1383_escuela superior de ingenieria mecanica y electrica (esime) unidad...

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIN

UNIDAD CULHUACAN

ESTABILIZACIN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN CON RETARDO:

APLICACIN A SISTEMAS DE ALTO ORDEN

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE INGENIERA EN MICROELECTRNICA

PRESENTA: ING. OMAR ARID GONZLEZ NJERA

DIRECTOR DE TESIS DR. BASILIO DEL MURO CULLAR

MEXICO, D.F. JUNIO DEL 2009

Agradecimientos

A mis padres por el apoyo moral y econmico brindado durante todo el tiempo que duraron mis estudios, en especial a mi maestra de toda la vida

por darme todo su apoyo hasta el da de su muerte, gracias mam!!!

A mis hermanos por su confianza y por su inters.

A mi esposa por su comprensin, cario y apoyo.

A mi asesor por su tiempo, sus consejos y por la oportunidad de realizar la Maestra.

A CONACYT por el apoyo econmico.

A todos los profesores de la SEPI-UC por brindarme sus conocimientos.

A todos mis compaeros.

La ignorancia es el peor de los males de una nacin. Raquel Njera Segura (1950 -2008).

La Tcnica al servicio de la Patria.

ndice general

Resumen V

Abstract VII

Introduccin IX

1. Estado del Arte 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Aproximaciones de Pad y Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Propuesta de Normey-Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Propuesta de Seshagiri et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. La solucin de Pedro Albertos et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Preliminares 152.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Lugar Geomtrico de las Races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Estabilizacin de sistemas de segundo orden 233.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Aproximando el retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Condiciones para la estabilidad sin aproximar el retardo. . . . . . . . 30

3.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv NDICE GENERAL

4. Reduccin de sistemas de alto orden 394.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1. Aproximacin del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2. Aproximacin de las constantes de tiempo positivas

del numerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Estrategias de Control 475.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2. Esquema Predictor-Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4. Esquema Predictor-Observador Modicado . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6. Conclusiones y Perspectivas 57

I Anexos 61

Resumen

Este trabajo de tesis se enfoca en la estabilizacin y el control de cierto tipo desistemas de segundo orden con retardo, los cuales tienen, adems del trmino retardo,un polo estable y un polo inestable. Se presenta un primer resultado aproximando elretardo por la expansin en serie de Taylor. En un segundo resultado (el principal),se presentan las condiciones necesarias y sucientes para la estabilizacin de los sis-temas aqu planteados mediante la retroalimentacin esttica de la variable de salida.Una de las motivaciones para trabajar sistemas de segundo orden es que sistemasde alto orden con un polo inestable pueden ser reducidos a los sistemas de segundoorden abordados en este trabajo. Usando este hecho, se realiza la aplicacin de losresultados anteriores a sistemas de alto orden reduciendo su modelo. Para mejorar eldesempeo de los sistemas antes descritos se plantea el uso de un esquema Predictor-Observador con la implementacin de un controlador de tipo Proporcional-Integral(PI). Se propone tambin una modicacin al esquema Predictor de Smith de maneratal que ciertos sistemas que no cumplen con la condicin de estabilidad, puedan serllevados a condiciones que permitan la aplicacin de las estratgias aqu propuestas.

v

vi RESUMEN

Abstract

The main objective of this work is the stabilization and control of some kind ofsecond-order systems with time delay. We present a rst result by approximating thedelay by Taylor series expansion. As a main result, necessary and su cient conditionsor given for the stabilization of the system by static output feedback. To improvethe performance of the stabilized systems described above, we propose the use of aPredictor-Observer schema to implement a Proportional-Integral (PI) controller. Itis also proposed a modied schema so that certain systems that do not meet thecondition of stability can be brought to conditions allowing the implementation ofthe strategy proposed here. One motivation for working with systems of second orderplus delay is that high order systems with a unstable pole can be reduced to thesecond order systems discussed in this work. Using this fact, the proposed strategy isapplied to high order systems by the way of reduced order model.

vii

viii ABSTRACT

Introduccin

En la mayor parte de los procesos industriales se presentan de forma naturallos retardos. Los sistemas con retardos son tambin llamados sistemas con efectosecundario o tiempo muerto. Los retardos, presentes frecuentemente en problemas decontrol de procesos, pueden originarse por fenmenos como el transporte de material,lazos de reciclo o bien por la aproximacin de sistemas de alto orden mediante sistemasde primer orden con retardo [1].Algunos ejemplos donde se pueden encontrar retardos son; en las plantas indus-

triales qumicas; como las ollas calorcas, tanques de almacenamiento de lquidos yreactores qumicos por etapas. Dispositivos electrnicos; como sistemas de medicin,donde el tiempo de medicin no es despreciable en comparacin a la constante detiempo. En sistemas de muestreo y retencin, debido a que estos dispositivos tienenelementos de almacenamiento, proceso que implica la retencin de datos lo que im-plcitamente induce un retardo.Diversas soluciones han sido propuestas para tratar sistemas con retardos. Un

mtodo para tratar sistemas lineales estables con retardo, es eliminar el efecto de laseal de retardo mediante una adecuada retroalimentacin. Este mtodo fue presen-tado por O. J. Smith[2] a nales de la dcada de los 50s. Esta metolologa propor-ciona una estimacin "futura" de las salidas para ser incorporada como una funcinde control y realimentacin. La principal limitacin de esta estrategia es que estrestringida a plantas estables. Para superar ste problema, en los ltimos 25 aos nu-merosas extensiones y modicaciones al Predictor de Smith se han propuesto con eln de permitir su uso en plantas inestables. Vase, por ejemplo, las obras presentadasen la dcada de 1980 por autores como [3] y [4], as como los trabajos de [5], [6], [7],[8] y [9].Para analizar los sistemas con retardos se pueden realizar aproximaciones a los

retardos, entre las que destacan: la expansin en serie de Taylor o la aproximacin dePad del operador de retraso [10]. La idea principal es reconocer que los problemasanalticos son ms complicados en sistemas continuos con retardo que para sistemaslibres de retardos. Si se deseara extender mtodos que se aplican a sistemas continuoslibres de retardo a los casos continuos con retardo (donde estos problemas algebraicosocurren), otra opcin es usar aproximaciones nitas para el trmino exponencial es.Otra forma alternativa de trabajar los sistemas con retardo sin la necesidad de

realizar aproximaciones al retardo, se da en el dominio de la frecuencia, gracias al

ix

x INTRODUCCIN

Criterio de Estabilidad de Nyquist, el cual mediante el diagrama de Nyquist representala evolucin del sistema en coordenadas polares al variar la frecuencia desde valoresmuy pequeos (cero) hasta 1:Otra losofa que se presenta para el anlisis de los sistemas con retardo en el

lazo directo, es que se puede realizar una representacin discreta del sistema [11], alutilizar un retenedor ya sea de orden cero o superior, para poder muestrear la sealen instantes de tiempo exactos. En sta representacin el retardo aparece como unnmero n (nmero entero) de polos en el origen, lo cual nos permite, por ejemplo, re-alizar el Lugar Geomtrico de las Races [12] y determinar si el sistema es estabilizableal realizar una retroalimentacin esttica de la variable de salida para el caso discre-to. Si utilizamos un nmero n grande, el periodo de muestreo sera muy pequeo,con lo cual, estaramos analizando prcticamente al sistema en el caso continuo. Sepuede concluir, que si el sistema es estabilizable en el caso discreto (cuando n tiendea innito), puede llegar a ser estable en el caso continuo (ver [11]).En este trabajo de tesis se dan las condiciones necesarias y sucientes para la

estabilizacin de sistemas lineales de segundo orden con retardo por una retroali-mentacin esttica de la salida. En un resultado preliminar se realiza la aproximacindel retardo por Taylor y en el resultado principal se realiza el anlisis del sistema sinaproximar el retardo usando un anlisis en el dominio de la frecuencia con la ayudadel criterio de estabilidad de Nyquist.Ntese que el Predictor de Smith no puede ser usado para esta clase de sis-

temas dado que la inestabilidad del proceso impide una cancelacin estable del ope-rador retardo. Entonces, para mejorar el desempeo obtenido con una simple retroal-imentacin esttica de la salida, un esquema inspirado en el Predictor de Smith espropuesto para estimar la informacin antes de ser retardada (prediccin). Se dancondiciones necesarias y sucientes para la existencia de un esquema Predictor. Unavez diseado el Predictor, se propone una conguracin tipo Proporcional-Integral(PI) (ver [13] y [14]). Una motivacin adicional para tratar sistemas de segundo or-den con retardo, es el hecho que sistemas de muy alto orden con un polo inestablepueden ser reducidos a sistemas de segundo orden con retardo [1]. En este trabajode tesis se ilustra la aplicacin de los resultados obtenidos para sistemas de segundoorden con retardo al control de sistemas de alto orden con retardo y un polo inestable.El trabajo est organizado como sigue. En el primer Captulo se presentan breve-

mente distintos trabajos referentes al tema de esta tesis y que adems sirvieron comoreferencia y estudio inicial. En el segundo Captulo se da una introduccin a la teorabsica necesaria para el mejor entendimiento del desarrollo de la tesis. En el tercerCaptulo se dan los resultados principales de este trabajo de tesis: condiciones nece-sarias y sucientes para la estabilizacin por retroalimentacin esttica de la salidade los sistemas bajo estudio. En el cuarto Captulo se describe la metodologa parala reduccin de sistemas de alto orden con retardo y un polo inestable para obtenercomo sistema "equivalente" los sistemas estudiados en este trabajo. En el Captulo 5se dan las condiciones para la existencia del esquema predictor propuesto. Se ilustrar

xi

mediante ejemplos la implementacin del esquema Predictor-observador con el cualse mejorar el desempeo de los sistemas con el uso de controladores como el PI.Tambin se aplica la metodologa a los sistemas de alto orden. Adems, se mostrarcmo ciertos sistemas que no cumplen con la condicin de estabilidad y consecuente-mente tampoco con la condicin para la existencia del predictor, al aplicar un esquemaPredictor-observador modicado, el sistema puede ser llevado a una nueva condicinque garantiza la existencia del predictor. Por ltimo se darn las conclusiones gene-rales de la Tesis as como perspectivas para posibles trabajos sobre el tema.

xii INTRODUCCIN

Captulo 1

Estado del Arte

1.1. Introduccin

Los sistemas con retardo son tambin llamados sistemas con efecto secundarioo tiempo de retardo. Distintos sistemas o procesos inestables con retardo se encuen-tran frecuentemente en procesos industriales, procesos qumicos, sistemas electrnicos,econmicos, biolgicos, etc.[10], provocados generalmente por fenmenos de trans-porte de material, lazos de reciclo, etc.Los sistemas con retardo tambin pueden originarse por la aproximacin de un

sistema de alto orden por uno de primer orden con retardo [1].La presencia de retardos en los lazos de control tiene dos importantes consecuen-

cias:

1. Se complica mucho el anlisis y la estabilizacin de estos sistemas.

2. Es ms difcil obtener un control que logre un desempeo satisfactorio.

Los sistemas a tratar en este trabajo de tesis son sistemas inestables de segundoorden con retardo. En particular, se tratar sistemas con uno de sus dos polos en elsemiplano izquierdo del plano complejo s.En lo que sigue se hace un breve recorrido por distintas losofas usadas para

tratar sistemas estables o inestables con retardo.

