1.2.2. postulados de separación cap. 1.2 el Ángulo geométrico

34 Geometría 35Und. 1 - Introducción a la Geometría

1.2.1. Conjunto Convexo y no Convexo

Un conjunto de puntos Q se denomina convexo, cuando todo segmento determinado por dos puntos cualesquiera del conjunto, está contenido en este conjunto.

Si «Q» es un conjunto de puntos y {M, N} ⊂ Q | MN ⊂ Q, entonces «Q» es convexo.

A partir de esta definición se establece que un conjunto es no convexo si se encuentra que al menos un par de puntos de éste no satisface la condición de convexidad.

En el siguiente esquema se observa que en el conjunto convexo «C» el segmento AB tiene to-dos sus puntos contenidos en dicho conjunto, en cambio en el conjunto no convexo «N» existe al menos un segmento EF cuyos puntos no están contenidos totalmente en dicho conjunto.

ConjuntoConvexo

AB ⊂ C

ConjuntoNo Convexo

EF ⊄ N

Ejemplo.- A continuación se muestran algunos conjuntos convexos y no convexos:

ConjuntoConvexo

ConjuntoNo Convexo

Desde la invención del ángulo geométrico, fue posible representar y comprender los objetos de la naturaleza mediante representaciones gráficas.Por ejemplo, el equilibrio de las estructuras es explicado a partir de las fuerzas que se produ-cen al interior de los cuerpos.Mediante la valiosa ayuda de la Geometría se establecieron las primeras relaciones entre án-gulos, segmentos y fuerzas. Un desarrollo ulte-rior de la geometría es la trigonometría, ciencia propiamente de los ángulos que potencializó la matemática.

CAP. 1.2 El Ángulo Geométrico1.2.2. Postulados de Separación

1.2.2A. Postulado de la separación del planoSe da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta for-man dos conjuntos tales que:(1) Cada uno de los conjuntos, llamados semiplanos, son convexos.(2) Si «P» está en uno de los conjuntos y «Q» en el otro, entonces, el segmento PQ, interseca a la recta. Para ambos semiplanos la recta es su arista.

1.2.2B. Postulado de la separación del EspacioLos puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que:(1) Cada uno de los conjuntos, llamados semiespacios, es convexo.(2) Si «P» está en uno de los conjuntos y «Q» está en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano que separa uno y otro semi espacio. Tal plano recibe el nombre de cara.

1.2.3. Definición de Ángulo Geométrico

Dados tres puntos A, O y B no alineados, se denomina ángulo geométrico AOB, denotado por RAOB, a la figura formada por la reunión de los rayos y , llamados lados, cuyo origen común O se llama vértice del ángulo.

De acuerdo con esta definición, los rayos que sirven de lados a un ángulo no deben estar en una misma recta, es decir, los rayos no son colineales.

Por esta razón el ángulo también se define como la figura formada por dos rayos no alineados de origen común.

1.2.4. Medición de Ángulos Geométricos

1.2.4A. Abertura

Es la característica de un ángulo geométrico definida por la separación existente entre sus lados y comprendida en la región interior.

En adelante, la abertura de un ángulo se constituye en objeto de medición.

1.2.4B. Medida de un ángulo

Se define la medida, o magnitud, de un ángulo como la medida de su abertura.

Medir un ángulo es establecer una comparación entre su abertura con la abertura de otro toma-do como unidad. Se verifica así que a mayor abertura corresponde una mayor medida.

La medida de un ángulo AOB se denota por mRAOB.


1.2.4C. Unidad de medida angular

La unidad de medida de un ángulo geométrico se llama grado sexagesimal y se denota por (º).

La medida o magnitud de un ángulo geométrico queda definida por un número, o valor, y una unidad de medida, el grado (º). El transportador mostrado sirve para medir ángulos.

1.2.5. Postulado de la Medida de un Ángulo Geométrico

El valor de la medida de un ángulo geométrico AOB, denotado por: mRAOB, es un número real comprendido entre 0 y 180.

Si «q» es el valor de la medida del ángulo AOB, es decir mRAOB = qº, entonces según este postulado se cumple que:

0º < q < 180º

Ejemplo 1.- Observemos que mRAOB = 120º.

Si la medida del ángulo AOB es 120º, significa que uno de sus lados, digamos está respecto de a 120 grados y viceversa.

Ejemplo 2.- Expresemos las medidas de todos los ángulos identificables de la siguiente figura:

i) mRAOB = 90º ii) mRBOC = 90º

iii) mRCOD = 50º iv) mRDOA = 130º

1.2.6. Partición de un Conjunto

1.2.6A. DefiniciónSe denomina partición de un conjunto P, a una colección de subconjuntos de P, ninguno de los cuales es vacío y tales que cada elemento de P pertenece a uno de los subconjuntos de P.

Según esta definición, un ángulo geométrico hace una partición del plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: el conjunto de puntos del ángulo y dos conjuntos llamados regiones.

De este modo se verifica que el plano P sobre el que se encuentra el ángulo está dado por la partición:

P = {R1} ∪ {R2} ∪ {RAOB}

donde R1 y R2 son dos subconjuntos de P llamados regiones, determinados por la partición.

1.2.6B. Interior y exterior de un ángulo geométrico

B1. Definición 1.- Llamamos región interior de un ángulo al conjunto de puntos convexo de-terminado por la partición que realiza el ángulo sobre el plano al que pertenece.

