12.2.1. definiciones básicas - libreria online

773Und. 12 – Cuerpos Redondos

El vórtice de un tornado es la parte inferior delembudo, en forma de cono truncado, la queentra en contacto con la tierra.El vórtice es la parte más destructiva del torna-do, pues es esta punta la que posee el menordiámetro del tornado, y por tanto la mayor ace-leración del aire, y la que contacta directamentecon la superficie terrestre, arrancando árboles,levantando casas y arrastrando la mayor parte delos desechos que va aspirando. Aunque en lamayoría de las ocasiones un tornado posee unúnico vórtice, no es raro que aparezcan variosvórtices de succión.

12.2.1. Definiciones básicas

12.2.1A. Superficie cónicaSe llama superficie cónica, a aquella superficie en-gendrada por la rotación de una recta que se mueveen el espacio pasando siempre por un punto fijo«V» y apoyándose en una línea curva plana.

La recta que gira se llama generatriz y la curvaplana ABC que sirve de guía se llama directriz. Lacurva que sirve de directriz puede ser abierta ocerrada.

Asimismo el punto «V» recibe el nombre de vérticede la superficie cónica.

Obsérvese que la superficie cónica se compone de dos partes llamadas hojas o mantos lascuales son opuestas por el vértice.

12.2.1B. ConoSe llama cono al sólido comprendido entre un manto de superficie cónica de directrizcerrada y un plano que la intersecta.

Obsérvese, en este ejemplo, que la directriz ABC es una línea cerrada.

775774 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría

12.2.3. Desarrollo Lateral de un Cono

El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular cuyo radio es lageneratriz del cono recto y cuyo arco tiene la misma longitud de la circunferencia de la basedel cono. Si enrollamos un papel en la superficie lateral de un cono, de modo que la cubra porcompleto una sola vez, y lo extendemos luego sobre una mesa, obtendremos un sector circularcuyo radio es precisamente la generatriz del cono y cuyo arco tiene la misma longitud que lacircunferencia de la base, con la que antes coincidía.

12.2.4. Área del Desarrollo

12.2.4A. Área lateralEl área lateral, denotada como AL, de un cono recto está dado por el producto del semiperí-metro de su base y su generatriz.

Puesto que la superficie lateral del cono y el sector circular determinado representan lamisma superficie, concluimos que sus áreas son iguales, es decir:

AL = A( AOB) A g lL AB12 . . . (1) donde: lAB 2R

Y reemplazando en (1), se tiene: LA gR . . . (2)

Finalmente haciendo una regla de tres simple entre el área del sector y el área del círculo, setiene:

gA

2

L

360º 2L 360º

A g 360º Rg

Donde a «» se le llama ángulo de desarrollo.

12.2.4B. Área totalEl área total de un cono recto es igual a su área lateral aumentado en el área de su base.

{Área total} {Área lateral} {Área de la base}

Reemplazando la fórmula de cada área, se tiene:2

TA Rg R A R g RT

12.2.1C. Elementos del ConoC1. VérticeEs el punto «V» de la superficie cónica en dondeésta se divide en dos mantos opuestos.

C2. BaseEs la sección (ABC) determinada por el plano se-cante y la superficie cónica.

C3. AlturaEs el segmento perpendicular ( VH ) que se traza desde el vértice del cono a la base o al planoque la contiene.

C4. GeneratrizEs cualquier segmento ( VA ) que une el vértice con un punto de la directriz.

Cuando la directriz es una circunferencia entonces el cono y la superficie cónica se llamancono circular y superficie cónica circular respectivamente.

12.2.2. Cono Circular Recto

Se llama cono circular recto, o también cono recto, al cono cuya base es un círculo y susgeneratrices son congruentes.

En un cono recto el pie (H) de la altura VH cae en el centro de la base y sus generatrices (g)forman ángulos congruentes con ella.

En el ejemplo de la figura: VAB VBA .

La sección axial de un cono recto es la región que sedetermina al intersectar el cono recto con un planosecante que pasa por el vértice y el centro de la base.Esta región está limitada por un triángulo isósceles queen el ejemplo de la figura es el AVB.

