1963 - piaget, beth y otros - la enseñanza de las matemáticas

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LOS AUTORES

E. W. BE1H, profesor de Lgica y de Filosofa de las Ciencias en la Universidad de Amsterdam.

G. CHOQUET, profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Pars.

J. DIEUDONN, profesor de la Northwestern Univer-sity Evanston (lllinois), Estados Unidos.

C. GATTEGNO, profesor del Instituto de Educacin de la Universidad de Londres.

A. LICHNEROWICZ, profesor del College de Francc.

J. PIAOET, profesor en las Universidades de Ginebra y Pars.

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J. PIAGET E. W.BETH

A. LICHNEROWICZ G. CHOQUET

J. DIEUDONNE C. GATTEGNO

LA ENSEANZA DE LAS

MATEMATICAS ifP

Versin espaola de ADOLFO MAILLO Director del Centro de Docamcatacin y Orientacin Didf;ctica de Enaciaaza Primaria y ALBERTO AIZPUN Profe5or de Matemticas

r

ca la Escuela del Ma1isterio Nocturna de Madrid

AGUILAR ~

La presente obra, incorporada a este fondo editorial con el asesoramiento de don AooLFO MALLO, director del Centro de Documentacin y Orientacin Didcti ca de Enseanza Primaria, ha sido publicada origi na/mente en lengua francesa , por la casa Delachaux

& Niestl de Neuchtel y Pars, con el titulo de

L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES

NM. RGTRO.: 127861. DEPSITO LEGAL. M . 5744.-1963.

@ AGtnLUI, S . A . DI!. ED!OONES, 1963 .

Reservados todos lo derecho"

Printed in Spain. Impreso en E.spa!la por Grficas Minerva, Vlctor Pradera , 38, Madrid.

PROLOGO

PROLOGO

Esrn libro es la primera publicacin colectiva de la Comisin Internacional para el estudio y mejoramiento de la enseanza de las Matemticas. Han participado en su redac-cin seis de sus miembros fundadores: un psiclogo, un lgico matemtico, tres matemticos profesionales y un pedagogo de las matemticas.

Los textos no han sido coordinados. Unicamente Piaget ha escrito su captulo despus de leer los dems. La Oficina de la Comisin, que es responsable del libro, ha intentado presentar una obra que indica la variedad de la experiencia de sus miem-bros al tratar la misma cuestin, y ha credo que, ofreciendo en primer lugar un mosaico, ayudara al lector habituado al anlisis a percibir la corriente de las preocupaciones modernas que cons-tituye el verdadero lazo en el interior de la Comisin.

Y a que no se ha realizado ningn esfuerzo para reducir las diferencias existentes entre los puntos de vista expuestos en los diversos captulos, parece til ofrecer al lector una sntesis de las tareas de la Comisin, y en particular la explicacin de esta primera tentativa dirigida al pblico.

La Comisin se cre cuando sus miembros fundadores se die-ron cuenta de que el trabajo que ellos realizaban espontnea-mente para mejorar la enseanza de las matemticas poda ser ms eficaz si se coordinaba con el de los dems. De hecho, la Co-misin est formada por los que, en todo el mundo, se entregan habitualmente al trabajo psicolgico, metodolgico y prctico, indispensable al conjunto de ref armas que mejorar la enseanza de las matemticas. La Comisin rene las necesarias especiali-dades y es una consecuencia de la conviccin de que el equipo ms poderoso que pueda constituirse hoy para abordar estos pro-blemas debe estar integrado por los que han demostrado con sus trabajos una preocupacin que se refiere, al mismo tiempo, a va-rios campos: matemticas y psicologa; historia de las matem-ticas, como historia de las realizaciones mentales de determina-

xr

XII Prlogo

das relaciones, pedagoga, como actividad que engloba el mundo de las relaciones matemticas con las tcnicas de transmisin y la consideracin de los obstculos del aprendizaje, etc.

La circular inicial contena el pasaje siguiente: "La Comisin se propone tomar todas las iniciativas que, en

el campo de la accin y del estudio, lleven a una mejor compren-sin de los problemas planteados por la enseanza de las mate-mticas para su mejoramiento en todos los niveles.

"El campo de las matemticas es privilegiado en cuanto exis-ten ya investigadores competentes en el dominio de los funda-mentos, de la lgica, de la epistemologa, de la historia, de la psicologa del pensamiento y de la pedagoga experimental. La Co-misin se propone sintetizar las contribuciones que aportan estas disciplinas a su objetivo principal.

"El problema de la enseanza de las matemticas se plantea hoy en trminos que sobrepasan las fronteras. Las diferencias de-bidas a las culturas son menos importantes que las semejanzas que dimanan de la estructura de la ciencia y del pensamiento matemtico. Por ello es posible constituir equipos internaciona-les de investigadores que tengan los mismos intereses, y organi-zar reuniones regulares para que los resultados de las investiga-ciones sean coordinados y preparados para su difusin . Fijados los temas de estudio, se procurar encontrar las tcnicas de coordinacin de los conocimientos procedentes de las distintas ciencias, generalmente sin conexin entre s, del mismo modo que aquellas que permitan la cooperacin entre los miembros de los diversos grados de la enseanza cuyas preocupaciones habi-tuales son muy diferentes."

El punto de partida del trabajo de la Comisin era, pues, por un lado, coordinar lo que se haba logrado en diversas partes, y por otro, emprender investigaciones en varios pases. Hoy po-demos anunciar que ambas funciones han sido comenzadas.

Para realizar adecuadamente la primera de esas tareas se ha utilizado el mtodo de los seminarios internacionales, en los que participan profesores de matemticas y, segn los casos., tecn-logos, lgicos, psiclogos e historiadores. Durante varios das (de seis a catorce) se lleva a cabo un trabajo intensivo, ya porque se aborde una cuestin mal delimitada, como "la continuidad de los

Prlogo Xlll programas escolares y universitarios", ya porque se empeen en un trabajo de detalle, como "el valor de las faltas de los alum-nos en el aprendizaje de las matemticas".

Los temas de las siete reuniones organizadas desde 1950 da-rn una idea de estos trabajos:

En abril de 1950, en Debden, cerca de Londres: Relaciones entre el programa matemtico de las escuelas se-

cundarias y el desarrollo de las capacidades intelectuales del adolescente.

En abril de 1951, en Kerbergen, cerca de Bruselas: La enseanza de la geometra en las primeras clases de las

escuelas secundarias. En agosto de 1951, en Herzberg del Aarau (Suiza): El programa funcional: de la escuela maternal a la Univer-

sidad. En abril de 1952, en Rocheton, la Rochette par Melun

(Francia): Estructuras matemticas y estructuras mentales. En abril de 1953, en Weilerbach (Luxemburgo): Las relaciones entre la enseanza de las matemticas y las

necesidades de la ciencia y de la tcnica modernas. En julio de 1953, en Calw (Selva Negra): Las relaciones entre el pensamiento de los alumnos y la ense-

anza de las matemticas. En agosto de 1954, en Oosterbeek (Holanda): Las matemticas modernas en la escuela. En abril de 1955, en Bellano (Italia): El alumno frente a las matemticas. Una pedagoga que libera.

Para realizar adecuadamente za segunda tarea se han consti-tuido grupos nacionales e internacionales en el seno de la Comi-sin, y aunque todava no se han publicado los resultados de sus trabajos, se puede augurar su fecundidad por el nmero y la ca-lidad de los que participan en ellos.

Igualmente podemos contar entre las iniciativas de la Comi-sin, trabajando forzosamente por intermedio de sus miembros, la formacin, en 1952, en Gran Bretaa, de la Association for Teaching Aids in Mathematics, que cuenta con trescientos miem-bros, de ellos cuarenta extranjeros; la formacin, en 1953, de la

XIV Prlogo

Socit beige des professeurs de mathmatiques, que cuenta tam-bin con ms de trescientos miembros. Cada uno de estos gru-pos dispone de su boletn propio, que difunde los trabajos de la Comisin y aborda en ambos pases problemas de su competen-cia, y la formacin, en 1953, en Pars, de un ~rupo de estudio di-rigido por miembros de la Comisin.

La Comisin se propone difundir mediante monografas y simposios los trabajos que puedan rendir ms provecho en la en-seanza de las matemticas. A causa de las diferencias existentes entre los sistemas de educacin de los distintos pases, se ha credo ms de acuerdo con la realidad actual, hasta que la labor de la Comisin se deje sentir, publicar casi al mismo tiempo en alemn, en ingls y en francs grupos de textos dirigidos a los maestros de escuela, escritos, si es posible, por autoridades na-cionales en la materia y cuyo fin sera llevar a los profe sores al conocimiento de los principales problemas que parece deben ser-vir de base a la sntesis efectiva que exige una enseanza re-novada.

La sntesis es una cosa viviente, que tiene lugar en la clase y supone: l., espritus que estudian; 2.0 , maestros que buscan vas de acceso a su entendimiento, y 3.0 , estructuras matemticas que han alcanzado determinada f arma a consecuencia de largos de-bates histricos en los que han participado numerosos tempera-mentos, genios y tendencias sociales.

El presente libro, sin preocuparse de proporcionar la sntesis, se abre con un estudio del espritu que se enfrenta con la reali-dad matemtica. N ade mejor que Piaget poda ofrecer el modo de esclarecer este dilogo gentico y proporcionar a los maestros una base slida para su propio examen de esta importante compo-nente de la sntesis.

El captulo de Beth aportar una puntualizacin al debate, to-dava abierto, sobre la autoridad que puede tranquilizar a los espritus inseguros ante el problema de los fundamentos de las matemticas. La discusin de los estatutos respectivos de la L-gica y de la Psicologa interesar al lector que tiene que decidir, de acuerdo con la opinin de las autoridades en la materia, cul de las dos debe guiar su enseanza. Pero todo el mundo agra-decer al autor la claridad con que expresa su pensamiento y el hecho de haber expuesto con vigor un criterio que es incons-

Prlogo XV cientemente aceptado por los profes ores, sobre todo en los pases europeos.

Dieudonn ha preferido introducir el punto de vista de las estructuras algbricas siguiendo una perspectiva histrica. Su ex-posicin presenta el desarrollo del poder mental como un ascen-so hacia la abstraccin y seguidamente subraya el punto de vista del matemtico. Esperamos que los profesores de las escuelas se-cundarias obtendrn de este captulo datos que les permitan ten-der un puente entre la cultura clsica y el criterio m oderno, ini-ciando el camino hacia una lectura ms fcil de obras amplias sobre las estructuras fundamentales de las matemticas.

Para completar el captulo precedente, Lichnerowicz ha acer-tado a condensar en pocas pginas un gran nmero de cuestio-nes, que no dejarn de suscitar el inters de los profe sores de en-seanza media, incitndolos a la reflexin en una direccin que puede renovar su enseanza.

