Prof. Esteban HernndezJustificacinLas funciones exponenciales son una de las familiasde funciones ms importantes en las matemticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administracin de Empresas se usan para inters compuesto, anualidades y planes de ahorro entreotras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimientoen biologa, reacciones de primer orden en qumicaorbitales moleculares en qumica fsica, etc.. En este mdulo veremos los conceptos bsicos de construccin de grficas, solucin de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.Pre-pruebaA. Traza la grfica lassiguientes de funciones exponenciales11. ( ) 22. ( ) 513. ( )34. ( ) 35. ( )xxxxxf xf xf xf xf x e

== +=' '==B. Resuelve las siguientesde ecuaciones exponenciales3 6 31. 2 2x x=4 2 42. 3 3x x =13. 9 3x x=Funciones ExponencialesDefinicin de una funcin exponencialLa x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es elconjunto de los nmeros reales, , . R = Como lalos resultados al evaluarlas funciones exponenciales son nmeros positivospor lo tanto el alcance ser, 0 y 1 b b " { 0, . A = Sea un nmero real. A una funcin de la forma se le llamafuncin exponencial con base( )xf x b =. b0 1 b y b " {Sila funcin ser una funcinconstante, que no es exponencial.( ) 1 f x =1 b =Funciones ExponencialesEstas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.Ejemplos de funciones exponenciales1. ( ) 32. ( ) 423. ( )34. ( ) 55. ( ) 10xxxxxf xf xf xf xf x

== +=' '==Funciones ExponencialesEjemplos:Traza la grfica de las siguientes funcionesexponenciales.1. ( ) 32. ( ) 213. ( )224. ( )35. ( ) 10xxxxxf xf xf xf xf x

== +=' ' +=' '=SolucinSolucinSolucinSolucinSolucinGrficas de funciones exponencialesFunciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx1. ( ) 3xf x =x f(x)01212

1391319EjerciciosObserve el dominio y el alcance en la grfica. Observe tambin que si los valores de x tienden a menos infinito, los valores de la funcin tienden a 0., x p Funciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx2. ( ) 2xf x =x f(x)012312

12412148EjerciciosFunciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx13. ( )2xf x +=' 'x f(x)-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx01212

1241214EjerciciosFunciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789x f(x)01212

13294234924. ( )3xf x +=' 'EjerciciosFunciones Exponenciales5. ( ) 10xf x

=x f(x)01101001101100-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789EjerciciosFunciones Exponenciales121 2 Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).2. Si b > 0 la funcin es creciente.3. Si b < 0 la funcin es decreciente.4. El eje de x es una asntota horizontal.5. El dominio es el conjunto de los nmeros reales.6. El alcance es el conjunto de nmeros reales positivos.7. Las funciones exponenciales son uno a uno.Funciones ExponencialesTransformaciones de las funciones exponencialesAl igual que las funciones estudiadas anteriormentepodemos transformar las funciones exponencialesvariando sus parmetros (nmeros) para producirtraslaciones, reflexiones, estiramientos ycontracciones. Las funciones que resultan de estastransformaciones se conocen como funciones deforma exponencial. Veremos algunos ejemplos acontinuacin.Funciones ExponencialesTraza la grfica de las siguientes funciones.1121. ( ) 3 22. ( ) 213. ( ) 2224. ( ) .535. ( ) 2 26.( ) 2xxxxxxf xf xf xf xf xf x

= = += ' ' += ' '==SolucinSolucinSolucinSolucinSolucinTransformaciones de las funciones exponencialesSolucinFunciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567891. ( ) 3 2xf x = x f(x)01212

3511123129( ) 3xf x =( ) 3 2xf x = EjerciciosFunciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678912. ( ) 2xf x

=x f(x)012312

124121418EjerciciosFunciones Exponenciales-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678f(x)x13. ( ) 22xf x += ' 'x f(x)012312

11242148-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678f(x)xEjerciciosFunciones Exponenciales-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678f(x)x-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678f(x)x24. ( ) .53xf x += ' 'x f(x)012123

13293412982716EjerciciosFunciones Exponenciales-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678f(x)x15. ( ) 2 2xf x =x f(x)012123

94

178

3 52

4 6 EjerciciosFunciones Exponencialesx y-2-10121/81/21/411/1626.( ) 2xf x

=2 2.( 2) 2 a f

= =1 2.( 1) 2 b f

= =0 2.(0) 2 c f

= =1 2.(1) 2 d f

= =2 2.(2) 2 e f

= =42

=41 116 2=331 128 2

= =221 124 2

= =111 122 2

= =02 1 =3 2.(3) 2 f f

= =12 2 =3 2EjerciciosFunciones Exponenciales2( ) 2xf x

=-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-4-3-2-11234x y-2-10121/81/21/411/163423EjerciciosResolver ecuaciones exponenciales igualando las bases.Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por lo tanto si y solo si x = y .Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales.x ya a =Ejemplos:Resuelve las siguientes ecuaciones.3 8 21. 2 2x x=4 62. 3 3x x=13. 27 3x x=SolucinSolucinSolucinFunciones Exponenciales6 10 12 36.3 2 x x ++= ' ' ' '24 217.xxee

