en el espacio. Y puesto que estas aspas tienen la movilidad pro­pia de las agrupaciones de barras atravesadas por un pasador,los conjuntos formados con ellas tendrán la misma movilidadsiempre que se garantice la compatibilidad geométrica del movi­miento de unas con respecto a las otras.

Esta movilidad las hace inservibles como estructuras en eseestado puesto que actuarán como mecanismos cambiando de for­ma ante la actuación de cargas exteriores o peso propio. Peropara obtener rigidez pueden inmovilizarse en posiciones determi­nadas, por ejemplo, fijando la distancia entre dos nudos conti­guos o alejados no unidos por barras comunes. Se pueden fijarsimultáneamene varias parejas de nudos hasta conseguir rigidi­zar el conjunto. Los elementos rigidizadores pueden ser barrasque actúan solo cuando un motor las acciona o un dispositivomecánico las liga al conjunto.

Para comprender fácilmente la generación de un sistemaplegable de barras imaginemos un prisma triangular regular enque sus lados y sus vértices son elementos ficticios que nos ayu­dan a definir una estructura constituida por barras que unen losvértices opuestos de cada una de las caras rectangulares. (Fig.1). Obtendremos así un conjunto de tres aspas planas dispuestasespacialmente y formadas por dos barras cada una cruzándoseen el centro de los rectángulos. Los vértices del prisma serán lasuniones entre las distintas aspas.

Si se efectúa una presión sobre una base de este prismatriangular contra la otra, las aspas tenderán a abrirse de modoque las diagonales de las caras rectangulares tengan la mismalongitud, la de las barras que forman las aspas; pero estos rec­tángulos cambiarán de proporción haciéndose más anchos y másbajos (Fig. 2). De esta forma obtenemos un prisma triangular re­gular diferente al anterior y caracterizado por una menor altura yunas bases triangulares de mayor dimensión. Si seguimos cam-

INTRODUCCION A LAGEOMETRIA DE LASESTRUCTURAS ESPACIALESDESPLEGABLES DE BARRAS

Por FELlX ESCRIG. DR. ARQUITECTO"Y JUAN B. PEREZ VALCARCEL DR. ARQUITECTO"""Jefe del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.

de Sevilla""Jefe del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.de La Coruña

Las estructuras espaciales de barras han sido enormementeutilizadas en distintos campos de la tecnologia desde principiosde siglo. Su primer uso fue en técnicas aeroespaciales para obte­ner estructuras ligeras y fue a partir de 1930 cuando comenzó suutilización en estructuras de edificación, sobre todo para cubier­tas de grandes luces. La complejidad de su cálculo las confinó enprincipio a diseños experimentales y solo con el advenimiento delcomputador electrónico se han convertido en tipología habitualde uso en el diseño. Las cubiertas planas de barras metálicas convarias capas de ellas y las cúpulas con una o más capas debarras, son bien conocidas y numerosas investigaciones hanaportado soluciones particulares en la configuración de las ba­rras y soluciones de nudos para definir unas estructuras con ca­racteristicas bien precisas: MODULACION, RIGIDEZ y FORMA DE­FINITIVA.

La modulación hace referencia al establecimiento de un re­ducido número de elementos que genera el conjunto por acumu­lación de ellos. La rigidez se refiere a la estabilidad geométricaque hace a la estructura capaz de resistir su propio peso y lascargas aplicadas sin otras deformaciones que las elásticas Y laforma definitiva implica la definición formal y la constancia de lasdimensiones que solo podrá variarse desmontando los módulos oelementos y emplazándolos con otra configuración. Esas estruc­turas reciben el nombre de «Espaciales de barras con nudos arti­culados» yen ellas todas las barras empiezan y terminan en unaarticulación y no admiten nudos intermedios.

No se han utilizado hasta el momento de una forma prácticaestructuras que permitan formas cambiantes o plegables y des­plegables. Y es sobre ellas que queremos hacer algunas conside­raciones y sistematizar muchas de sus posibilidades.

Las estructuras espaciales que proponemos tienen una fun­ción resistente y por tanto serán rígidas y con forma geométricadefinida. Pero ésta podrá cambiarse mediante el accionamientode un dispositivo mecánico que, actuando localmente, tenga re­percusiones en todo el conjunto.

Estas estructuras están formadas por barras que empiezan yterminan en una articulación pero que además llevan nudos inter­medios que no impiden la continuidad de las piezas y tienen co­mo misión agrupar las distintas barras que pasan por estos nu­dos intermedios, permitiéndoles unas con respecto a otras sinque puedan separarse.

