1.8 LEY DE GAUSS.

Antes de iniciar el anlisis de cuerpos cargados, es importante primeramente hacer la consideracin del flujo que es una propiedad de todos los campos vectoriales. La palabra flujo se deriva del latn fluere (que fluye).

El siguiente esquema muestra un campo uniforme estacionario del flujo de un fluido (p. ej. Agua), representado por un vector de flujo constante V que es la velocidad constante de fluido en cualquier punto del esquema.

R Ab V VAa

a) b) c) d)

La figura representa una superficie hipottica de radio R y rea Aa sumergido en un campo de flujo, en ngulo recto con V. Se ha representado la superficie (el rea de) como un vector perpendicular a la superficie y de magnitud Aa.

El flujo a travs de la superficie es:

donde la densidad del fluido (kg/m3)

Esta ec. representa la cantidad de fluido que pasa por la superficie por unidad de tiempo. En forma vectorial:

(Campo vectorial constante)

La figura b) es un rea plana, cuya rea proyectada: Abcos es igual a Aa. Por lo tanto:

(campo vectorial constante)

La fig. c) representa una superficie curva hipottica, cuya rea proyectada tambin es igual a Aa; y

La fig. d) representa una superficie cerrada y por lo tanto el flujo v,d = 0ya que la cantidad de fluido que entra por la izquierda, sale por la derecha.

Para superficies cerradas en un campo elctrico, E es positivo si las lneas de fuerza apuntan hacia fuera y negativo si apuntan hacia adentro.

La figura anterior muestra dos cargas iguales de signos opuestos. Las curvas s1, s2, s3 y s4 son intersecciones con el plano de la figura.

Relacionando E con la figura anterior: E es positivo para S1, negativo para S2, cero para S3. Para S4 = 0 ya que q = 0.

Superficie hipottica en un campo elctrico no uniforme. x) y) z)Fig.Superficie de forma arbitraria inmerso en un campoElctrico no uniforme E. La superficie se divide en pequeos segmentos de rea A.

En x, 90 (E apunta hacia adentro).En y, = 90 (E es paralelo a la superficie).En z, 90 (E apunta hacia afuera).

Una definicin aproximada de flujo es:

..1En x, la contribucin del flujo es negativo, en y es cero y en z es positivo.

Si 90, E.S es positivo y E para la superficie completa ser positivo (S1). Si E apunta hacia adentro 90, y E.S ser negativo y E para la superficie ser negativo (S2). De la ec. 1, en SI E =(Nm2/C2).

De la definicin exacta, el flujo elctrico se encuentra en el lmite diferencial de la ec. 1.

Reemplazando la suma sobre la superficie por una integral sobre la superficie:

laec. indica que la superficie se divide en elementos infinitesimales de rea ds y que E.ds se calcula para cada superficie y la suma forma la superficie completa.

PARA UN CILINDRO SIN CARGA.

Fig. Cilindro cerrado inmerso en un campo elctrico E paralelo a l.

Para la tapa a:

Para la tapa c:

Para la tapa b:

por lo tanto: E = -E.A +o + E.A = 0

El resultado indica que dentro de la superficie cerrada E = 0. Las lneas de E que entran por la izquierdas del cilindro, salen por la derecha.

DEFINICIN: El nmero total de lneas de fuerza elctrica que cruzan por cualquier superficie cerrada en una direccin hacia afuera es numricamente igual a la carga total contenida dentro de esa superficie N = q. Tambin indica que 0. E = q.

ESFERA.

fig. Superficie Gaussiana esfrica que rodea a una carga puntual positiva q.

Para cualquier punto, E es normal a la superficie.Para la superficie Gaussiana, E y ds en cualquier punto, apuntan hacia fuera.

por lo tanto: y

Esta ecuacin proporciona la magnitud E en cualquier punto que est a r de la carga puntual aislada q1. Si se coloca una q2 en donde se determin E, se puede obtener la fuerza con que interactan dos cuerpos cargados.

Para una LNEA INFINITA DE CARGA:

+

h

EEr +

Para este tipo de elemento, la superficie Gaussiana toma la forma de un cilindro hipottico de radio r y longitud h, cerrado en cada extremo. E es constante sobre la superficie cilndrica y perpendicular sobre la superficie. El flujo de E a travs de la superficie es E(2 r h), donde 2 r h es el rea de la superficie.En este caso, la densidad lineal de carga (C/m), para todos los puntos de la lnea, es constante.Por simetra, E debido a una lnea uniforme slo se puede dirigir radialmente.La carga encerrada en la superficie Gaussiana es: h = q.

