleando el smbolo M de relacin binaria; la interpretacin de M(x,y) es "x es mayor que y". Formalizando 1-4 tenernos:

l'. 3x(M(x, 5). 2'. Vx(M(x,5) => M(x,2)). 3. Vx(3y(M(y,x)). 4. 3x(Vy(M(x,y)).

3.3 INTERPRETACIONES, SIGNIFICADO

Y VERDADES LOGICAS.

Ya hemos visto algunos ejemplos de "traduccin" al lenguaje de cuantificadores. En tales ejem~lDs, ' lograrnos expresar ciertos enunciados en el lenguaje de cuantificadores; llamemos fz:mu1as a los enunciados ya formalizados.

Pero nos interesa "ir" en la direccin opuesta: si tenernos una frmula dada, cmo se le puede traducir?

Es obvio que, a fin de cuentas, nos interesan aquellas frmulas que significan "algo". Entonces, por qu debernos considerar frmulas antes de considerar lo que pueden significar? -

Precisamente, ste es uno de los aspectos.bsicos de la teora de lenguaje formales como lo es el que nos ocupa en este momento. Queremos describir de manera "sintctica". sin considerar la "semntica", es decir, el posible significado de las frmulas.

Desde dicho punto de vista, el siguiente paso es el describir explici tamente cmo se le asignar significado a las frmulas. La respuesca a esta pregunta nos lleva al concepto de interpretacin de un lenguaje.


En nuestro estudio tenemos, por un lado, un sistema formal en el que existe un mecanismo deductivo; por el otro lado, una interpretacin que nos permita, en particular, determinar qu fnnulas corresponden a las "verdades lgicas". Finalmente, queremos investigar la relacin que existe entre los teoremas de nuestro sistema y dichas "verdades lgicas".

Esto exige que interpretemos nuestro lenguaje.

3.4 INTEPRETACIONES

Podemos examinar la nocin de interpretacin en un caso particular.

Consideremos, por ejemplo, la frmula

Vx(-,(x=O) ==> 3yM(y, x))

en donde ..., (x=O) se interpreta como x no es igual a cero y M(y,x) se interpreta como y es mayor que x.

La interpretacin de la fnnula es

Para todo x, si x no es igual a cero, entonces existe un y mayor que h.

Para preguntarnos si es verdadera o falsa tenemos que saber de qu se habla. Por nuestra interpretacin es obvio que se est hablando de nmeros; pero todavia existe una indeterminacin. Se habla de TODOS los nmeros ENTEROS? Se habla de TODOS los nmeros naturales?

El conjunto de elementos de los que se habla se llama el dominio de la interpretacin.

Para determinar si una frmula es verdadera no es necesario fijar el dominio; en adicin se debe fijar:

1. Qu elementos particulares del dominio representan las constantes que ocurren en la frmula?

2. Qu propiedades 6 relaciones definidas en el dominio estn representadas por las letras de predicados relaciones que aparecen en la frmula?


En resumen, para decidir el valor de verdad de una frmula necesariamente se debe fijar el dominio y cules son los objetos que le corresponden a los smbolos de constante, predicados relaciones que ocurren en la frmula.

Regresemos ahora a la frmula

Vx(...,(x=O) => 3yM(y, x)) Si convenimos en que el dominio es el conjunto de los enteros, M(y,x) es "y es mayor que x" , "O" es el nmero cero, "=" es la igualdad usual, entonces la frmula es verdadera.

Pero la frmula resulta falsa si tornarnos como dominio el conjunto de los enteros menores que 5; veamos por qu resulta falsa.

Si x es 5, la interpretacin de

3yM(y, X) es falsa y la interpretacin de

...,(x=O)

es verdadera por lo que

...,(x=O) => 3yM(y, x) es falsa. Esto implica que la frmula

VK(...,(x=O) => 3yM(y, x)) es falsa para esta interpretacin.

Hemos examinado el caso de una f rrnula que es verdadera en una interpretacin pero que no es verdadera. en todas las interpretaciones.

Llamamos f6x:mulas lqicamente vlidas aquellas que son verdaderas en cualquier interpretacin.

Existe una relacin estrecha entre las tautologas de la lgica proposicional y las frmulas lgicamente vlidas de la lgica de cuantificadores. Gracias a dicha relacin podemos obtener frmulas lgicamente vlidas a partir de tautologas.

