14 ejercicios resueltos

FUNDACIONES

PROBLEMAS RESUELTOS

INDICE

Pág.

I Fundaciones Superficiales......................................................................................3

- Capacidad de soporte del suelo..........................................................................4

- Dimensionamiento por Capacidad de soporte....................................................33

- Asentamiento y Giro.........................................................................................49

- Dimensionamiento por Asentamiento y Giro.....................................................67

- Capacidad de soporte con Asentamiento y Giro................................................71

- Dimensionamiento por C. de soporte , Asentamiento y Giro.............................78

II Dimensionamiento y diseño de zapatas aisladas..................................................93

III Dimensionamiento y diseño de zapatas combinadas..........................................121

IV Viga en medio elástico.........................................................................................156

V Fundaciones Profundas........................................................................................207

I

FUNDACIONES SUPERFICIALES

CAPACIDAD DE SOPORTE

1.1.) Se desea fundar un muro sobre el terreno indicado.

a) Determine la carga máxima P ton por metro lineal de muro, en el corto plazo.

b) Idem, en el largo plazo

P

relleno de hormigón pobre = 2.2 t/m3

relleno heterogéneo

NF 2m = 1.7 t/m2

s = 2.7 t/m3

qadm

manto arcilloso saturado e = 0.5

B=1.2m de espesor indefinido qu = 2 kgf/cm2 (*)

‟ = 25o

(*) Resistencia media a la compresión simple c‟= 1 t/m2

Desarrollo:

a) Carga por metro lineal de muro en el corto plazo.

qult =qhundimiento = cNc+qNq+0.5 BN

qNq= resistencia debido a la sobrecarga que rodea a la cimentación

0.5 BN = resistencia por el peso del terreno (empuje pasivo)

El estado inicial de tensiones en una arcilla saturada se representa por un ensayo

triaxial

no consolidado sin drenaje (UU).

= 0o

C

resistencia al corte sin drenaje

c = u =1/2*qu resistencia a la compresión simple

c = 10 t/m2

= 0 Nq = 1 , Nc = 5.5 y N = 0

luego

qult = cNc+qNq qadm = qult/FS = cNc/FS1+qNq/FS2 ( )

FS1 = 3

FS2 = 1 q = *Df=1.7*2=3.4 t/m2

qadm = P/(B*1)+ horm*Df*1 ( )

donde

P/(B*1) es la presión máxima considerando 1 m lineal de muro

Igualando ( ) y ( ) se obtiene que:

P = 20.8 ton

b) Idem en el largo plazo.

c‟ y ‟ obtenido de ensayo triaxial consolidado drenado.

Al disiparse las presiones de poros, tendremos un ángulo de roce:

c‟ = 1 t/m2 , ‟ = 25

o

qult = cNc+qNq+0.5 BN = 1*21+1.7*2*11+0.5* b*1.2*7.2

donde

b = sat.- w sat = (Ps+Pw)/Vt = (2.7+0.5)/1.5

= 2.13 t/m3

entonces b = 2.13-1=1.13 t/m3

qadm = qult / FS = 21/FS1+37.4/FS2+4.88/FS3

con FS1 = 3 y FS2 = FS3 = 1 qadm = 49.3 t/m2

qadm = P/B+ horm*Df*1 =49.3

P = (49.3-2.2*2)*1.2

P = 53.9 ton

1.2.) Dado un terreno con un material de fundación conformado por un profundo estrato

arcilloso saturado. Determine la “capacidad de soporte última” para una zapata corrida,

puesta en la superficie.

Ensayos en condiciones no drenadas, sobre muestras tomadas en una profundidad

representativa, entregaron valores promedios de:

c = 6 t/m2

= 0o

Desarrollo:

qult = cNc+qNq+0.5 BN

puesto que en la superficie q = *H = 0

= 0o N = 0

qult = cNc = 6*5.14 = 30.84 t/m2

1.3.) Determine qult por capacidad de soporte en la fundación corrida indicada en la figura

para : a) caso en que la presión de poros en la arena aumenta en 30% por sobre la presión

hidrostática debido a un sismo y b) caso normal.

1.5m

Arena seca = 1.8 t/m2

1.5 m

qult=?

NF

Arena saturada

Zp sat = 2.2 t/m2

c = 0 = 35o

* P Presión de poros en P = 1.3 wZp

Desarrollo:

a) qult = 0.5 b‟BN +qsNq para = 35o N = 42

Nq= 41

b‟= Peso boyante equivalente= sat-1.3 w = 0.9 t/m2

qult = 0.5*0.9*1.5*42 + 1.8*1.5*41 = 28.4 + 110.7 139 t/m2

qult = 14 kgf/cm2

b) Para el caso normal.

qult = 0.5*(2.2-1)*1.5*42+1.8*1.5*41 = 37.8+110.7

= 148.5 t/m2 = 15 kgf/cm

2

1.4.) Un galpón de una estructura metálica de 50 metros de longitud, tiene en un extremo un eje resistente cercano a un talud. a) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en las vecindades del talud. b) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en el extremo más alejado del talud. b B b = 4 m B = 2 m D = 1 m H=7 m do do= 0.5 m

NF

= 2.2 t/m3

= 40° c = 3 t/m

2

Desarrollo:

a) Determinación de la carga última del suelo, zapata continua.

B = 2 m < H = 7m D/B = 1/2 = 0.5

= 40°

do= 0.5 m

B H implica caso I de ábaco No =0

do B implica interpolar entre ecuación (1) y (2)

Ecuación (1) qult = cNcq+0.5 tBN q

Cálculo de Ncq:

b/B = 2 = 40o

D/B = 1 Ncq = 6.6

D/B = 0 Ncq = 5.2

D/B = 0.5 Ncq = (6.6+5.2)/2= 5.9

Cálculo de N q:

b/B = 2 = 40o

D/B = 1 N q = 120

D/B = 0 N q = 60

D/B = 0.5 N q = (120+60)/2= 90

En (1) do > B

qult = cNcq+0.5 bBN q

Ncq y N q no cambian qult = 3*5.9+(2.2-1)*2/2*90 = 126 t/m2

do = 2 qult = 216 t/m2

do = 0 qult = 126 t/m2

do = 0.5 qult = 149 t/m2

b) Idem sin efecto del talud, sacar un equivalente

qult = cNc+ DNq+0.5 eqBN

supuesto zapata continua

= 40o Nc = 85 Nq = 70 N = 100

eq*B = t*do+ b*(B-do) eq = 1.45 t/m3

qult = 3*85+2.2*1*70+1/2*1.45*2*100 = 554 t/m2

qadm = 185 t/m2

1.5.) Determinar la capacidad de soporte del suelo para las siguientes condiciones.

= 33o P = 60 ton

c = 0.9 t/m2 Mx = 15 t*m P

= 1.85 t/m3 My = 24 t*m My

Df = 2 m

2 m 35*40cm

L = 3 m

x

2.5m

Desarrollo :

qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 BN S d

Como existe excentricidad:

A‟ = B‟*L‟ B‟ = 2.5-2.24/60 = 1.7 m

L‟ = 3-2.15/60 = 2.5 m

Se debe usar la ecuación de Hansen, con B‟ en vez de B, y los factores también,

excepto D/B

= 33o Nc = 38.6 Nq = 26.1 N = 35.2

Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/L‟) = 1+(26.1/38.6)*(1.7/2.5) = 1.46

dc = 1+0.4*2/2.5 = 1.32

Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(1.7/2.5)*tg33= 1.44

dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1.22

S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*1.7/2.5 = 0.73

qult = 0.9*38.6*1.46*1.32+2*1.82*26.1*1.44*1.22+0.5*1.85*1.7*35.2*0.73

= 66.95+169.65+40.41 = 277 t/m2

qadm = 277/3 = 92.34 t/m2

b) Vult = qult*B‟*L‟ = 277*1.7*2.5 = 1177 ton

Vadm = 392 ton

1.6.) Se ensaya un suelo cohesivo a compresión no confinada, obteniéndose los siguientes

valores:

qu : ensayo de compresión no confinada (unconfined)

= 3.93 4.34 3.72 4.48 4.83 4.27 4.07 t/m2

Estime la capacidad de soporte para una zapata corrida en la superficie.

Desarrollo:

qu(promedio) = 4.2 t/m2

= 0o

qult = capac. de soporte última = cNc en que:

c = qu/2 y Nc = 5.7 (Terzaghi)

qult = 12.1 t/m2

1.7.) Una zapata corrida se funda en un estrato de arcilla saturada.

c = 5.4 t/m2 Df = 2 m = 1.76 t/m

3

Determinar la capacidad de soporte última.

Desarrollo:

El peso del suelo a los lados de la zapata, incrementan la capacidad del suelo para

soportar la presión de la zapata sin que ocurra falla plástica.

qult = cNc+ ZNq

en que:

c= 5.4 t/m2 Nc( =0)= 5.7 = 1.76 t/m

3

Z=Df= 2 m Nq( =0)= 1

qult = 30.78+3.52 = 34.3 t/m2

1.8.) Estime la capacidad de soporte última para una zapata corrida de las siguientes

características:

B = 1.5 m = 1.76 t/m3 Df = 4 m c = 13.8 t/m

2 = 0

Desarrollo:

= 0 Nc= 5.7 Nq= 1 N = 0

qult = c*Nc+q*Nq en que q= *Df=1.76*4 =7.04 t/m2

qult = 78.7 + 7.04 = 85.7 t/m2

1.9.) Para la zapata corrida mostrada, determine las características de soporte a partir de la

teoría de Terzaghi y compare los resultados con la teoría de Meyerhof.

Datos: = 1.7 t/m3 B = 1.2 m

c = 2.6 t/m2 Df = 2 m

= 28 o

Desarrollo:

Cuando existe fricción entre partículas, el peligro de la falla por corte se reduce.

qult = cNc +qNq+0.5 BN

en que :

= 28o ( Terzaghi ) Nc = 34 Nq = 18 N = 18

qult = 88.4+61.2+194.4 = 344 t/m2

= 28o ( Meyerhof ) Nc = 28 Nq = 18 N = 14

qult = 72.8+61.2+14.3 = 148.3 t/m2

1.10.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso:

B = 1.5 m c = 8.38 t/m2

Df = 9 m = 15o

= 1.84 t/m3 zapata corrida

Desarrollo:

qult = cNc +qNq+0.5 BN

q = *Df = 9*1.84 = 16.56 t/m2

= 15o ( Meyerhof ) Nc = 33 Nq = 9.5 N = 6.2

qult = 276.54+157.32+8.56 = 442 t/m2

1.11.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso:

B = 1.2 m c = 0

Df = 7 m = 30o

= 1.71 t/m3 zapata corrida

Desarrollo :

Por tratarse de un suelo cohesivo el primer término de la ecuación de soporte es

nulo (cNc = 0):

qult = ZNq+0.5 BN

Para suelos granulares Meyerhof combinó los efectos de Nq y N e introdujo un

factor de soporte N q

q = 0.5 BN q

El valor de N q es directamente proporcional a la profundidad y al coeficiente de

empuje del suelo en reposo Ko

3000

Df/B = 7/1.2 = 5.8 6

2000

N q N q 300

1000

qult = 0.5*1.71*1.2*300 = 310 t/m2

0

10

20

30

40

Df/B

Factores de soporte para suelos

granulares ( = 30o)

1.12.) Determinar en que % disminuye la capacidad de soporte para la zapata corrida para

las condiciones de suelo seco y saturado por inundación.

B = 1.5 m = 1.84 t/m3

Df = 0 m = 17o

Desarrollo:

La reducción en la capacidad soporte debido a inundaciones temporales es propia

de suelos granulares. Para suelos cohesivos , debido a su baja permeabilidad el

proceso

de saturación es muy lento y menor que el tiempo en que se produce la inundación.

Para suelos granulares el agua no tiene un gran efecto en , pero si lo tiene en las

presiones efectivas que dan la resistencia al corte del suelo.

Como la fundación está en la superficie Df= 0 *Df= 0

qult = 0.5 BN en que: N ( =17o) = 3

qultseco

=0.5*1.84*1.5*3 = 4.14 t/m2

Para suelo saturado:

b = 0.84 t/m2 qult

sat = 0.5*0.84*1.5*3 =1.89 t/m

2

4.14/100 = 1.89/x x = 45.6 % 46 %

hay una reducción de un 54 %

En general la saturación produce una disminución de un 50 % en la capacidad de

soporte de un suelo granular.

1.13.) Determine el qadm de una zapata corrida para las siguientes condiciones :

Df = 0.9 m = 1.56 t/m3 c = 4.7 t/m

2

La edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales.

Desarrollo :

qult = cNc+ DfNq+0.5 BN

= 0o ( Meyerhof ) Nc = 5.53 Nq = 1.0 N = 0

Como la edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales es razonable

adoptar un F.S. = 3.

qadm = qult/3 = (cNc+ DfNq)/3 = (4.7*5.53+1.68*0.9)/3

qult = 8.66+0.50 = 9.2 t/m2

1.14.) Un ensayo (CU) entrega las siguientes propiedades para un suelo de fundación.

c = 0.96 t/m2 = 1.93 t/m

3 = 20

o

Este suelo soporta una pila circular = 4.5 m a una profundidad de 2.4 m

La carga sobre la pila es concéntrica P = 310 ton

Determinar el F.S. una vez que haya finalizado el proceso de consolidación.

Desarrollo:

La consolidación de un estrato de arcilla toma varios años. Al final las propiedades

son las medidas en una probeta ensayada en condiciones CU

Para = 20o (Terzaghi) Nc = 18 Nq = 9 N = 4

Para una fundación circular, los factores 1.3 y 0.3 se usan en el primer y último

término en vez de 1.0 y 0.5 respectivamente.

qult = 1.3cNc+ ZNq+0.3 BN

La carga última neta es : qultn = 1.3cNc+ ZNq - Z+0.3 BN

= 1.3*0.96*18+1.93*2.4*9-2.4*1.93+0.3*4.5*1.93*4

= 22.46+41.69+4.63+10.42

qultn = 69.9 t/m

2

Agregando la fricción del suelo contra la superficie de la pila, en que la fricción es

aproximadamente c/2

Q = 69.9* /4*4.52+0.5*0.96*2 *4.5*2.4

= 1111.7+32.57 =1144.3 ton

La carga neta en la fundación es :

Qn = P-2.4* /4*4.5

2*1.93 = 310-73.7 = 236.3 ton

FS 1144.3/236.3 =4.84 5

Un valor suficiente si el asentamiento está controlado.

1.15.) Determinar la capacidad de soporte admisible si el suelo es arcilla con un coeficiente

de compresibilidad:

mv = 0.000522 m2/0.1ton = 0.00522 m

2/ton

Se acepta sólo un pequeño asentamiento.

c = 4.8 t/m2 = 1.8 t/m

3 = 8

o

Df= 2 m B = 1.2 m L = 6 m

Desarrollo:

Skempton propone:

Nc(rectang.)= (1+0.2B/L)Nc(corrida)

= (1+0.2*1.2/6)*Nc = 1.04*Nc

El recíproco del producto de c y mv es :

(4.8*0.00522)-1

=39.9 40

esto coloca el material en el tipo de “blando” o N.C. y el F:S. para un asentamiento

de 1” está en la región de 8.

Usando los coeficientes de Terzaghi:

= 8o Nc = 8 Nq = 3 N = 2

qult = 1.04cNc+ ZNq - Z+0.5 BN

= 4.8*8*1.04+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*2

= 39.9+10.8-3.6+2.2 = 49.3 t/m2

La capacidad de soporte admisible , considerando la sobrecarga de 2 m:

qadm = 49.3/8 + 1.8*2 = 9.8 t/m2

Si usamos valores aproximados de Meyerhof, para fundaciones profundas

(Df >B): Nc = 18 Nq = 3 N = 1.8 ref p195

La capacidad de carga neta:

qultn = cNc+ ZNq- Z+0.5 BN

= 4.8*18+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*1.8 = 86.4+10.8-3.6+1.94

qultn = =95.5 t/m

2

1.16.) Para los siguientes datos:

B = 28 ft = 8.5 m = 105 lb/ft3 = 1.68 t/m

3 = 0

o

L = 84 ft = 25.5 m Zw = 8 ft = 2.4 m

Df = 10 ft = 3.0 m cu = 0.22 ton/ft2 = 2.37 t/m

2

a) Determinar la capacidad de soporte si la velocidad de aplicación de la carga es rápida

en relación a la disipación de la presión de poros.

Desarrollo:

= 0o Nc = 5.14 Nq = 1 N = 0

qult = cNc c+qNq q+0.5 BN

en que:

c = 1+(B/L)(Nq/Nc) = 1+(8.5/25.5)(1/5.14)

c = 1.06

q = 1

q = *D = 1.68*2.4 + (3-2.4)*0.68 = 4.44 t/m2

qult = 2.37*5.14*1.06+4.44*1 qult = 17.4 t/m2

b) Idem si la construcción es lenta y permite una disipación de presión.

cd = 0.04 t/ft2 0.43 t/m

2 d = 23

o


Nc = 18.05 Nq = 8.66 N = 8.20

c = 1.16 q = 1.14 = 0.87

qult = 0.43*18.05*1.16+4.44*8.66*1.14+0.5*0.68*8.5*8.2*0.87

= 9.0+43.83+20.62 qult = 73.5 t/m2

1.17.) Resuelva el problema 1.16.) si ahora el suelo está constituido por arena

medianamente densa.

sat = 118 lb/ft3 = 1.89 t/m

3

hum = 100 lb/ft3 = 1.60 t/m

3

Se analizaron muestras, y se sometieron a ensayo triaxial:

= 1-5.5o*log( / 1)

en que :

1 = 38 o es el ángulo de fricción para un esfuerzo normal

medio 1 = 10.8 t/m2

Desarrollo :


en que :

c = 0 q = 1.60*2.4+0.89*(3-2.4) = 4.4 t/m2

Para determinar el esfuerzo normal medio, es necesario una estimación preliminar

de la capacidad de soporte.

Para este análisis preliminar suponemos :

= 34 o Nc =42.16 Nq = 29.44 N = 41.06

q = 1+(B/L)tg = 1+(8.5/25.5)*tg34

= 1.22

= 1-0.4B/L = 0.87

qult = 4.4*29.44*1.22+0.5*0.89*8.5*41.06*0.87

= 158+135 = 293 t/m2

El esfuerzo normal promedio a lo largo de la superficie de falla:

o = 1/4(qo+3q)(1-sen ) = 0.25*(293+3*4.4)*(1-sen34)

= 33.74 t/m2

entonces representativo:

= 38-5.5*log(33.74/10.8) = 35 o

se repite el análisis con = 35 o:

Nq = 33.30 N = 48.03

q = 1.23 = 0.87

qult = 4.4*33.30*1.23+0.5*0.89*8.5*48.03*0.87

= 180+158 = 338 t/m2

Como difiere poco del valor anterior, se acepta este valor.

1.18.) Para las características del problema 1.16.) (condiciones no drenadas), determinar la

capacidad de soporte si el estrato de arcilla blanda está sobre un gran estrato de arcilla

rígida (cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m

2 ) que comienza a 4.9 m de profundidad.

Desarrollo:

qult= c1Nm+q

2.4m = 1.68 t/m2

en que: c1 = 2.4 t/m2 3.0m NF

Razón de soporte K B=8.5m

L=25.5m

1.9m Cu=2.4 t/m2

K = c2/c1 = 5.7/2.4 = 2.4 Cu=5.7 t/m2

B/H = 8.5/1.9 = 4.5 4 6

2 5.43 5.69

Nm = 5.72 3 5.59 6.00

2.4 5.49 5.81

qult = 2.4*5.72+4.44 = 18.2 t/m2

Nota: para el caso sin estrato rígido el qult = 17.4 t/m2

5 % de incremento

1.19.) Resuelva el problema 1.18.) suponiendo que la resistencia al corte del estrato

superior es cu = 5.7 t/m2 y el estrato inferior es 2.4 t/m

2

Desarrollo :

qo= c1Nm+q

en que :

Nm = 1/ +K cNc

= índice de punzonamiento

= BL/ 2(B+L)H = 1.68

K = c2/c1 = 2.4/5.7 = 0.42

c = 1.06

Nc = 5.14

Nm = 1/1.68+0.42*1.06*5.14 = 2.88

qo = 5.7*2.88+4.44 = 20.9 t/m2

qo 21 t/m2

16 % de aumento con respecto al caso 1.18.)

1.20.) Para la siguiente situación , determine qo.

= 1.60 t/m3 3 m 2m

= 1.89 t/m3 B=8.5 L=25.5 9 m

= 35 o H=6 m

Arcilla dura cu = 0.53 t/ft2 = 5.7 t/m

2

Desarrollo:

qo = qo”*exp 0.67(1+B/L)(H/B)

qo” = capacidad de soporte que tendría una fundación similar desplantada

en la interfase de los estratos

qo” = cNc c+qNq q = 5.7*5.14*1.06+(1.6*2.4+0.898(9-2.4))*1

= 31.06+9.71 = 40.8 t/m2

qo 41 t/m2

El espesor crítico del estrato superior:

(H/B)crít = 3ln(qo‟/qo”)/(2(1+B/L))

en que qo‟ = capacidad de soporte del estrato superior

= 338 t/m2 ( del problema 1.43.)

Hcrit = 3*ln(338/41)/(2*(1+8.5/25.5))*8.5 = 20.2 m

20 m > 9 m

qo = 41*exp 0.67*(1+8.5/25.5)*(6/8.5)

qo = 77 t/m2

1.21.) Problemas ( Terzaghi pgs.220-221)

1) Zapata continua B=2.4m c=2 t/m2 = 17

o

= 1.9 t/m3 Curva de asentamiento falla por corte general

Df = 1.8 m

qult = cNc+ DfNq+0.5 BN

= 17o ( Terzaghi ) Nc = 12.34 Nq = 4.77 N = 2.08

qult = 2*12.34+1.9*1.8*4.77+0.5*1.9*2.4*2.08

= 24.68+16.31+3.99 = 45 t/m2

2) Zapata cuadrada B=3.0 m = 37o

= 2 t/m3 Df = 0 , 0.6 , 1.5 , 3.0 , 4.5

qult = 1.3cNc+ DfNq+0.4 BN

= 37o ( Terzaghi ) Nc = 55.63 Nq = 42.92 N = 56.86

qult = 2*Df*42.92+0.4*2*3*56.86

= 85.84*Df+136.45 t/m2

Df 0 0.6 1.5 3.0 4.5

qult 13.6 18.8 26.5 39.3 52.3

3) = 1.76 t/m3

Ensayo de carga con una placa de 0.3*0.3 m2

La curva de asentamiento llegó a una tangente vertical para una carga

de Q = 1600 kgf = 1.6 ton

Determinar .

17.8 t/m2

q

qult = 0.5 BN = 17.8 t/m2

N = 67.3

38 o

4) Arena densa = 1.8 t/m2

Se efectúa un ensayo de carga usando una placa de 0.3*0.3m

(sobrecarga = 0.6 m de suelo )

La rotura se produjo para P = 6 ton

¿Cual será la carga de rotura por unidad de área para una zapata cuadrada de 1.5 m

situada a la misma cota ? 0.3m

qult = DfNq+0.4 BN 6ton

0.6m

qult = 6/0.32 = 66.7 t/m

2

66.7 = 0.6*1.8*Nq+0.4*1.8*0.3*N

= 1.08*Nq+0.216*N

30o 35

o 37

o 40

o 38

o

Nq 18.4 33.3 42.9 64.2 48.93

N 18.1 40.7 56.9 95.5 67.41

qult 23.8 44.8 58.6 89.9 67.4

38o qult =1.08*48.9+0.4*1.8*1.5*67.4

= 52.81+72.79

= 126.6 t/m2

5) Losa de 30*30m

Capa uniforme de arcilla blanda de 45 m de espesor.

Para q= 22.5 t/m2 se produce la rotura del suelo.

Se desea saber cual es el valor medio de la cohesión c de la arcilla.

Dada la gran profundidad de la zona de equilibrio plástico se puede despreciar la

consolidación de la arcilla producida antes de la rotura y suponer además que = 0

qds = 6.2*c (Ec. 33.15)

c 0 3.6 t/m2

1.22.) Para la fundación cuadrada de la figura, determine la capacidad de soporte admisible

usando las ecuaciones de :

a) Terzaghi V

b) Hansen

c) Meyerhof =1.76t/m3

Usar factor de seguridad igual a 3.0 =20o D=1.2m

c=1.95t/m2

Desarrollo: B

Nc Nq N N‟c N‟q N‟

Terzaghi 17.7 7.4 5.0 11.8 3.9 1.7

Hansen 14.83 6.4 2.9

Meyerhof 15 6.8 2.9

Fórmula gral. de Terzaghi: qult = cNc+qNq+0.5 BN

para zapatas cuadradas: qult = 1.3cNc+qNq+0.4 BN

El 0.4 sale de un factor de corrección tabla 6.3, lect. Shallow Foundation (Sowers)

0.5*0.9 = 0.45 0.4

a) Terzaghi: qult = 1.3*1.95*17.7+1.76*1.2*7.4+0.4*1.76*B*5 t/m2

= 44.87+15.63+3.52*B = 60.5+3.52*B t/m2

qadm = qult/F.S. = qult/3 = 20.2+1.17*B t/m2

Si el suelo es suelto o muy blando c‟, N‟c , N‟q , N‟ en que;(p220 Terzaghi.)

c‟ = 2c/3 = 2*1.95/3 = 1.3

qult = 1.3*1.3*11.8+1.76*1.2*3.9+0.4*1.76*B*1.7

= 19.94+8.24+1.2*B = 28.2+1.2*B

qadm = qult/3 = 9.39 + 0.4*B t/m2 (corte local)

b) Hansen

qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b

en que:

S : factor de forma

d : factor de profundidad

i : factor de inclinación

g : ground factor, factor de inclinación del suelo

b : factor de base

qult = 57.7+26.77/B+1.53*B (D B)

= 59.73+22.3*tg-1

(1.2/B)+1.53*B (D>B)

qadm = 19.2+8.9/B+0.5*B (D B)

c) Meyerhof : qult = 1.2cNc+ DfNq+0.4 BN

= 1.2*1.95*15+1.76*12.2*6.8+0.4*1.76*B*2.9

= 35.1+14.36+2.04*B = 49.5+2.04*B

qadm = 16.5+0.7*B

1.23.) Si la fundación del problema 1.22.) es de 1.5*1.5m y se somete a un momento que da

una excentricidad de la resultante igual a 0.15 m, calcule la tensión de contacto admisible

usando:

a) el concepto de ancho útil B‟ y Meyerhof

b) usando Hansen

Usar un factor de seguridad igual a 3.0.

Desarrollo:

a) Concepto de ancho útil. Calcular la tensión de contacto admisible.

B‟=B-2e = 1.5-2*0.15 = 1.2 m

qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN

pero al usar el concepto de ancho útil:

e V

V

B B‟

qult = cNc(1+0.3B‟/B)+ DNq+0.4 B‟N

ult

contacto =Vult/(B‟L) = qult

qult = 1.95*15*(1+0.3*1.2/1.5)+1.76*1.2*6.8+0.4*1.76*1.2*2.9

= 36.27+14.36+2.45 = 53.08 t/m2

qadm = 17.7 t/m2 (Meyerhof)

b) Concepto de ancho útil usando Hansen


ii=gi=bi=1

Para D B :

Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/B) = 1+(6.4/14.83)*(1.2/1.5) = 1.35

dc = 1+0.4*D/B‟ = 1+0.4*1.2/1.2 = 1.4

Sq = 1+(B‟/B)*tg = 1+(1.2/1.5)*tg20= 1.29

dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B‟ = 1+2*tg20*(1-sen20)

2*1.2/1.2=1.32

S = 1-0.4*B‟/B = 1-0.4*1.2/1.5 = 0.68

d = 1

qult = 1.95*14.83*1.35*1.4+1.76*1.2*1.29*1.32*6.8

+0.5*1.76*1.2*2.9*0.68*1 = 54.66+24.45+2.08

= 81.19 t/m2

qadm = 27.1 t/m2 (Hansen)

1.24.) Para las condiciones del problema 1.22.), pero para un = 22.5o calcular la capacidad

de soporte.

Desarrollo:

Se aplica una interpolación lineal a los valores tabulados, de donde se obtienen los

siguientes datos:

= 22.5o Nc = 21.4 Nq = 10 N = 7.9

qult = 1.3*1.95*21.4+1.2*1.76*10+0.4*1.76*7.9*B

= 54.3+21.1+5.6*B = 75.4+5.6*B

qadm = 25.1+1.9*B

Este problema ilustra la alta sensibilidad del qadm al ángulo de fricción.

1.25.) De un ensayo a escala real, con los datos indicados, resultó un P = 186.3 ton.

Compárelo con el resultado teórico, usando Hansen.

Datos:

: b = 0.9 t/m3 B = 0.5 m

c = 0 Df = 0.5 m

= 42.7 o (triaxial) L = 2.0 m

Desarrollo:

plane strain = 1.1*42.7 = 47o

Nq = 187

N = 300

qult = qNqSqdq+0.5 bBN S d

q= 0.93*0.5 = 0.47 t/m2

Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(0.5/2)*tg47= 1.27

dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1+2*tg47*(1-sen47)

2*0.5/0.5=1.15

S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*0.5/2 = 0.90

d = 1

qult = 0.47*187*1.15*1.27+0.5*0.93*0.5*300*1*0.9

= 128.4+62.8 = 191.1 t/m2

Pult = 191.1*0.5*2 Pult = 190 ton

1.26.) Determine la carga última que transmite un muro a una zapata corrida considerando

el peso propio de la zapata,

a) en el corto plazo Pu(t/m)=?

b) en el largo plazo

Datos: B= 0.8 m Df= 1.5 m

d = 1.7 t/m3 (peso unitario seco)

= 10% sat = 2.1 t/m3 1 m

c= 1.5 t/m2 drenado = 25

o

no drenado = 0o

Desarrollo:

qult = cNc+qNq+0.5 BN

Corto plazo

1o) en el corto plazo tenemos un caso no drenado

= 0 Nc = 5.5 Nq = 1 N = 0

2o) qult = cNc+qNq

en que: q = h*Df = 1.7*(1+ )*1.5 = 1.7*(1+0.1)*1.5

= 2.81 t/m2

3o) qult = 1.5*5.5+2.81*1 = 11.06 t/m

2

qult = Pult/A A= 1*0.8 = 0.8 m2

Pult = 0.8*11.06 = 8.84 t/m2

4o) Considerando el peso propio, hay que descontar el q por peso propio de la zapata y

sumar el q por peso propio del suelo.

q(ppzapata)= (0.8*1.0*1.0*2.4)/(1*0.8) = 2.4 t/m2

q(ppsuelo) = (0.8*1*1)*1.7*1.1 /(1*0.8) = 1.87 t/m2

q = 1.87-2.4 = 0.53

5o) Teníamos qult = 11.06 t/m

2

qultneto

= 11.06-0.53 = 10.53 t/m2

6o) qult

neto = Pult/A = Pult/0.8 Pult=0.8*10.53 = 8.42 t/m

Largo plazo

1o) En el largo plazo, 0 aumento de la presión efectiva de contacto entre

partículas 0

= 25o Nc = 21 Nq = 11 N = 7

2o) qult = cNc+qNq+0.5 bBN

= 1.5*21+1.87*1.5*11+0.5*(2.1-1)*0.8*7

= 31.5+30.9+3.1 = 65.51 t/m2

3o) qult

neto = 65.5+1.87-2.4 = 64.95 65 t/m

2

4o) Pult = qult

neto*A = 65*0.8 Pult = 52 t/m

1.27.) Calcule la capacidad de soporte admisible para la fundación indicada en la figura.

V

= 1.76 t/m3

= 20o

1.2 m c = 1.95 t/m2

1.5m

B

Desarrollo:

Ya que los parámetros del suelo se ajustan bien a la teoría de Balla (cohesión baja),

se usará su ecuación. Supondremos además que los parámetros del suelo no cambian en

el suelo sumergido.

Ya que el método de Balla requiere para su uso el conocer las dimensiones de la

fundación, presentamos los resultados en curvas q v/s B , V v/s B, (V=qadmB2).

Para B = 1.2 m D/b = 2 , c/b = 1.95/(0.6*1.76) = 1.85

se obtiene = 3.8

para = 3.8 y = 20o :

Nc = 26 Nq = 10 N = 21

y para este caso se tiene W‟ = 0.62 ya que d/B = 0.3/1.2 = 0.25

1 . 0

0 . 9

0 . 8

0 . 7

0 . 6

0 . 5

0

0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

W ‟

d / B

1 . 0

0 . 9

0 . 8

0 . 7

0 . 6

0 . 5

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

W

a / D f

V

D f

BB

a

d

F a c t o r e s d e r e d u c c i ó n p o r u b i c a c i ó n

d e l n i v e l f r e á t i c o

qult = cNc+qNqW+ bN W‟ W = 1

= 1.95*26+1.76*1.2*10+0.6*1.76*21*0.62

= 50.7+21.1+13.7 = 85.5 t/m2

qadm = 28.5 t/m2

Para B = 1.8 m:

D/b = 1.2/0.9 = 1.33 c/b = 1.95/(0.9*1.76) = 1.23

de los ábacos, interpolando para D/b = 1 y 2 resulta = 3.5

con = 3.5 y = 20o :

Nc = 23 Nq = 9 N = 18

qult = 1.95*23+1.76*1.2*9+0.9*1.76*18*0.58 = 44.9+19+16.5

= 80.4 t/m2

qadm = 26.8 27 t/m2

Para B = 3 m:

D/b = 1.2/1.5 = 0.8 c/b = 1.95/(1.5*1.76) = 0.74

de los ábacos, interpolando para D/b = 0 y 1 resulta = 2.8

con = 2.8 y = 20o :

Nc = 19 Nq = 8 N = 11

d/B = 0.3/3.0 = 0.1 W‟= 0.55

qult = 1.95*19+1.76*1.2*8+1.5*1.76*11*0.55 = 37.1+16.9+16

= 70 t/m2

qadm = 23.3 t/m2

B (m) qadm (t/m2) qadmB

2=V (ton)

1.2 28.5 41

1.8 27 87

3.0 23.3 210

2.0

3.0

2.5

0 2 31

qadm

(t/m )

B (m)

2

1.28.) Determine la longitud de la fundación para una carga de 1000 ton, aplicada a una

inclinación de 10o con respecto a la vertical.

Arcilla sobre-consolidada cepa de

= 1.72 t/m3 c = 1.34 kgf/cm

2 3 m puente

Desarrollo: B = 4 m

Para una inclinación de 10o la capacidad de soporte se reduce.

Meyerhof desarrolló una teoría basada en resultados experimentales.

para 10o Ncq 6

Si suponemos que se trata de una zapata corrida:

qult = c*Ncq = 13.4*6 = 80.4 t/m2

Agregando la presión ejercida por 3 m de suelo, la capacidad de soporte última

queda:

qult = 80.4 +3*1.72 = 85.6 t/m2

Usando un F.S. = 6 (Skempton)

qadm = 80.4/6+3*1.72 = 18.56 t/m2

L = 1000/(18.56*4) = 13.5 m 14 m

La capacidad de soporte de una fundación rectangular es mayor a la de una zapata

corrida en el factor (1+0.2B/L) (Skempton)

1+0.2B/L = 1+0.2*4/14 = 1.06

como se trata de un pequeño aumento nos quedamos con L = 14 m

1.29.) a) Determinar la capacidad de soporte para la situación indicada:

L>>B

=27o

= 35o

c = 10 t/m2

w = 1.95 t/m3 1.5m

(Ref. fig.3a Navfac p.133)

1.2m

D/B = 1.5/1.2 1.0

qult = cNcq+0.5 BN q en que: Ncq = 3.3 y N q = 48

= 10*3.3+0.5*1.95*1.2*48

= 33+56.2 = 89.2 t/m2

qult 90 t/m2

b) Idem a a) pero carga vertical.

qult = cNc+ DNq+0.5 BN

en que : Nc = 52 Nq = 36 N = 40

qult = 10*52+1.95*1.5*36+0.5*1.95*1.2*40

= 520+105.3+46.8 = 672 t/m2

c) Usando la fig. 3a del Navfac resuelva.

B=1.2m qult = cNcq+0.5 BN q

en que:

Ncq = 6.1 y N q = 80

1.5m

qult=10*6.1+0.5*1.95*1.2*80

= 18o = 61+93.6 = 154.6 t/m

2

qult 155 t/m2

1.30.) Determinar la capacidad de carga del pilote de la figura:

c= 7.2 t/m2 = 1.73 t/m

3 = 10

o

Desarrollo :

Meyerhof propone fórmulas

semi-empíricas para Nc y Nq para pilas

pilas. 15 m

De fig. 8.15: Nc = 25 Nq = 3.2

qult = cNc+qNq

= 7.2*25+1.73*15*3.2

= 180+83 = 263 t/m2

40 cm

Experimentalmente se ha encontrado que para el caso de pilas de hormigón

0.8c y para pilas de acero = 0.6 a 0.8c

Qu = 263*0.42+4*0.4*15*0.8*7.2 = 41.2+138.2

Qu = 180 ton

1.31.) Un grupo de pilotes: L = 9 m = 0.25 m 1m

c = 8.9 t/m2

= 5 o 1m

= 1.72 t/m3

Determinar F.S. mínimo para evitar “tilting collapse”·por falla por corte del grupo

Desarrollo :

= 5 Nc = 15 y Nq = 1.7 (fig.8.15 p207)

La carga última de cada pilote:

qult = cNc+qNq

= 8.9*15+9*1.72*1.7 =133.5+26.3 = 159.8 t/m2

Qult = D4/4*qult = 7.84 ton

Si agregamos el roce en el manto del pilote:

= 0.8c = 7.1 t/m2

Q( ) = 7.1* *0.25*9 = 50.3 ton = 58.1 ton

Q(grupo) = 58.1*25 = 1454 ton

Pero la capacidad de carga última de un grupo de pilotes se obtiene tratando al conjunto

como una fundación cuadrada.

Nc = 8 y Nq = 1.6 (fig.8.15)

cNc+ ZNq = 8.9*8+1.72*9*1.6 = 71.2+24.8 =96 t/m2

Agregando la resistencia por fricción se tiene:

Qult = 96.0*c.s.área del grupo+ *Asgrupo

= 96.0*42+7.1*4*9 = 1536+256 = 1792 ton

Terzaghi y Perk han señalado que la carga de diseño (carga admisible en cada pilote

multiplicada por el número de pilotes) debe ser 1/3 si se desea evitar el colapso.

1792/3 = 597

F.S.mín = 1454/597 = 2.4

1.32.) a) Determinar la carga última suponiendo que la zapata se carga rápidamente y que el

suelo está saturado.

= 47 % = 2.72 t/m3

Usar ecuación de Hansen NF

suelo arcilloso saturado 1.5m

c = 11.4 t/m2

= 0o =3.0m

b) Suponga que la carga obtenida en a) se aplica muy lentamente. Se pide calcular el

F.S. para esta situación considerando que ahora el suelo de fundación posee:

c= 4.6 t/m2 = 20

o

Desarrollo:

a) Sr = 1 = 47 % P /Ps = 0.47 s = 2.72 t/m2

= P/V P

Vt

Vt = 1 m3 Ps

Vt = Vv+Vs

1= P / +Ps/ s = 0.47*Ps+Ps/2.72 0.837*Ps

Ps = 1.194 y P = 0.561

Vs = 1 m3 Ps = 2.72 ton P = 0.47*2.72 = 1.28

Vv = V = 1.28

sat = (2.72+1.28)/(1+1.28) = 1.755 t/m3

El suelo actúa como si su densidad tuviera el valor de la densidad sumergida.