El ejemplo más simple y conocido es el aspa; dos barras conun pasador intermedio que las une y pueden girar una con res­pecto a otra alineándose o poniéndose perpendicularmente. Exís­ten también otras posibilidades tales como aspas espaciales conmás de dos barras pasando por la articulación y no contenidas enun plano o aspas complejas en que algunas barras pertenezcana la vez a más de una agrupación y por tanto con más de unaarticulación intermedia.

Las estructuras que proponemos se obtienen a partir deagrupaciones midulares de aspas espaciales simples o comple­jas que se añaden sucesivamente para formar una malla grande

48

Fig I Fig 2

Fig 4

Fig 3

Fig 5

primiendo, la cara superior del prisma Ilega,rá a coincidir con lainferior y el lado del triángulo será igual a la longitud de lasbarras mientras la altura será nula.

Si en lugar de acercar una base hacia la otra se separanentre si, las bases se reducen a cambio de ganar altura el prisma(Fig. 3). El limite será aquel en que el prisma se eleve hasta unalongitud igual a la de las barras y las bases se hagan mínimas,agrupándose en seis barras en forma de haz.

Colocando encadenadamente muchos prismas de estas ca­racterísticas (Fig. 4) e iguales entre sí y en los que las barras queconfluyen en cada vértice se unen con articulaciones espaciales,al aproximar las dos bases de un prisma se está obligando a quelo hagan todas las restantes, obteniéndose por tanto una estruc­tura grande con capacidad para cambiar de forma (Fig. 5).

El sistema modular generado por prismas triangulares regu­lares está determinado por barras de igual longitud y con unaarticulación en su punto medio. Por su capacidad para llenar elespacio permite diseñar estructuras longitudinales, planas o vo­lumétricas.

Si en lugar de un prisma triangular, escogemos uno cuadra­do, por el mismo procedimiento, podremos plantear una estructu­ra desplegable (Fig. 6) capaz de encadenarse a otras similarespara dar un conjunto como el de la Fig. 7 Y que, como el anterior,puede crecer longitudinal, superficial o volumétricamente (Fig. 8Y 9).

En el caso de prismas cuadrangulares hay otra forma de unirvértices opuestos con barras de Igual longitud y que permite tam­bién crear estructuras modulares desp legables (Flg. 10). De estemodo puede ensamblarse un nuevo conjunto con barras que secruzan espacialmente cuatro a cuatro (Fig. 11).

Un tipo de módulo similar sólo podría ser posible en un pris-

En un caso general con varios niveles (Fig. 28) las longitudesde las barras que convergen en vértices opuestos (A por ejemplo)deben cumplir la misma condición en cada uno de los nivelespara que sea desplegable (Fig. 29). Es decir:

1,+1',= k..,+ k'",

k',+l',= k«,+I ..,

ma triangular si partiéramos de un antiprisma como el de la Fig.12 que también es capaz de llenar el espacio y por tanto de gene­rar grandes estructuras (Fig. 13).

Realmente este proceso de generación sugiere que podríanutilizarse otros muchos tipos de módulos prismáticos regularescapaces de llenar el espacio por sí solos o con la colaboración deotros. Así, por ejemplo, en las Fig. 14 Y 16 se muestran dos módu­los pentagonales resueltos ambos con barras de igual longitud yarticuladas en su punto medio y en las Fig. 16 Y 17 dos móduloshexagonales también con barras de iguales características aun­que no todos ellos son capaces de encadenarse hasta llenar es­pacio. Pero con ciertas restricciones podrían ser útiles.

En el caso de prismas poligonales superiores al triángulo esposible encontrar disposiciones más complejas con barras deigual lontitud y más de una articulación intermedia y que tambiénpueden utilizarse para modular el espacio (figs. 18, 19, 20 Y 21).

Atendiendo a sus posibilidades de encadenamiento y a lacompatibilidad entre movimientos de barras de distinta longitudpueden construirse conjuntos de elementos similares o diferen­tes.

Todo el planeamiento anterior es posible hacerlo tambiéncon módulos prismáticos irregulares o con otras formas poliédri­cas. Si partimos de prismas oblicuos (Fig. 22) obtendremos es­tructuras también oblicuas (Fig. 23). Si partimos de estructurastroncopiramidales (Fig. 24) obtendremos estructuras que se cur-van en el espacio (Fig. 25). .

