1. Determina las longitudes de los siguientes triángulos:

x

4

8

12

16

5

1012

11. Encuentra las longitudes faltantes en los siguientes diagramas:

p o

R T

s u

- -AB=3cm BC=2cm- -DE=2.5cm EF=x

PR=xcm QT= 15cm- -RS=4cm TU=6cm

111.Un edificio produce una sombra de 3 metros, si una persona que tiene una altura de 1.70 metrosproduce en ese mismo instante una sombra de 1.1 metros, determina la altura del edificio.

IV. Calcula el área de un triángulo equilátero en el que la longitud de sus lados es de 20 centímetros.

y

jii~Y~GU¡~!Sic)~~

t.

Identificaciónde las características de lostriángulos semejantes

Construye en tu cuaderno espacio dos triángulos de dimensiones diferentes pero con los siguientes án.gulos interiores: <t = 37°, <t = 53°Y<t = 90°.

¿Qué relación presentan los lados de ambos triángulos?

Escribe tus observaciones y coméntalas con el resto del grupo.

Ig@

Definición de semejanza

Enelcurso de tus actividades cotidianas puedes percibir figuras se-mejantes.Cuando observas un mapa, la escala correspondiente tedauna idea exacta de la distancia que existe entre dos puntos. Porejemplo,cuando tomas una fotografía la imagen que captas es se-mejanteal objeto fotografiado.

Escala. Es la relación matemática que existeentre las dimensiones reales y las del dibujoo mapa. Se representa como un cociente queindica la unidad real entre el númeroalque corresponde la escala.

Proporción. Esla igualdad de dos razones.

Razón. Es una comparación de dos canti-dades por su cociente.

Observalas dos fotografías, mide sus dimensiones (largo y ancho) y anota abajoque proporción existe entre ambas.

Actividad

Para esta actividad vas a necesitar una fotografía de cuerpo completodonde aparezcas de pie, pégala en tu cuaderno y mide tu altura (en centí-metros).Compárala con tu estatura real (en metros) y determina la escalade la fotografía.

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

Da>safío¿Podrías identificar la escala delos planos de la Guía Roji?Uti-lizacomo referencia la longitudde tu calle.

Lleguena una conclusión que explique porqué hay diferencias entre laescalaque obtuviste y los cálculos que realizaron tus compañeros.

Dostriángulos serán semejantes cuando sus ángulos son congruentes o igua-les,y la proporcionalidad entre sus lados se mantiene constante, los cualesse denominan homólogos. Al cociente formado por el valor de estos lados sedenominarazón de semejanza. El símbolo de semejanza es =.

p

6~' 10

Q~R

P'

3Q~R'

Observacómo se identificó a los lados homólogos, para poder determinar conmayorsencillez la proporcionalidad entre ellos. Para que te sea más sencilloidentificarlos lados homólogos, puedes marcar con líneas, ya sean los lados oángulossemejantes, como se muestra en las figuras anteriores.

fl~I

~!

Para.saber

~

Las fotocopiadoras actuales, quepueden hacer ampliaciones y re-ducciones, operan bajo el princi-pio de la semejanza.

Investiga en Internet cuál esel funcionamiento de la foto-copiadora y su relación con eltema de esta secuencia.

conexionesInvestiga cuál es la escala quese utiliza en los mapas de lapágina Google Earth para re-presentar las imágenes de latierra.

I'ISe.!9

~319

---

La razón de semejanza de los triángulos anteriores sería:

..Q.!L- J!.. - 2Q'R' - 4 -

Postulados de semejanza

PR - 10P'R' - "5 = 2

..EQ.=~=2P'Q' 3

A

1. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes (AA).

B

~A~

b'B' c' e

~a = ~a' ~b = ~b'

e

~c = ~c'

2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y elángulo que se forma entre ellos es congruente.

e

~ A = ~ A'

Dn

m=~n e

3. Dostriángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales (LLL)

a

a b e

d = e =T

1. Reúnanse en binas y midan los ángulos de los siguientes triángulos.

~ [\455 4

Ahora respondan las siguientes pregu"ntas:

10

¿Cuálesson triángulos congruentes? Justifiquen su respuesta.

¿Cuálesson triángulos semejantes? Justifiquen su respuesta.

Identifiquen los lados homólogos y anoten la razón de proporciona-lidadentre cada uno.

¿Cómo son sus ángulos correspondientes?

