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ECUACIONES DIFERENCIALES ENDERIVADAS PARCIALES SEPARABLES

ECUACIONES LINEALES:

La forma general de una ecuacin diferencial enderivadas parciales lineal de segundo orden (EDPcon dos varia!les independien"es# $ % %# es

en donde A# C# ' ' ' # son funciones de $ e %'Cuando ($# % ) *# la ecuacin se llama +omog,nea-en cual.uier o"ro caso es no +omog,nea'

Ejemplo:

La ecuacin/ /

/ /*

u uu

x y

+ =

es +omog,nea# mien"ras

.ue/

/

/

u ux

x y

+ =

es no +omog,nea'

SOLUCI0N DE UNA ECUACI0N DI1E2ENCIALPA2CIAL:

Una solucin de una ecuacin en derivadas parcialescon dos varia!les independien"es $ e %# es una

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funcin u($#% .ue posee "odas las derivadas parciales.ue indica la ecuacin % .ue la sa"isface en algunaregin del plano $%'

SEPA2ACI0N DE 3A2IA&LES:

El m,"odo de separacin de varia!les consis"e en!uscar una solucin par"icular en forma de unproduc"o de una funcin de $ por una funcin de %#

como ( # ( ( u x y X x Y y= - es"o posi!ili"a conver"ir unaecuacin en derivadas parciales# lineal con dosvaria!les en dos ecuaciones diferenciales ordinarias'

Si ( # ( ( u x y X x Y y= se "iene:

/

/

/

/

/

( # ( (

4( (

( 4(

44( (

( 44(

5( 4(

u x y X x Y y

uX x Y y

x

uX x Y y

y

uX x Y y

xu

X x Y yy

uX x Y y

y x

=

=

=

=

=

=

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P2INCIPIO DE SUPE2POSICI0N

Si 6 / 7# # #'''# ku u u u son soluciones de una ecuacin enderivadas parciales lineal +omog,nea# en"onces la

com!inacin lineal:6 6 / / 7 7

c ''' 8 # 6# /#'''#k k iu c u c u u c u c lR i k = + + + + =

"am!i,n es una solucin'

Si una ecuacin diferencial parcial lineal +omog,nea

"iene un con9un"o infini"o de soluciones linealmen"eindependien"es 6 / 7# # #'''# #'''ku u u u # en"onces se puedecons"ruir una solucin u # formando la serie infini"a:

6

8 # 6#/#7#'''n n in

u c u c lR i+

=

= =

EE;PLOS:.uierdo de la ?l"ima e$presin esindependien"e de % e igual a una e$presin .ue esindependien"e de $# en"onces am!as e$presiones sonindependien"es de las dos varia!les- es decir# cada

miem!ro de la ecuacin de!e ser una cons"an"e'

/55( 4( CASO 6:= ( (

X x Y y

X x Y y= =

/

/

/ /

/ /

6 / 7

55( 4(

= ( (

55( = ( 4( (

55( = ( * 4( ( *

2esolviendo es"as ecuaciones diferenciales ordinarias "enemos:

( cos+(/ +(/ (

En"onces una s

y

X x Y y

X x Y y

X x X x Y y Y y

X x X x Y y Y y

X x c x c sen x Y y c e

= =

= =

= =

= + =

/ /

6 /

olucin par"icular de la ecuacin es:

( # cos+(/ +(/ y yu x y A x e A sen x e = +

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/55( 4( CASO /:= ( (

X x Y y

X x Y y= =

/

/

/ /

/ /

6 / 7

55( 4(

= ( (

55( = ( 4( (

55( = ( * 4( ( *

2esolviendo es"as ecuaciones diferenciales ordinarias "enemos:

( cos(/ (/ (

En"onces una

y

X x Y y

X x Y y

X x X x Y y Y y

X x X x Y y Y y

X x a x a sen x Y y a e

= =

= =

+ = + =

= + =

/ /

6 /

solucin par"icular de la ecuacin es:

( # cos(/ (/ y yu x y B x e B sen x e = +

55( 4( CASO 7: *

= ( (

X x Y y

X x Y y

= =

6 / 7

6 /

55( 4( *

= ( (

55( * 4( *

2esolviendo es"as ecuaciones diferenciales ordinarias "enemos:

( (

En"onces una solucin par"icular de la ecuacin es:

( #

X x Y y

X x Y y

X x Y y

X x b b x Y y b

u x y C C x

= =

= =

= + =

= +

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ECUACIONES CLSICAS Y PROBLEMAS DEVALORES EN LA FRONTERA

ECUACI@N EN UNA DI;ENSI@N DEL CALO2:

Sea una varilla delgada de longi"ud L % seccin"ransversal A# la cual coincide con el e9e en elin"ervalo B*# L'

Suponer .ue:6' El flu9o de calor den"ro de la varilla solo "iene

la direccin del e9e /' La superficie la"eral o curva de la varilla es"

aislada# es decir# no escapa calor de esa superficie'7' No se genera calor den"ro de la varilla

=' La varilla es +omog,nea# es decir su densidades cons"an"e'

' El calor especFfico % la conduc"ividad ",rmicade la varilla son cons"an"es'

L*

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&a9o esas condiciones la ecuacin .ue de"ermina lavariacin de "empera"ura u($'" en la varilla es" dadapor:

2

2 , k>0

u u

k x t

=

donde G se denomina difusividad ",rmica'

P2O≤A DE 3ALO2ES EN LA 12ONHE2A:

Una varilla delgada de longi"ud L "iene una"empera"ura inicial f($ % sus e$"remos se man"ienen auna "empera"ura * en "odo momen"o' De a+F .ue es"e

pro!lema de valor en la fron"era .ue de"ermina la"empera"ura de la varilla ser:2

2, 00

u(x,0)=f(x), 0

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Solucin:

/

/

/

/ /

( # ( (

55( ( ( 4(

55( ( ( 4( 55( 4(

( (

55( ( * 4( ( *

u x t X x T t

u uX x T t X x T t

x t

kX x T t X x T t X x T t

X x kT t

X x X x T t kT t

=

= =

= = =

+ = + =

Al de"erminar la solucin de am!as ecuaciones+omog,neas# se "iene:

( ) ( )/

6 / 7( cos ( k tX x c x c sen x T t c e = + =

Pues"o .ue:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

/

/

6 / 6 /

/

/ 7

(*# * (* ( * (* *

( # * ( ( * ( *

(* * cos * * * * (

( * * *

( ( #

( #

nk t

L

nk

Ln n

u t X T t X

u L t X L T t X L

X c c sen c X x c sen x

nX L c sen L sen L L n

Ln

X x c sen x T t c e n lNL

u x t b e

= = == = =

= + = = =

= = = = =

= =

=

/

6

#

( #

t

nk tL

n

n

nsen x n lN

L

nu x t b e sen xL

+

=

=

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2eempla>ando la condicin ( )( #* ( # *#u x f x x L= # se

"iene .ue6

( nn

nf x b sen x

L

+

=

= # siendo es"a e$presin

el desarrollo de f en una serie de senos de mi"ad de

in"ervalo# donde

/

*

6 *

/(

/( # (

L

n

nLk t

L

n

nb f x sen x dx

L L

n nu x t f x sen x dx e sen x

L L L

+

=

=

=

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ECUACI@N ONDA UNIDI;ENSIONAL:

Sea una cuerda de longi"ud L .ue se encuen"ra "ensaen"re dos pun"os del e9e # es"os pueden ser $)* %

$)L'

Considerar .ue la cuerda "iene movimien"o de maneraperpendicular al e9e de manera "al .ue u($#"represen"ar el despla>amien"o ver"ical de cual.uierpun"o de la cuerda' Adems se supone .ue:

6' La cuerda es perfec"amen"e fle$i!le/' La cuerda es +omog,nea# es decir su densidad

es cons"an"e'7' Los despla>amien"os u($#" son pe.ueos en

comparacin con la longi"ud de la cuerda'

=' La pendien"e de la curva es pe.uea en "odossus pun"os'

' La "ensiJn H ac"Ka "angen"e a la cuerda % sumagni"ud H es la misma en "odos los pun"os'

' La "ensin es grande en comparacin con la

fuer>a de gravedad'

L*

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M' No +a% o"ras fuer>as e$"ernas ac"uando so!rela cuerda'

&a9o esas condiciones la ecuacin unidimensional de

la cuerda es" dada por:

2 22

2 2

u ua

x t

=

P2O≤A DE 3ALO2ES EN LA 12ONHE2A:

El despla>amien"o ver"ical de la cuerda vi!ra"oria de

longi"ud L se de"ermina a par"ir del siguien"e modelo:

2 22

2 2

0

, t>0 0

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Solucin:

/ /

/ /

/

/

/

/ / /

( # ( (

55( ( ( 44(

55( ( ( 44( 55( 44(

( (

55( ( * 44( ( *

u x t X x T t

u uX x T t X x T t

x t

a X x T t X x T t X x T t

X x a T t

X x X x T t a T t

=

= =

= = =

+ = + =

Al de"erminar la solucin de am!as ecuaciones

+omog,neas# se "iene:( ) ( ) ( ) ( )6 / 7 =( cos ( cosX x c x c sen x T t c at c sen at = + = +

Pues"o .ue:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

6 / 6 /

/

/ 7 =

(*# * (* ( * (* *

( # * ( ( * ( *

(* * cos * * * * (

( * * *

( ( cos #

( #n

u t X T t X

u L t X L T t X L

X c c sen c X x c sen x

nX L c sen L sen L L n

L

n n nX x c sen x T t c at c sen at n lN

L L L

u x t

= = =

= = =

= + = = =

= = = = =

= = +

6

6

cos #

( # cos

cos

n n

n n

n

n n

n

n a n a na t b sen t sen x n lN

L L L

n a n a nu x t a t b sen t sen x

L L L

u n a n a n a na sen t b t sen xt L L L L

+

=

+

=

= + = +

= +

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2eempla>ando las condiciones en ")*# "enemos:

( )

( )

6

*

6

*

( #* ( # *#

6 (

/(

( #* ( # *#

(

//

(

/(

n

n

L

n

n

n

L

n

n

u x f x x L

nf x a sen x

L

na f x sen x dx

L L

ux g x x L

t

n a ng x b sen x

L L

n a nb g x sen x dx

L L L

nb g x sen

n a

+

=

+

=

= = =

=

= =

=

*

L

x dxL