B2. Definición 2.- Llamamos región exterior de un ángulo al conjunto de puntos no convexo determinado por la partición que realiza el ángulo sobre el plano al que pertenece.Según estas definiciones y de acuerdo con la figura, diremos que MN se encuentra ubicado en la región interior R1 del ángulo AOB y R2 es la región exterior de dicho ángulo.

Observación.- De acuerdo con la definición de partición de un ángulo, no pueden existir ángulos geométricos de medida 0º ó 180º, porque éstos no tendrían definidas sus regiones interior o exterior.

1.2.7. Clasificación de los Ángulos Geométricos

CRITERIO DEFINICIÓN EJEMPLIFICACIÓN

SEGÚNSU

MEDIDA

Ángulo Agudo

Es el ángulo cuya medida es menor que 90°.0 º < a < 90 º

Ángulo Recto

Es el ángulo cuya medida es igual a 90°.a = 90 º

Ángulo Obtuso

Es el ángulo cuya medida es mayor que 90°.90 º < a < 180 º

SEGÚNLA

POSICIÓNDE SUSLADOS

Ángulos Adyacentes

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice, un lado común y regiones interiores disjuntas.

OB

es el lado común, verificándose que:

mRAOC = a + b

Par Lineal

Son dos ángulos adyacentes que tienen sus lados no comunes opuestos.

a + b = 180 º

Ángulos Consecutivos o Contiguos

Son dos o más ángulos adyacentes entre sí, que tienen el mismo vértice.

mRAOD = a + b + q

Opuestos por el Vértice

Son dos ángulos de un mismo vértice y cuyos lados son las prolongaciones del otro.

a = b


CRITERIO DEFINICIÓN EJEMPLIFICACIÓN

SEGÚNLA

RELACIÓNENTRE

SUSMEDIDAS

Ángulos Complementarios

Si las medidas de dos ángulos suman 90º.a + b = 90 º

Ángulos Suplementarios

Si las medidas de dos ángulos suman 180º.a + b = 180 º

Observaciones.- Un par lineal está formado por dos ángulos adyacentes suplementarios:

El complemento de a, se denota como Ca, tal que: Ca = 90º – a , (0º < a < 90º)

Análogamente, la medida del suplemento de «a» lo denotaremos por Sa, tal que:

Sa = 180º – a , (0º < a < 180º)

1.2.8. Congruencia de Ángulos y Bisectriz

1.2.8A. Congruencia de ángulosDos ángulos AOB y PQR, son congruentes, denotado por RAOB @ RPQR, cuando sus medidas son iguales.

Ejemplo.- En la figura,

mRAOB = 50º, mRPQR = 50º,

luego podemos afirmar que: RAOB @ RPQR

1.2.8B. Bisectriz de un ánguloDado un ángulo AOB y un punto «P» de su región interior, el rayo OP se llama bisectriz del RAOB, sí y sólo si los ángulos AOP y POB son congruentes.

RAOP @ RPOB

Ejemplo.- En la figura si mRAOB = 80º, entonces: mRAOP = mRPOB = 40º.

1.2.9. Rectas Paralelas y Perpendiculares

1.2.9A. Rectas ParalelasDos rectas se llaman paralelas si no se intersectan por más que se prolonguen.Si la recta AB es paralela a la recta CD se denota como AB CD

P .

1.2.9B. 5to Postulado de EuclidesPor un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ésta.

1.2.9C. Rectas PerpendicularesSe dice que dos rectas son perpendiculares, o bien una de ellas es normal a la otra, cuando se cortan en ángulo recto.

Si la recta AB es perpendicular a la recta CD se denota como AB CD

⊥ .

1.2.10B. PostuladoPor un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la primera.Dos segmentos son perpendiculares si las rectas que los contienen son perpendiculares.

1.2.10. Ángulos Determinados por dos Paralelas y una Secante

Si L1 y L2 son dos rectas paralelas intersectadas por una tercera recta L3, llamada secante, enton-ces se verifica que entre todas determinan ocho ángulos congruentes dos a dos.

Los ángulos determinados por este conjunto de rectas se nombran de dos en dos y según la posición relativa que éstos presentan. Denotando a cada ángulo por su medida, éstos se cla-sifican en:

TIPOS DE ÁNGULOS RELACIÓN DE ÁNGULOS

RELACIÓN MATEMÁTICA

CONJUGADOS

INTERNOSRc y RfRd y Re

mRc + mRf = 180ºmRd + mRe = 180º

EXTERNOSRb y RgRa y Rh

mRb + mRg = 180ºmRa + mRh = 180º

ALTERNOS

INTERNOSRc y ReRd y Rf

Rc @ ReRd @ Rf

EXTERNOSRa y RgRb y Rh

Ra @ RgRb @ Rh

CORRESPONDIENTES

Ra y ReRd y RhRb y RfRc y Rg

Ra @ ReRd @ RhRb @ RfRc @ Rg

Todas estas relaciones entre ángulos, determinados por las paralelas y secantes, corresponden a sendos teoremas.