Cap. 3 CUANTIFIClillORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 40

Veamos una aplicacin de la tautologa

p => Q ,p V Q. Consideremos predicados P(x) y Q(x); afirmamos que

la frmula Vx (P(x) => Q(x)) Vx(.P(x) v Q(x))

es lgicamente vlida.

Para justificar nuestra afirmacin, consideremos una interpretacion arbitraria. Si

Vx(P(x) => Q(x)) es falsa entonces existe un elemento x en el dominio tal que

P(x) => Q(x) (*) es falsa. Por la tautologa mencionada, se tiene que

,P(x) v Q(x) (**) es falsa; luego

. Vx(-,P(x) v Q(x)). es falsa.

Por otro lado, si Vx{P(x) => Q(x))

es verdadera, entonces {*) es verdadera para cualquier x en el dominio; por la tautologia, lo mismo sucede con (**). Por lo tanto

Vx(-.P(x) v Q(x)) es verdadera.

Hemos demostrado que

Vx (P(x) => Q(x)) Vx(.P(x) v Q(x))


Observe que el razonamiento depende esencialmente de la tautologa proposicional mencionada.


3.5 NEGACION DE CUANTIFICADORES

Existe una relacin natural entre el enunciado

Todos lo~ nmeros son racionales y

Existen nmeros que no son racionales.

Puede afirmarse que el uno es la negacin del otro. Si los formalizamos obtenernos

Vx{Q(x)) y

3x ( -,Q (X) ) Af irrnamos que la frmula

-.Vx(Q(x)) 3x (-,Q(:;.:)) es lgicamente vlida.

En la seccin anterior hemos sugerido cmo pueden emplearse las tautologas para obtener frmulas vlidas.

Otro principio que podernos emplear con el mismo fin es el siguiente:

PRINCIPIO: Sea A una frmula de la lgica proposicional y sean P1 , P2, Pn las proposiciones simples que ocurren en ella. Entonces si sustituirnos cada proposicin por una frmula de la lgica de cuantificadores, entonces la frmula que resulta es "lgicamente vlida".

Por ejemplo, son lgicamente vlidas:

1. 'v'xP (x) =>3yQ (y) ) -,VxP (x) v 3yQ(y) ) Aqu emplearnos la tautologa P =>Q -,p v Q.

2. -,(VxP(x) v VxR(x)) -,VxP{x) "-,VxR(x). Aqu hemos aplicado la ley de De Margan -,(PvQ} ,p " -,Q.

3.6 RAZONAMIENTOS VALIDOS


Adaptamos ahora nuestro criterio de razonamiento vlido en el contexto de lenguajes de cuantificadores:

Criterio da Razonamiento V.lido: Un razonamiento con premisas r y conclusin C es un razonamiento vlido si en cualquier interpretacin de r y e en la que r es verdadera la frmula C tambin es verdadera.

Ejemplo. Veamos por qu el razonamiento con premisas Vx(P(x} => Q(x}), 3xP(x) y conclusin 3xQ(x) es vlido.

Consideremos cualquier interpretacin con dominio D en la que las premisas sean verdaderas.

Como Vx(P(x) => Q(x}} es verdadera, entonces P(x} => Q(x)

es verdadera para cualquier x en D.

Como 3xP(x) es verdadera, entonces existe d en D tal que P(d)

es verdadera; como P(d) => Q(d)

es verdadera entonces Q (d) es verdadera. Luego 3xQ (x) es verdadera en D. Esto concluye la demostracin.

Consideremos ahora el razonamiento que citamos al comienzo del captulo:

(1) El Sol es una estrella. (2} Todas las estrellas tienen brillo propio.

Por lo tanto,

(3} El Sol tiene brillo propio.

Las premisas son Q(s), Vx(Q{x) => B(x)), la conclusin es B(s). Este razonamiento es vlido. Veamos:

Sea D el dominio de una interpretacin en la que las premisas son verdaderas. Como Vx(Q(x) => B(x)) es verdadera,

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 4 3

entonces Q (x) => B (x) es verdadera para todo x en D; en particular

Q(s) => B(s) es verdadera. Como Q ( s) es verdadera se tiene que B ( s J es verdadera.

3. 7 REGLAS DE INFERENCIA

Podemos emplear reglas de inferencia para mostrar que un razonamiento es vlido.

Debemos observar que las reglas de inferencia de la lgica proposicional tambin pued~n ser empleadas. Esto lo aclaramos con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. El razonamiento con premisas -axP(x) /\ -,3xR(x) => 'VyQ(y), .'VyQ(y), --.3xP(x) y conclusin

3xR(x) es un razonamiento vlido.

