14 y 48
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espinoza ramos cap 3 ejer 14 y 48TRANSCRIPT
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Capitulo 2
14.- Determine si las funciones son continuas en los puntos indicados
a) f (z) = z2(2+i)z+2i
z1 en z = i
En el punto z0 = i
f (z) = g(z)h(z) es continua en todos los puntos exepto en h(z) = 0
La funcion no es continua en z = i
b) f (z) = z2+2(1+i)z+4i
z2 en z = 2i
En el punto z0 = 2ii) f (z0) =
(2i)2+2(1+i)(2i)+4i2i2 =
44i+4+4i2(1i) = 0
f (z0) = 0 La funcion esta definidaii) lm
zz0f (z)
lmz2i
z2 + 2(1 + i)z + 4i
z 2lm
z2i2z + 2(1 + i)
1 4i + 2 + 2i = 2 2i
iii) f (z0) 6= lmzz0
f (z)
La funcion no es continua en z = 2i
48.- Suponga que f (z) es una funcion continua en un dominio D. Pruebe quelas funciones dadas son continuas en D.
a) h (z) = Re (f (z))
si f (z) = f (x, y)f (z) = u (x, y) + iv (x, y)h (z0) = lm
zz0Re (f (z))
lmx,yx0,y0
u (x, y) u (x0, y0)h (z0) = u (x0, y0) Es continua si z0 esta definido h (z0) = u (x0, y0)
b) h (z) = Im (f (z))
si f (z) = f (x, y)f (z) = u (x, y) + iv (x, y)h (z0) = lm
zz0Im (f (z))
lmx,yx0,y0
v (x, y) v (x0, y0)h (z0) = v (x0, y0) Es continua si z0 esta definido h (z0) = v (x0, y0)
1
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c) h (z) = f (z)
si f (z) = u (x, y) + iv (x, y)f (z) =
u2 (x, y) + v2 (x, y)
h (z0) = lmzz0
f (z)lm
x,yx0,y0
u2 (x, y) + v2 (x, y)
u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)
h (z0) =u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)
Es continua si z0 esta definido h (z0) =u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)
Capitulo 3
14.- Hallar el valor f (z) = ex2y2 (cos (2xy) + j sin (2xy))
f (z) = ex2y2 e2jxy
f (z) = ex2+2jxyy2
f (z) = e(x+jy)2
f (z) = ez2
48.-Analizar si las funciones u (x, y) = x2y2
(x2+y2)2; v (x, y) = e
xy son armonicas
en caso de serlo determinar una funcion analitica f (z) en terminos de z.
u (x, y) = x2y2
(x2+y2)2
xu =
2x3+6xy2(x2+y2)3
2
x2u =6x436x2y2+6y4
(x2+y2)4
yu =
6yx22y3(x2+y2)3
2
y2u =6x4+36x2y26y4
(x2+y2)4
para que sean armonicas la suma de las segundas derivadas tiene que ser cero2
x2u +2
y2u = 06x436x2y2+6y4
(x2+y2)4+ 6x
4+36x2y26y4(x2+y2)4
= 0
0 = 0por lo tanto es armonicaPor Cauchy Reimanux =
vy
uy = vx
ux =
vy
vy =
2x3+6xy2(x2+y2)3
v = 2x3+6xy2
(x2+y2)3y
v = 2xy(x2+y2)2
2
-
f (x, y) = x2y2
(x2+y2)2 i 2xy
(x2+y2)2
v (x, y) = exy
v (x, y) = exy
vx =
yexy
x2
2vx2 = y
[exy (y+2x)x4
]vy =
exy
x
2vy2 =
exy
x2
para que sean armonicas la suma de las segundas derivadas tiene que ser cero2vx2 +
2vy2 = 0
y
[exy (y+2x)x4
]+ e
xy
x2 = 0
exy (y2+2xy+x2)
x4 6= 0
Por lo tanto no es armonica y no existe el conjugado armonico
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