01.- Dado el conjunto de puntos mostrados en el gráfico, escribe (S) o (N) al lado de aquellas nota-ciones que son o no ángulos, respectivamente.

a. RDAB _____ b. RABC _____

c. RDBC _____ d. RACB _____

e. RCAB _____ f. RADB _____

g. RBCD _____ h. RBDC _____

02.- Mide con el transportador cada uno de los siguientes ángulos y realiza las operaciones que se indican:

mRAOD = _______ mRBOE = _______

mRCOD = _______ mRDOB = _______

a. mRAOC + mRDOE = _______

b. mRBOE – mRAOC = _______

c. mRAOD + mRBOC – mRDOE = _______

d. mRAOC + mRCOD + mRDOE = ______

03.- Convierte cada una de las siguientes cantida-des a la unidad indicada:

a. 20 º a segundos: ___________________

b. 10 º a minutos: ___________________

c. 15’ a grados: ___________________

d. 150’’ a minutos: ___________________

e. 1200’ a grados: ___________________

f. 25500’’ a grados y minutos: __________

g. 30,26 º a grados, minutos y segundos:

_________________

04.- En el gráfico se muestra un transportador di-vidido en unidades de 10 º. Escribe al lado de los ángulos indicados el que es congruente a él.

a. RAOB @ _______ b. RBOD @ _______

c. RAOD @ _______ d. RBOE @ _______

e. RBOC @ _______ f. RCOF @ _______

g. RCOA @ _______ h. RBOF @ _______

05.- Con ayuda de tu compás dibuja la bisectriz de cada uno de los ángulos indicados.

06.- Calcula el complemento (C) y suplemento (S) en cada caso:

a. 40 º ; C = ______ ; S = _______

b. 32 º ; C = ______ ; S = _______

c. a ; C = ______ ; S = _______

d. 20 º15’ ; C = ______ ; S = _______

e. 26 º20’ ; C = ______ ; S = _______

f. 35 º + q ; C = ______ ; S = _______

07.- De acuerdo al gráfico identifica a qué clases de ángulos pertenecen:

a. RAOB ∧ RFOE: _______________

b. RAOF ∧ RFOD: _______________

c. RAOB ∧ RFOD: _______________

d. REOD: _______________

e. RBOC: _______________

f. RFOD: _______________

g. RAOC ∧ RCOD: _______________

08.- Calcula «x» en cada caso si los ángulos mos-trados son consecutivos.

a.

x = _______

b.

x = _______

c.

x = _______

d.

x = ______

09.- Calcular «x» e «y» sabiendo que son núme-ros que representan las medidas de los ángulos que forman un par lineal.

a. x = 2y → x = _____ ; y = ______

b. 3x = 2y → x = _____ ; y = ______

c. x – y = 40 º → x = _____ ; y = ______

d. x y3 7

= → x = _____ ; y = ______

e. x y+ = 90”→ x = _____ ; y = ______

10.- Escribe (C) o (NC) si la figura mostrada es convexa o no convexa, respectivamente:

a. ____

b. ____

c. ____

d. ____

e. ____

f. ____


Prob. 01

Dadas las siguientes proposiciones. ¿Cuáles son verdaderas?I. Si al círculo se le extrae un punto cual-

quiera entonces siempre queda un con-junto no convexo.

II. Si «A» es un conjunto convexo y «B» es un conjunto no convexo entonces A – B es un conjunto no convexo.

III. Todos los ángulos son conjuntos no con-vexos.

A) Sólo I B) Sólo II C) I, II y IIID) Sólo III E) I y II

I. Falsa.- El círculo C es un conjunto convexo, y si se le extrae un punto «P», del borde, en-tonces C – {P}, seguirá siendo un conjunto convexo.

II. Falsa.- El esquema gráfico muestra que (A – B) es un conjunto convexo.

III. Verdadera.- Aplicando la definición de convexidad para el ángulo POQ mostrado, se tiene que AB ⊄ RPOQ, en consecuencia el conjunto es no convexo.

∴ Sólo III Rpta. D

Prob. 02

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Los polígonos convexos son conjuntos convexos.

II. En un plano se dibuja un ángulo, entonces el exterior del ángulo es un conjunto con-vexo.

III. La intersección de dos círculos es un con-junto convexo.

A) FVV B) FFV C) FFF

D) VFF E) VVF

I. Falsa.- Aplicando la definición de convexi-dad para el polígono convexo P, mostrado; se verifica que AB ⊄ P, luego no es conjunto convexo.

II. Falso.- Sea E el exterior al ángulo mostra-do, aplicando la definición de convexidad: AB ⊄ E, entonces el conjunto es no con-vexo.

III. Verdadero.- Puesto que los círculos son conjuntos convexos, aplicando el teorema relativo a estos conjuntos tenemos que A ∩ B es un conjunto convexo.

∴ FFV Rpta. B

Prob. 03

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Las particiones de un conjunto, incluidas sus fronteras siempre forman un conjunto convexo.

II. Si C1 y C2 son conjuntos convexos, en-tonces C1 ∩ C2 es convexo.

III. Si C1 y C2 son conjuntos no convexos, entonces C1 ∩ C2 es siempre un conjunto convexo.

A) FVV B) VFF C) FVF

D) FFV E) VVF

I. Falsa.- Esta proposición podemos enten-derla de dos formas:

a) Si todas las particiones reunidas forman un conjunto convexo: esto es falso, pues de-pende del conjunto que se va a particionar.

b) Si cada partición por separado es un conjunto convexo: En este caso, también la proposición es Falsa, pues estas pueden ser conjuntos convexos o no convexos.

II. Verdadera.- Aplicando el teorema fun-damental de convexidad: Si C1 y C2 son conjuntos convexos, entonces C1 ∩ C2 es un conjunto convexo.

III. Falsa.- Puesto que, si los dos conjuntos C1 y C2 son no convexos, entonces C1 ∩ C2 no es necesariamente convexo.

∴ FVF Rpta. C


Prob. 04

En las siguientes proposiciones decir cuáles son verdaderos:

I. El exterior de un plano es un conjunto no convexo.

II. Ninguna reunión de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo.

III. Alguna diferencia de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) I y III E) II y III

I. Verdadera.- Aplicamos la definición de conjunto convexo, siendo A y B dos puntos del exterior «E» al plano P se verifica que AB ⊄ E luego el conjunto es no convexo.