Para condiciones no drenadas la ecuación de Hansen:

qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q

en que:

c = 11.4 t/m2

S‟c = 0.2B/L = 0.2*1 = 0.2

d‟c = 0.4D/B = 0.4*1.5/3 = 0.2

i‟c = 0 (H=0)

b‟c = 0

g‟c = 0

qult=qhundimiento = 5.14*11.4*(1+0.2+0.2) = 82.03 t/m2

Phundimiento= 82.03*32 = 738 ton

b) 738*F.S./A = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d

en que:

c = 4.6 t/m2

Nc = 82 Nq = 72 N = 100

Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(72/82)*(3/3) = 1.88

dc = 1+0.4*D/B = 1+0.4*1.5/3 = 1.4

Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(3/3)*tg40= 1.84

dq = 1+2*tg *(1-sen )2*Df/B = 1+2*tg40*(1-sen40)

2*1.5/3=1.11

S = 1-0.4*B/L = 1+0.4*3/3 = 0.6

d = 1

0.5 B = 0.5*(1.755-1)*3 = 1.13

sustituyendo:

738*F.S./(3*3)=4.6*82*1.88*1.4+0.755*1.5*72*1.84*1.11+1.13*100*0.6*1

82*F.S. = 992.8+166.5+67.8

F.S. = 15

c) Considere ahora que la arcilla está fisurada.

Desarrollo:

Es posible que a largo plazo las fisuras se abran y desaparezca la cohesión a

lo largo de ellas.

c = 0 738*F.S./9 = 166.5+67.8

F.S. = 2.9

1.33.) Calcule la máxima presión que puede transmitir la base de la zapata al terreno para

tener un coeficiente de seguridad al hundimiento igual a 3.

Suponga que todo el estrato tiene un grado de saturación Sr = 30 %= cte.

Datos:

e = 0.5 = 35o = 1.83 t/m

3 s = 2.6 t/m

3

c = 0 Df = 0.8 m B = 2 m L = 2 m

Desarrollo:

= 35 o Nq = 35 N = 40

la ec. de Hansen: qult = qNqSqdq+0.5 BN S d

en que :

q = *D = 1.83*0.8 = 1.46

Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(2/2)*tg35= 1.7


2*0.8/2=1.10

S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*2/2 = 0.6

d = 1

qult = 1.46*35*1.7*1.1+0.5*1.83*2*40*0.6*1

= 95.82+43.92 = 139.7 t/m2

qadm(F.S.=3) = 46.58 47 t/m2

1.34.) a)Repetir el problema 1.33.) pero con la variación que una vez construida se le coloca

un relleno compactado de 0.8 m de altura y = 1.8 t/m3.

b) Repetir el cálculo anterior suponiendo que el nivel freático sube hasta la base de la

zapata.

c) Repetir b) usando la Fig. 2 del Nafvac DM7.2 p132, con la napa a 0.4 m bajo el

sello de fundación.

d) Suponer la napa a 0.5 m bajo la base de la zapata.

Desarrollo: (Nafvac p131)


Determinación de hum h=0.8m

Vt = Vo = Vv+Vs

e = Vv/Vs = 0.5 =1.8t/m3

2.0 m

Sr = V /Vv

Vs = 1 m3

Ps = 2.6 ton

Vv = 0.5 m3

V = 0.3*Vv = 0.15 m3

P = 0.15 ton

hum = Ptot/Vtot = (2.6+0.15)/1.5 = 1.83 t/m3

= 35 Nq = 35 N = 40

qhun = qult = 1DNq+0.4 2BN

en que:

1 = 1.8 t/m3 D = 0.8 m 2 = 1.83 t/m

3

qhun = 1.8*0.8*35+0.4*1.83*2*40 = 50.4+58.6

= 109 t/m2

qadm(F.S.=3) = 36.3 t/m2

Notas:

1) En arenas la carga admisible está dada por los asentamientos y no por el qult.

2) En terrenos blandos o muy sueltos, la rotura será parcial. En terrenos densos la

rotura será total ( = 40o). En nuestro caso asumimos rotura total.

b) qult = 1DNq+0.4 2BN = 50.4+0.4* b*2*40

Determinación de b

sat = (Pa+P )/Vt = 2.07 t/m3 b = 1.07 t/m

3

qult = 50.4+0.4*1.07*2*40 = 50.4+34.2

= 84.6 t/m2

qadm(F.S.=3)= 28.2 t/m2

c) d = 0.4+0.8 = 1.2 m

d/B = 1.2/2 = 0.6

Identifiquemos las fórmulas a usar en la figura 2:

1o) En una zapata cuadrada.

2o) Se cumple Df B 0.8 2.0

3o) Se cumple: Df <d < (Df+do)

Df = 0.8 m d = 1.2 m

Determinación de do:

¡tomar = 30o como un valor extremo!

d/B = 1.2/2 = 0.6

= 35 d/do = 0.65 do = 0.65*1.2 = 0.78

Df+do = 1.6

qult = cNc(1+0.3B/L)+ tDfNq+ b+F( t- b) 0.4BN

F 0.8

evaluación de términos:

c = 0 el primer término de qult vale 0

sub = b = 1.07 t/m3 t = hum = 1.83 t/m

3

qult = 1.83*0.8*35+ 1.07*0.8*(1.83-1.07) *0.4*2*40

= 51.24 20.82

qult = 72.1 t/m2 qadm = 24.03 t/m

2

d) eq*B = h*do+ b*(B-do)

eq = h*do/B+ b- b*do/B = do/B*( h- b)+ b

= 5/20*(1.83-1.07)+1.07 = 1.26 t/m3

qh = DNq+0.4 eqBN = 1.8*0.8*35+0.4*1.26*2*40

= 50.4+40.3 = 90.7 t/m2

qadm = qh/3 = 30.2 t/m2

1.35.) Se aplica una carga uniformemente repartida sobre una franja muy larga de 6 m de

ancho.

a) Determinar la presión de hundimiento(según Terzaghi)

b) Se desea un F.S.=3 con respecto a la carga de hundimiento. Determinar el F.S. con

respecto a la resistencia al corte.

c= 3 t/m2 = 30

o

Desarrollo:

a) qult = qhundimiento =cNc+ DNq+0.5 BN

en que:

D = 0 qhundimiento = cNc = 3*37.2

qhundimiento = 111.6 t/m2

b) Hay que calcular el número por el cual hay que dividir la cohesión y la tangente de

para que el terreno esté en equilibrio bajo la presión minorada.

qadm = 111.6/3 = 37.2 t/m2

hay que determinar F

c* = c/F tg

* = tg /F

qadm= DNq(*) + c

*Nc(

*)

como q = D = 0 qadm = c*Nc(

*) (A)

c* = 3/F

tg* = tg30/F = 0.58/F

* = arctg(0.58/F)

Nc = (228+4.3 )/(40- ) ( <35o Krizek)

Nc(*) = (228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F) (ver p811 G y C II)

sustituyendo en (A):

37.2 = 3/F*(228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F)

F 2 1.5 1.4 1.45 1.44

qadm 18.7 33.8 39.8 36.6 37.2 t/m2

F = 1.44

1.36.) Calcule la fatiga de contacto admisible para una fundación cuadrada para las

condiciones indicadas en la figura, usando la teoría de Balla y un F.S. = 3 (cargas

permanentes).

V = 1.76 t/m3

= 30o

c = 0

2.4 m

B=2.4 m

Desarrollo :

b = B/2 = 2.4/2 = 1.2 m , D/b = 2.4/1.2 = 2 , c/b = 0

De ábacos se tiene:

para D/b = 2 , c/b = 0 y = 30o = 4

Con = 4 y = 30o se obtienen:

Nc = 40 Nq = 24 N = 68

qult = cNc+qNq+ bN

= 0+1.76*2.4*24+1.2*1.76*68 =101.4+143.6

qult = 245 t/m2

qadm = 81.7 t/m2

1.37.) Repita el problema 1.36.) para = 25o y c = 27 t/m

2 (0.27 kgf/cm

2)

Desarrollo:

D/b = 2 , c/b = 2.7/(1.2*1.76) = 1.28 , = 25o

Usando ábacos se obtiene :

= 4.04 4

y con = 4 y = 25o :

Nc = 33 Nq = 17 N = 39

qult = 2.7*33+2.4*1.76*17+1.2*1.76*39=89.1+71.8+82.4

= 243.3 t/m2

qadm = 81.1 80 t/m2

DIMENSIONAMIENTO POR CAPACIDAD DE SOPORTE

1.38.) Para el estanque de acero de la figura determine el ancho de la zapata considerando

que está ubicado en un talud con pendiente 1:3 . La altura del estanque es 10 metros con un

radio de 9 metros. El estanque almacena un líquido con una densidad de 1.1 ton/m3. El

anillo interior del estanque se apoya en una cama de arena suelta. Considere que el 60% de

la carga se transmite a la cama de arena y el 40% a las zapatas. Considere un sello de

fundación promedio a 1.5 metros de profundidad.

planta elevación = 27o

c = 2 ton/m2

r =1.9 ton/m3

e=1cm acero=7.9 gr/cm3

H =10 m horm=2.4 ton/m3

corte AA

talud

9 m eje sim.

0.9m

Corte A-A Usar Hansen o Nfac

V

Desarrollo:

Hipótesis: Como es un anillo

se resuelve considerando zapata Df=1.5m

corrida.

=arctg(1/3)=18.5o

- Determinación de las solicitaciones sobre la zapata:

V = peso del manto + peso del contenido + peso de la zapata

Pmanto = 0.1dm*10*10dm*10dm*7.9kgf/dm3 =100dm

3*7.9kgf/dm

3

= 0.79 ton/m

Pcontenido = *Vol*0.4 = 1.1 t/m3

Vol= *D2/4*h = *18

2/4*10 m

3

= 2545 m3

Pcontenido =1.1*2545*.4=1120 ton que se reparten en la longitud del perímetro

2* *r = 56.5 m por lo tanto

Pcontenido = 1120/56.5 = 19.8 ton/m

Pzapata = B*h*L* horm =B*0.9*1*2.4

= 2.16*B (ton/m)

luego

V = 0.79+19.8+2.16*B

Hay que darse un valor de B e iterar:

1a iteración: B=1 m V = 22.75 t/m

-Determinar qadm usando Hansen

qult = cNcScdcgc +qNqSqdqgq+0.5 BN S d g

c=2 t/m2

Nc = 24 (Bowles p190)

Sc =1+(Nq/Ncd)*(B/L)=1+(13.25/24)*(1/56.5) 1.0

dc = 1+0.4*k (k=tg-1

(Df/B)=0.983)

= 1.39

gc = 1- /147o = 0.874

entonces: cNcScdcgc =2*24*1*1.39*0.847=58.3 t/m2

q = *H = 1.9*1.5 =2.85 t/m2

Nq= 13.25

Sq = 1+(B/L)*tg =1+(1/56.5)*tg27 1.0

dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*0.983 = 1.55

gq = (1-0.5*tg18.5)5 = 0.40

entonces: qNqSqdqgq =2.85*13.25*1.0*1.55*0.40 = 23.6 t/m2

= 1.9 t/m2

N = (7.9*10.9)/2= 9.4

S =1-0.4*B/L = 1-0.4*1/56.5 = 0.99

d = 1.0

g = (1-0.5*tg18.4)5 = 0.40

entonces: 0.5 BN S d g = 0.5*1.9*1*9.4*0.99*1*0.4 = 3.54 t/m2

por lo tanto: qult = 58.3+23.6+3.54 = 85.44 t/m2

qadm = qult/3 = 85.44/3 = 28.48 t/m2ç

Verificación de la capacidad de soporte

qsolic = V/(B*L) = 22.75/(1*1) = 22.75 t/m2

qadm = 28.5 t/m2

qsolic qadm O.K.

2a iteración: B = 0.5 m V = 21.7 t/m

-Determinación del qadm por Hansen

los parámetros que varían son:

Sc =1+(13.25/24)*(0.5/56.5) 1.0

dc = 1+0.4*1.25 = 1.5 k= tg-1

(1.5/0.5) = 1.25

entonces: cNcScdcgc =2*24*1*1.5*0.874 = 62.9 t/m2

Sq = 1+(0.5/56.5)*tg27 1.0

dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*1.25 = 1.696

entonces: qNqSqdqgq = 2.85*13.25*1*1.696*0.40 = 25.6 t/m2

S = 1-0.4*0.5/56.5 1.0

luego: 0.5 BN S d g = 0.5*1.9*0.5*9.4*1*1*0.4 = 1.77 t/m2

por lo tanto:

qult= 62.9+25.6+1.77 = 90.27 t/m2

qadm = 30.1 t/m2

Verificación de la capacidad de soporte

qsolic = V/(B*L) = 21.7/(0.5*1) = 43.4 t/m2

qadm qsolic no cumple

B = 1 m o ajustar realizando nuevas iteraciones

1.39.) Un silo de 5 metros de altura y 2 metros de diámetro externo, se apoya sobre una

zapata circular de 2.4 metros de diámetro. El espesor de las paredes de hormigón es de

30 cm. El material a almacenar tiene un peso unitario de 1.5 ton/m2. Considere un evento

sísmico que tiene una aceleración máxima de 0.25g que produce una fuerza horizontal a

2.5 metros de la superficie. Las características del suelo son similares a las del problema

1.2.).

Determine la profundidad del sello para:

a) asegurar la estabilidad del silo y

b) cumplir con las exigencias de soporte del suelo

Desarrollo:

Se modela como zapata de sección circular. Considere que la zapata es rígida.

Asumiendo Df 1 m

- Solicitaciones

Carga vertical

V = Vsilo+Vrelleno+Vzapata

Vsilo = H* *(22-1.4

2)/4* horm = 5*3.85 =19.2 ton

Vrelleno = ( *1.42/4)*5*1.5 = 11.54 ton

Vzapata = ( *2.42/4)*1*2.4 = 10.86 ton

V = 19.22+11.54+10.86 = 41.6 ton

= V/A =41.6/( *2.42) = 2.3 ton/m

2

Momento

Sea Df = 1 m

M = H*(2.5+Df) H = 0.25*(19.22*11.54) = 7.96 ton

M = 26.92 t*m

e = M/V = 26.92/41.6 = 0.65 m B/6=2.4/6 = 0.40

e B/6

Reacción del suelo: qM,m = V/A M/W

W = *D4/(64*R) = *2.4

4/(64*1.2) = 1.36 m

3

qM,m = 2.3 26.92/1.36 = 2.3 19.8 ton/m2

Ep,Ea

kp v = (1+sen27)/(1-sen27)*1.9*1 = 5.06 ton/m2

Ep =1/2*5.06*1 = 2.53 ton/m considerando los 2.4 m de ancho

= 2.53*2.4 =6.07 ton

ka = 1/kp = 0.38

Ea = 0.86 ton

Ea Ep

ka v kp v

a) Estabilidad del silo

Volcamiento M

M

R

V

2

MR = V*D/2+(Ep-Ea)*1/3*1 = 49.92+1.74 = 51.7 t*m

MV = 26.92 t*m

FSV = 51.7/26.92 = 1.92 2 O.K.

b) No cumple con las exigencias de soporte del suelo, ya que m es negativo.

Determinación de la capacidad de soporte del suelo (Meyerhof).

Sea Df =1 m

qult (Meyerhof, carga inclinada, referencia p188 Bowles)

qult = cNcdcic+qNqdqiq+0.5 BN d i

= Fc + Fq + F

c = 2 t/m2

Nc = 23.9 Nq = 13.2 N = 9.5

dc =1+0.2*√kp*D/B kp = 2.66

= 1+0.2*1.63*1/2.4 = 1.13

ic = (1-o/90

o)2 tg = 769/41.6 = 0.2 rad

ic = 0.78 = 10.5o

Fc = 2*23.9*1.13*0.78 = 42.1 t/m2

q = *D = 1.9*1 = 1.9 t/m2 V = 41.6 ton

dq = 1

iq = ic = 0.78 H = 7.69 ton

Fq = 1.9*13.2*1*0.78 = 19.56 t/m2

d = 1

i = (1-10.5/27)2 = 0.37 F = 0.5*1.9*2.4*9.5*1*0.37 = 8.01 t/m

2

qult = 42.1+19.56+8.01= 69.67 t/m2

qadm =69.67/3 = 23.2 t/m2

M = (2.3 + 19.8)*1.2 = 26 t/m2

M qadm

qult (Meyerhof, sin carga inclinada)

Sc = 1+0.2*kp*B/L = 1.51

Sq = 1+0.1*kp*B/L = 1.27

S = 1.27

qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 B‟N S d

qult = 2*23.9*15.1*1.13*+1.9*13.2*1.27*1+0.5*1.9*2.15*9.5*1.27*1

= 81.56+31.85+24.64=138 t/m2

qadm = 46 t/m2 v/s 23.2 t/m

2

1.40.) Diseñe las fundaciones para el estanque de la figura considerando que :

a) la capacidad de soporte del suelo controla el diseño.

b) usar ecuación de Hansen (Tablas 4.1 a 4.5 del Bowles).

c) estados de carga:

EC(1) = normal + viento + estanque vacío

EC(2) = normal + viento + estanque lleno

d) e/B < 0.3 (el estanque está ubicado en un campo abierto y su colapso no es

crítico)

e) puede usar método alternativo propuesto por Meyerhof con un factor de

reducción

Re = 1 - (e/B)0.5

5 m

t = 1.91 t/m3 vol=45 m3

c = 0.5 t/m2 = 3 m

= 23° pv=

120

kgf/m2

= 0.7m 9 m

Sr = 95 % 1.4 m

NF 1.1 m

Sr = 100 %

=B

Desarrollo:

- Determinación de solicitaciones

H1 = 3*3m2*0.12t/m

2 = 1.08 ton

H2 = 0.7*9m2*0.12t/m

2 = 0.76 ton

H = 1.08+0.76= 1.84 ton

MSF = H1*(3/2+9+1.4+1.1)+H2*(9/2+2.5) =1.08*13 + 0.76*7

= 14.04+5.29 = 19.33 t*m

V = Vo + 1.1*B2* horm

Vo = 10.4*0.72*2.4+(5*3*3-4.9*2.9*2.9)*2.4 = 21 ton

V = 21 + 1.1*B2*2.4 = V(B)

- Determinación de B tentativo:

e/B < 0.3 e = M/V = 19.33/V

B(m) V(ton) 19.33/V=e e/B (estanque vacío)

3 44.76 0.43 0.14

2.5 37.5 0.51 0.21 Tentar con

2.0 31.6 0.60 0.31>0.3 B = 2.1 m

2.1 32.64 0.59 0.28<0.3

2.2 33.78 0.57 0.26

2.3 35.0 0.55 0.24

2.4 36.2 0.53 0.22

Capacidad de soporte según Hansen.(Fórmula general p188 Bowles)

qult = cNcScdcicgcbc + .........

Como no debe usarse el factor de forma Si en combinación con el de inclinación

ii (p191 Bowles Tabla 4-5)

qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 ‟B‟N d i

en que

‟ = t-1 = 1.91-1 = 0.91 t/m2

B‟ = B-2*e =2.1-2*0.59 = 0.92 m

Nc = 18 dc = 1.35 ic = 0.86

Nq = 8.7 dq = 1.45 iq = 0.8

N = 4.9 d = 1.0 i = 0.83

Fc= cNcdcic = 10.4 t/m2 Fq = qNqdqiq= 52.8 t/ m

2

F = 0.5 ‟B‟N d i =1.69 t/m2

qult = 64.9 t/m2 qadm = qult/3 = 21.6 t/m

2

Verificaciones:

M < qadm M = 4*V/(3*L*(B-2*e))

M(B=2.1m) = 4*32.64/(3*2.1*(2.1-2*0.59)) = 22.53 t/m2 > qadm

aumentar B B = 2.2 m

Volcamiento: FS = MR/MV = (V*B/2)/19.33

= (32.64*2.1/2)/19.33 = 1.77 < 2

aumentar B

Deslizamiento

FS = (c*A+N*tg )/H = (0.5*B‟*B+V*tg23)/1.84

= (0.5*0.92*2.1+32.64*tgt23)/1.84 = 14.82/1.84

FS = 8.1 O.K.

2a Iteración B = 2.3 m

B‟ = B-2*e = 2.3-2*0.55 = 1.19 m V = 35.0 ton

k = 0.83 dc = 1.33 ic = 0.87

dq = 1.43 iq = 0.89

d = 1.0 i = 0.84

Fc = 10.4 Fq = 52.5 F = 2.2

qult = 65.2 t/m2 qadm = 21.7 t/m

2

Verificar qadm e/B = 0.24 > 0.17

M = 4*35/(3*2.3*(2.3-2*0.55)) = 17.1 t/m2 < qadm O.K.

Volcamiento: (B = 2.3 m)

FS = MR/MV = (35*2.3/2)/19.33 = 2.1 > 2 O.K.

Con el estanque vacío B = 2.3 m

¡ Controla el volcamiento !

EC(2) = N + V + estanque lleno:

B(m) V(ton) 19.33/V=e e/B

3 89.8 0.22 0.07 < 0.3

2.5 82.5 0.23 0.09 < 0.3

2.4 81.2 0.24 0.10 < 0.3

2.3 80.0 0.24 0.11 < 0.3

2.1 77.6 0.25 0.12 < 0.3


B‟ = 1.82 m V = 80 ton

k = 0.83 dc = 1.33 ic = 0.94

dq = 1.43 iq = 0.95

d = 1.0 i = 0.93

Fc = 11.26 Fq = 56.17 F = 3.75

qult = 71.2 t/m2 qadm = 23.7 t/m

2

Verificación qadm

e/B = 0.11 < 0.17 M = V/A*(1+6*e/B)

= 80/2.32*(1+6*0.11)

=25.1 t/m2 M > qadm no cumple


B‟ = 1.92 m V = 81.2 ton

k = 0.81 dc = 1.32 ic = 0.94

dq = 1.42 iq = 0.95

d = 1.0 i = 0.93

Fc = 11.20 Fq = 55.80 F = 3.98

qult = 70.98 t/m2 qadm = 23.66 t/m

2

Verificación qadm

M = V/A*(1+6*e/B) = 81.2/2.42*(1+6*0.1) = 22.56 t/m

2

M < qadm O.K.

Verif. Volcamiento:

FS = MR/MV = (81.2*2.4/2)/19.33 = 5.0 > 2 O.K.

Conclusión:

Usando Hansen EC(1) B 2.3 m controla volcamiento

EC(2) B 2.4 m adm del suelo

B = 2.4 m

3.b) Capacidad de soporte según Meyerhof alternativo con un factor de reducción

Re = 1-(e/B)0.5

Para carga inclinada:

qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 BN d i (p188 Bowles)

kp ( =23) = 2.28 i = f( )

V

tg = H/V = 1.84/V

H

Estanque vacío :


B‟ = 1.19 m V = 35 ton = 3.01o

Nc = 18 dc = 1.35 ic = 0.93

Nq = 8.7 dq = 1.16 iq = 0.93

N = 4.9 d = 1.16 i = 0.76

Fc = 11.17 Fq = 45.18 F = 4.51

qult = 60.85 t/m2

e/B = 0.24 <0.3 O.K.

Re = 0.51 qult*Re = 31.0 t/m2 qadm = 10.3 t/m

2

e/B = 0.24 > 1/6 zonas en tracción

M = 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*35/(3*2.3*(1.19)) = 17.1 > 10.3 t/m2

M > adm hay que aumentar B


e = 0.50 B‟ = 1.60 m V = 38.85 ton

e/B = 0.19 > 0.17 zonas en tracción

dc = 1.29 ic = 0.94 Fc = 10.92

dq = 1.15 iq = 0.94 Fq = 44.75

d = 1.15 i = 0.78 F = 5.11

qult = 60.79 t/m2 Re = 0.56 qult = 34.19 t/m

2

qadm = 11.4 t/m2

e/B = 0.24 > 1/6 zonas en tracción

M = 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*38.85/(3*2.6*(1.6)) = 12.45 > 11.4 t/m2

no cumple se debe aumentar B


e = 0.48 B‟ = 1.74 m V = 40.25 ton

e/B = 0.18 = 2.6o

dc = 1.28 ic = 0.94 Fc = 10.86

dq = 1.14 iq = 0.94 Fq = 44.64

d = 1.14 i = 0.79 F = 5.33

qult = 60.82 t/m2 Re = 0.58 qult = 35.17 t/m

2

qadm = 11.72 t/m2

Verif. qadm:

e/B > 0.166 = 1/6 zonas en tracción

M = 4*40.25/(3*2.7*(1.74)) = 11.42 < 11.72 t/m2 O.K.

El volcamiento ya está O.K. puesto que el FS (B = 2.3) = 2.1 > 2

B = 2.7 m para estanque vacío

Estanque lleno:


e = 0.23 B‟ = 2.25 m V = 85.25 ton

e/B = 0.08 < 1/6 = 1.24o

dc = 1.28 ic = 0.97 Fc = 11.20

dq = 1.14 iq = 0.97 Fq = 46.06

d = 1.14 i = 0.90 F = 6.08

qult = 63.34 t/m2 Re = 0.71 qult = 44.48 t/m

2

qadm = 15.0 t/m2

Verificación qadm

M = V/A*(1+6*e/B) = 82.25/2.72*(1+6*0.08) = 17.6 t/m

2 > 15 t/m

2

M > qadm aumentar B


e = 0.22 B‟ = 2.35 m V = 86.70 ton

e/B = 0.0796 < 1/6 = 1.22o

dc = 1.27 ic = 0.97 Fc = 11.12

dq = 1.13 iq = 0.97 Fq = 45.88

d = 1.13 i = 0.90 F = 6.29

qult = 63.29 t/m2 Re = 0.72 qult = 45.43 t/m

2

qadm = 15.14 t/m2

Verificación qadm

M = 86.7/2.82*(1+6*0.0796) = 16.34 t/m

2 > 15.14 t/m

2 no cumple


e = 0.22 B‟ = 2.46 m V = 88.2 ton

e/B = 0.0755 < 1/6 = 1.20o

dc = 1.26 ic = 0.97 Fc = 11.04

dq = 1.13 iq = 0.97 Fq = 45.71

d = 1.13 i = 0.90 F = 6.50

qult = 63.25 t/m2 Re = 0.73 qult = 45.87 t/m

2

qadm = 15.29 t/m2

Verificación qadm

M = 88.2/2.92*(1+6*0.0755) = 15.24 t/m

2 < 15.29 t/m

2 O.K.

Con el estanque lleno se requiere B = 2.9 m (usando Meyerhof alternativo)

1.41.) Diseñar Df y B , a la capacidad de soporte, de la zapata cuadrada de un pilar

sometido a una carga vertical de 250 ton y un momento de 25 t*m:

El suelo es una arcilla residual compuesta de dos estratos.

El primer estrato es arcilla residual CH de 1 m de profundidad, blanda y con material

orgánico.

El segundo estrato es arcilla residual CH consistente y dura.

c = 0.41 kgf/cm2 = 41 t/m

2 250ton

= 1.8 t/m3 = 19

o 25t*m

F.S.= 3

Df

Desarrollo:

Suponiendo que la carga se encuentra

dentro del tercio central, con un diagrama B

de tensiones del tipo:

m M en que M = V/BL+M/W

= V/BL+M/(BL2/6)

M=V/B2+6M/B

3 (zapata cuadrada)

= 250/B2+6*25/B

3 = (250*B+450)/B

3

Además: F.S.=qult/ máx qult=3 máx =(750*B+450)/B3

Asi: qult = cNcFc+ DfNqFq+0.5 BN F

donde Fc , Fq y F son factores de corrección debido a la forma de la zapata.

qult= 4.1*Nc*1.2+1*1.8*Nq+0.5*1.8*B*N *0.6

se supuso Df = 1 m ya que a esta profundidad se encuentra un suelo mejor que

el primer estrato.

= 19o Nc = 16.74 Nq = 6.8 N = 4.5

qult = 82.36+14.69+2.43*B = 97.05+2.43*B t/m2

Igualando:

(750*B+450)/B3=97.05+2.43*B desarrollando .....

B4+39.94*B

3-308.6*B-185.2=0

tanteando con B=2.94 se tiene (-2.81=0)

B 3 m

Verificación:

e = M/V = 25/250 = 0.1 m = 10 cm

B/6 = 3/6 = 0.5 m = 50 cm

carga coincide dentro del tercio central

máx= (250*3+150)/27 = 33.3 t/m2

qult = 97.05+2.43*3 = 104.34 t/m2 F.S.= 104.34/33.3 = 3.13

se acepta este valor ya que asegura el desconocimiento y la mala calidad del

primer estrato.

= V/A(1 6e/B) = 250/9(1 6*0.1/3)

V = 250 ton = 27.8(1 0.2)

A = B2 9 m

2 M = 33.36 t/m

2

e = M/V = 225/250 = 0.1 m m = 22.24 t/m2

1.42.) Hallar las dimensiones para que la zapata mostrada tenga un F.S.= 3, según fórmula

de Hansen.

Datos: N=1000ton corte AA

: b = 2.2 t/m3

c = 2 t/m2

= 30 o Df 1.4B

L = 1.4B m

A A

B

Desarrollo:


Suponer Df B

Nq = tg2(45+ /2)e

tg =18.40

Nc = 30.14

Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(18.4/30.14)*(B/1.4B) = 1.44

dc = 1+0.4*Df/B = 1+0.4*1.5/B = 1+0.6B

ic =1

gc = 1 ( = 0)

bc = 1 ( = 0)

q = Df = 2.2*1.5 = 3.3 t/m2

Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(B/1.4B)*tg30= 1.41


2*1.5/B=1+0.433B

iq = 1 (H=0)

gq = 1 ( = 0)

bq = 1 (terreno horizontal)

N = 15.1

S = 1-0.4*B/1.4B = 0.714

d = 1

i = 1 (H=0)

g = 1 ( =0)

b = 1

sustituyendo:

qult = N*F.S./(B*L) = 1000*3/1.4B2

además

qult=2*30.14*1.44*(1+0.6/B)+3.3*18.4*1.41*(1+0.433/B)+1.1B*15.1*0.714

luego : 2143/B2=86.8(1+0.6/B)+85.62(1+0.433/B)+11.86B

2143=86.8B2+52.08B+85.62B

2+37.07B+11.86B

3

11.86B3+172.42B

2+89.15B-2143=0

B1= -12.86 B2= 3.0 m B3= -4.6

B = 3.0 m

L = 1.4*3 = 4.2 m

Df B O.K. la suposición inicial.

1.43.) Si al problema 1.42.) se le agrega una componente horizontal H = 200 ton que forma

un ángulo de 20o con respecto al eje menor del rectángulo.

Hallar el F.S. de la zapata proyectada.

corte AA

N=1000ton

200 ton

4.2m x 20

x

A A

3.0m

Desarrollo:

Tenemos la siguiente situación:

Caso I 1000ton Caso II 1000ton

188ton 68ton

3.0m 4.2m

suponemos aplicación en el sello de fundación

Análisis del caso I

Varían los coeficientes y, de inclinación de la carga:

ic = f(iq)

iq = 1-0.5*188/(1000+3*4.2*2*cotg30)5 = 0.624

ic = iq-(1-iq)/(Nq-1) = 0.624-(1-0.624)/(18.4-1) = 0.602

i = 1-0.7H/(V+A*c*cotg )5

= 1-0.7*188/(1000+3*4.2*2/tg30)5 = 0.51

Volviendo a la fórmula de Hansen:

F.S.*1000/(4.2*3) = 86.8(1+0.6/3)*ic+85.62(1+0.433)*iq+11.86*3*i

79.365*F.S.=62.704+61.138+18.146

F.S. = 1.79 1.8

1.44.) Si en el problema 1.42.) se agrega un momento de 500 t*m, que tiene como eje una

de las diagonales, determinar el F.S. para esta situación.

Desarrollo:

Mx = 500*cos = 290.6 t*m

My = 500*sen = 407.1 t*m M =54.5o

Tenemos la siguiente situación:

Caso I 1000ton Caso II 1000ton

407t*m 291t*m

3.0m 4.2m

ey = 0.41 m ex = 0.29 m

La carga de 1000 ton está descentrada y produce un momento de 500 t*m con

respecto a la diagonal.

e = M/N = 500/1000 = 0.5 m

Hemos de considerar un área equivalente que tenga como centro de gravedad G.

18.9

35.5

71.1

3.0m

= 35.5

o

L‟=(L/2-0.5*sen35.5)*2 = 4.2/2-0.29 = 3.6 m

B‟ =(B/2-0.5*cos35.5)*2 = 3/2-0.41 = 2.2 m

Aplicando Hansen a este nuevo rectángulo:

1000*F.S./(2.2*3.6) = cNcScdcicgcbc +.....

ic = i = 1 (carga vertical )

D/B‟ = 1.5/2.2 < 1

d = 1 dc = 1+0.4D/B‟ = 1+0.4*1.5/2.2 = 1.27

dq = 1+2*tg30*(1-sen30)2*1.5/2.2=1.20

Sc = 1+(18.4/30.14)*(2.2/3.6) = 1.37

Sq = 1+(2.2/3.6)*tg30= 1.35

S = 1-0.4*2.2/3.6 = 0.76

sustituyendo:

qult = 2*30.14*1.37*1.27+3.3*18.4*1.35*1.2+1.1*2.2*15.1*0.76

= 104.88+98.37+27.77 = 231.0 t/m2

qult = N*F.S./A F.S.=231*2.2*3.6/1000

F.S.= 1.83

F.S.= qult/(N/A) es un factor de seguridad supuesto sólo para cargas verticales en

que qult se obtiene con el área reducida y (N/A) es la carga solicitante dividida por el

área reducida.

1.45.) Se hace un ensayo de carga sobre una placa de 1*1m, en un suelo arenoso. El

hundimiento se produce para q= 20 t/m2 y arena = 1.8 t/m

2. Se requiere construir un zapata

de 3*3 m aplicando una presión q= 60 t/m2.

Es necesario aumentar la resistencia al corte del suelo y se elige como método,

inyecciones de cemento. Para dosificar el cemento se hacen una serie de pruebas

consistentes en romper a compresión simple muestras del terreno inyectado. Se observa que

la resistencia a compresión simple está ligada a la cantidad de cemento mediante la

expresión:

R = 160c R (kgf/cm2) c(t/m

3)

a) Determinar la dosificación a emplear si se quiere obtener un coeficiente de seguridad

al hundimiento igual a 2 con respecto a las cargas a emplear.

b) Resolver usando el coeficiente de Prandtl (Ref.tabla 13.1 G. y C. II)

Desarrollo:

Hansen:

qult = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d

ii=gi=bi=1

q = 0 (zapata superficial)

c = 0 (arena)

qult = 20 t/m2

20 = 0.5 BN S d

en que:

= 1.8 B = 1 m N = ? S = 1-0.4B/L = 0.6 d = 1

20 = 0.5*1.8*1*N *0.6*1

N = 37.04 = 35 o ( gráfico Nafvac)

Adoptamos = 35 o , que se mantiene constante con la inyección de cemento,

sin embargo ahora el suelo adquiere cohesión de modo que la fórmula de Hansen:

qult = cNcScdc+0.5 BN S d = F*P/A (*)

en que:

F = 2 (enunciado) P/A = 60 t/m2 (enunciado)

c= a partir de (*)

Nc = 51 Nq = 33 N = 40 (Nafvac)

Sc = 1.65 dc = 1.4

entonces sustituyendo en (*)

2*60 = c*5.1*1.65*1.4+0.5*1.8*3*40*0.6*1

120 = 117.6*c+64.8

c = 0.47 t/m2

Usando el círculo de Mohr, aplicado a un ensayo de comprensión simple.

R

RL

c

1

tg = c/L L = 0.47/tg35 = 0.67 t/m2

R/c*cos = (L+R)/L LR/(c*cos ) = L+R

R = 0.91 1 = 2R = 1.81 t/m2

1 = 160*c 0.181 = 160*c

c = 0.00113 t/m2 = 1.13 kgf/m

2

b) = 35o Nc = 46.12 Nq = 33.3 N = 32

Sc = 1+(33.3/46.1)*1 = 1.72

dc = 1.4

S = 0.6

2*60 = c*46.1*1.72*1.4+0.5*1.8*3*32*0.6

120 = 111*c+51.8 c = 0.61 t/m2

tg = c/L L = 0.61/tg35 = 0.88

LR/(c*cos ) = L+R R = 1.15 2R = 2.3

1 = 2.3 t/m2 1 = 160*c

0.23 = 160*c c = 1.44 kgf/m3

ASENTAMIENTO Y GIRO

1.46.) Un edificio se apoya en dos líneas de zapatas aisladas, como se muestra en la planta

indicada. Determine “mín” de modo de asegurar que no se producirá agrietamiento en el

edificio.

Datos: -Zapatas cuadradas rígidas

-Es = 1000 kgf/cm2

- Suelo de fundación:Arena densa

- Cargas incluyen peso propio de las zapatas

V=21ton V=96ton

eje A eje B

B=1.5m B=0.7m

eje A eje B

Desarrollo:

Para que no se produzcan grietas, la distorsión angular está limitada a:

/ < 1/500

Por tratarse de un suelo de fundación constituido por arena densa, los asentamientos

serán inmediatos y se pueden calcular usando teoría de elasticidad.

q BI

E s

* **1 2

qA = VA/B2 = 9.33 t/m

2

BA= 150 cm

= (Tabla p44 0.3 )

Es=1000 kgf/cm2

I = (zapata cuadrada rígida)= 0.99 (p36b)

qB = 195.9 t/m2

A = VA/B*(1-2)*I /Es= 21000*(1-0.3

2)*0.99/(150*1000)

= 0.13 cm

B = 96000*(1-0.32)*0.99/(70*1000)= 1.24 cm

/ > 500 > 500*( B- A)

> 555 cm

min = 5.6 m

= / < 1/500

1.47.) a) Determine el giro que tendrá la fundación rígida de la figura considerando que el

módulo de reacción (K) en carga es igual al K en desgarga.

b) Determine además la posición del eje de rotación si

Edescarga =2Ecarga (K prop. a E)

Ecarga = 500 kgf/cm2

= 0.3 Datos:

M vista lateral -M = 5 t*m

V -N = 20 ton (incluye pp zapata)

Nota:

Verificar mín de contacto < 0

(usar teoría de elasticidad)

L = 3m B=1m

Desarrollo:

a) Giro de fundación para la zapata rígida mostrada.

min

N

A

M

W e=min=0.25 m e/B < 1/6

0.25/3=0.5/6 < 1/6 O.K.

= 20ton/3m2- 5 t*m/(1/6*1*3

2)m

3

min = 3.33 t/m2 > 0 O.K.

M

B L EI

2

21

** *

en este caso , para la fórmula B = 3 m y L = 1 m

0.2 0.4 1/3

I 3.3 4.6 4.17

M = 5 t*m 1-2 = 1-0.3

2 = 0.91

I = 4.17 L*B2 = 1*3

2 = 9 ( L // vector momento)

E = 5000 t/m2

= 5*0.91*4.17/(9*5000) = 0.42*10-3

rad

= 0.042

b) Eje de rotación

Ecarga = 500 kgf/cm2

Edescarga = 1000 kgf/cm2

Kcarga = E/((1-2)*B*I ) Kdescarga = 2*E/((1-

2)*B*I )

x

zona desc. zona carga

( Fv = 0 )

dF dFizq der

dF = q*d

= K* *x* d

I

Kdescarga* *x* d = D

Kcarga* *x* d

R

3m

1m 2K K

dx R

0 3

I

2*K* *x* d = D

K* *x* d

2 x* d = x* d 2(M.est.)izq = (M.est.)der

2*x*x/2 = (x-3)*1*1/2*(x-3)

x2 = 1/2*(x-3)

2

desarrollando se llega a:

x2+6*x-9 = 0 donde x = 1.24 m

1.48.) Se desea calcular el asentamiento para la cepa de puente indicada para:

t = 1, 2, 3, 5, 7 y 10 años.

