3.1.1. definiciones fundamentales - libreria...

44 Física 45Und. 3 Análisis Vectorial

El lenguaje es un ingrediente esencial del pensa-miento abstracto. Es difícil pensar fácil y clara-mente sobre conceptos abstractos y complejos en un lenguaje que no posee las palabras adecuadas para tales conceptos.

Para expresar nuevos conceptos científicos se inven-tan nuevas palabras que se añaden a los idiomas mo-dernos. Muchas de estas palabras proceden de raíces griegas o latinas. Así, por ejemplo, vector en español es vector en inglés, vecteur en francés, Vektor en ale-mán y BEKTOP (pronúnciese «vector»), en ruso. En los caminos se utilizan para indicar direcciones.

3.1.1. Definiciones fundamentales

Muchos aspectos de la física tratan, de una forma u otra, de posiciones en la recta, plano o espacio. Por ejemplo la descripción matemática del movimiento de un objeto requiere de un método para describir la posición de dicho objeto. Entonces, es necesario que primero se discuta cómo se describe la posición de un punto en el espacio, lo cual se efectúa por medio de coordenadas.

3.1.1A. Sistema Coordenado de ReferenciaUn Sistema Coordenado de Referencia es un conjunto de objetos matemáticos como rectas, puntos, ángulos y números reales que permiten especificar un lugar en forma precisa y única.

Llamaremos eje a la recta sobre la cual se ha elegido una dirección positiva (Fig. 3.1.1). Generalmente la dirección positiva en un eje horizontal es de izquierda a derecha o simplemente hacia la derecha.

A1. Sistema de coordenadas rectangulares

El Sistema de Coordenadas Rectangulares o Sistema de Coordenadas Cartesianas, es un sistema coordenado de referencia formado por dos rectas numéricas perpendiculares llamadas Ejes de coordenadas rectangulares que se trazan perpendicularmente entre sí, de modo que sus orígenes coincidan en un punto llamado Origen de coor-denadas u Origen del Sistema Coordenado. A la recta horizontal la llamaremos «eje x» y a la recta vertical «eje y». El plano sobre el cual están los ejes se llama plano de coordenadas rectangulares o plano cartesiano o plano xy.

Llamamos coordenadas rectangulares del punto P al par ordenado (x; y) que identifica cada punto del plano cartesiano, donde «x» e «y» se llaman abscisa y ordenada de P respectivamente. (Fig. 3.1.2)

En este sistema de referencia se ha establecido la siguiente correspondencia: «A todo punto P del plano le corresponde un par ordenado (x; y) de números reales y a cada par ordenado (x; y) de números reales un punto P de dicho plano». Un punto P de abscisa «x» y ordenada «y» se puede denotar como (x; y) o P(x; y).

Llamaremos cuadrante, denotado por C, a cada una de las cuatro regiones que determinan los ejes de coordenadas sobre el plano xy. Estos cuadrantes se numeran en sentido antihorario. Los puntos en cada cuadrante presentan coordenadas con signos según como se indica en la Fig. 3.1.3a.

A2. Sistema de coordenadas polares

Si en lugar de conocer las coordenadas rectangulares de P se conocieran su distancia r al origen O y el ángulo q medido en sentido antihorario que forma OP respecto de una recta de referencia, habríamos es-tablecido un Sistema de Coordenadas Polares, en donde las coordenadas de P son (r; q). (Fig. 3.1.3b).

Para relacionar las coordenadas rectangulares de P(x; y) con sus coordenadas polares P(r; q), según la Fig. 3.1.4, definimos las siguientes Razones Trigonométricas (R.T):

sen qq == yr

; cos qq == xr

; tan qq == yx

Cuyos términos verifican las siguientes relaciones:

i) x2 + y2 = r2 ii) sen2 q + cos2 q = 1 iii) sen θθ θ

costan=

Nota.- La propiedad (i) es conocida como Teorema de Pitágoras. La expresión θ = ( )tan-1 yx

, significa que: q es el ángulo cuya tangente vale y/x.