1.2. El Predictor de Smith

A continuacin se describe brevemente el trabajo dado a conocer por O. J. M.Smith en 1957 [2], el cual fue una importante contribucin y el primer intento pordisear una estrategia de control para compensar el retardo, lo que hoy en da seconoce como el modelo de control predictivo. El principio bsico de la idea que proponeSmith es relativamente simple como se ver a continuacin.

1

2 CAPTULO 1. ESTADO DEL ARTE

Figura 1.1: Idea bsica de Smith.

La Figura 1.1 muestra que el sistema se compone de una funcin de transferenciaG(s) y un retardo t0: Este elemento t0 es la fuente del problema y lo ideal sera que laseal fuera medida antes de ser retardada. Sin embargo esto en general no es posibleya que el retardo esta inmerso en el proceso. Para solucionar esto, Smith propuso unesquema de prediccin usando el modelo matemtico del proceso (aqu ilustrado conun primer orden) con retardo dado por:

G(s)et0s =k

s+ 1et0s (1.1)

La ganancia y la constante de tiempo en (1.1) son parte de este modelo y puedenutilizarse para predecir el efecto de la seal de salida del controlador. En condicionesideales esto bastara para predecir la variable antes de que entre el retardo (ver Figura1.1). Por lo tanto, distintas medidas de control podran adoptarse sobre la base deesta prediccin. Sin embargo, a partir del esquema predictor en lazo abierto no existegaranta para una buena prediccin de la seal. Smith fue realista y propuso unesquema de prediccin en lazo cerrado (ver Figura 1.2).Al analizar el esquema de Smith en la Figura 1.2, se observa que cada vez que el

controlador cambia su salida, en un esfuerzo para corregir el error, es inmediatamenterecibida una seal de retroalimentacin.La principal caracterstica del Predictor de Smith es que el retardo se elimina de la

ecuacin caracterstica del sistema a lazo cerrado como se puede ver a continuacin.Del esquema que muestra la Figura 1.1 al simplicar el esquema por lgebra debloques obtenemos el esquema mostrado en la Figura 1.3. Si determinamos la funcinde transferencia R(s)

Q(s)al cerrar el lazo A obtenemos:

R(s)

Q(s)=

Gc1 +GcG(s)(1 + es1 )

(1.2)

1.3. APROXIMACIONES DE PAD Y TAYLOR 3

Figura 1.2: Esquema Predictor de la tcnica propuesta por Smith.

Donde G(s) es la representacin de la planta en nuestro esquema predictor, Gces un controlador y es1 es la representacin del retardo en el Esquema predictor.Si ahora utilizamos (1.2) como un solo bloque como lo muestra la Figura 1.4. Al

determinar la funcin de transferencia de R(s)Y (s)

al cerrar el lazo obtenemos:

R(s)

Y (s)=

GcG(s)es

1+GcG(s)(1+es1 )

1 GcG(s)es1+GcG(s)(1+es1 )

=GcG(s)e

s

1 +GcG(s) +GcG(s)es1 GcG(s)es

Entonces en la ecuacin caracterstica se puede observar que el sistema Predictor-Observador tiende a ser lo mas parecido a la planta original, el trmino retardodesaparecer de la ecuacin caracterstica obteniendo simplemente:

R(s)

Y (s)=GcG(s)e

s

1 +GcG(s)

Una de las limitaciones de la tcnica del Predictor de Smith es que solo aplica parasistemas que son estables (todos los polos del sistema deben estar en el semiplanoizquierdo del plano complejo "s").

1.3. Aproximaciones de Pad y Taylor

Otra forma para abordar el problema que presentan los retardos es reali-zando una aproximacin de Pad del retardo, esto es, una razn de polinomios N(s)

D(s);

cuyo orden depende de qu tanta precisin se desea en la aproxi-


Figura 1.3: Reduccin del lazo A.

Figura 1.4: Reduccin de bloques del esquema propuesto por Smith.

1.4. CASO DISCRETO 5

macin, ya que entre ms grande sea el orden de esta funcin, mejor ser la aproxi-macin y se parecer ms al comportamiento dinmico del retardo. Esta es la repre-sentacin de Pad para un sistema de primer orden:

es Nn(s)Dn(s)

=1

2s

1 + 2s

Adems de la aproximacin de Pad existe tambin al menos otra aproximacinal retardo la cual es ocupada en este trabajo de tesis y es la aproximacin en seriesde Taylor. En esta aproximacin se considera la expansin en serie de la funcinexponencial, ya que el retardo se puede sustituir por la funcin exponencial , entoncesel retardo puede ser representado por:

es 1s+ 1

Este mtodo es utilizado en este trabajo de tesis y la aproximacin en series deTaylor es propuesta por Skogestad en [1], y se presenta en un Captulo posterior.En el siguiente ejemplo se ilustrar la aplicacin de ambas tcnicas.

Ejemplo. Sea el sistema estable con retardo dado por:

G(s) =1

s+ 1e2s (1.3)

Al realizar la aproximacin de Pad de primer orden al retardo, el sistema quedade la siguiente forma:

G0(s) =

1

s+ 1

s+ 1s+ 1

=s+ 1(s+ 1)2

(1.4)

La aproximacin de Taylor aplicada al retardo queda de la siguiente manera:

G00(s) =

1

s+ 1

1

2s+ 1

=

1

2s2 + 2s+ 1(1.5)

La Figura 1.5 muestra la comparacin de nuestro sistema con retardo (1.3), elsistema con aproximacin de Pad (1.4) y el sistema con la aproximacin deTaylor (1.5).

1.4. Caso Discreto

Un enfoque que tambin es adecuado para tratar con este tipo de sistemas esla representacin discreta del proceso, tcnica aplicable a sistemas continuos perocontrolados por computadora (ver [11]).


0 5 10 15-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Sistema con retardoSistema con aproximacin de TaylorSistema con aproximacin de Pad

Figura 1.5: Comparacin entre ambas tcnicas.

En esta representacin se utiliza un retenedor, generalmente de orden cero, en elproceso de muestreo. As mismo se suele considerar un periodo de muestreo T = =n;donde es la magnitud del tiempo de retardo y n un entero. Entonces, al tener unarepresentacin discreta del sistema (funcin de transferencia en la variable complejaz), el retardo de tiempo se transforma en n polos en el origen, lo que permite, porejemplo, trazar el Lugar Geomtrico de las Races en el caso discreto.Ntese que entre mayor sea el entero n; el sistema discreto (con retenedor de

orden cero) se parecer ms al sistema continuo original. Entonces, un anlisis en elsistema discreto con n "grande"permite sacar conclusiones sobre el comportamientodel sistema discreto (ver [11]): En el siguiente ejemplo se ilustra esta propuesta alestabilizar un sistema de primer orden con retardo por medio de una retroalimentacinesttica de la salida.

Ejemplo. Sea el sistema inestable de primer orden con retardo dado por:

H(s) =1

s 0:5e1:5s (1.6)

Al discretizar el sistema (1.6) con un retenedor de orden cero y T = 1:5=20obtenemos la siguiente expresin:

H(z) =0:07642

z 1:038z20 (1.7)

1.5. PROPUESTA DE NORMEY-RICO 7

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 1.6: Representacin discreta del Lugar Geomtrico de las Races.

Debido al retardo, el sistema muestreado (1.7) tendr 20 polos en el origen,entonces al realizar una Retroalimentacin esttica de la salida se tiene el LugarGeomtrico de las Races como lo muestra la Figura 1.6. De este diagrama sepuede leer que el sistema ser marginalmente estable con un valor de gananciak = 0:5 y al agregar un valor de " > 0; lo sucientemente pequeo, existir unaregin de estabilidad dentro del circulo de radio unitario. En la Figura 1.7 semuestra el sistema continuo que ha sido estabilizado con el valor de gananciaadecuado, el valor de k = 0:516:

Una de las dicultades de tratar sistemas con retardo en el enfoque discreto esque sistemas de alto orden suelen ser difciles de analizar.Para el caso particular de la tesis, en el Captulo 2 se ver un ejemplo, en el cual

se utiliz el enfoque discreto, con el objeto de ver que tan parecido es el valor deganancia al cual se lleg en este enfoque, en comparacin con el valor de gananciadeterminado en el enfoque continuo.

1.5. Propuesta de Normey-Rico

Normey-Rico en su trabajo [15] presentan una solucin sencilla y ecaz para elcontrol de procesos de primer orden inestables con retardo.El controlador se basa en una simple modicacin de la estructura del Predictor

de Smith, que permite hacerle frente a procesos inestables y ajustar el controlador


0 50 100 150 2000

10

20

30

40

50

60

Tiempo

Figura 1.7: Grca del sistema estabilizado.

para un slido comportamiento del sistema. Comparado con algunos resultados deotros controladores presentados recientemente en la literatura muestra ventajas sobreestas estrategias.Procesos con importantes tiempos muertos o retardos son difciles de controlar al

utilizar controladores de retroalimentacin. Los retardos con compensadores incluyenun modelo de proceso en la estructura del controlador, a n de hacer frente al retardo.El Predicor de Smith fue utilizado para sistemas estables con retardo. Sin embargo,como se mencion anteriormente, para sistemas inestables con retardo, el Predictorde Smith no puede ser utilizado.El controlador propuesto se muestra en la Figura 1.8. Como puede verse, corres-

ponde a la estructura base de un Predictor de Smith, adicionando un ltro (Fr(s)).El modelo nominal del proceso es Pn(s) = Gn(s)eLnS. Para el modelo de primerorden inestable con retardo Gn(s) = K=(T 1); es el modelo libre del retardo. Elcontrolador principal C(s) es un controlador tradicional PI con un punto de referenciade ponderacin para mejorar el seguimiento y Fr(s) es un ltro predictor utilizadopara mejorar las propiedades de prediccin.La idea de utilizar un ltro de prediccin [16], es para mejorar la robustez del

Predictor para un sistema estable con retardo. Esta idea se utiliza en los modelosutilizados en otros controladores que tienen el mismo objetivo.En primer lugar se considera el controlador PI C(s) = fKc(1 + sTi)g=fTisg sin

punto de referencia de ponderacin. As, el valor nominal de la funcin de transfe-rencia en lazo cerrado es:

1.5. PROPUESTA DE NORMEY-RICO 9

Figura 1.8: Estructura de Normey-Rico.