En todos estos casos las barras pueden ser de longitudesiguales o diferentes y las articulaciones intermedias pueden serúnicas o múltiples y centradas o excéntricas. Las posibilidadespara crear estructuras diferentes son muchas.

Las limitaciones se refieren únicamente al establecimientode las condiciones de compatibilidad entre la geometría de cadauno de los nudos conectados. En un caso general, con un solonivel (Fig. 26), para que sea posible el plegado y desplegado (Fig.27) las longitudes de las barras que convergen en vértices opues­tos deben cumplir la relación:

y lo mismo en todos los conjuntos de barras que pasen enotras direcciones del espacio por el punto A. Todas estas condi-

Fig 9Fig 8

Fig 6

49

EL CALCULO MATRICIAL DE LAS ESTRUCTURAS

DESPLEGABLES ESPACIALES

Como todas estas estructuras para su uso arquitectónico de­berán acompañarse de una cubierta trabajando en tracción, en suposición desplegada, el arriostramiento está garantizado. Y cuan­do ello no sea así habrá que tomar las disposiciones necesarias.

La formulación matricial de las estructuras desplegables pre­senta ciertos problemas derivados del hecho de que sus piezasconstituyentes son barras articuladas en sus extremos que tienenun apoyo central sobre otra pieza. Esto hace que los nudos cen­trales deban considerarse como articulados si estudiamos la inte­racción de una barra con la otra y empotrados si consideramosla barra como continua. Ninguno de los programas de ordenadorhabituales puede resolver este problema.

Sin embargo, es posible plantear unas ecuaciones matricia­les que expresen el equilibrio de esta barra y en consecuenciaformular un nuevo programa de ordenador capaz de calcular estetipo de estructuras. De esto tratará este estudio.

Una barra caracteristica de estas estructuras se puede consi­derar articulada en sus extremos y apoyada en un punto interior.La reacción exterior debida a la barra que se articula sobre ellapuede descomponerse en tres fuerzas X, Y, Z. De ellas la fuerzaX, actuante según el eje de la pieza, modificará los valores de losaxiles en los dos tramos de la barra y las fuerzas transversalesY, Z provocarán flexiones sobre la barra. El equilibrio total de labarra será (figura 2).

Fig 1I

Fig 13

Fig 10ciones se establecerán también en los restantes puntos yestable­ceremos el sistema global de condiciones que debe cumplir elconjunto para que sea desplegable.

En cuanto a la rigidez de estas estructuras desplegables yase ha observado que son formalmente inestables y que puedentomar distintas configuraciones geométricas. La cual facilita pre­cisamente el proceso de plegado y expansión. Para fijar su formaen posiciones determinadas es necesario introducir elementosque mantengan las dimensiones requeridas y ello se conseguirámediante alguno de los siguientes procedimientos:

a) Introducción de un elemento que defina la separación dedos nudos opuestos (Fig. 30). Este elemento puede ser una barra,un cable, un tornillo o un gato hidráulico. Si se situan elementosde este tipo en varios puntos de la estructura, la rigidez aumenta.

b) Introducción de un elemento que una puntos alejados. Eneste caso una estructura como la representada en la Fig. 31abierta, por peso propio, se estabilizará cuando el elemento adi­cional quede tensado.

e) Estabilización por anclaje de los apoyos a puntos fijos delexterior del sistema (Fig. 32).

d) Utilización de una cubierta textil o plástica que estabiliceel conjunto abierto, al tensarse. Esta cubierta puede situarseuniendo puntos superiores, inferiores o por ambas capas a la vez(Fig.33).

e) Diseño de nudos que permitan un giro limitado de lasbarras que concurren en ellos (Fig. 34).

f) Sistemas mixtos de varias de las posibilidades anteriores.Con estas soluciones y algunas otras, podemos conseguir

que las cerchas desplegables tomen una configuración estable.Sin embargo, habrá que estudiar otro tipo de rigidización lateral­mente puesto que sólo si forman recuadros triangulados (Fig. 1 a5) podrá evitarse la deformación como mecanismo.

En un caso como el de la Fig. 35, representación en plantadel tipo reflejado en la Fig. 7, con la distancia entre nudos supe­riores e inferiores fija, pueden obtenerse configuraciones comolas de la Fig. 36, 37 ó 38 en las que falta estabilidad angular. Estaestabilidad se conseguirá en la posición desplegada con elarriostramlento de algunos recuadros (Fig. 39 Y40) que habrá queelegir correctamente.