Ejemplo.- Sea el punto P(-12; -5), se pide determinar sus coordenadas polares.

Graficamos el punto y aplicamos la propiedad (i):

r2 = (-12)2 + (-5)2 = 169 → r = 13

En seguida determinamos el ángulo direccional así:

tan θ = =--12

5 512

→ q = 202º \ P(13; 202º)

3.1 Descomposición Vectorial


3.1.1B. Clases de sistemas coordenados rectangularesLos sistemas coordenados rectangulares pueden ser unidimensionales (Fig. 3.1.5a), bidimensionales (Fig. 3.1.5b) o tridimensionales (Fig. 3.1.5c), según empleen una, dos o tres ejes coordenados perpen-diculares entre sí.

Si el movimiento de una partícula se realiza a lo largo de una recta es preferible emplear un sistema unidimensional, si se mueve en el plano será mejor emplear un sistema bidimensional y si se mueve en el espacio es necesario emplear un sistema tridimensional. En cada caso la posición de un punto se especifica por medio de coordenadas (x), un par ordenado (x; y) o una terna ordenada (x; y; z) respec-tivamente. El eje z se llama eje de cotas.

3.1.2. Escalares y vectores

3.1.2A. Definición de escalarSe llama escalar, o cantidad escalar, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y si es el caso de una unidad física. [Física, Giancoli, Ed. Prentice Hall, México, 1997]

Ejemplo.- Son escalares: la distancia entre la tierra y la luna (1,5 · 1011 m), la masa de una manzana (0,1 kg), la temperatura de nuestro cuerpo (310 K), o simplemente 20; -35; ... etc.

Nota.- Los escalares se operan del mismo modo que los números reales. Por ejemplo si tenemos que mezclar 23 kg de cemento, 45 kg de arena y 12 kg de agua, se obtiene una mezcla de:

23 kg + 45 kg + 12 kg = 56 kg

3.1.2B. Definición de vectorSe llama vector, o cantidad vectorial, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud y una dirección. [Física Clásica y Moderna, Gettys y otros, Ed. McGraw Hill, Madrid, 1993]

Ejemplo.- Supongamos que una persona se ha desplazado entre dos puntos: desde A hacia B. Primero se desplazó hacia el este 30 m y luego hacia el norte 40 m.

Obsérvese que: 30 40 50 4030

2 2( ) + ( ) = =; tan θ → q = 53º

Entonces su desplazamiento fue de 50 m de A hacia B en la dirección indicada por el eje L, cuya inclinación con el eje AE forma el ángulo q = 53º. Así, el desplazamiento es un vector que está totalmente es-pecificado por su magnitud: 50 m, y por su dirección E53ºN.

3.1.3. Propiedades de los vectores

3.1.3A. Notación vectorial

En general la expresión A se lee vector A, y las expresiones A o A denotan la magnitud o módulo del vector A.

La magnitud de un vector se define mediante un número no negativo (A ≥ 0) y una unidad de medida, de modo que su notación polar resulta: A = (A; q).

Ejemplo.- El desplazamiento del ejemplo anterior se puede denotar como d y su módulo como d = 50 m . Obsérvese que este valor sólo depende del triángulo rectángulo formado y es completamen-

te independiente de la dirección L

en que se encuentra. En coordenadas polares se denota así:

d = (50 m; 53º) (Ver Fig. 3.1.6)

3.1.3B. Representación gráfica de vectoresUn segmento dirigido es un segmento de recta limitado por los puntos A y B, en el que se ha conve-nido cuál de estos puntos es el origen cuál es el extremo. [Problemas de Geometría Analítica, Klétenik, Ed. Mir, 1986]

El segmento dirigido con origen en «A» y extremo en «B», se denota como AB

. A todo segmento dirigido se le atribuye dos características: dirección y magnitud.

a) La dirección está definida por la forma cómo nos dirigimos desde el origen hacia el extremo.

b) La magnitud, denotada por AB, viene dada por la distancia entre A y B tomada con signo positivo (+) o negativo (–), si su dirección coincide o es contraria, respectivamente, con la dirección positiva del eje.