El captulo de Choquet se distingue de los restantes porque no propone ni una opinin personal ni una simple introduccin. Es una contribucin nueva y original al estudio de los funda-mentos de la geometra. Si est escrito para el lector pedagogo es porque su autor est profundamente interesado por los pro-blemas de la enseanza y es evidente que los profe sores de geome-tra elemental pueden sacar provecho de este trabajo. Su lectura conducir, de la consideracin de problemas generales trata-dos en los captulos anteriores, a Za de problemas ms especia-lizados y ms familiares desde el punto de vista escolar, cuya situacin resume el ltimo captulo.

Gattegno ha querido abordar la pedagoga indicando cmo pueden ser tratados algunos puntos del programa de matemti-cas elementales. En pedagoga el peligro reside en Za imitacin. Casi todas Zas lecciones de matemticas que se dan en los distin-tos pases se parecen entre s. N o porque el mtodo empleado se recomiende por sus xitos (ay, tan dbiles!), sino porque se ha adoptado universalmente el tipo de leccin establecida hace cuatro siglos. Para evitar que un nuevo mtodo se convierta, a su vez, en una tcnica estereotipada, las lecciones del captulo final estn solamente esbozadas, dejando a la imaginacin del lector su encarnacin en la realidad. No obstante, el procedimien-to que consiste en abordar los programas habituales y en tratar

XVI Prlogo

de una manera ms funcional algunos captulos, parece estar ms en armona con las exigencias de la prctica.

En resumen: aunque la primera impresin de los lectores pue-da ser que se ha reunido en un volumen un amasijO de ideas diversas, poco en relacin unas con otras, esperamos que no se les escape el lazo subyacente. Necesitamos conocer al estudiante y tener una idea de lo que hacemos al ensear antes de abordar refinamientos tcnicos. Por esta razn el captulo psicolgico es el primero y el pedaggico el ltimo. Entre la manera de hacer y la posibilidad de hacer, condicionadas por el maestro y el alum-no, est la materia, que sirve de sustancia del dilogo. Esta ma-teria tiene una fonna, que interesa al lgico y al formalista, pero tambin se reviste con sus formas, arbitradas por el genio del matemtico creador, capaz de transfonnar nuestras aprehensio-nes conscientes.

Creemos que nuestros autores, con sus aportaciones, han con-tribuido a dar a ciertos temas que ocupan a la Comisin, en nom-bre del pblico, una forma susceptible de crear una emulacin entre los profesores de matemticas de lengua francesa.

LA OFICINA.

INDICE

INDICE

PRLOGO ... Pg. IX CAP. l. LAS ESTRUCTURAS MATEM . .\TICAS Y LAS ESTRUCTURAS OPERA-

TORIAS DE LA INTELIGENCIA, por lean Piaget . . . . . . . . . . . . 3 CAP. Il. REFLEXIONES SOBRE LA ORGANIZACIN Y EL MTODO EN LA

ENSEANZA MATEMTICA, por Ewart w. Beth . . . . . . 29 l. Relaciones entre los programas de la enseanza supe-

rior y de la enseanza secundaria . . . 29 11. Influencia de las ideas de Klein . . . . . . . . 31

III. Ilustracin .. . .. . . . . 32 IV. Lgica y Psicologa . . . . . . 36 V. Papel de la formacin matemtica . . . 39

IV. Psicolingstica y Epistemologa gentica 40 CAP. Jll. LA ABSTRACCIN EN MATEM . .\TICAS Y LA EVOLUCIN DEL .QGE-

BRA, por lean Dieudonn ..... . l. La notacin algbrica .. .

II . Las ecuaciones imposibles III. El clculo formal y el lgebra moderna ...

42 43 48 54

CAP. IV. INTRODUCCIN DEL ESPRITC DEL LGEBRA MODERNA EN EL LGEBRA y LA GEOMETRA ELEME!'ociado a una recta 94

XIX

XX

TV.

v .

Indice

Geometra del plano . . . . . . Primeros lemas fundamentales Perpendiculares y oblicuas ... Simetra respecto a un punto y simetra respecto a

una recta .. . . .. .. . .. . .. . . . . . . . ... .... . ..... ... . Consecuencias fundamentales del axioma de ks p:i-

ralelas .... .. ... ........ . Paralelas y perpendiculares .. . Teorema de Thales . . . . . . . . . . . Estudio de las isometras y de la orientacin Orientacin de los subconjuntos del plano ... Comparacin de dos verdaderos tringulos ordenados,

iguales o no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correspondencias biunvocas orientables Ejemplos de tales aplicaciones . . . . .. Angules y ngulos orientados . . . . . . . .. Movimientos y familias continuas de isometras Familia continua de isometras . . . . . . . .. Nota /.-Introduccin sobre una recta de un plano

de una estructura de cuerpo totalmente ordenado compatible con su estructura de grupo aditivo ..... .

Nota //.-Planos eucldeos no arquimedianos Estructura de una recta de un plano no arqui-

mediano ... .. . ... . . . ... ... ... . .. ... . .. ... .. . . .. Clulas de un plano no arquimediano ... . . Nota //I.-Ejemplo de plano no eucldeo . . . .... . .. . Ejemplo general de conjunto medido por .6. y que

satisface el axioma de asociacin y el axioma de las regiones ......... .. . .. .

Estudio del axioma de giro ... Ejemplo de geometras no eucldeas ;y no arquime-dianas ...... .... .. ....... ..... ... . ......... .. ..... .

CAP. VI. L.\ PEDAGOGA DE LAS MATEMTICAS, por Caleb Gattegno J. El punto de vista dinmico . . . . . . . . . . . . .

II. Ejemplos de lecciones de lgebra elemental ... 1. Alumnos de 11 aos .. . 2. Alumnos de 12 aos .. . 3. Alumnos de 13 aos .. . 4. Alumnos de 14 aos .. . 5. Alumnos de 15 aos .. .

Ill. Adquisicin de la experiencia geomtrica Los geoplanos Conclusin ..

96 1 98

104

108 LA ENSEANZA 109 110 DE LAS 110 112 MATEMATICAS 117

117 119 120 120 121 121

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125 126 128

128 130

131 133 134 140 140 142 144 150 154 158 180 181

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CAPITULO 1

Las estructuras matemticas y las estructuras operatorias de la inteligencia 1 POR

JEAN PIAGET

J

Sr nos situamos en el punto de vista prctico del pedagogo encargado de ensear las verdades matemticas o en el punto de vista terico del epistemlogo que reflexiona sobre la naturaleza de los seres matemticos, el problema central pare-ce ser, en ambos casos, saber si las conexiones matemticas son engendradas por la actividad de la inteligencia o si esta las des-cubre como una realidad exterior y completa. Ahora bien : este problema, tan antiguo como la filosofa occidental, puede hoy plantearse en funcin de la psicologa y aun de la psicologa in-fantil; entre otros, el estudio del desarrollo mental puede mos-trarnos si el despliegue de las acciones del sujeto, despus de las operaciones del pensamiento, basta para explicar la construccin de los seres matemticos o si estos son descubiertos fuera, como lo son los seres fsicos con sus propiedades objetivas, y como lo son tambin estas especies de seres ideales constituidos por los

1 El artculo que forma este captulo es el resumen de una conferencia desarrollada en el Coloquio de la Rochette de Melun, en 1952. Este co-1oquio, consagrado al estudio de las estructuras matemticas y psicol-gicas, se haba iniciado con una conferencia de J. Dieudonn sobre la pri-mera de estas cuestiones. La exposicin que sigue responda a aquella, des-de el punto de vista psicolgico. Por ello se refiere con frecuencia a las tesis de dicho autor, no resumidas en el presente volumen, pero que con-cuerdan con las de Bourbaki en general (vase BoURBAKI: "La arquitectu-ra de las matemticas", en Las grandes corrientes del pensamiento mate-mtico, editada por F. Le Lionnais).

4 La. enseanza de las matemticas

sintagmas del lenguaje impuesto al individuo por el grupo social del que forma parte (y ya se sabe que la comparacin entre los seres lgico-matemticos y las conexiones lingsticas es sosteni-da por un gran nmero de lgicos, sea su preocupacin ltima de naturaleza convencionalista o de ndole platnica).

Ahora bien : si los mtodos de estudio y aproximacin a este problema eterno pueden rejuvenecerse recurriendo a la psicologa gentica, los trminos mismos del problema han sido renovados recientemente por las perspectivas abiertas, gracias a los Bour-baki, en la arquitectura de las matemticas y por el papel funda-mental atribuido en estos trabajos a la nocin de estructura.

En la base del edificio de las matemticas se han buscado du-rante mucho tiempo algunas naturalezas simples, imaginadas en un mundo ms o menos atoms_tico. Eran los nmeros enteros, que Kronecker a tribua al mismo Dios, por oposicin a todas las dems categoras numricas, debidas al artificio humano. Eran el punto, la lnea, etc., cuyas combinaciones engendran el espacio. Pero eran siempre seres dados en s mismos, que el espritu po-da, ya contemplar, ya manipular, segn que la reflexin no hu-biera tomado an conciencia del papel de las operaciones o que las superpusiera a las naturalezas simples, como las herramientas que un albail utiliza para cimentar los materiales dados previa-mente para la construccin de un muro o de una casa.

Pero si los fundamentos consisten en estructuras y si la cons-truccin procede, gracias a ellas, a la vez de lo simple a lo com-plejo y de lo general a lo particular, las perspectivas son muy otras. Una estructura tal como, p. ej., un grupo es un sistema operatorio: la cuestin estriba en saber si los elementos de di-versa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previa~ mente a esta, es decir, poseen una significacin suficientemente independiente respecto de ella, o si, por el contrario, es la accin de la estructura-accin no explcita al principio, porque el orden de la toma de conciencia invierte el orden de la gnesis-la que confiere a los elementos sus propiedades esenciales. Ms precisa-mente: el problema psicolgico (y es el nico de que vamos a tratar) consiste en establecer si los seres que sirven de elementos a las estructuras son el resultado de operaciones que los engen-dran o si preexisten a dichas operaciones, aplicndose a ellos fuera del tiempo.

1: Estructuras matemticas y operatorias 5

Pero las modificaciones que entraa la idea de estructura en el juego de las definiciones y de las demostraciones son significa-tivas a este respecto. En vez de definir los elementos aisladamen-te, por convenio o por construccin, la definicin estructural consiste en caracterizarlos por las relaciones operatorias que man-tienen entre s, en funcin del sistema. Y la definicin estructu-ral de un elemento har las veces de demostracin de la necesi-dad de este elemento, en cuanto est concebido como pertene-ciente a un sistema cuyas partes son interdependientes. As, un principio de totalidad se da desde el comienzo, y esta totalidad es necesariamente de naturaleza operatoria. Hasta en un sistema de puras relaciones como las estructuras de orden, si el producto de dos relaciones es tambin una relacin, es que las relaciones estn coordinadas entre s por las operaciones de la lgica de las relaciones.