En un cono recto a la recta VH

que pasa por el vérticey centro de la base se llama eje del cono.

A la superficie cónica, que limita al cono recto, se le llama superficie lateral del cono.

Un cono recto se llama cono equilátero si su sección axial es un triángulo equilátero.

777776 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría

Ejemplo.- Con un semicírculo de papel de área 18 se construye un cono circular recto,calcular el volumen de dicho cono.

Por dato conocemos que:

2

18 62g g

Por propiedad, el cono obtenido es equilátero enconsecuencia:

R 3 h 3 3

Luego el volumen «V» del cono estará dado por: 23 3 33V V 9 3

12.2.7. Conos Semejantes

Al trazar un plano paralelo a la base de un cono y que intersecta su superficie lateral, lasección producida, llamada sección transversal es la base de un cono, el cual resulta sersemejante al cono total, cumpliéndose que todos sus elementos homólogos son proporcio-nales entre sí, la razón de sus áreas es igual a la razón de los cuadrados de sus elementoshomólogos y la razón de sus volúmenes es igual a la razón de los cubos de estos elementos.

En la figura adjunta se cumplen las siguientes relaciones:

VA'VA

= VO'VO

= VB'VB

= rR

(V-A'B')

(V-AB)

Área

Área=

(VA')

(VA)

2

2 = .... = rR

2

2

(V-A'B')

(V-AB)

VolumenVolumen =

(VA' )

(VA)

3

3 = .... = rR

3

3

12.2.8. Tronco de Cono

12.2.8A. DefiniciónLlamamos cono truncado o tronco de cono a la parte de un cono recto comprendida entre labase y una sección paralela a la base, como se muestra en la figura.

- Área de la superficie lateral (AL):

LA g R r

- Área de la superficie total (AT):

2 2TA g R r R r

- Volumen (V): 2 23hV R r Rr

12.2.5. Volumen

El volumen de un cono recto es igual a la tercera parte del producto entre el área de su basey su altura.

V = R2 h/3

Ejemplo.- El radio de la base y la generatriz de un cono de revolución miden 3 y 9 respecti-vamente. Calculemos el volumen y el ángulo de desarrollo.

Calculemos primeramente la altura (h) del cono.

h2 32 92 h h2 72 6 2

Luego el volumen (V) estará dado por: 23 6 2 /3V 54 2 /3V 18 2V

Finalmente el ángulo de desarrollo () será: 3360º 9 120º

12.2.6. Propiedades Relativas al Cono

12.2.6A. 1ra Propiedad

El cono circular recto o cono de revolución, se engendra por un triángulo rectángulo ABC,que gira 360º alrededor de uno de sus catetos AB .

La hipotenusa AC , es la que genera la superficie lateral del cono, de ahí el nombre degeneratriz y el cateto BC al girar genera la base circular del cono. Fig. (a)

12.2.6B. 2da PropiedadEl desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo. Fig. (b)

12.2.6C. 3ra Propiedad

Todo plano que contiene una tangente (L) a la base y la generatriz (VA ) que pasa por el puntode contacto es, tangente al cono.

Todo plano tangente corta a la base según una tangente a dicha base. Fig. (c)

12.2.6D. 4ta Propiedad

Volumen de un cono oblicuo: 13V s h Fig. (d)

778 Geometría 779Und. 12 – Cuerpos Redondos

01.- Para un cono circular recto, completar el si-guiente cuadro.

02.- El gráfico muestra un cono circular recto y eldesarrollo de su superficie lateral.

Complete el siguiente cuadro:

03.- En el gráfico se muestra un cono circularrecto cuya generatriz forma con el plano de labase un ángulo de 60º.

Escribir (V) si es verdadero o (F) si es falso encada una de las siguientes proposiciones.

I. El área lateral del cono mide 18. ........ ( )

II. El diámetro de la base mide 12. .......... ( )

III. El ángulo central del desarrollo de la superfi-cie lateral mide 120º. ............................ ( )

IV. El desarrollo de la superficie lateral resulta serun semicirculo. ..................................... ( )

V. Su volumen mide 9 3 . .................... ( )

VI. La distancia del centro de la base a la gene-ratriz mide 2 3 . ................................ ( )

04.- En el cono circular recto mostrado, se van atrazar planos secantes que determinen varios ti-pos de secciones.