La longitud de AB

, denotada por AB

, es un número positivo y viene dada por el valor absoluto de su magnitud. En la Fig. 3.1.7a se muestra el segmento dirigido AB

cuya orientación coincide con la dirección positiva del eje horizontal de referencia.

Obsérvese que las magnitudes de los segmentos dirigidos de la Fig. 3.1.7b tienen un signo (+) o (–) según que la orientación del segmento dirigido coincida o no, respectivamente, con la dirección positiva del eje. Por otro lado, las longitudes de los segmentos dirigidos, como PQ y RS, son siempre de signo positivo.

La representación geométrica de un vector es un segmento dirigido, tal que, si V es un vector y AB

es el segmento dirigido que lo representa, entonces ellos se relacionan según la fórmula de graficación:

V k== ⋅⋅ AB

donde k, llamado factor de escala, es un número positivo expresado en unidades de la cantidad física V por unidad de longitud. Cuando k = 1, el módulo del vector coincide con la longitud del segmento.


Ejemplo.- Grafiquemos los segmentos dirigidos de los vec-tores fuerza F1 = (60 N; 37º) y F2 = (90 N; 120º), donde N es el símbolo de la unidad de fuerza llamada newton, que defi-niremos más adelante, utilizando el factor k = 15 N/cm.

Aplicando la fórmula de graficación, se tiene:

i) F k1 = ⋅ OA

→ 60 15N Ncm

= ⋅ OA

→ OA cm

= 4

ii) F k2 = ⋅ OB

→ 90 15N = ⋅Ncm

OB

→ OB cm

= 6

La dirección de cada vector está definida por la dirección del segmento dirigido que lo representa (Fig 3.1.8).

Observaciones:

1ra. Si se conoce la dirección positiva de un eje, la dirección de un vector paralelo a él viene dado por el signo que se antepone a su magnitud. El signo (+) o (–) de la magnitud del vector indica que éste se orienta en la dirección positiva del eje o en dirección contraria respectivamente. En la Fig. 3.1.9a los vectores F1 y F2 se denotan algebraicamente así: F1 =+120 N y F2 = -150 N.

2da. Al considerar el factor de escala k = 1, logramos que el módulo de un vector V concuerde con la longitud del segmento dirigido AB

que lo representa: V = AB

. Con esta condición podemos aplicar las propiedades geométricas y trigonométricas a los vectores.

3ra. Si los vectores A y B tienen la misma dirección se llaman Vectores Codirigidos y se denota así: A ↑↑ B (Fig. 3.1.9b). Si los vectores A y B tienen direcciones opuestas se llaman Vectores Contrariamente Dirigidos y se denota así: A ↑↓ B (Fig. 3.1.9c).

3.1.3C. Igualdad de vectoresDos vectores A y B son iguales, denotado como A = B, si ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección. (Fig. 3.1.10)

Si A = B → A B

A B

==

↑↑↑↑

Ejemplo.- Si F1 = (48 N; q) y F x2 60 150= −[ ]( )N; º son dos vectores fuerza iguales, calculemos q y x. Sabiendo que F1 = F2 , por definición de igualdad de vectores se debe cumplir que:

i) F F1 2= → 48 = 60 – x → x = 12

ii) F F1 2↑↑ → q = 150º

3.1.4. Descomposición de vectores

3.1.4A. Componentes vectoriales de un vector en el plano

Son cada una de las proyecciones de un vector sobre dos ejes concurrentes, cuyos segmentos dirigidos están definidos por las intersecciones entre las paralelas trazadas por su origen y extremo, con cada eje.