No menos reveladoras son las transformaciones introducidas gracias a la nocin de estructura en la arquitectura de las mate-mticas, lo que equivale a decir en el orden de construccin o de filiacin de las innumerables clases que pueden distinguirse en estos seres abstractos. Cabe decir a este respecto que la intro-duccin de las estructuras representa un progreso anlogo al que la Anatoma comparada ha representado en Biologa, sustituyen-do una clasificacin que se contentaba con caracteres exteriores, en sus discontinuidades estticas, por una clasificacin fundada en las conexiones internas y genticas. Partiendo de algunas es-tructuras fundamentales, la marcha seguida consiste en diferen-ciarlas, de lo general a lo particular, y combinarlas entre s, de lo simple a lo complejo: de donde existe una jerarqua que sus-tituye a los antiguos campos yuxtapuestos por una serie de pla-nos superpuestos segn estos dos modos de generacin. De aqu se sigue de nuevo un principio de totalidad, que subordina los elementos o las clases de elementos al dinamismo de una cons-truccin propiamente dicha.

Observemos tambin el gran inters que tiene para la psicolo-ga del pensamiento matemtico el modo de descubrimiento de las estructuras, y esto nos lleva a nuestra alternativa inicial sobre la continuidad entre el trabajo de la inteligencia y la construc cin matemtica, o sobre la exterioridad de los seres ideales que el espritu aprehendera como tales. En principio, el examen del

6 La enseanza de las matemticas

camino que siguen los matemticos para alcanzar las estructu-ras fundamentales parece hablar en favor de la segunda de estas tesis: lejos de deducirlas de una vez, parte de analogas descu-biertas despus entre las formas de razonamiento en juego en dominios sin afinidad aparente; luego, en algn modo inductiva-mente, como se procede en presencia de hechos experimentales, reconstituye los mecanismos comunes hasta obtener las leyes ms generales de la estructura investigada; solo entonces interviene la axiomatizacin y despus la explotacin, es decir, la aplicacin de estas leyes generales a las teoras particulares por diferencia-cin progresiva. Adems, el paso de las estructuras madres a las estructuras secundarias se hace mediante combinacin de estruc-turas mltiples; tampoco aqu es una deduccin esta combina-cin, porque hay que hacer intervenir a propsito de cada nueva estructura axiomas nuevos para poder integrar en ella nuevos elementos.

Pero esta marcha de algn modo inductiva del descubrimien-to de las estructuras es, por el contrario, muy reveladora de las relaciones que sostienen las estructuras con los elementos diver-sos que ordenan. Si, histricamente, estos elementos parecen da-dos con anterioridad al descubrimiento de la estructura, y si esta desempea as esencialmente el papel de un instrumento refle-xivo destinado a descubrir sus caracteres ms generales, no hay que olvidar que, psicolgicamente, el orden de la toma de con-ciencia trastorna el de la gnesis : lo que es primero en el orden de la construccin general aparece despus en el anlisis refle-xivo, porque el sujeto toma conciencia de los resultados de la construccin mental antes de alcanzar sus mecanismos ntimos 1 Lejos de constituir un argumento decisivo en favor de la indepen-dencia de las estructuras con relacin al trabajo de la inteligencia, su descubrimiento tardo y casi inductivo nos hara, por el con-trario, sospechar su carcter primitivo y generador. Pero si lo que es fundamental aparece al trmino del anlisis, la recproca no es necesariamente cierta, y sigue abierto el problema relativo a esclarecer las conexiones eventuales existentes entre las estruc-turas madres del edificio matemtico y las estructuras operato-

i Pinsese, p, ej., en la introduccin tarda, con Cantor, de las operacio-nes de correspondencia unvoca y recproca cuando se trata de una de las operaciones generatrices del nmero entero en el nio y en el primitivo.

1: Estructuras matemt,icas y operatorias 7

rias que el estudio del desarrollo mental permite considerar como constitutivas de la construccin lgico-matemtica. Es lo que se trata de examinar ahora en el terreno de la psicognesis.

Las tres estructuras fundamentales sobre las cuales reposa el edificio matemtico, segn los Bourbaki, seran las estructuras algbricas, cuyo prototipo es el grupo, las estructuras de orden, de las cuales una variedad, corrientemente utilizada hoy (por otra parte, con exceso, en ciertos casos), es la red, y las estructuras topolgicas. Este nmero no es, por otro lado, exhaustivo, y el desarrollo de las matemticas podra conducir a aumentarlo. Pero en el estado actual de nuestros conocimientos, estas t res estruc-turas son las nicas irreducibles entre s y desempean por ello el papel de estructuras madres.

Ahora bien: es del mayor inters comprobar que si se quiere analizar hasta sus races el desarrollo psicolgico de las opera-ciones aritmticas y geomtricas espontneas del nio, y, sobre todo, las operaciones lgicas que constituyen sus necesarias con-diciones previas, se encuentra en todas las etapas, primero, una tendencia fundamental a la organizacin de totalidades o siste-mas, fuera de los cuales los elementos carecen de significado y aun de existencia, y en seguida, una d istribucin de estos siste-mas de conjunto segn tres especies de propiedades que corres-ponden precisamente a las de las estructuras algbricas, las estructuras de orden y las estructuras topolgicas. Es lo que inten-taremos explicar examinndolas una por una, para deducir se-guidamente la leccin general que implica esta convergencia.

n

Conviene, en primer trmino, recordar que la nocin de es-tructura se ha convertido desde hace unas dcadas, e indepen-dientemente de la evolucin reciente de las matemticas, en una de las nociones corrientes de la psicologa de las funciones cog-noscitivas (percepcin e inteligencia). En los campos ms diver-sos, los psiclogos se han visto obligados a admitir que la mar-cha natural del espritu, que consiste en buscar los elementos antes que las totalidades, engendrando estas mediante la composi-cin de aquellos, se apoyaba en analogas engaosas con la fabri-


cacin material. En el dominio de la percepcin, en particular, donde las acciones de campo son fciles de analizar experimen-talmente, se ha llegado a comprobar que los pretendidos elemen-tos son siempre el producto de una disociacin o de una segre-gacin en el interior de una totalidad previa, y que no puede de-ducirse ninguna relacin particular sin proceder a la separacin de los caracteres estructurales del conjunto.

En el terreno especial de la inteligencia, el nico que nos in-teresa aqu, este papel de las totalidades es tambin constante, pero ofrecen una forma distinta que en el campo perceptivo. La inteligencia aparece esencialmente, en efecto, como una coordi-nacin de las acciones. Estas ltimas, en principio, son solo ma-teriales senso-motrices (es decir, sin iltervencin de la funcin simblica ni de la representacin); pero, ya entonces, se orga-nizan en esquemas que comportan ciertas estructuras de totali-dad. Despus, con ayuda de la funcin simblica, y en particular de las imgenes mentales del lenguaje, las acciones se interiori-zan progresivamente, y despus de una fase ms o menos larga de transicin entre el acto material y la representacin (perodo que llamaremos del pensamiento preoperatorio, entre los 2 y los 7-8 aos) se constituyen en operaciones propiamente dichas y ofrecen entonces bajo una forma tpica las estructuras de conjun-to caractersticas de la inteligencia.

Para comprender la naturaleza de estas estructuras operato-rias hay que partir del hecho fundamental de que, contrariamen-te a los procesos perceptivos, que son irreversibles porque se fun-dan en un modo de composicin probabilista, la inteligencia se orienta desde el principio hacia una reversibilidad que aumenta sin cesar en importancia en el curso del desarrollo. Sin duda, las acciones senso-motrices iniciales son todava irreversibles, porque se dirigen en un sentido nico hacia el fin prctico que se trata de conseguir. Pero desde que se coordinan los esquemas senso-motrices, la inteligencia es capaz de cierta movilidad, distin-guindose por rodeos y retornos, y entonces se ve asomar un co-mienzo de reversibilidad ms o menos sistemtica que volver a encontrarse en el plano de las representaciones. En este nuevo plano la reversibilidad no se impone inmediatamente. Durante toda la fase preoperatoria, el sujeto razona ms sobre las configu-raciones que sobre las transformaciones, y se trata para l de

1: Estructuras matemticas y operatorias 9

aprender- a pensar lo que ha llegado a ejecutar mediante acciones (p. ej., a representarse un sistema de movimientos cuando ya ha aprendido a efectuarlos materialmente). De la misma manera, la representacin naciente ofrece todava, durante toda esta impor-tante fase de la pequea infancia, una dificultad sistemtica para la reversibilidad y, por consiguiente, para la conservacin de los invariantes elementales (longitudes, distancias, conjuntos discon-tinuos, cantidades fsicas, etc.). Pero desde esta fase preoperato-ria, un juego cada vez ms denso de regulaciones conduce a una compensacin progresiva de los errores debidos a la irreversibi-lidad del comienzo, y anuncia as la reversibilidad operatoria.

La aparicin de las primeras operaciones sistemticas, hacia los 7-8 aos, seala, pues, la llegada al estado de equilibrio hacia el que tenda el pensamiento durante la fase incoativa preceden-te, y es necesario comprender bien esta relacin de equilibrio pro-gresivo entre la fase preoperatoria y el primer perodo operatorio (de 7-8 aos a 11-12 aos) para no considerar aquella como una especie de comienzo absoluto. Las operaciones nacientes, prepa-radas as por las coordinaciones senso-motrices y por las regu-laciones representativas preoperatorias, ofrecen entonces los siguientes caracteres: son acciones propiamente dichas, que pro-longan las acciones materiales anteriores, pero interiorizadas men-talmente gracias a la funcin simblica. Son esencialmente rever-sibles, es decir, que la operacin es una accin que puede desarrollarse en los dos sentidos, y que la comprensin de uno im-plica ipso facto la comprensin del otro. Y, sobre todo, son desde el principio solidarias de un sistema : no existe operacin aislada porque una accin aislada es de sentido nico y, por tanto, no es una operacin. Una operacin es as necesariamente solidaria de otras, y su misma naturaleza depende de esta capacidad de com-posicin mvil y reversible en el interior de un sistema. Hay, por consiguiente, estructura operatoria desde que hay operacin, y la estructura del conjunto no es un producto que resulte de com-posiciones entre operaciones previas, ya que la accin solo se convierte en operatoria y reversible en el interior de una estruc-tura y bajo el efecto de su organizacin.

