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12 Volumen de cuerpos geométricos

392Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Esta unidad se dedica al estudio del cálculo del volumen de diferentes cuerpos geométricos.

La unidad comienza trabajando las unidades de volumen, expresando volúmenes en diferentes unidades y transformándolas en otras. Se continúa relacionando las unidades de volumen, capacidad y masa. El primer epígrafe termina definiendo el concepto de densidad y

trabajando con él. La unidad continúa calculando el volumen de prismas tomando como unidad de medida cubos de 1 cm3, para continuar estudiando el principio de Cavalieri. Este concepto será retomado en varios epígrafes posteriores. La unidad termina con el desarrollo de las fórmula para el cálculo del volumen de pirámides y troncos de pirámides, cilindros, conos y troncos de conos, y esferas.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relaciona-dos con el volumen de cuerpos geométricos.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con el volumen de cuerpos geométricos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como son los envases, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del volumen de cuerpos geométricos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Manejar las unidades de medida de volúmenes. Expresar una medida de volumen en diferentes unidades.

❚❚ Establecer la relación entre unidades de volumen, capacidad y masa.

❚❚ Deducir la forma más adecuada para hallar el volumen de prismas, pirámides y troncos de pirámides, cilindros, conos y troncos de conos, esferas y secciones de esferas.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de volúmenes de cuerpos geométricos.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando volúmenes de cuerpos geométricos.

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS12

393

12Volumen de cuerpos geométricos

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de volúmenes de cuerpos geométricos.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre volúmenes de cuerpos geométricos y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con volúmenes de cuerpos geométricos pueden acceder a las lecciones 1136, 1137, 1138, 1139 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Unidades de medida de volumenRelación entre unidades de volumen, capacidad y masa

1. Conocer y manejar unidades de medida de volúmenes, y sus relaciones.

1.1. Expresa medidas de volúmenes en diferentes unidades.

1.2. Relaciona unidades de medida de volumen, capacidad y masa.

1.3. Resuelve problemas de medidas de volumen, capacidad y masa.

1-456

5-757-60

8-1052, 61-66

CMCTCLCSCCAACSIEE

Volumen de prismas 2. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de prismas.

2.1. Calcula volúmenes de prismas.

2.2. Relaciona elementos y volúmenes de prismas para resolver problemas.

11-1867, 68, 70, 711953, 84, 89, 94, 95, Matemáticas vivas 1, 3, 4, 5

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Volumen de pirámidesVolumen de troncos de pirámides

3. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de pirámides y troncos de pirámides.

3.1. Calcula volúmenes de pirámides y troncos de pirámides.

3.2. Relaciona elementos y volúmenes de pirámides y troncos de pirámides para resolver problemas.

20-2669, 72-74

2754, 86


Volumen de cilindros

4. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de cilindros.

4.1. Calcula volúmenes de cilindros.

4.2. Relaciona elementos y volúmenes de cilindros para resolver problemas.

28-3575-77, 793683, 85, 88, 93Matemáticas vivas 4

CMCTCLCSCCAA CSIEE

Volumen de conosVolumen de troncos de conos

5. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de conos y troncos de conos.

5.1. Calcula volúmenes de conos y troncos de conos.

5.2. Relaciona elementos y volúmenes de conos y troncos de conos para resolver problemas.

37-4175-79

4290-92Matemáticas vivas 2, 3


Volumen de esferas 6. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de esferas.

6.1. Calcula volúmenes de esferas y secciones de esferas.

6.2. Relaciona elementos y volúmenes de esferas para resolver problemas.

43-48, 50

49, 5187, 89, 93Matemáticas vivas 3G1, G2

CMCTCLCSCCAA CSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

1. Unidades de medida de volumen • Relación entre unidades de volumen,

capacidad y masa

4. Volumen de cilindros

6. Volumen de esferas

AvanzaVolúmenes de cuerpos compuestos

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Arquímedes

2. Volumen de prismasVídeo. Volumen del prisma

3. Volumen de pirámides • Volumen de troncos de pirámides Vídeo. Volumen de la pirámide

5. Volumen de conos • Volumen de troncos de conos Vídeo. Volumen del cono

MisMates.esLecciones 1136, 1137, 1138, 1139 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

394


¿Qué tienes que saber? • Volumen de prismas y cilindros • Volumen de pirámides y conos • Volumen de troncos de pirámides y

de troncos de conos • Volumen de esferas

Lee y comprende las matemáticasLa IATA propone reducir en un 40 % el tamaño del equipaje de mano para unificar la normativa • Relación entre el área de la superficie

de una maleta y su capacidad.

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasEnvases: Estudio de diferentes envases para albergar productos

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson

Geometría en el arteCúpulas geodésicas

395



Sugerencias didácticas

La unidad utiliza una disciplina olímpica para introducir el volumen de los cuerpos geométricos: los saltos de tram-polín. Para poder realizar adecuadamente estos saltos, el volumen de los fosos o piscinas debe ser muy grande, pero sobre todo una de las dimensiones que aparecen en su cál-culo: la profundidad o altura del prisma que forma el foso.

Se puede realizar un estudio sobre la forma que tienen las piscinas que suelen visitar los alumnos en verano y estimar cuál puede ser su volumen.

Contenido WEB. ARQUÍMEDES

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad.

En este caso se introduce la figura de Arquímedes explicando al-gunos datos biográficos y algunos de sus descubrimientos más importantes.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situando históricamente los personajes más importantes de esta ciencia, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Expresa en la unidad que se indica en cada caso.

a) 32 m en kilómetros. c) 4 dam2 en metros cuadrados.

b) 4 cl en litros. d) 325 cm2 en metros cuadrados.

2. ¿Qué área tienen estas figuras? Calcula.

a) Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 9 cm.

b) Un hexágono regular de 4 cm de lado y 3,5 cm de apotema.

c) Un círculo de 7 cm de radio.

3. Ayúdate de la calculadora para hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares.

a)

8 cm

6,8

cm

b)

5 cm

6,5

cm

249

12Los saltadores necesitan tener grandes habilidades acrobáticas y de coordinación para poder hacer sus piruetas hasta llegar al agua que contiene la piscina.

Estas piscinas, o fosos, son generalmente prismas rectos llenos de agua y tienen distintas dimensiones según los tipos de competiciones que se vayan a desarrollar en dichas instalaciones.

Para saber cuántos litros de agua contiene un foso de saltos olímpicos con unas dimensiones de 21 m de ancho, 25 m de largo y 5 m de profundidad, necesitamos calcular el volumen de un prisma recto rectangular de las citadas dimensiones.

VOLUMEN DE CUERPOS

GEOMÉTRICOS

Los saltadores necesitan tener grandes habilidades acrobáticas y de coordinación para poder hacer sus piruetas hasta llegar al agua que contiene la piscina.

Estas piscinas, o fosos, son generalmente prismas rectos llenos de agua y tienen distintas dimensiones según los tipos de competiciones que se vayan a desarrollar en dichas instalaciones.

Para saber cuántos litros de agua contiene un foso de saltos olímpicos con unas dimensiones de 21 m de ancho, 25 m de largo y 5 m de profundidad, necesitamos calcular el volumen de un prisma recto rectangular de las citadas dimensiones.

IDEAS PREVIAS

❚ Unidades de longitud,

capacidad y superficie.

❚ Teorema de Pitágoras.

❚ Apotema de un

polígono.

❚ Área de polígonos

y figuras circulares.

Los tratados del matemático y astrónomo griego Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a.C.), son el origen del estudio de la física apoyada en las matemáticas.

Matemáticas en el día a día ][ma2e47

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Expresa en la unidad que se indica en cada caso.

a) 32 m en kilómetros. c) 4 dam2 en metros cuadrados.

b) 4 cl en litros. d) 325 cm2 en metros cuadrados.

a) 0,032 km b) 0,04 L c) 400 m2 d) 0,0325 m2

2. ¿Qué área tienen estas figuras? Calcula.

a) Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 9 cm.

b) Un hexágono regular de 4 cm de lado y 3,5 cm de apotema.

c) Un círculo de 7 cm de radio.

a) A =4 ⋅9

2= 18 cm2 b) A =

(6 ⋅ 4) ⋅3,5

2= 42 cm2 c) A = 3,14 ⋅ 72 = 153,86 cm2

3. Ayúdate de la calculadora para hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares.

a)

8 cm

6,8

cm

b)

5 cm

6,5

cm

a) ap2 + 42 = 6,82 → ap

2 = 46,24 − 16 → ap2 = 30,24 → ap = 5,5 cm

b) ap2 + 2,52 = 6,52 → ap

2 = 42,25 − 6,25 → ap2 = 36 → ap = 6 cm



1. Unidades de medida de volumen

251

12Actividades12 Volumen de cuerpos geométricos

250

1. UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUMEN

Marina se pregunta cuántos cubitos de 1 dm de arista (dm3) caben en otro cubo de 1 m de arista (m3). Constata que caben: 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 = 1 000 cubitos

1 m

1 dm

1 m 1 m

El metro cúbico (m3) es la unidad principal de medida de volúmenes.

Para medir volúmenes mayores o menores, utilizamos múltiplos o submúltiplos del metro cúbico.

kilómetro

cúbicohectómetro

cúbicodecámetro

cúbicometro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Observa que en 1 m3 caben 103 dm3 o 106 cm3.

Para transformar unidades de medida de volumen:

❚ Se multiplica por 1 000 para pasar a unidades inferiores.

❚ Se divide por 1 000 para pasar a unidades superiores.

Relación entre unidades de volumen, capacidad y masa

Marina vierte líquido en un cubo de 1 dm de arista. Observa que el cubo, además de ocupar un espacio concreto, sirve para medir la cantidad de líquido que se ha echado en su interior. Marina ha vertido 1 L de líquido en el cubo con un volumen de 1 dm3.

La capacidad indica cuánto puede contener o guardar un recipiente, y su unidad principal de medida es el litro (L). EL volumen indica cuánto espacio ocupa un objeto, y su unidad principal de medida es el metro cúbico (m3).

Ahora, Marina comprueba que 1 L de diferentes líquidos tiene una masa distinta.

La densidad indica la relación entre la masa y el volumen de un objeto y se suele expresar en kilogramos por litro (kg/L):

densidad =masa

volumen

⋅ 1 000 ⋅ 1 000 ⋅ 1 000 ⋅ 1 000 ⋅ 1 000 ⋅ 1 000

: 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000

Aprenderás a… ● Manejar las unidades de medida de volúmenes.

● Expresar una medida de volumen en diferentes unidades.

● Establecer la relación entre unidades de volumen, capacidad y masa.

Medir una cierta cantidad de una magnitud es compararla con otra cantidad establecida llamada unidad de medida.

