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Clase 10 - MAT1199

Razon de cambio, Recta Tangente y Derivada

Eduardo Hirsh

Pontificia Universidad Catolica de Chile

25 de Agosto de 2014

Eduardo Hirsh (P. Universidad Catolica de Chile) Clase 10 04/08/2014 1 / 1

Razon de Cambio y Recta tangenteEjemplo

Figura: Recta tangente y una secante


Razon de CambioDefinicion

Dados dos valoresx0: valor inicialx1: valor Finaly una funcion f . Los cambios los denotaremos por

∆x = x1 − x0

∆f = f (x1)− f (x0)

y la razon de cambio sera∆f

∆x


Razon de CambioEjemplos

Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba, la funcion que describe sualtura en metros en funcion del tiempo en segundos esta dada por

h(t) = 20t − 5t2

Calcule el cambio promedio en la altura entre los instantes t = 1 y t = 2.

Una empresa minera estima que el costo en pesos de la extraccion de q

toneladas de material esta dado por la funcion

C (q) = 10q2 + q

Calcule el cambio promedio entre extraer 5 toneladas y extraer 7 toneladas dematerial.


Razon de CambioRazon de cambio y recta secante

Un ecuacion de la recta por los puntos (x0, f (x0)) y (x1, f (x1)) es.

y =f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x − x0) + f (x0)

usando la notacion recien introducida

y =∆f

∆x(x − x0) + f (x0)


Razon de CambioRazon de cambio instantanea y derivada en un punto

Definiremos la Razon de cambio instantanea en x0 como el siguiente lımite.

lımx1→x0

f (x1)− f (x0)

x1 − x0

Cuando este existe. A este valor tambien lo llamaremos la derivada de f en x0 ylo anotaremos como

df

dx(x0)

of ′(x0)


Razon de CambioEjemplo

Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba, la funcion que describe sualtura en metros en funcion del tiempo en segundos esta dada por

h(t) = 20t − 5t2

Calcule la velocidad instantanea en los instantes t = 0 y t = 2.

Una empresa minera estima que el costo en pesos de la extraccion de q

toneladas de material esta dado por la funcion

C (q) = 10q2 + q

Calcule costo marginal al extraer 5 toneladas de material.


Recta TangenteDefinicion

La recta tangente a f en x0 sera

y =df

dx(x0)(x − x0) + f (x0)

oy = f ′(x0)(x − x0) + f (x0)


Recta TangenteAproximacion lineal

Diremos que la recta tangente es la mejor recta que aproxima a f cerca de x0.

f (x) ≈ f ′(x0)(x − x0) + f (x0)

Esto se desprende simplemente del hecho que

f (x)− f (x0)

x − x0≈ f ′(x0)


Recta tangenteEjemplo

Calcule la ecuacion de la recta tangente a f (x) =√x en x = 4 y usela para

aproximar f (4, 2)


La Funcion Derivadadefinicion

f ′(x) = lımh→0

f (x + h)− f (x)

h


La Funcion DerivadaEjemplos

Calcule por definicion la derivada de las siguientes funciones.√x

x

x2

sen(x)

ex


Clase 11 - MAT1199

Funcion Derivada, propiedades basicas

Eduardo Hirsh




DiferenciabilidadDefinicion

Definicion 1

Diremos que una funcion f es diferenciable en x0 si existe f ′(x0).

Definicion 2

Diremos que una funcion es diferenciable en un intervalo (a, b) si es diferenciableen cualquier x ∈ (a, b).


DiferenciabilidadEjemplos de no diferencibilidad

Figura: Ejemplo no diferenciabilidad en un punto


DiferenciabilidadDiferenciabilidad y continuidad

Teorema 3

si f es diferenciable en (a, b), entonces f es continua en (a, b).


DiferenciabilidadEjemplo funcion diferenciable con derivada no continua

Figura: Ejemplo derivada no continua


Calculo de DerivadasDerivadas basicas

(c)′ = 0.

(xn)′ = nxn−1.

(ex)′ = ex .

(sen(x))′ = cos(x).

(cos(x))′ = − sen(x).


Calculo de DerivadasPropiedades

Sean f y g funciones diferenciables y c ∈ R, entonces

(c · f (x))′ = c · f ′(x)

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

(

f (x)

g(x)

)

′

=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2


Calculo de DerivadasEjemplos

Calcule la derivada de las siguientes funciones.

5x3 − 3x + 2

cos(x)− ex

tan(x)

x2 − 2x + 3

x2 + 1

(x2 + x + 1)√x


Calculo de DerivadasDerivadas trigonometricas

(tan(x))′ = sec2(x).

(csc(x))′ = − csc(x) tan(x).

(sec(x))′ = sec(x) tan(x).

(cot(x))′ = − csc2(x).


Clase 12 - MAT1199

Regla de la cadena y Derivacion implıcita

Eduardo Hirsh




Regla de la Cadenaenunciado

Teorema 1

Sean f y g funciones diferenciables y F = f ◦ g la funcion compuesta(F (x) = f (g(x))). Entonces F es diferenciable y

F ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)

En notacion de Leibniz, si f (x) = y y g(x) = u tendremos.

dy

dx=

dy

du· dudx


Regla de la Cadenaejemplos

Calcule las derivadas de las siguientes funciones.

cos(x2 + 3x − 1).

esen(x).

etan(√x2+1).


Derivacion ImplıcitaMotivacion

Folium de Descartes, definido por la ecuacion x3 + y3 = 3axy .

Figura: Tangente al Folium de Descartes


Derivacion ImplıcitaEjemplos

Encuentre implıcitamentedy

dxen la ecuacion x3 + y3 = 6xy

Encuentre las rectas tangentes a la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 9 enlos puntos (3, 0) y (0, 3).


Derivacion ImplıcitaDerivada de funciones inversas

Sea f una funcion invertible y f −1 su inversa, digamos y = f −1(x).

d

dx(f −1(x)) =

1

f ′(y)

od

dx(f −1(x)) =

1

f ′(f −1(x))

en notacion de Leibnizdy

dx=

1(

dx

dy

)


Derivacion ImplıcitaDerivada de Inversas Trigonometricas

(arc sen(x))′ =1√

1− x2

(arc cos(x))′ = − 1√1− x2

(arctan(x))′ =1

1 + x2

(arc csc(x))′ = − 1

x√x2 − 1

(arc sec(x))′ =1

x√x2 − 1

(arc cot(x))′ = − 1

1 + x2


Derivacion ImplıcitaDerivada de logaritmos y derivada logarıtmica

(ln(x))′ =1

x

(loga(x))′ =

1

x ln(a)

(ln(|x |))′ = 1

x

(ln(f (x)))′ =f ′(x)

f (x)


Ejercicios

Calcule la derivad de las siguientes funciones.

cos(ln(2x + 1))

ln(tan(x))

arctan(√x)

xx


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