Advirtamos todava, antes de detallar los tipos de estructura, que la reversibilidad, que constituye sin duda la ley fundamental de las composiciones propias de la inteligencia, se presenta desde

10 La (!nseanza de las matemticas el comienzo (por tanto, desde los esquemas senso-motrices) bajo dos formas complementarias e irreducibles: la inversin o nega-cin y la reciprocidad. Cuando un beb de 10 a 12 meses, que comienza a organizar de manera sistemtica los desplazamientos en su espacio prximo, ha desplazado un objeto de A a B, puede anular esta transformacin mediante la transformacin inversa, volviendo a colocar el objeto de B en A, lo que, en resumen, equivale a un movimiento nulo. Pero tambin puede dejar el ob-jeto en B y desplazarse l mismo de A a B, lo que reproducir la situacin inicial, cuando el objeto estaba frente a su propio cuerpo; en este caso, el movimiento del objeto no ha sido anu-lado, sino simplemente compensado mediante un movimiento re-cproco de su propio cuerpo, lo que constituye una transforma-cin distinta. Sin querer poner en frmulas logsticas las acciones del beb, advirtamos, sin embargo, que esta diferencia esencial entre la negacin o inversin y la reciprocidad o compensacin constituye as, desde el principio, dos formas esenciales de la re-versibilidad, que encontraremos de nuevo juntas a lo largo de todo el desarrollo y que solo llegarn a una sntesis en un siste-ma nico cuando, al nivel de las operaciones formales, despus de los 11-12 aos, se constituya el grupo de las cuatro transforma-ciones interproposicionales (que, para volver a este ejemplo de los desplazamientos, permitir al nio, pero solamente entonces, coordinar en uno mismo todos los desplazamientos segn dos sistemas de referencia a la vez: uno mvil y otro fijo).

Henos aqu en condiciones de precisar en qu sentido las tres estructuras fundamentales de los Bourbaki corresponden a es-tructuras elementales de la inteligencia, de las cuales constituyen la prolongacin formalizada y no, naturalmente, la expresin di-recta.

III

Las estructuras algbricas, y principalmente la de grupo, co-rresponden a los mecanismos operatorios de la inteligencia regi-dos por la primera de las dos formas de reversibilidad, que hemos llamado inversin o negacin (el producto de una operacin por su inversa es, pues, la operacin idntica o transformacin nula).

Conviene insistir, a este respecto, en el hecho de que, por

l: Estructuras matemticas y operatorias 11

tardo que haya sido el descubrimiento de la nocin de grupo como ser matemtico (siglo XIX), tal estructura expresa, en reali-dad, algunos de los mecanismos ms caractersticos de la inteli-gencia. Destaquemos, en esta perspectiva, la significacin de cua-tro de las propiedades elementales del grupo : que el producto de dos elementos del grupo da tambin un elemento del grupo; que toda operacin directa corresponde a una y solo una opera-cin inversa; que existe as una operacin idntica, y que las composiciones sucesivas sean asociativas . Expresadas en len-guaje de acciones inteligentes, estas cuatro propiedades signifi-can: 1) que la coordinacin de dos esquemas de accin constituye un nuevo esquema que se aade a los anteriores; 2) que una coor-dinacin puede, a voluntad, realizarse o suprimirse, y, dicho ms simplemente, que una accin inteligente (operacin) puede des-arrollarse en los dos sentidos; 3) que el retorno al punto de par-tida permite volver a encontrar este sin cambio, y 4) que puede alcanzarse el mismo punto de llegada por diferentes caminos sin que dicho punto cambie cualquiera que sea el camino elegido. De una manera general, el grupo es, por consiguiente, la traduccin simblica de algunos de estos caracteres fundamentales del acto de inteligencia: la posibilidad de una coordinacin de las accio-nes, la posibilidad de los retornos y la de los giros.

Pero hay ms: las transformaciones propias de un grupo son siempre solidarias de algunos invariantes, de donde resulta que la constitucin de un grupo est en correspondencia con la cons-truccin de invariantes que se relacionan con l. Ahora bien: ocurre exactamente lo mismo en lo que se relaciona con las for-mas de organizacin espontneas que se procura la inteligencia en el curso de su desarrollo : a la irreversibilidad inicial de las acciones corresponde una ausencia de conservacin, y a la cons-truccin de estructuras reversibles corresponde la elaboracin de nociones de conservacin relativas al dominio as estructurado.

Tales procesos pueden observarse desde el campo senso-motor por una especie de prefiguracin prctica (y ligada al espacio pr-ximo) de lo que sern las operaciones en el plano de la represen-tacin o del pensamiento. As ocurre que durante los primeros meses de existencia los desplazamientos todava no pueden ser organizados en un grupo porque estn centrados en el propio cuerpo y compuestos con arreglo a ciertos errores sistemticos


en funcin de este egocentrismo 1 ; a este nivel tampoco hay to-dava objetos permanentes de trayectoria independiente de la ac-cin propia. Hacia el fin del primer ao, por el contrario, se da simultneamente la constitucin de este grupo experimental de los desplazamientos, ya invocado por Henri Poincar (pero que l crea innato, siendo as que constituye una forma de equilibrio final de la organizacin sen~o-motriz), y la elaboracin del es-quema del objeto permanente (en funcin de las localizaciones sucesivas, as como de los giros y retornos).

El desarrollo del pensamiento representativo, en el curso de la fase preoperatoria y al nivel de las primeras operaciones con-cretas (de 7 a 11 aos), origina un cuadro anlogo. Mientras su-pone irreversibilidad del pensamiento, no pueden existir en l nociones de conservacin ni siquiera en los campos ms sim-ples de la observacin (consenacin de un conjunto en caso de modificacin en la configuracin de los elementos; conservacin de la equivalencia entre dos conjuntos correspondientes cuando los elementos, despus de haber estado unos frente a otros, no ofrecen ya correspondencia ptica; conservacin de la igualdad de longitudes de dos palos cuando uno se encuentra ligeramente desplazado respecto del otro; conservacin de la distancia entre dos elementos inmviles cuando se intercalan nuevos objetos en-tre ellos, etc.). Por el contrario, la construccin de las primeras estructuras representativas reversibles, hacia los 7-8 aos, lleva consigo necesariamente la elaboracin de las correspondientes no-ciones de conservacin.

Es intil reproducir aqu la descripcin de las numerosas es-tructuras reversibles de tipo algbrico que hemos sealado en otro lugar en la elaboracin, por el nio de 6-8 aos, de las nociones de nmero entero, de rectas proyectiva o euclidiana, de medida geomtrica, de tiempo, etc. Lo importante es recordar que cada una de estas construcciones supone una elaboracin lgica pre-via, participando entre otras de la lgica de las clases, y que las primeras operaciones de esta lgica accesibles al nio exigen tam-bin, para constituirse, ciertas estructuras de tipo algbrico no idnticas al grupo todava, pero con algunos de sus caracteres.

Tomemos como ejemplo la inclusin de una clase parcial A

1 Vase PIAGET: La construction du rel chez l'enfant, Caps. I y U.


en una clase total B. Nada parece de comprensin ms sencilla que tal encaje, cuando todos los elementos se dan simultneamen-te en el mismo campo perceptivo (as, cuando B = una coleccin visible de cuentas de madera, A = una parte de B formada por 20 cuentas oscuras y A'= otra parte formada por 2 3 cuentas claras). Sin embargo, basta preguntar al nio si el todo B es ms o menos numeroso que la parte mayor A ("Hay aqu ms cuen-tas de madera o ms cuentas oscuras?", etc.) para percibir la complejidad operatoria de este encaje inclusivo. Antes de los 7 aos, por trmino medio, el nio responde que A supera a B, y ello porque tan pronto como el todo B es disociado en partes, ese todo no existe ya como tal, y lo que queda de B no es enton-ces ms que la otra parte A'. ("Hay ms cuentas oscuras que cuentas de madera, porque quedan solamente dos claras", dir el nio sabiendo que las oscuras son tambin de madera.) Para es-tablecer la relacin A < B, el nio debe pasar por la operacin reversible A+ A'= B, de donde A= B-A' y A'= B-A. Solo cuando se ha adquirido el dominio de esta reversibilidad de la adicin y la sustraccin lgicas de las clases, el todo B se conser-va independientemente de las subdivisiones que puedan introducir-se en l. En otros trminos, la inclusin de la parte en el todo su-pone una estructura algbrica previa.

En qu consiste esta estructura? Su forma ms simple, a la cual llamamos estructura de los agrupamientos elementales, puede aclararse mediante el ejemplo de la clasificacin o agrupamiento aditivo de las clases. Sus operaciones constitutivas son :

[l] A + A' = B; B + B' = C; C + .C' = D, etc., donde todas las clases del mismo orden son disjuntas (A x A' = O; B x B' =O, et ctera).

[2] -A-A'= -B. de donde A'= B-A; etc. [3] A-A=O. [4] A + A = A (tautologa). [5] Asociatividad limitada a las operaciones no tautolgicas: (A + A')+

+ B' =A+ (A'+ B'), pero A+ (A -A)~ (A+ A)-A.

Se observan en esta estructura algunas transformaciones co-munes con el grupo, tales como + A, - A y O. Pero, por una par-te, la asociatividad .es restringida. Por otra parte, las transforma-


ciones solo se efectan de manera contigua, es decir, pasando por la complementaridad con la clase inmediata superior. Estas dos li-mitaciones disminuyen considerablemente, como es natural, la generalidad de esta estructura. Pero, desde el punto de vista gen-tico, no ofrece menos inters, porque atestigua sin duda la nece-sidad de pasar por una estructura algbrica para llegar a las ms sencillas construcciones lgicas.

Advirtamos, por otra parte, que algunas formas del pensamien-to cientfico pertenecen a estructuras de este tipo ; p. ej., la clasi-ficacin zoolgica, en la que se encuentran todos estos caracteres, incluso la contigidad (no pueden disociarse dos clases cualesquie-ra, tales como el camello y la lombriz, para formar con ellas una nueva clase, sin pasar por una serie de dislocaciones del tipo: A' + C' = D - B'; etc.).

Veremos, por otra parte, que tales estructuras constituyen igualmente, desde el punto de vista de las estructuras de orden, redes incompletas, ya que todos los lmites inferiores entre clases del mismo orden son nulos. Pero con el criterio que nos interesa aqu, que es el de la filiacin de las estructuras a partir de los mecanismos del desarrollo espontneo de la inteligencia, es tanto ms precioso encontrar as, antes de llegar a las estructuras de al-cance general, algunas formas incoativas de organizacin que, precisamente porque han escapado a la formulacin de lgicos y matemticos, atestiguan su carcter primitivo.

IV

Las estructuras de orden, de las que vamos a tratar ahora, son, se nos dice, estructuras de relaciones y no de operaciones; tal, p. ej., la red. Pero es preciso que nos entendamos. Sin duda, la red puede definirse totalmente en funcin de las relaciones en vez de introducir las operaciones + y X ; en este caso se consideran como primitivas las relaciones "x precede a y" o "y sucede ax", en lugar de extraerlas de las operaciones xxy=x y x+y=y. Pero aun considerando solamente las relaciones entre elementos semi-ordenados, persiste que la transitividad "x precede a y, y precede a z; por consiguiente, x precede a z" consiste en encadenar dos re-

l : Estructuras matemticas y operatorias 15 ladones en una sola, lo cual consideramos como una operacin adi-tiva, pero que se apoya en relaciones.