Recuerda

Expresa en kilómetros cúbicos los siguientes volúmenes.a) 23 907 dam3 c) 309 561 dm3

b) 4 593 m3 d) 32 hm3

Transforma las medidas propuestas a milímetros cúbicos.a) 0,006 m3 c) 4,65 dm3

b) 0,08945 dm3 d) 9,23 cm3

¿A cuántos metros cúbicos equivalen estas medidas?a) 3,25 dm3 c) 0,005 km3

b) 0,2 dam3 d) 43 000 cm3

Resuelve estas operaciones con medidas de volúmenes.a) 0,0123 dam3 + 1 256 dm3 − 8,01 m3

b) 4,2 m3 − 3 710 dm3 − 0,0012 dm3

Expresa los siguientes volúmenes en medidas de capacidad.a) 0,023 m3 b) 45 601 mm3 c) 234 cm3

Expresa en decímetros cúbicos las siguientes medidas de capacidad.a) 3,5 L b) 1 890 cl c) 0,04 dal

Calcula el peso de estas cantidades de agua destilada.a) 32 dal b) 0,934 L c) 2,3 cm3

1

2

3

4

5

6

7

La masa de un lingote de plata es de 100 g, y su volumen, de 23,8 cm3. ¿Cuál es su densidad?

La densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3.a) ¿Qué masa tienen 2,5 L de mercurio?b) ¿Qué capacidad ocupan 4 kg de mercurio?

8

9

} La densidad de un sólido es de 2,3 g/cm3. ¿Qué volumen ocupan 0,046 kg de ese sólido?

Solución

densidad =masa

volumen→ volumen =

masa

densidad

Primero, expresamos la masa en gramos y, después, aplicamos la relación entre las tres magnitudes.

0,046 kg = 46 g → volumen =46 g

2,3 g/cm3 = 20 cm3

Así pues, los 0,046 kg del sólido ocupan 20 cm3.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOUno de los aspectos que una familia mira a la hora de comprar un coche es el tamaño de su maletero. La madre de Juan visita una página web donde aparece esta información, pero el tamaño está expresado en diferentes unidades. Ordena los vehículos de mayor a menor según la capacidad del maletero.COCHE 1: 574 dm3 COCHE 2: 0,52 m3 COCHE 3: 0,547 kl COCHE 4: 543 000 cm3

10

Presta atención

La densidad se define para líquidos y sólidos.

En el caso de los sólidos, se relaciona la masa y el volumen que ocupa el objeto en gramos por centímetros cúbicos (g/cm3).

Presta atención

La densidad del agua destilada es 1 kg/L. Es decir, 1 L de agua destilada tiene una masa de 1 kg.

Presta atención

1 dm

1 dm1 dm

1 cm

Soluciones de las actividades1 Expresa en kilómetros cúbicos los siguientes volúmenes.

a) 23 907 dam3 b) 4 593 m3 c) 309 561 dm3 d) 32 hm3

a) 0,023907 km3 b) 0,000004593 km3 c) 0,000000309561 km3 d) 0,032 km3

2 Transforma las medidas propuestas a milímetros cúbicos.

a) 0,006 m3 b) 0,08945 dm3 c) 4,65 dm3 d) 9,23 cm3

a) 6 000 000 mm3 b) 89 450 mm3 c) 4 650 000 mm3 d) 9 230 mm3

3 ¿A cuántos metros cúbicos equivalen estas medidas?

a) 3,25 dm3 b) 0,2 dam3 c) 0,005 km3 d) 43 000 cm3

a) 0,00325 m3 b) 200 m3 c) 5 000 000 m3 d) 0,043 m3

4 Resuelve estas operaciones con medidas de volúmenes.

a) 0,0123 dam3 + 1 256 dm3 − 8,01 m3

b) 4,2 m3 − 3 710 dm3 − 0,0012 dm3

a) 0,0123 dam3 + 1 256 dm3 − 8,01 m3 = 12,3 m3 + 1,256 m3 − 8,01 m3 = 5,546 m3

b) 4,2 m3 − 3 710 dm3 − 0,0012 dm3 = 4 200 dm3 − 3 710 dm3 − 0,0012 dm3 = 489,9988 dm3


Conviene comenzar el epígrafe recordando las unidades de longitud y de superficie, realizando algunos ejercicios de transformación de unidades para, posteriormente, pasar a explicar las unidades de volumen.

En cuanto al concepto de densidad, es probable que los alumnos lo hayan utilizado en otra áreas. Este es el mo-mento de trabajarlo desde el punto de vista matemático. Se puede realizar algún experimento con diferentes líqui-dos para que comprueben cómo varía el volumen para una misma masa.

397



5 Expresa los siguientes volúmenes en medidas de capacidad.

a) 0,023 m3

b) 45 601 mm3

c) 234 cm3

a) 0,023 m3 = 23 dm3 = 23 L

b) 45 601 mm3 = 0,045601 dm3 = 0,045601 L

c) 234 cm3 = 0,234 dm3 = 0,234 L6 Expresa en decímetros cúbicos las siguientes medidas de capacidad.

a) 3,5 L

b) 1 890 cl

c) 0,04 dal

a) 3,5 L = 3,5 dm3

b) 1 890 cl = 18,9 L = 18,9 dm3

c) 0,04 dal = 0,4 L = 0,4 dm3

7 Calcula el peso de estas cantidades de agua destilada.

a) 32 dal

b) 0,934 L

c) 2,3 cm3

a) 32 dal = 320 L = 320 kg

b) 0,934 L = 0,934 kg

c) 2,3 cm3 = 0,0023 dm3 = 0,0023 L = 0,0023 kg8 La masa de un lingote de plata es de 100 g, y su volumen, de 23,8 cm3. ¿Cuál es su densidad?

d =100

23,8= 4,2 g/cm3

9 La densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3.

a) ¿Qué masa tienen 2,5 L de mercurio?

b) ¿Qué capacidad ocupan 4 kg de mercurio?

a) 2,5 L = 2,5 dm3 = 2 500 cm3

Por tanto, se tiene que: m = 2 500 ⋅ 13,6 = 34 000 g = 34 kg

b) Tenemos que: 4 kg = 4 000 g

Por tanto, se tiene que: V =4 000

13,6= 294,12 cm3

Desafío10 Uno de los aspectos que una familia mira a la hora de comprar un coche es el tamaño de su maletero. La madre de Juan

visita una página web donde aparece esta información, pero el tamaño está expresado en diferentes unidades. Ordena los vehículos de mayor a menor según la capacidad del maletero.

COCHE 1: 574 dm3 COCHE 2: 0,52 m3 COCHE 3: 0,547 kl COCHE 4: 543 000 cm3

Escribimos los volúmenes expresados en la misma unidad, por ejemplo, en dm3.

COCHE 1: 574 dm3

COCHE 2: 0,52 m3 = 520 dm3

COCHE 3: 0,547 kl = 547 L = 547 dm3

COCHE 4: 543 000 cm3 = 543 dm3

Luego el orden es: COCHE 1 > COCHE 3 > COCHE 4 > COCHE 2



2. Volumen de prismas

253


252

2. VOLUMEN DE PRISMAS

Carlos construye diferentes prismas de base rectangular con cubos de 1 cm de arista. Para calcular el número de cubos que hay en cada figura, multiplica el número de cubos que hay de largo, de ancho y de alto. Como cada cubo tiene un volumen de 1 cm3, obtiene así el volumen de cada prisma.

4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 cubos 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 cubos 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 cubos

↓ ↓ ↓64 cm3 24 cm3 60 cm3

El volumen de un ortoedro es igual al producto del largo por el ancho por el alto.

Carlos ha sacado de un paquete algunas galletas y organiza con ellas montones de diferente forma como los de la fotografía.

Los dos montones tienen igual número de galletas, luego tienen la misma altura. Además, si seccionamos estos montones con un plano paralelo a la base, todas las secciones tendrían la misma superficie, que coincidiría con la superficie de una galleta.

Todos los montones de galletas tienen el mismo volumen porque tienen el mismo número de galletas.

Principio de Cavalieri. Si varios cuerpos geométricos con la misma altura son cortados por planos paralelos a la base, y las secciones producidas en los cuerpos tienen la misma área, entonces todos los cuerpos tienen el mismo volumen.

Si queremos calcular el volumen de un prisma cualquiera, solo tenemos que aplicar el principio de Cavalieri.

Para cada prisma, construimos un ortoedro con la misma altura, de forma que al cortarlo por planos paralelos estos tengan secciones con la misma área. De esta forma, el volumen del prisma es igual al volumen del ortoedro.

VPRISMA = VORTOEDRO = AB ⋅ h

El volumen de un prisma es el área de la base por la altura.

V = AB ⋅ h

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada para hallar el volumen de un prisma.

Presta atención

Un prisma formado por seis rectángulos iguales y paralelos dos a dos se denomina ortoedro.

Determina el volumen de estas figuras.a) Prisma de 15 cm de altura cuyas bases

son hexágonos regulares de 3 cm de lado.b) Prisma de 8 cm de altura cuyas bases

son triángulos equiláteros de 6 cm de lado.

Halla el volumen de estos prismas regulares.a) b)

Halla el volumen de los prismas propuestos.

a) b)

16

17

18 c

m

9 cm

19 c

m

7 cm

18

•

•

4 cm

2,75 cm

10 cm 12 c

m

9 cm7 cm

Halla el volumen de los siguientes cubos.a) Cubo de 9 m de arista.b) Cubo de 6,5 dm de arista.

Calcula el volumen de estos estos ortoedros.a)

6 cm 2 cm

1 cm

b)

3 cm

3 cm

1 cm

Halla el volumen de los siguientes prismas.a) Base pentagonal regular de 12 cm de lado,

8,3 cm de apotema y 20 cm de altura.b) Base octogonal regular de 8 cm de lado,

9,7 cm de apotema y 15 cm de altura. c) Base pentagonal regular de 10 cm de lado,

6,9 cm de apotema y 7 cm de altura.d) Base heptagonal regular de 6 cm de lado,

6,2 cm de apotema y 12 cm de altura.

Determina el volumen de esta figura.

5 cm

19 cm12 cm

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.a)

8 cm6 cm

15 cm4 cm

3 cm

b)

4 cm

3 cm

3 cm5 cm

12 cm

11

12

13

14

15

} Calcula el volumen de un prisma regular de 13 cm de altura y base hexagonal de 8 cm de lado.

Solución

Antes de calcular el volumen del prisma es necesario hallar el área de la base.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e48

DESAFÍOExiste un cubo que tiene el mismo número de centímetros cuadrados de superficie que centímetros cúbicos de volumen. ¿Cuánto mide la arista de este cubo?