; de donde: =.

PARA UNA LMINA INFINITA DE CARGA:

fig. Una superficie cerrada en forma de cilindro pequeo cerradointercepta a una pequea porcin de una lmina infinita cargada.

La fig. muestra una porcin de una lmina infinita, delgada, no conductora, cargada, de una densidad superficial de carga (carga por unidad de rea). Se calcula el campo elctrico en puntos cercanos a la lmina.

La superficie Gaussiana conveniente es un cilindro cerrado de rea de seccin transversal A, penetrando en el plano. Por simetra se puede deducir que E apunta en ngulo recto respecto sobre las tapas. Puesto que E no penetra por las partes curvas del cilindro, no contribuye con el flujo sobre ellas. El flujo que atraviesa cada tapa es EA y es positivo en ambas. Aplicando la ley de Gauss:

peroq = A entonces:

PARA UN CONDUCTOR CARGADO:

El conductor mostrado tiene una carga sobre su superficie, de densidad . E es normal a la superficie. Si no fuera normal tendra una componente que generara una corriente superficial.E se puede determinar a partir de la superficie Gaussiana mostrada. E =0 dentro del conductor. La nica contribucin al flujo E es en la superficie A exterior.

pero q = A ;

PROBLEMAS.1. Una esfera metlica de paredes delgadas tiene un radio de 2.5 cm y una carga de 2x10-7 C. Determine E para un punto:a) dentro de la esfera.b) Ligeramente fuera de la esfera.c) A 3 m del centro de la esfera. B1, C1

2. Una esfera conductora cargada uniformemente tiene un radio de 24 cm y una densidad de carga superficial de +16 C/cm2. Cul es el nmero total de lneas del campo elctrico que salen de su superficie? B1, B2

4. El campo elctrico justo sobre la superficie del cilindro de carga de una mquina de fotocopiado tiene una magnitud de 8.2x107 N/C. Cul es la densidad superficial de carga sobre el cilindro si ste es un conductor?

5. Una lmina con dimensiones de 66 mm x 104 mm tiene una carga de 145 pC. Determine el campo elctrico a 4 cm de su superficie. B2

6. En forma experimental se encuentra que el campo elctrico en cierta regin de la atmsfera de la tierra se dirige verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m, el campo es de 60 N/C y a 200 m es de 100 N/C. Determine la cantidad neta de carga contenida en un cubo de 100 m de lado localizado entre 200 y 300 m de altitud. Desprecie la curvatura de la tierra. B1, B2

7. Una esfera conductora cargada uniformemente, de 1 m de dimetro, tiene una densidad superficial de carga de 8 C/m2. Cul es el flujo elctrico total que sale de la superficie de la esfera?

8. La figura muestra una carga puntual de 1x10-7 C en el centro de una cavidad esfrica con radio de 3 cm en una pieza de metal. Use la ley de Gauss para determinar el campo elctrico:a) En el punto P1, a la mitad del centro de la superficie.b) En el punto P2.

9. Una lnea infinita de carga produce un campo de 4.5x104N/C a una distancia de 2 m. Calcular la densidad lineal de carga. B1

10. Una esfera conductora cargada uniformemente tiene un radio de 82 mm y una densidad de carga superficial de 24 C/m2. Cul es el nmero total de lneas de campo elctrico que salen de la esfera?

11. Cul es la intensidad de campo elctrico a 13.5 m de la superficie de una esfera de 18 cm de dimetro que tiene una densidad de carga superficial de 112C/m2?

13. Dos placas paralelas tiene 2 cm de ancho y 4 cm de largo. La intensidad del campo elctrico formado entre las dos placas es de 10 000 N/C y se dirige hacia arriba. Cul es la carga en cada placa?B1

14. Una esfera de 18 cm de dimetro tiene 14C de carga situada sobre la superficie. Cul es la intensidad de campo elctrico:a) En la superficie?b) 8 cm por fuera de la superficie?c) Dentro de la esfera?

15. Una carga puntual de 1x10-6 C est en el centro de una superficie cbica de 50 cm de lado, cunto vale para la superficie?, B1 B2