Pero la red no es solamente una estructura operatoria; es, por ello, una estructura reversible. Solo que (y aqu re-side el gran inters psicolgico de tales sistemas) su reversibilidad no es, en su forma general, la inversin o negacin (nicamente algunas variedades de redes distributivas son complementadas de manera definida, y poseen as elementos com plementarios de pri-mera y de segunda especie): la reversibilidad general propia de la red es la reciprocidad. En efecto, la red comporta una ley de dua-lidad que consiste en permutar los + y los X 1 as como las rela-ciones precede y sucede. Apliquemos entonces la ley de dualidad al ejemplo siguiente, designando por el smbolo --+la relacin pre cede y por el smbolo +-- la relacin sucede :

[l] AB--+ A y AB--+ B; A ~(A + B) y B ~- (A + B). de donde : [2] (AB)-+ (A + B).

Por dualidad se tiene en este caso:

[3] (A + B) +-- (AB).

Ahora bien: [3] no es absoluta negacin de [2], sino al contra-rio, una simple conversin de esta ltima relacin. De una manera general, la ley de dualidad propia de la red no conduce a una in-versin o negacin, como sucede en las estructuras algbricas, sino a una transformacin fundada en la reciprocidad, es decir, a la per-mutacin del orden. Mientras la inversin vuelve a negar la misma operacin, independientemente de las relaciones de orden, la re-ciprocidad vuelve a transformar el orden sin negacin de las ope-raciones en juego.

Las estructuras de orden son, por consiguiente, tan fundamen-tales para el mecanismo de la inteligencia como las estructuras de grupo (u otras estructuras vecinas) y sera fcil demostrar, como hemos hecho con estas ltimas, que se encuentran en vas de formacin en los niveles preoperatorios, desde los comporta-mientos senso-motrices, y a fortiori durante todo el perodo de las representaciones cargadas de imgenes que se extiende desde los 2 a los 7-8 aos. Pero limitmonos a caracterizar el papel que


desempean en el nivel de las operaciones concretas (7 a 11 aos), antes de la aparicin de las operaciones proposicionales o forma-les (11-12 aos), y a buscar sus relaciones con las estructuras al-gbricas en este primer nivel operatorio.

Durante este estadio de 7 a 11 aos, las estructuras de orden estn constituidas por los sistemas de relaciones. Mientras los agrupamientos elementales de clases se fundan en un modo de reversibilidad que es la inversin o negacin ( + A y - A), los agrupamientos de relaciones se fundan en un segundo modo, que es la reciprocidad.

El ejemplo ms simple de estos sistemas espontneos, cuyo desarrollo puede seguirse a partir de los comportamientos senso-motrices, y que alcanzan su nivel de equilibrio (es decir, su nivel operatorio) desde la edad de 6-7 aos, es el del encadenamiento de las relaciones asimtricas transitivas, o seriacin cualitativa. Desde el nivel senso-motor, cuando un pequeo de ao y medio a dos aos se entretiene construyendo una torre, colocando en la base el ms grande de los bloques y continuando hacia arriba en orden decreciente, puede decirse que elabora empricamente y empleando un mtodo de tanteos (ensayos y errores), un esque-ma prctico que prepara la seriacin. Pero solo se trata todava de un esquema emprico, fundado en una configuracin perceptiva y en la desigualdad, inmediatamente percibida, de algunos de los elementos de que dispone. Si, en vez de estos elementos cuyas dimensiones relativas son juzgadas a simple vista, ofrecemos al nio otros que se han de comparar de una manera ms detallada, observndolos dos a dos (p. ej., diez palos de 10 a 19 cm dispues-tos al azar), pidindole que los coloque por orden de magnitudes crecientes, comprobamos que la seriacin sistemtica es muy dis-tinta de esta seriacin emprica y que ella exige un conjunto com-plejo de operaciones. En efecto, despus de una serie de etapas preparatorias (parejas o pequeos conjuntos no coordinados en-tre s, series empricas con correcciones ulteriores, etc.), el nio llega, pero solo hacia los 6 1/2-7 aos, a descubrir un mtodo que asegura ya la construccin de una seriacin compleja y exacta, sin tanteos ni errores; busca, comparndolos dos a dos, el ms pequeo de todos los palos, A, y lo coloca; despus, mediante

~nlogas comparaciones, determina el ms pequeo de todos los palos restantes, B, y lo pone al lado de A; del mismo modo en-

/: Estructuras matemticas y operatorias 17 cuentra el palo C, el menor de todos los que no estn todava seriados, y as sucesivamente. El mtodo as construido supone, por tanto, la comprensin de las relaciones siguientes: I), que un elemento cualquiera, como E, sea ms grande que todos sus pre-decesores: sea E> A, B, C, D; II), que el mismo elemento E sea ms pequeo que todos sus sucesores : E < F, G, H, etc. Adems, es esencial advertir que al nivel de las seriaciones por tanteos, el nio en modo alguno est seguro de la transitividad de las des-igualdades: despus de haber visto los dos elementos uno junto al otro, A < B, y los dos elementos B < C, no est convencido de la relacin A < C, si se le oculta A dejando C en el campo visual. Por el contrario, el descubrimiento de las dos relaciones E> D, C, etc., y E < F, G, etc., implica, ipso facto, la transiti-vidad (III) A< C si A< By B


operaciones concretas (agrupaciones elementales de clases y de relaciones relativas a los objetos mismos, por oposicin a los enunciados verbales disociados de toda manipulacin), las estruc-turas de clases sealan la inversin (estructuras algbricas), y las estructuras de relaciones, la reciprocidad. Pero estos dos tipos de estructuras coexisten de este modo en su perodo inicial, sin unin entre s, o, por el contrario, se puede descubrir entre ellos alguna conexin que relacione uno de estos sistemas con el otro 7

Desde el punto de vista de la psicologa de las operaciones del pensamiento y sin preocuparnos de la formalizacin eventual de estos sistemas operatorios primitivos, conviene hacer a este res-pecto una observacin esencial. Si nos referimos a la distincin clsica entre la extensin y la comprensin de los conceptos, debe-mos admitir naturalmente (en lo que todo el mundo est de acuer-do) que la extensin est constituida por los sistemas de clases, que corresponden, por consiguiente, a la inversin y a las estruc-turas algbricas; pero, psicolgicamente, la comprensin est siempre constituida por sistemas de relaciones, y esto es lo que no se reconoce siempre. Aunque los caracteres connotados en la comprensin de un concepto consistan en predicados de aparien-cia no relativa (los rboles son leosos, la hierba es verde, etc.) o en relaciones explcitas (los primognitos tienen ms edad que los nacidos en segundo lugar, etc.), no por ello resulta menos imposible pensar en los predicados del primer tipo de otro modo que en funcin de relaciones: verde significa, o bien una cuali-dad en ms o en menos en la serie continua de los matices que van del amarillo o del azul al verde, o bien una cualidad comn a distintos objetos; verde es, por tanto, psicolgicamente, una relacin asimtrica o simtrica, segn los contextos.

Segn este punto de vista, existe, por consiguiente, entre las estructuras de clases fundadas en la inversin y las estructuras de relaciones fundadas en la reciprocidad, una conexin estre-cha, que es la de la extensin y la de la comprensin de los con-ceptos. Por ello, los cuatro agrupamientos elementales que hemos podido distinguir en las estructuras de clases al nivel de las ope-raciones concretas (agrupamientos aditivos y multiplicativos y de formas de correspondencia biunvocas o counvocas) correspon-den, trmino a trmino, a cuatro agrupamientos elementales de relaciones. Dicho de otra manera, las mismas colecciones de ele-

~ ~

~ ~ ~ ~

l: Estructuras matemticas y operatorias 19 mentos pueden estructurarse segn el modelo de las clases o se-gn el de las relaciones, lo que asegura la unidad psicolgica del sistema. Pero desde el punto de vista de la estructura operatoria, al nivel de las operaciones concretas, no existe estructura que rena el conjunto de estas propiedades en un mismo sistema de transformaciones y que asegure as la sntesis de la inversin y la reciprocidad; esta sntesis de las dos formas fundamentales de la reversibilidad solo se efectuar en el ltimo nivel del equi-librio del desarrollo de las operaciones lgicas; es decir, en el es-tadio de las operaciones interproposicionales, de las que hablare-mos en el apartado VI.

V

Si las estructuras algbricas y las estructuras de orden parecen as profundamente arraigadas en el funcionamiento psicolgico de las operaciones intelectuales, puede decirse lo mismo de las es-tructuras topolgicas 7

Ofrece cierto inters comprobar primeramente a este respecto que el orden de construccin de las nociones y de las operaciones ,geomtricas en el desarrollo espontneo del nio 1 no se confor-ma en modo alguno al orden histrico de las etapas de la geome-tra, y se aproxima ms al orden de filiacin de los grupos fun-damentales sobre los que reposan los diversos tipos de espacios. Histricamente, la geometra euclidiana o mtrica ha precedido en muchos siglos a la geometra proyectiva, y la topologa no ha dado lugar a una reflexin autnoma hasta una poca mucho ms reciente. Desde el punto de vista de los grupos fundamentales, por el contrario, la topologa es anterior, y de ella pueden extraer-se simultneamente la geometra mtrica euclidiana (por inter-medio de la mtrica general) y la geometra proyectiva (que se une a la mtrica euclidiana por intermedio de la geometra afn y de la geometra de las semejanzas). Ahora bien: sin que el nio parta naturalmente de esquemas topolgicos generales (porque sus intuiciones topolgicas estn subordinadas a ciertas condiciones

1 Espontneo significa independiente de la enseanza escolar, pero no, naturalmente, de los estmulos del medio social en general.


perceptivas rpidamente estructuradas de un modo euclidiano 1), no es menos sorprendente que desde los principios del dibujo, el nio no distinga los cuadrados, crculos, tringulos y otras figu-ras, pero precise muy bien si son abiertas o cerradas, las situa-ciones de exterioridad o de interioridad con relacin a una fron-tera (comprendida la situacin en la frontera), las separaciones y las proximidades (sin conservacin de la distancia), etc. Ahora bien: partiendo as de intuiciones topolgicas fundamentales, se orienta en seguida simultneamente en la direccin de las estruc-turas proyectivas y en la de las estructuras mtricas.