19

En tu vida diaria

Las cajas de almacenaje suelen tener forma de prisma porque se aprovecha bien el espacio.

Soluciones de las actividades11 Halla el volumen de los siguientes cubos.

a) Cubo de 9 m de arista. b) Cubo de 6,5 dm de arista.

a) V = 93 = 729 m3 b) V = 6,53 = 274,625 dm3

12 Calcula el volumen de estos ortoedros.

a)

6 cm 2 cm1 cm

b)

3 cm

3 cm

1 cm

a) V = 6 ⋅ 1 ⋅ 2 = 12 cm3

b) V = 3 ⋅ 1 ⋅ 3 = 9 cm3


Se puede llevar al aula cubitos como los que aparecen en el contexto del epígrafe, y empezar a calcular volúmenes de prismas contando los cubitos que tomamos como unidad de medida.

Comprender el principio de Cavalieri es muy importante para continuar la unidad. Se puede pedir a los alumnos que realicen el experimento de las galletas pero con distintos materiales. Posteriormente, pueden fotografiar sus resulta-dos y realizar un mural para el aula.

Vídeo. VOLUMEN DEL PRISMA

En el vídeo se muestra cómo hallar el volumen de un prisma rec-to hexagonal regular conocidos el lado de la base y la altura del prisma, aplicando en primer lugar el teorema de Pitágoras para determinar la apotema del hexágono.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de la página anterior o como recurso para que los alumnos repasen el procedimiento para calcular el volumen de un prisma más tarde.

399



13 Halla el volumen de los siguientes prismas.

a) Base pentagonal regular de 12 cm de lado, 8,3 cm de apotema y 20 cm de altura. a) V = 4 980 cm3

b) Base octogonal regular de 8 cm de lado, 9,7 cm de apotema y 15 cm de altura. b) V = 4 656 cm3

c) Base pentagonal regular de 10 cm de lado, 6,9 cm de apotema y 7 cm de altura. c) V = 1 207,5 cm3

d) Base heptagonal regular de 6 cm de lado, 6,2 cm de apotema y 12 cm de altura. d) V = 1 562,4 cm3

14 Determina el volumen de esta figura.

5 cm

19 cm12 cm

V = (5 ⋅12)

2 ⋅ 19 = 570 cm3

15 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

8 cm6 cm

15 cm4 cm

3 cm

b)

4 cm3 cm

3 cm5 cm

12 cma) AB = 55,5 cm2 b) AB = 56 cm2

V = 222 cm3 V = 168 cm3

16 Determina el volumen de estas figuras.

a) Prisma de 15 cm de altura cuyas bases son hexágonos regulares de 3 cm de lado.

b) Prisma de 8 cm de altura cuyas bases son triángulos equiláteros de 6 cm de lado.

a) ap2 + 1,52 = 32 → ap = 2,6 cm AB =

(6 ⋅3) ⋅2,6

2 = 23,4 cm2 V = 23,4 ⋅ 15 = 351 cm3

b) h2 + 32 = 62 → h = 5,2 cm AB = 6 ⋅5,2

2 = 15,6 cm2 V = 15,6 ⋅ 8 = 124,80 cm3

17 Halla el volumen de estos prismas regulares.

a)

19 c

m

7 cm

b)

18 c

m

9 cm

a) ap = 6,1 cm b) ap = 7,8 cm

AB = 128,1 cm2 AB = 210,6 cm2

V = 2 433,9 cm3 V = 3 790,8 cm3

18 Halla el volumen de los prismas propuestos.

a)

•

•

4 cm

2,75 cm

10 cm

b)

12 c

m

9 cm7 cm

a) AB = (5 ⋅ 4) ⋅2,75

2 = 27,5 cm2 b) AB =

7 ⋅9

2 = 31,5 cm2

V = 27,5 ⋅ 10 = 275 cm3 V = 31,5 ⋅ 12 = 378 cm3

Desafío19 Existe un cubo que tiene el mismo número de centímetros cuadrados de superficie que centímetros cúbicos de volumen.

¿Cuánto mide la arista de este cubo?

V = AT → l3 = 6l2 → l3 − 6l2 = 0 → l = 0

l = 6

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Como una arista no puede tener longitud nula, la arista mide 6 cm.



3. Volumen de pirámides

255


254

3. VOLUMEN DE PIRÁMIDES

Como puedes observar, este cubo está formado por tres pirámides con la misma altura e igual base que el cubo.

Dado que del cubo hemos obtenido tres pirámides iguales, tenemos que:

VCUBO = 3 ⋅VPIRÁMIDE → VPIRÁMIDE =VCUBO

3

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura.

VPIRÁMIDE =AB h

3

En este vídeo se presenta otra forma de comprobar la relación entre el volumen de un prisma y el de una pirámide.

ma2e49

Volumen de troncos de pirámides

Un tronco de pirámide se forma al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base; en consecuencia, para calcular su volumen, hay que hallar la diferencia entre el volumen de la pirámide grande y el volumen de la pirámide pequeña.

4 cm

4 cm

3 cm

4 cm

4 cm

6 cm

2 cm2 cm

3 cm

2 cm2 cm

VTRONCO PIRÁMIDE = VPIRÁMIDE GRANDE − VPIRÁMIDE PEQUEÑA = 42 ⋅6

3−

22 ⋅3

3= 28 cm3

El volumen de un tronco de pirámide se puede calcular hallando la diferencia entre los volúmenes de las pirámides cuyas bases corresponden a las bases del tronco.

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada de hallar el volumen de una pirámide y de un tronco de pirámide.

Halla el volumen de las siguientes pirámides.a) b)

10 cm

12 cm

5,2 cm

17,3 cm

6 cm

Calcula el volumen del tronco de pirámide propuesto.

4 cm

3 cm

6 cm

2 cm

25

26

Calcula el volumen de esta pirámide.

5 cm 3 cm

7 cm

Halla el volumen de las pirámides cuyos datos son los siguientes.a) Base pentagonal regular de 7 cm de lado,

4,8 cm de apotema; altura, 10 cm.b) Base octogonal regular de 3 cm de lado, 3,6 cm

de apotema; altura, 12 cm.c) Base heptagonal regular de 5 cm de lado,

5,2 cm de apotema; altura, 15 cm.

En un prisma de base rectangular hemos introducido una pirámide con la misma base e igual altura.

Si el volumen del prisma mide 32 dm3, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

Si las dos pirámides del dibujo tienen la misma altura e igual volumen, ¿cómo son las medidas de las superficies de las bases? Explica por qué.

Determina el volumen de las siguientes pirámides oblicuas.a) b)

12 cm

7 cm

4 cm2,75 cm

7,5

cm

20

21

22

23

24

DESAFÍOEl lado de la base cuadrada de una pirámide mide 6 cm, y la altura de dicha pirámide, 12 cm. Se ha cortado por un plano paralelo a la base a una altura de 7 cm y se ha formado un tronco de pirámide. Utiliza el teorema de Tales para calcular el volumen del tronco de pirámide resultante.

27

} Halla el volumen de la pirámide siguiente.

Solución

Aplicamos el teorema de Pitágoras para averiguar la altura de la pirámide y la apotema de la base.

ap2 + 2,52 = 52

→ ap = 4,3 cm

h2 + 52 = 132 → h = 12 cm

Por tanto, el área de la base de la pirámide es:

AB = 6 ⋅5 ⋅ 4,3

2= 64,5 cm2

Y el volumen resulta:

V = 1

3(AB ⋅ h) =

64,5 ⋅12

3= 258 cm3

EJERCICIO RESUELTO

5 cm

13 cmh

5

2,5

ap

13

5

h

Soluciones de las actividades20 Calcula el volumen de esta pirámide.

5 cm 3 cm

7 cm

AB = 5 ⋅ 3 = 15 cm2 V = 15 ⋅7

3 = 35 cm3

21 Halla el volumen de las pirámides cuyos datos son los siguientes.

a) Base pentagonal regular de 7 cm de lado, 4,8 cm de apotema; altura, 10 cm.

b) Base octogonal regular de 3 cm de lado, 3,6 cm de apotema; altura, 12 cm.

c) Base heptagonal regular de 5 cm de lado, 5,2 cm de apotema; altura, 15 cm.

a) AB = 84 cm2 V = 280 cm3 b) AB = 43,2 cm2 V = 172,8 cm3 c) AB = 91 cm2 V = 455 cm3


En el epígrafe aparecen tres pirámides que, uniéndolas, forman un prisma. En este caso, un cubo. Se puede fa-cilitar a los alumnos el desarrollo de otras tres pirámides iguales que, al unirlas, forman otro prisma. De esta forma, manipulando las figuras, pueden llegar a comprender que cualquier prisma se puede dividir en tres pirámides iguales, motivo por el que existe una relación entre sus volúmenes.

Vídeo. VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Con este vídeo se puede comprobar que el volumen de un prisma con la misma base y altura que una pirámide coincide con el de tres de ellas.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos investiguen o re-flexionen sobre esta relación entre los volúmenes.

401



22 En un prisma de base rectangular hemos introducido una pirámide con la misma base e igual altura. Si el volumen del prisma mide 32 dm3, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

Vprisma = AB ⋅ h = 32 dm3 Vpirámide = AB ⋅h

3=

32

3 = 10,7 dm3

23 Si las dos pirámides del dibujo tienen la misma altura e igual volumen, ¿cómo son las medidas de las superficies de las bases? Explica por qué.

Como el volumen de una pirámide es AB ⋅h

3 y las alturas son iguales, las áreas

de las bases también tienen que ser iguales.

24 Determina el volumen de las siguientes pirámides oblicuas.

a)

12 cm

7 cm

b)

4 cm2,75 cm

7,5

cm

a) AB = 122 = 144 cm2 b) AB = (5 ⋅ 4) ⋅2,75

2 = 27,5 cm2

V = 144 ⋅7

3 = 336 cm3 V =

27,5 ⋅7,5

3 = 68,75 cm3

25 Halla el volumen de las siguientes pirámides.

a)

10 cm

12 cm

b)

5,2 cm

17,3 cm

6 cm

a) h = 8 cm b) h = 16,5 cm

AB = 144 cm2 AB = 93,6 cm2

V = 384 cm3 V = 514,8 cm3

26 Calcula el volumen del tronco de pirámide propuesto.

4 cm

3 cm

6 cm

2 cm

Vpirámide grande = 42 ⋅8

3 = 42,7 cm3

Vpirámide pequeña = 32 ⋅6

3 = 18 cm3

Vtronco de pirámide = 42,7 − 18 = 24,7 cm3

Desafío27 El lado de la base cuadrada de una pirámide mide 6 cm, y la altura de dicha pirámide, 12 cm. Se ha cortado por un plano

paralelo a la base a una altura de 7 cm y se ha formado un tronco de pirámide. Utiliza el teorema de Tales para calcular el volumen del tronco de pirámide resultante.