2.6m Tabla de resistencias obtenidas

con cono dinámico (qc)

0 20 40 60 80 qc (kgf/cm2)

=1.6t/m3

Df 2.0m B/2

NF 1

q=20t/m2

Arena 2

L = 23 m

3

El módulo propuesto por

Schmertmann (1970) es: 4

Es = 2*qc

5

Z (m)

0.2 0.4 0.6 0.8 Iz

Desarrollo:

Capa Z qc Es Zc Iz (Iz/E) Z

(m)

(kgf/cm2)

(kgf/cm2)

(m)

(cm3/kgf)

1 1.0 25 50 0.5 0.23 0.46

2 0.3 35 70 1.15 0.53 0.23

3 1.7 35 70 2.15 0.47 1.14

4 0.5 70 140 3.25 0.30 0.11

5 1.0 30 60 4.0 0.19 0.32

6 0.7 85 170 4.85 0.055 0.023

2.283

Sabemos que :

H = C1*C2* p* (Iz/Es)* Z en que

p = incremento neto de presión

C1 = 1-0.5*ps/ p ps = sobrecarga a nivel de sello de fundación

= 1.6*2 = 3.2 t/m2 = 0.32 kgf/cm

2

p = 20-3.2 = 16.8 t/m2 = 1.6 kgf/cm

2

C1 = 1-0.5*0.32/1.68 = 0.9

C2 = 1+0.2*log(10t)

H = 0.9* C2*1.68*2.283 = 3.452*C2

t 1 2 3 5 7 10 (años)

C2 1.2 1.26 1.295 1.340 1.369 1.4

H 4.1 4.35 4.47 4.63 4.73 4.83 (cm)

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 2 4 6 8 10

1.49.) Se tiene una probeta confinada saturada de las siguientes características:

= 5.56 (cm)

Ho = 10.06 (cm)

eo = 0.7 H

Si se le aplica una carga vertical de 6 kgf/cm2 el índice de huecos se reduce a 0.45 ;

calcule H.

Desarrollo:

e = Vv/Vs e = Vv/Vs Vt = H*Area

Vt = Vv = e*Vs H = Vv/Area

= H/Ho =( Vv/ Area)/(Vo/Area) e

= Vv/Vo = e*Vs/Vo

eo 1

Vo = Vv +Vs / *(Vs/Vs) e

Cr

= Vs*(es+1)

H/Ho = e*Vs/(Vs*(1+es)

H = e*Ho/(1+es) log f

log

Cc = - e/ log e = -Cr(log f-log o) etc.....

H = ((0.7-0.45)/1.7)*10.06 = 1.5 cm

1.50.) Determine el asentamiento instantáneo para una zapata continua, apoyada sobre un

suelo fino arcilloso no saturado.

Datos:

LL = 58% Tipo de suelo: Arcilla moderadamente consolidada

IP = 25% OCR < 3

c = 5 t/m2 = 0.5

Fundación rígida qult = 35 t/m2

q = 12 t/m2

B = 2.0 m

Desarrollo :

D = q*B*(1-2)*I/Eu

en que:

q = 12 t/m2 B = 2 m = 0.5

Eu/c=600 Eu = 600*5 =3000 t/m2 (Tabla 2 )

I = 2 (Tabla 1 , length/width 10 )

D = 12*2*(1-0.52)*2/3000 = 1.2 cm

1.51.) Una losa de fundación de 21*55m, soporta una estructura cuyo peso produce una

carga uniforme a transmitir q= 6.1 t/m2. El suelo de fundación (arcilla saturada) posee un

E = 3900 t/m2 y = 0.5. Estime el asentamiento inmediato al centro y en la esquina de la

losa.

Desarrollo:

= q*B*(1-2)*I/E

en que:

q = 0.61 kgf/cm2 = 0.5 E = 390 kgf/cm

2 I = f( L/B, flex)

L/B = 55/21 = 2.62 2 ....... 1.52 0.76

3 ....... 1.78 0.88

2.62...... 1.68 0.83

= 0.61*(1-0.52)*2100*Y/390

= 2.463*I

= 4.1 cm ( centro )

= 2.0 cm ( esquina )

1.52.) Estime el asentamiento al centro, para la losa del problema 1.51.) y para el perfil

estratigráfico que se indica.

NF

Arcilla dura E = 3900 t/m2 4.6 m

Arcilla blanda E = 1200 t/m2

10.7 m

ROCA (Enquisto)

Desarrollo:

Considere a la roca como un estrato rígido y sobre esta un estrato único de 15.3m

de espesor.

H/B = 15.3/21 = 0.73 L/B = 2.62

H/BL/B

2 3

0.5 0.47 0.47 I = 0.64

1.0 0.83 0.83

(centro) = 0.61*2100*(1-0.52)*0.64/E = 615/E (cm)

1.6 < < 5.1 cm

Una primera aproximación es determinar un E equivalente:

(390*4.6+120*10.7)/15.3= 200 kgf/cm2

= 3.1 cm

1.53.) a) Determinar el levantamiento que experimenta la zapata.

(h=2m) = 7%

(h=3m) = 5%

1.5m

1.8m

Desarrollo:

(fig.22 Nafvac DM 7.1)

T = 0.5 máx(h2-h1)

1o) Se confecciona un gráfico (%) v/s Z(m)

=Z

Z(m)

La ecuación : Z = -0.5 +5.5 h2 = 5.5 m (altura para la que el peso del

suelo más la sobrecarga compensa

máx= 8 % la expansión)

1.5 = 5.5-0.5 máx

= 0.5*0.08*(5.5-1.5) = 0.16 m = 16 cm

b) Si el asentamiento diferencial admisible es 2.5 cm, determinar la cantidad de suelo a

remover.

0.5* máx*(5.5-hi) = 2.5 cm

máx (%) hi (m) (cm)

2 4.5 0.1

3 4.0 2.25

3.1 3.95 2.40

3.2 3.9 2.56

hi a remover = 3.9 m

en forma analítica

= -2*Z + 11 = 0.11-0.02*Z

= h

5 5.

(Z)dZ 0.025 = h

5 5.

(0.11-0.02*Z)dZ

0..025 = 0.11*(5.5-h)-0.5*0.02*(5.52-h

2)

H = 3.92 m

1.54.) Determine para los siguientes datos:

-pp(silo) = 4000 ton

-peso grano= 8000 ton

-arcilla saturada

Cc = 0.2 Cs = 0.04

- esta arcilla ha sido preconsolidada por estratos que desaparecieron por erosión cuya

presión sobre el terreno era 3 kgf/cm2.

- en la rama virgen la humedad de la arcilla consolidada con esa presión es

16%,siendo

la densidad de las partículas 2.7.

a) Si la placa distribuye la carga sobre el terreno de manera uniforme, hallar el asiento

edométrico del punto central. Divida la masa de arcilla en estratos virtuales de 3 m de

espesor.

b) Determinar el asentamiento por consolidación probable, según el método de

Bjerrum-Skempton. (ver p859 G. y C. II).

c) Calcular el movimiento del punto central cada vez que se llena o desocupa el silo.

Esta operación es muy rápida y no da tiempo a consolidación. La arcilla se compacta

como un sólido elástico (E = 160 kgf/cm2).

Desarrollo: PC 30

Determinación de ePC

Vt=Vv+Vs

Vs=1 m3

Ps=2.7 ton P = 0.16*2.7 = 0.43 ton

Vv=0.43 m3

ePC = 0.43/1 = 0.43

log log c log

0.43

e

e

Cs

Cc

Rama recarga:

ePC = 0.43 m = Cs = 0.04 (pendiente)

PC 30

e = 0.43+m*logc /log = 0.43+0.04*log(

c / )

e=0.43+0.04*log(30/ )

Rama origen:

e = 0.43-0.2*log( /c )

e=0.43-0.2*log( /30)

Determinación de la variación de presiones efectivas en la vertical del centro, antes de

la

colocación de la carga:

sat = (Ps+P )/Vt = (2.7+0.43)/1.43 = 2.19 t/m3

sum = b = 1.19 t/m3

Variación de presiones con la profundidad:

- presiones efectivas antes de colocar la estructura:

o = bZ = 1.19*Z

- presiones inducidas por la estructura:

según Steinhenner (G. y C. II, p221)

Z = q*Ir (esquina)

Ir = coeficiente de influencia ( del ábaco de Fadum)

Z = 4*q*Ir ( centro del rectángulo )

Z L/Z B/Z Ir Z o

(m) L=20m B=7.5m (t/m2) (t/m

2)

0 0.25 20 0

3 6.67 2.5 0.24 19.2 3.57

6 3.33 1.25 0.22 17.6 7.14

9 2.22 0.83 0.173 13.8 10.71

12 1.67 0.63 0.14 11.2 14.28

15 1.33 0.50 0.12 9.6 17.85

18 1.11 0.42 0.105 8.4 21.42

Z = 80*Ir (t/m2)

L=20m

B=15

3

6

9

12

15

18

15 m

z

A continuación se toman valores medio representativos de cada capa:

Capa z

m o

m

(*)

(t/m2)

(t/m2)

(t/m2)

19.6 1.79 21.39

18.4 5.36 23.76

15.7 8.93 24.63

12.5 12.50 25.00

10.4 16.07 26.47

9.0 19.64 28.64

(*)Presiones medias de cada capa que se obtendrán una vez que hayan disipado

las presiones de poros.

= Vv/Vt = H/H (1)

e = Vv/Vs (2)

Vt = Vv+Vs = Vs(1+eo) (3)

eo = índice de huecos asociado al peso propio.

de (1), (2) y (3) :

*Vt = e*Vs *Vs*(1+eo) = e*Vs

e = (1+eo) = H/H

H = e*H/(1+eo)

Como 28.64 < 30 t/m2 estamos en la rama de recompresión:

(**) e = 0.43+0.04*log(30/ )

(1) (2)

eo e e H (cm)

0.4790 0.4379 0.0411 8.34

0.4600 0.4361 0.0239 4.91

0.4510 0.4354 0.0156 3.23

0.4452 0.4352 0.0100 2.08

0.4408 0.4342 0.0066 1.37

0.4374 0.4328 0.0046 0.96

19.9

(1) obtenido con (**) y el correspondiente valor de o

m

(2) obtenido con (**) y el correspondiente valor de z

m+ o

m

H = 20 cm

b) c = * H

= A+ *(1-A) A = 0.35 (arcilla sobreconsolidada)

H/B = 18/15 = 1.2 = 0.35

c = 0.58* H = 11.6 cm

c) Suponemos = 0.5 , arcilla saturada (incompresible)

(ver G. y C. II p224)

(centro) = 2 (esquina) (esquina)=qB(1-2)K/E

silo vacío: q = 4000/(15*40) = 6.67 t/m2 = 0.667 kgf/cm

2

silo lleno: q = 12000/(15*40) = 20 t/m2 = 2.0 kgf/cm

2

L/B = 40/15 = 2.67 K = 0.88

Centro:

(q) = 1.2375*q (cm)

(lleno) = 24.75 (cm)

(vacío) = 8.25 (cm)

= 16.5 (cm)

1.55.) Una cimentación tiene forma de cubo (arista=2 m), con paredes de 0.3 m de espesor

(hormigón; =2.5 t/m3). El terreno es un estrato de arena de gran espesor.

máx=2.1 t/m3 mín = 1.4 t/m

3 s = 2.65 t/m

3 Napa profunda

Los reconocimientos geotécnicos han dado los siguientes valores:

Z(m) Nspt Rp (kgf/cm2)

1 20 50

2 30 100

4 45 130

8 rechazo 200

(Rp=resistencia estática del cono)

Un ensayo de placa de 30*30cm, realizado a 2 m de profundidad, ha dado un asiento

de 1/2” para q=3.5 kgf/cm2.

Se pide:

a)Estimar la densidad aparente media del estrato de arena, clasificando la arena según

su densidad relativa.

b) Estimar Padm por criterios de asentamiento según Terzaghi y Meyerhof.

c)¿Cual sería el asiento correspondiente a la carga media entre ambos métodos, según

el criterio de Terzaghi suponiendo proporcionalidad entre presiones y asientos en la

placa de carga.

Desarrollo:

a)

0.3

P

0

1

2

3

(m)

Representación gráfica de los resultados obtenidos

en los reconocimientos geotécnicos

10 20 30 40 Nspt

1

3

5

7

1

3

5

7

50 100 150 200

z(m) z(m)

Consideremos z = 3 m:

N (z=3)= 37 R p(z=3)= 125 kgf/cm2

De tabla:

N = 37 Id = 0.67

R p= 125 Id = 0.61

Tomemos Id = 0.65 arena densa

= 1.79 t/m3

b) B= 2 m = 6.67 pies

suponemos máx.adm(arena) = 1”

Según Terzaghi:

de tabla (p212 BIS) se tiene:

B=6.7 pies y N=37 Padm 3.7 ton/pie2

1 ton/pie2 10.8 t/m

2 3.7 ton/pie

2 4 kgf/cm

2

qadm 4 kgf/cm2

Según Meyerhof (1965) (p881 G. y C: II )

B=2 m > 1.2 m = 0.19p/N(B/(B+0.3))2 (cm)

=cm p=KN/m2 B=m

2.54=0.19p/37(2/2.3)2

p= 654 KN/m2 = 65.4 t/m

2 = 6.5 kgf/cm

2

qadm = 6.5 kgf/cm2 qadm=(Padm+ppfund)/Area

(usemos Terzaghi)

qadm = 4 kgf/cm2 = 40 t/m

2

Área = 4 m2

ppfund = (23-1.43)*2.5 = 13.14 ton

Padm = 40*4-13.1 = 147 ton

Nota: La gráfica de Terzaghi fue propuesta analíticamente por Meyerhof:

qadm = N /12((B+1)/B)2

= pulg B=pies qadm=kgf/cm2

c) q = (4.0+6.5)/2 = 5.25 kgf/cm2 = 52.5 t/m

2

35 t/m2/52.5 t/m

2 = 0.5 pulg/x pulg x = 0.75 pulg

S/So = 4/(1+Bo/B)2

S = 4*0.75/(1+0.3/2)2 = 2.26”

1.56.) Determinar el módulo de deformación del suelo a partir de los resultados del ensayo

de placa. Utilizando como placa circular rígida de = 60 cm. Determinar los módulos en

carga y descarga.(Módulo de deformación = Módulo de elasticidad)

carg

ades

carg

a

1 1.50

Pr

(kgf/cm2)

Desplazamiento

(mm)

Módulo de Poisson del suelo

=0.32

Desarrollo :

= q*D*(1-2)*I /E E

-E en carga = 0.3

q( =1.5 mm) = 20 t/m2

D = placa = 0.6 m

I = /4

E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0015*4) t*m/(m

2*m)

= 5718 t/m2 = 572 kgf/cm

2

-E en descarga

= 1.5-1 = 0.5 mm

E = 20*(1-0.32)* *0.6/(0.0005*4)

= 17156 t/m2 = 1715 kgf/cm

2

1.57.) Calcular los asentamientos diferenciales y los diagramas de momentos y corte de la

fundación de la figura. Todas las zapatas cuadradas.

Eh= 200000 kgf/cm2.

3.0m 3.0m15ton 15ton30ton

0.8m 0.8m

1.0m

1.5m

1.1m

A

A

sección AA

0.3

0.6

Considerar que fundaciones bajan sin girar.

Zapata N golpes/pie (representativo)

0.8*0.8 32

1.1*1.1 36

Desarrollo:

q = 0.36(N-3) ((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B)

Cálculo del coeficiente de balasto:

k = q/ = 0.36(N-3)((B+1)/(2B))2R‟w(1+Df/B)

R‟w= 0.5(1+d/B)

d= 0.5 m = 1.64 pie

Df= 1.0 m = 3.28 pie

Zapata N B (pie) R‟w (1+Df/B) ((B+1)/(2B))2 0.36(N-3) k (kgf/(cm2pulg)

0.8*0.8 32 2.62 0.813 2.25 0.477 10.44 8.1

1.1*1.1 36 3.61 0.727 1.91 0.408 11.88 6.73

k1 = 3.19 kg/cm3 = 3190 t/m

3

k2 = 2.65 kg/cm3 = 2650 t/m

3

1:asentamiento zapata 0.8*0.8

2:asentamiento zapata 1.1*1.1

15ton 30ton 15ton

12

1

asentamiento diferencial

EI

MM

QQ

Q=12EI / L M=6EI /L3 2

k1k1 k2

QQ 2Q

15ton15ton 30ton

Ecuaciones:

(15+Q)/A1 = k1 1 15+Q = A1k1 1 (1)

(30-2Q)/A2 = k2 2 30-2Q = A2k2 2 (2)

con A1 = 80*80 = 6400 cm2 = 0.64 m

2

con A2 = 110*110 = 12100 cm2 = 1.21 m

2

I=30*603/12 = 540000 cm

4

L3 = 300

3 = 27*10

6 cm

3

Q = (12*2*105*54*10

4/27*10

6)* = 48*10

3* kgf

= 48* ton

reemplazando en (1) y (2):

(1) 15000+48*103* = 3.19*6400* 1

(2) 30000-2*48*103* = 2.65*12100* 2

15+48 = 20.42 1

30-96 = 32.07 2 pero = 2- 1

15+48 2-48 1-20.42 1 = 0

30-96 2+96 1-32.07 2 = 0

15+48 2-68.42 1 = 0 /*96

30- 128.07 2+96 1 = 0 /*68.42

1440+4608 2+2052.6-8762.55 2 = 0 2 = 3492.6/4154.55

2 = 0.84 cm

1 = 0.81 cm

= 2- 1 = 0.84-0.81 = 0.03 cm

Q = 48*103

= 1.44 ton M = 6EI /L2 =QL/2 = 2.16 t*m

Diagrama de corte Diagrama de momento

1.44t + 2.16 t*m

- - 2.16 t*m

- 1.44t + 2.16 t*m

1.58.) Determinar el asentamiento total en las fundaciones de la figura. Considerar la

influencia de la carga de una fundación en el asentamiento de las otras (considerar zapatas

flexibles).

8m

8m

1.5

1.51.5

1.5

1.5

1.5

1.8

1.5

1.51.5

1.5

1.5

1.5

1.8

1.8

1.8

1.8

1.8

50 ton 50 ton100 ton

15m15m

Datos del suelo:

= 0.4

E = 3000 kgf/cm2

Desarrollo:

(1-2)/E = (1-0.16)/30000 = 0.28*10

-4

(1-2)/E = (1-.16)/(3.14*30000 = 8.9*10

-6 m

2/T

Cálculo asentamiento debido a peso propio (en el centro)

Fundación L (m) B(m) A(m2) P(ton) q (t/m

2)

tipo a 1.5 1.5 2.25 50 22.2

tipo b 1.8 1.8 3.24 100 30.85

I (centro) = 1.12 (tabla coeficiente de influencia)

= q*B*(1-2)*I /E

Fundación tipo a

(centro)=22.2*1.5*0.28*10-4

*1.12 =10.42*10-4

m = 0.1042 cm

Fundación tipo b)

(centro)=30.85*1.8*0.28*10-4

*1.12=17.8*10-4

m = 0.178 cm

Fundación 5 :

= Q/(r* )*(1-2)/E r : distancia entre zapatas

Fund Q(carga) r Q/r (cm)

1 50 17 2.94 26.15

2 100 8 12.50 111.20

3 50 17 2.94 20.15

4 50 15 3.33 29.60

5 — 0 — 1700.00

6 50 15 3.33 29.60

7 50 17 2.94 29.15

8 100 8 12.50 111.20

9 50 17 2.94 126.15

= 2086.2*10-4

cm

Asentamiento total de la fundación 5 = 0.2086 cm

(es decir el asentamiento propio más el asentamiento debido a la influencia

de las otras zapatas)

Idéntico para las otras zapatas:

Tabla de asentamientos

Fund. Asentamiento (cm) (flexible)

1 0.1318

2 0.2019

3 0.1318

4 0.1359

5 0.2086

6 0.1359

7 0.1318

8 0.2019

9 0.1318

DIMENSIONAMIENTO POR ASENTAMIENTO Y GIRO

1.59.) La figura muestra la sección transversal de un muro corrido para socalzar las

fundaciones de un edificio. Considerando que el muro es infinitamente rígido, que la unión

entre la fundación y el muro es una rótula y que debido a que un movimiento sísmico se

produce un desplazamiento H = 2 cm se pide dimensionar la zapata del muro de modo que

no produzcan tracciones a nivel del sello de fundación (SF).

25 ton/ml (incluye ppmuro)

E = 1500 t/m

= 0.25

2

4m B = ?

0.350.15

0.0m

-3.0m

Muro corrido

rígido

Propiedades del suelo

de apoyo:

Fundación corridaexistente

Desarrollo:

M‟

e‟ = (0.35+0.02)-0.5*B

V M

M‟ = V*e‟

CR

M = kv* *I e‟

Caso 0.5*B 0.37 m

Debe verificarse: (M + M‟)/V = B/6 (1)

(kv) = E/((1-2)*B*I ) I = 0.88

(kv) = 15000/(0.94*B*0.88) = 18133/ B

(kv)

= (kv) / 1.5 = 12089 / B

= 2/300 = 0.0067 I= B3/12 = 0.083*B

3 (L=1 m)

Reemplazando en (1)

(12089*0.0067*0.083*B3/B+25*(0.37-0.5*B))/25 = B/6

0.269*B2 + 0.3-0.5*B = 0.167*B

0.27*B2 -0.667*B + 0.3 = 0

B1 = 1.88 m

B2 = 0.59 m 0.5*B=0.37 O.K.

B = 0.59 m

1.60.) El esquema adjunto ilustra las solicitaciones actuantes sobre las zapatas de un galpón.

El caso (A) corresponde a apoyo rotulado en la base de las columnas y el caso (B) a apoyo

empotrado. Se pide encontrar la dimensión B de la zapata para cumplir con las condiciones

de diseño especificadas en cada caso.

3t (incluye ppzapata) 5.8t (incluye ppzapata)

1.3t*m

0.9t 0.9t

1.5m 1.5m

B=? B=?

0.5m 1.0m

Planta de Fund.

Caso (A) Caso (B)

Condición de diseño Condición de diseño

qmáx = 25 t/m2 qmáx = 25 t/m

2

giro admisible=1/300 rad

Constante de balasto k = 4 kgf/cm3

Desarrollo:

a) Caso(A) qmáx = 2V/(3L(0.5B-e))

considerando que se produce tracción en el sello de fundación

e=M/V = 0.9*1.5/3 = 0.45 m y L = 0.5 m

B (m) qmáx (t/m2) B/6 (m)

1.5 13.3 0.25 ( hay tracción) e>B/6

1.2 26.6 0.20 ” ”

1.25 23 0.21 ” ”

Adoptar B = 1.3 m está bien

b) Caso (B) considerando que se produce tracción

qmáx = 2V/(3L(0.5B-e)) con L = 1.0 m

0.5B

B‟= 3*(0.5*B-e)

centro de rotación Giro = qmáx/(k*B‟)

qmáx e= (1.3+0.9*1.5)/5.8 = 0.46 m

0.5B‟

B‟

B (m) qmáx(t/m2) B/6 (m) B‟ (m) rad

1.5 13.3 0.25 (trac.) 0.87 0.0038 =1/263

1.6 11.4 0.27 (trac.) 1.02 0.0028 =1/357

B = 1.6 m está bien.

1.61.) La figura muestra la planta de fundación y un corte típico del edificio.

Se pide determinar:

a) El ancho B de la losa de fundación de modo que no se produzca giro de fundación.

b) El asentamiento vertical experimentado por la fundación

Planta losa de fundación

(rígida)

B=?

20m 20m 20m

0.30 6.0m

CORTE TIPICO

V=100t/m

ST 0.00 0 200 400 600 800 1000 1200

SF-1.50m 0 E(kgf/cm

2)

Losa de fundación 2

4

6

8 = 0.30

10

12

14

16

18

20

Profundidad (m)

a) Usar B = 2*6.3 = 12.6 m 13 m hace que V coincida con el centro de gravedad del

paño de losa respectivo , con lo cual no se inducen momentos volcantes , es decir , no se

produce giro.

b) Utilizando teoría de la elasticidad

= (q*(1-2)*B*I )/E q = 100/13 = 7.7 t/m

2

E @ prof.= Df+B = 1.50+13 = 14.5 m

es de 760 kgf/cm2 = 7600 t/m

2

I para L/B = 60/13 5 vale 1.70

= (7.7*(1-0.09)*13*1.70)/7600 = 0.02 m = 2 cm

1.62.) Determine el ancho B de la zapata del pilar de socalzado. Se espera un movimiento

horizontal H = 2 cm por efecto de las máquinas que trabajan en la excavación.

35 ton

3m

zapataedificio

vecino

pilar desocalzado

B = ?

0.40.2 E = 10 000 t/m

= 0.3

= 90 t/mad

Datos:

V + pp =35 ton

I = 0.9

Kv= E/((1- )BI )

L = 1 m

B = ?

2

2

2

Desarrollo:

Caso B/2 < 0.4+ H e

B < 2*0.42 = 0.84

B

1o) Condición de diseño B/2

B 6e (por que no existen tracciones )

e = Mt/V

2o) Mt = M+M M = V*e‟ M = kv* *I

3o) Determinación de M

V = 35 ton e‟ = 0.4+ H-B/2 = 0.4+0.02-B/2

= 0.42-B/2

M = 35*(0.42-B/2)

4o) Determinación de M

kv = E / (1-2)B*I = 10000/((1-0.3

2)*B*0.9)

= 12210/B

= H/H = 2/300 = 1/150

M = (12210/B)*(1/150)*(LB3/12) = 6.78B

2 t*m

5o) Sustituyendo en B 6(Mt/V)

B 6*(35*(0.42-B/2)+6.78B2)/35

B 6*(0.42-B/2)+1.16B2

0 2.52-4B+1.16B2

B1 = 2.62 m y B2 = 0.83 m

B1 = 2.62 < 0.84 No

B2 = 0.83 < 0.84 O.K.

6o) Verificación M, m

= 35/(1*0.83) (35*(0.42-0.83/2)+6.78*0.832)/(L*0.83

2/6) (L=1m)

= 42.2 (1.52+40.70)

M = 84.4 t/m2 O.K.

m = 0 O.K.

CAPACIDAD DE SOPORTE CON ASENTAMIENTO Y GIRO

1.63.) Una fundación cuadrada de 1m*1m, se apoya en un estrato de arcilla de 3 m de

espesor

Para los datos indicados se pide:

a) Determinar la capacidad de soporte admisible según Hansen.

b) Asentamiento para la carga determinada en parte a) F.S.=3.0

c) Asentamiento para la carga última determinada según Meyerhof (Cv=0.3)

Datos:

- b =1.1 t/m2

0.5m - = 0

-eo = 1.02

1 1m -cc = 0.2

Arcilla N.C. -qu = 0.3 kgf/cm2

Desarrollo:

a) qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q

c= 1/2*qu =0.15 kgf/cm2

S‟c =0.2*B/L = 0.2

d‟c = 0.4*D/B = 0.4*0.5/1 = 0.2

i‟c = 0 , g‟c = 0 , b‟c = 0

qult = 5.14*0.15*(1+0.2+0.2)+0.5*1.1*0.1 = 1.13 kgf/cm2

qadm = qult/3 = 0.38 kgf/cm2

b) Como se trata de un suelo N.C., significa que a través de su historia geológica no

ha tenido cargas mayores.

0

= H/(1+eo)* Cv*log( vm/ vo)+Cc*log( vr/ vm)

pues vm = vo

po , calculado a 1.25 m bajo el sello de fundación.

po = (0.5+1.25)*1.1 = 1.925 t/m2

El aumento de presión p , se calcula a partir de la regla del trapecio.

vi = p = q * B/(B+2)2 = 0.38*(1/(1+1.25))

2

B vi = 0.075 kgf/cm2

B = 0.2*250/(1+1.02)*log (0.1925+0.075)/0.1925

= 3.5 cm

1.64.) Para una zapata rectangular apoyada sobre un estrato de arcilla saturada de 3 m de espesor, se pide: a) Capacidad de soporte admisible (Meyerhof) b) Asentamiento para una carga de hundimiento y para una carga máxima admisible.

=1.7 t/m

3 =0° eo=1.02 Cc=0.2 Cr=0.15

c'= 4 t/m2 (presión de preconsolidación)

Df=1.5 m cnc = 3t/m2 (ensayo de compresión no conf)

ancho = 0.5 m largo = 1.3 m

Desarrollo:

a) Capacidad de soporte (Meyerhof)


c = cnc/2 = 3/2 = 1.5 t/m2

= 0 Nc = 5.53

Nq = 1

N = 0

1+0.3B/L = 1.12

cNc(1+0.3B/L) = 1.5*5.53*1.12 =9.25 t/m2

DNq = bDNq = (1.7-1)*1.5*1 = 1.05 t/m2

qult = 9.25 + 1.05 = 10.3 t/m2

qadm = qult/3 = 3.4 t/m2

b) Se considerará sólo asentamiento por consolidación:

= H/(1+eo)* Cp*log( c / o)+Cc*log( ( o+ ) / c )

Determinación de H

L/B = 1.3/0.5 = 2.6 B=0.5m 1.5 m

L/B = 1 Zbulbo = 2B

L/B >> 1 Zbulbo = 5B

Se considera que el bulbo afecta a todo el espesor : H = 150 cm

Nota: En rigor debiera considerarse 3 estratos de 50 cm de espesor cada uno y

determinar el asentamiento para cada uno.

Determinación de o:

o = b * Z = (1.7-1)*(1.5+1.5/2) = 1.6 t/m2

Determinación de o para Z = 1.5/2 = 0.75 m

Usando la regla del trapecio se obtiene un factor de disipación:

Fdisipación= BL/( (B+Z)*(L+Z) )

= 0.5*1.3/((0.5+1.5/2)*(1.3+1.5/2)) = 0.254

(qult) = 10.3*0.254 = 2.6 t/m2

(qadm) = 3.4*0.254 = 0.86 t/m2

(1.6+2.6 = 4.2 > 4 ambas ramas)

(q=qult) = 1.5/(1+1.02)*(0.15+log(4/1.6)+0.2*log((1.6+2.6)/4))

(q=qult) = 4.7 cm

(qadm) = (1.6+0.86 < 4 implica una rama )

(qadm) = 1.5/(1+1.02)*0.15*log((1.6+0.86)/1.6) = 2.4 cm 1.65.) Una columna de un edificio estructurado en base a marcos, tiene las solicitaciones que se indican para un sismo xx y un sismo yy, analizados en forma independiente.

eje x: My = 5 t*m, N = 20 ton

eje y: Mx = 3 t*m, N = 21 ton = 35° Es = 1500 t/m

2

= 0.3 Lx=3 m Ly=1 m Df = 1.7m = 1.8 t/m

3

I = 1.5 (zapata rectangular flexible)

Determinar para el sismo más desfavorable : a) giros de fundación, b) capacidad de soporte y c) factor de seguridad al hundimiento

Desarrollo:

a) Giro de la fundación.

Determinación de la solicitación más desfavorable.

En X tenemos:

M = 5 t*m N = 20 ton L = 3 m B = 1 m

M/W = 5/(1/6*B*L2) = 3.33 t/m

2

En Y tenemos:

M = 3 t*m N = 21 ton L = 1 m B = 3 m

M/W = 5/(1/6*B*L2) = 6 t/m

2

yy > xx implica que el sismo en Y es más desfavorable

Determinación de asentamientos máximos y mínimos.

= 4 q/kv (B/(B+30))2 cm

kv = 1099 t/m3

M;m = N/(B*L) M/W = 21/(1*3) 3/(1/6*3*12) = 7 6

M = 13 t/m2 m = 1 t/m

2

máx =4*13/1099*(100/(100+30))2 = 2.8 cm

mín = 4*1/1099*(100/(100+30))2 = 0.22 cm

= ( máx - mín)/L = (2.8-0.22)/100 = 0.026 rad = 1.5o

Otra forma:

Análisis del sismo YY: M = 3 t*m N = 21 ton

K = E /((1-2)*I *B) = q/

= ( máx - mín)/Ly

= q*(1-2)*I *B/E = q/K = q/(Ly*K)

a) giro

Determinación de qmáx y qmín:

qM;m = N/A M/W = N/(B*L) *(1 6*e/B)

= 7* (1 0.857)

qM = 12.99 t/m2 qm = 1.00 t/m

2

K = 1500/((1-0.32)*1.5*1) = 1099 t/m

3

máx = 12.99/1099 = 1.18 cm

mín = 1.00/1099 = 0.91 cm

= 1.099/100 = 0.011 rad = 0.6o

b) Capacidad de soporte

= 33o implica Nq = 36 y N „ = 40

qult = cNc(1+0.3B/L)+ ‟DNq+0.4 ‟BN

= 1.8*1.7*36+0.4*1.8*1*40 = 139 t/m2

Como existe M = 3 t*m hay que determinar B‟ y L‟

B‟ = B-2*e

L‟ = L puesto que estamos calculando para cada dirección por separado

entonces:

B‟ = 1-2*M/N = 0.714 m

qult = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*0.714*40 = 131 t/m2

Qult = 131*3*0.714 = 280 t

c) FS al hundimiento FS = 280/20 = 14

1.66.) El terreno de cimentación de un edificio, está formado por los siguientes estratos:

- capa de relleno arenoso sin compactar ( = 1.8 t/m2) de 3 m de espesor.

- capa de arcilla con las siguientes características:

s = 2.7 t/m3 eo = 0.8 qu= 1.6 kgf/cm

2 (resist. a compresión simple)

Resultados de un triaxial consolidado con drenaje:

= 20o c = 0.2 kgf/cm

2 Cc = 0.15 (coeficiente de compresibilidad)

Espesor del estrato = 4 m

Las características señaladas corresponden al punto central del estrato.

- capa de grava indeformable e indefinida.

Se construye un edificio excavando 3 m de terreno y apoyando en el estrato de arcilla

un losa con muros que transmite una carga total máxima de 1 kgf/cm2, incluido el

peso de la losa.

La losa tiene un ancho de 16 m y una longitud que permite considerarla indeformable.

La napa está ubicada a 3 m de la superficie.

a) Determinar la carga neta que actúa sobre el estrato arcilloso.

b) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a corto plazo según Terzaghi.

c) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a largo plazo según Terzaghi.

d) Determinar el asentamiento por consolidación en el centro de la losa, con las

siguientes hipótesis:

-durante la construcción no se producen asentamientos hasta que la carga neta

comienza a ser positiva.

- sólo produce asentamiento la carga neta que actúa en el estrato arcilloso,suponiendo

que este incremento de presión vertical es constante en todo el espesor del estrato

arcilloso.

Desarrollo:

a) q(neto) = q(edificio)-q(suelo)

= 10 t/m2 -3*1.8 t/m

2 = 4.6 t/m

2

(la carga neta es el incremento de presión inducida a nivel del sello de fundación)

b) qult = cNc+ D

en que: c= qu/2 = 0.8 kgf/cm2 = 8 t/m

2

Nc = 5.14 = 1.8 t/m3

qult = qhun = 8*5.14+1.8*3 = 41.12+5.4 = 46.5 t/m2

10 = qhun/F = 41.12/F +5.4 F = 8.94

Ps= 2.7 ton 0.8 m3 P

Vs= 1 m3

Vv= eo*Vs = 0.8 m3 1 m

3 Ps

sat = (2.7+0.8)/1.8 = 1.94 t/m3

c) qhun = qult = cNc+qNq+0.5 BN

arena

arcilla

grava

figura(a) figura (b)

La cuña no puede entrar en el estrato de grava indeformable, se produce indicado en la

figura (b).

En función de la naturaleza de la arcilla, se puede adoptar el siguiente criterio:

qult < 1 kgf/cm2 (arcilla blanda)

qult > 1 kgf/cm2 (arcilla dura)

Consideremos se produce un falla parcial:

c ‟= 2/3* c = 2*2/3 = 1.33 t/m2

tg ‟ = 2/3*tg = 13.64o

Nq = tg2(45+ /2)e

tg = 3.47

Nc = (Nq-1)cotg = 10.16

N = 1.8(Nq-1)tg = 1.08

qhun = 1.33*10.16+1.8*3*3.47+0.5*0.94*16*1.08 = 13.5+18.7+8.12

qhun = 40.3 t/m2

10= 40.3/F F = 4

d) = Vv/Vt = H/H

e = Vv/Vs

Vt = (Vv+Vs)*(Vs/Vs) Vt = Vs(1+eo)

*Vt = e*Vs *Vs*(1+eo) = e*Vs

e = (1+eo) = H/H

H = e*H/(1+eo)

Cc=0.15

log log f log

eo

e

Cc

ef

1

Considerando un estrato (pues la carga se supone constante en el estrato)

e = Cc*log (o+ )/

o

o = arena*Darena+ b arcilla*Darcilla

= 1.8*3+0.94*2 = 7.28 t/m2

= qneto = 4.6 t/m2

Sustituyendo se tiene:

e = 0.15*log (7.28+4.6)/7.28 = 0.032

H = 0.032*400/1.8

H = 7.1 cm

DIMENSIONAMIENTO POR C. DE SOPORTE, ASENTAMIENTO Y GIRO

1.67.) a) Dimensionar las fundaciones de la estructura de la figura para un asentamiento

máximo de 1” y F.S. a la ruptura igual a 3.0.

Datos del suelo:

-Ncorregido= 15 golpes/pie

6m - = 31o

-DR = 50 %

- c = 0 (arena)

6m - t = 1.65 t/m3

25t Cargas:

-Peso propio= 100 kgf/m2

-S.carga = 250 kgf/m2

2m -Puente grúa= 25 ton

2.5m 16m Conclusión:

NF Es lo mismo que lo planteado

por Terzaghi y Bowles de revista de Idiem.

( válido para arenas)

Cálculo de solicitaciones en cada fundación

El área de influencia es 6*16 = 96 m2

cada zapata está solicitada por P = (pp+sc)/2*Ainf=100+250*96/2

P = 16.8 ton

Debemos dimensionar con Pt= 16.8+25 = 41.8 ton ( + desfavorable)

Leonards considera que para suelo incoherente con DR entre 20 y 70 %, es

recomendable interpolar entre Terzaghi corte general y Terzaghi corte local.