Presentarnos la deduccin:

l. -,3xP (X} /\ -,3xR(x) => VyQ (y) 2. -,VyQ(y}

Premisa Premisa

3. -,(-,3xP(x} 4. 3xP(x) V 5. -,3xP {x)

/\ -,3xR (X) ) 3xR(xJ

Modus Tollens (1,2] De Morgan [3] Premisa

6. 3xR(x) Modus Toll. Ponens [4,SJ Para establecer la validez de otros razonamientos son

necesarias otras reglas de inferencia.

La descripcin de dichas reglas requiere el conocimiento de ciertas nociones; de sto nos ocuparnos en la prxima seccin.

3.7.1 VARIABLES LIBRES Y VARIABLES LIGADAS

Consideremos l a frmula

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 4 4

Vx(P(x,y) => Q(y)) En ella slo hay una ocurrencia de la variable x; se dice que dicha ocurrencia est ligada por el cuantificador universal.

Por otro lado, en la frmula

Vx(P(x,y) v Q(y) => 3xR(x,y)) la variable x ocurre dos veces; la primera ocurrencia de x (de izquierda a derecha) est ligada por un cuantificador universal. La segunda est ligada por un cuantificador existencial. Por ltimo, en dicha frmula, la variable y ocurre tres veces; ninguna de dichas ocurrencias est ligada por cuantificadores. Por tal razn se dice que y es libre en dicha frmula.

Existe la posibilidad de que entre las ocurrencias de una variable algunas sean libres y otras ligadas. Esto ocurre en la frmula

3x(VyP(x,y) =>VxQ(x)} =>3yR{x,y}

La primera ocurrencia est ligada por un cuantificador existencial y la segund~ por un cuantificador universal. Sin embargo, observe que la tercera ocurrencia de x es libre, es decir, no est ligada por ningn cuantificador.

En casos como el sealado, siempre es posible cambiar las ocurrencias ligadas por variables distintas sin que el "significado" de la frmula cambie. La ltina frmula, por ejemplo se interpreta como la siguiente 3z(VyP(z,y) => VwQ(w)) =>3yR(x,y)

3. 7.2 SUSTTTUCION DE TERMINOS

DEFINICION. Llamaremos trmino a cualquier smbolo. de constante o variable.

En las reglas de inferencia que presentaremos se requiere reemplazar ocurrencias libres de variables por trminos. Es importante que tal sustitucin no altere el "significado" de la frmula.

Consideremos, por ejemplo Cap. 3 CUANTIFICl\DORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 4 5

3y(x < y)

Con la interpretacin usual, en el dominio de los enteros, la frmula es verdadera si, por ejemplo, x es 4. Si reemplazamos x por y resulta

3y {y < yj;

la frmula es falsa en dicho dominio.

Observe que la sustitucin alter el "significado" porque la ocurrencia de y que result de la sustitucin qued ligada; ste es el tipo de sustituciones que deseamos evitar.

Por ello introducimos la siguiente nocin.

DEFINICION. Sea A una frmula que contiene ocurrencias libres de una variable x. Sea t un trmino. Diremos que t es libra para x en A si:

l. t es una constante.

2. t es una variable y al sus ti tur las ocurrencias 1.ibres de x por t en A, todas las ocurrencias .. de t que resultan de tal sustitucin son ocurrencias libres.~ '

Por ejemplo, en la frmula Vx(P(x ,y) =>Q(y)

cualquier constante o variable distinta de x es libre para y.

Emplearemos la siguiente notacin. Si A es cualquier frmula, x una variable, t un trmino, entonces el smbolo A~(t] representa la frmula que resulta al sustitur las ocurrencias libres de x por el ttmino t (si t es libre para x) ; por otro lado el smbolo es la misma frmula A si en dicha frmula no existen ocurrencias libres de x . .

As en el caso de que A sea la frmula

Vz (P(x, z ) => 3xR(x}) => VyQ(x,y), la frmula Ax[w] es

Vz (P{w,z) => 3xR(x)) => VyQ(w,y),

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. ~rsenio Cornejo Pg. 4 6

la f.rmula A: [w] es la misma fnnula A; observe que Ax [y] no est pennitida.

3. 7.3. REGLAS DE INTRODUCC/ON Y

EUMINACION DE CUANTIFICADORES

En primer lugar, presentamos cuantificadores universales.

I . Reqla de Generalizaci6n. (Gen) .