Completa los espacios en blancos con el tipo desección que se formaría.

a. Si el plano secante contiene el vértice «P», lasección es un ................................................

b. Si el plano secante es paralelo a la base, en-tonces la sección es un .................................

c. Si el plano secante corta la superficie lateraldel cono y no es paralelo a la base, entoncesla sección es una ..........................................

12.2.8B. Propiedades Relativas a Conos Truncados

B1. 1ra Propiedad

La sección axial de un tronco de cono recto es un trapecio isósceles ABCD. (Fig. a)

B2. 2da Propiedad

Si un tronco de cono está circunscrito a una esfera (Fig. b), entonces su generatriz es igual ala suma de los radios de las bases. En efecto, considerando la figura adjunta se cumple quela generatriz y el área lateral AL vienen dados respectivamente por:

g R r ; AL g2

B3. 3ra Propiedad

El volumen del tronco de cono de segunda especie (Fig. c) está dado por:

V 3h (r2 R2 – Rr)


Prob. 01Calcular el área de la superficie lateral de uncono circular recto, si el radio básico mide 3 ysu altura mide 4.

Graficando y considerando datos:

Se sabe que: SL = Rg . . . (1)

En el VOA: 2 23 4 5g

En (1): SL = (3)(5) SL = 15

Prob. 02La altura de un cono equilátero mide 6. Calcu-lar el área lateral.


Si el cono es equilátero, entonces el trián-gulo AVB es equilátero.

En el VOB de 30º y 60º:

6 2 33

R y 2 4 3g R

Luego el área lateral será:

L (2 3)(4 3)S

SL = 24

Prob. 03

Calcular el volumen de un cono circular recto,sabiendo que dos generatrices diametralmenteopuestas miden 6 2 y son perpendiculares.


En el AOB de 45º: H = R = 6

Como: 2c

13V R H

2c

1 (6) (6)3V

Vc = 72

05.- En el gráfico se ha trazado un plano paraleloa la base del cono, determinando un cono parcial.

Completa el siguiente cuadro:

06.- Completa las siguientes proposiciones:

I. Las generatrices de un cono circular recto son:

......................................................................

II. La sección producida en un cono de revolu-ción por un plano paralelo a la base es:

......................................................................

III. La sección axial de un tronco de cono circularrecto es ........................................................

IV. El desarrollo de la superficie lateral de un conode revolución es ............................................

07.- Escribir (V) si es verdadero o (F) si es falsoen cada una de las siguientes proposiciones.

I. La base de un cono siempre es un círculo.( )

II. En un cono de revolución, las generatricestiene mayor longitud que la altura. ( )

III. En un cono oblicuo, las generatrices tienenigual longitud. ( )

IV. El desarrollo de la superficie lateral de un conoequilátero es un semicírculo. ( )

08.- Se muestra un tronco de cono circular recto.

Completar el siguiente cuadro:

783782 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos

Graficamos y ubicamos los datos:

a) Del dato: 2R = 12 R = 6También: SL = 60 Rg = 60

· 6 · g = 60 g = 10

En el BOC: H2 + 62 = 102 H = 8b) El volumen (V) del cono está dado por:

213V R H 21 (6) 83V

= 96V

Prob. 08Calcular el volumen de un cono circular rectocuyo radio de su base mide 3 y se encuentrainscrito en una esfera de radio igual a 5.

Elaboramos el gráfico teniendo en cuentalas condiciones del problema:

La altura VH del cono de revolución, con-tiene al centro «O» de la esfera, entonces:

OV = OB = 5

En el OHB: (OH)2 + 32 = 52

OH = 4El volumen (V) del cono será:

213V R H

21 (3) 93V V = 27

Prob. 09

El desarrollo de la superficie lateral de un conode revolución es un sector circular de radio 6y ángulo central de 120º. Calcular el radio de labase del cono.