Se tiene que : = 31o N = 22

Nq = 24 Terzaghi corte general

Para Terzaghi corte local corregiremos el ángulo usando relación:

tg ‟ = 2/3*tg = 2/3*tg31 = 2/3*0.6 =0.4 ‟ = 21.8 N ‟ = 2.0

Nq‟ = 8.0

Interpolando: N = 12 y Nq = 16

k1 = 0.36*(N-3) N : no de golpes/pie

k1 = kgf/cm2/pulgada (de zapata de B=1 pie)

k =k1*((1+B)/2B)2*(1+Df/B)*R‟w B=pies

w‟ (Idiem) R‟w = 0.5*(1+dw/B) = adm/ k pulgada

adm = r / FS r = 0.5 BN + DfNq (para zap.corrida)

Tabla de tanteo:

B A s=P/A 0.5 BN DfNq r FS

1.38 1.90 22.0 13.16 52.8 66.46 3.0 0.7

B = 1.38 m y A = 1.90 m

b) Repetir la parte a) pero con = 30o y sat = 1.8 t/m

3

-solicitación de diseño Pt = 41.8 ton

-Determinación de la capacidad de soporte

Dado que DR= 50% usar corte local qult = qN‟q+0.4 eqBN‟

tg ‟= (2/3)tg

en tabla 4.1 =30o N‟q = 8.3 N‟ = 5.7

eq = b+( - b)*d/B b = sat- = 1.8-1 = 0.8 t/m3

- b = 1.65-0.8 = 0.85 t/m3

eq = 0.8+0.5*0.85/B = 0.8+0.425/B

q = *D = 1.65*2 = 3.3 t/m2

qult = 3.3*8.3+0.4*5.7*B*(0.8+0.425/B)

= 27.39+1.824*B+0.969 = 28.36+1.824*B ( I )

qadm = qult/F.S. F.S.= qult/qadm

Determinación por asentamiento

q = 1.5*720*(N-3)* *((B+1)/(2*B))2*R‟w*(1+Df/B)

q = lb/pie2= 4.8824*10

-4 kgf/cm

2

= pulgada

Df,B = pies

d = 0.5 m = 1.64 pie

Df = 2 m = 6.56 pie

R‟w = 0.5*(1+d/B) = 0.5*(1+1.64/B)

q = 1.5*750*(15-0.3)* *((B+1)/(2*B))2*0.5*(1+1.64/B)*(1+6.56/B)

= 6480*((B+1)/(2*B))2* *(1+1.64/B)*(1+6.56/B) ( II )

De ( I ) qt = P/A = 41.8/A (28.36+1.824*B)/3 = qadm

3*41.8/(28.36+1.824*B) B*B

125.4 28.36*B2+1.824*B

3

Tabla de tanteo:

B 28.36B2+1.824B3 qt = P/A qult =t/m2 F.S. B qt

m t/m2 de ( I ) pie lb/pie

2 de II pulg

2.0 128.03 10.45 32.01 3.06 6.56 2140.34 0.398 *

0.597 **

Luego zapatas de 2.0*2.0 m.

* : considerando término 1.5 de ec. II .

**: sin considerar término 1.5 de ec. II.

1.68.) Las propiedades de un suelo, medidas con ensayos de corte no drenado son:

c = 9 t/m2 = 0

o

Una zapata cuadrada fundada a 3 m debe soportar una carga de 300 ton

= 1.92 t/m3 Arcilla P.C.

Determinar B.

Desarrollo:

El recíproco del producto del coeficiente de compresibilidad (mv), y la cohesión para

un suelo de esta resistencia está en la región 100-200

De la tabla de F.S de Skempton (p200), para fundaciones sobre arcilla, hay un

abanico

de factores, entre 3 y 24 dependiendo del asentamiento permitido.

Sup.: = 25 mm y qadm = 32 t/m2 B = 3 m

El F.S. según la tabla variará en 3 y 6 . Un F.S. = 4 parece adecuado para una

investigación preliminar

qult = 13.*5.7*c = 71.1 t/m2 qadm = qult/4 = 17.8 t/m

2

Agregando el peso del suelo : 3*1.92 = 5.8 t/m2

qadm = 17.8 + 5.8 = 23.6 t/m2

Areq = 300/23.6 = 12.7 m2 B = 3.6 m

1.69.) A que profundidad deberá fundarse una zapata cuadrada de 2*2 m si ha de soportar

una carga de 180 ton.

c = 11.2 t/m2 = 1.99 t/m

3 B = 2 m arcilla sobre-consolidada

Desarrollo:

Nc(rectg)= (1+0.2*2/2)*Nc(corrida) = 1.2

qult = 1.2*11.2*Nc = 13.44*Nc

Para arcilla sobre-consolidada y un adm = 75 mm, que es aceptable para un

Warehouse shed F.S. = 3

180.0/4 = 13.44*Nc/3+1.91*Z

45 = 4.48*Nc +1.91*Z = Z+2.35*Nc-23.5 = 0 (*)

Skempton propone valores para Nc en función de la profundidad.

La ecuación (*) se resuelve por tanteos

Z 2 2.5 3 3.5 4

Z/B 1 1.25 1.5 1.75 2

Nc 7.7 8 8.2 8.3 8.4

2.35Nc 18.1 18.8 19.3 19.5 19.7

Z+2.35Nc 18.5 21.3 22.3 23.0 23.7

Z 3.8 m

1.70.) Determinar el ancho de la zapata de modo de limitar el asentamiento a 1”.

91 ton

1.2m

= 1.76 t/m3

B=?

2.4m

NF 3m

sat = 1.96 t/m3

Arcilla Blanda

cc=0.5 t/m2 s=2.7 t/m

3 n=45 % 2.4m

Arena Densa

Desarrollo:

q = po (10m

-1) (15.6)

en que :

po = sobrecarga a la profundidad en que se tomó la muestra

m = (1+eo)/(ccH) (*)

= 1” = 2.5 cm = 0.025 m

Determinación de eo:

eo = Vv/Vs Vt = Vv+Vs Vs = 1 m3

Ps = 2.7 ton n = 45 % = Pw/Ps

Pw = 0.45*2.7 = 1.215 ton

Vw = Vv = 1.215 m3 1.22 m

3

sat = (1.215+2.7)/(1.215+1) = 1.77 t/m3

eo = 1.22 sat = 1.77 t/m3

Determinación de po( al centro del estrato de arcilla)

po = 1.76*(1.2+2.4)+0.92*(3-2.4)+1.2*0.77= 7.81 t/m2

Sustituyendo en (*) m = (1+1.22)/(0.5*2.4) = 1.85

¡Debiera tomarse H= 2.4/2 pues el estrato de arcilla está encerrado por dos

estratos permeables !

q = 7.81(t/m2)*(10

1.85*0.025 - 1) = 0.88 t/m

2 = q

q = 0.88 es el incremento de carga producido por la zapata a la

profundidad considerada para el asentamiento de 2.5 cm.

Determinación de q promedio en el estrato de arcilla :

( repartición trapezoidal)

q = 1/H (P/(B+z)2)dz = 1/2.4

3 0

5 4

.

.

(91/(B+z))dz

u = B+z u2

du = dz = 1/2.4 (91/u2)dz = -91/2.4*(u)

-1 ......

u1

q = -91/2.4 1/(B+5.4)-1/(B+3.0)

q = 0.88

por tanteo: B 1 7 6.5 6

q 3.55 0.73 0.80 0.89

B = 6.0 m

1.71.) El esquema ilustra las solicitaciones que actúan sobre las zapatas de un galpón. El

caso A corresponde a un apoyo rotulado en la base de la columna, y el caso B a un apoyo

empotrado. Determinar el ancho de la fundación en cada caso de modo que:

- máx 25 t/m2

- giro adm. 1/300 rad (3.33*10-3)

- K = 4000 t/m3

Caso A:

1o) Determinar la excentricidad. V =3t (incl.pp)

H=0.9t

e=M/N = H*h/V

= 0.9*1.5/32 1.5m

e = 0.45 m B=?

Planta 0.5m

2o) Determinación de máx

máx = P/A +M/W W = I/C = LB2/6

máx = P/A +6M/(LB2)

= 3/0.5B+6*0.9*1.5/0.5B2 = 6/B + 16.2/B

2

= máx/KB

e < B/6 B > 6e

B 2.7 m

4.44 t/m2

4.11*10-4

= 1/2430 rad

3o) Estamos muy sobredimensionados aceptaremos tracciones

máx = 4V/(3L(B-2e))

25 = 4*3/(3*0.5*(B-0.9))=8/(B-0.9)

B = 1.22 m

B‟ = 3*(1.22/2-0.45) = 0.48 B‟/B = 0.39 61% tracciones

B‟= 3*(B/2-e) B‟/B 0.8

B máx B‟ B‟/B

2.0 7.28 1.65 0.82

1.5 13.33 0.90 0.60 < 0.8

1.3 20.00

B = 2 m para cumplir con (B‟/B) > 0.8

= 7.28/(4000*1.65) = 1/906

q = 7.28 < 25 O.K.

Caso B:

1o) Determinar la excentricidad. V =3t (incl.pp)

M=1.3t*m

H=0.9t

e=M/N = (M+H*h)/V

= (1.3+0.9)*1.5/32 1.5m

e = 0.883 m B=?

Planta 0.5m

2o) Determinación de máx

máx = P/A +M/W

máx = P/A +LB2/6 = P/A(1+6e/B)

= 3/0.5B(1+6*0.883B)

Si hacemos mín =0 e= B/6 B = 6e = 5.3 m

máx = 3/(0.5*5.3)*(1+6*0.883/5.3) = 2.26 t/m2

máx << 25 t/m2

3o) Estamos muy sobredimensionados aceptaremos tracciones

máx = 4V/(3L(B-2e)) = 8/(B-1.77)

B máx B‟ B‟/B

3 6.00 2.00 0.67

2.5 9.60 1.25 0.50

2.0 24.0 0.50 0.25

3.5 4.36 2.60 0.74

4.0 3.59 3.35 0.84

Usar B = 4 m

= máx/KB = 3.6/(4000*3.4) = 1/3778

Con B = 4.0 m se cumplirá con:

< 25 t/m2

< 1/300 rad

B‟/B 0.8

Caso A Caso B

B=2m B=4m

máx=7.28t/m2 máx=3.6t/m

2

B‟=1.65m B‟=3.4m

1.72.) Determine B1 y B2 óptimos considerando las siguientes restricciones.

- adm = 10 t/m2

- máx = 1/750

- zona tracción hasta 20%

Datos: V1=V2= 3 ton

H1=H2= 0.9 ton

M2=1.3 t*m

3.8 m

B1 B2

Df=1.5m

K=4000 t/m3

12

0.9 m

caso A caso B

Desarrollo :

Caso A

1o) Determinación de B1 considerando mín = 0 con 100% de apoyo.

M,m = P/A M/W

2o) P/A = 3/(0.9*B1) M/W=(H*Df)/(0.9*B1

2/6)=9/B1

2

3o) P/A-M/W = 0 P/A=M/W

3/(0.9*B1) = 9/B12 B1 = 2.7 m

4o) B1=2.7 m máx = 3/(0.9*2.7)+9/2.7

2 =2.47 < 10 O.K.

5o) Determinación de

= máx/(k*B1) = (qmáx-qmín)/(k*B1) = 2.47/(4000*2.7)

1/4400 < 1/500 O.K.

B1=2.7 m cumple con las restricciones pero no es el óptimo.

6o) El óptimo se determina aceptando un 20% de tracciones

B‟/B1 = 0.8

B‟ = 3*(B/2-e)

7o) máx = 4V/(3L(B1-2e))

e=M/V = H*Df/V = 0.45

máx = 4/(0.9*(B1-2*0.45)) = 4/(0.9*B1-0.81)

8o) B1 máx B‟ B‟/B1 = máx/(k*B‟)

2.5 2.78 2.4 0.96 1/3456

2.4 2.96 2.25 0.94 1/3033

2.3 3.17 2.10 0.91 1/2646

2.2 3.42 1.95 0.88 1/2280

2.0 4.04 1.65 0.83 1/1634

1.9 4.44 1.50 0.79 1/1350

< 10 > 0.8 < 1/500

B1 = 2.0 m

Caso B:

Es similar al caso A, con la diferencia de que aumenta la excentricidad.

Usaremos la misma tabla que en A en que:

máx = 4V/(3L(B2-2e))

e = (0.9*1.5+1.3)/3 = 0.883

máx = 4/(0.9*(B2-2*0.883)) = 4/(0.9*B2-1.59)

B‟ = 3*(B2/2-0.833)

B2 máx B‟ B‟/B2

6e=0.53 1.26 5.3 1 1/16825

4 1.99 3.35 0.84 1/6733

3.9 2.08 3.20 0.82 1/6144

3.8 2.19 3.05 0.80 1/5582

< 10 0.8 < 1/500

B2 = 3.8 m

máx = 1/750 máx/(k*B‟) 1/750

B‟ 750* máx/k

B‟ = 750*10/4000 = 1.875 m

B‟= 0.8*B B = 2.34 m

1.73.) a) Determine la altura mínima para que la fundación se comporte como zapata rígida

b) Dibuje el diagrama de presiones sobre el suelo, considerando el pp de la zapata

c) Determine el momento en la sección crítica

Datos : K = 15 kgf/cm3 Corte AA

E = 250000 kgf/cm2

Mu=11t*m

Nu=40t 0.2

3.0m 0.3

20*30cm

A A

Desarrollo: 2.0m

Debe cumplirse que L < /4 , en que:

= 3

34

*

*

K

E h= (3*15000/2.5*10

6*h

3)1/4

= 0.366/h3/4

L < /4 0.366*2/h3/4

< /4 h > 0.91 m

Chequeo:

= (3*15000/2.5*106*0.91

3)1/4

= 0.3931

L = 0.786 < 0.78

b) M,m = P/A*(1 6*e/B) e = 0.275

Nu = 40 ton

Mu = 11 t*m

qu = (2*3*0.91)*2.4/2 = 6.55 t/m

Nutot

= 40+6.55*2 = 53.1 ton

= Nutot

/A M/W W = I / Y = (3*23/12)/(2/2)= 2

M / W = 11 / 2 = 5.5 t/m2

= 8.85 5.5 t/m2 máx = 14.35 t/m

2

mín = 3.35 t/m2

0.5 1.0 1.5 2.0

3.35 t/m2 14.35 t/m

2

c)

B/2-bp/2 = 1-0.1 = 0.9 0.9m

9.4 14.35

Para simplificar el cálculo, separaremos

en dos diagramas:

0.9 m

M(q=9.4) = 0.5*9.4*0.92 = 3.81 t*m

M(qvar) = 0.5*4.95*2*0.92/3 = 1.34 t*m

9.4 t/m2 Mu

dis = 5.15 t*m

Mudis

total = 5.15*3 = 15.45 t*m

4.95 t/m2

1.74.) Un pilar metálico se empotra en una zapata cuadrada de 2*2*1 m, la que se apoya en

un estrato de arena.

Admitiendo leyes de reparto de presiones de tipo lineal debajo de la zapata, indicar

las

presiones máximas y mínimas transmitidas al terreno y los esquemas de presión

correspondientes para las siguientes solicitaciones transmitidas por el pilar a la cara

superior de la zapata.

a) Compresión centrada N= 90 ton 90ton

2m

q = cte. = 90/22

= 22.5 t/m2 2m

pp= 2*2*1*2.5 = 10 ton 1m

q(pp)=10/4 = 2.5 t/m2

= 25 t/m2

b) N=40 ton Mx= 10 t*m pp= 10 ton

= P/A M/W (1)

W = I/C = (bh3/12)/(h/2) = bh

2/6 = 1.333

máx = 50/4+10/1.333 = 20 t/m2

mín = 50/4-10/1.333 = 5 t/m2 20 5

c) N=40 ton Mx= 25 t*m pp=10ton/50ton

P/A= 50/4 = 12.5 t/m2

M/W = 25/1.333 = 18.75 t/m2

como M/W > P/A

no es aplicable (1) ya que el suelo no acepta tracciones

Deducción: e

R = 0.5*B‟* máx*L = P P

B/2-e = B‟/3 B‟= 3(B/2-e)

máx= 2P/(B‟L) = 2P/(2*3(B/2-e))

máx

máx = 4P/ 3L*(B-2e) R

sustituyendo: B

máx=4*50/(3*2-6*0.5) = 33.3 t/m2 B‟

B‟= 1.5 m

d) N=40 ton Mx=10 t*m My = 10 t*m

ex= 10/50 = 0.2 m ey= 10/50 = 0.2 m

e = e ex y

2 2 = 0.2828

Tenemos un caso de flexión esviada:

máx = P/A+Mx/Wx+My/Wy (2)

(válida si P cae dentro del núcleo central)

emáx

0.33L/3

1m 1m

0.33

B/3

emáx = e máximo para caer dentro del núcleo central.

= 0.236 m

(emáx = 0.5*(0.332+0.33

2 )

0.5

e > emáx se cae fuera del núcleo central

Wx=Wy= Bh2/6 = 2

2/6 = 8/6

como en este caso e emáx , usaremos (2):

máx = 50/4+10/(4/3)+10/(4/3) = 27.5 t/m2

Otra forma: q= ax+by+c

a=My/Iyy = 10/(2*23/12) = 7.5 t/m

3

b=Mx/Ixx = 7.5 t/m3

c=P/A

qmáx= axmáx+bxmáx+c = 7.5*1+7.5*1+50/4

qmáx = 27.5 t/m2

1.75.) Un pilar de H.A. de 40*60 cm transmite una carga vertical de (40+N/2) ton. y está

dispuesto en la medianería de un edificio.

40+N/2

60cm

60

40 L

B planta

Características del terreno:

adm= 20 t/m2 = máx

N = 45 ton

a) Calcular la longitud L y el ancho B de la zapata, suponer ley lineal de presiones

bajo la zapata, de modo que máx = 20 t/m2 y mín = 0 t/m

2.

b) Idem a) pero con un machón de 60*90 cm, N=50 ton y qadm = 50 t/m2.

Desarrollo:

a) M,m = P/A M/W

(suponer que el peso del terreno excavado se compensa con el peso propio de la

zapata)

P/A M/W = 20 t/m2 (1)

en que:

P = 62.5 ton

A = B*L

M = P*e

e = B/2-0.3 (m)

M m=0 W = (LB3/12)/(B/2) = LB

3/6

( Fv= 0) M*B*L/2 = 62.5 ton B*L= 6.25 m2 (2)

impongo m = 0

de (1): 62.5/6.25+62.5*(B/2-0.3)/((BL/6)*B) = 20

10+60*(B/2-0.3)/B = 20

6*(B/2-0.3)/B = 1

3B-1.8=B B=0.9 m y L=6.9 m

e=0.9/2-0.3 = 0.15 m

M = 9.37 t*m

Chequeo:

m = 62.5/(0.9*6.9)-9.375/(6.9*0.93/6)

= 10.06-10.06 = 0 O.K.

b) N=50 ton

(1) M = N/BL*(1 6*e/B) 50

e = B/2-0.3

(1+6(B/2-0.3)/B)/BL = 1

70cm

0.9 m (2) ( Fv= 0) M*B*L/2 = 50 ton

M 50*B*L/2 = 50

B*L = 2.0 m2

sustituyendo en (1):

1/2*(1+(3B-1.8)/B)=1 1+(3B-1.8)/B=2

(3B-1.8)/B=1 3B-1.8=B

B=0.9 m y L=2.2 m

1.76.) Determinar :

a) la presión de contacto máxima para la fundación rígida indicada.

b) la presión de contacto mínima.

V=20 ton (incluye pp)H1

H2

Y

X

h=1 m3 m

1m1m

H1 = 1.5 ton

H2 = 4 ton

Desarrollo:

a= My/Iyy Iyy = 2*33/12 = 27/6 a = 24/27

b= Mx/Ixx Ixx = 3*23/12 =2 b = 0.75

c= V/A A = 3*2 = 6 c = 3.33

qmáx = axmáx+bymáx+c = (24/27)*1.5+0.75*1+3.33 = 5.42 t/m2

qmín = axmín+bymín+c = (24/27)*-1.5+(-0.75)*1+3.33 = 1.25 t/m2

1.77.) Determine el esfuerzo de corte en el centro de la fundación.(sección c-c)

25 ton

10 t*m10 t*m

c

c0.25 0.252.25 m 2.25 m

Fundación

muy rígida

Ancho fund.= 1 m

25 ton

Nota: Considere peso propio de la fundación incorporado en las solicitaciones

verticales.

Desarrollo :

25 ton

10 t*m 10 t*m

25 ton

20 t*m50 ton

5.0 m

L = 1 m

+

e = M/N = 20/50 = 0.4 < B/6 = 5/6 = 0.833 diagrama trapecial

t = V/(BL)*(1 6*e/B) = 50/(1*5)*(1 6*0.4/5)

tmáx = 14.8 t/m2 y tmín = 5.2 t/m

2

14.8*L

= 14.8 t/m

5.2*L

= 5.2 t/m

25 ton25 ton

10 t*m10 t*m

Q

c

c

2.5 m

y

(14.8-5.2)/5 = Y/2.5 Y = 4.8 t/m

c-c = 5.2+4.8 = 10 t/m

Qc-c = (14.8-10)*2.5/2+10*2.5-25 = 6+25-25

Qc-c = 6 ton

II

DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO

DE ZAPATAS AISLADAS

2.1.) Dimensione la fundación del pilar izquierdo considerando:

f‟c = 300 kgf/cm2 qv(pp) = 5 t/m

fy = 2800 kgf/cm2 qv(sc) = 2 t/m

adm = 30 t/m2 qh(sc) = 0.9 t/m

L1= 0.75L2

a) L1 , L2 y h (aproximar L1 y L2 cada 10 cm, h=d+10cm por acción de viga solamente)

b) armadura principal.

V1

H1

Df=1.5m

0.3

0.2 L1

L2

2 m

5 m

qvqh

15 m

V1H1 V2

Desarrollo :

1º) Determinación de las cargas sobre la zapata.

a) Para determinar L1 y L2.

qv = 5+2 = 7 t/m qh = 0.5 t/m

Fv = 0 V1+V2 = 7*15 = 105 ton

Fh = 0 H1 = 0.9*7 = 6.3 ton

M1 = 0 V2*15 = 0.9*7*7/2+7*15*15/2

V2 = 53.97 ton V1 = 105-53.97 = 51.03 ton

P/A+M/W adm 51.03/(L1*L2)+9.45/(L1*L22/6) 30 t/m

2

51.03/(0.75*L22)+9.45/(0.75*L2

3/6) 30

68.04/L22+75.6/L2

3 30 /*L2

3

68.04*L2+75.6 = 30*L23

-30*L23+68.04*L2+75.6 = 0 L2 = 1.897 1.9 m

L1 = 0.75L2 = 0.75*1.9 = 1.4 m

b) Cargas para determinación de h :

qv = 1.4*5+1.7*2 = 10.4 t/m

qh = 1.7*0.9 = 1.53 t/m

Fv = 0 V1+V2 = 10.4*15 = 156.0 ton

Fh = 0 H1 = 1.53*7 = 10.71 ton

M1 = 0 V2*15 = 1.53*7*7/2+10.4*15*15/2

V2 = 80.50 ton V1 = 75.50 ton

Acción de viga :

0.3

0.2L1=1.4m

= 0.8-d

d

=L2/2-0.3-d = 0.8-d

A = L1-

qusd = P/A M/W = 75.5/(1.4*1.9) 10.71*1.5/(1.4*1.92/6)

= 28.38 19.07

M = 47.45 t/m2

m = 9.31 t/m2

9.31

47.45

Sea d = 30 cm

q(x= 0.8-0.3) = 37.41 t/m2

Determinación de vu (solicitación)

vu = Vu/Asc Vu = qusd*A = qusd* *L1

= 0.5*(47.45+37.41)*0.5*1.4 = 29.7 ton

vu = Vu/(L1*d) = 29.7/(1.4*0.3) = 70.72 t/m2

Determinación de vn (resistencia)

vn = 0.85*0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2

= 78 t/m2

vu < vn d = 30 cm O.K. h = 40 cm

2º) Determinación de la armadura.

Armadura principal (d = 30 cm)

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

Ru= Mu/( bd2) b=B Ru= Mu/(0.9*1.4*0.3

2)

Determinación de Mu:

47.45 t/m9.31t/m

31.4t/m

x

c=0.3

f

f = L2 /2- c/2 = 1.9/2-0.3/2 = 0.8 m

q(x=0.8)= 31.4 t/m

q = 31.4 t/m

q = 31.4 t/m

q =16.05 t/m

2/3 fR

q =47.45-31.4 = 16.05t/m

1

1

2

2

2

2

2

2

2

22

2

Mu = q1*B* f

2/2+q2*B*( f/2)*2* f/3 B= 1.4 m

= 31.4*1.4*0.82/2+16.05*1.4*0.8

2/3

= 14.07+4.79 = 18.86 t*m

Ru = 18.86/(0.9*1.4*0.32) = 166.3 t/m

2

= 0.85*300/2800* 1-(1-2*166.3/(0.85*3000))1/2

= 6.15*10-3

= As/(b*d) = As/(L1*d)

As = 6.15*10-3

*140*30 = 25.83 cm 2

mín = 14.1/fy = 5.04*10-3

> mín O.K.

2.2.) Una columna de 60*40 cm, transmite a una zapata rectangular un estado de cargas:

pp = 200 ton sc= 130 ton

Determine B, L y H de la zapata, considerando que por razones constructivas

B 2.5 m.

Datos: f‟c = 300 kgf/cm2 fy = 4200 kgf/cm

2 qadm = 30 t/m

2

Desarrollo:

1º) Determinación de B y L.

B, L se obtiene con las cargas no mayoradas, de modo que:

qt qadm (pp+sc)/(B*L) 30 t/m2

B 2.5 m por razones de espacio (200+130)/(2.5L) 30

L = 4.4 m y B = 2.5 m

2º) Determinación de h.

h se calcula con las cargas mayoradas de modo que no sea necesario usar

armadura al corte vs = 0

vu vn

a) h necesario para acción de viga (Beam action)

0.6

0.4B=2.5m

d

L = 4.4m

sección crítica

A

Determinación de vu :

vu = Vu/Asc

Vu = qusd*A

Asc=Area secc. crítica

= B*d

qusd = (1.4pp+1.7sc)/(B*L) = (1.4*200+1.7*130)/(2.5*4.4) = 45.6 t/m2

Asc = 2.5*d A = B* = B*(L-L/2- c/2-d)

= 2.5*(4.4-4.4/2-0.6/2-d) = 2.5*(1.9-d)

Vu = 45.6*2.5*(1.9-d) = 114*(1.9-d)

vu = 114*(1.9-d)/(2.5*d)

Determinación de vn

vn = 0.53* f‟c = 0.85*9.18 = 7.8 kgf/cm2

= 78 t/m2

vu vn 114*(1.9-d)/(2.5*d) 78 d 0.70 m

d = 70 cm Vu = 136.8 ton

Vn = 136.5 ton

b) Verificación del punzonamiento (Two way action).

vu vn vn = vc vu vc

c+d = 0.6+dc

ac

d/2

ac+

d=

0.4

+d

d=0.7cm

bo = longitud sección crítica = (0.6+d)*2+(0.4+d)*2

= 1.3*2+1.1*2 = 4.8 m

Determinación de vu :

vu = Vu/(bo*d)

Vu = qusd*(B*L-(c+d)*(ac+d))

= 45.6*(2.5*4.4-(0.6+0.7)*(0.4*0.7) = 436 ton

vu = 436/(4.8*0.7) = 130 t/m2

Determinación de vn = vc

Vc = (0.53+1.06/ c) f‟c *bo*d

Vc / f‟c *bo*d)

1.06

0.53

0.5 1/ c

1/ c = ac / c = 0.4/0.6 = 2/3 > 0.5

vc/ f‟c = 1.06

vc = 1.06* f‟c = 18.36 kgf/m

vc = 0.85*1.06* f‟c

= 15.6 kgf/cm

vn=156*4.8*0.7 = 524 ton

vu = 130 < vc = 156 t/m O.K.

luego d = 70 cm y h = 75 cm.

2

2

2.3.) Determinar la armadura a flexión para la zapata de la figura.

h = 0.7 m

L = 3 m

B = 2 m

0.2 m

0.3 m

f‟c = 300 kgf/cm

fy = 4200 kgf/cm

pp = 150 ton

s/c = 90 ton

2

2

Desarrollo:

Pu = 1.4DL+1.7LL = 1.4pp+1.7sc

= 1.4*150+1.7*90 = 363 ton

qusd = Pu/(B*L) = 363/(3*2) = 60.5 t/m2

Determinación de la armadura principal (d = 65 cm) c f

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

Ru= Mu/( bd2) L

Determinación de Mu: Mu= qusd* 2*B/2

f = L/2- c/2 = 1.5-0.15 = 1.35 m

Mu = 60.5*1.352*2/2 = 110.3 t*m Ru = 110.3/(0.9*2*0.65

2)=145 t/m

2

= 0.85*300/4200* 1-(1-2*145/(0.85*3000))0.5

= 3.56*10-3

mín = 14.1/fy = 3.6*10-3

<

mín = 1.33 = 4.73*10-3

retracc.= 1.8*10-3

(A63-42) <

máx = 0.75 b = 2.2*10-2

> O.K.

As = 3.56*10-3

*200*65 = 46.28 cm2

46.28/200 = 23.14 cm2/cm

Determinación de la armadura secundaria (d = 62 cm)

= B/2-ac/2 = 1-0.1 = 0.9 m

Mu = 60.5*0.92*3/2 = 73.5 t*m

Ru = 73.5/(0.9*3*0.622) = 70.82 t/m

2 B

= 1.71*10-3

mín = 3.36*10-3

mín = 1.33*1.71*10-3

= 2.27*10-3

>

se coloca mín As = 2.27*10-3

*300*62 = 42.22 cm2

42.22/3 = 14.1 cm2/m

2.4.) Para una zapata aislada se pide el área Af = B2 para las siguientes condiciones de

diseño:

Service DL = 350 k = 159 ton

” LL = 275 k = 125 ton

Service sc = 100 psf = 0.5 t/m2

Suponer un peso unitario promedio para el suelo y el hormigón sobre el sello

= 130 pcf = 2.08 t/m3. sc P

qadm(suelo)= 4.5 ksf = 22 t/m2

Desarrollo : Df=1.5m col.de 75*30cm

1o) Peso total para la sobrecarga (12*30in)

q = 2.08*1.5+0.5 = 3.62 t/m2 B

q 3.6 t/m2

2o) Presión neta admisible para el suelo :

qadmneto

= 22-3.6 =18.4 t/m2 (pues en general la compactación

aumenta con respecto al suelo in situ).

3o) Determinación de Af :

qadmneto

P/B2 = 18.4 t/m

2

B = ((159+125)/18.4)0.5

= 3.9 m 4.0 m

4o) Para efectos de armar, cargas mayoradas y reacción del suelo debido a ellas.

Pu = U = 1.4*159+1.7*125 = 435 ton

qs = qusd = 435/42 = 27.2 t/m

2

2.5.) Determinar la altura de la zapata del problema 2.4.)

f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2 Pu = 435 ton (mayorado)

qs = qusd = 27.2 t/m2

Desarrollo :

0.75+d

0.75

0.3

+d

bo(two way action)

0.30

bw(beam action)

d/2

d

2-0.15-d

=1.85-d1.5

m

B/2

-(0.3

-d)/

2

4.0m = bw

(ACI 11.11) Determinación de la altura sin armadura al corte . El h requerido por corte

generalmente controla el diseño. “Beam action and Two way action”, deben chequearse.

Suponemos h = 80 cm y d = 70 cm

1º) Beam action:

Vu Vn

Vn = *0.53* f‟c*bw*d = 0.85*0.53*2100.5

*400*70 = 183 ton

Vu = qusd*(1.85-d)*bw = 27.2*(1.85-0.9)*4 = 125 ton

(vn = vc+vs) vs = 0

(vc = 0.53*2100.5

= 7.7 kgf/cm2)

Vu(solic.) = 125 ton Vu (resist.) = 183 ton O.K.

2º) Two way action

Vu Vn

Vn = *(0.53+1.06/ c)* f‟c*bo*d pero (0.53+1.06/ c) 1.06

c = 0.75/0.3 = 2.5 c > 2 O.K.

Vu(solic.) = qusd*(4*4-(0.75+0.7)*(0.3+0.7)) = 27.2*14.55

= 396 ton

Vu(resist.) = Vn = f(vc)

bo = 2*(0.75+d)+2*(0.3+d) = 4.9 m

vc = (0.53+1.06/2.5)* f‟c = 0.954* f‟c 1.06* f‟c

= 13.8 kgf/cm2

Vu(resist.) = 0.85*0.954*2100.5

*490*70 = 403 ton

396 < 403 O.K. h = 80 cm

2.6.) Determine para las condiciones del problema 2.4.), la cantidad de armadura requerida.

sección crítica

0.7m0.8m

0.3m

qusd=27.2 t/m2

f‟c=3000 psi = 210 kgf/cm

fy =60000 psi = 4200 kgf/cm

Pu= 435 ton (mayorado)

qs = qusd = 27.2 t/m (mayorado)

B = 4 m

L = 4 m

2

2

2

1.85 m

Desarrollo :

1º) Determinaciones de Mu solicitante :

Mu = 0.5*q* 2*B = 0.5*27.2*1.85

2*4 = 186 t*m

2º) Determinación de As :

Se define el coeficiente de resistencia nominal Rn :

Rn = Mn/(b*d2) = *fy*(1-0.5* *fy/(0.85*f‟c))

Ru= Mu/( bd2) = 186/(0.9*4*0.7

2) = 105 t/m

2

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

= 0.85*210/4200* 1-(1-2*105/(0.85*2100))0.5

= 0.0026

Chequeo mín : mín = 0.0018 (contracción) A63-42 (7.12.2)

0.0018 < 0.0026 O.K.

As = *b*d = 0.0026*400*70 = 73 cm 2 14 26 = 74.34 cm

2

Nota: En el otro sentido se requiere una cantidad menor, pero para facilidad en la

construcción usar la misma cantidad.

3º) Chequeo del desarrollo de la armadura (ACI 15.6)

La sección crítica es la misma que para el momento.(ACI 15.6.3)

d( 26) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 92 cm

B/2- p /2 = 2-0.375 = 1.625 m en que p = 0.75 m en el lado más corto

92 < 162.5 cm O.K.

2.7.) Diseño de las barras para transferir la fuerza a la base de la columna. Se pide para las

condiciones del problema 2.4.), chequear la transferencia de esfuerzos en la interfase

columna-fundación.

f‟c(columna)= 5000 psi = 350 kgf/cm2

f‟c(zapata)= 3000 psi = 210 kgf/cm2

fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm2

Pu = 957.5 kips = 435 ton

Desarrollo :

1º) Resistencia del hormigón de la columna (15.8.1.1)

Pnb = (0.85f‟cA1) (10.15.1)

= 0.7 (bearing on concrete 9.3.2.4)

en que :

*0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*0.350*75*30 (0.85f‟c = 298 300 kgf/cm2)

= 469 ton

Pu = 435 ton < 469 O.K. (9.3.2.4.)

2º) Aplastamiento del hormigón de la zapata: f‟c = 210 kgf/cm2

La resistencia al aplastamiento se incrementa dado que el tamaño de la fundación

permite una distribución de la carga de la columna. El incremento permitido varía

entre 1 y 2, según la expresión A A2 1 2 , en que :

A1 = área de la columna.

A2 = área máxima de aquella parte geométricamente similar y concéntrica con el

área de la columna.

45o

4 m

x = 3.55 m

A1

A2

x = 4-0.75+0.3 = 3.55 m

A2 /A1 = 3.65/(0.75*0.3)

A2 = 14.2 m

A1 = 0.225 m

A2 /A1 = 7.94 > 2

2

2

2

Pnb 2 (0.85f‟cA1) = 2*(0.7*0.85*0.210*30*75)= 562 ton

Pnb = 435 < 562 O.K. (193 < 250 kgf/cm2)

3º) Barras de traspaso (interfase columna-fundación) (15.8.2)

As(mín) = 0.005*Areal del elemento que se apoya

= 0.005*75*30 = 11.25 cm2

usar 6 16 = 12.06 cm2

4º) Longitud de desarrollo de barras comprimidas de la armadura de traspaso.

(12.3.2)

- En la columna:

db = 0.0754*db*fy/ f‟c

= 0.0754*1.6*4200/ 350 = 27.1 cm

pero no debe ser menor que:

mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 29 cm

por lo tanto en la columna las barras miden 29 cm 30 cm.

- En la zapata :

db = 0.0754*1.6*4200/ 210 = 35 cm > mín O.K.

longitud disponible para el desarrollo de la armadura:

h-rec.-nºbarra* barra = 80-5-2*2.6-1.6 = 68.2 cm > 35 cm O.K.

16

16

5cm recub.26

Nota:

No se verifica la longitud

de anclaje a tracción pues

las barras están comprimidas

2.8.) Verificar la transferencia de esfuerzos en la interfase columna-zapata. Para las

condiciones de diseño dadas, disponga la armadura necesaria para la transferencia de

esfuerzos entre la columna y la zapata.

= 2.75 m

Datos :

- Columna cuadrada de 30*30 cm con 4 barras 36

- f‟c= 4000 psi = 280 kgf/cm (columna y zapata)

- fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm

- PD = 200 k = 90 ton

- PL = 100 k = 45 ton

2

2

= 30 cm

46 cm

36

26

Desarrollo :

1º) Aplastamiento (Bearing Strength) en la columna de concreto. (15.8.1.1)

Pnb = (0.85f‟cA1) = 0.7*0.85*0.28*302 = 150 ton

Pu = 1.4*90+1.7*45 = 126+76.5 = 202.5 ton

Pu > Pnb no cumple!

(202.5*1000/302 c = 225 kgf/cm

2 )

La carga de la columna no puede ser resistida sólo por el hormigón. El exceso ha de

ser transferido a la armadura.

exceso = 202.5-150 = 52.5 ton (52.5*1000/302 c = 58.4 kgf/cm

2 )

2º) Aplastamiento en el concreto de la zapata.

(A2/A1) > 2

Pnb = 2*150 = 300 ton > Pu = 200 ton para efectos de la fundación : O.K.

3º) Barras de traspaso requeridas.

As(req) = (Pu-Pnb)/( *fy) (9.3.2.4)

= (202.5-150)/(0.7*4.2) = 18 cm2

As(mín) = 0.005*302 = 4.5 cm

2 (15.8.2.1)

armadura adicional a la existente !

Usar 4 26 = 21 cm2 como barras de traspaso (dowel bars)

21 > 18 O.K.

4º) Desarrollo de la armadura de traspaso (dowel reinforcement)

a) En la columna : Ha de haber un traslapo entre la armadura longitudinal ( 36) y las

barras de traspaso ( 26), las que han de extenderse en el interior de la columna una

distancia igual a la longitud de desarrollo de las barras ( 36), o la longitud de traslapo

de las barras ( 26), la que sea mayor.

Para las 36 :

d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2)

= 0.0754*3.6*4200/2800.5

= 68 cm

pero no menor que :

mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*3.6*4200 = 65 cm < 68 O.K.

Para las 26 :

d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2)

= 0.0754*2.6*4200/2800.5

= 49 cm

pero no menor que :

mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm

las barras 26 deben extenderse 68 cm en el interior de la columna.

b) En la fundación :

El desarrollo de las barras 26 en el interior de la fundación:

d = 0.0754*2.6*4200/2800.5

= 49 cm

> mín = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm (12.3.2)

d puede reducirse si se considera el área en exceso : (12.3.3.1)

factor de reducción = As(requerida)/As(proporcionada)

= 18/21 = 0.857

d = 0.86*49 = 42 cm

Si las barras de traspaso se doblan, la parte doblada no se considera para efectos de

anclaje de la barra en compresión.

La longitud disponible para el desarrollo de la armadura en el interior de la zapata :

= hzapata-recub.-nºbarras* barras

donde recub.+ nºbarras* barras 10

= 46-10 = 36 cm < 42 cm no cumple!

luego deberá aumentarse la altura de la zapata o usarse una mayor cantidad de barras

de menor diámetro.

Probemos con 6 22 = 22.8 cm2

d = 0.0754*(18/21)*2.2*4200/2800.5

= 33 cm < 36 cm O.K.

> mín = 0.0043*2.2*4200 = 40 cm

Disponer 6 22, que penetren 68 cm en la columna, dobladas en 90º para su colocación

sobre la armadura de la zapata.

Longitud vertical total = 68+33 = 98 cm

es decir:

Long.total = 68+35 = 100 cm

2.9.) Para las condiciones de diseño del problema 2.8.) más una fuerza horizontal mayorada

de 43 ton, que actúa en la base de la columna.

Datos:

f‟c = 280 kgf/cm2

fy = 4200 kgf/cm2

Vu = 43 ton

Desarrollo :

1º) Se usará el método “corte-fricción” (secc.11.7.4), para diseñar la transferencia

de la fuerza horizontal.