• En general la estructura estará geométricamente arriostradasi rigidizamos dos filas perpendiculares de recuadros, aunque aefectos resistentes haya que considerar condicionantes adiciona­les.

En un caso como el de la Fig. 42, representación en plantadel tipo reflejado en la Fig. 10, la única deformación posible enplanta, manteniendo las longitudes proyectadas sobre el planohorizontal de las barras, son las representadas en las Figs. 43 y44. Con arriostrar un solo recuadro toda la estructura queda tam­bién arriostrada.

En un caso como el de la Fig. 13 existen tres grados delibertad que corresponden a las deformaciones expresadas enlas Fig. 45 a 48.

JO

Fig 14

FIg 18

Fig 15

Fig 19

Fiq 16

Fig 20

Fig 17

Fig"21

z

(1)

y '

51

Es decir, que los cuatro esfuerzos N, N, P, Y P, definen total­mente el equilibrio de la barra.

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES

Fig 22

Fig 24 Fig 25

y puesto en forma matricial

E igualmente

3El,L

P,= --­L,' L,'

w (1)

P,. L,'. L,'

A efectos de las fuerzas transversales en el nudo central,suponemos la barra articulada en sus extremos y sometido a unacarga trasversal sobre dicho nudo. En este caso

A efectos de esfuerzos axiles la respuesta de la barra serásimilar a la de una barra de una estructura de nudos articulados.En consecuencia, llamando u, al alargamiento del primer tramode la barra y u,al del segundo.

eje x.-Ileva la dirección de labarra.eje y.---eje horizontal perpen­dicular al eje x.eje z.-eje perpendicular alos ejes x e y.

E~ O O O u,N,L,

E~O ON, O u,

L,

O O3El,L

O vP,

L,' L,'

3EI,L wP, O O O

L,' L,'

MATRIZ DE COMPATIBILIDAD

Para definirla vamos en principio a definir una orientación delos ejes locales

(1)u,

E~

L,

.v

N=,

3.L

L,'.L,'

3.E.I,.L

E.l,

u,

P,= ----

v=

L,

E~

N,=

En consecuencia

52

Fig 32

Fig 33

Fig 34

Fig 30

e

y las relaciones que existen entre ellos serán

eje x oo ' (cos ex, cos ~. cos 1)

eje y ... (- cos ~. cos ex, O)

sen 1 sen 'Y

eje z oo . ( - cos ex cos 1

sen 1

cos ~ cos 1 • sen 1)

sen 1

Poniendo los desplazamientos de la barra en función de losdesplazamientos de los nudos.

y u,= -x, cos ex, - y, cos ~, - z, cos 1, + x, cos ex.,'+ y, cos ~ , + lo cos 1,

u,= -X2 COS ex, - y, cos ~, - lo cos 1, + x, cos ex,

+ y, cos ~ , + lo cos 1,

y para los desplazamientos trasversales

3

T- - ,V I v231

I 1~

53

,J­IIII

~

2

VI :&>--------<>-----.........

Este crlterlo es válido salvo para barras verticales en cuyocaso los ejes y z son ambos horizontales. Para resolver la ambi­güedad se 'toma como eje z al eje horizontal que corta al ejevertical z' y como eje y al perpendicular a los otros dos ejes.

Los cosenos directores de los tres ejes serán:

eje x oo. (cos ex, cos ~, cos 1,)eje y oo. (cos a. cos ~, cos ex,)eje z Oo. (cos ex, cos ~, cos iXa)

Fig 40

Fig 37Fig 36Fig 35

L, V, L,V,V= --- + V2-

L L

+l2 COS Y2- ----L

+X2cos (12+ Y, cos p,

+ X2COS IX,+ Y, cos p,

L

L, l, COS Y2

L

L,z,cos Y2

L

L,Z,cos y,

L

L,Y, COS P2

L

L2Y,cos ~2

L

L2Y,cos p,

L,X, cos ex,

L2X,cos ex,

L

L,X,cos ex,

L

V=-

w=-

L,X, cos IX,

+l,cosy,L

L,Y, cos p,

L

L, l, cos y,

L

Que puesto en forma matricial

u, -cos p, cos ~,

x,

-cos (1, -cos y, COS (1, cos y, O O Oy,

O -cos ~,

z,

u, O O -cos (1, -cos y, COS (1, COS ~, cos y,x,

L, cos ex, L, cos p, L, cos y,L,cos ex, L, cos p, L, cos y, y,

vcosa, cos P, cos y, Z,

L L LL L L

L, cos IX, L, cos P, L, cos y,x,

L, COS IX, L, cosfí, L, cos y,

w L L L cos IX, cos ~, cos y,L L L

y,

Z,

54

MATRIZ DE RIGIDEZ ENCOORDENADAS GLOBALES

Planteando las ecuaciones anteriores en coordenadas globa-les

Ecuación de rigidez

Ecuación de compatibilidad

Ecuación de equilibrio

En consecuencia

P = K . Z.