Desde el punto de vista propiamente operatorio conviene aa-dir que al lado de las operaciones de clases y de relaciones, que constituyen las nicas operaciones lgicas que intervienen al nivel de las operaciones concretas, es preciso distinguir lo que hemos llamado las operaciones infralgicas. Mientras la operacin lgica parte del objeto individual y desemboca en extensin en clases que permanecen independientes de la configuracin espacial de los elementos que las componen, la operacin infralgica, por el con-trario, descompone el objeto en el mismo sitio o lo recompone a partir de sus elementos, diferencindose, por tanto, este modo de composicin del precedente por 1a intervencin del continuo y de las configuraciones. Distintas en su estructura de las opera-ciones lgicas, las infralgicas no las preceden, por otra parte, en el tiempo: al nivel preoperatorio no existe diferenciacin entre las primeras intuiciones infralgicas y las primeras intuiciones lgicas, en tanto que al nivel de las operaciones concretas las dos especies de estructuras se constituyen paralelamente. Es intere-sante notar este paralelismo al nivel de las primeras estructuras operatorias espontneas, puesto que, por modestas e insuficiente-mente estructuradas que sean las formas elementales de organi-zacin operatoria, cabra discernir en ellas las races de este pa-rentesco, o ms bien de esta complementaridad profunda entre las estructuras topolgicas y las estructuras algbricas que han puesto en evidencia ciertas desarrollos recientes de la topologa t .

1 Aunque sera conveniente poder estudiar el espacio perceptivo de las primeras semanas.

2 Cf. los trabajos de PoNTRJAOJN, interpretados por B. EcKMAN ("Topo-logia u. Algebra", Viertelj. d. Natuf. Ges., Zrich, 1944, pg. 26), en el seutido de una comp/ementaridad entre las significaciones topolgicas y algbricas.


VI

No es exagerado, por tanto, sostener que las estructuras ope-ratorias de la inteligencia en formacin manifiestan desde el prin-cipio la presencia de los tres grandes t ipos de organizacin que corresponden a lo que sern en matemticas las estructuras al-gbricas, las estructuras de orden y las estructuras topolgicas. Pero conviene, por otra parte, sealar que las estructuras madres se coordinan muy rpidamente entre s y engendran, mediante sus composiciones interestructurales, algunas estructuras ms tar-das cuya importancia no es menor para la construccin de las nociones lgicas y matemticas.

Al nivel de las operaciones concretas, ligadas a la manipula-cin de los objetos y no entraando, por ello, sino ciertas opera-ciones de clases y de relaciones (agrupamientos elementales), no existe todava ninguna estructura de conjunto que fusione en un mismo sistema de transformaciones las inversiones propias de las estructuras algbricas y las reciprocidades propias de las estruc-turas de orden. Pero hacia los 11-12 aos, por trmino medio, se sobreaade a estas operaciones concretas un conjunto de opera-ciones nuevas, relativas ahora ya a proposiciones y no a objetos, y estas operaciones interproposicionales constituyen entonces una doble estructura de grupo y de red, pero en la que cada uno de estos dos aspectos concilia por su parte la inversin propia de las estructuras algbricas con la reciprocidad propia de las es-tructuras de orden.

El grupo que entra as en juego comporta cuatro transforma-ciones (grupo de Klein), que pueden definirse de la manera si-guiente, en el caso particular de las operaciones interproposicio-nales :

1) La inversa o negacin N de una operacin es su comple-mentaria en el conjunto de las asociaciones de base ; p. ej.,

N (p v q) = p V q = (p . ij) o N (p :> q) = (p :> q) = (p . 'ij).

2) La recproca R de una operacin es la misma operacin, pero entre proposiciones negadas; p. ej.,

R (p V q) = (p V 'ij) = (p I q) o R (p :> q) = (p :> 'ij) = (q :> p).


Advirtamos que la recproca equivale as a permutar el orden de los trminos de la implicacin, lo que ofrece una significacin general, ya que toda operacin proposicional puede tomar la for-ma de la implicacin.

Ejemplo: (p V q) = (p 2- q). o R (p :> q) = (q :> ;) = (p I q).

3) La correlativa C de una operacin resulta de la permu-tacin de las ( v) y de los (.) en la forma normal de esta opera-cin; p. ej.,

C (p V q) = (p V q). (p V q}. (jj V q) = (p . q). C (p :> q) = (p V q) . (jj V q). (p V q} = (p . q).

4) La transformacin idntica I deja intacta la operacin. En-tonces se tiene el grupo conmutativo :

NR=C ; NC=R; RC=NyNRC=I.

En el caso de p :> q, p. ej., se tiene: N (q :> p) = (p . q) = e (p :> q) o sea NR = e N (p . q) = (q :> p) = R (p :> q) o sea NC = R R (p . q) = (p . q) = N (p :> q) o sea RC = N R (p . q) = (p . q) y N (p . q) = (p :> q) o sea NRC = l .

Lo mismo ocurre en las operaciones ternarias, etc. 1 Pero en ciertos casos (diagonales de la tabla de las operaciones binarias, terciarias, etc.) se tiene R = N y C = l o R = l y C = N, aunque la inversa N es, naturalmente, siempre distinta de l.

Se comprueba, pues, que este grupo lNRC, que constituye una estructura algbrica, se incorpora, no obstante, las reciprocidades, que constituyen la forma de reversibilidad de las estructuras de orden. Psicolgicamente, este grupo constituye as a la vez la sn-tesis y la forma de equilibrio final de las dos series de estructu-ras operatorias hasta all distintas y fundadas la una sobre la inversin y la otra sobre la reciprocidad.

i Vase PIAGET: Essai sur les transformations des oprations logiques. Pars, P . U . F .. 1952.


Pero el sistema de las operaciones interproposicionales cons-tituye al mismo tiempo una red: todo par de operaciones tiene una cota inferior definida por su parte comn (.): p. ej., (p = q) (p v q) = (p q); y una cota superior definida por su reunin ( v ): p. ej., (p q) v CP q) = (p = q). Aunque, por el hecho mismo de ser complementada, esta red admite operaciones inversas. Ade-ms, y es importante subrayar esto, en dos operaciones cuales-quiera su cota inferior (= BJ) y su cota superior (= BS) consti-tuyen juntamente un grupo, que no es el grupo lNRC, pero que es isomorfo con l y origina las transformaciones que llamare-mos la Na Ra Ca, y definiremos de la siguiente forma:

Sea una operacin binaria tal como p v q. Puede concebirse como formada por dos operaciones unitarias p y q unidas por la operacin componente ( v ) . De la misma manera, una operacin ternaria como :

(p . q . r) v (p . ij . r) v (p . ij . r) v (p. ij . r) = [(q :> p) . (p :> r)J puede concebirse como compuesta de dos operaciones binarias {q :> p) y (p :> r), ligadas por la operacin componente (.) . Llama-remos entonces la, Na, Ra y Ca a las transformaciones l, N, R y C aplicadas a la operacin componente. Dicho esto, si designamos por x e y dos operaciones cualesquiera de una red, BJ su cota in-ferior y BS su cota superior, se tiene el grupo 1 :

(la) X y ( = Bl) y (Na) X f y = X V y (Ra) i. ji (Ca) x v y ( = BS)

(la) X V y ( = BS) (Na) i. y (Ra) x / y = i v y (Ca) x . y ( = Bl)

Se tiene, por tanto:

Ca (Bl) = BS y Ca (BS) = BJ . Adems,

Na (Bl) = Ra (BS) y Na (BS) = Ra (Bl).

Y todas las transformaciones habituales del grupo:

Na (x . y) = Ra Ca (xy) ; Na Ra Ca (x . )') = x . y; etc. 1 Vase PIAGET : Essai sur les transformations des oprations logique:s,

pgina 159, prop. 247. Vanse tambin las proposiciones siguientes a la 263.


En otros trminos, si el grupo IN RC se incorpora la recipro-cidad, la red de las operaciones interproposicionales se aade la inversin y admite una estructura de grupo en cuanto a la rela-cin fundamental entre las cotas y las operaciones que unen.

Ahora bien: desde el punto de vista gentico, esta doble es-tructura de grupo y de red que constituyen las operaciones inter-proposicionales no es otra cosa que el trmino de las estructuras elementales de agrupamientos (que representan, como hemos vis-to, grupos imperfectos, a falta de asociatividad completa, y se-mirredes). El paso de los agrupamientos de clases y de relaciones a la estructura de grupo y de red de las operaciones proposicio-nales puede, en efecto, concebirse como resultado de la interven-cin de operaciones combinatorias que sustituyen a las opera-ciones simplemente aditivas o multiplicativas. En otras palabras, a los encajes simples de una clasificacin, etc., la red sustituye un conjunto de partes, por combinacin n a n de estas partes entre s. Pero tal composicin combinatoria es por s misma la gene-ralizacin de una clasificacin: el conjunto de las partes, que constituye la doble estructura de red y de grupo de que aqu se trata, resulta en definitiva del conjunto de las clasificaciones po-sibles aplicadas a los elementos del agrupamiento, traducidas al lenguaje proposicional.

VII

Nos falta concluir, y es lo que haremos desde el punto de vista de la interpretacin general de las matemticas, que influ-ye necesariamente sobre el educador-quiralo o no-y desde el punto de vista de las aplicaciones prcticas.

En lo que se refiere a la primera de estas dos cuestiones, el problema esencial es saber si el educador, para ser fiel al espri-tu de las matemticas contemporneas, debe inspirarse en un lo-gicismo riguroso de tendencia platnica, o si puede considerar el pensamiento matemtico como una prolongacin de las construc-ciones espontneas de la inteligencia, y recurrir as a las ensean-zas de la Psicologa tanto como a las de la Lgica.

Ahora bien: si los datos psicogenticos que preceden son exactos, el conflicto entre el logicismo y el psicologismo parece susceptible de alguna atenuacin, a condicin, sin embargo, de


introducir algunas distinciones que equivalen simplemente a di-sociar la Psicologa del psicologismo y la Lgica del logicismo.

El psicologismo es una tentativa de fundar la Lgica sobre leyes psicolgicas: "Para el psicologismo-dice L. Aposte!-, las leyes lgicas son leyes psicolgicas y describen el razonamiento real, ya el ms frecuente, ya el ms normal, ya el ms eficaz prc-ticamente" 1 Dicho ms familiarmente, el psicologismo es una manera de aplicar la Psicologa a un dominio en el que no es competente, puesto que las leyes psicolgicas se apoyan en com-probaciones de hecho y las leyes lgicas proceden de la necesidad deductiva o normativa.

Recprocamente, el "logicismo" es una intrusin de la reflexin del lgico en el dominio de los hechos. Consistir, p. ej., en afir-mar que la inteligencia de individuos de carne y hueso (ya se trate de sabios o de estudiantes de matemticas) solo alcanza el rigor lgico siguiendo determinados caminos: intuicin de esen-cias o sumisin del individuo a las reglas de un lenguaje adqui-rido del exterior, etc.

Pero si convenimos en dejar a la Psicologa el estudio de los hechos y a la Lgica el anlisis de los fundamentos, vemos que estas dos ciencias presentan entre s ms contactos que las filo-sofas en ismos, de las que se las ha querido hacer solidarias. Ahora bien: al educador le son ms tiles los contactos que las oposiciones doctrinales, extraas a la propia marcha de tales ciencias.