Vu Vn (11-1)

Vu (Avf*fy* ) (11-26)

en que :

Avf = área de la armadura que resiste el corte

= coeficiente de fricción

= 0.6 cuando es hormigón sin rugosidad previa intencional (11.7.4.3)

= 0.85 (corte)

Avf = 43000/(4200*0.6*0.85) = 20 cm2

2º) Las 6 22 (22.8 cm2) dispuestas para la transferencia vertical funcionan como el

plano de falla a considerar. No se requiere armadura adicional. Si acaso, las 6 22

hubiesen sido insuficientes se permite una reducción de un 40 % en Avf requerido

siempre y cuando el hormigón de la zapata en contacto con el de la columna sea de

una rugosidad de ¼ de pulgada. Para esta rugosidad = 1.0.

A‟vf = 43000/(4200*1*0.85) = 12 cm2

Chequeo del desarrollo a tracción de las barras de traspaso (12.2.2)

para 22 : (Ab = 3.8 cm2)

d = 0.0594*Ab*fy/ f‟c 0.0057*db*fy

d = 57 cm 53 cm

dado que existe un exceso de armadura : (12.2.4.2)

d = 57*A‟vf/Avf = 57*12/22.8

= 30 cm O.K.

3º) Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido: (11.7.5)

La resistencia al corte nominal Vn no deberá ser mayor que 0.2*f‟c*Ac

Vu Vn

Vu 0.2*0.280*302*0.85 = 42.8 43 ton

( vn = 0.2*280*0.85 = 47.6 kgf/cm2 y vsolic = 43/30

2 = 47.8 kgf/cm

2)

2.10.) Se pide el diseño de una zapata cuadrada, para las siguientes condiciones:

Datos: (sin armar)

DL = 40 k = 18 ton qadm = 20 t/m2

LL = 60 k = 27 ton f‟c = 3000 psi = 210 kgf/cm2

columna de 30*30 cm (f‟c para columna y zapata)

Desarrollo :

1º) Af = (18+27)/20 = 2.25 m2

B = (2.25)0.5

B = 1.5 m

¡ El área de la base se determina con las cargas no mayoradas !

Para efectos de resistencia de los materiales se determina qusd con cargas mayoradas:

qusd = (18*1.4+27*1.7)/2.25 = 31.6 t/m2

2º) Altura de la zapata.

Para el hormigón simple (sin armar), el espesor lo controla la resistencia a

flexión habitualmente. La sección crítica queda en la cara del pilar.

Mu = 0.5*qusd*((1.5-0.3)/2)2 = 5.7 t*m/m

= 8.5 t*m (=5.7*1.5)

ff Mu/(b*h2/6) = 8.5*10

5/(150*h

2/6) = 3.4*10

4/h

2

resistencia admisible a flexión (6.2.2)

ff (adm) = 1.33* * f‟c = 1.33*0.65* 210 = 12.5 kgf/cm2

luego :

12.5 3.4*104/h

2 h 52 cm

Para hormigón vertido directamente sobre el suelo, los primeros 5 cm no se

consideran en la resistencia.

h = 60 cm d 55 cm

3º) Verificación de la resistencia al corte (hefectivo)

hefectivo = 60-5 = 55 cm

Beam action:

La sección crítica queda a d = 55 cm del borde externo de la zapata, por lo tanto no

es crítica.

Two way action:

vu = 1.5*Vu/(bo*hefectivo)

en que:

Vu = qusd*(B2-(0.3+0.55)

2) = 31.6*(1.5

2-0.85

2) = 48.3 ton

bo = (0.3+0.55)*4 = 3.4 m

vu = 1.5*48.3/(3.4*0.55) = 38.7 t/m2 (tensión de corte solicitante)

vn = tensión de corte resistente

= vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c = 0.65*1.06* 210

= 9.98 kgf/cm2 100 t/m

2

Se cumple:

vu vn (38.7 100 )

por lo tanto h = 55 cm efectivos está O.K.

4º) Aplastamiento en la columna.

fb = 0.85* *f‟c = 0.85*0.65*210 = 116 kgf/cm2

(18*1.4+27*1.7)/0.32 = 71.1/0.09

= 79 kgf/cm2 < 116 kgf/cm

2 O.K.

2.11.) Se pide chequear la transferencia de esfuerzos entre la base de una columna

prefabricada y su pedestal, para una carga mayorada de 476 ton.

f‟c = 350 kgf/cm2 (columna)

f‟c = 210 kgf/cm2 (pedestal)

fy = 4200 kgf/cm2

placa base de

60*60 cm

8 32

P/C 45*45 cm

columna de

45*45 cm

pedestal

(P/C= pre-cast = pre-fabricado)

Desarrollo :

1º) Aplastamiento en la columna de hormigón (entre P/C y placa base)

Pnb = *(0.85*f‟c*A1) (10.15.1)

= 0.7*0.85*0.350*45*45 = 421 ton < 476 ton no cumple!

2º) Aplastamiento en el pedestal entre este y la placa base.

Pnb = 0.7*0.85*0.210*60*60 = 450 ton < 476 ton no cumple!

3º) No es posible transferir la carga por aplastamiento del hormigón ni para la

columna

ni para el pedestal. La carga en exceso (476-421) para la columna y (476-420) el

pedestal, debe transferirse mediante el uso de armadura.

En la manufactura de columna prefabricada es práctica habitual incorporar la placa

a la columna ya sea mediante “bar anchors” o mediante barras soldadas a la placa

base.

El área requerida para las barras de anclaje :

As(req) = Pu/( *fy) = (476000-421000)/(0.7*4200)

= 18.71 cm2 (9.3.2.4)

Además, la conexión entre la columna prefabricada y la placa base deberá

tener una resistencia a tracción no menor que 14.06Ag en kgf, en que Ag es el

área de P/C columna.

As(mín) = 14.06Ag/fy = 14.06*452/4200 = 6.8 cm

2 < 18.71 cm

2

Se requiere barras 16.

18.71/2.01 = 9.3 9 16 = 18.09 cm2

Desarrollo de anclajes :

d = 0.075*db*fy* f‟c

= 0.075*1.6*4200/ 350

d = 26.9 cm

pero, d no debe ser menor que :

mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 28.9 cm

usar d = 28.9 cm

4º) El exceso de carga entre la placa base y el pedestal (476-450=26 ton), debe ser

tomado por una cantidad de armadura mínima:

14.06*Ag*fy

Probemos con 4 pernos ASTM A36 (fy=36000 psi = 2530 kgf/cm2)

As(req) = 26000/2530 = 10.3 cm2

As(mín) = 14.06*45*45/2530 = 11.3 cm2

4 22 = 15.216 cm2

Los pernos deben estar embebidos en el pedestal para desarrollar su resistencia

(por adherencia), d es el doble dado que los pernos son lisos.

d = 2*0.075*db*fy/ f‟c

= 2*0.0075*2.2*2530/ 210 = 57.6 cm

d(mín) = 2*0.0043*db/fy = 2*0.0043*2.2*2530= 48 cm

d = 60 cm

2.12.) Dimensionar y armar la zapata que se propone.

Datos:

DL = 120 ton

LL = 90 ton H 3 m

H = 20 ton h

qadm = 4 kgf/cm2 B

suelo = 1.95 t/m3 (compactado) pilar 30*50cm

Suelo originalmente suelto 1.5B

f‟c = 300 kfd/cm2 (zapata y columna)

fy = 4200 kgf/cm2

Desarrollo :

1º) Determinación de la planta.

P/(B*L) qadmneto

en que :

P = 120+90 = 210 ton

qadmneto

= 40-3*1.95 = 34.15 t/m2 34 t/m

2

sustituyendo : 210/(B*1.5B) 34

B = 2.03 m B = 2 m y L = 3m

2º) Determinación de la altura de la zapata (h).

qusd = (120*1.4+90*1.7)/6 = 53.5 t/m2

a) Punzonamiento : vn = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c

c = 50/30 = 1.67 < 2

vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 = 15.6 kgf/cm2

Vn = vc*bo*d

Determinación de bo

bo = (0.3+d)*2+(0.5+d)*2 = 0.6+2d+1+2d = 1.6+4d

Vu = qusd*(B*L-(0.3+d)*(0.5+d))

= 53.5*(2*3-(0.3+d)*(0.5+d)) = 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d))

Se debe cumplir :

Vu Vn

321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) 156*d*(1.6+4d)

d = 0.498 m d = 50 cm y h = 60 cm

b) Chequeo por acción de viga : 2

1 = 3/2-0.5/2-0.5 = 0.75 m 0.3 y

2 = 2/2-0.3/2-0.5 = 0.35 m 0.5 x

1

chequeo para 1 :

Vu = qusd* 1*B = 53.5*0.75*2 = 80.25 ton

Vn = vc*B*d

vc = 0.85*0.53* f‟c = 7.8 kgf/cm2

Vn = 78*2*0.5 = 78 ton < 80 ton no cumple!

Probar con d = 0.52 m

1 = 3/2-0.5/2-0.52 = 0.73 m

Vu = 53.5*0.73*2 = 78.11 ton

Vn = 78*2*0.52 = 81 ton

d = 0.52 m y h = 0.80 m

3º) Determinación de la cantidad de armadura :

Mux (solicitante)

Mu = 0.5*qusd*(3/2-0.5/2)2*B

= 0.5*53.5*1.252*2 = 83.6 t*m

Determinación de As :

Se define un coeficiente de resistencia nominal Rn :

Rn = Mn/(b*d2)

Ru= Mu/( bd2) = 83.6/(0.9*2*0.52

2) = 171.7 t/m

2

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

= 0.85*300/4200* 1-(1-2*171.7/(0.85*3000))0.5

= 4.24*10-3

> mín = 1.18*10-3

As = *b*d = 4.24*10-3

*200*52 = 44.1 cm2

12 22 = 45.6 cm2 ( 22 @15 cm aproximadamente)

(Faltaría chequear en la otra dirección)

Chequeo del anclaje para armadura en tracción.

d ( 22)= 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*3.8*4200/ 300

= 55.3 cm < 200/2-50/2 = 75 cm

4º) Verificación del aplastamiento.

- En la columna:

Pnb = *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*300*50*30

= 178*50*30 = 268 ton

268 ton < Pu = 321 ton no cumple!

colocar armadura

As(req) = (Pu- Pnb)/( *fy) = (321-268)/(0.7*4200)

= 18.03 cm2

As(mín) = 0.005*50*30 = 7.5 cm2 (15.8.2.1)

Controla As = 18.03 cm2

4 25 = 19.63 cm2

Longitud de desarrollo a compresión.

d = 0.075*2.5*4200/ 300 = 45.5 cm

d(mín) = 0.0043*2.5*4200 = 45.2 cm < 45.5 O.K.

Reducción por mayor cantidad de área proporcionada.

d = (18.03/19.63)*45.5 = 41.47 cm

d(mín) = 45 cm (para la columna y la zapata =45+45=90 cm)

5º) Transferencia de la fuerza horizontal.

Método de “corte-fricción” (secc.11.7.4)

Vu Vn

Vn = Avf *fy* (11-26)

Avf = área de la armadura que resiste el corte.

= 0.6 (sin rugosidad previa)

= 0.85

Avf = H/( *fy* ) = 20000/(0.85*4200*0.6) = 9.3 cm2

con los 4 25 = 19.63 cm2 estamos O.K.

Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido :

Vn = *0.2*f‟c*Ac = 0.85*0.2*4200*30*50

= 51*30*50 = 76.5 ton > 20 ton O.K.

2.13.) Determinar la armadura para la fundación cuadrada de la figura :

f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2

fy = 50000 psi = 3500 kgf/cm2 D = 45.4 ton

qadm = 4 ksf = 20 t/m2 L = 54.5 ton

35*35cm

Desarrollo :

1º) Determinación de B :

Pu = 1.4D+1.7L

= 1.4*45.4+1.7*54.5 = 156 ton

P = D+L = 45.4+54.5 = 99.9 ton 100 ton

despreciando el peso de la zapata

P/A qadm 100/B2 20

B 50.5

B = 2.2 m

Calculando la presión equivalente del suelo para que sea consistente con el

diseño por resistencia última.

qusd = 156/2.22 = 32 t/m

2

2º) Determinación de la altura mínima para tensión diagonal (punching shear)

(ec.15.2.1)

d2*(vc+qs/4)+d*(vc+qs/2)*a-(Af-Ac)*qs/4 = 0

vc = 4* * f‟c (f‟c en psi)

= 1.1* * f‟c (f‟c en kgf/cm2)

vc = 1.1*0.85* 210 = 13.5 kgf/cm2 = 135 t/m

2

Ac = 352 = 1225 cm

2

en la ecuación se usa qusd:

d2*(13.5+32/4)+d*(135+32/2)*0.35-(2.2

2-0.35

2)*32/4 = 0

14.3*d2+52.9*d-37.7 = 0

d2+0.37*d-0.264 = 0 d = 0.36 m

3º) Chequeo de la resistencia y si la profundidad de traspaso puede controlar

qbrg = 0.85* *f‟c = 0.85*0.7*210 = 125 kgf/cm2

Pu = 0.125*352 = 154 ton 156 ton

use 4 “dowels”(barras de traspaso) para amarrar la columna a la zapata y para

proveer anclaje a las barras de acero.(ver fig.15.22a)

4º) Determinación de la cantidad de acero As :

Mu = *As*fy*(d-a/2)

en que:

= 0.85

Mu = q*L‟2/2

L‟ = B/2-a/2 = 2.2/2-0.35/2= 0.925 m

q = qusd = 32 t/m2

entonces:

Mu = 32*0.9252/2 = 13.7 t*m/m (30.1 t*m) total

fy = 3500 kgf/cm2 = 35000 t/m

2

a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*35000/(0.85*2100*100)

= 0.196*As

sustituyendo :

13700/(0.85*3.5) = As*(35-0.196*As)

460.5 = 35*As-0.196*As2

As = 164 cm2/m

As = 14.3 cm2/m

As(total) = As*2.2 = 31.5 cm2

= As/(b*d) = 31.5/(2.2*0.36) = 0.004 > 0.002

(Falta chequear mín y máx)

2.14.) Diseñar la zapata cuadrada de la figura para las cargas indicadas, por el método de la

resistencia según el código ACI 318-83.

columna cuadrada

de 30 cm

d h

2.8 m

2.8 m0.3

0.3

Cargas en la columna:

DL = 38 ton

LL = 34.2 ton

Materiales:

f‟c = 250 kgf/cm (Hormigón H25)

fy = 4200 kgf/cm (Acero A63-42H)

Condición:

dmín 30 cm

recubrimiento 5 cm

2

2

Desarrollo :

vc = 1.06* f‟c = 16.8 kgf/cm2 (tracción diagonal, punzonamiento)

vc = 0.53* f‟c = 8.38 kgf/cm2 (corte como viga)

U = 1.4*DL+1.7*LL

= 1.4*38+1.7*34.2 = 111.3 ton

qtu = U/B2 = 111.3/2.8

2 = 14.2 t/m

2 (chequear qt < qadm)

qtu : tensión de trabajo mayorada.

Determinación de Vu y d :

(sección crítica para el corte = de)

a

b

d

e

d/2

Sección de punzonamiento

Vu =(de+B)* *qtu/2

en que : de = (0.3+d) en m.

B = 2.8 m

=B/2-0.3/2-d/2=(2.5-d)/2

qtu =1.42 kgf/cm2

Vu Vc Vc=vc*b*d

Vc= vc*(0.3+d)*d

en que :

Vu = ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/4

Vu/( *(0.3+d)*d) vc

((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/(0.85*4*(0.3+d)*d) 168 t/m2

((3.1+d)*(2.5-d))/(0.3*d+d2) 40.2

d 31 cm d = 0.35 m no necesita armadura al corte, que es

la condición que queremos.

Determinación de As a flexión.

(sección crítica = ab)

L = 1.25 m

qtu

L = (2.8-0.3)/2 = 1.25 m

qtu = 14.2*2.8 = 39.76 t/m

Mu = qtu*L /(2*B)

= 39.76*1.25 /(2*2.8)= 11.09 t*m/m

Determinación de Mud (Momento último dúctil)

Mud = Kmáx*f‟c*b*d2

en que: Kmáx = 0.9*qmáx*(1-0.59*qmáx)

qmáx = máx*fy/f‟c

máx = 0.75* b = 0.019 (interpolando en tabla 1, dada por J.M.T.)

entonces:

qmáx = 0.019*4200/250 = 0.321

Kmáx = 0.9*0.321*(1-0.59*0.321) = 0.234

Mud = 0.234*250*100*352 = 7.17*10

6 kgf/cm = 71.7 t*m/m

Mu < Mud sólo armadura a tracción.

Mu = 11.09 t*m/m

En la tabla están tabulados los valores Mu/( *f‟c*b*d2)

11.09*105/(0.9*250*100*50

2) = 0.0197 = 0.02 (Tabla 9.2)

= *f‟c/fy = 1.19*10-3

= As/(b*d) As = *b*d

As = 1.19*10-3

*100*50 = 6 cm2/m de ancho

8 10/m de ancho (6.28 cm2)

6 12/m de ancho (6.79 cm2)

Observaciones:

1º) = Q/(7*b*d/8) (válido para teoría clásica)

2º) Para determinar la resistencia admisible del hormigón:

Vc = vc*b*d

vc = 1.06* f‟c (para tracción diagonal, con sección crítica de)

3º) Además debe chequearse el corte puro, con sección crítica, d‟e‟ y

vc = 0.53* f‟c

Vc = vc*b*d

4º) Vu Vc = 0.85 para el corte.

2.15.) Para la estructura de la figura, diseñe y dimensione ambas fundaciones.

pp = 5 t/m sc = 3 t/m viento = 1.1 t/m

B1/B2 = B3/B4 = 0.75 f‟c = 300 kgf/cm2

qadm = 5 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm

2

sc

pp

12.5 m

B C

U = 1.4D+1.7L

U = 0.75(1.4D+1.7L+1.7W) 6.0 m

viento

A D

pilar 20*20

pilar 30*20

Df

h1 h2

zapata 1 zapata 2

B1 B3

B2 B4

a) Determine acciones D y L sobre cada zapata

b) Determine B1,B2,h1 (h1 por punzonamiento)

c) Determine armadura principal para la zapata 1

d) Determine B3,B4,h2 (h2 por corte por acción de viga)

e) Determine armadura principal para la zapata 2

Aproximar Bi a los 5 cm más cercanos.

Suponer que cada zapata con su sobrecimiento pesa 1.25 ton

Desarrollo:

a) Determinación de las cargas que actúan sobre las zapatas.

a.1) por efecto de la sobrecarga

V1L+V2L = 3*12.5 = 37.5 ton

MA = 0 1.1*6*6/2+3*12.5*12.5/2 = V2L*12.5

H1L = 6.6 ton V2L = 20.33 ton V1L = 17.17 ton

a.2) por efecto del peso propio

V1D+V2D = 5*12.5 = 62.5 ton

V1D = 31.25 + ppzap V2D = V1D = 32.5 ton

D = 32.5 t D = 32.5 t

L = 17.17 t L = 20.33 t

L = 6.6 t

M = 6.6*2 = 13.2 t*m

b) Dimensionamiento en planta de cada zapata

b.1) zapata 1

qt < qadm (32.5+17.17)/( B1*B2 ) < 50 t/m2

49.67/(0.75*B22) < 50

B2 = 1.15 m

B1 = 0.86 0.85 m

d.1) zapata 2

qt < qadm (32.5+20.33)/(B1*B2) + M/W < qadm

52.83/(0.75*B42) + 79.2/(0.75*B4

3) < 50

37.5* B43-52.83* B4-79.2=0

5060 LIB B4 = 1.64 m 1.65 m

B3 = 1.23 m 1.25 m

Verificación min > 0

52.83/(0.75*1.652)-79.2/(0.75*1.65

2)= 2.37 t/m

2 O.K.

b.2) Determinación de h1

La zapata 1 se dimensiona su h para cumplir con punzonamiento

B2

-Determinación de qusd

0.2+d

qusd =(1.4D+1.7L)/A

B1 0.2+d = (1.4*32.5+1.7*17.17)/(1.15*0.85)

qusd = 76.41 t/m2 (zapata 1)

- Debe cumplirse por el

punzonamiento que:

Vu Vn

qusd Vu = qusd*(B1*B2-(0.2+d)2

Vn = 0.85*(0.53+1.06/ c)* f‟c c = dim.mayor/dim.menor

en este caso : c = 0.2/0.2= 1 c > 2 c = 2

Vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300

= 15.6 kgf/cm2 = 156 t/m

2

y Vn = 15.6*bo*d donde bo = 2*(0.2+d)+2*(0.2+d)

= 0.8+4*d

Vu Vn d

76.41*(0.85*1.15-(0.2+d)2) 156*(0.8+0.4*d)*d

0.49*(0.98-(0.2+d)2) 0.8*d+4*d

2

0.48-0.49*(0.2+d)2-0.8*d-4*d

2 0

d = 23 25 cm h1 = 30 cm

d.2) Por enunciado se pide dimensionar la zapata 2 para que cumpla con acción de

viga.

U = 0.75*(1.4*D+1.7*L+1.7*W) = 1.05*D+1.275*L+1.275*W

Determinación del diagrama de presiones sobre el suelo.

u

P

A

M

W

105 32 5 1275 20 33

125 165

1275 6 6 2

1

6125 1652

. * . . * .

. * .

. * .

* . * .

= 29.11 29.67 t/m2

umáx

= 58.78 t/m2 1.65 m

umín

= -0.56 0 d = 1.65/2-0.15-d

vu = 1/2*(58.78+ y)* /(B3*d)

h2

vn = 0.85*0.53* 300 = 78 t/m2 B4

58.78 t/m2

y

d y vn

0.30 45.42 0.375 52.10 < 78

0.25 43.64 0.425 69.65 < 78

0.23 42.93 0.445 78.71 78 d = 24 cm h2 = 30 cm

c) Determinación de la armadura principal de la zapata 1

d = 25 cm B1 = 0.85 m B2 = 1.15 m

= As/(B*d)

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

Ru = Mu/( *B*d2) t/m

2

Determinación de Mu : (qusd = 76.41 t/m2)

0.20 m (B2-0.2)/2 = 0.475

0.475 m

Mu = 0.5* B1*0.4752*76.41

B1=0.85m Mu = 7.33 t*m

B2=1.15 m Ru = 153.31 t/m2

76.41 = 0.57*10-2

As = 12.01 cm2 As/B1 = 14.13 cm

2/m de ancho

e) Determinación de la armadura principal de la zapata 2

Determinación de Mu:

0.30m

= B4/2-0.3/2=0.675m

=0.675m

MU1(carga uniforme)=1/2* y*B3*2

B3=1.25m = 0.5*34.73*1.25*0.6752

MU1 = 9.89 t*m

B4=1.65m 34.73

58.78 t/m2 MU2(carga triangular)=R*2/3*

24.05

y = 34.73 t/m2 R = 1/2*24.05*0.675*0.25= 10.15 ton

MU2 = 10.15*2/3*0.675 = 4.57 t*m

MU =MU1+MU2 = 14.46 t*m

d = 0.24 Ru = 223.15 t/m2

= 0.84*10-2

As = 25.06 cm2

As/B3 = 20.05 cm2/m de ancho

2.16.) a) Aplicando conceptos de viga en medio elástico, determine la altura necesaria para

que la de la figura se comporte como un cuerpo rígido en la dirección de las solicitaciones

indicadas en la figura.

b) Determine sólo la armadura a flexión requerida.

Datos : K = 5 kgf/cm3 f‟c = 300 kgf/cm

2

E = 300000 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm

2

Corte AA

Mu=11t*m

Vu=40t 0.2

3.0m 0.3

20*30cm

A A

Desarrollo: 2.0m

a) Determinación de la altura.

L < /4 zapata rígida

= 3

34

*

*

K

E h= (3*5000/3*10

6*h

3)1/4

= 0.266/h3/4

L < /4 0.266*2/h3/4

< /4 h 0.59 m

h = 0.60 m

Verificación :

= (3*5000/3*106*0.91

3)1/4

*2= 0.78

0.78 < /4 = 0.785 O.K.

b) Determinación de la armadura a flexión.

b.1 Determinación del diagrama de presiones bajo la zapata para determinar el

momento en

la sección crítica.

Vutot

= 40+pp = 40+2.4*2*3*0.6 = 40+8.64 = 48.64 ton

M,m = P/A M/W = 48.64/(2*3) 11/(3*22/6)

= 8.11 5.5 t/m2

máx = 13.61 t/m2

mín = 2.61 t/m2

2/2-0.2/2 = 0.9 m

2.61 t/m2 8.66 13.61 t/m

2

b.2) Determinación del momento de diseño Mu

Modelo considerando 1 m de ancho.

0.9 m

M1 = 0.5*8.66*0.92 = 3.51 t*m

M2 = 0.5*4.95*0.92*2/3 = 1.34 t*m

9.4 t/m2 Mu

dis = 4.85 t*m

4.95 t/m2

b.3) Determinación de la armadura.

Ru= Mu/( bd2) = 485/(0.9*200*55

2) = 0.891 kgf/cm

2

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

= 0.85*300/2800* 1-(1-2*0.891/(0.85*300))0.5

= 3.188*10-4

mín = 14.1/fy = 0.00504

= 1.33* cálculo = 0.00041

= retracc. = 0.002

As( =0.00504) = (5.04/1000)*200*55 = 55.44 cm2/m

III

DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO

DE ZAPATAS COMBINADAS

Análisis de zapatas “combinadas”

Por ejemplo zapatas sobre la cual descansan dos o más pilares.

R=V + V V V

c c

L

L/2 L/2

B

h

c.g.

1 2

1 2

21

Para simplificar el problema supondremos sólo cargas verticales.

Zapata rígida ( L /4 0.8 )

( se puede elegir h de modo que se cumpla L /4 ).

En lo posible se trata que R carga sobre el centro de gravedad de la zapata

( para que no haya momento).

Condición de diseño :

a) Resultante R pase por c.g. de la zapata.

b) qt = R/(L*B) qadm

Estas zapatas superficiales en general son infinitamente rígidas con lo que tendremos.

x

a

A B

V /c1 V2 /c2 1

R/L

MA =(R/L)*x /2

MB =(R/L)*x /2-V *(x-a)

2

21

Para calcular Q se procede en forma análoga. Las zonas más solicitadas serán las que

están al borde de los pilares y el centro.

Ejemplo de aplicación (extraído del Bowles)

Trabajaremos con pies y kips (1 kips= 1000 lb 0.5 ton )

L

R

130 kips 200 kips

1.25‟1‟

1.33‟

R

15‟

9.59‟

x

qt qadm = 2 k/ft2

R* x = 200*15 R = 330 kips

x = 9.09‟

Encontramos las dimensiones de la fundación.

L = 2*9.59‟ = 19.2‟

qt = qadm = 2 = 330/(B*19.2) B = 8.59‟ B = 9‟

Se aproxima a B = 9‟ ya que no se ha incluido el peso propio de la zapata que en este

caso es despreciable.

130/1=130 k/ft 200/1.25=160 k/ft

130 k 200 k1‟ 1.25‟

330/19.2=17 k/ft1

13

(10

0)

12

5

(11

0)

53

.5

(65

)

6.6‟

56

.4 k

f

(12

0)

42

2 k

f(3

55

)

40

kf

(12

0)

93

.5 k

f

83

.5 k

f(1

60

)

(13

0)

El mismo problema se podría haber resuelto considerando que la viga no es rígida.

130 k200 k

k =130 k/ft3

19.2‟

Se considera EI = cte.. entre paréntesis (en diagrama de Q y M), los valores obtenidos

con esta modelación.

Si se quiere que la viga sea realmente rígida la altura de 1.33‟ debería ser de 6.5‟ para

que L = /4.

Cuando por motivos de espacio no se puede agrandar (o achicar) la zapata a gusto

para que R pase por el c.g. se recurre a una zapata que en planta tiene forma de trapecio.

Planta

L

L-x‟x‟

a b

c

R=V1+V2V1 V2

E

dif

icio

exis

tente

d

Hay que buscar a y b para que R=V1+V2 pase por el centro de gravedad de la zapata.

R*x‟ = V2*(L-c/2)+V1*d/2 R=V1+V2

x‟ = (V2*(L-c/2)+V1*d/2)/(V1+V2)

x‟ debe coincidir con el c.g. del trapecio.

xcg = (L/3)*((2*a+b)/(a+b)) = x‟

qt = qadm = R/((a+b)*L/2)

Para que se pueda materializar este tipo de zapata.

L/3 < x‟ < L/2 (para trapecio)

si L/3 = x‟ se tendría un triángulo (a=0)

si L/2 = x‟ se tiene un rectángulo (a=b)

si x‟ < L/3 a < 0

=2x‟

L/3 x‟ L/2

Y

X

R

R

R

M

S.F.

R-R eje de rotación

que pasa por C.G.

R

M =R*dR

C.G.

P(x,y)

P‟rígida

Planta

dR

d‟p -

dp+

+

+

+(qt)p = R/ + *dp*k

Fatiga debido al momento

Desplazamiento vertical

del punto P

= M/(k*IRR) = R*dR/(k*IRR)

(qt)p = R/ +R*dR*dp/IRR

Para un punto P‟(d‟p-).

(qt)p‟ = R/ +R*dR*d‟p-/IRR

(qt)p‟ = R/ - R*dR*d‟p/IRR

En general la determinación de IRR puede no ser sencilla. Para analizar este problema

veremos otra metodología.

Hipótesis : Zapata rígida

Cama de resortes con k constante.

Y

X

R

C.G.

rígida

+

+

My =R*ex +

Mx =R*ey +

ey

ex

x, y se eligen paralelos a los

lados de la fundación.

( I ) qt = a*x+b*y+c

fatiga de contacto, ecuación

del plano.

( Fv = 0) R = 0

qtd = a0

xd +b0

yd +c0

d = c0

d

Las 2 primeras son cero porque x,y pasan por C.G..

( Mx-x = 0) Mx = 0

qtyd = a0

xyd +b0

y2d +c

0

yd

( My-y = 0) My = 0

qtxd = a0

x2d +b

0

xyd +c0

xd

Luego de R = c*

Mx = a*Ixy+b*Ix se encuentra a y b,

My = a*Iy+b+Ixy y reemplazando en (I)

qt = R/ + My-Mx*(Ixy/Ix) /(Iy* 1-Ixy2/(Ix*Iy) ) *X

+ Mx-My*(Ixy/Iy) /(Ix* 1-Ixy2/(Ix*Iy) ) *Y

Ecuaciones válidas para zapatas de todas las formas.

Para una zapata cuadrada Ixy = 0 (también para zapata rectangular)

En general X o Y es eje de simetría (ejes principales).

qt = R/ +(My/Iy)*X+(Mx/Ix)*Y

Si se tiene :

y

R

x qt = (My/Iy-y)*X+R/

ex

My=R*ex

/2 /2

3.1.) Determine B1,B2 y h para la zapata combinada. Use método ACI aplicando sección

crítica. Considere sólo acción de viga.

Datos

pp1=60 ton

s/c1=40 ton

pp2=70 ton

s/c2=50 ton

f‟c=250 kgf/cm

adm=30 t/m

2

2

V1

V2

(1) (2) (3) (4)

B1 B2

1.5 m 3 m 1.5 m

d

d

d

d

0.30.4

V1 V2

Desarrollo:

1o) Determinación de xR:

R*xR = 100*1.5+120*4.5 xR = 3.136 m

2o) Determinación de A:

P/A adm A P/ adm=220/30

A = 7.33 m2

3o) L 3xR = 9.41 m

B2 = 2A/L 3xR/L-1 = 1.389 m

B1 = 2A/L-B2 = 1.056 m

Chequeo del área: A = 0.5*(B1+B2)/L = 7.33 m2 O.K.

4o) Determinación de h:

4.1) Diagrama de presiones:

qusd = 1.4*(60+70)+1.7*(40+50) /7.33

= 335/7.33 = 45.68 t/m2

152 ton 183 ton

45.68*1.056 45.68*1.387

48.24 t/m 65.45 t/m

4.2) Diagrama de corte:

0 x 1.5 :

Q(x) = (48.24+q(x))/2 *x = 0.5*(48.24+q(x))*x

q(x) = 48.24+(63.45-48.24)*x/6 = 48.24+2.535*x

Q(x) = 48.24+48.24+2.535*x *x/2

= 48.24*x+1.268*x2

1.5 x 4.5 :

Q(x) = 48.24*x+1.268*x2-152

4.5 x 6 :

Q(x) = 48.24*x+1.268*x2-152-18

= 48.24*x+1.268*x2-335

x 0 1.5- 1.5

+ 4.5

- 4.5

+

Q(x) 0 75.21 -76.79 90.8 -92.24

sección crítica

1.06m

d

planta

75.290.8

76.892.2

+ +

- -

modelo

x

Q(x)x = 4.5

1 2 3 4 5 6

Resistencia al corte nominal : vc = vn = 0.85*0.53* f‟c

(Suponer “beam action”) = 7.12 kgf/cm2

= 71.2 t/m2

Debe cumplirse:

Vu Vn

vubwd vubwd

Del diagrama de corte se concluye que la sección crítica para el corte está a la derecha

del segundo pilar, a una distancia d.

vu = Q(x)/(bwd) x = 4.7+d bw=1.056+(1.389-1.056)*x/6

d 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 m

x 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 m

bw 1.33 1.33 1.34 1.34 1.35 1.36 m

Q(x) -68.2 -62.1 -56 -49.9 -43.7 -37.5 ton

vu -257 -155 -105 -74.2 -54.0 -39.5 t/m2

vu (d=0.52)= 69.5 t/m2 71.2 t/m

2

d=0.52 x = 4.7+0.52 = 5.22

d = 0.52 m h = 0.60 a 0.70 m

Nota 1:

Faltaría chequear el punzonamiento ( two way action), pero por razones de tiempo

para la prueba y, porque en general controla acción de viga se acepta.

Nota 2:

=3

34

*

*

K

E h 0.432 L = 2.6 > /4

3.2.) Determinar B1 , B2 y h para la zapata combinada de la figura .Determinar h por

acción de viga.

Datos: 4 m variable

DL1 = 90 ton P1 P2

LL1 = 80 ton

DL2 = 65 ton 0.4m 0.4m

LL2 = 55 ton

adm = 20 t/m2 h

f‟c = 300 kgf/cm2

-restricción : existe un muro vecino al pilar izquierdo.

Desarrollo :

1º) Determinación de xr :

R*x = (65+55)*4 x = 120*4/(170+120) = 1.655 m

xr = x +0.2 = 1.855 m

2º) Determinación de A :

(P1+P2)/A 20

A (170+120)/20

A 14.5 m2

3º) Determinación de L :

i) L 3*xr = 5.56 m

ii) L > 2* x = 2*1.855 = 3.71 m

iii) L 4.4 m

L = 4.4 m

B1 = 2*A/L-B2 = 2*A/L-2*A/L*(3*xr/L-1)

= 2*A/L* 1-(3*xr/L-1) = 2*A/L* 2-3*xr/L

= 2*14.5/4.4* 2-3*1.855/4.4 = 4.85 m

B2 = 2*A/L* 3*xr/L-1 = 2*14.5/4.4* 3*1.855/4.4-1

= 1.75 m

Usaremos B1 = 4.85 m y B2 = 1.75 m

Chequeo :

A = (4.85+1.75)*4.4/2 = 14.5 m2 O.K.

4º) Diagrama de presiones.

qusd = (1.4*(90+65)+1.7*(80+55))/14.5

= 446.5/14.5 = 30.8 t/m2

0.4*0.4m

B1B2

q1q2

0.4*0.4m

q1 = 30.8*4.85 = 149 t/m

q2 = 30.8*1.75 = 54 t/m

Diagrama de corte:

P=262 ton P=184.5 ton

d

q(x)

x

54 t/m149 t/m

4.4 m

seccióncrítica

173.4

232.63

11.1

29.4

q(x) = 149-(149-54)*x/4.4

= 149-21.59*x

q(x=0.2)= 144.68 t/m

q(x=4.2)= 58.32 t/m

Qu(x) = (149+q(x))*x/2 (corte útil, cargas mayoradas)

Q(x=0.2)= (149+144.68)*0.2/2 = 29.37 (-232.63)

Q(x=4.2)= (149+58.32)*4.2/2-262 = 173.37 (-11.13)

Q(x=4.4)= (149+54)*4.4/2-262-184.5 = 0

b(x) = 4.85-(4.85-1.75)*x/4.4 = 4.85-0.7045*x

vu = Qu(x)/(b(x)*d)

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

d*vu(x) -42.88 -40.5 -37.9 -35.3 -32.6 -29.9 62.4 69.4 76.9 84.7 93.0 101.8 111.2

x 3.8 3.9 4.0

d*vu(x) 121.1 131.8 143.1 t/m

Qu(x)= (149+149-21.59*x)*x/2-262

vu(x)= (149-10.795)*x/(4.85-0.7045*x)

La sección crítica se produce a x=0.4+d, a la derecha del pilar izquierdo.

Determinación de la altura h :

vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 300

= 7.8 kgf/cm2

Determinación de Vu:

Vu Vn vu vn

Tanteos:

d = 0.5 m

q(x=0.4+0.5) = 129.6 t/m

Q(x=0.9)=262-0.5*(149+129.6)*0.9

= 262-125.36 = 136.6 ton = Vu

Vn = Bd*d* vn

Bd = b(x) = 4.216 m

d = 0.5 m

vn = 78 t/m2 Vn = 4.216*0.5*78 = 164.4 ton > Vu O.K.

d = 0.5 m y h = 0.6 m

Si chequeamos la columna de la izquierda, claramente se aprecia que controla este

sector.

d 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (m)

vu(x) 186 141.2 109.9 86.8 69.3 (t/m2)

vn < 78 (t/m2)

d = 0.9 m

b(x=3.1) = 4.85-0.7045*3.1 = 2.66 m

Vn = 2.66*0.9*78 = 186.7 ton

Vu = 2.66*0.9*69.3 = 165.9 ton

d = 0.9 y h = 1.0 m

3.3.) Para las solicitaciones señaladas diseñe la zapata combinada según ACI 318.

4.9 m

0.4 m0.35 m

DL=63.5ton

LL=41.0ton

DL=85.1ton

LL=50.0ton

Datos :

f‟c = 210 kgf/cm

fy= 4200 kgf/cm

qadm = 17 t/m

fundación rígida

2

2

2

Desarrollo :

1º) Determinación de las dimensiones de la fundación (L y B)

i) El centro de gravedad del área en contacto con el suelo, debe coincidir con la

línea de acción de la resultante.

R* x = (81.5+50)*4.9

R = 63.5+41+81.5+50 = 236 ton

x = (81.5+50)*4.9/236 = 2.73 m

L = (2.73+0.32/2)*2 = 5.81 m 5.8 m

P/A = qadm P = 236 ton

236/(B*5.8) = 17 B = 2.39 m 2.4 m

2º) Determinación de qusd del suelo :

qusd = Pult/A

Pult = 1.4*(63.5+81.5)+1.7*(41+50)= 203+155 = 358 ton

entonces:

qusd = 358/(5.8*2.4) = 25.7 t/m2

3º) Diagramas de fuerzas de corte y de momentos.

158.6 194.1

q1 q2q3

x x‟

q1 = (1.4*63.5+1.7*41)/0.35=453.1 t/m

q2 = (1.4*81.5+1.7*50)/0.4=498 t/m

q3 = 358/5.8 = 61.7 t/m (ancho=2.4m)

(qusd*B=25.7*2.4=61.7 t/m)

0 < x < 0.35 m

q(0 < x < 0.35)= 61.7-453.1 = -391.4 ton/m (V= qdx )

V(x=0.35)= -391.4*0.35 = -137.0 ton

M(x=0.35)= -0.5*q*x2 = -0.5*391.4*0.35

2 = -23.97 t*m

0.35< x < 4.875 m

q = q3= 61.7 t/m

V(x) = 61.7*x-158.6

chequeo: V(x=0.35)=61.7*0.5-158.6 = -137.01 O.K.