2. Integren equipos de tres compañeros e investiguen en Internetcómo se aplica el concepto de semejanza en la arquitectura y en lapublicidad. Desarrollen una presentación en PowerPoint, en máxi-mo4 diapositivas, y preséntenla ante su grupo.

Ejemplos:

1. Encuentrael valor de las incógnitasen lossiguientestriángulos semejantes:

y

3

12 x

L

Investigaen Internet cómo mi-dióTalesde Miletola altura de lapirámide de Keopsy realiza unesquema que represente lo an-terior, utilizalas medidas reales.

---" ---- ,..t.':

De acuerdo con la posición de los lados, en los triángulos señalamos 101lados homólogos.

y

3~12 x

, .i.

Para resolverx relacionamos los lados homólogos que la incluyen y losdOllados que tienen el valor numérico:

x 512=15

Observa que los datos de los lados del triángulo de la derecha están endnumerador, en ambos lados de la igualdad, y en el denominador se encuen.tran los datos del triángulo de la izquierda.

-.!...- 2- Izquierda12 - 15 Derecha

Resolviendola proporción como si fuera una regla de tres y reduciendolaexpresión tenemos:

x = (12)(5) = 60 = 45 15

Hacemos lo mismo para y:~-2y - 15

(6)(15) = 90 = 18Y 5 5

2. Ahorael problema es un poco más complejo.

x

Observa que existen dos triángulos semejantes. Separamos los dos triángu.los para marcar los lados homólogos.

lISs::::!~¿,@

.4

x

IS 101 Relacionandoloslados homólogosy resolviendo tenemos:

~-.:!l5 - 4

x = (5)(11) = 554 4

r

Encuentrael valor de las incógnitas en los siguientes triángulos semejantes.

dOla) 6

~8

~4 10

x~2nelten.

b) úx

) la d)c) ~

/x~19 ~

3

5 x 24

y 10

3~Ly~

3

Acti .

Reúnetecon varios compañeros. Van a necesitar lápiz, regla, hojas decuadrículatamaño carta, escuadras y colores.

Tracenen la hoja de cuadrícula los triángulos que se muestran a conti-nuación,incluyendo la paralela que tiene otro color.

u.

D7cm

.(10

cnológlco

Conédate a Internet y tecleaen el motor de búsqueda de tupreferencia las palabras "apli-caciones de la semejanza detriángulos".Elabora un resumen de lasapli-caciones que te parezcan másatradivas y preséntalo ante tugrupo. Seleccionen el resumenque sea más original.

L

<o.,.

DCDsafíoResuIta tentador pensar que losegipciosfueron la única civiliza-ción antigua que hizo uso de lageometría, y en especial de 105triángulos y sus propiedades.Supón que eres un arqueólogoy deseas probar que existieronotras civilizacionesque aplica-ron el concepto de semejanza.¿Cómo podrías probar lo ante-rior?, ¿qué harías?, ¿dónde in-vestigarías?

IU!:

:m

~~@

~.

Actividad {continuación

¿Cómo son 105triángulos que se forman en cada uno?

¿Por qué crees que ocurre esto? Justifica tu respuesta.

Comenta tus observaciones con tus compañeros.

Resolución de problemas aplicandocriterios de semejanza

Ahora resolveremos los siguientes problemas utilizando el concepto de triángu.'los semejantes.

1. Flor tiene una estatura de 1.50 metros y en un instante dado proyectauna sombra de 0.95 metros. En el patio de la escuela el asta presentaunasombra de 1.20 metros, encuentra la altura del asta.

PlanteamientoRealicemosun esquema del problema:

~\U.:1/

.~~

/'f'~

t'\

x\

~~~, .,'.,- - -' .......

Aplicandola definición de semejanza de triángulos tenemos:

150~

x

0.95 1.20

Resolviendo:1.50 - 0.95

x - 1.20

Portanto:

(1.50) (1.20) = 1.80 = 1.89 mx = 0.95 0.95

2. Unaempresa que se dedica al tendido de líneas telefónicas necesita an-clardos postes, como se muestra en la siguiente figura. Si el poste que yaestáanclado tiene una altura de 15 metros y se colocó el cable a una dis-tanciade 10 metros, ¿a qué distancia debe anclarse el otro cable del postequetiene una altura de 12 metros?

l."

15m

4& ..{)¡

10 m x

Dibujemosahora el par de triángulos que representan el problema.

J-

1215

ta IIII

I

la10 x

Planteando la proporción en relación a sus lados homólogos:

.:!2-1Q12 - x

Resolviendo:(12)(10)

x = 15

120 = 8 mx=15

Elposte de 12 m de alto debe anclarse a una distancia de 8 metros de él.

Actividad

Resuelvelossiguientes problemas:

1. Unárbol proyecta una sombra de 7.5 metros. A la misma hora, unniño cuya estatura es de 1.54 metros proyecta una sombra de 82centimetros. Calcula la altura del árbol.

2. Uningeniero realizó el siguiente diagrama para calcular la anchurade un lago. Encuentra el valor de x.

~

Para.,saber.IfI

La geometría es una de las cien-

cias más antiguas, existen diver-sos tipos de geometrías: eucli-diana, plana, espacial, analítica,diferencial, proyediva, descripti-va, de incidencia y de dimensio-nes bajas.

Actividad {continuación

3. Para encontrar la longitud de un segmento del río, un topógrafo uti-liza triángulos semejantes para determinar la longitud de esa partedel río, como se muestra en la siguiente figura:

x

4. Calcula la altura de un edificio si su sombra tiene una longitud de 6metros, sabiendo que un árbol de 2.5 metros proyecta una sombrade 1.8 metros a la misma hora.

x.91d1

I~

.~I:I

5. En la siguiente figura se muestra un sistema de poleas que se utili-zan para levantar vigas de acero. Encuentra la longitud de la cuerdade la polea para que el motor quede al centro.

0.5m

E6. Ahora debes elaborar un plano a escala de

tu casa. Puedes trazar el plano en hojasblancas o en hojas cuadriculadas de tama-ño rotafolio.

!~~~@

Para esto debes medir las dimensiones de tu

casa. Sies complicado puedes considerar lasdimensiones totales de tu casa, pensandoque sea un cuadrado o rectángulo con lasdimensiones reales de largo y ancho, paraluego ir dibujando las recámaras y demásáreas. No olvides elegir la escala que utiliza-rás para elaborar el plano.

~

.~

3.2m

Evaluaciónsumativa

1. Encuentra los valores de las incógllitasen los siguientes triángulos:

a) b) c)

16 /}J4~x X~6

d)2

e)f)

5 ~10

B

y 1.5

h)

g)~12 . . .. :1455

i) 3

~Ú

x ~3 y

Cierrede secuencia

Utilizael plano de tu casa para calcular las dimensiones de un conjunto residencial formado porcincocasasiguales ala tuya, las cuales están una junto a la otra, compartiendo tos muros lateralesde las casas interiores. Compara tus dibujos con los de tos compañeros.

i

'11f"

Identificación de los teoremasde Talesy Pitágoras

'C""~'J'i;t, /"'f¡/~p¡Pp

!~i~~~lif~~iqjri

Con base en el siguiente dibujo contesta:.

A

¿Cuánto miden los siguientes segmentos o longitudes?

AC= BO = CE= OF=-

8 ¿Qué relación existe entre ACy BD?

2e

1.6o

3

¿Y entre CEy OF?

2.5

E~1:::!

~@ I

F

\

teoremaue Ii:ues

Enlaactividadanterior encontraste la relación que existe entre las longitudes for-

madaspor las rectas transversales, descubriste que las longitudes son proporciona-lesentresí. Unavez visto lo anterior podemos enunciar el teorema de Tales:

"Sidosrectasse cortan por un sistema de para/elas, los segmentos determinados

porlospuntos de intersección sobre una de ellas son proporciona/es a los determi-nadosporlospuntos correspondientes en /0 otra".

Esteteorema se cumple también cuando en un triángulo cualquiera se traza

una recta paralelaa cualquiera de sus lados, con lo que seforma un triángulosemejante al original.

A

B

o e

/':,. Aoe ~ /':,.BEC

E

Ejemplos:

Encuentra la longitud del segmento AB usando el teorema de Tales.

~palabras en el

P~rllROLa palabra teorema proviene

del latín theórema, cuyo signifi-

cado es lo que se puede contem-

plar, que se puede asociar con