II. Falsa.- Apliquemos un contraejemplo. En la figura C1 y C2 son conjuntos no convexos pero su reunión es un conjunto convexo.

III. Verdadera.- En la figura A y B son con-juntos no convexos, sin embargo A – B es un conjunto convexo.

∴ Sólo I y III Rpta. D

Prob. 05En la siguiente figura. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

A) M ∪ Q es un conjunto convexo.

B) N ∪ Q es un conjunto convexo.

C) Q ∪ P es un conjunto convexo.

D) M ∪ N es un conjunto convexo.

E) M ∪ P es un conjunto convexo.

A) Falso.- Aplicando la definición de con-vexidad: AB ⊄ (M ∪ Q), luego es no con-vexo.

B) Falso.- Esto es porque siendo conjuntos disjuntos, la unión de ambos es un conjunto con puntos que no están incluidos en esta.

C) Falso.- Aplicando la definición de con-vexidad: AB ⊄ (P ∪ Q), luego es un conjunto no convexo.

D) Verdadero.- Aplicando la definición de convexidad: AB ⊂ (M ∪ N), luego el conjun-to es convexo.

E) Falso.- Aplicando la definición de con-junto convexo: AB ⊄ (M ∪ P), luego es no convexo.

∴ FFFVF Rpta. D

Prob. 06

Sean las semirectas OA y OC, tales que: OA OC

⊥ . Si trazamos la semirecta OB, se pide calcular la medida del RBOC si además se sabe que: mRAOB – mRBOC = 12º.

Esquematizamos el problema y ubicamos los datos:

Sean: mRBOC = x y mRAOB = a

Por ser ángulos adyacentes complementarios:

a + x = 90º . . . (1)

Por condición del problema:

m mR

R

AOB BOC− = 12º

a – x = 12º . . . (2)

Resolviendo las expresiones (1) y (2):

x = 39º

Prob. 07

En el gráfico mostrado mRAOE = 80º, calcu-lar la mRBOD.

Consideremos que: mRBOD = x

Por ángulos adyacentes: x = 3a + 3q

De donde: x = 3(a + q) . . . (1)

Por dato: mRAOE = 80º

Por ángulos consecutivos: 4a + 4q = 80º

De donde: a + q = 20º . . . (2)

Reemplazando (2) en (1): x = 3(20º)

∴ x = 60º


Prob. 08

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; OP

: bisectriz del RAOB; OQ

: bisec-triz del RCOD. Si: mRAOC + mRBOD = 140º, calcular mRQOP.

Graficamos y asumimos que: mRQOP = x

Por ángulos consecutivos:

x = b + q + a . . . (1)

Por dato: mRAOC + mRBOD = 140°

Pero mRAOC = 2a + q

y mRBOD = q + 2b

Luego: (2a + q) + (q + 2b) = 140°

Operando: 2a + 2q + 2b = 140°

Simplificando: a + q + b = 70º . . . (2)

De (1) y (2) ∴ x = 70º

Prob. 09Los ángulos consecutivos RAOB; RBOC y RCOD son tal que la suma de medidas de los ángulos AOC y BOD es 100º. Calcular la me-dida del RAOD, si la suma de las medidas de los ángulos AOB y COD es 50º.

Según el gráfico la incógnita es mRAOD = x

Por ángulos consecutivos: x = a + b + q

Por dato: mRAOC + mRBOD = 100º

En atención al gráfico:

Reemplazamos:(a + b) + (b + q) = 100º . . . (1)

También: mRAOB + mRCOD = 50ºDe donde: a + q = 50º . . . (2)Sumando (1) y (2): 2(a + b + q) = 150º a + b + q = 75º ∴ x = 75º

Prob. 10Sean RAOB, RBOC y RCOD tres ángulos consecutivos. Si: mRAOC + mRBOD = 140º, determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos RAOB y RCOD.

Graficamos y ubicamos los datos corres-pondientes:

Sea OM

bisectriz del RAOB y ON

bisectriz del RCODLuego la incógnita será: mRMON = xPor ángulos consecutivos: x = b + q + aPor dato: mRAOC + mRBOD = 140ºEn atención al gráfico, reemplazamos:

(2a + q) + (q + 2b) = 140ºa + q + b = 70º ∴ x = 70º

Prob. 11

Sean RAOB y RBOC dos ángulos adyacentes tales que: mRAOB – mRBOC = 44º. Además OM

, biseca el RAOB; ON

, biseca el RBOC; OR

, biseca el RMON. Calcular mRROB.

En el gráfico la incógnita es:

mRROB = x

Por dato: mRAOB – mRBOC = 44º

→ 2a – 2b = 44º

de donde: a – b = 22º

Por ángulos adyacentes: q = b + x . . . (1)

También: a = x + q

Luego: a – x = q . . . (2)

Reemplazando (2) en (1): a – x = b + x

a – b = 2x → 22 = 2x

∴ x = 11º

Prob. 12

Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC, se trazan OF

y OE

bisectrices de los ángu-los AOB y AOC. Si mRBOC = 60º, calcular mRFOE.