Sea V un vector y AB

un segmento dirigido tal que V k= ⋅ AB

. Sean L1 y L2, dos ejes concurrentes, en A. Las proyecciones V1 y V2 son las componentes vectoriales del vector V sobre L1 y L2, representadas por AB1

y AB2

, son tales que V k1 = ⋅ AB1

y V k2 = ⋅ AB2

, donde BB1 P L2 y B B2 P L1. En la Fig. 3.1.11 se muestran las tres posibles proyecciones de un vector V sobre dos ejes no paralelos.

Notas.- Las expresiones BB1 P L2 y B B2 P L1 se leen como: el segmento BB1 es paralelo al eje L2 y el segmento B2B es paralelo al eje L1, respectivamente.

3.1.4B. Componentes escalares de un vector

Se llaman componentes escalares de un vector a las magnitudes de sus componentes vectoriales.

{Componente escalar} = {Signo}{Módulo de la componente vectorial}

El signo se elige según la dirección que posee la componente respecto de la dirección positiva del eje sobre el que descansa. En adelante las Componentes Vectoriales de V se denotan por V1 y V2 y sus Componentes Escalares como V1 y V2. El proceso mediante el cual se determinan las componentes, vectoriales o escalares, de un vector se llama descomposición o resolución de un vector.

Ejemplo 1.- Determinemos las componentes escalares de F = (80; 53º) sobre dos ejes: uno horizontal y el otro formando 113º con el primero.


Sean L1 y L2 los ejes y hagamos que F k= ⋅ AB

, F k y F k1 2= ⋅ = ⋅AB AB1 2

. Construimos el parale-

logramo AB1BB2 (Fig. 3.1.12), completamos ángulos y aplicamos la Ley de Senos:

ABsen

ABsen

BB1

67 60 531

º º sen º= = → k k k⋅ =

⋅=

⋅ABsen sen

67 60 531 2

ºAB

ºAB

sen º

→ F F Fsen sen67 60 53

1 2

º º sen º= = → 80

0,92 0,866 0,8= =F F1 2 \ F F1 275 3 69 6= =, y ,

Observación.- En adelante, y para todos los casos de descomposición vectorial, consideraremos que el factor de escala es k = 1.

Ejemplo 2.- En la figura se muestra un sistema formado por dos fuerzas cuyos módulos son 500 N y 600 N aplicados sobre una ménsula A. Si se sabe que estas fuerzas son las componentes de un vector fuerza F, se pide determinar:

a) ¿Cuál es la medida de q para que F quede ubicado a lo largo de la dirección x?

b) ¿Cuál es el valor de F ?

a) Para resolver este caso elaboramos un esquema en donde queden indicados el vector F y sus respecti-vas componentes F1 y F2 aplicando para ello la construcción del paralelogramo correspondiente.

A continuación elegimos el triángulo inferior para señalar en él los ángulos dados así como el valor de las medidas de dos de sus lados. De este modo podemos aplicar la Ley de los Senos de manera que:

60037

500 12

30sen senº

º= → = ∴ =θ θ θsen

b) Ahora, para determinar el módulo de F aplicare-mos la Ley de los Cosenos en el triángulo indicado:

500 600 2 6002 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅F F cos θ

Reemplazando el valor de q calculado en el paso anterior y resolviendo, se obtiene:

\ F = 919 N

3.1.4C Componentes rectangulares de un vector

Se llaman componentes rectangulares de un vector a los vectores que corresponden a sus proyecciones sobre dos ejes que forman ángulo recto, llamados ejes rectangulares.

Si x e y son los ejes rectangulares entonces, las componentes rectangulares de V son Vx y Vy ubicados respectivamente en cada uno de esos ejes. En la Fig. 3.1.13 se muestran todas las posibles descomposi-ciones rectangulares de un vector V en el plano cartesiano xy.