Elaboramos el gráfico tendiendo en cuen-ta los datos del problema:

Por propiedad: 360ºRg

Donde: = 120º y g = 6

Luego: 120º6 360ºR R = 2

Prob. 10

Calcular el área de la superficie lateral de uncono circular recto si el desarrollo de su super-ficie lateral es un semicírculo de radio 4.

Prob. 04En un cono circular recto la suma de la gene-ratriz con el radio de la base es 8. Si su altura es4, calcular su volumen.


Por dato: g + R = 8 g = 8 – R

En el VOA: g2 = 42 + R2

(8 – R)2 = 16 + R2

Resolviendo: R = 3

Luego el volumen será: 21 (3) 43V

V = 12

Prob. 05El volumen de un cono circular recto es 320.Si el radio de la base mide 8, calcular la gene-ratriz del cono.

Graficando y ubicando los datos, tenemos:

Ya que el volumen es: V = 320De la fórmula del volumen:

2(8) 3203H

H = 15

En el AOV: g2 = H2 + 82 = 152 + 82

g2 = 289 g = 17

Prob. 06

Calcular el volumen de un cono circular rectocuya generatriz mide 6 y su altura forman 60ºcon la generatriz.

Graficamos y ubicamos datos:

En el AOV de 30º y 60º:

H = 3 y 3 3R

Luego:2 2(3 3) 3

3 3R HV

V = 27

Prob. 07

En un cono circular recto, el área de su super-ficie lateral mide 60 y la longitud de la circun-ferencia que limita al círculo de su base es iguala 12.

a) Calcula la generatriz y la altura del cono.

b) Calcula el volumen del cono


Del dato: Tronco CilindroCono

53V V

2 2 252 2 (1)3

H x x H

Efectuando: x2 + 2x – 1 = 0

= 2 - 1x

Prob. 14

Calcular el volumen del cono construido conun sector circular de 60º y radio 6.

Graficamos y ubicamos los datos del pro-blema:

Se sabe que: 360ºRg

60º6 360ºR

R = 1

En el AOV: H2 = 62 – R2 = 36 – 1

35H

Luego el volumen del cono será:

2 21 1 (1) 353 3V R H

35= 3V

Prob. 15

El desarrollo de las superficies laterales de dosconos circulares rectos con vértice en comúny tangentes exteriores son dos semicírculoscuyos radios miden 8 m y 4 m. Calcular la dis-tancia entre los centros de las bases de losconos.

Esquematizamos el problema según suscondiciones y ubicamos los datos:

Recordemos que el desarrollo de la super-ficie lateral de un cono equilátero es unsemicírculo cuyo radio es igual a la gene-ratriz, entonces podemos deducir que losconos son equiláteros de generatrices 8 my 4 m.

En el ABO de 30º y 60º: BO 4 3

En el BQE de 30º y 60º: BQ 2 3

En el OBQ aplicamos el teorema decosenos:

2 22 4 3 2 3 2 4 3 2 3 cos 60ºx

Efectuando tenemos que: x = 6

Graficamos y ubicamos datos:

Se sabe que el área de la superficie lateralde un cono circular es igual al área del se-micírculo de radio igual a su generatrizcuando éste es equilátero. En tal situación:

SL = S 2

L(4)2S

SL = 8

Prob. 11Calcular el volumen del tronco de cono de re-volución, sabiendo que los radios de sus ba-ses miden 1 y 3; y su altura mide 6.

Construimos el gráfico correspondiente yubicamos los datos del problema:

3

Sea «VT» el volumen pedido, luego:

2 2T ( )3

HV r R Rr

Donde: H = 6 ; r = 1 y R = 3

Luego: 2 2T

6 (1 3 (1)(3))3V

VT = 26

Prob. 12

La altura de un cono circular recto mide 2. ¿Aqué distancia del vértice se debe trazar un pla-no paralelo a la base del cono de modo que ésteproduzca dos sólidos parciales equivalentes?

El paralelismo entre las bases nos lleva aaplicar la semejanza de conos; se sabe que:Volumen del cono menor: VVolumen del cono mayor: 2V

3

32 2V xV

3= 4x

Prob. 13

Un tronco de cono de revolución y un cilin-dro de revolución tienen la misma altura, sien-do el volumen del tronco los 5/3 del volumendel cilindro. Si el radio de la base mayor deltronco mide 2 m y el radio de la base del cilin-dro mide 1 m. Calcular el radio del a base me-nor del tronco.