En el gráfico la incógnita es: mRFOE = x

Por ángulos adyacentes: x + a = q

→ x = q – a

Del gráfico, también se observa:

2a + 60º = 2q → 60º = 2q – 2a

30º = q – a ∴ x = 30º

Prob. 13

Sean RAOB y RBOC, tales que:mRAOB + mR2BOC = 148º y

mRAOB < mRBOC. Se traza OE

bisectriz del RAOB y OP

bisectriz del REOC. Cal-cular mREOP.

Elaboramos un gráfico que represente las condiciones del problema.

Sea: mREOP = x = mRPOC

Por ángulos adyacentes: mRBOC + a = 2x

mRBOC = 2x – a


Por dato: mRAOB + 2mRBOC = 148º

Reemplazando: 2a + 2(2x – a) = 148º

2a + 4x – 2a = 148º

4x = 148º ∴ x = 37º

Prob. 14

Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º.

Sea a la medida del ángulo.

Entonces: Sa = 180º – a y Ca = 90º – a

Según el enunciado: Sa + Ca = 160º

(180º – a) + (90º – a) = 160º

270º – 2a = 160º

→ 110º = 2a

∴ a = 55º

Prob. 15

El complemento de un ángulo es igual al su-plemento del triple de dicho ángulo. Calcular la medida de ese ángulo.

Sea la medida del ángulo: a

Complemento del ángulo: (90º – a)

Suplemento del triple del ángulo:

(180º – 3a)

Según el enunciado: 90º – a = 180º – 3a

→ 2a = 90º ∴ a = 45º

Prob. 16

Calcular la medida del mayor de tres ángulos cuyas medidas están en la relación de 3; 5; 7, sabiendo que el complemento de la suma de los ángulos es 15º.

Sean las medidas de los ángulos: a, b y q

Luego: a = 3k , b = 5k y q = 7k

De donde: a + b + q = 15k

El complemento de la suma será:

90 15º ( ) º− + + =α β θ

90º – 15k = 15º

→ k = 5º

Y en consecuencia: q = 7(5º)

∴ q = 35º

Prob. 17

El suplemento del complemento del doble de un ángulo excede en 42º a los dos tercios del complemento del ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.

Sea a el valor del ángulo buscado.

Luego por condición del problema:

SC C2 23

42α α− = º

Sustituyendo:

180 90 2 23

90 42º ( º ) ( º ) º− − − − =α α

Simplificando: 90 2 60 23

42º º º+ − + =α α

∴ a = 4,5º

Prob. 18

La suma del complemento de un ángulo más 30º es igual al doble del ángulo. Determinar la medida de ese ángulo.

Sea a la medida del ángulo, la de su com-plemento es 90º – a, así también el doble del ángulo es 2a.

Expresando simbólicamente el enunciado del problema: Ca + 30º = 2a

Sustituyendo: (90º – a) + 30º = a

→ 120º = 3a ∴ a = 40º

Prob. 19

Calcular la medida de un ángulo sabiendo que los 3/4 del suplemento de su complemento es igual a un ángulo recto.

Sea a la medida del ángulo, luego expresan-do simbólicamente el enunciado:

Resolviendo: 34

90SCα = º

34

180 90 90[ º ( º )] º− − =α

34

90 90[ º ] º+ =α

90º + a = 120º

∴ a = 30º

Prob. 20

Calcular un ángulo si el complemento de la cuarta parte del suplemento del complemento del ángulo es igual al complemento del doble del ángulo más 16º.

Sea «a» el valor del ángulo buscado.

Interpretando el enunciado:

90 1

42 16º − = +SC Cα α

90180 90

490 2 16º

º ( º )( º )−

− −[ ] = − + α

α

Multiplicando por (-1):

180 904

2 16º ( º ) º− − = −α α

Reduciendo: 90º + a = 8a – 64º

154º = 7a

Finalmente: a = 22º

Prob. 21

La medida de un ángulo es a. Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de a y el com-plemento de a/2 excede en a/15 el doble del complemento de «a». Calcular el suplemento del complemento de a.

Expresando algebraicamente el enunciado del problema y teniendo en cuenta que:

Complemento de: a = 90º – a

Suplemento de a = 180º – a, tenemos:

56

180 902

902

2 9015

( º ) º º ( º )− − − − − − − =

{ }

α α α α α

Reduciendo:

900 56

902

180 215

º º º− − + − + =α α α α


Homogenizando:

900 106 15

270º º+ − =α α

De donde: a = 75º

Nos piden: SCa = 180º – 90º + a

→ SCa = 90º + 75º

∴ SCa = 165º

Prob. 22

En el gráfico mostrado «x» e «y» son números enteros. Calcular el valor de «x» cuando «y» tome su máximo valor.

Observamos del gráfico que:

2y – x + x + y + x – y = 180º

→ 2y + x = 180º . . . (1)

Por definición de ángulo geométrico:

x – y > 0º

→ y < x . . . (2)

Sumando las expresiones (1) y (2):

3y + x < 180º + x

3y < 180º → y < 60º

Luego el mayor valor entero de «y» es 59º.

Sustituyendo en (1): 2(59º) + x = 180º

∴ x = 62º

Prob. 23

A partir del gráfico mostrado, calcular «x», si:

α β− = x3

Del gráfico deducimos las siguientes igual-dades:

x + b = 180º y 60º – x + a = 180º

De donde: x + b = 60º – x + a

→ 2x = 60º + a – b

Como: α β− = x3

Entonces: 2 603

x x= +º

53

60x = º

∴ x = 36º

Prob. 24

Siendo L L1 2

P , calcular «x».