Z = A . X

L = A'. P

L = A' . K . A . X = S. X

por tanto la matriz de rigidez en coordenadas globales será

a+m.k, b+n.k, c+o.k, -a-m.k. -b--n.k. --e--o~k. I m.k, n.k, o.k,

d+p.k, e+q.k, -d-p.k. ~.k. I p.k, q.k,

:r. kl~ -f-r.k,L

r.k,

a+g+m b+h+n c+i+o --g-m.k. -h-n.k. -i--o.k.

I Id+j+p e+k+q -j-p.k. -k~.k.

If+l+r

I-I-r.k.

I I g+m.k, h+n.k, i+o.k,

I I j+p.k, k+q.k,

I I I+r.k,

siendo 3EI,L 3EI, L

L' L'm= cos' el, + cos' ex,,

k,=,

L,' L,' L,' Lo'k=,L' L'

L, L, L,.L,k.=- k.=- k= 3EI,L 3EI,Ls

L L L n= cos el, cos ~. + cos ex, cos ~.

y los coeficientes seránL,',L,' L,' Lo'

E~ E~

a= cos' Ot'., g= cos- Ot'.,3EI,L 3 EI,LL, L,

0= cos Ot'., cos Y. +L,' Lo'

cos IX, cos Y.E~ E~ L,' L,'

b= cos 0:, COS ~, h= cos 0:, COS ~,L, L,

E~ E~ 3EI,L 3EI,Lc = -L- cos 0:, COS y, i= cos 0:, COS y, p= cos' ~, + cos' ~., L, L,' Lo' L,' Lo'

E~ E~ ,d= -- cos' ~ j= , cos' ~,

L ' L, 3EI,L 3EI,L,,. , cos ~, cos y, + cos ~. cos y,

E~ El!. q=.L,~ Lo' . L,' Lo'

e= - cos ~, cos y, k= cos ~, ces y,L, L,

E~ E~3EI,L 3EI,L

f= L cos' y, 1= - cos'y r= cos' y, + coso YaL ' L,' Lo' L,' Lo'1 ,

55

x, = (N, - N,) cos 0:, + P, cos 0:, + P, COS 0:,

CALCULO DE ESFUERZOSHemos visto en las ecuaciones (2) y (3) las expresiones de

los desplazam ientos en coordenadas loca les. En función de estosdesplazamientos, que se calcularán al resolver el sistema deecuaciones L= S.X podremos calcu lar a partir de (1) los esfuer­zos en las barras

E.A 3EI,LN= u, P = V, ,

L, L,' L,'

E.A 3.E.I,.LN=--- u, P= .W, L, a

L,' .L,'

x, = - N, cos 0:,-

y,= - N, cos ~,-

z,=- N, cos y, -

P, L, P, L,cos 0:,-

L L

P, L, P, L,cos ~,-

L L

P, L, P, L,

cos y,-

L L

cos y;

cos +,

cos y,

Generalmente es de mayor interés calcular los esfuerzoscortantes y los momentos f1ectores, que las prop ias fuerzas tras­versales .

Esfuezos cortantes

y,= (N, - N,) cos ~ \ + P, cos ~, + P, cos ~,

z,= (N, - N,) cos y, + P, cos y, + P, cos y,

y,= N, cos ~,- P, L, cos ~,- P, L, cos ~,

z,= N, cos y, - P, L, cos y, - P, L, cos y,

x,= + N, cos 0:, - P, L, cos IX, - P, L, cos 0:,

L

L

L

L

L

L

Comprobando que las fuerzas totales en cada nudo, conside­rando la fuerza exterior y las barras que concurren en él, est ánen equ ilibrio, podremos comprobar la corrección de los cálculosefectuados.L

P, L,

P, L,V,,= ---

L

V" =

P, L,

V" =

P, L,

L

L

V"=

Momentos flectores

z

COMPROBACION DE RESULTADOS

P, L, L,

M=,L

X

P, L, L,

M=aL

CONDICIONES DE SIMETRIA

En general estas estructuras presentan un número re lativa­mente importante de puntos y un ancho de banda consi derablepor las dificultades de su numeración. En consecuencia es impor­tante tratar de reducir el número de elementos de las mismas,por aplicación de cond iciones de simetría cuando ello sea pos l-ble . .