Elaboramos los gráficos correspondientesa los dos sólidos:


2común

12 3V r h

2común12 3 2 2

R HV

2

común 12R HV

Reemplazando (1): Vcomún = 10 u3

Prob. 18

En un cono recto de revolución de vértice «O»y diámetro AB , en la base, se trazan AP yBQ cuerdas secantes que forman un ángulode 45º. Si la altura del cono es igual al radio dela base:

a) ¿Cuánto mide el arco PQ?b) Si el radio mide «R», calcular PQ.c) ¿Cuánto mide el ángulo POQ?

Graficamos y ubicamos los datos del pro-blema:

a) En la base del cono, por ángulo interior:

AQ PB 452m m AQ PB 90m m

Y como: AB 180m (semicircunferencia)

Entonces: PQ 90m

b) Deducimos que PQ es el lado del cua-drado inscrito en el círculo de la base, en-tonces:

PQ 2R

c) Del dato: H = R

En el OTB: OB 2R

Además tenemos:

OQ OP OB 2R (generatrices)

El OQP resulta ser equilátero.

POQ = 60°m

Prob. 19

En un tronco de cono de revolución, los ra-dios de sus bases miden 2 m y 8 m; por elcentro de la esfera inscrita en el tronco se trazaun plano paralelo a las bases.a) Calcular el área de la sección determinada

por dicho plano en el cono.b) Calcular el radio de la esfera inscrita.c) Calcule el volumen del tronco de cono for-

mado por dicho plano y el plano de la basemenor.

Construimos el tronco de cono circunscri-to a la esfera:

Prob. 16

Calcular el área lateral de un cono de revolu-ción cuya altura es igual a 10 m y en el que lamediatriz de su generatriz limitada por la alturamide 4 m.

Construimos el gráfico correspondiente se-gún las condiciones del problema y ubica-mos los datos:

Sea MN parte de la mediatriz de BC , en-tonces: NM = 4 (Dato).

Y el área lateral del cono (SL) está dadopor:

SL = Rg . . . (1)

Del gráfico: NBM ~ BOC

24

10g

R

De donde: Rg = 80 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1): SL = 80m2

Prob. 17

En un cilindro de revolución de 120 u3 de volu-men, se construyen 2 conos interiores cuyasbases son cada una de las bases del cilindro ysu vértice el centro de la base opuesta.

a) Determinar la relación entre el área de labase del cilindro y el área del círculo queresulta de la intersección de los conos.

b) Calcular el volumen común a ambos conos.

Elaboramos el gráfico que corresponde alas condiciones del problema:

a) Sea «R» el radio de la base del cilindro y«r» el radio de la base del cono parcial de-terminado:

2Rr (Base media)

Se pide:

2

2M Rr

2

2M

2

RR

M = 4

b) Sea ahora «h» la altura del cono parcialy «H» la altura del cilindro, entonces:

H = 2h

Del dato: R2H = 120 . . . (1)

El volumen común será el volumen forma-do por los dos conos parciales determina-dos, entonces:

Vcomún = 2Vcono parcial


Elaboramos un esquema que represente lascondiciones del problema y ubicamos losdatos correspondientes:

La intersección entre las superficies de lossólidos genera un círculo paralelo a la basedel cono, lo que a su vez trae como conse-cuencia la semejanza de conos.

Sea «S» el área de las regiones parcialesdeterminadas en el cono, luego tendremosque:

2

2OL

2SS R

OL 22R

En el OLN, tenemos:

x = 45º

Prob. 22

Calcular el volumen de un cono recto de revo-lución, de altura 3 m, conociendo que el planoque pasa por el vértice determina en la baseuna cuerda que subtiende un arco de 120º yque la sección determinada por dicho plano esun triángulo rectángulo.