La Psicologa, en efecto, tiende una mano a la Lgica mos-trando que la inteligencia se orienta espontneamente hacia la organizacin de ciertas estructuras operatorias, que son isomor-fas de aquellas, o de algunas partes de aquellas que los mate-mticos colocan al principio de su construccin o de las que los lgicos encuentran en los sistemas que elaboran. Pero este iso-morfismo parcial no significa que las reglas lgicas sean leyes del pensamiento. Las estructuras de conjunto hacia las que se orienta la inteligencia en el curso de su desarrollo no corresponden ni a estructuras nerviosas preformadas (o a formas a priori) ni a es-tructuras fsicas empricamente registradas: no son ms que le-yes de equilibrio que se presentan bajo la forma de sistemas de

1 L. APOSTEL, Logique et preuve, Methodos, vol. 5, pg. 303, 1953.


operaciones posibles, de las que solamente algunas son actualiza das en funcin de las condiciones fsicas y sociales ambientes. La lgica estudia los conjuntos completos de estas posibilidades y les proporciona los fundamentos que estima convenientes: no pue den existir puntos de friccin entre el anlisis deductivo y exhaus tivo de las posibles lgicas, por una parte, y por otra, la determi nacin experimental de las posibilidades o de las imposibilidades que caracterizan las formas de equilibrio que corresponden a los diferentes niveles de organizacin de la inteligencia. Sin duda, las tcnicas algbricas del lgico pueden ser tiles al psiclogo en su descripcin de las formas de equilibrio o estructuras, pero esto no significa que tenga el candor de asimilar sin ms las leyes de la Lgica a las del pensamiento.

En cuanto a saber si la Lgica, por su parte, buscar algn contacto con la Psicologa, la historia de las futuras investigacio nes lo demostrar. Algunos lgicos parecen dominados por la desconfianza respecto del psicologismo en general, como nuestro amigo Beth, cuyo interesante captulo precisa su posicin. Pero la cuestin es saber si el temor del psicologismo es efecto de la actitud lgica en s misma o de un residuo de logicismo que conduce al lgico, sin saberlo, a optar en el terreno psicolgico en favor de una concepcin ms bien que de otra sobre la mane ra de alcanzar las conexiones lgicas. Otros lgicos, como Apos tel, distinguen entre el psicologismo tradicional y un recurso ms sutil a la Psicologa: " ... nosotros no afirmamos, como los psico logistas del siglo XIX (Siwart, Heymans, Wundt, Erdmann), que las reglas lgicas son leyes del pensamiento. Decimos solamente: hay leyes del pensamiento tales, que en una determinada estruc tura social y para individuos que poseen ciertas propiedades, po demos infaliblemente (con necesidad fsica) constreir a estos in dividuos a aceptar nuestras conclusiones si aceptan nuestras pre misas, y con tal que ejecutemos ciertas operaciones, cuyas etapas son descritas mediante las reglas de la demostracin co rrecta" 1 De una manera general, es muy posible que los trabajos

1 L. Al'oSTEL, loe. cit., pg. 305. La postura de Aposte! tiende as a apelar a los "concomitantes psicosociales de las operaciones lgicas" (p-gina 305), lo que constituye un terreno de colaboracin en el cual Jos tra-bajos psicolgicos no son, por otra parte, tan inexistentes como se supone. La dificultad para el psiclogo ser, por el contrario, admitir en el campo

1: Estructuras matemticas y operatorias r7

actuales sobre las relaciones entre la Lgica y el lenguaje termi-nen por conducir a la comprobacin de que la lengua misma, pre-cisamente en la medida en que sus estructuras reflejan las de la Lgica, hunde sus races en sistemas operatorios ms profundos que las conexiones existentes entre los meros signos verbales.

En una palabra, el porvenir de las relaciones entre la Psico loga y la Lgica queda ampliamente abierto y no puede ser pre-juzgado en funcin de los errores pretritos. Desde el punto de vista prctico, no se trata para el educador de elegir entre los mtodos formalistas fundados en la Lgica y los mtodos activos fundados en la Psicologa: el objeto de la enseanza de las ma temticas ser siempre alcanzar el rigor lgico lo mismo que la comprensin de un formalismo suficiente, pero solo la Psicologa est en condiciones de proporcionar a los pedagogos datos sobre el modo de conseguir con mayor seguridad este rigor y este for malismo. Pero nada prueba que colocando el formalismo al prin-cipio lo encontremos al final bajo sus especies autnticas, y los estragos de un seudoformalismo o un formalismo puramente ver-bal por demasiado precoz muestran, por el contrario, los peligros de un mtodo que ignora las leyes del desarrollo mental.

En realidad, si el edificio de las matemticas reposa sobr(' estructuras, que corresponden, por otra parte, a las estructuras de la inteligencia, es necesario basar la didctica matemtica en la organizacin progresiva de estas estructuras operatorias. Ahora bien : psicolgicamente, las operaciones derivan de acciones que se interiorizan coordinndose en estructuras. Es vano, pues, ima ginar que el recurso inicial a las acciones compromete el rigor ulterior y favorece el empirismo. Hay empirismo cuando el edu-cador sustituye la demostracin matemtica por una experiencia fsica con lectura de los resultados obtenidos. Pero cuando la ex-periencia sirve de ocasin a la coordinacin de las acciones y la abstraccin se refiere a estas acciones 1 y no al objeto, la expe

de las operaciones reales una necesidad fsica, distinta de la necesidad psi-colgica, a menos que esta nocin se reduzca, a fin de cuentas, a lo que nosotros llamamos (con la teora de la Gestalt) leyes de equilibrio.

1 En las experiencias sobre el orden (orden directo, orden inverso, de bido a un recorrido en sentido contrario o a una rotacin del dispositivo, etctera), p. ej., el nio abstrae el orden, no de los objetos como tales, sino de las acciones u operaciones gracias a las cuales han sido ordenados. La comprensin del tema ser entonces de modo natural tanto mejor

28 La enseanza de las matemticas riencia prepara el espritu deductivo, en vez de contrarrestarlo. Si en el nio todo conocimiento supone una participacin de la experiencia para constituirse, esta comprobacin psicolgica no justifica en nada el empirismo, porque hay, por tanto, dos clases de experiencias: la experiencia fsica, que conduce a una abstrac-cin de las propiedades del objeto mismo, y la experiencia lgico-matemtica, con abstraccin a partir de las acciones u operacio-nes efectuadas sobre el objeto y no a partir del objeto como tal. As, el recurso a la experiencia y a la accin y, de una manera, general, la pedagoga llamada activa, en cuanto procedimiento de iniciacin matemtica, no comprometen en nada al ulterior rigor deductivo, sino que, por el contrario, lo preparan proporcionn-dole bases reales y no simplemente verbales.

cuanto ms haya intervenido la actividad y no se haya limitado el nio a la contemplacin pasiva del resultado de las acciones ejecutadas por otro.

CAPITULO 11

Reflexiones sobre la organizacin y el mtodo en la enseanza matemtica POR

EWART W. BETH

l. Relaciones entre los programas de la ensean:a superior y de la ensean:a secundaria

Los problemas que nos ocupan son sumamente complejos y su discusin corre siempre el riesgo de atraernos ha-cia el detalle de la organizacin escolar, que difiere mucho de un pas a otro; el intento de explicar sus divergencias dara lugar a profundos estudios de historia, de sociologa y de poltica com-paradas.

Permitidme, pues, aplicar ms bien el mtodo axiomtico y partir de cierto nmero de postulados fundamentales :

l. Todo centro de enseanza superior tiene por finalidad, entre otras, preparar a sus alumnos a juzgar por s mismos sobre cuestiones pertenecientes a uno o varios campos cientficos espe ciales y aplicar su juicio a la solucin de ciertos problemas de orden prctico ; en especial, hay centros que preparan a los estu diantes para juzgar por s mismos sobre las cuestiones matem-ticas y aplicar su juicio a la solucin de problemas suscitados por la enseanza matemtica.

2. Todo centro de enseanza secundaria tiene por finalidad, entre otras, preparar futuros estudiantes.

3. Los profesores de la enseanza secundaria reciben su for macin en centros de enseanza superior.

4. Las matemticas forman parte del programa normal de los centros de enseanza secundaria.

~9

30 La enseanza de las matemticas Estos postulados determinan al mismo tiempo el uso de pa-

labras como centro de enseanza superior (o secundaria), profe-sor, alumno y estudiante de un modo independiente de la orga-nizacin escolar.

De nuestros postulados resulta que puede preverse una interac-cin bastante intensa entre los programas de matemticas de los dos tipos de centros de enseanza. Por una parte, el programa de la enseanza secundaria, para asegurar una preparacin eficaz de los futuros estudiantes, debe adaptarse al de la enseanza supe-rior; por otra parte, este ltimo deber tener en cuenta las exi-gencias derivadas del hecho de que los estudiamtes de hoy sern los profesores de maana. Mencionemos el hecho, frecuentemente descuidado, de que el programa de enseanza debe, no solo inte-resar a los alumnos, sino tambin inspirar al profesor; es evi-dente que la formacin de los profesores influye tambin en la manera de realizar el programa.

Pero si necesariamente existe una doble tendencia a la adap-tacin de los dos programas de estudio, se da asimismo una doble tendencia antagonista; el hecho de que la enseanza secundaria se dirige a alumnos muy jvenes y de los cuales solo una mino-ra posee aptitudes particulares para el estudio de las matemti-cas, impone restricciones muy severas al programa de la ensean-za secundaria.

Al mismo tiempo, el progreso continuo de la investigacin matemtica exige una evolucin rpida del programa de la en-seanza superior.

El desarrollo de las matemticas durante el siglo xrx y la ten-dencia cada vez ms acusada a economizar esfuerzos a los alum-nos de la enseanza secundaria han comprometido tambin el equilibrio, ya precario, de ambos programas.

La preferencia de la investigacin contempornea hacia el anlisis, la introduccin de mtodos de razonamiento cada vez ms complicados y ms abstractos y las crecientes exigencias de rigor matemtico que derivan de la aplicacin de tales mtodos, han contribuido a crear entre ambos programas un hiatus que parece insuperable.

Por una parte, las matemticas elementales, materia por ex-celencia para el programa de la enseanza secundaria, parece que pierden todo inters cientfico; por otra parte, las teoras

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ll: El mtodo en la enseanza matemtica 31 cada vez ms complejas que la investigacin moderna ha esta-blecido no pueden incorporarse al programa de la enseanza se-cundaria.

11. Influencia de las ideas de Klein

En su clebre curso sobre La geometra elemental desde un punto de vista superior y en sus iniciativas para una reforma de la enseanza secundaria, Klein hizo un esfuerzo para tender un puente entre los dos programas de estudio. Sin embargo, las ideas de Klein, a despecho de su influjo saludable, no han promovido la completa renovacin que era de esperar; han suscitado una reforma en cuanto al mtodo de la enseanza ms que una refor-ma del programa. Mencionemos, no obstante, en este orden de ideas el nuevo programa establecido en los Pases Bajos, en 1937, a consecuencia de una serie de informes publicados por una Co-misin inspectora para la reforma de la enseanza matemtica creada en 1925 y presidida por H. J. E. Beth.