+=' '2 22 58.4 2x x x=4 2214. 22xx

+= ' '225. 1664xx

+=' 'SolucinSolucinSolucinSolucinSolucinFunciones Exponenciales3 8 21. 2 2x x=3 8 2 x x= 3 2 8 x x=2 6 x =3 x =, C.S 3 =EjerciciosVerificacin 2 3 8 3 32 2 =1 8 92 2 =

2 2 =Funciones Exponenciales4 62. 3 3x x=4 6 x x= 4 6 x x=5 6 x =65x =6C.S5|= , `|)Verificacin5665643 3

'+

'

=565305243 3 =56563 3 =EjerciciosFunciones Exponenciales13. 27 3x x= 3 13 3xx=3 1 x x = 2 1 x =12x =1C.S2| = , `| )Verificacin1 112 227 3

=3 32 23 3 = 3 132 23 3 =EjerciciosFunciones Exponenciales4 2214. 22xx

+= ' ' 4 21 22 2xx

=4 2 22 2x x =4 2 2 x x = 5 4 x= 45x =4C.S5| = , `| )EjerciciosFunciones Exponenciales225. 1664xx

+=' ' 24 52 2x x =24 5 x x = 24 5 0 x x= 4 5 0 x x=0 4 5 0 x x ==54x = 5C.S. =0,4|

, `| )EjerciciosFunciones Exponenciales6 10 12 36.3 2 x x ++= ' ' ' '16 10 12 23 3xx

+ ++= ' ' ' '' '6 10 1 x x=7 11 x = 117x = 6 1 10 x x=11C.S.=7|

, `| )EjerciciosFunciones Exponenciales24 217.xxee

+=' '4 2 2 x x= 4 2 2 x x= 4 2 2 x x = 4 2 2 x x=3 0 x =0 x =4 2 2 x x = 4 2 2 x x =5 4 x= 45x =4C.S.= 0,5| , `| )EjerciciosFunciones Exponenciales2 22 58.4 2x x x= 22 22 52 2x xx

=2 22 4 5 x x x= 2 22 4 5 0 x x x=24 5 0 x x =

5 1 0 x x =5 0 1 0 x x==5 1 x x ==, C.S. 5, 1 = EjerciciosFunciones ExponencialesAplicaciones de las funciones exponencialesLas funciones exponenciales tienen muchasaplicaciones en ciencias, matemticas, comercioy en otras disciplinas. Veremos aqu algunas deesas aplicaciones.1. Frmula de inters compuesto1 es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversin es la tasa de inters anual es el nmero de peridos de tiempo por ao es el nmero aosntrA PmAPrnt += ' 'Funciones Exponenciales2. Frmula de inters continuo es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversin es el inters anual es el nmero de aos de la inversinitA PeAPit=3. Frmula de crecimiento y decaimiento exponencial

00es la cantidad acumulada luego de un tiempo t es la cantidad inicial es la constante de crecimiento o decaimiento,es el tiempo Si0 hay crecimiento o aumento en el valor de, ktAt A eAAktk A="si 0elvalor de decae o decrece. k A Funciones Exponenciales4. Frmula de enfriamiento de Newton

00,0 es la temperatura del objeto en un tiempo t es la temperatura del medioambiente es la temperatura inicial del objeto es el tiempo es una constante negativaktu t T u T e kuTutk= 5. Frmula de crecimiento logstico

1 es la poblacin en un tiempo t , ,son constantes,0,0 es el tiempo en aos es la capacidad de crecimiento pueslimtcP tbtaePabc c btc P t cp=