De A se infiere 'v'xA.

las reglas para

II. Raqla de Ejemplificacin Wliversal. (EU).

Si t es libre para x en A, de Vx..~ se infiere Ax[t].

Podemos aplicar el siguiente principio al aplicar las reglas:

Si una frmula B puede deducirse de un ~conjunto de frmulas J{ y Gen no se ha aplicado con respecto a r,rariables que ocurran libres en las frmulas en J{ , entonces el razonamiento con premisas J{ y conclusin B es un razonamiento vlido.

Apliquemos las reglas para verificar que el razonamiento con premisas

y conclusin

es vlido:

l. 2. 3. 4. 5. 6.

'v'x (H (x) Vx(M(x) H(x) =>

'v'x(H(x) => M{x)), 'v'x(M(x) => R{x))

Vx (H (x) => R(x))

=> M(x)) Premisa => R(x)) Premisa M (:-:} EU [ 1]

M(x) => R(x) EU (2] H(x) => R(x) Sil. Hip. Vx(H(x) => R(x)) Gen [ 5]

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo

[ 3, 4]

Pg. 4 7

~ ;

Consideramos ahora las reglas que permiten introducir y eliminar cuantificadores existenciales.

III. Regla Existencial (RE).

De Ax(t] se deduce 3xA. IV. Regla C.

De 3xA se deduce Ax[b], en donde bes una constante. Como aplicacin de las reglas, consideremos el

razonamiento con premisas

3xK(x}, Vx(K(x) => C(x))

y conclusin 3xC(x):

l. 3xK(x) 2. Vx(K(x) => C(X)) 3. K(a) 4. K(a} => C(a} 5. C(a) 6. 3xC (X)

Premisa. Premisa. Regla C [1]

EU (2) MP [ 3, 4"] RE [5]

Existen algunas restricciones en reglas; sen las siguientes:

la aplicacin de las

l. La regla Gen no puede aplicarse con respecto a variables libres que ocurran en frmulas que son consecuencia de la regla C.

2. La constante que se introduce por la regla C debe ser "nueva"; es decir que no debe haber ocurrido en frmulas anteriores.

3. En la conclusin no puede ocurrir las constantes que hayan sido introducidas por la regla C.

Consideremos un caso en donde se viola la primera restriccin:

l. Vx3yA(x,y} 2. 3yA(x,y} 3. A(x,b)

Premisa EU (1) Regla C [2)

Cap. 3 CU~..NTIFICADORES - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 48

4. Vx.A(x,b) Gen (3] (Aqu se ha violado la restriccin).

5. 3yVx(A(x,y) RE [4] El razonamiento en cuestin no es vlido como lo

mostramos a continuacin.

Consideremos el dominio de los nmeros enteros e interpretemos A(x, y} por "x < y". La interpretacin de la premisa es verdadera; pero la interpretacin de la conclusin es:

"Existe un nmero entero mayor que cualquier nmero entero";

Como la premisa es verdadera y la conclusin es falsa el razonamiento es invlido.

Cap. 3 CUANTIFICADORES - Prof . .Arsenio Cornejo Pg. 49

.,

CAPITULO CUARTO

LENGUAJES DE PRIMER ORDEN

En este capitulo iniciamos la presentacin de sistemas fonnales basados en los llamados lenguajes de primer orden.

Definiremos las expresiones "significativas" de dicho lenguaje, que llamaremos fnnulas, y fonnalizaremos la nocin de interpretacin de fnnulas.

En el prximo captulo presentaremos el "mecanismo deductivo".

4.1 SIMBOLOS DEL LENGUAJE

En primer lugar, un lenguaje de primer orden consta de SIMBOLOS LOGICOS; como tales aceptaremos los smbolos

-., (negacin) , V (cuantificador uni ver;,sl) => (implicaci,n)

Necesitamos tambin SIMBOLOS DE VARIABLES. Aceptamos los smbolos

X1, Xz, Xn1

para representar el conjunto infinito de variables en nuestro lenguaje.

Tambin emplearemos los smbolos de puntuacin usuales

(coma), ( (parntesis de abrir), ) (parntesis de cerrar). Adems de los tres tipos de simbolos mencionados se

requieren otros simbolos que denotan elementos particulares en una estructura, como el elemento identidad de un grupo. Estos son los SIMBOLOS DE CONSTANTES

La cantidad de constantes depende del lenguaje particular que se considere.

Cap. 4 LENG. DE PRIMER ORDEN - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 50

Por otro lado necesitamos SIMBOLOS DE PREDICADOS RELACIONES

P l pl pl p2 lt 21 3t , lt 2 2 P2 , P3

en donde el exponente indica el nmero de argumentos.