Longitud de la mitad de lado de la base superior del tronco de pirámide: x

5=

3

12→ x =

3 ⋅5

12 = 1,25 cm

Por tanto, el lado de la base superior mide 2,5 cm.

Vpirámide grande = 144 cm3 Vpirámide pequeña = 10,43 cm3 Vtronco de pirámide = 133,57 cm3



4. Volumen de cilindros


Se puede realizar el experimento que se propone en el epí-grafe con folios. Podemos cortar círculos y cuadrados que, aparentemente, tengan la misma área. Si formamos un montón con ellos, los alumnos pueden comprender que la fórmula para el cálculo del volumen de un prisma y la del volumen de un cilindro están relacionadas.

Una vez realizado este montón de círculos, si movemos estos círculos se obtienen diferentes cilindros oblicuos.

Los alumnos intuirán que el volumen es el mismo, ya que se utiliza el mismo número de círculos para su construcción.

Soluciones de las actividades28 Calcula el volumen de los siguientes cilindros.

a) Radio de las bases de 5,4 cm y altura de 13 cm.

b) Radio de las bases de 8 cm y altura de 2,5 cm.

c) Radio de las bases de 6,4 cm y altura de 3,5 cm.

d) Radio de las bases de 5 cm y altura de 7 cm.

a) V = 3,14 ⋅5,42( ) ⋅13 = 1 190,31 cm3

b) V = 3,14 ⋅82( ) ⋅2,5 = 502,4 cm3

c) V = 3,14 ⋅6,42( ) ⋅3,5 = 450,15 cm3

d) V = 3,14 ⋅52( ) ⋅7 = 549,5 cm3

257


256

4. VOLUMEN DE CILINDROS

Para calcular el volumen de un cilindro, construimos ese cilindro y un prisma con la misma altura y cuyas bases tengan la misma área. Al cortar los dos cuerpos geométricos por planos paralelos a las bases, las secciones que se forman tienen también la misma área.

Si aplicamos el principio de Cavalieri, comprobamos que las dos figuras tienen el mismo volumen. Por tanto:

VCILINDRO = AB ⋅ h = ⋅ r2 ⋅ h

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura.

VCILINDRO = ⋅ r2 ⋅ h

Para calcular el volumen de un cilindro oblicuo, construimos otro cilindro recto con las mismas bases e igual altura que el cilindro oblicuo.

Al cortar las dos figuras por secciones paralelas a las bases, obtenemos la misma sección: círculos con el mismo radio que las bases.

hr

r r

r

Aplicando el principio de Cavalieri, constatamos que los dos cilindros tienen el mismo volumen y podemos aplicar la formula: VCILINDRO = ⋅ r2 ⋅ h

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada para hallar el volumen de un cilindro.

Calcula el volumen de los siguientes cilindros.a) Radio de las bases de 5,4 cm y altura de 13 cm.b) Radio de las bases de 8 cm y altura de 2,5 cm.c) Radio de las bases de 6,4 cm y altura de 3,5 cm.d) Radio de las bases de 5 cm y altura de 7 cm.

Halla el volumen de estos cilindros. Ten cuidado con las unidades de medida que se indican.a) Radio de las bases de 0,45 m y altura de 83 cm.b) Radio de las bases de 5,6 dam y altura de 45 dm.c) Radio de las bases de 450 m y altura de 0,3 km.d) Radio de las bases de 63 dm y altura de 0,8 dam.

Lee los datos con atención y a partir de ellos, determina el volumen de los siguientes cilindros.a) Diámetro de las bases de 10 dm y altura de 1 m.b) Diámetro de las bases de 5 m y altura de 650 cm.c) Diámetro de las bases de 32 cm y altura de 4,8 dm.d) Diámetro de las bases de 100 cm y altura de 2 m.

Calcula el volumen de los cilindros oblicuos siguientes.a) b) c)

7 cm

7 cm

5 cm

6 cm

5 cm

9 cm

¿Cuál es la altura de un cilindro si el radio de las bases mide 5 cm y su volumen es de 549,5 cm3?

Determina el volumen del cilindro que está inscrito en un cubo de 10 cm de arista. Explica cómo lo has hecho.

Halla las dimensiones de un cilindro con una altura que es el doble que el radio de la base y cuyo volumen es 50,24 cm3.

Calcula el volumen de las siguientes piezas.a) b)

1,25 m

1 m

2 m

20 cm

12 cm

60º

28

29

30

31

32

33

34

35

DESAFÍOSobre una circunferencia de 3 cm de radio, hemos construido polígonos regulares de 3 lados, 4 lados, 5 lados, y así sucesivamente, y sobre cada uno de ellos hemos construido prismas rectos con esas bases y 10 cm de altura.

Si elegimos un polígono con muchos lados, ¿cuál será aproximadamente el volumen del prisma?

36

Presta atención

Un cilindro está inscrito en un cubo si el cilindro está en el interior del cubo y, además, su diámetro y su altura miden lo mismo que una de las aristas del cubo.

} El área lateral de un cilindro es la de un rectángulo cuyas dimensiones son 31,4 cm y 15,7 cm. Calcula el volumen del cilindro que se puede construir con esta área lateral.

SoluciónCalculamos el volumen de los dos posibles cilindros. Uno de los cilindros tiene como bases dos círculos cuya circunferencia tiene una longitud de 31,4 cm.El otro cilindro tiene como bases dos círculos con una circunferencia de 15,7 cm de longitud.I 31,4 = 2 ⋅ ⋅ r

→ r = 31,4

2 ⋅3,14 → r = 5 cm

Luego, tenemos un cilindro de 5 cm de radio y 15,7 cm de altura.

V = 3,14 ⋅52 ⋅15,7

3 = 1 232,45 cm3

II 15,7 = 2 ⋅ ⋅ r

→ r = 15,7

2 ⋅3,14 → r = 2,5 cm

En consecuencia, tenemos un cilindro de 2,5 cm de radio y 31,4 cm de altura.

V = 3,14 ⋅ 2,52 ⋅ 31,4 = 616,23 cm3

31,4 cm

31,4

cm

15,7

cm

15,7 cm

31,4 cm

31,4

cm

15,7

cm

15,7 cm

EJERCICIO RESUELTO

403



29 Halla el volumen de estos cilindros. Ten cuidado con las unidades de medida que se indican.

a) Radio de las bases de 0,45 m y altura de 83 cm. c) Radio de las bases de 450 m y altura de 0,3 km.

b) Radio de las bases de 5,6 dam y altura de 45 dm. d) Radio de las bases de 63 dm y altura de 0,8 dam.

a) V = 3,14 ⋅ 452( ) ⋅83 = 527 755,5 cm3 c) V = 3,14 ⋅ 4502( ) ⋅300 = 190 755 000 m3

b) V = 3,14 ⋅562( ) ⋅ 4,5 = 44 311,68 m3 d) V = 3,14 ⋅6,32( ) ⋅8 = 997,01 m3

30 Lee los datos con atención y a partir de ellos, determina el volumen de los siguientes cilindros.

a) Diámetro de las bases de 10 dm y altura de 1 m. c) Diámetro de las bases de 32 cm y altura de 4,8 dm.

b) Diámetro de las bases de 5 m y altura de 650 cm. d) Diámetro de las bases de 100 cm y altura de 2 m.

a) V = 3,14 ⋅52( ) ⋅10 = 785 dm3 c) V = 3,14 ⋅162( ) ⋅ 48 = 38 584,32 cm3

b) V = 3,14 ⋅2,52( ) ⋅6,5 = 127,56 m3 d) V = 3,14 ⋅0,52( ) ⋅2 = 1,57 m3

31 Calcula el volumen de los cilindros oblicuos siguientes.

a)

7 cm

7 cm

b)

5 cm

6 cm

c)

5 cm

9 cm

a) V = 3,14 ⋅3,52( ) ⋅7 = 269,26 cm3

b) V = 3,14 ⋅2,52( ) ⋅6 = 117,75 cm3

c) V = 3,14 ⋅52( ) ⋅9 = 706,5 cm3

32 ¿Cuál es la altura de un cilindro si el radio de las bases mide 5 cm y su volumen es de 549,5 cm3?

549,5 = AB ⋅ h → 549,5 = 3,14 ⋅ 52 ⋅ h → h = 549,5

3,14 ⋅52 = 7 cm

33 Determina el volumen del cilindro que está inscrito en un cubo de 10 cm de arista. Explica cómo lo has hecho.

Como la arista del cubo es 10 cm, el radio del cilindro es 5 cm y la altura 10 cm.

V = 3,14 ⋅ 52 ⋅ 10 = 785 cm3

34 Halla las dimensiones de un cilindro con una altura que es el doble que el radio de la base y cuyo volumen es 50,24 cm3.

50,24 = AB ⋅ h → 50,24 = 3,14 ⋅ r2 ⋅ 2r → 50,24 = 6,28r3 → r = 83 = 2 cm

Altura del cilindro = 2r = 4 cm35 Calcula el volumen de las siguientes piezas.

a) 1,25 m

1 m

2 m

b)

20 cm

12 cm

60ºa) V = Vcilindro exterior − Vcilindro interior =

= 3,14 ⋅ 1,252 ⋅ 2 − 3,14 ⋅ 12 ⋅ 2 = 3,52 cm3

b) Como el ángulo es de 60°, la pieza es la sexta parte del cilindro.

Vcilindro = 3,14 ⋅ 122 ⋅ 20 = 9 043,2 cm3

Vpieza = 9 043,2 : 6 = 1 507,2 cm3

Desafío36 Sobre una circunferencia de 3 cm de radio, hemos construido polígonos regulares de 3 lados, 4 lados, 5 lados, y así suce-

sivamente, y sobre cada uno de ellos hemos construido prismas rectos con esas bases y 10 cm de altura. Si elegimos un polígono con muchos lados, ¿cuál será aproximadamente el volumen del prisma?