Y (s)

R(s)=C(s)Gn(s)e

Lns

1 + C(s)Gn(s)=

KcK(1 + sTi)

(Ts 1)Tis+KcK(1 + sTi)eLns;

donde Ti = T12 + T1

T

y Kc = T1+2TKT1

La condicin de estabilidad interna es obtenida si Ceq(s) no elimina el polo ines-table en el modelo s = 1=T . Como Ceq(s) es:

Ceq(s) =C(s)

1 + C(s)M(s)

M(s) = K(1 + sTi)(1 + sT0)

2 (1 + sT1)2(1 + as)eLns(Ts 1)(1 + sTi)(1 + sT0)2

con el n de obtener un sistema estable internamente M(s) no puede tener un poloen s = 1=T . Por lo tanto, tiene que vericarse que:

a = T [(1 + T0=T )2eLn=T 1]

Como puede verse en las expresiones anteriores, el controlador se desacopla total-mente del punto de referencia y de la respuesta de perturbacin. La sintonizacin deT0 dene la respuesta de rechazo de perturbaciones y T1 la respuesta del punto dereferencia.


1.6. Propuesta de Seshagiri et al

En su trabajo Seshagiri et al. [17] presentan una solucin para el control de sis-temas inestables de primer orden con retardo mediante dos controladores; tipo PD yPI.La estructura propuesta (Figura 1.9) es relativamente fcil de analizar y de sin-

tonizar, proporciona rechazo a perturbacin y una respuesta a un punto de referencia.Para mejorar las condiciones de lazo cerrado, Seshagiri propone una modicacin

al esquema Predictor de Smith. El esquema est motivado por la modicacin delPredictor de Smith propuesto por [5] para la integracin de procesos.Del esquema de control mostrado en la Figura 1.9, donde G^p es la planta libre

del retardo, p es el retardo del sistema y G^m y m representan la parte del esquemaPredictor. GCS es el controlador de seguimiento de referencia, Gcd es el controladorque estabiliza y contribuye al rechazo de perturbaciones. Seshagiri utiliza un ltro deprimer orden (Gf ) como el sugerido por [15] en el lazo de retroalimentacin para laprediccin de la perturbacin y con esto mejorar la robustez del sistema.En el caso de un modelo ideal de esquema Predictor se tendra que G^peps =

G^mems, entonces las respuestas para la seal de entrada y perturbacin son:

y

yr=GcsG^me

ms

1 +GcsG^m

y

yd=(1 +GcsG^m GcsGfG^mems)G^mems

(1 +GcsG^m)(1 +GcdG^mems)De las ecuaciones antes mostradas se observa que la perturbacin es desacoplada

de la respuesta de seguimiento de referencia. A continuacin se muestra el diseo delos dos controladores antes mencionados (Gcs y Gcd). Si consideramos un sistema deprimer orden inestable con retardo:

Gp = G^peps =

kpeps

ps 1Siendo su equivalente en el esquema Predictor:

Gm = G^mems =

kmems

ms 1Se considera Gcs como un controlador de tipo PI el cual se muestra a continuacin:

Gcs = kc(1 +1

is)

De donde los parmetros kc y i son obtenidos de la siguiente manera:

kc =+ 2mkm

; i =2 + 2mm

1.7. LA SOLUCIN DE PEDRO ALBERTOS ET AL 11

Figura 1.9: Estructura de Seshagiri Rao y Chidambaram.

La variable es un parmetro de sintonizacin para un comportamiento deseadoal cerrar el lazo. Se puede seleccionar el parametro ; teniendo en cuenta que siseleccionamos un valor pequeo de proporcionar una respuesta rpida y un valorgrande de favorecer la robustez del sistema. Gcd = kd(1 + ds) es un controladortipo PD (Proporcional Derivativo).Para disear el controlador proporcional-derivativo, cualquier mtodo que pueda

estabilizar a la planta inestable de primer orden con retardo, puede ser usado. Laprincipal ventaja de este mtodo es que no requiere de sintonizacin de parmetrosya que estn dados por:

kd =1

km

0:533

m=m+ 0:746

Para m=m 0:7

kd =1

km

0:49

m=m+ 0:694

Para 0:7 < m=m 1:5; donde d = 0:7

mm

:

La estabilidad del sistema en lazo cerrado depende totalmente del controlador derechazo de perturbacin Gcd y los parmetros kd y d.

1.7. La solucin de Pedro Albertos et al

Inicialmente Pedro Albertos y Pedro Garca en su trabajo [18], proponen realizarla representacin en variables de estado discreta del sistema y as utilizar un estimador


a la salida, el cual no est diseado para plantas de fase no mnima. El retardo desalida de la planta se estima mediante la combinacin de los resultados de un ltrode respuesta nita al impulso (FIR) para la entrada del proceso y en la estabilidaddel ltro para el proceso. As, para una planta de fase no mnima, el problema decontrol se resuelve en dos pasos; en primer lugar, el sistema se estabiliza y luego,un esquema Predictor de Smith convencional se utiliza para el diseo del control engeneral. La estructura propuesta se analiza a n de demostrar la solidez y estabili-dad para el control de plantas inestables con grandes retardos. Una muy importantemejora con respecto a otros mtodos es que, en cualquier caso, la sintonizacin de loscontroladores se realiza considerando un modelo libre de retardo en la planta.Consideremos la representacin en variables de estado del siguiente sistema con

retardo a la entrada:

:x(t) = Acx(t) + bcu(t )y(t) = cx(t)

Donde los valores de las matrices son Ac 2 Rnxn; bc 2 Rnx1; c 2 R1xn, y 2 R+que es el retardo, los instantes de muestreo al discretizar nuestro sistema son dadospor: tk = kT ; k 2 L+:El periodo de muestreo es T = tk+1 tk; adems xk = x(kT ):La representacin discreta en variables de estado de la planta ser:xk+1 = Axk + bukd; yk = cxk:Donde A = eAcT , y b =

R T0eAcdbc:

Entonces la funcin de transferencia del sistema discretizado es:

y(z)

u(z)= Gp(z) = G(z)z

d = c(zI A)1bzd = N(z)D(z)

zd

En esta estructura de control, como en el basado en el convencional Predictorde Smith, el controlador K puede ser diseado con independencia del retardo. Sinembargo, esta nueva estructura tiene la ventaja de ser estable cuando el proceso decontrol es estable o inestable.La misma equivalencia puede ser mostrada por la simple estimacin de la salida

y^ donde es usada para el control en vez dey . Sin embargo, este grado de libertad

nos permitir mejorar la robustez y la estabilidad frente a las perturbaciones.Ahora se propone el siguiente anlisis de estabilidad y robustez en lazo cerrado de

las expresiones anteriormente obtenidas:

y =KGzd

1 +KGr +

Gzd

1 +KGw +

(KcdGKcdGzd)zd1 +KG

w

KGzd

1 +KGn+

(KFGzd KFG)zd1 +KG

n

1.8. CONCLUSIONES 13

Figura 1.10: Estructura de Pedro Albertos

u =K

1 +KGr +

(KFGzd KFGKG)zd1 +KG

w

+(KFzd KF K)zd

1 +KGn

El sistema en lazo cerrado ser estable si se puede observar que el estado deequilibro del error es similar al de un sistema sin retardo. Si observamos la relacinentre ambas podemos ver que la perturbacin desaparece.lmz!1(KcdGKcdGzd) = 0

lmz!1

(KFGzd KFG) = 0La condicin de robustez y estabilidad es obtenida de la salida de sensibilidad

dada por la funcin:

H1 KG1 +KGWm

1< 1;

Donde H1 = (Fzd F 1):

1.8. Conclusiones

En este Captulo se mostraron algunos trabajos recientes, los cuales abordan elproblema de los retardos en sistemas estables o inestables. La mayor parte de autoresbasan sus trabajos en sistemas de primer orden con retardo. Distintas estructuras


basadas en el Predictor de Smith fueron mostradas con la intencin de estabilizarel tipo de plantas mostradas y mejorar la robustez por medio de la sintonizacin dedistintos controladores. Otro enfoque aqu mostrado es representar la planta en suversin discreta utilizando un retenedor de orden cero y encontrar as las condicionesde estabilidad para un sistema inestable de primer orden.

Captulo 2

Preliminares

2.1. Introduccin

En el presente Captulo se repasan bases de la teora de control, mismas queayudarn al lector no especializado en el tema a comprender mejor lo expuesto eneste trabajo de tesis.Un mtodo que es muy til para determinar la estabilidad de sistemas lineales

SISO (single-input single-output) es el criterio de Routh-Hurwitz, el cual nos permitedeterminar el nmero de races en el semiplano derecho de una ecuacin en la variablecompleja "s" como la que se muestra a continuacin:

ansn + an1sn1 + an2sn2 + :::+ a1s+ a0 = 0

De la ecuacin anterior, si n = 2; basta que todos los coecientes de las races seanpositivos para que el sistema sea estable. Sin embargo el criterio de Routh-Hurwitzrepresenta un mtodo que se puede usar en la situacin en que n sea mayor, con elinconveniente de que pueda llegar a complicarse.Para sistemas los cuales presentan retardos, el criterio de Routh-Hurwitz no es

til para determinar la estabilidad. Para estos casos se puede utilizar el anlisis en eldominio de la frecuencia: diagramas de Bode, criterio de estabilidad de Nyquist etc,(ver por ejemplo [19]).Si los sistemas no cuentan con retardo, podemos utilizar una tcnica grca para

visualizar la trayectoria de las races de la ecuacin caracterstica al cerrar el lazo conun valor de ganancia y variar esta entre cero e innito. Dicha tcnica es la denominadaLugar Geomtrico de las Races propuesta por W. R. Evans [12]. En esta tesis sepropone utilizar la tcnica del Lugar Geomtrico de las Races en sistemas donde seaproxima el retardo por una funcin racional con polinomios en variable compleja"s".