En la figura por ángulos conjugados internos:

4m + 20 + 3m – 15 = 180º

de donde: 7m = 175º → m = 25º

Por ángulos adyacentes suplementarios:

x + 4m + 20 = 180º

x + 4(25) + 20 = 180º

∴ x = 60º

Prob. 25

Si a b

P , calcular «x».

Por ángulos conjugados internos:

2a + 60º = 180º → a = 60º

También: a + 70º + x = 180º

Reemplazando: 60º + 70º + x = 180º

∴ x = 50º

Prob. 26

Si L L1 2

P , calcular «x».

En el gráfico se traza L L3 1

P .

Por ángulos conjugados internos:

125º + a = 180º → a = 55º

130º + b = 180º → b = 50º

Luego por ángulos suplementarios:

a + x + b = 180º

55º + x + 50º = 180º

∴ x = 75º

Prob. 27

Si m n

P , calcular «x».

Del gráfico, por ángulos correspondientes se tiene:

3q = 63º

q = 21º


Luego por conjugados externos:

x + 4q = 180º

Sustituyendo: x + 4(21º) = 180º

x + 84º = 180º

∴ x = 96º

Prob. 28

En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas, calcular «x».

Se traza L L L3 2 1

P P , donde:

x = a + b . . . (1)

Entre L1 y L2, a y 50º son alternos internos:

→ a = 50º . . . (2)

Entre L2 y L3 por alternos internos:

→ b = 30º . . . (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

x = 50º + 30º

∴ x = 80º

Observación.- Este problema nos ha permi-tido establecer una propiedad:

Si L L1 2

P se cumple: x = a + b

A esta relación llamaremos Propiedad 1.

Prob. 29

En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas, calcular «x».

Se trazan L3

y L4

paralelas a L1

y L2

.

Empleamos la propiedad (1) entre L3

y L4

:

→ x = 10º + 20º

∴ x = 30º

Observación.- Este problema nos ha permi-tido establecer una segunda propiedad a la que llamaremos Propiedad del Serrucho o Propiedad 2.

Si L L1 2

P se cumple: x + y = a + b + q

∴ SRizquierda = SRderecha

Prob. 30

Si L L1 2

P , calcular «x».

Aplicando la propiedad 1: 4x + 5x = 72º

9x = 72º ∴ x = 8º

Prob. 31

Si L L1 2

P , calcular «x».

Según los datos del problema aplicamos la propiedad 1:

x = a + q


140º + 2a = 180º → a = 20º

También: 130º + 2q = 180º → q = 25º

Finalmente: x = 20º + 25º ∴ x = 45º


Prob. 32En la figura L L1 2

P , calcular «x».

Completando los ángulos en el gráfico:

Aplicando la propiedad 1:

x = 50º + 70º ∴ x = 120º

Prob. 33

Si a b

P y m n

P , calcular «x».

En el gráfico aplicamos la propiedad 1:

y = 30º + 70º → y = 100º

Como m

y n

son paralelas y por conju-gados internos:

y + x = 180º → 100º + x = 180º∴ x = 80º

Prob. 34

Si L L1 2

P , calcular «x + y».

Completando los ángulos en el gráfico dado:

Luego aplicando propiedad 1:

x = 20º + 30º → x = 50º

y = 70º + 30º → y = 100º

∴ x + y = 150º

Prob. 35

Si a b

P , calcular «x».

En la figura aplicamos la propiedad 1:

x = a + q . . . (1)

Además por conjugados internos:

2a + 2q = 180º

→ a + q = 90º . . . (2)

De (1) y (2): x = 90º

Prob. 36

Si a b

P , calcular «x».

En el gráfico aplicamos la propiedad 1:

a + q = 150º . . . (1)


a + q + x = 180º . . . (2)

Reemplazando (1) en (2):

150º + x = 180º

∴ x = 30º

Prob. 37

Encontrar el valor que tiene «x», si: L L1 2

P .

En el gráfico por propiedad del «Serrucho»:

x + 90º = 80º + 2x ∴ x = 10º

Prob. 38

Determinar «x», si: a + b = 300º. ( L L1 2

P )

Del gráfico aplicamos la propiedad 1:

m = (180º – a) + x . . . (1)

Por ángulos adyacentes: b = m + 90º

→ m = b – 90º . . . (2)

De (1) y (2): a + b = 270º + x

Por dato: a + b = 300º

Entonces: 270º + x = 300º

∴ x = 30º

Prob. 39

En la figura: m n

P . Calcular a + b + c, si q = 45º.


01.- ¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para ser equivalente al suplemento del complemento de dicha medida?

A) La mitad B) El doble C) El triple

D) Lo mismo E) Nada

02.- Encuentre la medida de un ángulo sabien-do que su suplemento excede al complemento del complemento de su medida en el triple de dicha medida.

A) 18º B) 20º C) 22

D) 36º E) 30º

03.- Reducir la expresión:

f = +

+

−

−

CCC C

2n veces 2n v

. . . . . . . .( )

( )

( )

( )

SSS S2

1

180 2

1

β β

eeces

A) 90º B) b C) 2b

D) 4b E) 180º

04.- Dados los ángulos RAOB y RBOC con-secutivos se tiene: mRAOC = 130º. Encuentre la medida del ángulo formado por las bisectri-ces de RAOB y RBOC.

A) 65º B) 13º C) 18º

D) 26º E) 52º

05.- La diferencia entre las medidas de dos ángulos consecutivos RAOB y RBOC es 30º. Encuentre la medida del ángulo que forman OB

y la bisectriz del RAOC.