Según vamos aumentando el número de lados, el volumen del prisma se acerca al de un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm, es decir se aproxima a: V = 3,14 ⋅ 32 ⋅ 10 = 282,6 cm3



5. Volumen de conos

Soluciones de las actividades37 Determina el volumen de los siguientes conos.

a) Cono de 3,5 cm de radio y 7 cm de altura. b) Cono de 12 cm de diámetro y 15,7 cm de altura.

a) V =3,14 ⋅3,52 ⋅7

3 = 89,75 cm3 b) V =

3,14 ⋅62 ⋅15,7

3 = 591,58 cm3

38 Calcula el volumen de estos conos.

a)

18 c

m

7,5 cm

b)

12 cm20 cm

c)

16 cm

17 cm

a) Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 7,52 = 176,625 cm2 Volumen del cono: V = 176,625 ⋅18

3 = 1 059,75 cm3


Para comprender la estructura y volumen de los troncos de conos, puede resultar útil la realización de conos de plas-tilina. Estos se pueden seccionar fácilmente y los alumnos pueden observar cómo aparece un nuevo cono más peque-ño y un nuevo cuerpo geométrico: el tronco de cono. Para calcular el volumen solo tienen que reproducir el anterior experimento, y quitarle al volumen del cono grande el volu-men del cono pequeño que aparece nuevo.

Vídeo. VOLUMEN DEL CONO

Con este vídeo se puede comprobar que el volumen de un cilin-dro con el mismo radio y la misma altura que un cono coincide con el de tres de ellos.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos investiguen o re-flexionen sobre esta relación entre los volúmenes.

259


258

5. VOLUMEN DE CONOS

Zoe quiere saber si existe una relación entre los volúmenes de los conos y de los cilindros. Para comprobarlo, construye un recipiente con forma de cono y otro con forma de cilindro, ambos con la misma altura y con las bases iguales.

Zoe observa que, si llena el cono con líquido y vierte luego este en el cilindro, necesita el contenido de tres conos para llenar el cilindro.

ma2e50

Por tanto: VCILINDRO = 3 ⋅VCONO → VCONO =VCILINDRO

3=π ⋅ r2 ⋅h

3

El volumen de un cono es un tercio del producto del área de la base por la altura.

VCONO =VCILINDRO

3=π ⋅ r2 ⋅h

3

Volumen de troncos de conos

Un tronco de cono se forma al cortar un cono por un plano paralelo a la base. Por consiguiente, para calcular su volumen, hallamos la diferencia entre el volumen del cono grande y el volumen del cono pequeño.

7 cm5 cm

2 cm

1 cm

1 cm3,5 cm3,5 cm

VTRONCO CONO = VCONO GRANDE − VCONO PEQUEÑO =3,14 ⋅3,52 ⋅7

3−

3,14 ⋅12 ⋅2

3= 87,6 cm3

El volumen de un tronco de cono se puede calcular hallando la diferencia entre los volúmenes de los conos cuyas bases corresponden a las bases del tronco.

h

r

h

r

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada de hallar el volumen de un cono y de un tronco de cono.

Determina el volumen de los siguientes conos.a) Cono de 3,5 cm de radio y 7 cm de altura.b) Cono de 12 cm de diámetro y 15,7 cm de altura.

37

Calcula el volumen de estos conos.a) b) c)

18 c

m

7,5 cm

12 cm

20 cm

16 cm

17 cm

Halla el volumen del cono generado al hacer girar los siguientes triángulos rectángulos en torno al eje indicado.a) b)

26 cm

24 cm

20 cm16 cm

Un cono de 14 cm de diámetro tiene un área lateral de 549,5 cm2. Calcula el volumen del cono.

Determina el volumen de los siguientes troncos de cono.a) b)

15 cm

3 cm

10 cm

2 cm

12 cm

4 cm

9 cm

3 cm

38

39

40

41

} Halla el volumen de un cono de 5 cm de radio y 13 cm de generatriz.

SoluciónPara calcular el volumen del cono, necesitamos averiguar cuánto mide su altura. Con este fin, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la generatriz, la altura y el radio de la base.

h2 + 52 = 132 → h2 = 169 − 25 → h = 144 = 12 cm

Por tanto, el volumen del cono es: VCONO = 3,14 ⋅52 ⋅12

3 = 314 cm3

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOUn tronco de cono tiene una altura de 24 cm, y los radios de sus bases miden 5 cm y 12 cm, respectivamente.

Utiliza el teorema de Tales para hallar las medidas necesarias para determinar su volumen. Después, calcúlalo.

42

5 cm

13 cmh

405



b) Altura del cono: h2 + 122 = 202 → h = 16 cm Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 122 = 452,16 cm2

Volumen del cono: V = 452,16 ⋅16

3 = 2 411,52 cm3

c) Altura del cono: h2 + 82 = 172 → h = 15 cm Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 82 = 200,96 cm2

Volumen del cono: V = 200,96 ⋅15

3 = 1 004,8 cm3

39 Halla el volumen del cono generado al hacer girar los siguientes triángulos rectángulos en torno al eje indicado.

a)

26 cm

24 cm b)

20 cm16 cm

a) Radio de la base del cono: r2 + 242 = 262 → r = 10 cm b) Altura del cono: h2 + 162 = 202 → h = 12 cm

Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 102 = 314 cm2 Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 162 = 803,84 cm2

Volumen del cono: V = 314 ⋅24

3 = 2 512 cm3 Volumen del cono: V =

803,84 ⋅12

3 = 3 215,36 cm3

40 Un cono de 14 cm de diámetro tiene un área lateral de 549,5 cm2. Calcula el volumen del cono.

Generatriz: 3,14 ⋅ 7 ⋅ g = 549,5 → g = 25 cm Área de la base: AB = 3,14 ⋅ 72 = 153,86 cm2

Altura del cono: h2 + 72 = 252 → h = 24 cm Volumen del cono: V = 153,86 ⋅24

3 = 1 230,88 cm3

41 Determina el volumen de los siguientes troncos de cono.

a)

15 cm

3 cm

10 cm

2 cm

b)

12 cm

4 cm

9 cm

3 cm

a) Vcono grande = 3,14 ⋅102( ) ⋅15

3 = 1 570 cm3 Vcono pequeño =

3,14 ⋅22( ) ⋅33

= 12,56 cm3

Vtronco de cono = 1 570 − 12,56 = 1 557,44 cm3

b) Vcono grande = 3,14 ⋅ 4,52( ) ⋅12

3 = 254,34 cm3 Vcono pequeño =

3,14 ⋅1,52( ) ⋅ 43

= 9,42 cm3

Vtronco de cono = 254,34 − 9,42 = 244,92 cm3

Desafío42 Un tronco de cono tiene una altura de 24 cm, y los radios de sus bases miden 5 cm y 12 cm, respectivamente. Utiliza el

teorema de Tales para hallar las medidas necesarias para determinar su volumen. Después, calcúlalo.

Longitud de la altura del cono pequeño superior: x

5=

x + 24

12 → x = 17,14 cm

Vcono grande = 3,14 ⋅122( ) ⋅ 17,14 + 24( )

3 = 6 200,62 cm3 Vcono pequeño =

3,14·52( ) · 17,14

3 = 448,49 cm3

Vtronco de cono = 6 200,62 − 448,49 = 5 752,13 cm3



6. Volumen de esferas

Soluciones de las actividades43 Calcula el volumen de las siguientes esferas.

a) Esfera de 4,2 cm de radio. b) Esfera de 13 cm de diámetro. c) Esfera de 21 cm de diámetro.

a) V =4

3⋅3,14 ⋅ 4,23 = 310,18 cm3 b) V =

4

3⋅3,14 ⋅6,53 = 1 149,76 cm3 c) V =

4

3⋅3,14 ⋅10,53 = 4 846,595 cm3

44 Halla el volumen de estas esferas.

a)

3,7 dm•

b)

•7,3 cm

c)

•52 mm

a) V =4

3⋅3,14 ⋅3,73 = 212,07 dm3 b) V =

4

3⋅3,14 ⋅3,653 = 203,59 cm3 c) V =

4

3⋅3,14 ⋅263 = 73 584,85 mm3


Si disponemos de un cilindro y una esfera como las que se describen en el epígrafe, se puede llevar a los alumnos a algún aula o taller en el que realicen este experimento. Si es en el propio aula hay que tener cuidado con el agua que se desaloja al introducir la esfera.

A la hora de calcular secciones de una esfera, hay que hacer hincapié en que se establezca una proporcionalidad direc-ta entre el volumen de la esfera y los grados que tiene la sección, y prescindir de memorizar fórmulas.

261


260

6. VOLUMEN DE ESFERAS

Existe una forma de calcular el volumen de un cuerpo sólido que recibe el nombre de procedimiento de inmersión.

Consiste en sumergir el sólido en un recipiente graduado que contenga una cierta cantidad de líquido inicial. Al sumergir totalmente el sólido, el nivel del líquido aumenta. El volumen del sólido es la diferencia entre el volumen final que marca el recipiente y el volumen inicial.

Para conocer el volumen de la esfera por este método, construimos un recipiente con forma de cilindro cuyo radio sea el mismo que el de la esfera y cuya altura sea el doble que su radio, y lo llenamos de líquido.

A continuación, introducimos la esfera completamente en el cilindro y después la sacamos.

r

rh = 2r

h/3

h

El líquido que queda en el interior del cilindro ocupa un tercio del volumen del cilindro; luego, la esfera ocupa las dos terceras partes.

VESFERA =2

3VCILINDRO =

2

3AB h =

2

3r2( ) 2r =

4

3r3

El volumen de una esfera de radio r es: VESFERA =4

3r3

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada de hallar el volumen de una esfera.

} Si cortamos una esfera por dos planos secantes que pasen por el centro, obtenemos una cuña esférica. Si la esfera tiene un radio de 6 cm, calcula el volumen de una cuña esférica que tiene un ángulo de 60º.

SoluciónEstablecemos una relación de proporcionalidad entre el ángulo y el volumen de la cuña esférica, que para 360º coincide con el volumen de la esfera.

Volumen: V 4

3⋅ π ⋅ r3

Ángulo: 60º 360º

V

60=

4

3⋅3,14 ⋅63

360→ V =

4

3⋅3,14 ⋅63 ⋅60

360= 150,72

El volumen de la cuña esférica mide, pues, 150,72 cm3.

EJERCICIO RESUELTO

6 cm

60º

Calcula el volumen de las siguientes esferas.a) Esfera de 4,2 cm de radio.b) Esfera de 13 cm de diámetro.c) Esfera de 21 cm de diámetro.

Halla el volumen de estas esferas.a) b) c)

3,7 dm•

•7,3 cm

•52 mm

Calcula el volumen de las siguientes secciones de esfera.a) b) c)

12 cm

4 cm

2 cm

La superficie de una esfera es 50,24 cm2. Calcula su volumen.

El volumen de una esfera es 113,04 cm3. ¿Cuál es su radio?