Para obtener las componentes escalares rectangulares Vx y Vy de las componentes Vx y Vy se aplican las R.T seno y coseno del ángulo de referencia qR que forma el vector V con el eje x, tales que:

Vx = ±V cos qR ; Vy = ±V sen qR

donde V es el módulo de V y los signos (+) o (–) se eligen según la orientación que poseen las compo-nentes rectangulares respecto de la dirección positiva del eje al cual pertenecen.

Ejemplos.- Determinemos las componentes escalares rectangulares de los siguientes vectores:

a) F = (250; 127º)

Elaboramos un diagrama para ubicar el ángulo direccional de 127º e indicar las componentes. Asimismo es necesario reconocer que el ángulo de referen-cia mide 53º. Aplicando las fórmulas de las componentes escalares rectangu-lares y teniendo en cuenta la orientación de cada componente, se tiene:

Fx = -250 · cos 53º → Fx = -150

Fy = +250 · sen 53º → Fy = +200

b) E = (300; 240º)

Procediendo como en el caso anterior, graficamos y deducimos que el ángu-lo de referencia mide 60º. Luego se tiene que:

Ex = -300 · cos 60º → Ex = -150

Ey = -300 · sen 60º → Ey = -150 3

52 Física 53Und. 3 – Análisis Vectorial

Prob. 01Determina las componentes de A = (20; 40º) sobre las rectas cuyas direcciones forman 24º y 77º con el eje horizontal.

Elaborando la descomposición vectorial según los datos del problema, se tiene:

Fijando nuestra atención en el el triángulo cuyos ángulos se han determinado, aplicamos la Ley de Senos:

A A A1 237 16 127sen sen senº º º

= =

Considerando que sen 127° = sen 53° = 4/5, re-emplazamos datos y se obtiene:

A A135

2725

45

20= =

\ A1 = 15 ∧ A2 = 7

Prob. 02

Sabiendo que V1 y V2 son las componentes del vec-tor V, se pide determinar el módulo de la compo-nente V2 si además se sabe que V = (18; 83º) y V1 = (30; 0º).

Elaborando un esquema de los vectores según los datos, en notación polar, logramos determi-

nar la posición del componente V2 . Veamos:

Aplicando la Ley de los Cosenos en el triángulo resaltado, tendremos:

V22 2 218 30 2 18 30 53= + − ⋅ ⋅ ⋅ cos º

\ V2 = 24

Nota.- La componente V2 no es horizontal.

Prob. 03

Las componentes de un vector A forman 74º entre sí. Si además el vector dado forma 44º con la com-ponente cuyo módulo es 12,5; ¿cuál es el módulo de A?

Elaborando la gráfica del vector A y sus compo-nentes vectoriales según los datos del problema, se tiene:

Fijando nuestra atención en el triángulo cuyos ángulos se han determinado, aplicamos la Ley de Senos:

A A130 106sen senº º

=

Considerando que sen 106º = sen 74º = 24/25, reemplazamos datos se obtiene:

12 512

2425

, = A \ A = 24

Prob. 04Las componentes A1 y A2 de un vector A forman entre sí un ángulo de 53º. Si A = 14 , determinar el módulo de A2 para que A forme 37º con A1.

Elaborando la gráfica del vector A y sus compo-nentes vectoriales A1 y A2, según los datos del problema, se tiene:

Fijando nuestra atención en el triángulo cuyos ángulos se han determinado, aplicamos la Ley de Senos:

A A1 216 37sen senº º

=

Considerando que sen 16º = 7/25 , reemplaza-mos datos y se obtiene:

14725

235

=A

\ A = 24

Prob. 05

Determinar las componentes escalares del vector A ubicadas sobre las direcciones L1 y L2. Se sabe que A es el menor vector que se puede instalar en-tre las rectas L1 y L3.

