Tema 5. Introducción al Sistema de Planos Acotados. El Punto, la Recta y el Plano. 5.1. INTRODUCCIÓN. El sistema de planos acotados se hace insustituible en la representación gráfica de superficies caprichosas imposibles de controlar analíticamente, tales como los terrenos. Hoy en día, aún teniendo en cuenta el avance de la informática y la posibilidad de representar modelos digitales de elevación formados por redes triangulares de puntos con distintas cotas (mallas espaciales), es difícil buscar una forma más sencilla y eficaz de representar sobre un papel una superficie topográfica. Es la topografía, precisamente, la ciencia que con más profusión emplea este sistema de representación que nos ofrece la geometría descriptiva. La ventaja del sistema de planos acotados frente al sistema diédrico o axonométrico es que nos permite representar aceptablemente objetos tridimensionales de gran tamaño en los cuales la dimensión horizontal es mucho mayor que la vertical. Esta es la situación que encontramos al representar un terreno, donde las dimensiones que definen su extensión, que pueden llegar a ser de varios kilómetros, son mucho mayores que la que define su orografía, que normalmente será de algunos cientos de metros. En estos casos, la representación en planta y alzado, como se hace en el sistema diédrico, obligaría a usar escalas diferentes para obtener un nivel de detalle suficiente en ambas proyecciones.

Sobre ésta representación gráfica podemos además realizar cálculos sencillos como son la determinación de distancias, áreas, ángulos e incluso volúmenes (por ejemplo cálculos de m3 de terraplén y desmonte en movimientos de tierras). Es por tanto un sistema de representación muy empleado por el ingeniero, pues sobre su base pueden estudiarse y resolverse diversas obras de ingeniería como: - Cubiertas de edificaciones. - Obras lineales en ingeniería (caminos y carreteras, redes eléctricas, transporte de

fluidos, etc.). - Movimientos de tierras. - Embalses y presas. - Ingeniería de minas (Buzamientos, afloramientos, canteras, etc.). El sistema de planos acotados es además un sistema muy sencillo de dominar, pues emplea un único plano de proyección que se supone horizontal, denominado plano de referencia, plano del cuadro o plano de comparación, sobre el cual se proyectan los objetos que queremos representar mediante una proyección cilíndrica y ortogonal. La proyección vertical necesaria para poder reconstruir la cota de cada punto se suple mediante anotaciones numerarias. En resumen, cada punto, como veremos a continuación, presenta unas coordenadas X e Y resueltas de forma gráfica, mientras que la información de la coordenada Z se resuelve numéricamente.

5.2. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO. En la Figura 5.1 el plano H es el plano de proyección o plano de referencia. Un punto puede ocupar con respecto a este plano tres posiciones (alfabeto del punto en geometría descriptiva): por encima de él (punto A), contenido en él (punto B), o por debajo de él (punto C).

Figura 5.1. Alfabeto del punto en el sistema de planos acotados.

Una vez obtenida la proyección de un punto, y para que quede totalmente definido, se anota entre paréntesis su cota, que en el caso del punto A de la Figura 5.1 es de cinco unidades (5), el punto B tiene cota cero (0), y el C tiene cota negativa (-2) al estar por debajo del plano de comparación. Las unidades de cota tienen que especificarse en cada caso (metros, centímetros, etc.). Se llama desnivel entre dos puntos o diferencia de altitud a la diferencia algebraica entre el valor numérico de la cota de dichos puntos. Así el desnivel entre los puntos A y C de la Figura 5.1 es de 7 unidades. Se puede conseguir que todas las cotas del dibujo sean positivas simplemente eligiendo la cota del plano de comparación de forma que sea igual o inferior a la menor cota de los puntos a representar. 5.3. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA. La proyección de una recta se obtendrá a partir de la proyección de dos de sus puntos, tal y como se indica en la figura 5.2, en la que la proyección de la recta R se ha obtenido a partir de las proyecciones de los puntos A y B.

H

A

A(5)

C(-2)

B=B(0)

Figura 5.2. Representación de la recta en el sistema de planos acotados. Un concepto de suma importancia es el de la pendiente de una recta, lo que podría definirse como el valor de la tangente del ángulo que dicha recta forma con el plano horizontal. Normalmente se expresa en porcentaje, para lo cual sólo hay que multiplicar por 100 el valor de la tangente. En la figura 5.2 α es el ángulo que R forma con el plano horizontal y por tanto:

Pendiente de R (tanto por uno) = tag α=(AN/BN)

lo que expresado en porcentaje daría:

Pendiente de R (%) = 100.tag α=100.(AN/BN). El módulo o intervalo de una recta es la longitud de la proyección de un segmento de dicha recta cuyos puntos extremos tienen un desnivel igual a la unidad, o lo que es lo mismo, la distancia que hay que recorrer en horizontal para desplazarnos una unidad en vertical.

En la figura 5.3 dos puntos contiguos de los representados sobre R tienen un desnivel igual a la unidad, por lo que la proyección del segmento que los une será el módulo o intervalo de R.