Elaboramos el equema del problema y ubi-camos los datos según corresponde:

Por condición del problema, la sección de-terminada es el triángulo rectángulo AVBdonde:

AB 2g

Por otro lado en el AOB: AB 3r

Luego resulta que: 2 3g r

62rg

En el AOV: g2 = r2 + 9

2 26 92

r r

Desarrollando tenemos: 2 23 92 r r

2

92r

3 2r

Entonces el volumen «V» del cono será:

V = r2· 3

2

3 2 · 3V

V = 54

a) En el trapecio rectángulo OABQ:

2 82R (Base media) R = 5

La sección determinada es un círculo deradio R = 5 cuya área «S» será:

S = (5)2 S = 25

b) Trazamos AF QB , de donde:

AF = 2r y FB = 6

En el AFB: (AF)2 + (FB)2 = (AB)2

(2r)2 + 62 = 102 r = 4c) El volumen del tronco de cono superior(VT) está dado por:

2 2

T 2 23rV R R

2 2

T4 2 5 103V

T = 52V

Prob. 20El desarrollo del área lateral de un cono rectode revolución es un sector circular de 60º, en elcual se puede inscribir una circunferencia de1 m de radio.a) Calcular la generatriz del cono.b) Calcular la altura del cono.c) Calcular el volumen del cono.

Elaboramos el gráfico que se ajuste a lascondiciones del problema:

a) El desarrollo de la superficie lateral deun cono es un sector circular.

En el AQN de 30º y 60º: AQ = 2

De donde: AT = 3

Deducimos entonces que: g = 3

b) Ya que la generatriz tiene igual longitudque el radio del sector circular.

Por propiedad: 360Rg

Donde: = 60º g = 3

Luego: 60 13 360 2R R

En el AOC: 22 2 351 32 2H H

c) Finalmente como: 2C

13V R H

2C1 1 353 2 2V

C35

24V

Prob. 21

Calcular la medida del ángulo que forman laaltura y la generatriz de un cono circular recto,cuya superficie lateral está dividida en dos re-giones equidistantes mediante la linea de in-tersección con una superficie esférica cuyocentro está situado en el vértice del cono y suradio es la altura de este.


13.- Siendo el área de la base del cono, la mitaddel área lateral, calcular «»

A) 30º

B) 37º

C) 45º

D) 53º

E) 60º

14.- Calcula el volumen de un cono de revolu-ción sabiendo que la altura es igual a la gene-ratriz disminuido en 1 y es igual al diámetroaumentado en 2.

A) 75 B) 50 C) 100 D) 125 E) 150

15.- Calcular el volumen de un cono de revolu-ción, si el desarrollo de la superficie lateral esun semicírculo de 18 2 de área.

A) 39 3 B) 36 3 C) 312 3

D) 310 3 E) 37 3

16.- La altura de un cono mide 20 cm y la razóndel radio de la base a la generatriz es 3/5. Indi-car el área total del cono.

A) 1882 cm2 B) 1884 cm2 C) 1885,4 cm2

D) 1886,4 cm2 E) 1883,4 cm2

17.- Un cono circular recto cuya altura mide 10,está circunscrito a una esfera cuyo radio mide4. Determinar el volumen del cono.

A) 403 B) 20 3

3 C) 8003

D) 4009 E) 460

3

18.- Calcular el volumen de un cono equiláteroen función del radio «r» de la esfera inscrita.

A) r3 B) 2r3 C) 3r3

D) 4r3 E) 5r3

19.- Calcular el área de la superficie lateral deun tronco de cono circular recto circunscrito auna esfera, sabiendo que su generatriz mide 6.

A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 45

20.- Calcular el volumen del cono de revolu-ción si el volumen del cilindro de revolución es21.

A) 21

B) 24

C) 27

D) 28

E) 32

21.- Sobre la base superior de un cilindro de4 cm de radio y 5 cm de altura se construye uncono circular de altura triple que el cilindro.Determinar el volumen del cuerpo formado.

A) 502,4 cm3 B) 504 cm3 C) 501 cm3

D) 505 cm3 E) 503 cm3

22.- Calcular el volumen generado por un trián-gulo rectángulo isósceles al girar alrededor deuno de sus catetos, si el perímetro del triánguloes 6 3 2 .