Un cilindro tiene por altura el diámetro de su base. En este cilindro introducimos una esfera cuyo radio es el mismo que el de la base del cilindro y que tiene un volumen de 267,95 cm3. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

Halla el volumen que dejan libre 2 pelotas de 8 cm de diámetro al introducirlas en las siguientes cajas.a) b)

8 cm

8 cm16 cm

16 cm 8 cm

Partiendo de una esfera de radio 6 cm, halla el volumen de las cuñas esféricas que tienen los siguientes grados de amplitud.a) 120º b) 240º c) 300º

43

44

45

46

47

48

49

50

DESAFÍOCalcula el volumen de una esfera inscrita en un prisma regular hexagonal de 4 cm de lado. Ten en cuenta que la altura del prisma equivale al diámetro de la esfera.

51

• h

r

r

4 cm

407



45 Calcula el volumen de las siguientes secciones de esfera.

a) 12 cm

b) 4 cm c) 2 cm

a) V =1

2

4

3⋅3,14 ⋅123

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 3 617,28 cm3 b) V =

1

8

4

3⋅3,14 ⋅ 43

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 33,49 cm3 c) V =

3

8

4

3⋅3,14 ⋅23

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 12,56 cm3

46 La superficie de una esfera es 50,24 cm2. Calcula su volumen.

4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 = 50,24 → r = 2 cm V =4

3⋅3,14 ⋅23 = 33,49 cm3

47 El volumen de un esfera es 113,04 cm3. ¿Cuál es su radio?4

3⋅3,14 ⋅ r3 = 113,04 → r3 =

113,04 ⋅3

4 ⋅3,14= 27 → r = 3 cm

48 Un cilindro tiene por altura el diámetro de su base. En este cilindro introducimos una esfera cuyo radio es el mismo que el de la base del cilindro y que tiene un volumen de 267,95 cm3. ¿Cuál es el volumen del cilindro?4

3⋅ 3,14 ⋅ r3 = 267,95 → r3 =

267,95 ⋅ 3

4 ⋅ 3,14= 64 → r = 4 cm V = (3,14 ⋅ 42) ⋅ 8 = 401,92 cm3

49 Halla el volumen que dejan libre 2 pelotas de 8 cm de diámetro al introducirlas en las siguientes cajas.

a)

8 cm

8 cm16 cm

b)

16 cm 8 cm

Calculamos el volumen de la dos pelotas.

V = 2 ⋅4

3⋅3,14 ⋅ 43

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 535,89 cm3

a) Vcaja = 16 ⋅ 8 ⋅ 8 = 1 024 cm3 b) Vcaja = (3,14 ⋅ 42) ⋅ 16 = 803,84 cm3

Espacio libre = 1 024 − 535,89 = 488,11 cm3 Espacio libre = 803,84 − 535,89 = 267,95 cm3

50 Partiendo de una esfera de radio 6 cm, halla el volumen de las cuñas esféricas que tienen los siguientes grados de ampli-tud.

a) 120º b) 240º c) 300º

Establecemos una relación de proporcionalidad entre el ángulo y el volumen de la cuña esférica.

a) V =

4

3⋅3,14 ⋅63 ⋅120

360 = 301,44 cm3 c) V =

4

3⋅3,14 ⋅63 ⋅300

360 = 753,6 cm3

b) V =

4

3⋅3,14 ⋅63 ⋅240

360 = 602,88 cm3

Desafío51 Calcula el volumen de una esfera inscrita en un prisma regular hexagonal de 4 cm de lado. Ten en cuenta que la altura

del prisma equivale al diámetro de la esfera.

El radio de la esfera coincide con la apotema de la base: ap2 + 22 = 42 → ap = 3,5 cm

Volumen de la esfera: V =4

3⋅3,14 ⋅3,53 = 179,5 cm3



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades52 Eduardo prepara un bizcocho, pero no tiene una báscula a mano. Por eso, utiliza un envase de yogur para calcular la

cantidad necesaria de cada ingrediente.

Trucos para medir ingredientes con utensilios de cocinaAdemás de creatividad, tiempo, experiencia y dedicación, la cocina está hecha de proporciones: unas medidas concretas, de ingredientes concretos, que es preciso seguir a rajatabla para obtener el resultado buscado. Y es que la gastronomía tiene tanto de magia como de química, sobre todo en aquellas recetas nuevas, que aún no dominamos tanto como para hacerlas de memoria o «a ojo».El problema es que no siempre tenemos en casa un medidor o una báscula para calcular volúmenes y pesos exactos… En caso de urgencia, cuando no tengamos ni báscula ni medidor, el mejor aliado es… un yogur, pues la medida de su vaso es estándar y conocemos (por la etiqueta) su peso. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que, a igual volumen, el peso puede variar según el ingrediente. Esto se debe a la textura y a la densidad de los alimentos. De este modo, un vaso de yogur llenado al ras de:Harina = 75 g Cacao = 65 g Azúcar = 130 g Leche = 150 g Arroz y legumbres = 120 g Aceite = 130 gEstas medidas nos pueden ayudar a calcular con rapidez las cantidades que debemos agregar a un pastel o bizcocho, o también a una crema pastelera. Fuente: www.consumer.es


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben seguir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas de volúmenes de cuerpos.

Una vez analizado este ejemplo resuelto, los alumnos se enfrentan a otras situaciones similares.

12 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

262 263

12Actividades

La IATA propone reducir en un 40 % el tamaño del equipaje de mano para unificar la normativa

La Asociación Internacional de Transporte Aéreo (IATA en sus siglas en inglés) ha aprobado reducir en un 40 % el tamaño de la maleta de mano, respecto a las actuales medidas recomendadas, una iniciativa que justifica en la mejora del servicio al usuario al contar con una normativa unificada en todas las aerolíneas.

La decisión, tomada durante la 71.ª asamblea que las aerolíneas pertenecientes a la IATA celebran en Miami, fija en 55 cm × 35 cm × 20 cm el nuevo estándar para el equipaje de mano (bolsas o maletas) a bordo de un avión de 120 asientos o más, frente al actual estándar mínimo aceptado de 56 cm × 45 cm × 25 cm.

Este nuevo estándar para el volumen del equipaje de mano es más pequeño que el permitido por la low cost irlandesa Ryanair, establecido en 55 cm × 40 cm × 20 cm.

«El tamaño óptimo para el equipaje de mano acordado traerá el sentido común», ha defendido el responsable de la IATA para aeropuertos, pasajeros, carga y seguridad, Tom Windmuller, quien apuntó que los diferentes tamaños permitidos para el equipaje de mano por las compañías aéreas causan trastornos a los viajeros.

Fuente: www.elmundo.es

Marta realizará un viaje próximamente y no quiere facturar su equipaje. Después de leer esta noticia, comprueba que su maleta sí cumple con la nueva normativa, pero se pregunta: ¿es cierto que la capacidad de la maleta se ve reducida en un 40 %?

Analiza la pregunta

¿Es cierto que la capacidad de la maleta se ve reducida en un 40 %?

Para medir la capacidad de la maleta, tenemos que calcular su volumen, que en estos casos se suele expresar en litros.

Así, calculamos el volumen del modelo de maleta permitido antes y después de la nueva norma, y el porcentaje de reducción.

Busca los datos

Modelo anterior Modelo propuesto

56 c

m

25 cm45 cm 55

cm

20 cm35 cm

Utiliza las matemáticas

Primero, calculamos los volúmenes de los dos modelos de maletas.

Modelo anterior

25 ⋅ 45 ⋅ 56 = 63 000 cm3 = 63 dm3 = 63 L

Modelo propuesto

20 ⋅ 35 ⋅ 55 = 38 500 cm3 = 38,5 dm3 = 38,5 L

Después, calculamos el porcentaje que representan los 38,5 L del modelo de maleta propuesto con respecto a los 63 L del modelo de maleta anterior.

Total ⋅ porcentaje = parte

63 ⋅ x = 38,5 → x = 38,5

63 = 0,61

Representa un 61 %; por tanto, la capacidad se ha reducido en un 39 %.

Podemos decir que, en efecto, redondeando se reduce en un 40 %.

Eduardo prepara un bizcocho, pero no tiene una báscula a mano. Por eso, utiliza un envase de yogur para calcular la cantidad necesaria de cada ingrediente.

52 Manuela lee el siguiente artículo.53

Sabiendo que cada envase de yogur tiene una capacidad de 125 ml, calcula la densidad de los ingredientes que se citan en el artículo.

Trucos para medir ingredientes con utensilios de cocina

Además de creatividad, tiempo, experiencia y dedicación, la cocina está hecha de proporciones: unas medidas concretas, de ingredientes concretos, que es preciso seguir a rajatabla para obtener el resultado buscado. Y es que la gastronomía tiene tanto de magia como de química, sobre todo en aquellas recetas nuevas, que aún no dominamos tanto como para hacerlas de memoria o «a ojo».

El problema es que no siempre tenemos en casa un medidor o una báscula para calcular volúmenes y pesos exactos… En caso de urgencia, cuando no tengamos ni báscula ni medidor, el mejor aliado es… un yogur, pues la medida de su vaso es estándar y conocemos (por la etiqueta) su peso.

Sin embargo, es preciso tener en cuenta que, a igual volumen, el peso puede variar según el ingrediente. Esto se debe a la textura y a la densidad de los alimentos. De este modo, un vaso de yogur llenado al ras de:

Harina = 75 g Cacao = 65 gAzúcar = 130 g Leche = 150 gArroz y legumbres = 120 g Aceite = 130 g

Estas medidas nos pueden ayudar a calcular con rapidez las cantidades que debemos agregar a un pastel o bizcocho, o también a una crema pastelera.

Fuente: www.consumer.es

Manuela tiene una mochila con forma de prisma rectangular con dimensiones 47,5 cm × 31 cm × 24 cm y decide reducir un 10 % cada medida. ¿Se reduce también el volumen de la mochila en un 10 %?

Los niños con dolor de espalda son propensos a sufrir dolor crónico de adultos

[…] Una campaña que busca la concienciación de familias, colegios e instituciones para evitar un mal que, en el futuro, está acompañado de terribles consecuencias. A partir de los 10 años, el número de casos en el que los niños sufren dolor de espalda se dispara. En la actualidad, el 51 % de chicos y el 69 % de chicas ha padecido —o padece— dolor de espalda antes de los 15 años.

[…] El segundo consejo es reducir el peso del material escolar que cargan los niños. «El ideal es reducir el peso para que el niño no cargue con más del 10 % de su peso corporal. En la actualidad, es frecuente que alcancen el 30 %». Esto supone reducir el tamaño de la mochila escolar, que no debe ser superior al tamaño del torso de los niños.

Fuente: www.abc.es

Copia estas frases en tu cuaderno y completa con las unidades de medida que correspondan.

a) El volumen de un edificio es de 320 §. b) La altura de un vaso es de 15 §.