Si calculamos la pendiente de R usando dos puntos contiguos de los representados en R tendremos:

Pendiente R= 1/i

con lo que comprobamos que la pendiente de una recta es el inverso de su módulo o intervalo.

H

B

A

N

A(5)B(2)

α

R

r

Figura 5.3. Representación gráfica del concepto de módulo o intervalo.

La traza de una recta es el punto de intersección de dicha recta con el plano de proyección, al igual que en el sistema diédrico. En la figura 5.3 el punto T representa la traza de R, que siempre tendrá cota cero con respecto al plano de referencia o comparación.

Figura 5.4. Graduación de una recta a partir de dos puntos de cota entera.

H

T

A

B

C

T(0) A(1) B(2) C(3)i i i1

1

1

R

x=5i

A(3) B(8) 3 4 5 6 7 8i i i i i

módulo=i=x/5

Figura 5.5. Situaciones particulares de rectas en acotados. La forma más general de representar una recta en acotados es mediante el dibujo de su proyección graduada. Graduar una recta consiste en señalar sobre su proyección una serie de puntos de cota entera. Para llevar a cabo la graduación de una recta, a partir de dos de sus puntos de cota entera, se deducirá el módulo, y una vez conocido éste, será inmediato conocer la posición de cualquier otro punto de cota entera, pues basta con llevar, a partir de la posición de uno conocido y en un sentido u otro, el intervalo tantas veces como sea necesario.

En la figura 5.4 se ha graduado la recta R a partir de los puntos A(3) y B(8) pertenecientes a ella. Algunas posiciones particulares en que nos podemos encontrar a una recta en el sistema de planos acotados pueden observarse en la figura 5.5: a) Recta perpendicular al plano de proyección.

Todos sus puntos se proyectan en uno solo. El módulo de estas rectas vale cero y su pendiente infinito. Se suelen representar por dos de sus puntos. Este es el caso de la recta R en la figura 5.5. b) Recta paralela al plano de proyección.

Todos sus puntos tienen la misma cota. La pendiente de este tipo de rectas es nula y el módulo infinito. Se suelen representar por una línea en la que se señalan dos puntos cualesquiera pertenecientes a la recta. La recta S de la figura 5.5 es paralela al plano horizontal de proyección.

T

H

R

SA B C

B(2) C(2)

T(0) A(1)=r

B(2) C(2)s

r s

5.4. REPRESENTACIÓN DEL PLANO. Un plano queda determinado en geometría descriptiva por tres puntos no alineados, por un punto y una recta, por dos rectas que se cortan o por dos rectas paralelas. En la figura 5.6 se tiene un plano P que corta al plano horizontal según su traza T, que es una horizontal de plano de cota cero respecto al plano de referencia. Las rectas que estando contenidas en P sean paralelas a T, serán horizontales de plano situadas a diferentes cotas.

Por otra parte, una recta contenida en P y perpendicular a las horizontales de plano es una línea de máxima pendiente de las infinitas que tiene el plano P, la cual se representará en lo sucesivo por dos líneas paralelas muy próximas.

Figura 5.6. Línea de máxima pendiente y traza de un plano en acotados.

En la figura 5.7 se indica la forma de representar un plano en sistema acotado, lo cual suele hacerse dibujando una de sus líneas de máxima pendiente debidamente graduada.

H T

01

2P

Figura 5.7. Representación acotada de un plano.

En la figura 5.7 se ha obtenido también el ángulo α que el plano P forma con el plano horizontal, abatiendo sobre el plano de referencia la línea de máxima pendiente.

Para ello, se han medido cuatro unidades desde el punto de cota 4 de la línea de máxima pendiente, perpendicularmente a la misma, y el punto obtenido se ha unido con el punto de cota 0 de la línea de máxima pendiente. La tangente de este ángulo es la que define la pendiente del plano. Es decir, para hallar la pendiente de un plano basta con hallar la pendiente de una de sus líneas de máxima pendiente. También podemos definir un plano por las proyecciones acotadas de dos horizontales de plano cualesquiera. Podemos destacar las siguientes posiciones particulares de planos: a) Plano horizontal.

Un plano horizontal tiene todos sus puntos a la misma cota. Se suelen representar por la línea de máxima pendiente, en este caso de pendiente nula, con una cifra que se coloca en la parte interrumpida de las dos paralelas y que indica la cota del plano. Estos planos no tienen traza con el plano horizontal de proyección. b) Plano de perfil.

Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyección. Se representa por una

recta, que coincide con su traza, y una letra. Este plano también se llama plano proyectante sobre el horizontal.

t

01234

P

1 und.

2 unidades

3 unidades

4 unidades

α

Horizontales de plano

5.5. RELACIONES ENTRE PUNTO, RECTA Y PLANO. 5.5.1. Situar sobre una recta un punto de cota dada. Un punto perteneciente a una recta tiene su proyección sobre la proyección de la misma. Sea, por ejemplo, la recta definida por los puntos A(2.3) y B(7.5) en la que se quiere situar un punto M de cota 5.1. El problema se puede abordar gráfica o analíticamente: a) Procedimiento analítico.