15

16 CAPTULO 2. PRELIMINARES

2.2. Lugar Geomtrico de las Races

Las races de la ecuacin caracterstica, las cuales son los polos de la funcinde transferencia en lazo cerrado, determinan la estabilidad relativa y absoluta deun sistema lineal y en parte su respuesta transitoria. Se debe tener en cuenta quelas propiedades transitorias del sistema tambin las dan los ceros de la funcin detransferencia en lazo cerrado [20].Se denomina Lugar Geomtrico de las races al estudio de las trayectorias de las

races de la ecuacin caracterstica.La tcnica del lugar geomtrico de las races no est connada al estudio de sis-

temas de control en general, el mtodo se puede aplicar al estudio del comportamientode las races de cualquier ecuacin algebraica con un parmetro variable.Para la construccin del Lugar Geomtrico de las Races, se deben de tener en

cuenta las siguientes consideraciones mostradas con el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Sea el siguiente sistema representado como una funcin de transferencia:

Y (s)

U(s)=

(s+ 5)(s+ 3)(s 2)(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s 1)

Al cerrar el lazo con una retroalimentacin esttica de la salida k negativaobtenemos la siguiente funcin de transferencia:

Y (s)

R(s)=

(s+ 5)(s+ 3)(s 2)(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s 1) + k(s+ 5)(s+ 3)(s 2)

por lo tanto la ecuacin caracterstica que se desprende de la funcin de trans-

ferencia anterior es:

(s+ 1)(s+ 4)(s+ 2)(s 1) + k(s+ 5)(s+ 3)(s 2) = 0Las races se van desplazando en el plano dependiendo del valor de ganancia quese est utilizando. Cuando k = 0, las races estarn en su posicin original delazo abierto marcada en el diagrama de la Figura 2.1 por cruces. Al ir incremen-tando el valor de la ganancia, las races se desplazan siguiendo las trayectoriassealadas en la Figura 2.1, para terminar, cuando la ganancia tiende a inni-to, ya sea en los ceros de lazo abierto (marcados en el diagrama por pequeoscrculos, o en innito. Como se puede observar, en este ejemplo no es posibleestabilizar al sistema con ningn valor de k, ya que una raz de la ecuacincaracterstica siempre permanece en el semiplano derecho.

En este trabajo de tesis se emplear esta tcnica para mostrar algunos resultados.Cabe mencionar que estas grcas pueden ser realizadas en forma automtica usandoel paquete computacional Matlab.

2.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 17

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-3

-2

-1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 2.1: Trayectoria de las races al cerrar el lazo.

2.3. Criterio de estabilidad de Nyquist

La respuesta en el tiempo de un sistema de control es normalmente difcil dedeterminar analticamente, especialmente para sistemas de orden superior y sistemasque cuentan con retardo. Es importante darse cuenta de que hay una correlacin entreel desempeo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de un sistemalineal, del tal forma que las propiedades en el dominio del tiempo de un sistema sepueden predecir con base en las caractersticas en el dominio de la frecuencia.El dominio de la frecuencia es tambin conveniente para mediciones y anlisis de la

sensibilidad al ruido del sistema as como en variaciones de los parmetros. El puntode comienzo para el anlisis en el dominio de la frecuencia de un sistema lineal es sufuncin de transferencia. Sabemos por la teora de sistemas lineales, que cuando laentrada de un sistema lineal e invariante con el tiempo es senoidal con cierta amplitudy cierta frecuencia por ejemplo:

r(t) = Rsen!0t

La salida en estado estable o permanente del sistema, y(t), ser sinusoidal conla misma frecuencia !0, pero muy posiblemente con diferente amplitud y fase ([20]);esto es:

y(t) = Y sen(!0t+ )


-20

-15

-10

-5

0

5

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

-1080

-900

-720

-540

-360

-180

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 2.2: Diagrama de Bode de un sistema de primer orden inestable.

En donde Y es la amplitud de la onda sinusoidal de salida y es el desplazamientode fase en grados o radianes.Un grco del dominio temporal muestra la evolucin de una seal en el tiempo,

mientras que un grco frecuencial muestra las componentes de amplitud y fase dela seal segn la frecuencia de operacin dentro de un intervalo determinado ([19]).Esto puede mostrarse en un diagrama de Bode o de Nyquist de la siguiente funcinde transferencia Y (s)

U(s)= 1

s0:5e1:5s (ver Figura 2.2 y Figura 2.3 respectivamente).

El criterio de estabilidad de Nyquist es una herramienta muy til cuando se es-tn analizando sistemas que tienen retardos, ya que sera prcticamente imposibleanalizarlos mediante el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.El criterio de Nyquist es un mtodo con base en la respuesta en frecuencia. Es

esencialmente un procedimiento semigrco para determinar la estabilidad de lossistemas de control a lazo cerrado al investigar las propiedades de la traza en eldominio de la frecuencia.Especcamente la traza de Nyquist de L(s) es una grca de L(j!) en coorde-

nadas polares de Im[L(j!)] (la parte imaginaria), contra Re[L(j!)] (la parte real),cuando ! vara desde 1 hasta 1 (ver Figura 2.3).El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el funcionamiento de un

sistema de lazo cerrado observando su comportamiento de lazo abierto. El criterio deestabilidad de Nyquist se puede utilizar para los propsitos de diseo independien-temente de la estabilidad de lazo abierto. Este criterio debido a H. Nyquist es tilen ingeniera de control porque permite determinar grcamente, de las curvas de


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nyquis t Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2.3: Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden inestable.

respuesta de lazo abierto, la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado.El criterio de Nyquist tiene las siguientes caractersticas que lo hacen un mtodo

alternativo atractivo para el anlisis y diseo de sistemas de control:

Adems de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz,el criterio de Nyquist tambin da informacin sobre la estabilidad relativa deun sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema.

La traza de Nyquist de G(s)H(s) es muy fcil de obtener, especialmente con laayuda de una computadora.

La traza de Nyquist de G(s)H(s) da informacin sobre las caractersticas en eldominio de la frecuencia, tales como el ancho de banda, frecuencia de resonanciay pico de resonancia.

La traza de Nyquist es til para sistemas con retardos puros que no se puedentratar con el criterio de Routh-Hurwitz, y que son difciles de analizar con elmtodo del Lugar Geomtrico de las Races.

El diagrama de Nyquist es bsicamente un diagrama de G(jw) donde G(s) es lafuncin de lazo abierto de transferencia y w es un vector de frecuencias. En el diagramade Nyquist se consideran frecuencias positivas (de cero al innito). La operacin bsicaal aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano s al plano F (s).


Sea el sistema G(s)H(s) y su funcin transferencia de lazo cerrado:

Y (s)

R(s)=

G(s)H(s)

1 +G(s)H(s)

Se tendr estabilidad cuando todas las races de la ecuacin caracterstica mostra-da a continuacin:

1 +G(s)H(s) = 0

Estn en el semiplano izquierdo del plano s. El criterio de estabilidad de Nyquistrelaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto G(jw)H(jw) a la cantidad deceros y polos de 1 +G(s)H(s) que hay en el semiplano derecho del plano s.Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no

pasa por ningn punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F (s).La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F (s) por

una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues ms adelante seha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.Del anlisis precedente, se puede ver que el sentido en el que se rodea el origen en

el plano F (s) depende de si el contorno en el plano s incluye un polo o un cero. Sehace notar que la ubicacin de un polo o cero en el plano s, sea en la mitad derechao izquierda del plano s, no produce ninguna diferencia, pero s la produce el rodeo deun polo o un cero. Si el contorno del plano s incluye k ceros y k polos (k = 0, 1, 2,...), es decir igual cantidad de cada uno, la correspondiente curva cerrada en el planoF (s) no encierra el origen del plano F (s). Lo dicho anteriormente es una explicacingrca del teorema de representacin, que es la base del criterio de estabilidad deNyquist.

Aplicacin del teorema de la representacin al anlisis de estabilidad desistemas de lazo cerrado

Para analizar la estabilidad de sistemas de control lineal, se hace que el contornocerrado del plano s abarque todo el semiplano derecho del plano s. El contorno consisteen todo el eje w (desde w = 1 hasta w = +1) y un paso semicircular de radioinnito en el semiplano derecho de F (s) (ver Figura 2.4). Este contorno recibe elnombre de recorrido de Nyquist. (El sentido del mismo es horario.)El recorrido de Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s y contiene todos

los ceros y polos de 1 + G(s)H(s) con partes reales positivas. (Si no hay ceros de1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de F (s), no hay polos de lazo cerrado en s yel sistema es estable). Es necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquistno pase por ningn polo o cero de 1 +G(s)H(s). Si G(s) tiene un polo o polos en elorigen del plano s, se hace indeterminada la representacin del punto s = 0. En esoscasos se evita el origen efectuando un desvo alrededor de l.


Figura 2.4: Recorrido de Nyquist.

Circunscribir el origen por el grco 1 + G(jw)H(jw) equivale a hacerlo con elpunto (1 + j0) por el lugar de G(jw)H(jw) (ver Figura 2.5). Entonces se puedeestudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado analizando los rodeos del punto(1+ j0) por el lugar de G(jw)H(jw). Se puede determinar la cantidad de giros queincluyen el punto (1 + j0) trazando un vector desde el punto (1 + 0j) hasta ellugar de G(jw)H(jw), comenzando en (w = 1, pasando por w = 0, y llegandohasta w = +1) mientras se cuenta la cantidad de rotaciones horarias del vector.El trazado de G(jw)H(jw) para el recorrido de Nyquist es inmediato. La repre-

sentacin del eje negativo jw es la imagen simtrica del eje positivo jw respecto aleje real. Es decir, el diagrama de G(jw)H(jw) y el de G(jw)H(jw) son simtricosrespecto al eje real. El semicrculo de radio innito se transforma en el origen delplano GH o en un punto sobre el eje real del plano GH.Recurdese del criterio de Cauchy que el nmero de veces N que el grco de

G(s)H(s) rodea al punto 1 es igual al nmero Z de ceros de 1+G(s)H(s) rodeadospor el contorno de frecuencias menos el nmero P de polos de 1+G(s)H(s) rodeadospor el contorno de frecuencia (N = Z P ). Tomando en cuenta esto, debera quedarclaro que:

Los ceros de 1 + G(s)H(s) son los polos de la funcin de transferencia de lazocerrado

Los polos de 1 + G(s)H(s) son los polos de la funcin de transferencia de lazoabierto


Figura 2.5: Rodeo al punto (-1+j0).