Debemos reconocer que el mínimo vector que se puede trazar entre las paralelas L1 y L3 es aquel cuyo segmento dirigido resulta ser perpendicu-lar a la recta L3. Luego:

Ya que el triángulo rectángulo indicado es nota-ble se establece que:

A1 20 37 15= ⋅ =tan º → A1 = +15

A2 20 37 25= ⋅ =sec º → A2 = -25

Prob. 06Una cesta se puede sostener, en la forma mostra-da, mediante una fuerza vertical F N= 210 . Se pide calcular el módulo de sus componentes vecto-riales ubicadas en la dirección AB y BC.

54 Física 55Und. 3 – Análisis Vectorial

Prolongando, hacia arriba, la dirección de AB podemos realizar la descomposición vectorial del vector F dado.

Luego, del triángulo rectángulo notable indica-do, procedemos a calcular los módulos de los vectores componentes así:

FAB = ⋅ = ⋅210 60 210 2

3csc º

\ FAB N== 140 3

FBC = ⋅ = ⋅210 60 210 1

3cot º

\ FBC N== 70 3

Prob. 07Determine el ángulo q de la fuerza de 600 N de tal manera que cuando la fuerza se descomponga en dos componentes actuando sobre las barras AB y AC, la componente a lo largo de AC sea de 500 N dirigida de «A» hacia «C». ¿Cuál es el módulo de la fuerza componente actuando a lo largo de AB?

Tal como se procedió en el ejercicio anterior prolongamos, hacia arriba, la dirección de AB. A continuación reconocemos que la componente

sobre la dirección AC es conocida tanto en mó-dulo como en dirección. Veamos:

Obsérvese que las medidas de los ángulos en «A» se han establecido mediante las propieda-des geométricas referidas a ángulos determina-dos entre paralelas. Asimismo, la medida del ángulo en el vértice inferior (74º) se ha calculado mediante la propiedad referida a la suma de án-gulos en un triángulo.

Ahora aplicamos la Ley de los Senos en el trián-gulo indicado:

F FACsen sen60 74º º−( ) =

θ

50060

600 60 4524

25sensen

ºº

−( ) = → −( ) =

θ

θ

→ 60º – q = 53º \ q = 7º

Prob. 08Calcular la suma de las componentes rectangulares escalares ubicadas a lo largo del eje x de las dos fuerzas actuantes sobre el extremo de la ménsula.

Identificando los ángulos de referencia para cada vector fuerza, procedemos a descomponer rectangularmente.

En base a las fórmulas conocidas para las com-ponentes en el eje «x» y teniendo en cuenta la dirección de cada una, se obtiene:

Fx = ⋅-600 2 45cos º → Fx = -600 N

Tx = -500· cos 37º → Tx = -300 N

Finalmente nos piden:

V F Tx x x -∑ = + = −600 300

\ Vx - N∑ == 900

Prob. 09

Determinar las componentes de la fuerza F = 200 N en las direcciones:

a) x’ – y’

b) x’ – y

a) Para este caso las direcciones x’ – y’ forman 90º, luego se trata de una descomposición rec-tangular en la que los ejes se encuentran gira-dos.

Aplicando las fórmulas conocidas para las com-ponentes rectangulares y teniendo en cuenta la dirección de cada una, se obtiene:

Fx’ = 200· cos 60º → Fx’ = 100 N

Fy’ = 200· sen 60º → Fy N' = 100 3

b) Para este nuevo caso las direcciones x’ – y for-man 120º, luego se trata de una descomposición no rectangular y el proceso de descomposición se hará construyendo un paralelogramo.

Completando los ángulos en el triángulo supe-rior descubrimos que éste, por tener sus tres án-gulos interiores congruentes, es equilátero.

Luego las componentes de la fuerza resultan te-ner la misma magnitud:

Fx’ = 200 N ∧ Fy = 200 N


01.- Un vector tiene un módulo igual a 20 y for-ma con el menor de sus componentes vectoriales un ángulo de 53°. Determinar los módulos de cada componente si están en la proporción de 3 a 4.