Observando la figura 5.8, por semejanza de triángulos se deduce que

(d/h)=(d1/h1). En esta relación se conoce d, h y h1, siendo deducible, por tanto, d1: d1=h1.(d/h)

Figura 5.8. Situación de un punto de cota conocida en una recta.

b) Procedimiento gráfico.

Para determinar M(5.1), se traza por A(2.3) una perpendicular a la proyección de la recta de longitud 2.3 unidades, y por B(7.5) otra de 7.5 unidades. Uniendo los extremos de estas perpendiculares obtendremos una vista de perfil de la recta en cuestión. Si a continuación se traza una paralela a la proyección de la recta a una distancia de 5.1 unidades, el punto de corte de esta paralela con la proyección de perfil nos determinará el punto C (vista de perfil del punto M buscado). La proyección de M sobre el plano horizontal será el punto de corte de la perpendicular a la proyección de la recta, trazada por C.

B

A

A(2.3)

B(7.5)

M(5.1)

d1

d

h

h

1

Figura 5.9. Aplicación del método gráfico para la situación de un punto de cota dada en una recta. 5.5.2. Determinar la cota de un punto situado en una recta. Al igual que en el caso anterior, el problema puede resolverse analítica o gráficamente. a) Procedimiento analítico. Para conocer la cota del punto M, situado en la recta de la figura 5.10, se acude a la semejanza de triángulos (figura 5.8): (d/h)=(d1/h1), donde d es la longitud de la proyección del segmento AB, d1 es la longitud de la proyección del segmento AM, h es la diferencia de cotas entre los puntos A y B, y h1 es la diferencia de cotas entre A y M, que es precisamente lo que pretendemos hallar.

Figura 5.10. Determinación analítica de la cota de un punto situado en una recta R.

A(2.3) B(7.5)

7.5

2.3

5.1

C

M(5.1)

r

A(2.3) B(7.5)M(x)r

d=15.5

d =8.31

La cota de M será la cota de A más el valor h1.

En la Figura 5.10, supongamos d=15.5 unidades, d1=8.3 unidades, h=7.5-

2.3=5.2 unidades, h1 = x-2.3. Entonces 15.5/5.2 = 8.3/(x-2.3); y x = 5.1 unidades, que es precisamente la cota del punto M.

b) Procedimiento gráfico.

Tomando como ejemplo la figura 5.11, cuyos datos son idénticos a los de la figura 5.10, los pasos a seguir son los siguientes: por A se traza una perpendicular a la proyección de R de una longitud igual a la cota de A (2.3 unidades). Lo mismo se hace con B, sólo que ahora la perpendicular medirá 7.5 unidades. La recta que une los extremos de las dos perpendiculares trazadas es el abatimiento de R sobre el plano de referencia (R0). Si ahora se traza por M otra perpendicular a la proyección de R, cortará a R0 en C, y la longitud del segmento MC será la cota de M.

Figura 5.11. Método gráfico para determinar la cota de un punto M sobre una recta R.

5.5.3. Hallar la cota de un punto situado en un plano. Si por el punto en cuestión se traza una recta perteneciente al plano, el problema se reduce a hallar la cota de un punto situado en una recta, que se resolverá aplicando cualquiera de los métodos vistos anteriormente. En la figura 5.14 se ha trazado una línea de máxima pendiente por el punto A, perteneciente al plano P y de cota desconocida. A continuación se ha determinado gráficamente la cota de un punto situado en una recta, resultando ser de 1.5 unidades.

A(2.3) B(7.5)M(x)

r2.3 x=

5.1 7.5

C

Figura 5.14. Determinación de la cota de un punto A situado sobre un plano P. 5.6. PROBLEMAS PROPUESTOS AL LECTOR

1. La recta R de la siguiente figura tiene una pendiente del 50%. Situar en ella un punto B de cota 6.5. Escala 1:100. Cotas en metros.

2. Graduar y hallar la traza de la recta R de la siguiente figura. Escala 1:100. Cotas en metros.

3. La recta R queda definida por los puntos A(-5.3) y B(1.8). Hallar su traza, graduarla y hallar en ella un punto de cota -4.2. Escala 1:100. Cotas en metros.

0

1

234

P

4 unidades

1.5 unidades

A(x)

A(4)r

r(5)

(4)

A(2)

B(4)

C(7)

A(2)C(7)

4. Trazar por el punto A(5) una recta que forme 45° con el plano horizontal. Situar en ella el punto de cota 3 y hacer pasar por ella un plano cualquiera. Escala 1:100. Cotas en metros.

5. Determinar el plano definido por los puntos A(2), B(4) y C(7). Escala 1:100. Cotas en metros. 6. Determinar el plano formado por el punto A(2) y la recta R de la siguiente figura. Escala 1:100. Cotas en metros.

A(5)

A(2) (3)

(2)

(4)

(5)

r

B(1.8)A(-5.3)

8. Determinar el plano formado por el punto A(5) y la recta horizontal R de la siguiente figura. Escala 1:100. Cotas en metros.

A(5)

(9) (9)

r