No es difcil explicar por qu los esfuerzos de Klein tuvieron en su tiempo un xito incompleto. Las teoras geomtricas de Klein, aunque ocupaban una posicin intermedia entre los pro-gramas corrientes de la enseanza secundaria y de la enseanza superior, estaban muy lejos del centro de inters de uno y otro. Sin embargo, el progreso de la investigacin ha continuado, y mientras el anlisis se ha desarrollado en las direcciones ms divergentes, el modesto lugar ocupado antao por la geometra elemental considerada desde un punto de vista superior, de Klein, se ha transformado en una vasta regin del mundo intelectual: el dominio de la investigacin de las estructuras algbricas, que se ha revelado de una importancia inesperada para las matemticas en general. Al mismo tiempo, la investigacin de los fundamen-tos, que tiene su origen en preocupaciones predominantemente filosficas, se ha convertido en una fuente de inspiracin para bien de los matemticos de nuestros das. El desarrollo de estos nuevos campos de investigacin es, en mi opinin, de una gran importancia para la aproximacin de los programas de estudio; esta afirmacin no la hacemos para deslumbrar al lector. En efec-to: no se trata de incorporar el estudio de las estructuras alg-bricas o de los fundamentos de las matemticas al programa de


la enseanza secundaria. Solo quiero subrayar la importancia del desarrollo de un amplio campo de estudios que tiene un valor inesperado para la profundizacin de las materias del programa corriente de la enseanza secundaria y para la comprensin de algunas dificultades que experimentan generalmente los alumnos.

III. Ilustracin

Quiero decir algunas palabras sobre el paso del sistema F de los nmeros racionales al sistema R de los nmeros reales. Para simplificar el razonamiento solo tendr en cuenta el orden usual en los dos conjuntos y no hablar de las operaciones aritm-ticas 1

l. Consideremos en primer lugar el motivo para pasar de la estructura [F,


o ms bien su negacin (Ez) [z < y . & . z < x]

que permite la reduccin siguiente (se comprender sin dificultad lo adecuado de las sucesivas etapas):

(Ez) [z < y . & . { X = z . V X < z l ] (Ez) ( { Z < y . & . X = Z : V { Z < Y -& X < Z } )

(Ez) [z < y . & . x = z] v (Ez) [z < y . & . x < z] x

36 lA enseanza de las matemticas tural que experimente muy grandes dificultades si se le obliga a salir de este dominio familiar.

IV. Lgica y Prilcologfa

Nuestra tesis, segn la cual la pedagoga de las matemticas plantea ciertos problemas que pueden ser dilucidados por la L-gica ms bien que por la Psicologa, nos obliga a profundizar las relaciones entre estas dos disciplinas.

La crisis de los fundamentos, que se ha manifestado entre 1890 y 1910, ha tenido por efecto inmediato que los matemticos y los filsofos hayan experimentado la urgente necesidad de en-contrar un punto fijo que permita una orientacin en el campo catico que constituan entonces las matemticas. Este punto fijo no poda encontrarse en las matemticas, por lo que frecuente-mente se ha buscado fuera de ellas. Muchos investigadores espe-raban encontrar en la Lgica una base slida para el edificio de las matemticas; no obstante, pronto los fundamentos que pro-porcionaba la Lgica demostraron ser tan poco slidos como los de las matemticas.

Por consiguiente, se ha pensado que era necesario buscarlos ms all de las fronteras de las ciencias formales recurriendo a las ciencias de lo real para encontrar un fundamento seguro para la lgica y para las matemticas. Por otra parte, ha parecido evi-dente que las Ciencias de la Naturaleza no podran proporcionar jams este fundamento. Su incapacidad a este respecto se haba manifestado ya en las discusiones sobre los fundamentos de la Geometra, que haban sido provocadas por el descubrimiento de la Geometra no euclidiana. Esta experiencia era tanto ms con-vincente cuanto que la Geometra ocupa, en muchos aspectos, una posicin intermedia entre las matemticas puras y las cien-cias de la naturaleza.

Era, pues, natural que se acudiese entonces a la Psicologa, que a la sazn se encontraba en pleno auge. Por una parte, las discusiones sobre los fundamentos de la Geometra .haban puesto ya en contacto a la Psicologa con la investigacin de los funda-mentos; por otra parte, la Lgica posea, desde tiempo inmemo-rial, mltiples lazos con la Psicologa. Habra sido especialmente importante para la pedagoga de las matemticas que se hubiesen

ll: El mtodo en la enseanza matemtica 37 establecido relaciones ntimas entre la L6gica, la Psicologa y la investigacin de los fundamentos. En efecto, una colaboracin entre estos tres dominios habra contribuido sin duda a la solu-cin de los problemas prcticos de la enseanza matemtica. Sin embargo, es necesario hacer constar que la Psicologa apenas ha facilitado el deseado acercamiento. Cuando muchos matemticos habran querido utilizar sus recursos, la Psicologa ha abandonado su intelectualismo tradicional para consagrarse casi exclusivamen-te al estudio de la afectividad y del subconsciente.

En cuanto a los matemticos, sentan vivamente la necesidad de una aproximacin. La situacin era especialmente desmorali-zadora para los profesores de la enseanza secundaria. Para qu inculcar las matemticas a los alumnos si sus teoremas no sola-mente eran intiles desde el punto de vista prctico, sino que adems estaban desprovistos de fundamento slido? Para qu molestarlos con las exigencias de rigor inherentes al mtodo de-ductivo, si este no poda, como siempre se haba credo, garanti-zar la exactitud de sus resultados?

La urgente necesidad de encontrar un punto de referencia para juzgar el problema de los fundamentos dio lugar a una am-plia serie de tentativas para estudiar este problema partiendo de datos o concepciones procedentes de la Psicologa 1

1 Para fijar las ideas, conviene citar, entre otros: G. HEYMANS: Die Gesetz.e und Elemente des wissenschaftlichen Denkens,

Leipzig, 1890. E. G. HUSSERL: Philosophie der Aritmetic, Halle-Saale, 1891. B. ERDMAN: Logik, Halle, 1892. W. JERUSALEM: Der kritische Idealismus und die reine Logik. Wen, 1905. G. SroRRINo: Logik, Leipzig, 1916. IMRE HERMANN: Psychoanalyse und Logik, Leipzig-WienZrich, 1924. - Denksychologische Betrachtungen im Gebiete der mathematischen Men-

genlehre, Schwei;,. Zeitschrift fr Psychologie, 8, 1949. PH. CHASLIN: Essai sur le mcanisme psychologique des oprations de la

mathmatique pure, Pars, 1926. Otros autores, como:

Ta. ZIEHEN: Lehrbuch der Logik, Bono, 1920; A. SPAIER: La pense et la quantit, Pars, 1927, sin adherirse al psicologismo radfoal, atribuyen, cuando menos, un alcance considerable a los argumentos de orden psicolgico.

En mi opinin, los trabajos ulteriores de HussERL muestran-claramente que tampoco l se ha librado de la influencia del psicologismo.

38 La enseanza de las matemticas Con cierta reserva 1 podemos decir que la Psicologa apenas

ha contribuido a esclarecer el problema de los fundamentos de la Lgica y de las matemticas. Ya Frege ha combatido vivamente la intervencin de la Psicologa en las discusiones de este pro-blema, y hoy la inmensa mayora de los especialistas opina que es preciso evitar en esta materia toda intervencin de los psi-clogos.

Es necesario, entindase bien, distinguir netamente entre la cuestin de derecho y la de hecho. El mero hecho de que hasta ahora la contribucin de la Psicologa a la investigacin de los fundamentos haya sido despreciable, no prueba, evidentemente, que haya de serlo en el porvenir.

Para juzgar la posibilidad de tal desarrollo hay que discutir las siguientes cuestiones: I, cmo explicar el hecho de que has-ta ahora la contribucin de la Psicologa no haya sido ms im-portante?; II, cul podra ser, en principio, la contribucin de la Psicologa?

A la cuestin I podran darse las respuestas siguientes: l. Los representantes de la Psicologa moderna no dispo-

nen, en general, de la formacin matemtica que constituye una condicin indispensable para todo trabajo fructfero sobre el pro-blema de los fundamentos.

2. La Psicologa no ha alcanzado an el nivel deseable. Ninguna de estas respuestas parece enteramente satisfactoria.

En efecto: sera natural que el psiclogo que desee estudiar el problema de los fundamentos comience por adquirir la formacin matemtica indispensable; adems, si el desarrollo de la Psico-loga no ha alcanzado an el nivel necesario, ser el psiclogo el primero que se d cuenta de ello, y puede esperarse que realice un esfuerzo para impulsar la Psicologa y no para resolver por medios inadecuados un problema cuya dificultad no debera ocul-trsele. No obstante, se tiene la impresin con demasiada fre-cuencia de que los psiclogos subestiman el carcter grave de los problemas lgicos y matemticos planteados por la crisis de los fundamentos y de que se forjan una idea exagerada del poder de

1 Hablaremos separadamente de los trabajos de G. MANOURY y de su escuela sobre el anlisis psico!ingstico de las matemticas, y de los de PIAGET sobre la epistemologa gentica.

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ll: El mtodo en la enseanza matemtica 39

su ciencia en relacin con estos problemas. Este desconocimiento de la situacin real irrita a los especialistas de la investigacin de los fundamentos y les ha llevado a ponerse en guardia contra toda intervencin por parte de la Psicologa.

Sobre la cuestin II, en mi opinin, la contribucin de la Psicologa ser siempre muy modesta.

Es cierto que la investigacin de los fundamentos no puede eliminar todos los problemas psicolgicos. Pero los investigadores pueden siempre obrar de modo que los problemas de esta ndole que se presenten puedan ser resueltos en el marco de la psicolo-ga del sentido comn.

En primer trmino, tomemos un ejemplo muy sencillo. Para hacer Lgica simblica es preciso que se sepan distinguir y reco-nocer smbolos de formas determinadas. Puede ocurrir que un lgico cometa errores porque no es capaz de reconocer smbolos de formas determinadas. Este lgico puede eventualmente ser un buen caso patolgico para el psicoanalista, que puede revelarle las causas de su fallo (o ms bien que podra hacrselas revelar a l mismo). Este tratamiento podr ser lo mejor para la salud ps-quica de nuestro lgico, pero en su trabajo lgico solo podr salir del apuro reemplazando el smbolo en cuestin por otro de forma distinta.

De una manera general, el psiclogo se ocupar en descubrir el verdadero mecanismo del pensamiento. El lgico puede igno-rar el detalle de este mecanismo. En efecto: la introspeccin, la conversacin con sus colegas y sobre todo la historia de la Lgica y de las matemticas sirven para demostrarle cun complejo es este mecanismo y cun varia

1963 - piaget, beth y otros - la enseñanza de las matemáticas

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