A) 5º B) 10º C) 15º

D) 20º E) 35º

06.- Se tienen los ángulos consecutivos RAOB, RBOC y RCOD, se trazan las bisec-trices OP

y OQ

de los ángulos RAOB y RCOD. Si: mRAOC + mRBOD = 156º, de-termine la mRPOQ.

A) 66º B) 88º C) 96º

D) 78º E) 116º

07.- De la figura, si mRCOD = mRAOM; OM

bisectriz de RAOB, ON

bisectriz de RBOD y mRCON = 24º. Determinar mRBOC.

A) 12º

B) 24º

C) 36º

D) 18º

E) 9º

08.- Si la suma de las medidas de los suple-mentos de dos ángulos es 230º; y la diferencia entre ambos es 50º. Calcular el complemento del menor.

A) 40º B) 30º C) 50º

D) 62º30’ E) 60º

09.- Sean los ángulos consecutivos RAOB y RBOC tal que: mRBOC = RAOB + 4k; se traza las bisectrices de los ángulos RAOB, RBOC y RXOY tales como OX, OY y OZ respectivamente, calcular la mRBOZ.

A) k/2 B) k C) 2k

D) 3k E) 3k/2

1.2. El Ángulo Geométrico

Por el punto «C», trazamos CD P AB, CM

P n (D ∈ n

).

Por propiedad de los ángulos conjugados:

mRADC = 180º – 2q

Por propiedad de los ángulos alternos:

mRMCD = mRADC = 180º – 2q

Empleando la propiedad anterior se deduce que:

mRECM = 2q

y en consecuencia:

mRECD = 2q – (180º – 2q) = 4q – 180º

Finalmente empleando la propiedad del Se-rrucho para las paralelas AB y CD, tenemos:

a + b + c + 4q – 180º = q + q

→ a + b + c = 180º – 2q

Ya que: q = 45º

∴ a + b + c = 90º

Prob. 40

En la figura adjunta se muestra las rectas para-lelos L1 y L2 y una línea quebrada formada por 12 segmentos que forman ángulos cuyas me-didas determinan una progresión aritmética decreciente de razón «r». Calcular la medida «a» del mayor ángulo.

Considerando la disposición de los segmen-tos que forman la línea quebrada se deter-minan (n + 1) ángulos donde el penúltimo mide a – (n – 1)r y el último (a – nr).

Empleando la propiedad del Serrucho:

a + a – 2r + . . . + a – nr = a – r + a – 3r +. . . + a – (n – 1)r

α α α+ − + + +( ) = −n r n n2

2 1 22 2

. . .

r(1 + 3 + 5 + . . . + n – 1)

→ −( ) +( )

= ( )α2

-r n n

r n2 21

2 22

Reduciendo: α − + =rn n rn4

24

2( ) -

Finalmente: aa == rn2


10.- En la figura L L1 2

P , calcular «x».

A) 16º B) 18º C) 20º D) 24º E) 26º

11.- Si L L1 2

P , determinar «x».

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

12.- Del gráfico, si L L1 2

P , calcular «x».

A) 60º B) 80º C) 90º

D) 100º E) 140º

13.- En la figura L L1 2

P . Calcular «x».

A) 2m – n B) m – n C) m – 2n

D) 2(m – n) E) m + n

14.- Encuentre el valor de «x».

A) 100º

B) 110º

C) 120º

D) 130º

E) 150º

15.- Si L L1 2

P , calcular «x».

A) 25º

B) 30º

C) 35º

D) 40º

E) 45º

16.- Simplificar la expresión:

P = +− −

+

CCC C SSS S

veces

. . . . . . . .( ) ( )

( )

90 2

2

180 2

2 2

β β

k k

vveces

− −

− +

SSS S CCC C

2 veces 2 veces

. . . . . . . .( )

( )

( )

( )

2

1

2

1

β β

k k

A) 0º B) 2b C) b

D) 90º E) 180º

17.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye su complemento para agregarle al otro, este último resulta medir ocho veces lo que queda del primero. Encuentre una de las medidas de dichos ángulos.

A) 50º B) 45º C) 70º

D) 55º E) 120º

18.- Se tiene tres ángulos consecutivos RAOC, RCOB y RBOD, se trazan las bisectrices OM

, OY

y OZ

de los ángulos RAOC, RBOD y RMOY respectivamente, determinar mRCOZ, si: mRYOC – mRMOA = 24º.

A) 6º B) 12º C) 18º

D) 24º E) 36º

19.- Encuentre las medidas de dos ángulos donde la suma de ellos equivale al triple de la suma de sus complementos, además el doble del complemento de uno de ellos excede en 12º al suplemento del otro, indique el comple-mento del menor.

A) 18º B) 56º C) 49º

D) 50º E) 35º

20.- Se tienen los ángulos consecutivos RAOB, RBOC y RCOD tal que los ángulos RAOC y RBOD son suplementarios. Deter-mine el ángulo formado por las bisectrices de RAOB y RCOD. Siendo mRBOC = 42º; mRAOB = 2mRCOD.

A) 60º B) 90º C) 45º

D) 68º E) 86º

21.- Se tienen los ángulos consecutivos RAOB y RBOC tal que: mRAOB + mRBOC = 300º. Se trazan los rayos OP

y OQ

bisectrices de RAOB y RBOC respectivamente, luego OR

y OS

bisectrices de RAOQ y RCOP. Calcu-lar mRROS.

A) 60º B) 65º C) 75º

D) 80º E) 105º

22.- Nueve ángulos adyacentes ubicados en un semiplano, tienen sus medidas formando una progresión aritmética. Calcular la medida del menor, si se sabe que es la tercera parte del mayor.