Finalmente se necesitan SIMBOLOS DE FUNCIONES

f l fl fl f2 f2 11 21 31 , 11 21

en donde el exponente indica el nmero de argumentos.

La cantidad de predicados 6 funciones depende del lenguaje particular.

Consideremos por ejemplo un lenguaje para expresar enunciados sobre nmeros naturales.

Entre los smbolos de tal lenguaje debe estar los smbolos lgicos, de puntuacin y de variables. En adicin, debe tener los smbolos

a1, que est por el o, P1 i, que est por =, f11 , que est por la funcin sucesor,

2 est por la operacin de adicin, f1 , que fz2' que est por la operacin de multiplicacin.

4.2 TIPOS DE EXPRESIONES

Recordemos que se l lama ezpresin de un lenguaje a cualquier sucesin finita de smbolos de dicho 1enguaje.

Naturalmente, nosotros estamos interesados en aquellas expresiones que admiten alguna interpretacin en el contexto adecuado. Pero, debemos recordar que tales expresiones deben especificarse en forma "sintctica", es decir, sin apelar al posible "significado" que ellas puedan tener.

En primer lugar, definimos los TERMINOS; son aquellas expresiones que sern "interpretadas" como los elementos de un conjunto dado. En segundo lugar, definimos las FORMOL.~; son las expresiones que corresponden a los enunciados del sistema.


DEFINICION (T.cninos) . l. Los simbolos de variables son trminos. 2. Los simbolos de constantes son trminos. 3. Si t1, ... tk son trminos, entonces f/ (t1, . tk)

tambin es un trmino.

Llamaremos FORMULAS ATCMJ:CAS a toda expresin del lenguaje que tenga la forma

en donde Pik es un smbolo de predicados de k argumentos y t 1 , tz, . . . tk son trminos.

DEFINICION (F6.r.mulas) . l. Todas las frmulas atmicas son frmulas. 2. Si A y B son frmulas entonces (-iA), (A=> B) tambin

son frmulas. 3. Si A es una frmula y x es cualquier variable,

entonces ((Vx)A) es una frmula.

Algunas de las nociones bsicas que presentaremos requieren de la nocin de ocurrencias libres ligadas de variables. Nos referimos a dicha nocin en~ ~el prximo prrafo.

Consideremos cualquier frmula que tenga la forma

( (Vx) A)

Si la variable x. ocurre en la subfrmula A diremos que tal ocurrencia est LIGADA por dicho cuantificador. Si, por el contrario, en una frmula dada, una ocurrencia de variable no est ligada por ningn cuantificador, diremos que tal ocurrencia es LIBRE.

Observe que la definicin permite que en una frmula existan ocurrencias libres y ocurrencias ligadas de la misma variable. Como veremos, es importante distinguir entre ambos tipos de ocurrencia.

En ocasiones deberemos sus ti tu ir alguna ocurrencia de variable, en una frmula dada, por otra variable o por un trmino. Tal sustitucin slo se admite si trmino es libre


para la variable que se est sustituyendo. Definimos esta nocin a continuacin.

DEFINICION. (Trmino libre para una variable en un frmula) . Sea t un trmino y x una variable que ocurre libre en A. Diremos que t es libre para. lC en A en cualquiera de los siguientes casos: .

l. t es una constante. 2. t es una variable y las ocurrencias de t que resultan

de la sustitucin son ocurrencias libres de t.

2.

3. t es de la forma f1k ( t11 . . . , tk) y las variables que ocurren en t1, ... ,tk satisfacen la condicin

El objetivo de la restriccin es el evitar que las sustituciones "cambien el sentido" de la frmula en la que se est sustituyendo.

4.3 INTERPRETACIONES Y VALUACIONES

DEFINICION (Interpretacin) Dado un lenguaje de primer orden, llamaremos intet:pretacin de dicho lenguaje a cualquier par (g, E) en donde E, el daninio de la interpretaqi6n, es un conjunto no vacio y g es una funcin que satisface:

. .

l. Si a es una constante, entonces g{a) es un elemento de E.