objeto de estudio y proposición

demostrable.

En matemáticas este término se

usa con el sentido de proposición

matemática demostrable de for-

ma lógica a partir de axiomas o

de proposiciones que fueron de-

mostrados previamente.

Las matemáticas también sondivertidas. Observael video rela-cionado con el teorema de Tales

en la siguiente dirección y co-méntalo con tus compañeros:http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY

DI \ AI

j/3

x

j

\B

17

O

10

-rle

~~

IGe

i@

¿Quiénfue?

Pitágoras, filósofo y matemático

griego, discípulo de Tales de Mi-

leto,Anaximandro yAnaxímenes,

en el 530 a.c., fundó el pitagoris-

mo, un movimiento religioso, po-

lítico y filosófico. Los miembrosde este movimiento cultivaron el

concepto de número, que llego

a ser para ellos el principio cru-

cial de toda proporción, orden y

armonía en el universo, estable-

ciendo una base científica paralas matemáticas.

@)Catetos. Estevocablo designaa los dos lados que forman elángulo recto en un triángulorectá ngu lo.

Hipotenusa. Esel lado restan-te en un triángulo rectángulo,el cual siempre es opuesto alángulo recto y siempre es másgrande que loscatetos.

,--

Planteando la,proporción tenemosx_lO

3-7

Despejando:

(3)(10) = 30 = 4.28x= 7 7

Adivida

1. Encuentra los valores de las incógnitas en las siguientes figuras:

2. Reúnete con otro compañero y realicen una investigaciónque mues-tre las aplicacionesdel teorema de Talesen sus actividadescotidianas.Realicenun collageque represente lasaplicacionesmás importantes.

Teorema de Pitágoras

Vas a necesitar 2 hojas de rota folio tamaño carta de cuadrícula chica, colores,escuadras, regla graduada, tijeras y papel adhesivo. Forma un equipo de tresintegrantes. Tracen un triángulo rectángulo en el papel bond usando lápiz decolor con las siguientes dimensiones:

cateto a = 10 cm, cateto b = 24 cm e hipotenusa = 26 cm

Ahora tracen tres cuadrados en el otro papel bond, uno de 10 cm de lado, el seigundo de 24 cm y el tercero de 26 cm. Marquen una cuadrícula de 1 cm de lad~para identificar bien su área e iluminen cada uno con un color diferente.

Cuenten y anoten en cada cuadrado cuántos cuadritos tienen marcados caluno con dígitos grandes. Peguen los cuadrados en los lados correspondientdel triángulo. Ahora respondan las siguientes preguntas: I

¿Qué sucede si suman el valor de las áreas de los cuadrados que están sobre l'catetos? j

a)

Hb)

3 2 TI10 x y 7

I

c) d)

ft 6/ \4-

1.5 x x

Suponiendoque conocen tanto el área del cuadrado que se localiza encimadecualquiera de los dos catetos como el área del cuadrado que esta sobre lahipotenusa,¿que harían con esos valores para encontrar el área del cuadradoque(arta?

Comenten sus respuestas con sus compañeros y peguen las representacionesgráficasy las respuestas del problema anterior en las paredes de su salón.

Enla situación anterior, el área de cada uno de los cuadrados que se formaronsobrelos catetos fue de 100 cm2 y 576 cm2 respectivamente. Si suman estas dossuperficies,el resultado será exactamente igual al área del cuadrado de 26 cmde lado que pegaron sobre la hipotenusa, es decir, de 676 cm2.

Conlo anterior podemos enunciar el teorema de Pitágoras:"Lasuma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la

longitudde la hipotenusa".hip2 = cat2 + cat2

! Siobservas, la cantidad de "cuadritos" del área de cada uno de los cuadrados es~ igualalvalordel área de cada uno de ellos.

j Losdespejes de las fórmulas quedarían así:@

hipotenusa = Jcatet02 + catet02

cateto =~ hipotenusa2- catet02

=i" ti,.,:",,' ..."" -:;p. :;;...::,-~ ~ ~.~ ,~ -~

a la manoEl teorema de Pitágoras se des-cubrió en el año 530a.C. Se sabe

que Pitágoras realizó la demos-tración matemática del teore-

ma que lleva su nombre, noobstante la relación que existe

entre los lados de un triángulorectángulo ya se conocía desdehace varios siglos. Existen unastablillas elaboradas por losbabilonios que representan elreparto de las tierras, mismasque fueron grabadas 2500 añosantes que Pitágoras realizara lademostración del teorema. Losestudios realizados a estas ta-

blillas demuestran que en esalejana época ya se utilizaba elteorema en cuestión.

Lpalabrasen el