A) 6 B) 12 C) 9 D) 18 E) 3

23.- El volumen de un cono es 27 m3, se trazandos planos paralelos a la base que dividen a laaltura en tres partes congruentes. Calcular elvolumen del sólido intermedio.

A) 4 m3 B) 5 m3 C) 6 m3

D) 5 2 m3 E) 7 m3

24.- El volumen de un cono es 16, si por elpunto medio de su altura se traza un plano pa-ralelo a la base, calcular el volumen del conopequeño formado.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

01.- De la figura, calcula el área de la base delcono circular recto, si AB es diámetro de labase, VA = 15 y VO = 12.

A) 64

B) 72

C) 56

D) 96

E) 81

02.- Calcular el área lateral de un cono rectocuyo radio básico mide 5 y su altura mide 12.

A) 65 B) 60 C) 58 D) 50 E) 48

03.- Determina el área de la superficie lateral deun cono, si el desarrollo de ella es un sectorcircular de radio 6 y ángulo central 60º.

A) 6 B) 3 C) 12 D) 18 E) 9

04.- De la figura calcular el área de la superficietotal del cono circular, si altura mide 4 3 .

A) 36

B) 48

C) 72 3

D) 72

E) 36 3

05.- La generatriz de un cono mide 13, el radiode la base mide 5. Calcular el volumen.

A) 50 B) 75 C) 100 D) 125 E) 150

06.- Calcular el volumen de un cono equiláterocuya generatriz mide 6.

A) 9 3 B) 9 C) 3 3

D) 6 E) 6 3

07.- Calcula el área lateral de un cono que sepuede construir con un semicírculo de radio 6.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 14

08.- Calcula el volumen de un cono circular rectocuya generatriz mide 10 y forma con la altura37º.

A) 48 B) 96 C) 60 D) 72 E) 84

09.- El volumen de un cono circular recto es100. Si el radio de la base mide 5, calcula lalongitud de su generatriz.

A) 18 B) 13 C) 15 D) 14 E) 17

10.- La suma de la generatriz y el radio de labase de un cono es 25. Si la altura mide 15,calcular su área lateral.

A) 130 B) 132 C) 134 D) 136 E) 148

11.- La generatriz de un cono mide 5 y el radiode su base 3. Calcula la medida del ángulo cen-tral del sector que se obtiene al desarrollo desu superficie lateral.

A) 180º B) 90º C) 120º D) 200º E) 216º

12.- El volumen de un cono circular recto es324. Si el diámetro de la base mide 18, calcularla generatriz del cono.

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24


A) 2 2

2 2r h

r hB)

3

2 2rh

r hC)

2

2 2r h

r h

D) 2rh E)

3

2 2hr

r h

36.- En un tronco de cono recto cuyas basestienen por radios «a» y «b» respectivamente(a > b), si la suma de las áreas de las bases esigual al área lateral del tronco de cono. Calcularla longitud de la altura del tronco.

A) aba b

B) 3aba b

C) 2aba b

D) 3aba b E) 2ab

a b

37.- Dados dos conos de revolución cuyas ba-ses se encuentran en una mesa y tiene comoradios 9 y 12 y de alturas 12 y 8 respectivamen-te. Un plano paralelo a la superficie de la mesaintersecta a los conos en 2 secciones equiva-lentes. Se desea calcular el área de dicha sec-ción.

A) 32 B) 36 C) 42 D) 25 E) 24

38.- La generatriz «a» de un tronco de conoforma 60º con la base inferior y es perpendicu-lar a la recta que une su extremo superior con elextremo inferior de la generatriz opuesta. Cal-cular su área lateral.

A) 3 a2 B) a2 C) 2 a2

D) 232 a E) 2

2 a

39.- En un cono recto de altura «H», se traza unplano secante y paralelo a la base y sobre lasección determinada por el plano se forma uncilindro recto cuya base superior pasa por elvértice del cono, calcular la altura del cilindropara que su volumen sea la mitad del tronco decono formado.

A) 2H B) 3

H C) 3 7H D) 3 6

H E) 3 5H

40.- De un disco de aluminio de radio «r» se vaa cortar un sector circular de ángulo «». Sicon el resto del disco se forma un cono circularrecto, calcula el valor de «» (en radianes) paraque el área de la base del cono sea un tercio delárea de la superficie lateral del mismo cono.