2. Si P1k es un sirnbolo de predicado de k argumentos, entonces g(Pik) es un subconjunto de Ek.

3. Si f/ es un simbolo de funcin de k argumentos, entonces g ( f 1 k) es una funcin de Ek en E.

Para fonnalizar la nocin de frmula vlida es necesario, asignarle valores a las variables. De otra manera, no podriarnos asignarle valores de verdad a -fpnulas como

\:/x(P/(x,y) l Si tomamos como dominio E al conjunto de los enteros mayores que 10 y, como interpretacin de P12 a la relacin usual ">", entonces dicha frmula no es ni verdadera ni falsa; si, por ejemplo, le asignarnos a la variable y el nmero 10 resulta verdadera, pero si le asignamos el nmero 20 entonces resulta falsa.


El ejemplo sugiere que existen frmulas cuyo valor de verdad depende de los valores que le asignemos a las variables que ocurren en dichas frmulas.

Por lo tanto, para poder asignar valores de verdad a toda frmula, necesitarnos asignarle valores a las variables del lenguaje. Por esta razn consideramos funciones a: V -> E que a toda variable le asignan elementos del dominio E. Cualquier funcin de este tipo, puede extenderse a una funcin

g : T -> E

que le asigna elementos de E a cada trmino del lenguaje: DEFINICION. Sea a: V -> E cualquier funcin. La valuacin inducida por a es la funcin a : T -> E tal que:

l. Para cualquier variable x, g (X) = a(x). 2. Para cualquier constante a, g(a) = g (a) . 3. Para cualquier trmino f1k(t1, ... , tk) /

k tkl ) = g (f/) (g{t1) / g(tk)) . g{fi (t1, . .. . , ... , Para simplificar la escritura emplearemos ~las letras

griegas a, B, ... (sin subrayar), para nombrar valuaciones. Para decidir si una frmula es verdadera en una

interpretacin, tendremos que apelar a la nocin de "satisfaccin por valuaciones". Precisaremos el sentido de la frase "la valuacin a satisface la frmula A"; posteriormente podremos definir el sentido de la frase "la frmula A es verdadera en la interpretacin I".

Presentamos un resultado bsico.

TEOREMA l. Sea (g, E} una interpretacin de un lenguaje dado y sea t un trmino de dicho lenguaje: Sean a, 8 valuaciones que asumen el mismo valor para todas las variables que ocurren en t. Entonces, ambas valuaciones le asignan al trmino t el mismo elemento del dominio E.

Demostracin. Por induccin sobre el nmero de smbolos de funciones en t.

Si t es una variable, la hiptesis implica que ambas valuaciones le asignan el mismo elemento. supongamos que el

Cap . 4 LENG. DE PRIMER ORDEN - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 54

.\

teorema es cierto si un trmino tiene n o menos ocurrencias de simbolos. Consideremos un trmino de la forma fi. k (t 1 , , tk); por la hiptesis de induccin

a(td = B (ti)

para i = 1, k. Luego

a(f/(t1, .. , tk)l = g(f/) (a(t1), .. ,a(tk)l = g{f1kl' (I:,(t1), . ,B{tk)} = B (fik(t1, ... , tk))

Dada una valuacin a, una variable x y un elemento e del dominio, podemos definir la valuacin axe por la expresin

(a/) (y) =

DEFINICION (Satisfaccin de interpretacin de un lenguaje, frmula:

a(y), si y no es x

e, si y es x

frmulas) Sea a una valuacin

(g' E) y F

una

una

1. Si F es una frmula atmica P1k{t1, , tk), a ~satisface a F si y slo si (a(t1), . , a(ttJJ es riri elemento de g(P1k). 2. Si Fes de la forma ~a, a satisface a ~a si y slo si a no satisface a B. 3. Si F es de la forma A=> 8, a satisface a F si y slo si a no satisface a A 6 a satisface a B. 4. Si F es de la forma Vx (B (x}), a satisface a F si y slo si, para cualquier e en E, axe satisface a B.

TEOREMA 2. Sea (g,E} una interpretacin de un lenguaje y A una frmula de dicho lenguaje. Sean a, B valuaciones que asumen el mismo valor en todas las variables que ocurren libres en F. Entonces a satisface a F si y slo si B satisface a F.