Sea:Z = P +N

Con:P = nmero de polos de lazo abierto (inestables) de G(s)H(s)N = nmero de veces que el diagrama de Nyquist rodea al punto (1 + 0j)(Los rodeos en sentido horario son positivos, rodeos antihorarios son considerados

negativos.)Z = nmero de polos en el semiplano derecho del sistema de lazo cerradoEl criterio de estabilidad de Nyquist establece que para que un sistema sea estable

Z = 0:

2.4. Conclusiones

En este Captulo se mostraron bases tericas del control que ayudarn al lector acomprender mejor el trabajo realizado en este trabajo de tesis. Mediante un ejemplo seilustr la realizacin del Lugar Geomtrico de las Races para sistemas que no cuentancon retardo. Para sistemas que cuentan con retardo, se hace un repaso del anlisisde estabilidad en el dominio de la frecuencia mediante el Criterio de Estabilidad deNyquist, mismos que sern utilizados en el siguiente Captulo.

Captulo 3

Estabilizacin de sistemas desegundo orden

3.1. Introduccin

En este Captulo se plantean dos formas para analizar los sistemas con retardo;una es realizando una aproximacin al retardo y la otra es tomando directamente lafuncin exponencial como una representacin exacta del retardo.Sabemos que existen distintas aproximaciones para tiempos de retardo, entre las

ms conocidas estn la aproximacin de Pad y la aproximacin por series de Tay-lor. La aproximacin de Pad utiliza una razn de polinomios de cierto orden paraaproximar el retardo mientras que la aproximacin por Taylor utiliza la expansinen serie de la funcin exponencial. Es evidente que entre mayor sea el orden en lasaproximaciones mejor ser la aproximacin.Pero aproximaciones de elevado orden dan lugar a sistemas de alto orden, lo que

podra llegar a complicar el anlisis del sistema al realizar una retroalimentacinesttica de la salida.Cuando se trabaja con el modelo de retardo en su forma exponencial en el dominio

de Laplace, una forma de analizar los sistemas es mediante un anlisis en el dominio dela frecuencia, con la ayuda del criterio de estabilidad de Nyquist, ya que nos permitemediante su diagrama, visualizar si el sistema con retardo (sin aproximacin), esestabilizable con una retroalimentacin esttica de la salida.En la primera parte del Captulo se realiza el reemplazo del retardo de tiempo por

una aproximacin de Taylor para sistemas de segundo orden. Dicha aproximacin estdada como un polo ms del sistema, lo que implica tener sistemas de tercer orden.Al realizar el Lugar Geomtrico de las Races para dichos sistemas, se plantea buscarque exista una regin de estabilidad al realizar una retroalimentacin esttica de lasalida. Entonces, se dan las condiciones para la estabilizacin de sistemas de tercerorden por retroalimentacin esttica de la salida.En la segunda parte del Captulo se aplica el criterio de estabilidad de Nyquist a

23

24 CAPTULO 3. ESTABILIZACIN DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Figura 3.1: Esquema del planteamiento del problema

los sistemas de segundo orden con retardo, pero a diferencia de la primera parte, elretardo no es aproximado. Entonces, se dan las condiciones necesarias y sucientespara la estabilidad por retroalimentacin esttica de la salida.Por ltimo se darn ejemplos por seccin que ilustran los resultados obtenidos por

ambos mtodos.

3.2. Planteamiento del problema

Considere la siguiente clase de sistemas lineales una entrada - una salida (SISO)con retardo:

Y (s)

U(s)= G(s)es =

(s a)(s+ b)es (3.1)

donde U(s) y Y (s) son las seales de entrada y salida respectivamente, 0corresponde al tiempo de retardo y G(s) es una funcin racional en la variable com-pleja "s" y considerando a; b > 0.Considrese una estrategia de control:

U(s) = R(s) kY (s); (3.2)Este sistema es el que se muestra en la Figura 3.1, donde k es la accin de control

y produce el sistema en lazo cerrado siguiente:

Y (s)

R(s)=

G(s)es

1 + kG(s)es: (3.3)

El trmino exponencial es en esta expresin complica cualquier anlisis al tratarseahora de una funcin trascendente. En este Captulo se propone una estrategia paratratar con una clase particular de sistemas inestables de tercer orden (obtenidos alaproximar el retardo) y otra estrategia para tratar sistemas inestables de segundoorden con tiempo de retardo.

3.3. APROXIMANDO EL RETARDO 25

3.3. Aproximando el retardo

Como un resultado preliminar, se dan las condiciones para la estabilizacin de unsistema de primer orden con retardo mediante una retroalimentacin esttica de lasalida del tipo:

U(s) = R(s) kY (s): (3.4)Considrese el sistema inestable de primer orden con retardo con a > 0,

Y (s)

U(s)= G(s)es =

s aes (3.5)

El resultado esta reportado en [11]. Su demostracin es sencilla usando un enfoquefrecuencial o un enfoque discreto como en [11].

Lema 1 [11]Sea el sistema (3.5) y el control proporcional (3.4). Existe una gananciak tal que el sistema en lazo cerrado,

Y (s)

R(s)=

es

s a+ kes (3.6)

es BIBO (de las siglas en ingles "Bounded Input-Bounded Output"que signicaEntrada acotada-Salida acotada) estable si y slo si < 1

a.

El siguiente resultado es una clase particular de sistemas inestables de tercer orden.Se propone aproximar el retardo para considerarlo como una funcin racional.Considrese el sistema dado por (3.1) y que se reescribe a continuacin, donde el

retardo fue sustituido por su aproximacin de Taylor, utilizada por S. Skogestad [1],esto es:

es 1

s+ 1

=c

s+ c(3.7)

Y (s)

U(s)=

c

(s a)(s+ b)(s+ c) (3.8)

donde a; b > 0 y adems 1= c:

El nuevo sistema que resulta, es el que se muestra en la Figura 3.2A continuacin se dan las condiciones para la estabilidad del sistema (3.8) al

aplicar una retroalimentacin esttica de la salida.

Lema 2 Sea el sistemaG(s) =

c

(s a)(s+ b)(s+ c) (3.9)

con a; b y c > 0: Existe una ganancia k tal que el sistema (3.9) en lazo cerrado,


Figura 3.2: Esquema con la aproximacin de Taylor.

-8 -6 -4 -2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

c b a

Regin de estabilidad

Figura 3.3: Lugar Geomtrico de las Races

Y (s)

R(s)=

c

(s a)(s+ b)(s+ c) + kc (3.10)

es BIBO, estable si y solamente si 1c< 1

a 1

b.

Demostracin. Considere el sistema (3.10), cuya ecuacin caracterstica del sistemaes (s a)(s + b)(s + c) + kc = 0. Un anlisis en el Lugar Geomtrico de lasRaces [12] (ver Figura 3.3), nos indica que existe una ganancia que estabiliza alsistema si y slo si, existe un punto de ruptura sobre el eje real en el semiplanoizquierdo. Al despejar la ganancia nos queda:

k = [ (s a)(s+ b)(s+ c)c

] (3.11)


Obtenemos djkjdspara determinar la ubicacin del punto de ruptura en el lugar

geomtrico de las races. Al derivar el valor de k se obtiene:

(3s2 + 2s(a+ b+ c) ab+ bc ac) = 0; (3.12)

de la cual, las races estn dadas por:

s1; s2 =

p2 42

(3.13)

Sustituimos los coecientes de la ecuacin (3.12) en (3.13) obtenemos:

=(2a+ 2b+ 2c)p(2a+ 2b+ 2c)2 4(3)(ab+ bc ac)

2(3)

De aqu se desprenden dos races, el resultado que nos interesa es el valor positivodel radical de la ecuacin, ya que es de inters el punto mas cercano al origen(punto de ruptura, ver Figura 3.4). Adems, ste resultado debe ser menor quecero, de esta manera se garantiza que el sistema sea estable, esto es:

(2a+ 2b+ 2c) +p(2a+ 2b+ 2c)2 4(3)(ab+ bc ac)2(3)

< 0

Desarrollando, elevando al cuadrado y cancelando los trminos correspondientesse obtiene:

ab+ bc ac > 0Factorizando:

ab > c(a b)Como a b < 0, obtenemos:

c >aba b

De donde resulta que 1c< a+b

ab, es decir,

1

c 0 pero lo sucientemente pequeo, en este caso " = 0:0001,para garantizar la estabilidad del sistema (3.15). Este valor de ganancia se prob


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Tiempo

Sistema con retardoSistema aproximado

Figura 3.5: Grca de salida de los sistemas del Ejemplo 1 estabilizados.

en el sistema sin aproximacin (3.14), con el n de saber si el mismo valor deganancia es capaz de poder estabilizar al sistema sin aproximacin y como seaprecia en la Figura 3.5 el valor de ganancia estabiliz ambos sistemas.

Hasta este punto no se puede garantizar que esta metodologa funcione para unsistema con retardo (como en el ejemplo anterior), slo se puede asegurar que paranuestro sistema aproximado o de tercer orden, existe una k que estabilice al sistemaen lazo cerrado, si y slo si cumple la condicin 1

c< 1

a 1

b:

Ejemplo 2: Sea el sistema dado por:

Y (s)

U(s)=

1

(s+ 3:5)(s 2)e0:2s (3.17)

Al aproximar el retardo obtenemos un sistema de tercer orden:

Y (s)

U(s)=

5

(s+ 3:5)(s+ 5)(s 2) (3.18)

Como podemos observar el sistema (3.18) cumple con el Lema 2, ya que 0:2 0: Existe una ganancia k tal que el sistema en lazo cerrado

Y (s)

R(s)=

es

(s a)(s+ b) + kes (3.20)

es BIBO estable si y solamente si

180o: Si consideramos ahora el sistema que nos ocupa dado por(3.19), es evidente que si se cumple la condicin < 1

a 1

by el parmetro b

es lo sucientemente grande existe una k que estabiliza al sistema, dado quela condicin de Nyquist sigue siendo la misma, (un rodeo antihorario al punto(1; j0)). Tenemos ahora que:

\G(j!) = (180 tg1!a) (tg1!b) tg1(!)Al ir decreciendo el valor del parmetro b, el lazo que forma el rodeo antihorariova disminuyendo hasta extinguirse, es decir, el sistema se vuelve inestable (verFigura 3.9) . Considerando que para frecuencias pequeas tg1!' = !' no esdifcil partir de \G(j!) > 180o y concluir la equivalencia con < 1

a 1

b:


-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.7: Diagrama de Nyquist cuando < 1a:

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.8: Diagrama de Nyquist cuando no se cumple que < 1a:

3.4. CONDICIONES PARALAESTABILIDAD SINAPROXIMARELRETARDO.33

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.9: Diagrama de Nyquist al ir disminuyendo el valor de b:

Nota: Para determinar la ganancia k que estabiliza a los sistemas que cumplen conla condicin de estabilidad, se necesita el valor del margen de ganancia (estepuede ser consultado en un diagrama de Nyquist del sistema), el cual puedeser realizado en el software Mathlab, para despus sustituirlo en la formulaM(dB) = 20 log k y despejar a k.