tiempoLa palabra cateto significaquecae y proviene del griego Káte-

tos que significa cae a plomo.

DQ)safíoResuelve los valores en los si-

guientestriángulosrectángulos:

4

x

x

4 10

x 2

@

Ejemplos:1. Encuentra el valor de x en los siguientes triángulos.

a)

12

5

(amo hacefalta la hipotenusa, sumaremos los datos de los catetoselevadosal cuadrado:

x = ~ (12)2 + (5)2 = ~144 + 25 = .J169

x= 13

b)9

x

En esta caso, el lado que tiene la incógnita es un cateto, por lo que restare-

mos las longitudes elevadas al cuadrado:

X =~(15)2 - (9)2 = ~225 - 81 = J144x = 12

xc)

De nuevo nos hace falta un cateto, por lo que restaremos los datos propues-tos elevadosal cuadrado: .

x = ~ (2)2 - (1)2 = F=1x=[3

(amo el resultado obtenido no presenta raíz exacta, solamente se deja in- ~dicada. ~e

~@

2. Resuelve los siguientes problemas utilizando el teorema de Pitágoras.

a) Se tiene una escalera de 1.8 m recargada sobre una pared de 1 m de alto.

¿A qué distancia de la pared se localiza la base de la escalera?

)1 nlcleramos un oosqueJo ael proolema queaana aSI:

x

Observamos que hace falta un cateto:por lo que queda:

x =~(1.8)2 - (1)2 =~3.24 -1 = ~2.24 =1.49 m

b) Los postes que sostienen la carpa de un circo tienen una altura de12 metros y se van a sujetar con unos tirantes hechos con cable de acero,que se colocan a una distancia de 6 metros con respecto al poste. ¿Cuáles la longitud de los tirantes?

12 m

6m

Comose observa en la figura, ahora la incógnita es la hipotenusa, en con-secuenciatenemos:

x = ~(12)2+ (6)2= ~ 144 + 36

x = {180 = 13.41 m

Activi

1. Encuentrael valor de x en las siguientes figuras:

a) b) c)

~ 1~5~~

tT~m~RQ"' j, "I

La palabra axioma proviene del

griego axioma y significa lo que

po recejusto. Axioma es una ver-

dad o proposición tan evidente

que no necesita demostración.

En la lógica matemática, unaxioma no es necesariamente

una verdad evidente, sino unaexpresión lógica que se utilizaen una deducción para llegarauna conclusión.

L

d)

! 'x

! e) f)

x91LJ

h)

r. x 18O

x16 12 24

tU1:

t@

tif.

Actividad (continuación

i) j)

LJx v¿JFx18

m)6

U16

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Latorre de una estación radiodifusora tiene unaaltura de 25 metros y está anclada a 8 metrosmedidos desde su base. ¿Cuáles la longitud delcable que realiza el anclaje de la torre?

~,r,

b) Una persona desea subirse a la azotea de sucasa para revisar la impermeabilización deltecho. Para subir debe sortear una altura de

4 metros con una escalera que tiene una lon-gitud de 8 metros. ¿Aqué distancia del pie dela casa debe colocarse la escalera?

c) Determina la altura de un triángulo isósceles cu-yos lados iguales tienen una longitud de 6 centí-metros y su base 12 centímetros de largo.

d) Labase de un rectángulo mide 49 centímetrosy su altura mide 25 centímetros. Calcula lalongitud de su diagonal.

e) Un poste de alumbrado público está ancladoa una distancia de 3.5 m a partir de su base,con un cable que tiene 7 metros de longitud,determina la altura del poste.

---1k) 1)

JJ7 0xxn)

xQ

f) Encuentra la altura de un triángulo equiláterocuyos lados miden 5.8 centímetros.

g) Un bombero coloca la escalera que mide 7.8metros a una distancia de 2.1 metros de un edi-

ficio en llamas, ¿cuál es la altura del edificio?

li

I

I

I

'1

h) Resuelve los valores en los siguientes triángu- 11los rectángulos:

4

3y

x x

\

jO

4 10

x 2

I

Evaluación sumativa

1. Aplicando el teorema de Tales, encuentra la longitudes que se indican en la siguiente figura:

---:+---t-

~-4-+wf tx

~~

~~ P

x

10 12

1.2

-;f-+;;

~8~~

-d-+~3

2. En los siguientes triángulos encuentra el valor de x en cada caso.

G5

8

~.~.

'

.10

LlS12

Cierre de secuenciaEn las matemáticas existe una amplia variedad de teoremas, algunos tan importantes como elde Pitágoras.Considerando las ramas de estudio en esta disciplina, investigaqué otros teoremasexisten y trata de vislumbrar sus aplicaciones. Elabora un resumen con al menos tres diferen-tes teoremas a los de Tales y Pitágoras, y preséntalo ante tus compañeros; traten de encontrarlos más curiososy sus aplicaciones más sorprendentes. Premien al resumen que consideren másimpactante u original.

Q 113123

x8

/ I12