" "=Funciones ExponencialesResuelve el ejercicio.1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente funcin, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en aos. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 aos. (redondea a gramos)A) 103g B) 64gC) 4775gD) 75g2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente funcin, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en aos. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 aos. (redondea a gramos)A) 37gB) 56g C) 22,079 g D) 27g3) Desde 1950, el crecimiento de la poblacin mundial en millones de personas puede ser aproximada por la funcin exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el nmero de aos desde 1950. Estima la poblacin en el ao 2003 al milln ms cercano.A) 6,629 millones B) 6,872 millonesC) 6,750 millones D) 36,152,864 millones4) Desde 1950, el crecimiento de la poblacin mundial en millones de personas puede ser aproximada por la funcin exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el nmero de aos desde 1950. Estima la poblacin en elao 2015 al milln ms cercano.A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millonesD) 313,486,458 millonesFunciones ExponencialesEncuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m aos a una tasade inters nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugaresdecimales.5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anualA) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85D) $967.156) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianualA) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86D) $1,422.107) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmenteA) $189.65 B) $642.35C) $669.65D) $657.078) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmenteA) $22,171.07 B) $22,211.16C) $10,614.49 D) $22,614.49Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de inters r por t aos. Redondea a centavos.9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anualA) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.1010) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianualA) $8,889.96 B) $9,707.84C) $1,165.54D) $9,334.46Funciones Exponenciales11) A = $6,500, t = 8, r = 13%compuesto trimestralA) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78D) $4,164.2212) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensualA) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87D) $11,956.18Resuelve el ejercicio.13) La media vida del silicn-32 es 710 aos. Si tenemos una muestra de 30 gramos. Qu cantidad habr luego 300 aos?A) 22.383 B) 0 C) 29.134D) 1.60414) La media vida del silicn-32 es 710 aos. Si tenemos una muestra de 40 gramos. Qucantidad habr luego 300 aos?A) 29.845 B)0 C) 38.845D)2.13815) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal decarbono-14. Qu edad en aos tiene el fsil? Use 5600 aos como la media vida del carbono 14.A) 26,873 B)2649 C) 34,489D) 10,26616) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal decarbono- 14. Qu edad en aos tiene el fsil? Use 5600 aos como la media vida del carbono-14.A) 27,429 B)2876C) 34,262 D)970917) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal decarbono-14. Qu edad en aos tiene el fsil? Use 5600 aos como la media vida del carbono 14.A) 20,685 B) 1123 C) 36,015D) 16,45318) Un termmetro con una lectura de 11C se ubica en un saln con una temperatura constante de 20C. Si el termmetro tiene una lectura de 17C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termmetro luego de estar en el saln durante 10 minutos.A) 7.91C B) 18.56CC) 21.44C D) 20C19) Un termmetro con una lectura de 13C se ubica en un saln con una temperatura constante de 20C. Si el termmetro tiene una lectura de18C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termmetro luego de estar en el saln durante 9 minutos.A) 11.350C B) 18.93CC) 21.07C D) 20C20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98F colocndola en una nevera con una temperatura constante de 35F. Si la temperatura de la carne baj a 91F en 5 minutos, Cunto tiempo le tomar a la carne alcanzar una temperatura de 52F?Ley de enfriamiento de Newton:U = T + (U0 T)ekt: T = Ta+ (T0 - Ta)ekt.A) 18 minutos B) 56 minutosC) 3 minutosD) 16 minutos21) La ecuacin de crecimiento logsticoP(t) = modela la poblacin de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas. Cunto tardar en que el nmero de bacteriassea de 620?A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horasD) 6.02 horas0.348t e 30 193022) La ecuacin de crecimiento logsticoP(t) = representa la poblacin de una especie introducida en un nuevo territorio luego de taos. Encuentra la poblacin luego de20 aos de introducida la especie.A) 178B) 102C) 240D) 1130.189t e 59 1240Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.23) Encuentra la tasa de inters anual que se requiere para duplicar una inversin en 4 aos.A) 18.921% B) 17.329%C)9.46% D)31.607%24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversin si la tasa de inters es de 5.25% compuesto continuo.A) 14.114 aos B) 20.926 aosC) 6.601 aos D) 13.203 aos25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversin si la tasa de inters es de 7.25% compuesto continuo.A) 16.362 aos B) 9.561 aos C)7.577aos D) 15.153 aosPost-pruebaA. Traza la grfica lassiguientes de funciones exponenciales11. ( ) 22. ( ) 513. ( )34. ( ) 35. ( )xxxxxf xf xf xf xf x e

== +=' '==B. Resuelve las siguientesde ecuaciones exponenciales3 6 31. 2 2x x=4 2 42. 3 3x x =13. 9 3x x=Funciones Exponenciales-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789yx1. ( ) 2xA f x=x f(x)012312

12412148Respuestas de la pre y post- pruebaFunciones Exponencialesx f(x)01212

1151255252. ( ) 5xA f x=7 ? 7 o 4 1 2 l l 2 1 4 o 7 ? 7 l0l07?7o412ll214o7?7yxFunciones Exponenciales13. ( )3xA f x + = ' 'x f(x)7 ? 7 o 4 1 2 l l 2 1 4 o 7 ? 7 l0l07?7o412ll214o7?7yx01212

1391319Funciones Exponenciales4 1 2 l l 2 1 4 412ll214x f(x)01213

131991314. ( ) 3xA f x

=Funciones Exponenciales7 ? 7 o 4 1 2 l l 2 1 4 o 7 ? 7 l0l07?7o412ll214o7?7yxx f(x)01212

11e21ee2e5. ( ) , 2.71xA f x e e=