3.4.1. Ejemplos

Ejemplo 1: Sea el sistema mostrado en la seccin anterior, ahora con el retardo:

Y (s)

U(s)=

1

(s+ 3:5)(s 2)e0:2s

Del Lema 3 podemos ver que el sistema cumple con la condicin de estabilidadya que 0:2 < 1

2 1

3:5! 0:2 < 0:21428; por lo tanto, existe una ganancia k

tal que el sistema en lazo cerrado ser estable. En el diagrama de Nyquist elsistema tendr un rodeo en el sentido antihorario, como lo muestra la Figura3.10. Para que este rodeo sea al punto (1; 0), se requiere el valor de gananciaadecuada, tomando el valor del margen de ganancia en decibeles se aplica a laformulaM(dB) = 20 log k, despejamos a k y resulta que el valor coincide con elresultado de la seccin anterior k = 7:0. Este valor de ganacia proporciona unresultado marginalmente estable, de la misma forma que en ejemplos anterioresse agrega un valor de " = 0:1 y as este valor de ganancia asegura que el lazo


-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 10-3

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.10: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 1 sin estabilizar.

har el rodeo al punto (1; 0) como se ilustra en la Figura 3.11, con este valorel sistema es estabilizado como lo muestra la Figura 3.12.

Ejemplo 2: Sea el sistema dado por la siguiente expresin:

Y (s)

U(s)=

1

(s+ 1)(s 0:5)e0:7s

Dicho sistema esta dentro de la condicin del Lema 2, ya que 0:7 < 10:5 1 !

0:7 < 1, por lo tanto, para este sistema existe una ganancia k tal que el sistemaen lazo cerrado sea estable. Esto lo podemos corroborar en la Figura 3.13, dondese aprecia que el lazo que debe rodear al punto (1; 0) existe y lo nico quehace falta es determinar la ganancia que haga que el lazo haga el rodeo al punto(1; 0). En la Figura 3.14 podemos apreciar que con una adecuada gananciael lazo har el rodeo al punto (1; 0) en el sentido antihorario, dicho valor deganancia es calculado como en el ejemplo anterior y resulta ser k = 0:52, coneste valor el sistema se estabiliza como lo muestra la Figura 3.15.

3.5. Conclusiones.

3.4. CONDICIONES PARALAESTABILIDAD SINAPROXIMARELRETARDO.35

-1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.11: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 1 estabilizado.

0 50 100 150 2000

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo

Figura 3.12: Grca de la salida estabilizada del Ejemplo 1.


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.13: Diagrama de Nyquist del Ejemplo 2 sin la k adecuada.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.14: Diagrama de Nyquist para el Ejemplo 2 con el valor de k que hace estableal sistema.

3.5. CONCLUSIONES. 37

0 50 100 150 2000

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo

Figura 3.15: Grca del Ejemplo 2 estabilizado.

En este Captulo se dieron dos resultados sobre la estabilizacin por retroali-mentacin esttica de la salida de una clase particular de sistemas lineales inestablesde segundo orden con retardo, mediante dos diferentes mtodos; uno de ellos aproxi-mando el retardo por Taylor, el cual se demostr al utilizar el Lugar Geomtrico delas Races y el otro haciendo un anlisis en el dominio de la frecuencia aplicando elcriterio de estabilidad de Nyquist a sistemas con la representacin exponencial exactadel retardo.Es importante mencionar que en la segunda seccin del Captulo se lleg a la misma

conclusin que en la primera seccin, esto es, que el mismo valor de ganancia queestabiliza a sistemas con aproximacin del retardo tambin estabiliza a sistemas conla representacin exponencial del retardo exacta. Haciendo un anlisis en el dominiode la frecuencia sin aproximar el retardo se concluye que < 1

a 1

by si aproximamos

el retardo sabemos que para que el sistema sea estable debe de cumplir que 1c< 1

a 1

b,

siendo 1c= , por lo tanto es la misma condicin para ambos mtodos.

Captulo 4

Reduccin de sistemas de altoorden

4.1. Introduccin

Existen sistemas con dinmicas muy complicadas, esto es, sistemas cuyo modelorequiere de un nmero muy grande de polos y ceros. Si a esto le sumamos el hecho deque se trate de un sistema inestable, resultan sistemas muy difciles de analizar. Unapropuesta para tratar con este tipo de sistemas es sintetizar lo ms representativo desus dinmicas en un modelo reducido consistente en un primer orden con un tiempode retardo.En este Captulo se repasa la metodologa dada por Skogestad [1] para la reduccin

de sistemas estables de alto orden por un modelo reducido consistente simplemente enun polo y un retardo. La idea principal de usar en este trabajo este tipo de reducciones,es aplicar los resultados obtenidos en el Captulo anterior a sistemas de alto orden,trabajo que se har en el siguiente Captulo.

4.2. Metodologa

La metodologa empleada por Sigurd Skogestad para la aproximacin de sistemasde alto orden, por sistemas de primer orden con retardo en el lazo directo presentados limitantes, una es que el sistema debe ser estable y la otra es que el polinomiodebe ser estrictamente propio. Esta metodologa se propone a partir de la serie deTaylor para una funcin exponencial.De esta forma, la serie de Taylor para f(x) alrededor del punto x = a est denida

por la siguiente ecuacin:

f(x) = f(a) +f 0(a)(x a)

1!+ f 00(a)

(x a)22!

+ :::+ fn(a)(x a)nn!

39

40 CAPTULO 4. REDUCCIN DE SISTEMAS DE ALTO ORDEN

Tomando la expansin de la serie de Taylor para una funcin exponencial (ex) yevalundola en a = 0 tenemos:

f(x) = f(0) +f 0(0)(x 0)

1!+ f 00(0)

(x 0)22!

+ :::fn(0)(x 0)nn!

Como para todas las derivadas f (n)(x) jx=0= 1;resulta:

f(x) = 1 + x+x2

2!+ :::+

xn

n!

Esto para una funcin exponencial positiva, pero lo que tenemos es un retardo loque resulta tener una funcin exponencial negativa expor lo tanto si aplicamos laexpansin de Taylor al retardo es tenemos:

f(s) = 1 s+ s2

2! s

3

3!:::

De aqu tomamos los dos primeros valores de la expansin ya que estos son los demayor ponderacin, 1 s . Tenemos entonces que

e()s 1 + ()se()s =

1

es 11 + s

El primer paso en el procedimiento de diseo es obtener un modelo como el quepropone S. Skogestad [1], esto es una aproximacin de primer orden con retardo dela forma:

G(s) =kes

1s+ 1

De donde es el retardo del sistema reducido, k es la ganancia y 1 es laconstante de tiempo del denominador.Para poder determinar el retardo es necesario utilizar las siguientes aproxima-

ciones.

4.2.1. Aproximacin del retardo

Para calcular estas aproximaciones, considere la siguiente aproximacin de Taylorde un retardo:

es =1

es 11 + s

(4.1)

De (4.1) se observa que una respuesta inversa de la constante de tiempo"T inv0(constante de tiempo negativa del numerador) puede ser aproximada por un retardode la siguiente manera:

4.2. METODOLOGA 41

eT0s T inv0 s+ 1 (4.2)As mismo de (4.1), una pequea constante de tiempo 0 puede ser aproximada

como un retardo de la siguiente manera:

1

0s+ 1 e0s (4.3)

A dems, se tiene que el retardo puede ser calculado como la suma del retardooriginal 0, y la contribucin de la aproximacin de las constantes de tiempo delnumerador.

T0s+ 10s+ 1

e0s e0s eT0s e0s = e(0+T0+0)s = es

Half rule La constante de tiempo mas grande (en el denominador) es dejada tal cualy la constante de tiempo siguiente (en magnitud) es dividida entre dos.

Para poder determinar la constante de tiempo del modelo propuesto por S. Sko-gestad [1], se requiere que la constante de tiempo mas grande del denominador nosea alterada, es decir, sea conservada y para la constante de tiempo pequea se re-comienda usar la "Half Rule".En resumen el modelo original debe ser de la forma:Y

j

(T invj0 s+ 1)Yi

(i0s+ 1)e0s (4.4)

Donde las constantes de tiempo son ordenados de acuerdo a su magnitud, demayor a menor, y T invj0 > 0 denota la respuesta inversa de la constante de tiempodel numerador (numerador negativo), trmino que puede ser pasado al denominadorcon signo opuesto.Entonces, de acuerdo a la "Half Rule", para obtener un modelo de primer or-

den con retardo como se muestra en (4.5), se debe proceder de la siguiente formarecordando la ecuacin (4.4):

kes

(1s+ 1)(4.5)

1 = 10 +202

y = 0 + 202 +P

i3 i0 +P

j Tinvj0 +

h2

Donde h es el periodo de muestreo (para casos con implementacin digital).