La planta del edificio es de 20 §. La base del vaso tiene una superficie de 15 §.

La altura del edificio es de 10 §. La capacidad del vaso es de 15 §.

55

A Rita le impresiona esta noticia.54

¿Cuál sería el volumen del edificio si su base fuese un cuadrado de 30 m de lado?

La City proyecta su rascacielos más alto en un desafío a The Shard

El edificio más alto de la City de Londres, cuyo proyecto ya cuenta con el visto bueno definitivo de la autoridad local, podrá mirarse cara a cara con el rascacielos más alto de Europa occidental, The Shard, que desde la orilla opuesta del sur del Támesis se ha erigido en icono del skyline de la capital británica.

Al menos en cuestiones técnicas sobre la altura, que en el caso de ambas construcciones se eleva igualmente hasta los 309 metros, si bien la diversa orografía bajo sus respectivos pavimentos resulta ligeramente favorable a ensalzar la planta del segundo.

Fuente: www.elpais.es

409



Sabiendo que cada envase de yogur tiene una capacidad de 125 ml, calcula la densidad de los ingredientes que se citan en el artículo.

Harina: d =75

125= 0,6 g/ml Azúcar: d =

130

125= 1,04 g/ml Arroz y legumbres: d =

120

125= 0,96 g/ml

Cacao: d =65

125= 0,52 g/ml Leche: d =

150

125= 1,2 g/ml Aceite: d =

130

125= 1,04 g/ml

53 Manuela lee el siguiente artículo.

Los niños con dolor de espalda son propensos a sufrir dolor crónico de adultos[…] Una campaña que busca la concienciación de familias, colegios e instituciones para evitar un mal que, en el futuro, está acompañado de terribles consecuencias. A partir de los 10 años, el número de casos en el que los niños sufren dolor de espalda se dispara. En la actua-lidad, el 51 % de chicos y el 69 % de chicas ha padecido —o padece— dolor de espalda antes de los 15 años.[…] El segundo consejo es reducir el peso del material escolar que cargan los niños. «El ideal es reducir el peso para que el niño no cargue con más del 10 % de su peso corporal. En la actualidad, es frecuente que alcancen el 30 %». Esto supone reducir el tamaño de la mochila escolar, que no debe ser superior al tamaño del torso de los niños.

Fuente: www.abc.es

Manuela tiene una mochila con forma de prisma rectangular con dimensiones 47,5 cm × 31 cm × 24 cm y decide reducir un 10 % cada medida. ¿Se reduce también el volumen de la mochila en un 10 %?

Vmochila normal = 47,5 ⋅ 31 ⋅ 24 = 35 340 cm3

Vmochila reducida = (0,9 ⋅ 47,5) ⋅ (0,9 ⋅ 31) ⋅ (0,9 ⋅ 24) = 0,93 ⋅ (47,5 ⋅ 31 ⋅ 24) = 25 762,86 cm3

1 − 0,729 = 0,271 → Se reduce en un 27,1 %54 A Rita le impresiona esta noticia.

La City proyecta su rascacielos más alto en un desafío a The ShardEl edificio más alto de la City de Londres, cuyo proyecto ya cuenta con el visto bueno definitivo de la autoridad local, podrá mirarse cara a cara con el rascacielos más alto de Europa occidental, The Shard, que desde la orilla opuesta del sur del Támesis se ha erigido en icono del skyline de la capital británica.Al menos en cuestiones técnicas sobre la altura, que en el caso de ambas construcciones se eleva igualmente hasta los 309 metros, si bien la diversa orografía bajo sus respectivos pavimentos resulta ligeramente favorable a ensalzar la planta del segundo.

Fuente: www.elpais.es

¿Cuál sería el volumen del edificio si su base fuese un cuadrado de 30 m de lado?

Como el edificio tiene forma de pirámide, su volumen sería:

V =1

3AB ⋅h =

1 · 302 · 309

3= 92700 m3

Analiza55 Copia estas frases en tu cuaderno y completa con las unidades de medida que correspondan.

a) El volumen de un edificio es de 320 §. b) La altura de un vaso es de 15 §.

La planta del edificio es de 20 §. La base del vaso tiene una superficie de 15 §.

La altura del edificio es de 10 §. La capacidad del vaso es de 15 §.

a) El volumen de un edificio es de 320 m3. b) La altura de un vaso es de 15 cm.

La planta del edificio es de 20 m2. La base del vaso tiene una superficie de 15 cm2.

La altura del edificio es de 10 m. La capacidad del vaso es de 15 cm3.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de calcular:

❚❚ Volumen de prismas y cilindros.

❚❚ Volumen de pirámides y conos.

❚❚ Volumen de troncos de conos y de troncos de pirámides.

❚❚ Volumen de esferas.

Actividades finalesSoluciones de las actividades56 Transforma los siguientes volúmenes en metros cúbicos.

a) 0,25 hm3 b) 0,00003 km3 c) 230 cm3 d) 45 000 mm3 e) 320 000 dm3 f) 9,48 dam3

a) 250 000 m3 b) 30 000 m3 c) 0,00023 m3 d) 0,000045 m3 e) 320 m3 f) 9 480 m3

57 Expresa en litros las siguientes capacidades.

a) 3,25 dal b) 0,124 hl c) 4 506 cl d) 3 200 ml e) 3,25 kl f) 948 dl

a) 32,5 L b) 12,4 L c) 45,06 L d) 3,2 L e) 3 250 L f) 94,8 L58 Transforma estas expresiones en litros.

a) 45 dm3 b) 4,5 m3 c) 2,7 cm3 d) 0,4 m3 e) 570 000 mm3 f) 0,00007 dam3

a) 45 L b) 4 500 L c) 0,0027 L d) 400 L e) 0,57 L f) 70 L

¿Qué tienes que saber?

264 265

¿QUÉ12 tienes que saber? Actividades Finales 12

Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) Un prisma cuyas bases son pentágonos regulares de 6 cm de lado y 5,2 cm de apotema, y cuya altura mide 10 cm.

b) Un cilindro de 6 cm de radio y 10 cm de altura.

a) Calculamos el área de la base: AB =P ap

2=

(5 6) 5,2

2 = 78 cm2

El volumen del prisma es: V = AB ⋅ h = 78 ⋅ 10 = 780 cm3

b) Calculamos el área de la base: AB = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2

El volumen del cilindro es: V = AB ⋅ h = 113,04 ⋅ 10 = 1 130,4 cm3

Volumen de prismas y cilindrosTen en cuenta

El volumen de un prisma o de un cilindro es igual al área de la base por la altura.

V = AB ⋅ h

Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.

a) Una pirámide cuya base es un cuadrado de 5 cm de lado y que tiene una altura de 12 cm.

b) Un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura.

a) Calculamos el área de la base: AB = 52 = 25 cm2

El volumen de la pirámide es: V = AB h

3=

25 12

3 = 100 cm3

b) Calculamos el área de la base: AB = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

El volumen del cono es: V = AB h

3=

78,5 12

3 = 314 cm3

Volumen de pirámides y conosTen en cuenta

El volumen de un cono o una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.

V =AB h

3

Calcula el volumen del tronco de cono.

VCONO GRANDE = 3,14 ⋅52( ) ⋅15

3 = 392,5 cm3

VCONO PEQUEÑO = 3,14 ⋅32( ) ⋅9

3 = 84,78 cm3

VTRONCO CONO = 392,5 − 84,78 = 307,72 cm3

Volumen troncos de pirámides y de troncos de conoTen en cuenta

El volumen de un tronco de cono o tronco de pirámide es igual a la diferencia entre los volúmenes de los conos o pirámides cuyas bases son las de los troncos correspondientes. 15 cm 3 cm

5 cm

6 cm

Determina el volumen de una esfera de 15 cm de diámetro.

Como el diámetro es de 15 cm, el radio medirá la mitad. Es decir, r = 7,5 cm.

El volumen de la esfera es:

V =4

3⋅ π ⋅ r3 =

4

3⋅3,14 ⋅7,53 = 1766,25 cm3

Volumen de esferasTen en cuenta

El volumen de una esfera depende de su radio.

V =4

3r3

Unidades de volumen

Transforma los siguientes volúmenes en metros cúbicos.

a) 0,25 hm3 d) 45 000 mm3

b) 0,00003 km3 e) 320 000 dm3

c) 230 cm3 f) 9,48 dam3

Expresa en litros las siguientes capacidades.

a) 3,25 dal d) 3 200 ml

b) 0,124 hl e) 3,25 kl

c) 4 506 cl f) 948 dl

Transforma estas expresiones en litros.

a) 45 dm3 d) 0,4 m3

b) 4,5 m3 e) 570 000 mm3

c) 2,7 cm3 f) 0,00007 dam3

Ordena de menor a mayor estas medidas de capacidad y volumen.

0,0385 m3 3 900 cl 35 dm3 0,373 dal

Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en litros.

a) 3,2 dm3 + 4 500 cm3 + 0,0079 m3

b) 0,45 m3 + 0,0005 dam3 + 325 dm3

¿Cuántos recipientes de 50 cm3 podemos llenar con 52 L de agua? Explica tu respuesta.

Un pantano que tiene capacidad para 91 hm3 está a un 45 % de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua tiene el pantano?

Calcula la masa que tiene un material si su volumen es de 2 cm3 y su densidad es igual a 2,5 g/cm3.

Si la densidad de un líquido es de 1,8 kg/L, ¿qué volumen ocuparán 0,046 kg del mismo?

El oro tiene una densidad de 19,3 g/cm3. ¿Qué masa tiene un lingote que ocupa un volumen de 1 dm3?

Una garrafa vacía pesa 250 g, mientras que llena de aceite pesa 24,25 kg. Si la densidad del aceite es 0,96 kg/dm3, ¿cuántos litros de aceite tiene la garrafa cuando está llena?

Volumen de prismas y pirámides

Calcula el volumen de los cubos cuyas aristas tienen las siguientes medidas.

a) 4,5 cm c) 12,8 dm

b) 3,2 m d) 65 mm

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

Calcula el volumen de un prisma cuya altura es de 7 cm, y que tiene por bases rectángulos con las siguientes dimensiones.

a) Ancho de 5 cm y largo de 1,5 dm.

b) Ancho de 7,2 cm y largo de 90 mm.

c) Ancho de 0,08 m y largo de 12,5 cm.

d) Ancho de 93 mm y largo de 94 mm.

e) Ancho de 3,4 m y largo de 51 dm.

Calcula el volumen de una pirámide de 10 cm de altura y cuya base es, en cada caso, la de las siguientes figuras.

a) c)

5 cm

4,3

cm

4 cm

2,8 cm

b) d)

4 cm

2 cm

2,4 cm

Estas figuras representan un prisma y su base. Observa las medidas que aparecen en cada figura y calcula el volumen del prisma.