A) 23 B) C) 4

3

D) 56 E) 7

6

41.- Calcular el volumen de un cono equiláteroen (), sabiendo que un punto ubicado en eldiámetro de su base dista de las generatricesque tienen por extremos a los extremos de di-cho diámetro; 4 cm y 2 cm respectivamente.

A) 18 B) 24 C) 16 D) 30 E) 36

42.- Una esfera cuyo radio mide 3 cm, está ins-crita en un cono circular recto. Se traza un pla-no tangente a la esfera y perpendicular a unageneratriz del cono. Si el plano dista 1 cm delvértice del cono, determinar (en cm2) el valorde la superficie total del cono.

A) 90 B) 96 C) 92 D) 98 E) 94

01E

09B

17C

25C

33B

02A

10D

18C

26E

34B

03A

11E

19A

27C

35B

04B

12B

20D

28E

36C

05C

13A

21A

29C

37B

06A

14C

22C

30B

38D

07B

15A

23E

31C

08B

16B

24B

32D

CLAVES

39C

40C

41B

42B

25.- En la superficie lateral de un cono se tomaun punto «P» distante 6; 16 y 10 de la altura,base y vértice del cono respectivamente. Cal-cula el área total del cono.

A) 854 B) 824 C) 864 D) 834 E) 844

26.- En un tronco de cono circular recto, la ge-neratriz forma con la base mayor un ángulo de53º, si el radio de la base menor mide 2; la gene-ratriz tiene igual longitud que el radio de la basemayor y el área de la superficie lateral mide 35,calcular su volumen.

A) 36 B) 39 C) 42 D) 54 E) 52

27.- ¿A qué distancia del vértice debe cortarseun cono de 10 cm del altura y 4 cm de radiobásico por un plano paralelo a la base para queresulten dos partes equivalentes?

A) 34 4 cm B) 33 4 cm C) 35 4 cm

D) 32 4 cm E) 36 4 cm

28.- Un cono recto de revolución tiene una al-tura que mide 3, la suma de la generatriz y elradio de la base es 9. Calcular la medida delángulo central del sector circular.

A) 216º B) 180º C) 240º D) 270º E) 288º

29.- Si el volumen del cilindro de revolución es18, calcular el volumen del cono.

A) 3

B) 4

C) 6

D) 9

E) 12

30.- En un cono de revolución, la distancia delcentro de la base hacia una de sus generatriceses igual a 2 cm. Si el área de la superficie laterales igual a 9 cm2, calcular (en cm3) el volumen dedicho cono.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

31.- Una cuerda trazada en el círculo de la base deun cono recto mide 8. El centro dista de la cuerda2. Calcular el área lateral si la altura mide 4.

A) 8 5 B) 10 5 C) 12 5

D) 14 5 E) 16 5

32.- La altura y el diámetro de la base de uncono recto miden 9 y 8 respectivamente. En elcono se inscribe un cilindro recto cuya árealateral es 10 y del radio básico x. Calcular «x»,si x > 1.

A) 1/3 B) 7/3 C) 5/3 D) 10/3 E) 6/3

33.- Determinar el volumen de un cono sabien-do que una cuerda de longitud «a» trazada enel círculo de la base subtiende un arco de 60º yla altura del cono forma 30º con la generatriz.

A) 3

32a B)

333

a C) 3

3a

D) 3

34a E) 3 3a

34.- Se tiene un cono y una esfera inscritas enun cilindro. Al sumergir completamente la esfe-ra en un recipiente cilíndrico con agua, el niveldel agua sube 6 cm. ¿Cuántos centímetros su-birá el nivel del agua, al sumergir completamen-te a la vez la esfera y el cono?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

35.- Se tiene dos conos rectos iguales tangen-tes por sus generatrices y cuyos vértices coin-ciden, si sus alturas son «h» y el radio de lasbases es «r», determinar el área del triángulocuyos vértices son los centros de las bases yel vértices común de los conos.

12.2.1. definiciones básicas - libreria online

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