Demostracin: La demostracin es por induccin sobre el nmero de cuantificadores y conectivas lgicas que ocurren en la frmula. Si n = O, tenemos el caso:

I. Fes atmica. Fes de la forma P1k(t1, . , tk). Tenemos


a satisface a P/ ( til I tkl

(a ( td f I a ( t~J ) g (P/) Def. de satisfaccin (a (ti) f ... , a { tk) ) E g (P/) Teorema 1 B satisface a k tk) Def. de satisfaccin P1 (t1, ... , Suponemos ahora (hiptesis de induccin) que el teorema

es verdadero para toda frmula con n o menos conectivas y cuantificadores. Sea F una frmula con n+l conectivas y cuantificadores. Debemos considerar varios casos:

II. Fes de la forma 1B.

Tenemos

a satisface a 18 a no satisface a B B no satisface a B B satisface a 18

III. F es de la forma B => C.

Tenemos

a satisface a B => e a no satisface a B 6 a satisface

B no satisface a B 6 f. satisface

B satisface a B => e

IV. F es de la forma VxB

Def. de satisfaccin Hiptesis de Induccin Def. de satisfaccin

a e Def. de Satisfaccin

a e Hiptesis de Induccin

Def. de satisfaccin

Para todo e en el dominio de la interpretacin, consideremos ax~ y Bxei las variables libres en B son aquel~as libres en VxB y posiblemente x; por la hiptesis de induccin sobre a y B y por las definiciones de ax.e y .Bxe, podemos afirmar que

alte satisface a B si y slo si Bxe satisface a B (*}.

Tenemos, por lo tanto,


CI satisface a VxB Para todo e en E, a/ satisface a B Def. de satisfaccin Para todo e en E, Bxe satisface a B Hiptesis ( *) e satisface a \f xB Def. de satisfaccin

Esto concluye la demostracin.

DEFINICION (Frmulas cer_radas) Diremos que una frmula es cerrada si no contiene ocurrencias libres de variables.

Una consecuencia importante del Teorema 2 es la siguiente.

TEOREMA. 3. Si A es una frmula cerrada entonces toda valuacin la satisface ninguna valuacin la satisface.

La importancia del teorema 3 es la siguiente. El valor de verdad de una frmula cerrada, con respecto a una interpretacin dada, no depende de la valuacin particular que consideremos. Slo basta examinarla con respecto a una valuacin. Si resulta verdadera para dicha _valuacin, entonces lo es para todas. Por el contrario, si resulta falsa para dicha valuacin entonces es falsa para todas.

DEFINICION. Dada una frmula A y una interpretacin I, diremos que A es verdadera en I si toda valuacin CI satisface a la frmula A.

Si considerarnos frmulas corno

llegaremos a la conclusin de que existen frmulas que son verdaderas para una interpretacin pero fal.sas para otras. Nos interesa destacar aquellas frmulas que son verdaderas siempre.

DEFINICION Diremos que una frmula es lgicamente vlida si es verdadera en cualquier interpretacin.

La lgica proposicional puede emplearse para obtener frmulas lgicamente vlidas.

Si tornamos cualquier frmula A del lenguaje proposicional y sustiturnos las letras proposicionales por

Cap. 4 LENG. DE PRIMER ORDEN - Prof. -1-\rsenio Cornejo Pg. 57

frmulas de un lenguaje de primer orden (reemplazando la misma letra por la misma frmula en todas partes), obtenernos una frmula A*. En el caso de que A sea una . tautologa, diremos tambin que A es una instancia tautolgica del lenguaje de primer orden.

Tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA 4. Toda instancia tautolgica es una frmula lgicamente vlida.

Demostracin. Sea A* una instancia tautolgica de una frmula proposicional A. Sean P1, , Pk las letras proposicionales que ocurren en A; sean Fi, ,Fk las frmulas que se sustituyen, respectivamente, para obtener A*. Sea a cualquier valuacin. Definimos ap por

ap(Pd = { T,

F, s1 a no satisface a P

si a satisface a P

~ Demostraremos que a satisface a A* si y slo si ap(A) =

T. Como A es una tautologa y a es arbitraria, podremos inferir que A es lgicamente vlida.

Si A consiste de una letra proposicional P1, la equivalencia es verdadera.

Supongamos ahora que es cierta si A tiene menos de n conectivas.

Si A es de la for.ma -.B entonces A* es -.B*. Por la hiptesis de induccin, ap(B) = T si y sl ~i a satisface a B*. Luego, ap(B) ~ F si y slo si a no satisface a B*. Por la definicin de satisfaccin para -.B, tenemos que ap(A) = F si y slo si a satisface a A*.

Si A es de la forma B => e entonces A* es de la forma B* => C*. En este caso son equivalentes las siguientes afirmaciones:

l. ap{A} T 2. ap (e) = T Clp ( B) = F


' \ !"

3. a satisface a C* 6 a no satisface a B. 4. a satisface a B* => C*. 5. a satisface a A.

Esto concluye la demostracin.