A) 12 y 16 B) 8 y 20 C) 12 y 15

D) 6 y 18 E) 7 y 20

02.- Las componentes vectoriales de un vector, de módulo igual a 20, forman un ángulo de 53º. Si el vector dado forma con la menor de sus componen-tes un ángulo de 37º, se pide calcular el módulo de cada componente.

A) 6 y 10 B) 9 y 12 C) 10 y 12

D) 16 y 12 E) 7 y 15

03.- ¿Qué ángulo forman las componentes de un vector si se sabe que ellas poseen la misma mag-nitud y además el módulo del vector dado es 3 veces el de sus componentes?

A) 37º B) 60º C) 45º

D) 53º E) 30º

04.- Las componentes de un vector A están ubica-das sobre dos direcciones que forman 120º. Si la mayor de las componentes tiene por módulo 80, y el vector dado es perpendicular a la segunda com-ponente, ¿cuál es el valor de A ?

A) 40 B) 60 3 C) 45

D) 40 3 E) 60

05.- Se sabe que A1 = 5 y A2 = 1 son las magnitu-des de las componentes de un vector A. Determinar el ángulo que forman las componentes si el vector dado forma 8º con la componente A1.

A) 74º B) 30º C) 45º

D) 37º E) 53º

06.- Al descomponer un vector de módulo igual a 25 resulta que éste forma 74º con la componente de módulo igual a 31. ¿Cuál es el módulo de la segunda componente?A) 7 B) 24 2 C) 12 D) 12 E) 76

07.- La fuerza vertical F actúa hacia abajo en «A» sobre la armadura de dos miembros. Determine los módulos de las dos componentes de F dirigi-das a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F = 480 N .

A) 180 N

B) 200 2 N

C) 310 N

D) 250 3 N

E) 400 N

08.- El anillo indicado está sujeto a la acción de una fuerza F cuyas componentes son F1 y F2. Si se requiere que esta fuerza tenga un módulo de 1 kN y esté dirigida verticalmente hacia abajo, determine el módulo de F1 cuando F 2 es mínimo.

A) 300 3 N

B) 300 N

C) 500 3 N

D) 400 N

E) 666 7 3, N

3.2.1. Métodos gráficos de composición vectorial

3.2.1A. DefiniciónLos métodos gráficos de composición vectorial son procesos de dibujo que se sustentan en el tratamien-to de los vectores a partir de los segmentos dirigidos que los representan.

3.2.1B. Vectores colinealesDos o más vectores se llaman colineales si sus direcciones son paralelas a una misma recta.

3.2.1C. Adición de vectores

C1. Método del paralelogramo

Sean los vectores V1 y V2 no colineales, representados por AB1

y

AB2

. El vector suma o resultante de estos vectores, denotado por

R = V1 + V2 , es el vector representado por AB

, tal que BB1 P AB2 y

B B2 1P AB . [Álgebra Vectorial, Reznichenko, Editorial Mir, 1985, Moscú].

La adición de vectores es el proceso inverso de la descomposición vectorial. Obsérvese en la Fig. 3.2.2 que los segmentos dirigidos de los vectores que se suman tienen el mismo origen «A», que es el ori-gen del vector resultante R. Finalmente la magnitud y dirección del vector resultante se obtienen con regla y transportador.

La mayor parte de la notación vectorial que uti-lizamos en la actualidad puede ser atribuida a Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903).

Gibbs tenía una tendencia muy marcada a usar un único símbolo para representar un objeto matemá-tico que estuviese formado por varias cantidades, como ocurre con los vectores. El trabajo más impor-tante de Gibbs fue sobre termodinámica y mecánica estadística. A la muerte de Maxwell, se comentaba que sólo una persona (Maxwell) pudo entender el trabajo de Gibbs y ahora estaba muerto.

01 02 03 04 05 06 07 08A E B D C B D E

CLAVES

3.1. Descomposición Vectorial 3.2 Composición Vectorial

3.1.1. definiciones fundamentales - libreria...

Documents