A) 9º B) 10º C) 11º

D) 12º E) 13º

23.- Dados los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD, tal que OA

y OC

son rayos opuestos, el ángulo BOD es recto. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

A) 90º B) 105º C) 120º

D) 135º E)100º

24.- Si L L1 2

P y mRBCA = 60º, determinar «x».

A) 25º

B) 28º

C) 30º

D) 37º

E) 45º

25.- Si: L L1 2

P , calcular «x».

A) 30º

B) 45º

C) 50º

D) 60º

E) 65º

26.- Si: L L1 2

P , calcular «q».

A) 12º

B) 15º

C) 18º

D) 25º

E) 30º


27.- Si: L L1 2

P , además b – a = 30º. Deter-mine «x».

A) 40º

B) 60º

C) 50º

D) 30º

E) 20º

28.- Si: L L1 2

P y a + b = 280º, calcular «x».

A) 15º

B) 20º

C) 24º

D) 25º

E) 30º

29.- En la figura: a + b = 72º. Si BR

y CR

son bisectrices de ABP y ACQ, calcular «x», L L1 2

P .

A) 110º

B) 112º

C) 130º

D) 138º

E) 144º

30.- Si: L L1 2

P , calcular «x».

A) 50º

B) 55º

C) 60º

D) 65º

E) 70º

31.- Si: L L1 2

P y a + b = 220º, calcular «x».

A) 30º B) 35º C) 40º

D) 50º E) 55º

32.- Si: L L1 2

P y L L3 4

P , además a – b = 50º. Calcular «x».

A) 25º

B) 30º

C) 40º

D) 50º

E) 70º

33.- Se dan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tales que: mRAOD = a y mRBOC = b (a > b). Se traza OX

bisectriz del RAOB, OY

bisectriz del RCOD, OP

bi-sectriz del RAOY y finalmente ON

bisectriz del RXOD. Calcular la mRPON.

A) a b+2

B) a b+4

C) a b−2

D) a b−4

E) a b+3

34.- Alrededor de un punto «O» se trazan los rayos OA

, OB

, OC

, OD

y OE

de modo que las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son proporcionales a 1; 3; 4 y 5. Si OD

es la prolongación de la bisectriz del ángulo AOB, calcular la medida del ángulo que forman dicha bisectriz y el rayo OE

.

A) 12º B) 60º C) 48º

D) 72º E) 100º

35.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 35º para agregárselo al otro entonces resulta que el segundo es ocho veces lo que queda del primero, calcular la diferen-cia de las medidas de estos ángulos.

A) 70º B) 65º C) 60º

D) 55º E) 50º

36.- Calcular el valor de un ángulo si el su-plemento del complemento del suplemento de «k» veces el valor del ángulo es igual al suple-mento del complemento del complemento de dicho ángulo.

A) 60º B) 90ºk −1

C) 1802 1

ºk −

D) 45º E) 451º

k +

37.- Alrededor de un punto «O» se trazan los rayos OA

, OB

, OC

, OD

y OE

en senti-do horario de modo que la bisectriz OP

del RAOB, es perpendicular a la bisectriz OD

del RBOE y la bisectriz OQ

del RDOE es perpendicular a la bisectriz OB

del RAOD. Calcular mRPOQ.

A) 150º B) 110º C) 100º

D) 90º E) 120º

38.- Se tienen los ángulos consecutivos RAOB, RBOC y RCOD tal que mRAOD = a y mRBOC = b. Calcular la medida del ángu-lo que forman las bisectrices de los ángulos RAOB y RCOD.

A) a b+ 22

B) 22

a b+ C) a b−2

D) a b+3

E) a b+2

39.- Si L L1 2

P , calcular «x».

A) 80º B) 40º C) 50º

D) 25º E) 45º

40.- Si: L L1 2


A) 60º B) 70º C) 90º

D) 80º E) 100º

41.- En la figura mostrada m n

P . Calcular el valor de «x».

A) 30º

B) 45º

C) 50º

D) 60º

E) 55º

42.- Si: L L1 2

P , calcular el valor de «x».

A) 60º

B) 30º

C) 90º

D) 120º

E) 45º

62 Geometría

43.- En el gráfico indicado, L L1 2

P , encuen-tre el mínimo valor entero de «x», siendo «y» la medida de un ángulo agudo.

A) 38º B) 40º C) 32º

D) 46º E) 54º

44.- De la figura L L1 2

P , si mRPQS es agu-do, calcular el mínimo valor entero de «x».

A) 31º B) 39º C) 46º

D) 60º E) 61º

45.- En la figura se tiene «n» ángulos de me-dida «q». Si: L L1 2

P , calcular «q».

A) 60/n B) 270/n C) 90/n

D) 180/n E) 90(n + 1)/n

46.- Si: L L1 2


A) 38º B) 40º C) 50º

D) 54º E) 60º

47.- Si: L L1 2

P , calcular «q».

A) 18º B) 20º C) 24º

D) 25º E) 28º

01 02 03 04 05 06 07 08B D A A C D E C09 10 11 12 13 14 15 16B E C B B E E A17 18 19 20 21 22 23 24D B C B C B D B25 26 27 28 29 30 31 32D E B D E D C D33 34 35 36 37 38 39 40D B A B E E C C41 42 43 44 45 46 47B C D C D C C

CLAVES

1.2.2. postulados de separación cap. 1.2 el Ángulo geométrico

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