4.2.2. Aproximacin de las constantes de tiempo positivasdel numerador

Despus consideramos como conseguir un modelo en la forma 4.4, si tenemos laconstante de tiempo T0 del numerador positiva en el modelo original G(s). Se proponecancelar el trmino del numerador (T0s + 1) contra un trmino del denominadorprximo (0s + 1), esto es, un valor lo ms cercano posible (donde ambos T0 y 0son positivos reales) usando las siguientes aproximaciones:

T0s+10s+1

=

8>>>>>>>:T0=0:::para:::T0 0 ::T1T0=:::para:::T0 0::T1a1:::::para::: T0 0::T1bT0=0:::para:::0 T0 5::T2

(e0=0)(e0=0)s+1 :::para:::e0 =def mn(0; 5) T0::T3

9>>>>=>>>>;Para los casos de las aproximaciones T1, T1a y T1b donde el coeciente del nu-

merador es mayor al denominador T0 > 0, tomamos dos miembros del denominadorcontra uno del numerador para poder denir mas exacta la aproximacin, esto es;al mas grande lo nombramos 0a y al de menor valor lo nombramos 0b, entoncesseleccionamos a 0b como 0 de entre los dos si: T0=0b < 0a=T0 y T0=0b < 1:6 ,ambas condiciones deben ser satisfechas, la derivacin de esta regla es mostrada enla siguiente seccin.En el caso de que el numerador sea menor al denominador seleccionamos las reglas

T2 o T3.Las derivaciones de estas reglas son presentadas a continuacin.

Variacin de las aproximaciones de las constantes de tiempo positivas delnumerador

Aproximacion 1 : (T0s+1)(0s+1)

T00 1


T00 1


1(0T0)s+1

Aproximacion 4 : (T0s+1)(0as+1)(0bs+1)

1(0a0bT0

)s+1

Para objetivos del control tenemos que:

Las aproximaciones que dan una alta ganancia son seguras (ya que estosincrementarn el resultado de margen de ganancia).

Las aproximaciones que dan fase negativa son seguras(ya que estos aumen-tarn el resultado de margen de fase).

1. La Aproximacion 1 (con T0 0) es siempre buena (ambos en ganancia y fase).

4.3. EJEMPLOS 43

2. La Aproximacion 2 (con T0 0 ) nunca es buena (ni en ganancia ni en fase).3. La Aproximacion 3 es buena (y es segura).

Si T0 es mas grande que todas las constantes de tiempo del denominador (0 )usamos la Aproximacion 1 (esta es la nica aproximacin que se aplica en este casoy es siempre buena).Si 0 T0 5 usamos la Aproximacion 2. (La Aproximacion 2 no es muy

buena)Si el resultado de = 0 T0 es mas pequeo que usamos la Aproximacion 3.Las tres primeras aproximaciones son la base para determinar las reglas T1 T3

correspondientes dadas en este documento.Si el resultado de es mas grande que utilizamos la Aproximacion 4.Bueno, para este caso, signica que el resultado de los ajustes del controlador

nos da un aceptable funcionamiento y robustez. Note que las Aproximaciones 1 y2 son correctas (y mejores) a altas frecuencias, mientras que la Aproximacion 3es asintticamente correcta (y mejor) a bajas frecuencias. La Aproximacion 4 esasintticamente correcta en ambas frecuencias.

4.3. Ejemplos

Los siguientes ejemplos fueron tomados del articulo de S. Skogestad

Ejemplo 1: Sea el sistema de alto orden:

Y (s)

U(s)=

1

(s+ 1)4

Siguiendo la metodologa que propone S. Skogestad debemos obtener 1 y ,entonces sabemos que: 1 = 10+ 202 y = 0+

202+P

i3 i0+P

j Tinvj0 +

h2;

por lo tanto si lo aplicamos a nuestro ejemplo resulta tener: 1 = 1 + 12 = 1:5 y = 0 + 1

2+ 1 + 1 + 0 = 2:5 aqu h = 0 ya que es para sistemas discretos, de

esta manera el sistema reducido es:

Y 0(s)U 0(s)

=1

1:5s+ 1e2:5s

Podemos corroborar este resultado comparando las grcas de salida de ambossistemas en la siguiente Figura 4.1.

Ejemplo 2: Sea el sistema de alto orden:

Y (s)

U(s)=

(0:3s+ 1)(0:08s+ 1)(2s+ 1)(s+ 1)(0:4s+ 1)(0:2s+ 1)(0:05s+ 1)3

(4.6)


0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiem po

Sistem a original

Sistem a con aprox imac in de Skoges tad

Figura 4.1: Grca de comparacin del sistema de alto orden con el sistema reducido.

Si se sigue la metodologa propuesta por S. Skogestad se debe tener en cuenta, siel numerador es mayor que el denominador o viceversa y aplicando laHalf Rulepara este caso en particular se puede observar que el denominador (0:2s+1) esmayor que el numerador (0:08s+1) por lo tanto aplicara la regla T2 o T3, perola regla de la Aproximacion 3 dice que s = 0 T0 es mas pequeo que esutilizada la aproximacin de la regla T3, ya que evidentemente va a ser masgrande: Al aplicar la Aproximacion 3 queda (0:08s+1)

(0:2s+1) 1

0:12s+1, este resultado

es sustituido en el sistema (4.6) resultando:

Y (s)

U(s)=

1

(2s+ 1)(s+ 1)(0:4s+ 1)(0:3s+ 1)(0:12s+ 1)(0:05s+ 1)3

Se puede apreciar que la constante de tiempo del numerador (0:3s+1) es pasa-da en forma positiva al denominador (esto se explico al principio del Captulo),ahora solo nos queda determinar 1 y como se hizo en el ejemplo anterior:1 = 10 +

202

y = 0 + 202 +P

i3 i0 +P

j Tinvj0 +

h2por lo tanto:

1 = 2 +12= 2:5 y = 0 + 1

2+ 0:4 + 0:3 + 0:12 + 0:05 + 0:05 + 0:05 = 1:47. De

esta forma el sistema reducido queda de la siguiente manera:

Y 0(s)U 0(s)

=1

2:5s+ 1e1:47s

Al comparar ambas seales, tanto del sistema de alto orden como del reducidoen la Figura (4.2) se observa que ambas seales son muy parecidas.


0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiem po

Seal del s istem a original

Seal con aproxim ac in de Sk oges tad

Figura 4.2: Grca de comparacin del Ejemplo 2 del sistema de alto orden y elsistema reducido.

4.4. Conclusiones

En este Captulo se present la metodologa dada por S. Skogestad para la reduc-cin de sistemas de alto orden estables con o sin retardo a sistemas de primer ordencon retardo (ver [1]). Se ilustr con ejemplos que esta metodologa es aceptable yaque aproxima bastante el sistema reducido al sistema de alto orden.Esta metodologa antes mencionada solo es aplicable a sistemas estables y adems

deben ser estrictamente propios, esto es, que tiene ms polos que ceros nunca el mismonmero. Dicha metodologa se usar en el siguiente Captulo.

Captulo 5

Estrategias de Control

5.1. Introduccin

En este Captulo se darn las condiciones necesarias y sucientes para la existenciade un esquema Predictor. Por otra parte se presenta la implementacin del esquemaPredictor-Observador, con el cual, se pretende mejorar el desempeo en sistemassimilares a los que han sido estabilizados por retroalimentacin esttica de la salida,mostrados en el Captulo 2.Se dan ejemplos de alto orden, los cuales, son estabilizados con un esquema

Predictor-Observador utilizando la reduccin del sistema descrita en el Captulo an-terior. En un ejemplo se determinar el valor de la ganancia discretizando al sistemautilizando un retenedor de orden cero. Adems se propone un controlador tipo PImodicado, con la nalidad de que el sistema siga referencias de tipo escaln y re-ducir el sobreimpulso.Se mostrar tambin un esquema de Prediccin modicado que permite relajar

un poco las condiciones para la prediccin.

5.2. Esquema Predictor-Observador

Los esquemas Predictor-Observador en general permiten estimar las variables in-ternas no accesibles del sistema. En el caso particular de los sistemas con retardo,estos esquemas permiten estimar (predecir) la seal intermedia (W (s)) entre la plantaG(s) y el retardo es como lo muestra la Figura 5.1.Gracias al esquema Predictor-Observador, podemos medir la seal cW (s), que es

la prediccin de la seal de salida antes de ser retardada, con esto podemos no soloestabilizar algunos sistemas con una simple ganancia, sino que podemos realizar unaretroalimentacin esttica de estados, podemos agregar un control de tipo PI o PIDcon el objeto de que nuestro sistema siga referencias de tipo escaln disminuirsobre-impulsos.

47

48 CAPTULO 5. ESTRATEGIAS DE CONTROL

Figura 5.1: Esquema Predictor-Observador.

Lema: Considere el esquema predictivo mostrado en la Figura 5.1, con Y (s)W (s)

= G(s) =

(sa)(s+b) . Existe una ganancia k tal que lmt!1[w^ (t) w (t)] = 0 si y slo si

< 1a 1

b.

Demostracin: Por claridad la demostracin se realiza en variables de estado. Laprueba puede desprenderse fcilmente del Lema 2. Considere el sistema Y (s)

U(s)=

G(s) = (sa)(s+b)e

s y una realizacin en espacio de estado (controlable yobservable):

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t+ ) = Cx(t)

Del esquema mostrado en la Figura 5.1, las dinmicas del sistema de prediccinpueden reescribirse como,"

x(t)bx(t)

#=

A 00 A

x(t)bx(t)

+

0 0Bk Bk

y(t)by(t)

+

BB

u (t)

y(t+ )by(t+ )=

C 00 C

x(t)bx(t)

Denase el error de prediccin como ex(t) = x^(t) x(t). La dinmica del errores entonces:

_ex(t) = Aex(t) kBex(t )

5.3. EJEMPLOS 49

0 50 100 150 2000

10

20

30

40

50

60

T iempo

Sis tema es tabilizado con gananc ia

Sis tema con PI

Figura 5.2: Comparacin entre ambos sistemas.

Obsrvese que es la misma dinmica del sistema original Y (s)U(s)

= G(s) retroali-mentado con k , por lo tanto, usando el Lema 2 es claro que lm

t!1[w^ (t) w (t)] =

0 si y slo si < 1a 1

b.

5.3. Ejemplos

Ejemplo 1: Sea el Ejemplo 2 del Captulo 3 reescrito a continuacin:

Y (s)

U(s)= G(s)e0:7s =

1

(s+ 1)(s 0:5)e0:7s

Como se vio en el Captulo 3 el sistema se estabiliza con una ganancia k1 = 0:52.Utilizaremos ste sistema como un esquema Predictor-Observador del tipo (5.3)con la nalidad de mejorar el desempeo del mismo sistema al agregar un con-trolador de tipo PI modicado (ver [22] y [23]) y compararlo con el resultado delCaptulo 3. Para el sistema con PI modicado se utiliz una ganancia k = 1:19,(el valor de ganancia es tomado del Lugar Geomtrico de las Races que forman;el esquema PI modicado junto con el polo inestable al cerrar el lazo) i = 10(es el valor de la posicin del cero libre del esquema PI modicado) y = 0:4(este valor se considera entre 0.1 y 0.9, para reducir el sobreimpulso). En laFigura 5.2 se muestra la salida del sistema con esquema Predictor-Observadorcontrolado y estabilizado (para efectos de comparacin al sistema con esque-ma Predictor se le aumento la entrada de referencia) y la salida del sistemaestabilizado con una simple ganancia.