M = Vdx = 0.5*61.7*x2-158.6*(x-0.35/2)

( x varía entre 0.35 y 4.875 m)

x V(x) M(x) x V(x) M(x) (m) (ton) (t*m) (m) (ton) (t*m) 0 0 0 2.7 7.99 -175.6

0.35 -137.0 -24.0 3.0 26.5 -170.4

0.50 -127.8 -43.8 3.5 57.4 -149.4

1.0 -96.9 -100.0 4.0 88.2 -113.05

1.5 -66.1 -140.7 4.5 119.1 -61.2

2.0 -35. -166.05 4.875 142.2 -12.3

2.5 -4.4 -175.9 5.275 32.39 8.5

2.6 1.82 -176.06

Chequeo:

0 < x‟ < (4.9+0.35/2+0.2)-5.8 = 0.505 m

V(x= 0.525) = q3dx = -61.7*0.525 = -32.39 ton

M(x= 0.525) =q*x2/2 = 8.5 t*m

0.525 < x‟ < 0.525+0.4= 0.925 m

q = 61.7-498 = -463.3 t/m

V(x=0.925)= -32.39+463.3*0.4 = 142.1 ton

M(x=0.925)= 61.7*x2/2-498*(-498*0.4*0.4/2)

= 26.4-39.84 = -13.4 t*m

142.2 ton

139 ton

176.1t*m

32.2ton

8.8t*m

Mmáx= M(x=2.6)= -176.1 t*m

Mmáx= 0.5*(5.81-4.9-(0.4+0.35)*61.7 /2)

= 8.83 t*m

+

-

2

4º) Determinación de la altura de la fundación.

vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 210

= 6.53 kgf/cm2 = 65.3 t/m

2

Vu = 142.2-61.7*d

Vn = B*d* *vn = 2.4*d*65.3 = 156.7*d

Vu Vn 142.2-61.7*d = 156.7*d

d = 0.65 m

luego h = 0.75 m

Chequeo de tensiones diagonales (Punzonamiento)

vn = 1.06* * f‟c = 13.06 kgf/cm2 = 130.6 t/m

2

0.35m 0.4m 0.525m

0.35+0.65/2

= 0.675 m

0.35+0.65

= 1 m

0.4+0.65

=1.05m

1 2

Para la columna 1, el perímetro de corte es :

bo1 = 1+0.675*2 = 2.35 m

La fuerza resistente :

Vn = vn*bo1*d = 130.6*2.35*0.65 = 199.5 ton

Vu = 158.6-A*qusd = 158.6-0.675*25.7 = 141.2 ton O.K.

Para la columna 2, el perímetro de corte es:

bo2 = 1.05*4 = 4.2 m

La fuerza resistente :

Vn = vn*bo2*d = 130.6*4.2*0.65 = 365.5 ton

Vu = 199.1-1.052*25.7 = 170.8 ton O.K.

Tratemos de aclarar 199.1ton

h/L = 0.75/4.9 < 4/5

no es un componente h

a flexión alto

máx F=356.5 ton qusd=27.5

5º) Determinación del área de acero requerida.

a) Para momento negativo:

M-u(máx) = -176.1 t*m para un ancho de 2m.

Mu/( *fy) = As*(d-a/2)

a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As

176.1*105/(0.9*3500) = As*(65-0.04085*As)

5590.5 = 65*As-0.04085As2

As = 1500 ¡NO!

As = 91.2 cm2

Ru = Mu/( *b*d2) = 176.1/(0.9*2.4*0.65

2) = 193.0 t/m

2

085 1 1 2 085. *'

* * / ( . * ' )f c

fyRu f c

= 0.85*210/3500* 1-(1-2*193/(0.85*2100))0.5

= 5.85*10-3

= As/(b*d) As = 5.85*10-3

*240*65 = 91.3 cm2

mín = 0.002 (7.12.2)

0.00585 > mín O.K.

Usar 19 25 = 93.3 cm2 > 91.3 cm

2

Anclaje:

d( 25) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*4.9*3500/ 210 = 71.1 cm

se produce aproximadamente al centro del tramo O.K.

b) Para momento positivo:

M+

u(máx) = 8.8 t*m

Ru = Mu/( *b*d2) = 8.8/(0.9*2.4*0.65

2) = 9.64 t/m

2

= 0.85*210/3500* 1-(1-2*9.64/(0.85*2100))0.5

= 2.76*10-4

< mín = 0.002

mín = As/(b*d) As = 0.002*240*65 = 31.2 cm2

Usar 13 18 = 33.02 cm2

Anclaje:

d( 18) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*2.54*3500/ 210

= 36.9 cm < 52.5 O.K.

d mín = 30 cm (12.2.5)

c) Diseño de la armadura transversal :

qusd= 25.7 t/m2 por 1 m de ancho q= 25.7 t/m

d = 65-1.8/2-1 63 cm

Longitud en voladizo : L = (2.4-0.35)/2 = 1.025 m

M = qL2/2 = 25.7*1.025

2/2 = 13.5 t*m/m

Mu/( *fy) = As*(d-a/2)

a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As

13.5*105/(0.9*3500) = As*(63-0.04085*As)

428.6 = 63*As-0.04085As2

As = 1535 ¡NO!

As = 6.83 cm2

= As/(b*d) = 6.83/(100*63) = 1.08*10-3

< 0.002

Asmín = 0.002*100*63 = 12.6 cm2/m

Usar 5 18 = 12.7 cm2 (arriba y abajo)

4.9 m 0.725m

0.35m 0.4m

0.525m

5.8 m

0.75m

18@20

18@20

19 25

18

93.3cm2

33.3cm2

12.6 cm /m2

12.6 cm /m2

3.4.) Dimensione la zapata trapezoidal considerando :

qadm(suelo)= 20 t/m2

f‟c= 300 kgf/cm2

5.6m=0.6m =0.4m

pp=115 ton

sc= 91 ton

pp=82 ton

sc= 63 ton

h

Determine h para acción de viga (elija un pilar para definir la sección crítica)

Desarrollo :

1º) Posición de la resultante :

R*x= (82+63)*6.1

x = (82+63)*6.1/(82+63+115+91) = 2.52 m

xr = 2.52+0.3 = 2.82 m

El centro de gravedad está desplazado hacia la izquierda, luego ese lado será el más

ancho.

2º) El área del trapecio el tal que :

(206+145)/A = 20 t/m2

A = 17.55 m2

B2 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*17.55/6.6*(3*2.82/6.6-1)

B2 = 1.5 m

B1 = 2*A/L-B2 = 2*17.55/6.6-1.5 = 3.82 m 3.85 m

B1 = 3.85 m en que B1 es el lado derecho.

Determinación de qusd :

qusd = Pult/A = (1.4*(115+82)+1.7*(91+63))/((1.5+3.85)*6.6/2)

= (275.8+261.8)/17.655 = 537.6/17.655

qusd = 30.45 t/m2

315.7 221.9

q1 = 30.45*3.85 = 117.2 t/m

q2 = 30.45*1.5 = 45.7 t/m

q3 = 113.95 t/m q4 = 47.87 t/m q1 q3 q4 q2

q = 117.2-(117.2-45.7)*x/6.6

Diagrama de corte (suponiendo una variación lineal)

34.67 ton 212.5 ton

x‟ x”

-247 -9.38

-281 ton

Mejor sacar el diagrama de corte en función de x para obtener Q(x=d)

0.6/2 < x < 6.6-0.2

Q(x‟) = (117.2+117.94)*0.3/2-315.7+(113.95+(113.95-10.83*x‟))*x‟/2

= -281+(227.9-10.83*x‟)*x‟/2

= -281+113.95*x‟-5.42*x‟2

x‟ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6.1

Q(x‟) -281 -225 -172 -122 -74.8 -30 12.1 51.4 88.1 122 153 182 212

Determinación de h para acción de viga en el pilar izquierdo.

vn = *0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm2

Vu(x‟=0.3+d)= -281+113.95*(0.3+d)-5.42*(0.3+d)2

= -247+113.95*d-5.42*(0.3+d)2

d Vu B vu

0.5 -193.3 3.46 -111.79 > 78

0.7 -172.5 3.39 -72.7 < 78

0.65 -177.6 3.41 -80.3 > 78

vu = Vu/(B*d) B(x) = 3.85-(3.85-1.5)*x/6.6

= 3.85-0.356*x

x‟ = x-0.3

x = 0.6+d

usar d = 0.7 m y h = d+0.05 = 0.75 m

Determinación de la sección crítica para el pilar izquierdo.

Q(x‟) = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2

Vu(x‟=6.1-(0.2+d))= -281+113.95*(5.9-d)-5.42*(5.9-d)2

d Vu B vu vn

0.5 176.3 1.82 193.7 78

0.6 170.7 1.86 153.3 78

0.9 153.3 1.96 86.7 78

0.95 150.2 1.98 79.8 78

0.96 149.6 1.984 78.5 78

vu = Vu/(B*d) B(x”) = 1.5-(3.85-1.5)*x”/6.6

= 1.5-0.356*x”

x = 0.4+d

d = 0.95 m y h = 1.00 m

3.5.) Determine las dimensiones de la zapata de la figura para las condiciones indicadas:

1º) Existe un muro vecino al pilar izquierdo. 5m 1.15m

2º) DL1= 130 ton, LL1= 110 ton

DL2= 60 ton, LL2= 50 ton 50cm

30cm

3º) adm(suelo)= 3 kgf/cm3

4º) Ambos pilares son cuadrados.

Desarrollo :

1º) Determinación de xr :

x = 110*6/R = 110*6/(240+110) = 1.886 m

xr = x+0.5/2 = 1.886+0.25 = 2.136 m

2º) Determinación de A :

adm P/A

A P/ adm = (240+110)/30

A 11.67 m2

3º) Determinación de B1 y B2 :

B1 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*11.67/6.4*(3*2.136/6.4-1) = 0.0046 0

B2 = 2*A/L-B1 = 2*11.67/6.4-0 = 3.65 m

asumimos B1 = 0.5 m

3.6.) Para la fundación combinada de la figura se pide: R=170 ton

a) Dimensionar la fundación : B, L 60 ton 110 ton

b) Diagrama de corte. 3.24m

c) Diagrama de momento. 30cm

50cm

qadm = 2.5 kgf/cm2

Nota: h es tal que la fundación es rígida. h

5m

Desarrollo :

1º) Determinación de L :

R* x = 110*5 R = 170 ton

x = 3.24 m

Para que R actúe en el centro de gravedad de la zapata :

L = (3.24+0.15)*2 = 6.77 m

2º) Determinación de B :

R/A qadm

170/(B*L) 25 t/m2 170/(25*L) B

B 1.0 m se adopta este valor

La viga queda sometida a las siguientes solicitaciones.

q = 25 t/m

60/0.3=200 t/m 110/0. 5=220 t/m

6.77m

0 0.3 4.9 5.4 6.77

x

Diagrama de corte :

62.5

34.2552.5

Q(x) 0 -5.25 62.5 -35

x 0 0.3 4.9 5.4

Q(x) = q1(x)-q2(x) (0 < x < 0.3 )

Q(x) = 52.5-25*x ( 0.3 < x < 4.9 )

Q(x) = 62.5-(220-25)*0.5 ( 4.9 < x < 5.4 )

Q(x) = 40-25*x ( 5.4 < x < 6.77 )

Diagrama de momento :

0 < x < 0.3

M(x) = -(200-25)x2/2 = -175*x

2/2 x M(x)

0.1 0.875

0.2 3.50

0.3 7.90

0.3 < x < 4.9

M(x) = -200*0.3*(x-0.15)+25*x2/2

x 0.3 0.5 1 2 3 4 4.9

M(x) -7.875 -17.875 -38.5 -61 -58.5 -31 15.185

Partiendo por el otro extremo:

0 < x1 < (6.77-5.4)=1.37

M(x1) = 25*x2/2

x1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.37

M(x1) 0.5 2 4.5 8 12.5 18 23.5

0.37 < x1 < 1.87

M(x1)=23.5-(220-25)*x12/2 = 23.5-97.5*x

2 (0 < x <0.5)

Mmáx= - 65 t*m

Mmáx= 23.5 t*m+

-

3.7.) Para la fundación combinada (fundación ligada) de la figura se pide:

2.5m0.4

0.6

0.4

0.4

0.6m 4.0m 1.6m

med

ianer

o

5ton 15ton

20t*m10t*m

54ton 90ton

0.6m1.5m2.0m

6.2m

Datos del suelo:

= 20

c = 0

= 1.7 t/m

Materiales:

Hormigón H25 f‟c=250 kgf/cm

Acero A44-28H fy=2400 kgf/cm columna A columna B

3

2

2

a) Determinar el factor de seguridad por capacidad de soporte de la fundación.

b) Diseñar la zapata a flexión (No se pide armarla al corte) y dibujar un esquema claro

de las armaduras a colocar por flexión.

Nota: - Cargas verticales son debidas a carga muerta (D).

- Momento y fuerzas horizontales son debido a sismo (E).

- Diseñar la fundación para el estado de carga U=1.05D+1.4E.

- Recubrimiento de armaduras 5 cm.

- No considerar peso propio de fundaciones.

Desarrollo:

a)

R1*X1=90*4+42.5+17.5 = 420R1=144 ton

X1= 2.92 m

R2*X2=90*4-42.5-17.5 = 300R2=144 ton

X2= 2.92 m

54

54

90

90

17.5

17.5 42.5

42.5

R1

R2

X1

X2

144ton

144ton

60t*m

60t*m

20ton

20ton

3.10 3.10

4.0

Ecuación de Hansen:(para este caso)

qult = qNqSqdqiq+0.5 BN S d i

reemplazar B por B‟ = B-2e e=M/V=60/144=0.417 m

B‟=6.2-2*0.417 = 5.37 m

q = *D = 1.7*2.0 = 3.4 t/m2 , L = L‟ = 2.5 m

= 20o Nc = 14.83 Nq = 6.4 N = 2.9

Nq/Nc = 0.43 2*tg *(1-sen )2 = 0.315

Factores de forma:

Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(5.37/2.5)*tg20 = 1.78

S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*5.37/2.5 = 0.141

Factores de profundidad:

dq = 1+2*tg *(1-sen )2*D/B = 1+0.315*2.0/6.2= 1.102

d = 1

Factores de inclinación:

iq = (1-0.5H/(V+Af*c*cotg ))5

c = 0 iq = (1-0.5H/V)5 = (1-0.5*20/144)

5 = 0.698

i = (1-0.7H/(V+Af*c*cotg ))5 = (1-0.7*20/144)

5 = 0.60

Luego

qult = 3.4*6.4*1.78*1.102*0.698+0.5*1.7*5.37*2.9*0.141*1*0.6

= 29.79+1.12 = 30.91 t/m2

Vult = qult*A‟ = qult*B‟*L‟ = 30.91*5.37*2.5 = 414.97 ton

F.S. = Vult/V = 414.97/144 = 2.88

luego el factor de seguridad por capacidad de soporte es 2.88

b) Diseño de la armadura

b.1.Estado de carga:

Columna A Columna B

1.05*54 = 56.7 ton 1.05*90 = 94.5 ton

1.40*10 = 14 t*m 1.40*20 = 28 t*m

1.40*5 = 7.0 ton 1.40*15 = 21 ton

R1*X1= 94.5*4+28+21*1.5+14+7*1.5 = 462

X1 = 462/(56.7+94.5) = 3.06 m

e1 = (94.5*1.5-56.7*2.5+24.5+59.5)/(56.7+94.5) = 0.56 m

R2*X2= 94.5*4-28-21*1.5-14-7*1.5 = 294

X2 = 294/(56.7+94.5) = 1.94 m

e2 = 0.56 m

b.2.Presión en el suelo:

151.2 ton

84.67 t*m

28 ton

M=151.2*0.56 = 84.67 t*m

q = R/LB*(1±6e/L)

e= 84.67/151.2= 0.56 < L/6

trapecio

qmáx = 151.2/(6.2*2.5)*(1+6*0.56/6.2) = 15.04 t/m2

qmín = 151.2/(6.2*2.5)*(1-6*0.56/6.2) = 4.47 t/m2

b.3. Datos del hormigón y el acero:

Factores de reducción de la capacidad : = 0.90 (flexión) , = 0.85 (corte)

f‟c= 250 kgf/cm2 fy= 2800 kgf/cm

2

máx = 0.75 b b = 0.85 1f‟c/fy*6000/(6000+fy)

= 0.85*0.85*250/2800*6000/8800

b = 0.04398

máx = 0.03299

mín = 14.4/2800 = 0.005 contracción = 0.002

b.4. Lecho inferior:

d = 0.06Abfy/ f‟c = 0.06*2800*Ab/(250)0.5

= 10.63*Ab

dmín 0.006fydb = 0.026*2800*db = 16.8*db

Lecho superior:

d = 1.4*10.63Ab = 14.88*Ab

dmín 1.4*16.8*db = 23.52*db

b.5. Diagrama de momentos:

Sismo izquierda a derecha

2.5m

a

a b c

c

d

d

e

eb

0.6m 1.6m4.0m

1.05m

0.4 0.4 0.6 1.33.5

24.5t*m 59.5t*m

141.75t 236.25t

MA=14+7*1.5=24.5 t*m

qA=56.7/0.4=141.75 t/m

MB=28+21*1.5=59.5 t*m

qB=94.5/0.6=236.25 t/m

(37.6-11.18)/6.2=Y/X

Y=4.26*X

q= 11.18+4.26*X37.6

11.1832.0529.5

14.59

12.88

15.04*2.5=37.6 t/m

x

0.8 x 4.30

M(x) = 24.5-56.7*(x-0.6)+11.18*x2/2+4.26*x

3/6

= 0.71*x3+5.59*x

2-56.7*x+58.52

dM(x)/dx = 2.13*x2+11.18*x-56.7 = 0

x= (-11.18 (11.182+4*2.13*56.7)

0.5)/4.26 = (-11.18 24.66)/4.26

x1 = 3.164 m y x2 = (-)

M(x=3.164) = 24.5-145.38+55.96+22.49 = -42.43 t*m

Mc-c = -42.43 t*m

Ma-a = 11.18*0.4*0.2+0.34*0.4/3 = 0.94 t*m

Mb-b = 11.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8/6+24.5-56.7*0.2

= 3.58+0.364+24.5-11.34 = 17.1 t*m

Md-d = 29.5*1.9*1.9/2-59.5-94.5*0.3

= 53.25-59.5-28.35= -34.6 t*m

Me-e = 5.55*1.3*1.3/3+32.05*1.3*0.65= 30.21 t*m

++

_

42.43

t*m

34.6t*m

30.21

t*m

17.1t*m

0.94

t*m

Sismo derecha a izquierda:

a b c d e

0.4 0.4 0.6 1.33.5

24.5t*m 59.5t*m

141.75t 236.25t

(37.6-11.18)/6.2=Y/X

Y=4.26*X

q= 11.18+4.26*X37.6

11.18

35.89

34.1819.27 16.72

x

Ma-a = 35.89*0.4*0.2+0.71*0.4*0.4*2/3 = 2.87+0.18 = 3.05 t*m

Mb-b = 34.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8*2/3-24.5-56.7*0.2 = -23.44 t*m

Md-d = 29.5*1.9*1.9/2+8.09*1.9*1.9/6 = 25.05 t*m

Me-e = 11.18*1.3*1.3/3+5.54*1.3*1.3/6 = 11.00 t*m

Mc-c = -24.5-56.7*(x-0.6)+(11.18+4.26*x)*x2/2+(26.42-4.26*x)*x

2*2/3

= -24.5-56.7*x+34.02+5.59*x2+2.13*x

3+17.61*x

2-2.84*x

3

= -0.71*x3+23.2*x

2-56.7*x+9.52

dM(x)/dx = -2.13*x2+46.4*x-56.7 =0

x = (-46.4 (46.42-4*2.13*56.7))/-4.26 = (-46.4 40.86)/-4.26

x1 = 1.3 m y x2 = 20.5 m (NO)

Mc-c = -0.71*1.33+23.2*1.3

2-56.7*1.3+9.52 = -26.54 t*m

Por lo tanto los momentos de diseño son:

Ma-a = 3.05 t*m

Mb-b = -23.44 t*m y 17.10 t*m

M(b-d) = -42.43 t*m

Md-d = 34.6 t*m y 25.05 t*m

Me-e = 30.21 t*m

b.6. Armadura a flexión

- Armadura longitudinal:

i) Barras del lecho superior entre b y d

Mu = -42.43 t*m

Mu/( f‟cbd2) = 42430/(0.9*250*2.5*55

2) = 0.0244 = 0.025

= f‟c/fy = 0.00223 < máx

< mín poner mín = 1.33 = 0.002966 > contracción

As = bd = 40.78 cm2

No de barras de 16 = 40.78/2.01 = 20.29 20 barras

Espaciamiento = (250-10)/19 = 12.6 a 12 cm

Luego 16 @ 12 ( 20 barra 16 )

ii) Mu= -34.6 t*m (d-d) (barras lecho superior)

= 34600/(0.9*250*2.5*552) =0.0203 = 0.02

= 0.001786 < máx


As = bd = 32.7 cm2


iii) Mu= -23.44 t*m (b-b) (barras lecho superior)

= 23440/(0.9*250*2.5*552) =0.0138 = 0.014

= 0.00125 < máx

< mín mín = 1.33 = 0.00166 < contracción

poner contracción As = 27.5 cm2


Barras en lecho inferior

i) en e-e Mu = 30.21 t*m

Mu/( f‟cbd2) = 30210/(0.9*250*2.5*55

2) = 0.01775 = 0.018

= 0.0016 < máx


As = bd = 29.26 cm2


ii) en d-d Mu = 25.05 t*m

Mu/( f‟cbd2) = 25050/(0.9*250*2.5*55

2) = 0.0147 = 0.015

= 0.00134 < máx

< mín poner mín = 1.33 = 0.00178 < contracción

colocar contracción = 0.002 As = 27.5 cm2

No de barras de 16 = 14 barras

iii) en b-b y a-a colocar contracción 14 barras 16

Colocación de barras longitudinales

1 barras 16

20 barras 16

15 barras 16

17 barras 1614 barras 16

14 barras 16

14 barras 16

14 barras 16

3 barras 16

3 barras 16

Detalle de F‟

Detalle de F

F‟

F

- Armadura transversal

Mu = ((qmáx+qmín)/2)*6.2*1.05*1.05/2

= (15.04+4.47)*0.5*6.2*1.052*0.5= 33.34 t*m

Este momento total se debe tomar con un ancho

b = 2*B = 2*250=500cm = 5 m

Mu/( f‟cbd2) = 33340/(0.9*250*2.5*50

2) = 0.01185 = 0.012

= 0.00107 < máx

< mín mín = 1.33 = 0.00142 < contracción

colocar contracción = 0.002

As(bajo columnas) = 0.002*2*B*50 = 50 cm2

en columna izquierda : Pizq*As/Pt = 56.7*50/151.2 = 18.75 cm2 10 16

en columna izquierda : Pder*As/Pt = 94.5*50/151.2 = 31.25 cm2 16 16

En la zona central tomar Mu = 20% Mu longitudinal

= 0.20*42.43 = 8.49 t*m

mín = 0.002 As = 0.002*50*(6.2-5) = 12 cm2 (6 16)

Distribución de la armadura transversal

10 16

2.5m 2.5m1.2m

16 166 16

16 @2516 @25 16 @15

3.8.) Una estructura industrial se cimenta en un emparrillado indicado en la figura, en la que

se indican las cargas de las cuatro columnas, se pide:

a) Calcular las presiones sobre el terreno (sin contar las debidas al peso del propio del

cimiento), suponiendo que las vigas de cimentación son rígidas y la estructura también.

b) Armar la viga de cimentación del eje .

Considerar hormigón H25, acero A44-28H.

Factor de amplificación de las cargas considerar igual a 1.0.

Recubrimiento 5 cm.

65ton

65ton100ton

100ton

6 m

6 m

1 m

1 m

A B

Nota:Todas las columnas son

de 50*50 cm.

En la parte b) se pide sólo

armar a flexión para el momento

máximo que existe. Considerar

altura total igual a 6 cm.

Despreciar pequeños volados

en dicha viga de cimentación.

Desarrollo:

65ton

65ton100ton

100ton

6 m

6 m

1 m

1 m

1 2

3 4

Y

X

Condición:

N1X+N1Y = 65 ton 1X = 1Y

N2X+N2Y = 100 ton 2X = 2Y

N3X+N3Y = 100 ton 3X = 3Y

N4X+N4Y = 65 ton 4X = 4Y

Por simetría :

1X = 4X N1X = N4X

1Y = 4Y N1Y = N4Y

2X = 3X N2X = N3X

2Y = 3Y N2Y = N3Y

En la viga 1-2

eX R1-2

XG1-2 = 6N2X/(N1X+N2X) = 3.64 N1X N2X

ex = XG1-2 -3 = 0.64

6.0m

ex = 6N2X/(N1X+N2X) -3 XG1-2

= 3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)

Con luz L y ancho b, las tensiones , vienen dadas por:

Xi

Xi = NiX/BL 1+12e/L2(xi-L/2)

Xi 1X = ((N1X+N2X)/6)*(1-6e/L) L=6 m

= ((N1X+N2X)/6)*(1-ex)

L

1-ex = 1-3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)

= (4N1X-2N2X)/(N1X+N2X)

1X = (4N1X-2N2X)/6 1X = 0.67N1X-0.33N2X (1)

2X = ((N1X+N2X)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1X+N2X)/6)*(1+ex)

1+ex = 1+3(N2X-N1X)/(N1X+N2X)

= (4N2X-2N1X)/(N1X+N2X)

2X = (4N2X-2N1X)/6 2X = 0.67N2X-0.33N1X (2)

En la viga 1-3

eY R1-3

YG1-2 = 6N3Y/(N1Y+N3Y) = 3.64 N1Y N3Y

ey = YG1-3-3 = 0.64

6.0m

ey = 6N3Y/(N1Y+N3Y)-3 YG1-3

= 3(N3Y-N1Y)/(N1Y+N3Y)

por simetría: N3Y = N2Y

ey = 3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)

1Y = ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-6e/L)

= ((N1Y+N2Y)/6)*(1-ey)

1-ey = 1-3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)

= (4N1Y-2N2Y)/(N1Y+N2Y)

1Y = (4N1Y-2N2Y)/6 1Y = 0.67N1Y-0.33N2Y (3)

2Y = ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L2(L-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1+ey)

1+ey = 1+3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y)

= (4N2Y-2N1Y)/(N1Y+N2Y)

2Y = (4N2Y-2N1Y)/6 2Y = 3Y = 0.67N2Y-0.33N1Y (4)

1X = 1Y 0.67N1X-0.33N2X = 0.67N1Y-0.33N2Y

2X = 2Y 0.67N2X-0.33N1X = 0.67N2Y-0.33N1Y

N1X+N1Y = 65

N2X+N2Y = 100

N1X = 32.5 ton N2X = 50 ton

N1Y = 32.5 ton N2Y = 50 ton

1X = 1Y = 5.28 t/m2 2X = 2Y = 22.78 t/m

2

Luego:

1 = 4 = 5.28 t/m2 2 = 3 = 22.78 t/m

2

Por simetría la tensión bajo la columna 4 es igual a la de la columna 1 y la de

la columna 3 es igual a la de la 2.

35.2ton M(z) 50ton (de acuerdo a simplificaciones del

V enunciado del problema)

VIGA 1-2 EJE1 0.60m

6.0m

5.28 t/m Z 22.78 t/m (22.78-5.28)/6=y/z

y=2.92z

z Z = 2.92z+5.28

M(z) = 5.28*z2/2+0.5*2.92*z

3/3-32.5*z = 2.64*z

2+0.49*z

3-32.5*z

dM(z)/dz = 5.28*x+1.47*z2-32.5 = 0

z = (-5.28 (5.282+4*1.47*32.5)

1/2)/(2*1.47) = (-5.28 14.8)/2.94

z = 3.24 m

Mmáx = 2.64*3.242+0.49*3.24

3-32.5*3.24

= 27.71+16.67-105.3 = -60.92 t*m

f‟c = 250 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm

2 f = 1.0 (amplif.carga)

d = 60-5 = 55 cm Mu = -60.92 t*m

Mu/( f‟cbd2) = 60920/(0.9*250*1.0*55

2) = 0.0895 = 0.095

= f‟c/fy = 0.095*250/2800=0.00848 > mín

mín = 14.1/fy = 0.005

máx = 0.75 b b = 0.85 (f‟c/fy)(6000/(6000+fy))

= 0.852*(250/2800)*6000/8800

b = 0.044 máx = 0.033

< máx usar = 0.00848 = As/(bd)

As = 0.00848*100*55= 46.64 cm2

No de barras( 25) = 46.64/4.91 = 9.5 10 barras

Espaciamiento = (100-10)/9 = 10 cm

10 barras 25 o 25 @ 10 cm ubicadas en lecho superior.

3.9.) Dimensione la zapata y diseñe su armadura para las condiciones señaladas.

qadm = 17 ton/m2 (suelo) ( considere zapata rectangular )

f‟c = 200 kgf/cm2 f‟c = 4200 kgf/cm

2

pp = 65 ton pp = 80 ton

sc = 40 ton sc = 50 ton

5 m

35 cm 40 cm

h

NOTAS

1) Determine h considerando acción de viga solamente

2) Considere min (A63-42) = 1.8 por mil

Considere max = 0.75* b

3) No verifique longitudes de desarrollo, de traslapo, ni anclaje.

Desarrollo:

1o) Dimensionamiento (L,B,h)

- Determinación de L

Condición:el c.g. del área en contacto (B*L) coincide con la posición de la resultante.

Ma fuerzas no mayoradas = 0

R*x = (80+50)*5 y R = (65+40)+(80+50)

luego

x = 2.77 m L =(35/2+277)*2 = 589 cm

L = 590 cm

x

cg B L = 2*xR

xR

L

- Determinación de B

Condición: no se puede superar qadm del suelo

c qadm

(65+40)+(80+50)/(B*L) 17 ton/m2 235 ton/(B*5.9 m

2) 17 ton/m

2

luego B 2.34 m entonces B = 235 cm

- Determinación de h

Condición: usar cargas mayoradas y determinar diagrama de corte para diferentes

secciones críticas.

qusd14 65 80 17 40 50

2 35 590

. *( ) . *( )

. * . ton/m

2

= 25.68 ton/m2

Diagrama de corte:

V1 = 1.4*65+1.7*40 = 159 ton

V2 = 1.4*80+1.7*50 = 197 ton

q = 25.68 ton/m2*2.35m =60.35 ton/m

159 ton 197 ton

60.35 t/m

x x` x‟‟

153 ton

10.6 ton (+)

4.4 ton

148 ton (-)

Q(x=0.175) = 10.56 y (-148)

Q(x=5.175) = 10.56-159+60.35*5

= 153.3 y (-43.7)

Q(x=5.9) = 153.3-197+60.35*0.725

= 0.065 0 O.K.

Por simple inspección se puede considerar una sección crítica a la izquierda del pilar

derecho ( a “d” metros )

Q(x‟) = 153-(153+148)*x‟/5 = 153-60.2*x‟

Sección crítica:

x‟=0.4/2+d = 0.2+d

Vu = Q(x‟)/B*d =(153-60.2*(0.2+d))/(2.35*d)

Vn = 0.53* f‟c = 63.7 ton/m2

Vu = Vn 209.9*d 140.96

d 0.67 m d = 67 cm

Verificación de la sección crítica derecha del pilar izquierdo.

x‟ = 5-0.35/2-0.67 = 4.16 m

Q(x‟= 4.16) = -97 ton

Q(x‟= 0.87) = 100.6 ton

100.6 97

es correcto la sección crítica tomarla a la izquierda del pilar derecho,

luego: h= 75 cm

- Determinación de la armadura.

Hay que determinar la armadura superior , inferior y transversal.

Diagrama de momentos:

M(x) = 0.5*60.44*x2 (x 0.175 m)

M(x) = 0.5*60.44*x2-159*(x-0.175) (x 5.175 m)

M(x) = 0.5*60.44*(x‟‟)2

x (m) M(x) (t*m)

0.175 0.926 ¡Para que el diagrama de momentos cierre

0.50 -44.12 hay que trabajar con las dimensiones exactas!

1 -101.0

1.5 -142.7

2 -169.3

2.5 -180.8

3 -177.2

3.5 -158.5

4 -124.7

4.5 - 75.7

5.175 15.65 M+max = 15.7 t*m

5.5 4.8 M-max = 181 t*m

Momento para calcular la armadura transversal

35 100

Asmin=1.8/1000*100*67

= 12.1 cm2/m

h = 75 cm B=2.35 m

d = 67 cm

q=qusd*1m

25.68 t/m

M = 0.5*25.68t/m*1.02m = 12.84 t*m

Ru =31.8 t/m2 = 0.76*10

-3

min

- Cálculo de la armadura longitudinal.

Asmin = (1.8/1000)*B*d = (1.8/1000)*235*67

Asmin = 28.3 cm2

a) Armadura inferior

M(x=4.65+0.35)= -10.4 baja mucho

tomemos M+ = 15.65 t*m Ru=16.48 t/m

2

= 0.039*10-2

Asmin=6.21 cm2

usar Asmin 28.3 cm2

max = 0.075 b b=(0.85*0.85*200/4200)*(6000/(6000+4200))

b=2.023*10-2

max = 1.52*10-2

b) Armadura superior

M- =181 t*m Ru = 190.6 t/m

2

= 0.483*10-2

As = 76 cm2

IV

VIGA EN MEDIO ELASTICO

4.1.) Para la viga de la figura, determinar, la elástica, el momento flector y el corte para

x = 1.0 m y x = 5.0 m. Los pernos inducen un momento de 30 t*m.

y

pernos de anclaje

L

x

L = 5 m

K = 15 kgf/cm

E = 3*10 kgf/cm

h = 0.3 m

b = 0.25 m

3

2

Desarrollo :

= K b

E I

*

* *44 =

33

4*

*

K

E h L > viga infinita

= 3 15000

3 10 0 36 34

*

* * . = 0.863 1/m

L*0.863 > L > 3.6 m

sea L = 5 m (para tener viga muy flexible) L = 4.32 >

Los pernos de anclaje significan un momento aplicado de 30 t*m

1º) Modelo :

= +

M1M1

RRy

+A

2º) Determinación de R :

y = (-2M12/k)*C X + (2R /k)*D X

y(x=0)= 0 C 0 = 1 , D 0 = 1

R = M1 = 25.89 ton

3º) Determinación de y(x), Q(x) y M(x).

y(x) = -(2M12/k)*C X + (2(M1 ) /k)*D X = (2M1

2/k)*(D X-C X)

= (2M12/k)*B X k = K*B = 3750

Q(x) = -2M1 B X-RC X = -2M1 B X-M1 C X = -M1 *(B X+C X)

Q(x) = -M1 A X

M(x) = M1 A X-R/ B X = M1 A X-(M1 / )B X = M1(A X-B X)

M(x) = M1D X

4º) Resultados numéricos :

y(x) = (2*30*0.8632/3750)*B X = 11.92* B X (mm)

Q(x) = -30*0.863*A X = -25.89*A X (ton)

M(x) = 30* D X (t*m)

x y(x) Q(x) M(x)

m

mm

ton

t*m

0.5 3.24 -22.31 17.7

1.0 3.82 -15.40 8.2

1.5 -8.76 2.2

2.0 -3.84 -0.825

2.5 -0.84 -1.92

3.0 -0.63 -1.92

3.5 1.10 -1.45

4.0 1.03 -0.91

4.5 -0.17 -0.75 -0.46

5.0 -0.15 0.45 -0.16

4.2.) Para la zapata corrida de la figura (ancho= 1 m) se pide:

Usando tablas Hahn

a) Calcular las presiones transmitidas al terreno en los puntos A, B y C.

b) Calcular asentamiento en A, B y C.

c) Diagrama de momento para armar la viga. 100 ton

K = 5000 t/m3 1.2 m

E = 2*106 t/m

2 (hormigón) A B C

2 2 2 2

Desarrollo:

Determinación de la rigidez relativa de la viga.

Para una viga de sección rectangular se tiene:

= 3

34

*

*

K

E h = (3*5000/(2*10

6*1.2

3))

1/4 = 0.26 (0.257)

L = 2.05 /4 < L < viga de longitud intermedia

(Hahn, Tabla 7)

po = p*P/(b*) Mo = M*P* /100

P

xi / =0.5 xi

A B C

Pto. xo xo/ p M

A 0 0.0 0.74 0

B 2 0.25 1.02 2.73

C 4 0.5 1.18 11.51

po(A) = 0.74*100/(1*8) = 9.25 t/m2

po(B) = 1.02*100/8 = 12.75 t/m2

po(C) = 1.18*100/8 = 14.75 t/m2

b) q = K*y = K* A = po(A)/K = (9.25/5000)*100 = 0.19 cm

A = 1.9 mm , B = 2.6 mm , C = 3 mm.

c) Diagrama de momento (M(x)= M*P*)

xo/ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

M 0.39 1.63 3.83 7.1 11.51

M(x) 3.12 13.04 30.64 56.80 92.08

P

(+)

M(x)

4.3.) Para la viga en medio elástico de la figura, determinar :

a) la elástica.

b) el diagrama de momento.

MA

A

corte A-A

1 m

0.25m

2.5 m 2.5 m

M = 3 t*m

K = 5000 t/m

E = 100000 kgf/cm

= 10 t/m

2

2

3

6

Desarrollo :

Para una viga de sección rectangular :

= 3

34

*

*

K

E h = (3*5000/(10

6*0.25

3))

1/4 = 0.99

L = 4.95 > viga larga

a) Elástica :

y = (Mo2/K)*B X

en que :

Mo = 3 t*m 2 = 0.98 K = 5000 t/m

3

y = 0.588*B X (mm)

M = 1.5*D X (t*m)

x x F2 y F4

(m) B X (mm) D X

0 0 0.0000 0 1.0000

0.3 0.297 0.2175 0.13 0.7105

0.6 0.594 0.3090 0.18 0.4575

0.9 0.891 0.3190 0.19 0.2579

1.2 1.188 0.2828 0.17 0.1139

1.5 1.485 0.2257 0.13 0.0194

1.8 1.782 0.1646 0.10 -0.0353

2.1 2.079 0.1093 0.06 -0.0609

2.5 2.475 0.0520 0.03 -0.0661

x 0 0.3 0.9 1.5 2.1 2.5

M 1.5 1.07 0.69 0.39 0.17 0.02 -0.05 -0.09 -0.07

4.4.) Determinar el diagrama de momento y de corte para un pilote de acero sometido a

un momento M = 5 t*m

Suelo granular, compacto

K = Kx = 7 kgf/cm

constante

3

A A

M

40

cm

32

cm

3 cm

L = 6 m

corte A-A

Desarrollo :

= k

E I44

* * =

K b

E I

*

* *44

en que :

I = 0.4*0.43/12-0.32*0.32

3/12 = 0.00126

= (7000*0.4/(4*2.1*107*0.00126))

1/4 = 0.4033 1/m

L = 0.4033*6 = 2.42

1º) La rigidez relativa indica que es una viga de longitud intermedia.

/4 < L <

2º) Modelación :

M

R

+=

M

M0A M0BR‟

P0A P0B

3º) Determinación de R en la viga infinita; aplicando la condición de borde:

y(x=L)=0.

y(x=L) = (-M2/k)*B X - (R‟ /2k)*1 = 0

(-5*0.40332/(7000*0.4))*B(2.42) = (R‟*0.4033/(2*7000*0.4))*1000

- 0.017 = R‟*0.072

R‟ = -0.236 ton

El signo (-) indica que R‟ va hacia abajo, luego la viga infinita queda.