En muchos casos la estructura tiene una simetria respecto aplanos verticales que pasan por el eje z, que suponemos contienea los puntos fijos. En estas condiciones es preciso plantear lacondic ión de que los desplazamientos se produzcan según unplano vertical que forma un cierto ángulo con los ejes global~s.

Una vez resuelto el cálculo es preciso comprobar que todoslos nudos están en equilibrio. Por tanto es prec iso ca lcular lasfuerzas que actúan en cada nudo en coordenadas globales.

Hemos visto que el equilibrio de cada barra era

z '

y

y en consecuencia las fuerzas que act úan en cada nudo trasproyectarlas sobre los ejes globales serán

"

..

x'

La cond ición será que la componente del desplazamiento,ortogonal al plano de simetría, sea nula

OX sen o: - oy cos Cl. = O

oy = ox + yo:

Al imponer esta cond ición la matriz de rigidez en Coordena­das globales que, referida a estos desplazamientos, t iene la for­ma

56

P. s, s,

P, s,, s"

se transforma en

s'.S '21

oO

O

O

P. + p,.tg o: Si,+ Si" tgo: ++ (s, +2tg o: S ¡¡) tg o:

- s" tgo:, S'"

O O O

O.

O

-s"tgo: O O O O O s" O O

s'..

O

O

O

siendo

S' oi = S " + s o, • tg o:

S ' ,, = s, + S¡O ' tg o:

CONSIDERACION DE LOS CABLES TENSORES siendo

Este tipo de estructuras pr esenta cie rtos problemas en cuan­to a sus flechas, que pueden alcanzar grande s va lo res . Por otrapar le su uti liz ac ión arq uitectón ica ex ige un recub ri miento, gene­ralmente texti l , que pueda plegarse con las barras de la est ructu­ra y que quede tenso tras el des plegado . La resistencia a tracc iónde es ta lámina texti l mejora el com portamien to res istente delconjunto y d ism inuye las flechas. pero tiene el inconveniente dela escasa fiab i lidad res istente de estas láminas texti les. Es puespreferi ble inco rporar a dicha lám ina cabl es de ace ro que trabajencomo tensores.

Esta conside ración introduce una complej idad nue va en elcálculo por dos razo nes: Es pre ciso fo rm ar y ensamblar las matri­ces de r ig idez correspondiente a los cables y además hay quecontemplar la posib il idad de que los cab les pud ies en trabajar acompresión.

Para resol ver la primera objec ión es pr eci so calcular la ma­tr iz de ri gid ez correspondiente a los cables. Esto no presentadif icultades esp eci ales puesto que es idéntica a la matriz de ri gi­dez de las barras de ma llas espaci ale s normales , problema am ­pl iamente estud iado,

La mat r iz de rig idez en coordenadas globa les es:

-a -b -e

siendo (cos o:cos Pcos 1) los cosenos dir ecto res de la barra.

Tras resovler el sistema de ecuaciones se puede obtener elesfu erzo axil sobre la barra en funció n de los co rr im ientos de losextremos

c = cos o: cos 8

f= cos ' 1)

b = cos o: cos pe = cos p cos 8

a= cos ' o:

d = cos ' P

EAN,,= --- (cos o: (x, - x,) + cos P (y¡ - y,) + cos y (z, -z,))

L

Para resolver la segunda objeción es preciso proceder poriterac iones, puesto que en pr inc ipio no se conocen los cables quepud iesen trabajar a compres ión y que en consecuencia deben serelim inados de la estructura. Asi pues en la primera iteración sesupone que todos los cables trabajan a tracción y al calcular losesfuerzos se eliminan de la estructura todos los cables que traba­jen a compresión. Se calcula de nuevo la estructura de la que sehan el im inado d ichos cables y se repite el proceso hasta que noquedan cables en compresió n. Generalmente basta una iteraciónpara conseguir este resultado.c

-f

-e

-e

b

- b

a

c -a

e

b

d

a

-d -e d e

-f

57

-