Figura 5.3: Aplicacin del Esquema PI modicado.

Como puede observarse el sistema sigue referencias de tipo escaln, se estabilizaen un tiempo menor y presenta una atenuacin en el sobreimpulso.

Ejemplo 2: Sea el sistema de alto orden inestable con retardo:

Y (s)

U(s)=

10(s+ 3)(s+ 5)(s+ 1)

(s+ 1:5)(s+ 7)(s+ 8)(s+ 10)(s+ 15)(s 0:8333)es (5.1)

Si se reduce la parte estable de este ejemplo con la ayuda del mtodo de Sko-gestad [1] se obtiene:

Y 0(s)U 0(s)

=0:1151

(s+ 9:6777)(s 0:8333)e1:0333s (5.2)

Es posible estabilizar al sistema (5.2) con una retroalimentacin esttica de lasalida ya que 1:0333 < 1

0:8333 1

9:6777! 1:0333 < 1:09667, el sistema reducido

es estabilizado con una k = 70:3; ahora se prueba el valor de ganancia con elsistema de alto orden (5.1), para saber si es posible estabilizarlo. Al aplicar laganancia al sistema de alto orden se observa se logra estabilizar, como se puedeobservar en la Figura 5.4, esto no quiere decir que se garantice para todos lossistemas de alto orden, solo se puede decir que el valor de ganancia estabilizeste sistema en particular.

Ejemplo 3: Considere el siguiente sistema :

Y (s)

U(s)= G(s)e1s =

0:076923(s+ 1)(6s+ 1)(2s+ 1)2(13s 1)e

1s (5.3)

5.3. EJEMPLOS 51

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo

Figura 5.4: Grca de la salida del Ejemplo 2 estabilizado.

Aplicando la reduccin de S. Skogestad [1] a la parte estable nos queda elsiguiente sistema:

Y 0(s)U 0(s)

= H(s) =0:1428

(s+ 0:1428)(s 0:076923)e5s (5.4)

Es claro que para el sistema (5.4) se cumplen las condiciones del Lema 2, yaque 5 < 1

0:076923 1

0:1428! 5 < 6, entonces se usa la reduccin como Predictor-

Observador, el cual se estabiliza con una ganancia k1 = 0:078. Dicho valor deganancia es calculado discretizando al sistema, esto es:

H(z) =0:0044384(z + 0:9945)

z20(z 1:019)(z 0:9649) ;

donde se utiliz un periodo de muestreo T = n= 0:25. Como se mencion en

el Captulo 1, si se utiliza un periodo de muestreo lo sucientemente pequeopodemos aproximarnos al caso continuo (n = 20 en este caso). El sistema discre-to resultante tiene 20 polos en el origen como representacin del retardo, de estamanera, con una retroalimentacin esttica de la salida se obtiene la siguienteecuacin caracterstica: z20(z1:019)(z0:9649)+k0:0044384(z+0:9945) = 0.As como en el caso continuo se sustituye s = 0 para encontrar el valor de kdonde el sistema es marginalmente estable, en el caso discreto se sustituye z = 1.Entonces al sustituir z = 1 y despejar a k, se obtendr el valor con el cual elsistema es marginalmente estable, en el caso discreto k = 0:075. Se observa queal agregar un valor de " = 0:003 se garantiza que el sistema sea estable. Estevalor de ganancia coincide con el obtenido en el caso continuo y es aplicado al


0 200 400 600 800 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

T iempo

Salid

a

Figura 5.5: Grca de salida del Ejemplo 3 estabilizado y controlado mediante un PImodicado.

sistema (5.4) estabilizndolo. Ya estabilizado el sistema se puede implementarun controlador del tipo Proporcional Integral (PI) modicado (ver [22] y [23])como se muestra en el esquema de la Figura 5.6, donde k = 0:544, i = 10, = 0:4, tomando la seal bw que proporciona el Predictor-Observador. Hacien-do una correcta sintonizacin del controlador PI modicado, se puede lograrque el sistema siga referencias de tipo escaln como se muestra en la Figura 5.5.

En este ejemplo, se aplic el esquema Predictor-Observador al sistema de altoorden, dando buenos resultados, esto no garantiza que el resultado obtenido en esteejemplo pueda ser aplicado a otros sistemas de alto orden, solo se puede decir quefuncion para este sistema en particular.

5.4. Esquema Predictor-Observador Modicado

Como se vio anteriormente, la estabilidad del sistema G(s) = (sa)(s+b)e

s me-diante una retroalimentacin esttica de salida es posible s y solamente si < 1

a 1

b,

y esto a su vez es equivalente a que lmt!1

[w^ (t) w (t)] = 0 en el esquema predictivomostrado en la Figura 5.1. Considere ahora el esquema predictivo modicado que semuestra en la Figura 5.7. Si calculamos la funcin transferencia correspondiente allazo que involucra al polo estable, obtenemos la funcin 1

s+b+k1: Es claro que el nuevo

sistema (sa)(s+b+k1)e

s podr estabilzarse s y solamente si , < 1a 1

b+k1: Al ser

k1 un parmetro libre (tan grande como se necesite) es claro que la condicin paraestabilizar este nuevo sistema ser < 1

a: Entonces, de manera directa y sin necesidad

5.4. ESQUEMA PREDICTOR-OBSERVADOR MODIFICADO 53

Figura 5.6: Esquema Predictor-Observador con PI modicado.

de demostracin podemos enunciar el siguiente resultado:

Corolario: Considere el esquema predictivo modicado, mostrado en la Figura 5.7,con Y (s)

W (s)= G(s) =

(sa)(s+b) . Existen ganancias k1 y k2 tales que lmt!1[w^ (t) w (t)] =

0 si y slo si < 1a.

5.4.1. Ejemplo

Ejemplo: Considere el sistema de alto orden inestable con retardo:

Y (s)

U(s)=

2(s+ 2)

(s 0:3333)(s+ 1)(s+ 3)e2s (5.5)

El cual al reducir la parte estable nos queda:

Y (s)

U(s)=

1:3333

(s+ 1)(s 0:3333)e2:15s (5.6)

Se puede observar que no es posible estabilizar el sistema reducido (5.6) yaque no cumple la condicin < 1

a 1

b! 2:15 < 2. Sin embargo, se cumple

la condicin del Corolario: < 1a! 2:15 < 3: Para poder estabilizar este

sistema recurrimos al esquema Predictor-Observador de la Figura 5.7. Para elprimer lazo se propone k1 = 4; lo que implica que ahora el polo en s = 1 seareubicado en s = 5: Al cerrar el segundo lazo , la ecuacin caracterstica es(s + 5)(s 0:3333) + 1:33k2 = 0. Haciendo s = 0 obtenemos el valor de k2 con


Figura 5.7: Esquema Predictor-Observador modicado.

el cual el sistema es marginalmente estable (k2 = 1:25), entonces al agregar unvalor de " = 0:01, se garantiza que el sistema sea estable, como lo muestra laFigura 5.8. k3 se calcula cerrando un lazo con el polo inestable tomando la sealbw que proporciona el Predictor-Observador, siendo k3 = 1:

5.5. Conclusiones

En este Captulo se demostr la existencia de un esquema Predictor-Observador,con el cual, se mejor el desempeo en sistemas similares a los que fueron estabilizadospor retroalimentacin esttica de la salida, mostrados en el Captulo 2.Se mostraron ejemplos de alto orden, los cuales, son estabilizados con un esquema

Predictor-Observador utilizando la reduccin del sistema. En un ejemplo se mostrque, el valor de la ganancia puede ser determinada en el enfoque discreto.Por otra parte se implemento un controlador tipo PI modicado, con la nalidad

de que el sistema siguiera referencias de tipo escaln y reducir el sobreimpulso.Se mostr tambin un esquema de Prediccin modicado que permite relajar un

tanto las condiciones para la prediccin.


0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo

Figura 5.8: Grca de la salida del sistema del Ejemplo estabilizado.

Captulo 6

Conclusiones y Perspectivas

En este trabajo de tesis se abord el problema de la estabilizacin y control de unaclase particular de sistemas inestables de segundo orden con retardo. En un primerresultado se realiz la aproximacin al retardo por Taylor, lo que di como resultadotener sistemas de tercer orden inestables. Se dieron las condiciones de estabilizacinpor retroalimentacin esttica de salida. Por otra parte en un resultado de mayor im-portancia se encontraron las condiciones necesarias y sucientes para la estabilizacinde sistemas de segundo orden con retardo, con la misma estrategia de control, peroen este caso, sin aproximar el retardo. Result una sorpresa constatar que ambascondiciones de estabilidad son la misma.Por otra parte, se realiz la implementacin de un esquema Predictor-Observador,

mejorando el desempeo del sistema, al aplicar un tipo de controlador como el PImodicado, con el cual, nuestro sistema sigue referencias de tipo escaln y reduce elsobreimpulso que presentan los sistemas. En otro ejemplo se implement el esquemaPredictor-Observador modicado, para relajar la condicin de estabilidad que ya seconoca. En algunos de estos ejemplos se utiliz la metodologa propuesta por S.Skogestad para la reduccin de sistemas de alto orden, a los sistemas reducidos seaplico la metodologa propuesta en este trabajo de tesis, dando buenos resultados.Como perspectivas se tienen:

El determinar el rango de valores con los cuales nuestro sistema ser estable,no solo un valor de ganancia como se mostr en este trabajo.

Tambin, se propone trabajar con sistemas de alto orden sin reducirlos y encon-trar las condiciones, en las cuales, los sistemas pueden ser estabilizados e imple-mentar distintos tipos de controladores mediante el uso de esquemas Predictor-Observador para mejorar dichas condiciones de estabilidad.

Se propone la implementacin de estas tcnicas en un prototipo de laboratorio.

Otra propuesta es buscar resultados similares a los reportados en esta tesis perocon el retardo en el estado.

57

58 CAPTULO 6. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Bibliografa

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1383_escuela superior de ingenieria mecanica y electrica (esime) unidad...

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