0.24 ton

5 t*m

¡ muy largo!.....

Nota:

1. Lo que ocurre en un extremo influye en toda la viga.

2. Use fórmulas para viga infinita.

3. Determinar así el corte y el momento en los extremos de la viga.

4. Superponer en la viga cargada, cargas P0A, P0B, M0A y M0B en los extremos,

se resuelve la viga finita.

4.5.) Resolución de un canal semi-enterrado.

situación favorable

situación crítica

e=0.2mTIP

5.5 m

3 m

0.2m

K = 5.5 kgf/cm

E = 300000 kgf/cm

3

2

Se pide :

a) Diagrama de presiones en el suelo.

b) Diagrama de momento.

Desarrollo:

La viga a resolver es la siguiente.(no se considera el efecto de enterramiento)

P P

MM

q= 3 t/mP= 2.4*3*0.2*1 = 1.44 ton

M=3*3*1*1/2 = 4.5 t*m

b = 1 m

q = 3.5 t/m

= 3

34

*

*

K

E h = (3*5500/(3*10

6*0.2

3))

1/4 = 0.911 1/m

L = 0.911*5.5 = 5.0 > se comporta como viga larga.

- para las cargas en los extremos usamos las fórmulas para vigas semi-infinitas.

- para la carga que solo se produce asentamiento pues está uniformemente repartida

a lo largo de la viga.

y = (2P1 /k)*D X P1=1.44 ton

M = (-P1/ )*B X

y = (2M12/k)*C X M1=4.5 t*m

M = -M1*A X

y = (2*1.44*0.911/(5500*1))*D X+(2*4.5*0.9112/(5500*1))*C X

= 0.477* D X+1.358*C X (mm)

M = (-1.44/0.911)* B X-4.5*A X = -(1.581*B X+4.5*A X) (t*m)

y(q=3.5 t/m2)=q/K = 3.5/5.5 = 0.64 mm

x x D X C X y B X A X M

1000 1000 mm 1000 1000 t*m

0 0 1000 1000 1.835 0 1000 -4.500

0.2 1.002 197.8 -111.6 -0.057 309.3 507.1 -2.771

0.4 2.004 -56.6 -178.9 -0.270 122.3 65.8 -0.489

0.5 2.505 -65.7 -114.2 -0.186 48.6 -17.1 0.008

0.6 3.006 -49.0 -55.7 -0.099 6.7 -42.3 0.180

0.8 4.008 -11.8 2.1 -0.003 -13.8 -25.6 0.137

5.011 2.0 8.3 0.012 -6.4 -4.4 0.030

Superponiendo y aplicando simetría.

y (mm) p=K*y (kgf/cm2) M (t*m)

1.835+0.012+0.636= 2.48 1.36 -4.500+0.030 = -4.47

-0.057-0.003+0.636= 0.58 0.32 -2.771+0.137 = -2.63

-0.270-0.099+0.636= 0.27 0.15 -0.489+0.180=-0.31

-0.186-0.186+0.636= 0.26 0.14 0.008+0.008=0.016

ymáx 0.25 cm

pmáx = 1.4 kgf/cm2

Mmáx = -4.47 t*m

1.1 2.2 2.75 3.3 4.4 5.5 m

(-) (-)

4.6.) Para la viga de fundación del estanque elevado, determine :

a) Presión máxima

b) Asentamiento máximo.

corte A-A

estanque de 4 m3

losa 2*0.7*0.2 m

columna = 0.3 m

h = 5 m

0.2m

0.25m

2 m

A A

viga 0.25*0.2*0.3m

0.3 TIP

K = 9 kgf/cm3

E = 200000 kgf/cm2

¡Desprecie colaboración de la viga transversal!

Desarrollo :

= 3

34

*

*

K

E h= (3*9000/(2*10

6*0.25

3))

1/4 = 0.964 1/m

> L = 1.928 > /4 viga de longitud intermedia

1º) Modelación : P

= 0.964 1/m

A B

Determinación de P

peso estanque 4.0 ton

peso losa =2*0.7*2*2.4= 0.672 ton

peso pilar =5*0.32*2.4= 1.080 ton

P = 5.75 ton

2º) Se reemplaza por una viga infinita.

5.75 tonP0A

M0A M0B

P0B

3º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B.

QA = (P/2)*D X = (5.75/2)*D(2.41) = -0.192 ton

MA = (P/4* )*C X = (5.75/3.856)*C(2.41) = -0.189 t*m

QB =-(P/2)*D X = 0.192 ton

MB = (P/4* )*C X = -0.189 t*m

C(2.41)= -0.1268

D(2.41)= -0.0668 0.192 0.192

A(2.41)= -0.0068

B(2.41)= 0.0600

1/(4* ) = 0.259 C( ) = C(1.928)= -0.1871

D( ) = D(1.928)= -0.0509

/2 = 0.482 A( ) = A(0.482)= 0.0854

-0.189+0.259*P0A+0.5M0A-48.46*10-3

*P0B-25.45*10-3

*M0B = 0

-0.192-0.5*P0A-0.482*M0A-25.45*10-3

*P0B+41.16*10-3

*M0B = 0

-0.189-48.46*10-3

*P0A-25.45*10-3

*M0A+0.259*P0B+0.5M0B = 0

0.192+25.45*10-3

*P0A-41.16*10-3

*M0A+0.5*P0B+0.482*M0B = 0

P0A = -1.1143 M0A = 0.893

P0B = -1.1143 M0B = 0.893

4º) Se resuelven por sustitución :

1.114 1.114

A C B

K*yc = -K*(P* /(2*k))*A X*2

= -9000*1.114*0.964*-0.0068/(9000*0.3)=24.34*10-3

t/m2

0.843 0.843

+

A C B

K*yc = K*(Mo*2/(K*b))*B X*2 = 0.843*0.964

2*0.06*2/0.3 = 331.9*10

-3 t/m

2

5.75

+

A C B

K*yc = K*P* /(2*k) = 5.75*0.964/(2*0.3) = 9.238 t/m2

pmáx = 9.6 t/m2 y ymáx = p/K = 9.6/9000 = 1.07 mm

Chequeo ¡ Ver tabla correspondiente del Hansen !

4.7.) Determinar el momento (MD) al centro de la viga :

b = 1.73 m I = 0.9*108 cm

4

K = 4 kgf/cm3 E = 210000 kgf/cm

2

8 ton 8 ton

A C D B

3m 8m

22m

Desarrollo :

= K b

E I

*

* *44 = (4000*1.93/(4*2.1*10

6*0.9))

1/4 = 0.174 1/m

L = 0.174*22 = 3.83 >

Implica que las solicitaciones en un extremo no influyen en el otro extremo.

El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas interiores viga .

El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas Po y Mo viga semi- .

1º) La viga que hay que resolver :

+=

M0A M0B

P0A P0B8ton 8ton

x= 0.522

8ton

3.306

8ton

x=1.914

A B

MAMA

MB MB

QB QB

QAQA

2º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B :

-Debido a la 1ª carga de 8 ton.:

QA = (P/2)*D X = 4*D(0.522) = 2.056

MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(0.522) = 2.506

QB = -(P/2)*D X = -4*D(3.306) = 0.144

MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(3.306) = -0.345

- Debido a la carga de 8 ton. centrada :

QA = (P/2)*D X = 4*D(1.914) = -0.200

MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115

QB = -(P/2)*D X = -4*D(1.914) = 0.200

MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115

x D C A B

0.522 0.514 0.218

3.306 -0.036 -0.030

1.914 -0.050 -0.184

3.83 -0.017 -0.003 -0.031 -0.014

QA = 2.056-0.2 = 1.856 MA = 2.506-2.115 = 0.391

QB = 0.144+0.2 = 0.344 MB = -0.345-2.115 = -2.430

0.391+P0A/0.696+M0A/2-0.0043*P0B-0.0085*M0B = 0

1.856-P0A/2-M0A/11.494-0.0085*P0B-0.0027*M0B = 0

-2.43-0.0043*P0A-0.0085*M0A+1.437*P0B+M0B/2 = 0

0.344-0.0085*P0A+0.0027*M0A+P0B/2+0.087*M0B = 0

P0A = 7.594 M0A = -22.432

P0B = -2.457 M0B = 11.606

Como L > se podría plantear 2 sistemas de ecuaciones de 2*2;

0.391+1.437*P0A+0.5*M0A = 0 P0A = 7.697

1.856-0.5*P0A-0.087*M0A = 0 M0A = -22.904

-2.43+1.437*P0B+0.5*M0B = 0 P0B = -3.068

0.344+0.5*P0B+0.087* M0B = 0 M0B = 13.68

Se observa que las dos primeras ecuaciones dan similares pero no asi las

segundas.

3º) Superposición :

P0A = 7.59 M0A = -22.43

P0B = -2.46 M0B = 11.61

1.39= x

8 t

MD = (2/ )*C(1.39)= -2.3

D

8 t MD = 2/ = 11.494

+

D

7.59 1.914

+ MD = (7.59/(4*0.174))*C(1.914)

D = -2.061

1.194

MD = -(22.43/2)*D(1.914)= 0.56

+

22.43

D

2.46

1.914

MD = -(2.46/(4*0.174))*C(1.914)

+ = 0.688

D

1.914

11.61 MD = (11.61/2)*D(1.914)=-0.29

+

D

x C D

1.39 -0.2 0.045

1.914 -0.189 -0.05

MD = -2.3+11.49-2.061+0.56+0.688-0.29 = 8.09 t*m O.K. (Hahn p297)

La tabla 11 resuelve para = 4 ( = 3.83 rad)

xi = 3 m xi/ = 3/22 = 0.136

xo = 11 m xo/ = 11/22 = 0.5 MD = M*P* = -2.05*8*22/100 = -3.6

xi = 11 m xi/ = 0.5

xo = 11 m xo/ = 0.5 MD = M*P* = 6.59*8*22/100 = 11.6

MD = 8 t*m

4.8.) Determinar diagrama de momento en la viga de fundación (achurada), considerando

peso propio de la viga de fundación es cero.

c a d b

4m 20m 4m

V=1000 tV=1000 t

muro muro

rígido rígido

no se considera

las losas como elementos

arriostradores

E = 250000 kgf/cm

I = 0.94 m

K = 5 kgf/cm

2

4

3

0.3m

3m

0.25m

b=1.2 m

c.g3m

Desarrollo :

Descomposición

2

Q1

M1 M1

M1 M1

V

Q1 Q1

Q1

V

a d b

c

11

ba

Ecuaciones de compatibilidad :

y1a = y2a y 1a = 2a para determinar Q1 y M1

Elemento :

En el sistema , este es infinitamente rígido L < /4

rígido I = 1 = K b

E I

*

* *44 0 1L1 0 < /4

V V-Q1

McM1

Q1

c c=

L1=4 m L1=4 m

Mc= Q1*L1/2+M1

Hipótesis : no hay tracción = q/K

= + *L1/2

*L1/2 = Mc/(K*IRR)

y1a = - *L1/2 = q/K- *L1/2

q = (V-Q1)/ = (Q1*L1/2+M1)/(K*IRR) = L1*b

y1a = (V-Q1)/(L1*b*K)-((M1+Q1*L1/2)/(K*IRR)*L1/2

R

= L1*b = 4*1.2 m 1.2m

IRR = B*L13/12 = 1.2*4

3/12 = 6.4 m

4 R

L1

y1a = V/(L1*b*K)-(1/(L1*b*K)+L12/(4*K*IRR))*Q1-(L1/(2*K*IRR))*M1

K = 5000 t/m3

y1a = 1000/(4.8*5000)-(1/(4.8*5000)+42/(4*5000*6.4))*Q1-(4/(2*5000*6.4))*M1

y1a = 4166*10-5

-16.7*10-5

*Q1-6.25*10-5

*M1

1a = -(M1/(K*IRR)+L1/(2*K*IRR)*Q1)= - 3.13*10-5

*M1-6.25*10-5

*Q1

Elemento :

2 = K b

E I

*

* *44 =(5000*1.2/(4*2500000*0.94))

1/4 = 0.16 1/m

2L2 = 0.16*20 = 3.2 > se puede considerar viga semi-infinita.

M1 Q1 Q1 M1

a = +

x

y2a = (2*Q1* /k)*F4( x)-(2*M1*2/k)*F3( x) k =6000 t/m

2

y2a = 5.33*10-5

*Q1-0.85*10-5

*M1

2a = -(2*Q1*2/k)*F1( x)+(4*M1*

3/k)*F4( x)

2a = -0.85*10-5

Q1+0.21*10-5

*M1

no se considera el efecto de las cargas M1 y Q1 del otro extremo pues producen

e y aproximadamente cero en el punto a.

Por ecuaciones de compatibilidad :

y1a = y2a y 1a = 2a

4166.7-16.7*Q1-6.25*M1 = 5.33*Q1-0.85*M1

-3.13*M1-6.25*Q1 = -0.85*Q1+0.27*M1

22.03*Q1+5.4*M1 = 4166.7

5.4*Q1+3.4*M1 = 0

Resolviendo el sistema:

M1 = -491.89 t*m y Q1 = 309.71 ton

309.71 309.71 491.84 491.84

a d b

20 m

Solo se consideran las secciones extremas y media.

En a) Ma = -491.89 t*m

En d) debido a una carga vertical:

Md = -(Q1/ )*F2(1.6) = -(309.71/0.16)*0.2018 = -390.62 t*m

debido a un momento :

Md = -M1*F1(1.6) =-491.89*0.1954 = -96.36 t*m

luego

= d +

d

Md = -390.62*2 Md = -2*96.36

= -781.24 t*m = -192.72 t*m

Md = -(781.24+192.72) = -973.96 t*m

Luego :

Diagrama de momento

+ +a d b

- 491.89

-(1428.56)

[+1700

-973.96

-(4999.86)

[-800

Comentario:

Con rojo valores obtenidos si se considera la viga también infinitamente rígida.

Esto es por el lado de la seguridad pero es antieconómico.

Entre paréntesis cuadrados valores obtenidos si se consideran tirantes que unen los

muros (losas o vigas conectando los muros).

Solución: no hay giro en los puntos a y b.

En realidad los tirantes pueden ceder permitiendo un giro en a y b. Una solución

sería armar en a con 1700 t*m y con -491.89 t*m (para ponerse a cubierto).

Observación :

Si se hubiese supuesto que el elemento 2 también es infinitamente rígido implica

que

todo el sistema es infinitamente rígido, luego es una zapata rígida.(Este procedimiento

es válido si L < /4 )

24 m

28 m2m 2m 2ma d

a d

2000 ton

71.43 t/m

1000 ton

Ma

71.43 t/m

1428.56 t*m

=

= 2000/(28*1.2) = 59.52 t/m2 6 kgf/cm

2

Ma = -1000*2+71.43*4*4/2 = -1428.86 t*m

Md = -1000*12+71.43*14*7 = -4999.86 t*m

El hecho de considerar el elemento como infinitamente rígido implica que se sobre-

estima mucho los momentos flectores.

En la realidad los tirantes (losas), impiden el giro 2a = 0

los pilares (los elementos ), sólo descienden verticalmente.

2a = -0.85*10-5

*Q1+0.27*10-5

*M1 = 0

y1a = y2a (V-Q1)/(b*K*L1) = 5.33*10-5

*Q1-0.85*10-5

*M1

resolviendo las ecuaciones : 590 ton 590 ton

M1 = 1730 t*m

Q1 = 590 ton 1730 t*m 1730 t*m

a d

Ma = 1730 t*m

Md = -800 t*m

Resumen :

M Rígido VME con VME sin

Ma (t*m) -1428.56 -491.89 1730

Md (t*m) -4999.86 -973.96 -800

En el último cálculo se usó 2a = 0 . Si se hubiese tomado 1a = 0, hubiese sido

mucho más difícil por la fuerza de los tirantes.

4.9.) Resuelva la viga de la figura.

x

P

A

Desarrollo :

1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga dada,

más cargas Po y Mo que restituyen en las condiciones de borde en el extremo finito.

Po x

Mo P

2º) Determinación de Po y Mo

Po

=

Q= Po/2

M = Po/(4 )

Mo

+

Q= Mo /2

M = Mo/2

x

P

+

A

Q= (P/2)*D X

M = (P/(4 ))*C X

-Po/2-Mo* /2+(P/2)*D X = ?

Po/(4* )+Mo/2+(P/4* )*C X = 0

y(x=0) = Po* /(2*k)+0+P* /(2*k)*A X = 0 Po=-P*A X

Po= P*A X

Mo/2 = (-P/(4* ))*C X-Po/(4* )

= (-P/(4* ))*C X+P*A X/(4* )

Mo = P*A X(2* )-(P/(2* ))*C X

= (P/(2* ))*(A X-C X)

A X-C X = e- X

(sen x+cos x-cos x+sen x) = e- X

2sen x = 2*B X

Po = -P*A X y Mo = (P/ )*B X

3º) Encontrados Po y Mo, se resuelve por superposición :

P*A X (0.508P)

=

A

(P/ )*B X (0.31P/ )

+

x

P

+

y = -( /(2*k))*A X*P*A X+(2/k)*B X*P*B X+(P* /(2*k))*A X

y(x=0)= P* /(2*k)*(A X-A X2)+2*P* /(2*k)*B X

2

= P* /(2*k)*(A X-A X2+B X

2) válido sólo en el origen.

Chequeo:

y(x=0)=0 O.K. (1-120)=0

4º) Determinación de la flecha y momento en k.

x=1

x=0.6 P

k

B( x= 0.6) = 0.310 B( x=1)= 0.310

A( x=0.6)= 0.763 A( x=1)= 0.508

A( x=0.4)= 0.878

y = -(P* /(2*k))*0.763*0.508+(2*P* /(2*k))*0.3102+(P* /(2*k))*0.878

= (P* /(2*k))*0.683 = 0.341*P* /k O.K. (idem Hahn p303)

Si queremos determinar la presión en el punto k :

p = K*y = K*0.341*P* /k = 0.341*P* /b

Momento en el punto k ( x= 0.6)

Debemos suponer :

0.508*P

=

A

k

0.31*P/

+

A

k

x=1 P

+

A

k

M= -0.508*P/(4* )*C( x=0.6)+0.31*P/(2* )*D( x=0.6)+ P/(4* )*C( x=0.6)

= P/ *(-0.508*0.143/4+0.31*0.453/2+0.356/4)

= 0.141*P/ (O.K. Hahn p303)

5º) Determinación de la reacción en A.

RA se determina conociendo el corte en A:

Q(x=0)= 0.508*P/2-0.31*P/(2* )* +(P/2)*D( x=1)

= P*(0.508/2-0.31/2+0.199/2

= 0.199*P (O.K. Hahn p302)

4.10.) Resuelva la viga semi-infinita de la figura. Determine y, M y Q para :

x= 0, 0.5, 1, 2, 3 y 5 m.

Datos: P= 3 ton

b= 15 cm (ancho de la viga)

h= 20 cm (altura de la viga)

E = 300000 kgf/cm2

K = 5 kgf/cm3

Desarrollo :

= k

E I44

* * =

33

4*

*

K

E h = (3*5000/(3*10

6*0.2

3))

1/4 = 0.889 1/m

k = 5000*0.15 = 750 t/m2

De figura 10 Nafvac:

y = (2*P1* /k)*D X = 2*3*0.889/750*D X = 7.112*D X (mm)

M = (-P1/ )*B X = -3/0.889*B X = -3.375*B X (t*m)

Q = -P1*C X = -3*C X (ton)

x x D X y B X M C X Q

m

*1000

mm

*1000

t*m

*1000

ton

0 0 1000 7.1 0 0 1000 -3

0.5 0.445 578 4.1 276 -0.93 303 -0.91

1 0.889 259 1.8 319 -1.08 -60 0.18

2 1.778 -35 -0.2 165 -0.56 -200 0.60

3 2.667 -62 -0.4 32 -0.11 -94 0.28

5 4.446 -3 0 -11 0.04 8 -0.02

1 2 3 4 5

y (mm)

x

x

xM (t*m)

Q (ton)

-1

-2

-3

(-)

(-)

3 ton

4.11.) Se tiene un pórtico (marco) cimentado en una zapata corrida de hormigón armado de

10 m de longitud, 2 m de ancho, un canto (altura) de 1.5 m y una densidad de 2.4 t/m3.

Cada pilar transmite en su eje geométrico situado a 40 cm del extremo de la viga, una carga

vertical de P= 100 ton. y un momento hacia afuera de la zapata de M= 50 t*m. El

coeficiente de balasto del terreno se supone igual a 6 kgf/cm3 y el módulo de elasticidad del

hormigón de 200000 kgf/cm2.

Se pide calcular las presiones debajo del eje de cada pilar.

eje pilar pórtico

o marco

P P

M M

1.5m

A 10 m B

Desarrollo:

100 ton 100 ton

50 t*m 50 t*m

0.4 0.49.2

2.088

2.1

0.0908

0.1

0.0908

0.1

1.5m

(m)

A BC D

= K b

E I

*

* *44 K = 6 kgf/cm

3 = 6000 t/m

3

E = 200000 kgf/cm2 = 2*10

6 t/m

2

I = 2*1.53/12 = 0.5625 m

4

= 6000 2

4 2 10 0562564

*

* * * . = 0.227 1/m = 0.227*10 = 2.27 <

Se debe tratar como viga finita (es viga de longitud media)

A

A

A

A

B

BB

B

100t

100t 100t

100t

50t*m50t*m

50t*m50t*m

= =

+

100t100t

50t*mM0A

M0A

M0B

M0B

P0BP0A

P0A P0B

-

--

Caso Cargas reales

(Caso A)

Caso Cargas ficticias

(Caso B)

Condiciones de borde: en A MAT= 0 QA

T= 0

en B MBT= 0 QB

T= 0

con esto se encuentra P0A, M0A, P0B, M0B

a) Caso A se puede descomponer en la suma de los siguientes casos:

100 ton

- +

A

B

0.1 2.2

MA=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 110.13*0.81=89.21 t*m

QA=100/2*F4(0.1)=50*0.9003=45.02 ton

MB=100/(4*0.227)*F3(2.2)= 110.13*-0.1548= -17.05 t*m

QB=-100/2*F4(2.2)=-50*-0.0652=3.26 ton

50 t*m

- +

A

B

0.1 2.2

MA=-(-50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m

QA= -(-50*0.227/2)*F1(0.1)=5.62 ton

MB==-(-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m

QB=-(-50*0.227/2)*F1(2.2)=10.138 ton

100 ton

- +

A

B

2.2 0.1

MA=100/(4*0.227)*F3(2.2)= -17.05 t*m

QA=100/2*F4(2.2)= -3.26 ton

MB=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 89.21 t*m

QB=-100/2*F4(0.1)=-45.02 ton

50 t*m

-

A

B

2.2 0.1

MA= (-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m

QA= (-50*0.227/2)*F1(2.2)=-0.138 ton

MB==(50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m

QB=-(-50*0.227/2)*F1(0.1)=-5.62 ton

Luego del caso A:

MA=89.21+22.51-17.05+1.63= 96.3 t*m A

MB=-17.05+1.63+89.21+22.51= 96.3 t*m

B

QA=45.02-3.26+5.62-0.138= 47.24 ton A

QB=3.26+0.138-45.02-5.62= -47.24 ton

B

b) Caso B se puede descomponer en la suma de los siguientes casos:

P0A

+

A

B

2.3

M‟A= P0A/(4*0.227)*F3(0)= 1.10P0A

Q‟A= -P0A/2*F4(0)=-0.5P0A

M‟B= P0A/(4*0.227)*F3(2.3)= -0.156P0A

Q‟B= -P0A/2*F4(2.3)=0.0334P0A

M0A

+

A

B

2.3

M‟A= M0A/2*F4(0)= 0.5M0A

Q‟A= -M0A*0.227/2*F1(0)=-0.1135M0A

M‟B= M0A/2*F4(2.3)= -0.0334M0A

Q‟B= -M0A*0.227/2*F1(2.3)= -0.004M0A

P0B

+

A

B

2.3

M‟A= -0.156P0B

Q‟A=-P0B/2*F4(2.3)= 0.0334P0B

M‟B=1.10P0B

Q‟B=-P0B/2*F4(0)= -0.5P0B

M0B

A

B

2.3

M‟A= -M0B/2*F4(2.3)= 0.0334M0B

Q‟A= M0B*0.227/2*F1(2.3)= 0.004M0B

M‟B== -M0B/2*F4(0)= -0.5M0B

Q‟B= M0B*0.227/2)*F1(0)= 0.1135M0B

Luego M‟A= 1.1P0A+0.5M0A-0.156P0B+0.0334M0B

Q‟A= -0.5P0A-0.1135M0A+0.0334P0B+0.004M0B

M‟B= -0.156P0A-0.0334M0A+1.1P0B-0.5M0B

Q‟B= 0.0334P0A-0.004M0A-0.5P0B+0.1135M0B

MAT=0 MA+M‟A = 0 M‟A = -96.3

MBT=0 MB+M‟B = 0 M‟B = -96.3

QAT=0 QA+Q‟A = 0 Q‟A = -47.24

QBT=0 QB+Q‟B = 0 Q‟B = 47.24

Por simetría:

P0A = P0B = P0 y M0A = -M0B = M0

M‟A = 0.944P0+0.47M0

Q‟A = -0.47P0-0.1174M0 96.3+0.944P0+0.47M0 =0 * 0.1175

M‟B = 0.944P0+0.47M0 47.24-0.47P0-0.1175M0 =0 * 0.47

Q‟B = -0.47P0-0.1175M0

11.32+0.111P0+0.055M0 = 0

22.2-0.22P0-0.055M0 = 0

33.52-0.11P0 = 0 P0 = 305 ton

11.32+0.111*305+0.055M0 = 0 M0 = -821.4 t*m

Luego:

100ton 100 ton

305ton 50 t*m 50 t*m 305ton

- 820t*m 820t*m

0.1 2.1 0.1

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y7

Y8

Y6

820t*m

820t*m

305ton

305ton

100ton

100ton

50t*m

50t*m

y

y

y

y

y

y

y

y

1

2

3

4

5

6

7

8

4.12.) Determine el momento flector en A y B para la tubería indicada en la figura.

Para tal efecto desprecie el peso propio de la tubería.

2.5m 2.5m

V=10ton

A B

K=20 kgf/cm

B = 1.0 m(ancho equiv.)

3

2

4

6

6I= 1.5*10 cm

E=2.1*10 kgf/cm

Nota: Para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada aplicada

en el centro del vano se tiene :

A B

P

L/2 L/2

E,IA= PL /(16EI)

B= - PL /(16EI)A

2

2

Para una viga simplemente apoyada con momentos aplicados en sus extremos:

A B

L

E,IA= ML/2EI

B= - ML/2EI

AM M

Desarrollo :

L

V/2 V/2

V/2V/2

MA

MA

MB

MB

V

Vq q

I

II

q : sobrecarga debido al pp

del suelo sobre la tubería

(no da momento)

Por simetría MA = MB = M b=B

= K b

E I

*

* *44 = (20*100)/(4*2.1*10

6*1.5*10

6)1/4

= 3.5495*10-3

1/cm

Compatibilidad de deformaciones BI = B

II

Determinación de BI :

V

B1= - VL /(16EI)

B1

2

B2= - ML/2EI

B2

M M

Luego BI = B1+ B2= -VL

2/16EI-ML/2EI (1)

Determinación de BII :

V/2

M

x

V/2

= + M

x x

= -2(V/2)2/k A X

= 4M3/k D X

x = 0 A X = 1 y D X = 1

Luego:

BII = + = -V

2/k+4M

3/k

BI = B

II -VL

2/16EI-ML/2EI = -V

2/k+4M

3/k

4 = k/4EI

4/k = 1/4EI

-VL2 2

/4+V = 4M +2ML2

M = V(1-L2 2

/4)/(4 +2L2)

= 10*(1-5002*(3.5495*10

-3)2/4)/(4*3.5495*10

-3+2*500*(3.5495*10

-3)2)

M = 79.32 t*cm

4.13.) Se requiere una viga de fundación muy flexible con cargas P=3 ton aplicadas en un

extremo y al centro.

a) Diseñe la viga (ancho, longitud y altura)

b) Calcule y dibuje la posición deformada de la viga a intervalos de 1 metro.

k= 3 kgf/cm3 E = 200000 kgf/cm

2

P P

L = ?

Nota: Exprese los resultados de la deformación en mm.

Desarrollo:

a) Una viga muy flexible significa: L >

= K b

E I

*

* *44

para una viga de sección rectangular:

= 3

34

*

*

K

E h

K = 3 kgf/cm3

E = 200000 kgf/cm2 (en el rango de trabajo del hormigón)

i) Sea b= 30 cm

L= 600 cm y h= 30 cm L=6.39*10-3

*600

= 3.83 > O.K.

ii) Sea b= 30 cm

L= 600 cm y h= 25 cm L=7.33*10-3

*600

= 4.4 > O.K.

3 ton 3 ton

6 m

b) Determinación de la deformada:

y1 = 2 * *

*

P

K b*D X (carga en el extremo)

y2 = P

K b

*

* *2*A X (carga en el centro)

x (cm) y1 (mm) y2 (mm) y=y1+y2 (mm)

0 4.88 0.03 4.91

100 1.75 0.31 2.06

200 0.12 0.83 0.95

300 -0.32 1.22 0.90

400 -0.26 0.83 0.57

500 -0.11 0.31 0.20

600 -0.02 0.03 0.01

0

1

2 3 4 51 6

2

3

5

4

4.14.) Las zapatas rígidas transmiten a la viga de fundación, un momento de 0.7 t*m.

Calcule y dibuje el diagrama de presiones de contacto en la base de las zapatas.

V = 25 ton (incluye peso propio) =0.8 (1/m)

25 ton 25 ton

1 m 5 m 1 m

K K =4kg/cm3=3kg/cm3z v

K Kz v

0.3 m

1.0

m

0.8

Desarrollo:

Q1,M1 Q1,M1

A B

kv,bv

q=?kz,bz

1o) q = (V-2Q1)/A el problema se reduce a determinar Q1

2o) Determinación de Q1 aplicando teoría VME (y compatibilidad yA=yB)

yA = 2Q1 /(kvbv)-2M12/(kvbv)

= 2*Q1*0.8/(4000*0.3)-2*0.7*0.82/(4000*0.3)

1000*yA = 1.33*Q1-0.75

3o) Determinación de yB

yB = q/kz = (V-2Q1)/A /kz = (25-2Q1)/1 /3000

1000yB = 25/3-2Q1/3

4o) yA=yB Q1

1.33Q1-0.75 =25/3-2Q1/3

2Q1 = 9.08

Q1 = 4.54 ton

5o) Sustituyendo Q1 en 1

o:

q = (25-2*4.54)/1 = 15.92 t/m2

6o) La determinación de M1 se hace considerando que v = 0 en el extremo de la

viga.

y

v = -2Q12/k+4M1

3/k = 0 M1 = 0.63Q1

y

7o) Lo correcto es considerar que por agrietamiento de la sección. M1 0

4.15.) Para la viga semi-infinita, con apoyo rotulado en el extremo, indicada en la figura,

se pide :

a) Encontrar y, M, Q para un caso general.

b) Encontrar y, M, Q para las siguientes condiciones :

b = 30 cm

h = 20 cm

K = 3 kgf/cm3 = 3000 t/m

3

E = 200000 kgf/cm2

M1 = 1 t*m

Graficar para : x = 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 (m)

M1

Desarrollo :

a)

M1

R

M1

= +

R

Ambos casos están resueltos en figura 10 Nafvac.

y = -2 1

2* *M

k*C X+

2 * *R

k*D X

Determinación de R:

Se aplican condiciones de borde : y(x=0)=0

C 0 = D 0 = 1 R = M1* = 1*0.866 = 0.87 ton

y = -2 1

2* *M

k*C X+

2 1

2* *M

k*D X =

2 1

2* *M

k*(D X-C X)

D X-C X = e- X

*(cos x-cos x+sen x) = B X

y = 2 1

2* *M

k*B X

M = M1*A X-(M1* / )*B X = M1*(A X-B X)

M = M1*D X

Q = -2*M1* *B X-M1* *C X = -M1* *(2*B X+C X)

2*B X+C X = e- X

*(2*sen x+cos x-sen x) = A X

Q = -M1* *A X

b) Para una viga de sección rectangular :

= 3

34

*

*

K

E h = (3*3000/(2*10

6*0.2

3))

1/4 = 0.866

k = K*b = 3000*0.3 = 900 t/m2

x x B X y D X M A X Q

m

1000

1000

mm

1000

t*m

1000

ton

0 0 0 0.00 1000 1 1000 -0.087

0.5 433 272 0.45 589 0.59 861 -0.75

1 866 320 0.53 273 0.27 593 -0.51

1.5 1299 263 0.44 73 0.073 336 -0.29

2 1732 175 0.29 -28 -0.028 146 -0.13

3 2598 38 0.06 -64 -0.064 -25 0.02

5 4330 -12 -0.02 -5 -0.005 -17 0.015

7 6062 -1 0 2 0.002 2 0

10 8660 0 0 0 0 0 0

y = (2*M1*2/k)*B X = (2*1*0.866

2/900)*B X = 1.667*B X

M = M1*D X =1*D X

Q = -M1* *A X = 0.866*A X

M= 1 t*m

y (mm)

M(t*m)

Q (ton)

1

-1

1 2 3 105 7

0.2

0.4

0.5

x

x

x

4.16.) Una fundación bajo la cepa de un puente, tiene un ancho b = 2 m.

a) Modele el sistema de cargas que recibe la fundación.

b) Determine el momento, el corte, el asentamiento y la presión de contacto al centro

de la fundación.

Fundación

Cepa

e = 0.8 m

= 2.4 t/m3

18 ton 18 ton36 ton

7 m

1.3

m

12 m

15 m

K = 12 kgf/cm

E = 250000 kgf/cm

3

2

¡ No considere el peso propio

de la fundación !

Desarrollo :

= k

E I44

* * =

33

4*

*

K

E h = (3*12000/(2.5*10

6*1.3

3))

1/4 = 0.2845 1/m

L = 15*0.2845 = 4.268 > viga larga

a) Modelación :

Peso cepa/m = 7*1*0.8*2.4 = 13.44 t/m 12 m

Cargas puntuales :

(18+36+18)/12 = 6 t/m q=19.44t/m

1.3

Carga total : q = 19.44 t/m A 15 m B

b) Se deben determinar P0A, P0B, M0A y M0B para usar las fórmulas de viga

infinita.

P0A P0B

M0A M0B

A B

x 0.42675

3.4140

0.42675

x= x F1 F2 F3 F4

0.42675 0.8642 0.2701 0.3240 0.5941

3.8408 -0.303 -0.0138 -0.00262 -0.0164

4.2680 -0.0187 -0.0126 0.0066 -0.0060

1.7070 0.1551 0.1797 -0.2044 -0.0246

2.1338 0.0369 0.1001 -0.1633 -0.0632

MA = -q/(4*2)*(F2(0.4268)-F2(3.8408)) = -19.44/(4*0.2845

2)*(0.2701+0.0138)

= -17.05 t*m

MB = q/(4*2)*(F2(3.8408)-F2(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845

2)*(-0.0138-0.2701)

= - 17.05 t*m

QA = q/(4* )*(F3(0.4268)-F3(3.8408)) = 19.44/(4*0.2845)*(0.324+0.00262)

= 5.58 ton

QB = q/(4* )*(F3(3.8408)-F3(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845)*(-0.00262-0.324)

= -5.58 ton

1/(4* ) = 0.8787

17.05 = 0.8787*P0A+0.5*M0A+0.0058P0B-0.003*M0B

-5.58 = -0.5*P0A-0.1423*M0A-0.003*P0B-0.0027*M0B

17.05 = 0.0058*P0A-0.003*M0A*0.8787*P0B+0.5*M0B

5.58 = 0.003*P0A+0.0027*M0A+0.5*P0B+0.1423*M0B

P0A = 2.4726 M0A = 29.9054

P0B = 2.4726 M0B = 29.9054

La viga infinita equivalente que hay que resolver es lo siguiente :

2.47 2.47

29.91 29.91

q=19.44 t/m

CargasMomento Corte Asentam. q

3

Reales 0.795

1.1048

1.1048

-0.8693

-0.8693

1.266 t*m

0

-1.704

1.704

0.403

-0.403

0

0.79

0.07

0.07

0

0

0.93 mm

M0A

M0B

Q0A

Q0B

11.16

C e n t r o

(t/m )2

Cargas reales :

Mc = q/(4*2)*(F3(0.2845*6)+F3(0.2845*6))

= q/(4*2)*(F3(1.707)+F3(1.707)) = -24.54 t*m

Qc = q/(4* )*(F3(1.707)-F3(1.707)) = 0

Vc = q/(2*K)*(2-F4(1.707)-F4(1.707)) = 0.79 mm

M0A:

Mc = M1*F1(2.1338) = 29.91*0.0369 = 1.1048

Qc = -(2*M1* )*F2(2.1338) = -2*29.91*0.2845*0.1001 = -1.704

yc = -(2*M1*2/K)*F3(2.1338) = (-2*29.91*0.2845

2/12)*(-0.1633)= 0.07

P0A :

Mc = (-P1/ )*F2(2.1338) = (-2.47/0.2845)*0.1001 = -0.8693 t*m

Qc = -P1*F3(2.1338) = -2.47*(-0.1633) = 0.403

yc = (2*P1* /K)*F4(2.1338) = 2*(2.47*0.2845/12)*(-0.0632)= -0.007

4.17.) Determinar la deformación y la presión de contacto en A, B, y C de la viga en

medio elástico.

P = 2.27 ton

q = 1.78 t/m

K= 5500 t/m

E = 10 t/mA C B

1.5 m 1.5 m

1.2 m0.75 m 0.5 m

Pq

corte

0.25m

0.2m3

26

Desarrollo :

Viga finita en medio elástico.

Se resuelve usando viga infinita.

A B

P0A

M0BM0A

P0BP

q

En A y B, debido a P0A, P0B, M0A y M0B se pierde continuidad de la viga

infinita.

MA+P0A/(4* )+P0B/(4* )*C L+M0A/2+(M0B/2)*D L = 0

QA-P0A/2+(P0B/2)*D L- *M0A/2+( *M0B/2)*A L = 0

MB+P0A/(4* )*C L+P0B/(4* )+(M0A/2)*D L+M0B/2 = 0

QB-(P0A/2)*D L+P0B/2-( *M0A/2)*A L+ *M0B/2 = 0

k = K*b = 5500*0.25 = 1375 t/m2

I = b*h3/12 = 0.25*0.2

3/12 = 1.66*10

-4 m

4

= k

E I44

* * = (1375/(4*10

6*1.66*10

-4))

1/4 = 1.2 1/m

L = 1.2*3 = 3.6 > podemos utilizar el sistema de resolución

mediante viga infinita

Debido a P :

M = P/(4* )*C X Q = (-P/2)*D X

En el extremo A :

x = 0.76 m x = 1.2*0.76 = 0.912, entramos con este valor a tabla

o gráfico y determinamos C X y D X :

C X = -0.0718 y D X = 0.2459 (interpolación lineal en tablas)

MAP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0718) = -0.0339 t*m

QAP = (2.27/2)*(0.2459) = 0.279 ton

En el extremo B :

x = 2.24 m x = 1.2*2.24 = 2.688

C X = -0.0910 y D X = -0.0612

MBP = 2.27/(4*1.2)*(-0.0910) = -0.043 t*m

QBP = -(2.27/2)*(-0.0612) = 0.0695 ton

Debido a q :

En el extremo A : a b

MAq = (-q/(4*

2))*(B a-B b) QA

q = (q/(4* ))*(C a-C b)

a = 1.3 m a = 1.56

b = 2.5 m b = 3.00

En la tabla: B a = 0.2101 C a = -0.2079

B b = 0.0071 C b = -0.0563

MAq = -1.78/(4*1.2

2)*(0.2101-0.0071) = -0.0627 t*m

QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.2079-(-0.0563)) = -0.0562 ton

En el extremo B :

MBq = (q/(4*

2))*(B a-B b) QB

q = (q/(4* ))*(C a-C b)

a = 1.7 m a = 2.04

b = 0.5 m b = 0.6

En la tabla: B a = 0.116 C a = -0.1748

B b = 0.3099 C b = 0.143

MAq = 1.78/(4*1.2

2)*(0.116-0.3099) = -0.0599 t*m

QAq = 1.78/(4*1.2)*(-0.1748-0.143) = -0.1178 ton

Calculamos MA, MB, QA y QB para reemplazar en sistema de ecuaciones.