Los teoremas7 y 8 se emplearn en el prximo capitulo. Se demostracin requiere de ciertos resultados bsicos que enunciamos.

Emplearemos cierta notacin para trminos y valuaciones.

En primer lugar, si u, t son trminos, x variable, emplearemos el simbolo Ux[t] para denotar al que resulta al sustitur en u las ocurrencias de x trmino t; en el caso de que x no ocurra en u, el Ux[t] es u.

es una trmino por el

simbo lo

Por otro lado, si a es una valuacin, y t es un trmino, emplearemos el smbolo axt para la valuacin

{ a(y ), si y no es x . Ux t (y)

a(t), SI y es X

TEOREMA 5. Sean t, u trminos cualesquiera, x una variable. Entonces a(ux(t]) = axt(u). TEOREMA 6. . Sea A una frmula, t un trmino libre para x en A. Si a es cualquier valuacin

a satisface a A si y slo si axt satisface a Ax(t] La demostracin del teorema 5 es similar a la del

teorema l; la demostracin del teorema 6 es similar a la ctel teorema 2.

En los prximos teoremas se afirma que cierto tipo de frmulas son lgicamente vlidas.

TEOREMA 7. Sea A (x) una frmula y t un trmino libre para x en A(x ). Sea A(t) la frmula que se obtiene


reemplazando en A todas las ocurrencias libres de x por el tnnino t. Entonces la fnnula

Vxll.(x) => A{t) es lgicamente vlida.

TEOREMA 8. Sean A y B f.rmulas tales que A no contiene ocurrencias libres de x. Entonces la f.rmula

Vx{A => B) => (A => VxB)



CAPITULO QUINTO

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

En el capitulo dos presentamos un sistema formal para la lgica proposicional.

En este capitulo nos ocupamos de sistemas formales cuyo lenguaje subyacente es de primer orden.

5.1 .AXIOMAS Y REGLAS DE INFERENCIA

Los esquemas de AXIOMAS son los siguientes.

Sean A, B y C frmulas del lenguaje L. Los siguientes son axiomas:

Al (A => ( B =>A) ) . A2. (A => (B =>C)) => ( (A=>B) => (A=>C))

A3. (-,A=> -iB) => (B =>A)

A4. (VxA(x) => ~[t]), si tes libre para x en A.

A5. Vx(A =>B) => (A =>VxB), si A no conti~ne ocurrencias libres de x.

. .

Observe que, como en el caso de la lgica proposicional, lo que estamos asumiendo son esquemas de axiomas.

Las REGLAS DE INFERENCIA son:

(1) Modus Ponens (MP). De A y A => B se infiere A.

(2) Generalizacin (Gen). De A se infiere VxA.

Cap. 5 SIST. DE PRIMER ORDEN - Prof. ~..rsenio Cornejo Pg. 61

,;

Dado un lenguaje L de primer orden, empleamos el smbolo KL para el sistema formal con lenguaje L cuyos axiomas y reglas son los presentados. Empleamos la letra K para referirnos a dicho sistema si no es necesario mencionar explcitamente al lenguaje.

5.2 DEMOSTRACIONES Y TEOREMAS

Las definiciones de teorema y demostracin son similares a las del capitulo 2.

El siguiente es similar al teorema 4 del capitulo 2. Puede demostrarse por induccin sobre la longitud de la demostracin.

TEOREMA l. Si A es un teorema de K, entonces A es lgicamente vlida.

En este capitulo nos proponemos demostrar el recproco del teorema l.

En este momento slo podemos establecer el reciproco para cierto tipo de frmulas lgicamente vlidas; las llamadas instancias tautolqicas.

Observe que nuestros tres primeros axiomas son similares a los de la lgica proposicional, parece natural esperar que toda frmula de L que "tenga la forma" de una tautologia de la lgica proposicional, debe ser un teorema de K. Recuerde que llamamos instancia tautolqica a ese tipo de frmulas.

TEOREMA 2. Toda instancia tautolgica es un teorema. '

Una aplicacin inmediata del teorema 2 es la siguiente.

En embargo, anterior

nuestro podemos

lenguaje definir

no admi tirqos. el 3xA por -,Vx-iA.

3x.A ....., Vx.A

smbolo 3. Si Por el teorema

es un teorema puesto que es una instancia tautolgica. ( P => Pes una tautologia.)

Cap. 5 SIST. DE PRIMER ORDEN - Prof. Arsenio Cornejo Pg. 62

5.3 DEDUCCION

La definicin de deduccin es s

1993 - arsenio cornejo jordán

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