MA = MAP+MA

q = -0.0966 t*m

QA = QAP+QA

q = 0.2228 ton

MB = MBP+MB

q = -0.1029 t*m

QB = QBP+QB

q = -0.0483 ton

Reemplazando en el sistema se obtiene lo siguiente :

208*P0A-3*P0B+500*M0A-12*M0B = 97

500*P0A+12*P0B+600*M0A+22*M0B = 223

-3*P0A+208*P0B-12*M0A+500*M0B = 103

12*P0A+500*P0B+22*M0A+600*M0B = 48

luego se obtiene : P0A = 0.37 ton M0A = 0.02 t*m

P0B = -0.33 ton M0B = 0.35 t*m

A B

0.37 ton

0.35 t*m0.02 t*m

0.33 tonP

q

C

carga ya yc yb (*10-5

m)

P 56 57 -3

q 2 73 33

P0A 16 2 0

P0B 1 -2 -14

M0A 0 0 0

M0B 0 6 0

y 75 136 16 (*10-5

m)

pc 4.13 7.48 0.88 (t/m2)

4.18.) Determinar Mmáx, Ymáx y los puntos donde se producen.

5.6 m

P1 P2 P1 = 30 ton

P2 = 50 ton

1 H.A. K = 5000 t/m3

E = 230*104 t/m

2

0.3

0.6m 5 m 0.6m

Desarrollo :

= K b

E I

*

* *44 I = 1*0.3

3/12 = 0.00225 =2.25*10

-3

= (5000*1/(4*230*104*2.25*10

-3))

1/4 = 0.701

L = 0.701*5.6 = 3.93 > semi-infinita

1º) Cálculo de P1‟ y P2‟ :

P1‟ = P1+1*1*2.4*0.3 = 30.72 ton

P2‟ = P2+1*1*2.4*0.3 = 50.72 ton

2º) Momento: 30.72 50.72

M = (-P/ )*B X = (-V/ )*F2( x) +

M(P1) = -(30.72/0.7)*B X = -43.89*B X

M(P2) = -(50.72/0.7)*B X = -72.46*B X =

Cálculo B X y D X

x x B X D

0 0 0 1

0.25L 0.9814 0.3116 0.208

0.5L 1.9628 0.1298 -0.054

0.75L 2.944 0.0103 -0.051

1L 3.926 -0.0131 -0.0139

X1/L 0 0.25 0.5 0.75 1

X2/L 1 0.75 0.5 0.25 0

M(P1) 0 -13.68 -5.696 -0.452 0.061

M(P2) 1.007 -0.746 -9.405 -22.58 0

M(Pi) 1.007 -14.43 -15.1 -23.05 0.061

luego Mmáx 23.05 t*m en x 4.2 m

y = (2*P* /K)*D X = (2*V* /K)*F4( x)

y(P1) = (2*30.72*0.701/5000)*D X = 0.00861*D X

y(P2) = (2*50.72*0.701/5000)*D X = 0.01422*D X

X1/L

0

0.25

0.5

0.75

1

X2/L 1 0.75 0.5 0.25 0

8.4*10-3

13*10-3

y(q) = q/K = 0.3*1*2.4/5000 = 0.72/5000 = 1.44*10-4

y(P1) 8.61 1.8 -0.46 -0.44 -0.11 (*10-3

)

y(P2) -0.2 -0.72 -0.76 3 14 (*10-3

)

8.4 1.08 -1.2 2.96 12.9 (*10-3

)

Ymáx = 13.0*10-3

en x = 5.6 m (bajo P2).

4.19.) Para la viga de hormigón armado, se pide determinar el asentamiento en A.

K = 7 kgf/cm3 q = 5 t/m

E = 300000 kgf/cm2

h = 0.5 m A B

b = 0.7 m

2 m

Desarrollo : 4 m

= 3

34

*

*

K

E h = (3*7000/(3*10

6*0.5

3))

1/4 = 0.4865

L = 1.946 /4 < L < viga de longitud intermedia.

1º) La viga es igual a :

x= 0.973 P0A P0B

M0A M0B

+

A B

2º) Determinación de P0A , P0B , M0A y M0B.

2.a) Momento y corte producidos por las cargas reales.

MA = q/(4*2)*(B a+B b)

QA = q/(4* )*(C a-C b) en que a = 0 y b = 2 m

MA = 5/(4*0.48652)*(0+B(0.973)) = 5.281*0.3124 = 1.65 t*m

QA = 5/(4*0.4865)*(1-C(0.973)) = 2.569*(1.0997) = 2.83 ton

MB = q/(4*2)*(B a-B b)

QB = q/(4* )*(C a-C b) en que a = 4 m y b = 2 m

MB = 5.281*(B(1.946)-B(0.973)) = 5.281*(0.1329-0.3124) = -0.948 t*m

QB = 2.569*(C(1.946)-C(0.973)) = 2.569*(-0.1853-(-0.0997)) = -0.22 ton

Recordemos que MA , QA , MB y QB , son los momentos y cortes producidos por las

cargas reales (q=5 t/m) en la viga infinita.

2.b) Ecuaciones :

1/(4* ) = 0.5139

/2 = 0.2433

D(1.946) = -0.0523

( /2)*A(1.946) = 0.2433*0.0806 = 19.61*10-3

(1/(4* )*C(1.946) = 0.5139*(-0.1853) = -95.23*10-3

1.65+0.5139*P0A+0.5*M0A-95.23*10-3

*P0B-26.15*10-3

*M0B = 0

2.83-0.5*P0A-0.2433*M0A-26.15*10-3

*P0B+19.61*10-3

*M0B = 0

-0.948-95.23*10-3

*P0A-26.15*10-3

*M0A+0.5139*P0B+0.5*M0B = 0

-0.2226.15*10-3

*P0A-19.61*10-3

*M0A+0.5*P0B+0.2433*M0B = 0

Resolviendo el sistema : P0A = 16.68 ton P0B = -6.38 ton

M0A = -21.106 t*m M0B = 10.53 t*m

3º) Se resuelve por superposición (Veamos 0 < x < 2 , y1)

Determinación de la elástica en el tramo cargado.

3.a) Debido a la viga infinita con carga uniforme.

y1 = q/(2*k)*(2-D a-D b) 0 < x < 2 0 < x < 0.973

y2 = -q/(2*k)*(D a-D b) 2 < x < 4 0.973 < x < 1.946

q/(2*k) = 5/(2*7*0.7) = 0.51

a b a b D a D b 2-D a-D b y1 mm

0 2 0.0 0.973 1.00 0.2127 0.7873 0.402

0.5 1.5 0.2433 0.7298 0.7609 0.3592 0.8799 0.449

1.0 1.0 0.4865 0.4865 0.5434 0.5434 0.9132 0.466

1.5 0.5 0.7298 0.2433 0.3592 0.7609 0.8799 0.449

2.0 0.0 0.793 0.0 0.2127 1.00 0.7873 0.402

3.b) Debido a P0A :

y1 = P* /(2*k)*A X = 16.68*0.4865/(2*7*0.7)*A X = 0.828*A X

Debido a M0A :

y1 = -(Mo*2/k)*B X = -(21.106*0.4865

2/(2*7*0.7))*B X = -1.0195*B X

x x A X B X y1 = 0.828*A X-0.10195*B X

0 0 1.0000 0.0000 0.828

0.5 0.2433 0.9498 0.1889 0.594

1.0 0.4865 0.8309 0.2874 0.395

1.5 0.7298 0.6806 0.3214 0.236

2.0 0.973 0.5251 0.3124 0.116

3.c) Debido a P0B :

y1 = -P* /(2*k)*A Z = -4.09*0.4865/(2*7*0.7)*A Z = -0.203*A Z

Debido a M0B :

y1 = (Mo*2/k)*B Z = (8.09*0.4865

2/(2*7*0.7))*B Z = 0.391*B Z

z x z A Z B Z y1 = -0.203*A Z+0.391*B Z

2 0 0.973 0.5251 0.3124 0.016

1.5 0.5 0.7298 0.6806 0.3214 -0.012

1.0 1.0 0.4865 0.8309 0.2874 -0.056

0.5 1.5 0.2433 0.9498 0.1889 -0.119

0 2.0 0 1.0000 0.0000 -0.203

3.d) Sumando todos los efectos anteriores :

x y1 (mm)

0 1.25

0.5 1.0

1.0 0.81

1.5 0.57

2.0 0.32

Chequear: Debiera cumplirse MA = 0

4.20.) Se tiene la siguiente viga flotante :

P=80 ton P=80 ton

Despreciar peso propio de viga.

Ancho de viga b= 1.5 m

= 0.002 1/cm

2m 6 m 2m

Encontrar la presión en el suelo y el momento flector bajo las cargas.

(Usar tablas del Hahn)

Nota: En el libro se utiliza la siguiente notación con respecto a la del curso.

Hahn a C J = a*

Curso K I L

P1 P2

Desarrollo :

L = 0.002*1000 = 2

es decir: (Hahn) = 2.0 Tabla 7

i) Cálculo de presión y momento en

con P1 = 80 ton

xi/L = 2/10=0.2 p = 2.11 p1-1= -2.11*80/(1.5*10) = 11.253

xo/L = 2/10=0.2 100 M = 5.15 M1-1= 5.15*80*10/100=41.2

con P2 = 80 ton

xi/L = 8/10=0.8 p = -0.08 p1-2= -0.08*80/(1.5*10) = -0.427

xo/L = 2/10=0.2 100 M = -1.04 M1-2= -1.04*80*10/100=-8.32

Luego: 1 = 11.253-0.427 = 10.826 t/m2

M1 = 41.2-8.32 = 32.88 t*m

ii) Cálculo de presión y momento en

con P1 = 80 ton

xi/L = 2/10=0.2 p = -0.08 p2-1= -0.08*80/(1.5*10) =-0.427

xo/L = 8/10=0.8 100 M = -1.04 M2-1= -1.04*80*10/100=-8.32

con P2 = 80 ton

xi/L = 8/10=0.8 p = -2.11 p2-2= 2.11*80/(1.5*10) = 11.253

xo/L = 8/10=0.8 100 M = 5.15 M2-2= 5.15*80*10/100= 41.2

Luego: 2 = -0.427+11.253= 10.826 t/m2

M2 = -8.32+41.2= 32.88 t*m

P = 80 ton P = 80 ton

2 6 2

= 2 Usando tabla 20 0.2L

P

L = 10 m 0.2*L = 2 m L

b = 1.5 m

con = 2.0 , xi/L = 0.2

x/L = 0.2 p = -2.11 ( en )

100 M = 5.15

x/L =0.8 p = -0.08 ( en )

100 M = -1.04

Luego :

1 = (2.11*80)/(1.5*10)+(-0.08*80)/(1.5*10) = 10.826 t/m2

2 = 1

M1 = M2 = 5.15*80*10/100-1.04*80*10/100 = 32.88 t*m

4.21.) Se tiene la siguiente viga en medio elástico.

Despreciar peso propio de viga y suponer = 0.3 1/m

70 ton 60 ton100 ton 130 ton

1 2 3 4 5 6 7

1.5 1.54.5 4.53.0

15 m

A B

Se pide determinar valor de momento flector y hacer diagrama de él.

Determine los valores del momento flector en A, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y B.

Hacer uso de tablas del Hahn.

¿Cómo lo resolverían analíticamente?. Encuentre el momento en 3 analíticamente.

Desarrollo :

70 ton 60 ton100 ton 130 ton

1 2 3 4 5 6 7

1.5 1.54.5 4.53.0

15 m

L = 0.3*15 = 4.5 tabla 12

A 1 2 3 4 5 6 7 BCoef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. MomCoef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

00

000

0

0

0

0.1 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 1.0

Cargas

xo/L

0.0

238

24.9

9

-0.0

1905

-20

-0.0

232

-24.3

6

-0.0

165

-17.3

3

-0.0

096

-10.0

8

-0.0

002

-0.2

1

-0.0

004

-0.6

0.0

557

83.5

5

0.0

175

26.2

5

-0.0

021

-3.1

5

-0.0

022

-3.3

-4.2

9

-0.0

022

-0.0

002

-0.1

8

-0.0

021

-0.0

232

-4.1

0.0

175

34.1

3

0.0

557

108.6

2

-0.0

096

-0.0

165

-8.6

4

-14.8

5

-20.8

8

0.0

238

-0.0

004

-0.7

821.4

2

19.9

2

46.4

5

28.2

74.5

1

17.1

3

70 ton

ton

130 ton

60 ton

xi/L=0.1

xi/L=0.4

xi/L=0.6

xi/L=0.9

4.22.) Para la viga semi-infinita mostrada :

a) Encuentre una expresión para la elástica (y) (para puntos dentro del intervalo cargado)

b) Evalúe la elástica en el origen para :

K = 2 kgf/cm3 q = 7 t/m

E = 250000 kgf/cm2

h = 15 cm

b = 20 cm

= 2 m

Desarrollo :

1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga semi-

infinita más cargas Po y Mo que restituyan las condiciones existentes en el extremo

finito.

MA(result)=0

QA(result)=0

P0

M0

2º) Determinación de P0 y M0.

=

M

Q

Q = q/(4* )*(1-C )

M = q/(4*2)*(B )

Po

Mo

+

M

Q

Q = Po/2+Mo* /2

M = Po/(4* )+Mo/2

aplicando condiciones de borde :

(1) q/(4* )*(1-C )-Po/2-Mo* /2 = 0

(2) q/(4*2)*B +Po/(4* )+Mo/2 = 0

de (1) :

Po = q/(2* )*(1-C )-Mo*

sustituyendo en (2) :

Mo = q/(4*2)* C -2*B -1

Po = (q/ )* 1+B -C

3º) Encontrados Po y Mo se resuelve por superposición.

a b

q

=

(q/ )* 1+B -C

+

q/(4*2)* C -2*B -1

+

Para 0 x :

y = (q/2k)*(2-D a-D b)+( *2k)*(q/ )*(1+B -C )*A X

+(2/k)*(q/2

2)*(C -2*B -1)*B X

y = (q/2k)*(2-D a-D b+A X+B *A X-C *A X+C *B X-2*B *B X-B X)

M = q/(4*2)*(B a-B b)+(C X/4* )*(q/ )* 1+B -C

+(D X/2)*(q/(4*2))* C -2*B -1

Q = q/(4* )*(C a-C b)-(D X/2)*(q/ )* 1+B -C

-( /2)*(A X*q/(2*2))* C -2*B -1

b) Evalúe la elástica para x = o y x =

x A B C D

-5 184.416 142.317 -100.218 42.099

-1 -0.819 -2.287 3.750 1.469

-0.5 0.656 -0.79 2.237 1.447

0.5 0.823 0.291 0.241 0.532

1 0.508 0.310 -0.111 0.199

5 -0.005 -0.006 0.008 0.002

= 3

34

*

*

K

E h = (3*2000/(2.5*10

6*0.15

3))

1/4 = 0.9183

y (x=0) = q/(2*k)*(2-1-D )+q/(2*k)*(C -2*B -1)*0+q/(2*k)*(1+B -C )*1

= q/(2*k)*(1-D +1+B -C ) = q/(2*k)*(2+B -C -D )

B -C -D = e- *(sen -(cos -sen )-cos )

= e- *(2*sen -2*cos )

= 2*e- *(sen -cos ) = -2*e

- *(cos -sen )

= -2*C

y(x) = q/(2*k)*(2-2*C ) = q/k*(1-C )

= 0.7/(2000*0.2)*(1-C )

= 2 m = 1.8366

C = -0.196 A = 0.112 B = 0.154 D = -0.042

y(x=0)= 2.09 m

y(x=) = q/(2*k)*((1.042)+(1+0.154+0.196)*0.112

+(-0.196-2*0.154-1)*0.154)

= q/(2*k)*(1.042-0.2316+0.1512) = 0.9616*0.7*1000/400

= 1.68 mm

x y M Q

C1A X C2C X C3D X P* /(2*k) = C1

0 1 1 -1 P/(4* ) = C2

0.2 0.965 0.640 -0.802 P/2 =C3

0.4 0.878 0.356 -0.617

0.6 0.763 0.143 -0.453

0.8 0.635 -0.009 -0.313

1.0 0.508 -0.111 -0.199

1.5 0.238 -0.207 -0.016

2.0 0.067 -0.179 0.056

2.5 -0.017 -0.115 0.066

3.0 -0.042 -0.056 0.049

4.0 -0.026 0.002 0.012

5.0 -0.005 0.008 -0.002

Diagrama de corte : 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2 2.5

+

-

4.23.) Resuelva la fundación para el muro de contención. Se pide diagrama de

deformaciones, de momento y de corte. El muro es muy largo en la dirección perpendicular

al plano de la hoja.

Ka = 1/3

= 1.95 t/m

K = 11 kgf/cm

E = 300000 kgf/cm0.2 m

0.2 m

9 m

5 m

3

3

2

Desarrollo :

1º) Chequeo del volcamiento.

Ea = ½* *H*Ka*H*1

= 0.5*1.95*8.82*1/3 = 25.17 ton

q

q = *H*1 = 17.16 t/m

Fq = 17.16*5 = 85.8 ton

F.S.V. = 85.8*2.5/(25.17*(0.2+8.8/3)) = 2.7 O.K.

2º) Determinación de

= 3

34

*

*

K

E h = (3*11000/(3*10

6*0.2

3))

1/4 = 1.083

L = 1.083*4.9 = 5.31 > viga larga

3º) Modelación

P1 q = 17.2 t/m

M1 +

5 m

P1 = 2.4*8.8*0.2*1 = 4.22 ton

M1 = 25.17*(0.2+8.8/3) = 78.87 t*m

4º) Aplicando la teoría de VME se tiene :

(figura 10 Nafvac)

y = 2 1* *P

k*D X+

2 1

2* *M

k*C X+q/K

M = P

k

1*B X-M1*A X

Q = -P1*C X+2*M1* *B X

y = (2*4.22*1.083/(11000*1))*D X+(2*78.87*1.0832/(11000*1))*C X

= 0.831*D X+16.818*C X (mm)

M = (-4.22/1.083)*B X-78.87*A X

= -(3.897*B X+78.87*A X)

Q = -4.42*C X+2*78.87*1.083*B X

= -4.42*C X+170.832*B X

x x A B C D

(m) *1000 *1000 *1000 *1000

0 0.000 1000 0.000 1000 1000

0.5 0.542 798.2 300.0 198.2 498.2

1.0 1.083 457.8 299.1 -140.4 158.7

1.5 1.625 186.0 196.6 -207.3 -10.7

2.0 2.166 30.6 94.9 -159.2 -64.3

2.5 2.708 -32.5 28.0 -88.5 -60.5

3.0 3.249 -42.8 -4.2 -34.4 -38.6

4.0 4.332 -17.1 -12.2 7.3 -4.9

5.0 5.415 -0.5 -3.4 6.3 2.9

Diagrama de deformaciones ( = 1.083)

y = y(P1)+y(M1)+y(q) y(q) = q/K = (17.16/11000)*1000 = 1.56 mm

= 0.831*D X+16.818*C X+1.56 (mm)

x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

y(P1) 0.83 0.41 0.13 -0.009 -0.053 -0.050 -0.032 -0.004 -0.002

y(M1) 16.82 3.33 -2.36 -3.49 -2.677 -1.488 -0.579 0.123 0.106

y(q) 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56 1.56

19.2 5.3 0.7 -1.9 -1.2 0.0 0.9 1.7 1.7

p (kgf/cm2) 21.1 5.8 -0.77 -2.1 -1.3 0 1.0 1.9 1.9

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

p=K*y

Diagrama de momento y corte

x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

M -78.87 -64.12 -37.27 -15.44 -2.78 2.45 3.39 1.40 0.05

Q -4.42 50.37 51.72 34.5 16.92 5.17 -0.57 -2.12 -0.61

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

Q(x)

(+)

M(x)

(-)

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

4.24.) Determinar el diagrama de momento para un pilote de H.A. de sección cuadrada con

25 cm de arista.

H= 3 ton

E = 200000 kgf/cm2

K = 3 kgf/cm3

L = 8 m

Desarrollo :

Modelación.

3 ton

R

1º) Determinación de L.

= 3

34

*

*

K

E h = (3*3000/(2*10

6*0.25

3))

1/4 = 0.7326 1/m

L = 5.86 > se modela como viga larga.

2º) Determinación de la reacción.

y( L=5.8605)=0

y = 2 1* *P

k*D X+

2 * *R

k*1 = 0

= (2*3*0.7326/3000)*1000*0.0026+(2*R*0.7326)/3 = 0

y = 0.00381+0.4884*R = 0

R = -7.8*10-3

ton = -7.8 kgf

M = -P1

*B X = -(3/0.7326)*B X = -4.095*B X

x 0 0.5 1 1.5 2 3 4

x 0 0.3663 0.7326 1.0989 1.4652 2.1978 2.9304

B X 0 0.2483 0.3215 0.2968 0.2297 0.0899 0.0112

M 0 -1.02 -1.32 -1.22 -0.94 -0.37 -0.05

x 5 6 7 8

x 3.6630 4.3956 5.1282 5.8608

B X -0.0128 -0.0117 -0.0054 -0.0012

M 0.05 0.05 0.02 0

¡ El momento debido a la carga R, es despreciable !

(-)

Mmáx -1.4 t*m

4.25.) Repetir el problema 4.24.) pero con E = 300000 kgf/cm2

Desarrollo :

1º) Determinación de L.

= 3

34

*

*

K

E h = (3*3000/(3*10

6*0.25

3))

1/4 = 0.6620 1/m

L = 5.3 > viga larga.

2º) Modelación.

3 ton

R

3º) Determinación de la reacción.(a priori se puede esperar que R=0)

y( L=5.3) = 2 1* *P

k*D L-

2 * *R

k*1 = 0

= (2*3*0.662/3000)*1000*0.0028+(2*R*0.662)/3 = 0

y = 0.0037-0.4884*R = 0 (mm)

R = 8.4*10-3

ton = 8.4 kgf O.K.

4º) Determinación del momento de la carga H (no se considera el momento de la

carga R).

M = -P1

*B X = -(3/0.662)*B X = -4.5317*B X

x 0 0.5 1 2 3 4 5

x 0 0.331 0.662 1.324 1.986 2.648 3.31

B X 0 0.2334 0.3171 0.258 0.1256 0.0335 -0.0061

M 0 -1.06 -1.44 -1.17 -0.57 -0.15 0.03

x 6 7 8

x 3.972 4.6340 5.2960

B X -0.0139 -0.0097 -0.0042

M 0.06 0.04 0.02

(-)

Mmáx -1.5 t*m

V

FUNDACIONES PROFUNDAS

5.1) Dimensionar la pila sometida a las solicitaciones indicadas,

a) Considerando restricciones del suelo de fundación,

b) Sin considerar restricciones del suelo de fundación.

Datos : V

c = 1 t/m2 M

= 30º H

= 1.9 t/m3

Eo = 1300 t/m2

K = 700 t/m3

qadm = 20 t/m2 2.5 m

V = 1.5 ton

H = 2.0 ton

M = 17 t*m

= ?

Desarrollo :

a) Con restricción lateral del suelo.

a.1) Determinación de la altura crítica para ver si se considera el peso propio del suelo.

Hcr = 2/3*((4c/ )*tg(45+ /2))

= 2/3*((4*1/1.9)*tg(45+30/2)) = 2*3.65/3

= 2.4 m 2.5 m

no se considera el peso propio del suelo (en la fórmula de )

a.2) Determinación de Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y la

base de la pila (no depende de B).

Eº = Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)

‟ = L2/L1 = 1

Eº = 1300+700*2.5*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 1763 t/m2

a.3) Diseño : debe cumplirse que B 6e ( no hay tracciones)

e = M /V

Programa

B V EB I M m ton t/m2 10-3rad t*m

2 25.5 4450 0.93 1.63 9.29

2.1 28.0 4520 0.89 1.48 9.89

máx mín 6e

13.3 -0.6 2.19

12.7 -0.06 2.12 B = 2.1 m

Nota: cuando hay restricción lateral del suelo, el momento que llega a la base llega

atenuado.

b) Sin considerar restricción lateral del suelo.

= P/A M/W = V/(B*L2) 6*M/(L2*B2)

Mb = M+H*Df

Vb = 1.5+pp = 1.5+ *h*B*L2

= 1.5+2.4*(2.5*B*2)

B Vb Mb máx mín 6e

2 25.5 22 22.9 -10 5.18

2.5 39.0 22 14.7 -2.2 3.4

2.6 42.1 22 13.7 -1.3 3.14

2.8 48.5 22 12.2 1.8 2.7

B = 2.75 m

Verificaciones

1) Verificación de M para a).

M = 0.16*B2*EB*L2*

= 9.89 t*m

(según fórmula 5 del artículo de R.del Idiem, Vol.16 Sept. 1977)

M = R*c B = 2.1 m

C.R.

c

R

m 0 M = 12.7 t/m2

R = 0.5* M*B*B = 0.5*12.7*2.1*2.1 = 28 ton

c = B/2-B/3 = B/6 = 2.1/6 = 0.35 m

R*c = 9.8 t*m 9.9 O.K.

5.2.) Para la pila de la figura se pide :

a) Determinar el giro

b) Calcular las solicitaciones resultantes indicando las restricciones correspondientes.

Datos :

c = 0.9 t/m2 V=3 ton

= 25º M=16 t*m H=2.5 ton

= 1.7 t/m3

qadm = 20 t/m2

Eo = 1700 t/m2 3m

K = 650 t/m3

=1.5m

Desarrollo :

a) Determinación del giro

1º) Hay que determinar si existe acción del peso propio sobre la pila (diagrama azul

p83b CF).

Si la altura crítica es que Df, no existe acción del peso propio del suelo.

Hcr = 2/3*((4c/ )*tg(45+ /2))

= 2/3*((4*0.9/1.7)*tg(45+25/2)) = 2*3.32/3

= 2.2 m

se puede despreciar el efecto del peso propio del suelo, ya que éste actúa en

menos de un tercio de la pila.

2º) Determinación de (ec.20)

para ‟ = L2/L1 = 1

= (M+0.87*Df*H-pp)/(L1*Eº*B2*I )

L1 = B = 1.5 m

Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y Df.

= Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)

= 1300+650*3*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 2216 t/m2

I = 0.31*2+0.01* *

2+0.157*

= D/B = 3/1.5 = 2

EB = Eo+K*z = Eo+K*(D+B) = 1700+650*(3+1.5) = 4625 t/m2

= L2/L1*(EB/Eº) = 1.5/1.5*(4625/2216) = 2.08

I = 0.31*22+0.01*2.08*2

2+0.157*2.08 = 1.656

= (16+0.87*3*2.5)/(1.5*2216*1.52*1.66) = 22.53/12415

= 1.82*10-3

rad

b) Cálculo de las solicitaciones.

1º) Determinación de resultante de la pila y M

M = (V+pp)/B2+6*M /(B

2*L2)

en que :

M = 0.16*B2*EB*L2*

= 0.16*1.52*4625*1.5*1.82/1000 = 4.54 t*m

M = (3+2.4*(1.52*3))/1.5

2+6*4.54/1.5

3

= 19.2/1.52+8.07 t/m

2

M = 16.6 t/m2 < qadm O.K.

m = 0.46 t/m2 > 0 O.K.

Nota : se puede verificar que

M = R*c

c = B/2-B/3 = B/6

R2 = 0.5*( M- m)*1.5*1.5

R2*c = 4.54 t*m O.K.

2º) T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR)

= 0.604*4625*1.5*1.82/1000*(3-0.87*3)

= 2.98 ton

Debe verificarse que no se sobrepase la resistencia obtenida.

T /B2

2.88/1.52 0.9+ *tg25

1.28 0.9+( M+ m)/2*tg25

1.28 4.88 t/m2 O.K.

3º) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2

= 0.626*1700*1.5*1.82/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.82/1000*(0.87*3)2

= 7.58+2.78

Td = 10.36 ton

Debe verificarse que zdmáx < p (empuje pasivo)

zdmáx

zimáx

4º) Ti = 1.1*Ei*L2* *0.13*D

Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523 t/m2

Ti = 1.1*3523*1.5*1.82/1000*0.13*3 = 4.13 ton

Debe verificarse que zimáx < p (empuje pasivo)

5º) La última verificación se refiere a que no debe producirse el volcamiento de la pila.

5.3.) Determinar la longitud “L” del grupo de pilotes considerando que el grupo debe

resistir una carga última de 200 ton.

A AL

Corte A-A

50 c

m

50 cm

Datos :

Suelo cohesivo duro (stiff)

(Figura 2 entregada en clase)

Radio(pilote) = 12.5 cm

s = 50 cm

Desarrollo :

1º) Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L

Ge*n*Qult = 200 ton

n = 9

Ge*Qult = 200/9 ton

QG = Ge*Qult = 200/9 ton

2º) Suelo stiff c = 7.3 t/m2 (figura 2 p196)

cA = 3.9 t/m2

3º) Sea L = 9 m z = 9 m z/B = 9/0.25 Nc = 10

Qult = 7.3*10* *0.1252+3.9*2* *0.125*L

= 3.58+3.06*L (c/pilote)

L Qult Ge Ge*n*Qult

m ton ton

6 21.94 0.74 146

7 25.00 0.73 164

8 28.06 0.72 182

9 31.12 0.71 199

10 34.18 0.70 215

L = 9 m

5.4.) Considerando restricción lateral del suelo, determine la fuerzas que actúan sobre la

pila verificando y comentando valores admisibles.

Dibuje a mano alzada diagramas de esfuerzos que actúan sobre la pila.

Datos :

= 25º V=3 ton

= 1.7 t/m3 M=16 t*m H=2.5 ton

qadm = 20 t/m2

Eo = 1700 t/m2

K = 650 t/m3 3m

=1.5m

Desarrollo :

1º) Hay que determinar si existe acción del peso propio sobre la pila.

Determinación de la altura crítica.

Como no hay cohesión la altura crítica teóricamente es cero.

Hcr < Df

se considera acción del peso propio del suelo.

en la fórmula para determinación de se considera el término -15* *D3*L1

2º) Determinación de :

= (M+0.87*Df*H-15* *D3*L1)/(L1*Eº*B

2*I )

en que :

L1 = B = 1.5 m

Eº = módulo de deformación equivalente entre la superficie y Df.

Eº = Eo+K*Df*(0.068+0.014* ‟)/(0.295+0.015* ‟)

‟ = L2/L1 = 1.5/1.5 = 1

Eº = 1300+650*3*(0.068+0.014)/(0.295+0.015) = 2216 t/m2

I = 0.31*2+0.01* *

2+0.157*

= D/B = 3/1.5 = 2

EB = Eo+K*z = Eo+K*(D+B) = 1700+650*(3+1.5) = 4625 t/m2

= L2/L1*(EB/Eº) = 1.5/1.5*(4625/2216) = 2.09

I = 0.31*22+0.01*2.08*2

2+0.157*2.08 = 1.66

= (16+0.87*3*2.5-15* *33*1.5)/(1.5*2216*1.5

2*1.66)

= (22.53-607.5* )/12415 = 1.815*10-3

-48.93*10-3

*

*(1+48.93*10-3

) = 1.815*10-3

= 1.73*10-3

rad

3º) Determinación de esfuerzos.

a) En la base de la pila :

M,m = (V+pp)/B2

6*M /B3

en que :

M = 0.16*B2*EB*L2*

= 0.16*1.52*4625*1.5*1.73/1000 = 4.32 t*m

M,m = (3+2.4*(1.52*3))/1.5

26*4.32/1.5

3

= 8.53 7.68 t/m2

M = 16.2 t/m2 y m = 0.85 t/m

2

b) Fuerza T rasante en la base de la pila.

T = 0.604*EB*L2* *(D-ZR)

= 0.604*4625*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3)

= 2.83 ton

Verificación :

T /B2

2.83/1.52 *tg25

1.26 ( M+ m)/2*tg25

1.26 3.97 t/m2 O.K.

c) Td = 0.626*Eo*L1* *ZR+0.23*K*L1* *ZR2

= 0.626*1700*1.5*1.73/1000*0.87*3+0.23*650*1.5*1.73/1000*(0.87*3)2

= 7.21+2.64

Td = 9.85 ton

Zd = (0.237*Eo*ZR+0.126*K*ZR2)/(0.626*Eo+0.23*K*ZR)

= 1.11 m

d) Ti = 1.1*Ei*L2* *(D-ZR)

Ei = Eo+0.935*K*D = 1700+0.935*650*3 = 3523.25 t/m2

Ti = 1.1*3523.25*1.5*1.73/1000*(3-0.87*3) = 3.92 ton

Zi = 0.785*D+0.215*ZR = 2.92 m

Tensiones :

zd = Eo *

1 2 *1

1

u

u+

K ZR* *

1 2* *

1

1

u

u

= 3.23*1

1

u

u+3.23*u*

1

1

u

u

u = Z/ZR zi = EZ *

1 2*

u

u

'

'1 2

= 6.70*u

u

'

'1 2 u‟ = Z‟/(D-ZR)

ZR = 0.87*D = 2.61

Z u zd Z‟ u‟ zi

0 0 3.23 2.61 0 0

0.5 0.19 3.17 2.65 0.10 0.69

1.0 0.38 2.98 2.67 0.15 1.04

1.5 0.57 2.64 2.70 0.23 1.59

2.0 0.77 2.07 2.75 0.36 2.57

2.5 0.96 0.93 2.80 0.49 3.74

3.61 1 0 2.85 0.62 5.23

2.90 0.74 7.45

2.95 0.87 11.92

3.00 1

Ti

Td

1 2 3 4 5 65 4 3 2 1

1

2

p = kp* y kp = (1+sen )/(1-sen )

p = 2.46* *Z = 2.46*1.7*Z

p = 4.19*Z

5.5.) Mediante la fórmula de Hiley (fórmula general), determine la longitud de hincado de

los pilotes de la figura. Las características del martinete son :

Energía = 1500 kg*m Wp = 400 kg

Wr = 500 kg Deformación elástica cabeza de golpes = 0.2 cm

Eh = 80 % Factor de seguridad diseño = 5

n = 0.4 = coef. de resistencia

Cabeza golpes

Registro

hincado

0.5cm

0.5cm

0.5cm

s

20

0 1.5 30

10L

ong.h

inca

do (

m)

s (cm/golpe)

3.5m 3.5m

V = 100 ton

M = 60 t*m

Cabezal

rígido

Desarrollo :

1º) Escribamos la fórmula de Hiley.

Pu = (Eh*Wr*h/(s+c))*(Wr+n2*Wp)/(Wr+Wp)

2º) Datos :

Energía = 1500 kg*m = 150000 kg*cm = Wr*h

Peso Martinete = Wr = 500 kg

Factor de ef. = Eh = 0.8

Coef. de resistencia = n = 0.4

Peso propio = 400 kg

3º) Determinación de c

c = 0.5*(k1+k2+k3)

k1 = deformación elástica cabeza = 0.2 cm

k2 = ” ” p.

k3 = ” ” s. k2+k3 = 0.5 cm (del registro de hincado)

c = 0.5*0.7 = 0.35 cm

4º) Solicitación en los pilotes.

V=100 ton

M=60 t*m

=

100 ton8.575 ton8.575 ton

7 m

un pilote izquierdo un pilote derecho

13.808 ton 19.525 ton

Sustituyendo los datos en la fórmula :

Pu = (0.8*150000/(s+0.35))*(500+0.42*400)/(500+400)

= 7.52*104/(s+0.32) (kg)

Padm = Pu/F.S. = Pu/5 = 1.504*104/(s+0.35)

Pilote derecho (más desfavorable)

1.504*104/(s+0.35) = 19525

1.504*104/19525-0.35 = s = 4.203*10

-1

Del gráfico de hincado :

y = mx+n m = y/ x = -20/3

L = -20*s/3+20 = 17.2 m

Pilote izquierdo :

1.504*104/(s+0.35) = 13808

1.504*104/13808-0.35 = s = 7.392*10

-1

L = 15.07 m

y considerando el caso más desfavorable. L = 17.2 m

5.6.) Para un pilote cañería hincado (driven pipe pile), relleno con concreto (cement filled),

con un diámetro de 30 cm y un largo de 9.2 m, encontrar Qadm (Qall) y Tadm (Tall).

0.6 m

1.0 m

7.6 m

30 cm

3

= 1.28 t/m3

= 0.40 t/mb

3= 0.40 t/mb

= 30 o

Qult

Desarrollo :

1.6 m

6.0 m

1.0 m

0.6 m = 0.77 t/m

= 1.17 t/m2

2

= 7.41 t/m2

= P T

V

V

V

po(máx) ocurre a 6 m (20*30 cm = 6m)

Nq ( =30º) = 21 s = 2* *r*1 = 0.94 m2/m

KHC = H

/V

= 1.5 tabla en p194 Nfac.

= (3/4)*30 = 22.5º

AT = 7.069*10-2

m2

Qult = PT*Nq*AT+ KHC* Po *tg *s*h

= 7.41*21*7.069*10-2

+1.5*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6

+1.5*7.41*tg22.5*0.94*6

= 11.0+15.03+6.92 = 32.95 ton

Qadm(F.S.=3)= 11 ton

Tult = KHT*Po*tg *s*h

KHT = 1.0

Tult = 1.0*(1.17+7.41)/2*tg22.5*0.94*6+1.0*7.41*1.6*tg22.5*0.94

= 10.02+4.62 = 14.64 ton

Tadm = Tult/3+Wp Wp = horm.*Vhorm.+ acero*Vacero

VT = 0.3*(2/4)*9.2 = 0.65 m

3

suponiendo que :

Vhorm. = 70%VT = 0.7*0.65 = 0.455 m3

Vacero = 30%VT = 0.3*0.65 = 0.195 m3

Wp = 2.4*0.455+8*0.195 = 2.65 ton

Tadm = 14.64/3+2.65 = 7.53 ton

5.7.) Un grupo de pilotes desplantado en suelo cohesivo, tiene las siguientes características :

1.2 m

= 0.3 m

L = 7 m

c = 2.0 t/m

c = 1.5 t/m2

2

A

Determinar el F.S. con que está trabajando el grupo si la estructura le transmite una

carga de 70 ton.

Desarrollo :

7*B = 2.1 m > 1.2 m grupo

Qult = c*Nc* *R2+cA*2* *R*L = carga que resiste cada pilote individual

Qultgrupo

= n*QG = n*Ge*Qult

(s = 4B Fig.3)

Ge (3*3) = 0.87

Ge (9*9) = 0.86

Ge (5*5) = 0.866

QG = Ge*Qult

Qult = 2*9.3* *(0.3/2)2+1.5*2* *(0.3/2)*7

= 1.31+9.90 = 11.21 ton (c/pilote)

QG = 0.866*11.21 = 9.71 ton

Qultgrupo

= 25*9.71 = 243 ton

F.S. = 243/70 = 3.47 3.5

14 ejercicios resueltos

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