12 cm

9 cm

5 cm

4 cm

Halla el volumen de estos prismas oblicuos. Explica en cada caso, cómo lo has hecho.

a) b)

68

69

70

71

5 cm4 cm

13 cm

12 c

m

6 cm

411



59 Ordena de menor a mayor estas medidas de capacidad y volumen.

0,0385 m3 3 900 cl 35 dm3 0,373 dal

Expresamos todas las medidas en la misma unidad.

0,0385 m3 = 38,5 dm3 3 900 cl = 39 L = 39 dm3 35 dm3 0,373 dal = 3,73 L = 3,73 dm3

0,373 dal < 35 dm3 < 0,0385 m3 < 3 900 cl60 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en litros.

a) 3,2 dm3 + 4 500 cm3 + 0,0079 m3

b) 0,45 m3 + 0,0005 dam3 + 325 dm3

Expresamos todas las medidas en litros.

a) 3,2 dm3 + 4 500 cm3 + 0,0079 m3 = 3,2 L + 4,5 L + 7,90 L = 15,6 L

b) 0,45 m3 + 0,0005 dam3 + 325 dm3 = 450 L + 500 L + 325 L = 1 275 L 61 ¿Cuántos recipientes de 50 cm3 podemos llenar con 52 L de agua? Explica tu respuesta.

Expresamos las dos cantidades en la misma unidad y dividimos.

52 L = 52 dm3 = 52 000 cm3

52 000 : 50 = 1 040

Podemos llenar 1 040 recipientes.62 Un pantano que tiene capacidad para 91 hm3 está a un 45 % de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua tiene el pantano?

0,45 ⋅ 91 = 40,95 hm3 = 40 950 000 000 L

El pantano tiene 40 950 000 000 L de agua.63 Calcula la masa que tiene un material si su volumen es de 2 cm3 y su densidad es igual a 2,5 g/cm3.

d =m

V→ 2,5 =

m

2→ m = 2 ⋅ 2,5 = 5 g

El material tiene 5 g de masa.64 Si la densidad de un líquido es de 1,8 kg/L, ¿qué volumen ocuparán 0,046 kg del mismo?

d =m

V→ 1,8 =

0,046

V→ V =

0,046

1,8 = 0,025 L → 0,025 L = 0,025 dm3 = 25 cm3

Ocuparán un volumen de 25 cm3.65 El oro tiene una densidad de 19,3 g/cm3. ¿Qué masa tiene un lingote que ocupa un volumen de 1 dm3?

Expresamos el volumen en cm3 que es la unidad de volumen en la que está expresada la densidad.

d =m

V→ 19,3 =

m

1000→ m = 1 000 ⋅ 19,3 = 19 300 g

El lingote tiene una masa de 19 300 g.66 Una garrafa vacía pesa 250 g, mientras que llena de aceite pesa 24,25 kg. Si la densidad del aceite es 0,96 kg/dm3,

¿cuántos litros de aceite tiene la garrafa cuando está llena?

Masa del aceite: 24,25 kg − 250 g = 24,25 kg − 0,25 kg = 24 kg

Volumen del aceite: d =m

V→ 0,96 =

24

V→ V =

24

0,96= 25 dm3

La garrafa tiene 25 L de aceite cuando está llena.67 Calcula el volumen de los cubos cuyas aristas tienen las siguientes medidas.

a) 4,5 cm b) 3,2 m c) 12,8 dm d) 65 mm

a) V = 91,13 cm3 b) V = 32,77 m3 c) V = 2 097,15 dm3 d) V = 274 625 mm3



68 Calcula el volumen de un prisma cuya altura es de 7 cm, y que tiene por bases rectángulos con las siguientes dimensiones.

a) Ancho de 5 cm y largo de 1,5 dm.

b) Ancho de 7,2 cm y largo de 90 mm.

c) Ancho de 0,08 m y largo de 12,5 cm.

d) Ancho de 93 mm y largo de 94 mm.

e) Ancho de 3,4 m y largo de 51 dm.

Expresamos todas las medidas en centímetros.

a) V = 5 ⋅ 15 ⋅ 7 = 525 cm3

b) V = 7,2 ⋅ 9 ⋅ 7 = 453,8 cm3

c) V = 8 ⋅ 12,5 ⋅ 7 = 700 cm3

d) V = 9,3 ⋅ 9,4 ⋅ 7 = 611,94 cm3

e) V = 340 ⋅ 510 ⋅ 7 = 1 213 800 cm3

69 Calcula el volumen de una pirámide de 10 cm de altura y cuya base es, en cada caso, la de las siguientes figuras.

a)

5 cm

4,3

cm

b)

4 cm

c)

4 cm

2,8 cm

d)

2 cm

2,4 cm

a) V =1

3⋅

5 ⋅ 4,3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅10 = 35,83 cm3 c) V =

1

3⋅

5 ⋅ 4 ⋅2,8

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅10 = 9,33 cm3

b) V =1

3⋅ 42 ⋅10 = 53,33 cm3 d) V =

1

3⋅

6 ⋅2 ⋅2,4

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅10 = 4,8 cm3

70 Estas figuras representan un prisma y su base. Observa las medidas que aparecen en cada figura y calcula el volumen del prisma.

12 cm

9 cm

5 cm

4 cm

V =(5 + 9) ⋅ 4

2⋅12 = 336 cm3

71 Halla el volumen de estos prismas oblicuos. Explica, en cada caso, cómo lo has hecho.

a)

5 cm4 cm

13 cm

b)

12 c

m

6 cm

a) Se multiplica el área de la base, que es un rectángulo, por la altura del prisma.

V = 5 ⋅ 4 ⋅ 13 = 260 cm3

b) Se multiplica el área de la base, que es un hexágono, por la altura del prisma.

Calculamos la apotema de la base: ap

2 + 32 = 62 → ap = 27 = 5,2 cm

V =(6 ⋅6) ⋅5,2

2⋅12 = 1 123,2 cm3

413



72 Calcula el volumen de estas pirámides oblicuas.

a)

4 cm5,2 cm

9,2 cm

b)

7,4

cm

3,5 cm1 cm

a) V =1

3⋅ (4 ⋅5,2) ⋅9,2 = 63,79 cm3

b) V =1

3⋅

6 ⋅3,5 ⋅1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅7,4 = 25,9 cm3

73 Halla el volumen de las siguientes pirámides hexagonales.

a)

3,5 cm3 cm

5 cm

b)

10 cm

4 cm

a) Calculamos la altura de la pirámide por el teorema de Pitágoras: h2 + 32 = 52 → h = 4 cm

El volumen de la pirámide es: V =1

3⋅

6 ⋅3,5 ⋅3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ 4 = 42 cm3

b) Calculamos la apotema de la base por el teorema de Pitágoras: ap2 + 22 = 42 → ap = 3,5 cm

Calculamos la altura por el teorema de Pitágoras: h2 + 42 = 102 → h = 9,2 cm

El volumen de la pirámide es: V =1

3⋅

6 ⋅ 4 ⋅3,5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅9,2 = 128,8 cm3

267

Actividades Finales 12

266


Problemas con volúmenes

Un rollo de papel continuo tiene las medidas que puedes ver en la imagen. Calcula el volumen que ocupa el papel de este rollo.

22 cm

2,5 cm

5 cm

Una empresa de mensajería cobra según el volumen de la caja que se vaya a enviar. Si tiene una tarifa de 90 € por cada metro cúbico, ¿cuánto cuesta enviar una caja de 50 cm de alto, 50 cm de largo y 25 cm de ancho?

Según el servicio de información meteorológica, durante la tormenta de ayer por la tarde cayeron 60 L de agua por metro cuadrado. ¿Qué altura alcanzó el agua caída en un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro?

Un artesano fabrica velas de cera con forma de pirámide de base cuadrada de 5 cm de lado y 14,5 cm de altura. Si la densidad de la cera es de 0,9 g/cm3. ¿Cuál es el peso de una vela?

Una pelota de caucho tiene un radio de 25 cm y un grosor de 5 mm. ¿Qué volumen de caucho tiene la pelota?

Se ha desprendido la etiqueta que rodeaba una lata cilíndrica de conservas. Si la etiqueta tiene unas dimensiones de 25,12 cm de ancho y 4,5 cm de alto, ¿cuál es el volumen de la lata?

Mario tiene una pelota con un diámetro de 25 cm. La introduce en una caja en forma de cubo cuya arista mide lo mismo que el diámetro de la pelota.

a) ¿Qué volumen tiene la caja?

b) ¿Qué espacio del interior de la caja queda libre después de introducir la pelota?

Un helado está compuesto por un cono de barquillo de 10 cm de altura y una base de 6 cm de diámetro, relleno de helado de chocolate sobre la que se ha puesto nata montada. ¿Qué volumen de helado se ha utilizado?

83

84

85

86

87

88

89

90

Calcula el volumen de estas pirámides oblicuas.

a) b)

7,4

cm

3,5 cm1 cm

Halla el volumen de las siguientes pirámides hexagonales.

a) b)

3,5 cm3 cm

5 cm

10 cm

4 cm

Una pirámide de 15 cm de altura y base cuadrada de 6 cm de lado ha sido seccionada por un plano paralelo a la base, con lo que se ha generado una pirámide de 5 cm de altura y una base de 2 cm de lado, además de un tronco de pirámide. Halla el volumen del tronco de pirámide.

Volumen de cilindros y conos

La altura de varios cilindros y conos es de 12,5 cm. Calcula el volumen de cada figura si sus bases son círculos con estas dimensiones.

a) Radio de 2,5 dm

b) Diámetro de 6,2 cm

c) Diámetro de 7 cm

d) Radio de 4,2 cm

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) c)

8,4 cm

52 mm

5 cm

1 dm

b) d)

1,5

dm

16 cm

1,5

dm

0,12 m

72

4 cm5,2 cm

9,2 cm

73

74

75

76

Halla el volumen de los cuerpos geométricos que se generan al hacer girar cada figura en torno al eje representado.a) b)

10 cm

4 cm 3 cm

7 cm

Halla el volumen de estos conos.a) b)

10 cm

26 cm

16 cm

34 cm

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.a) Un cilindro oblicuo de 18 cm de altura y 9 cm

de diámetro.b) Un cono oblicuo de 7,2 cm de radio y 15 cm

de altura.

Volumen de esferas

¿Cuál es el volumen de estas esferas?a) Radio: 3,7 cm b) Diámetro: 10 cmc) Diámetro: 5,8 cmd) Radio: 10,5 cm

Calcula el volumen de una cuña esférica, de una esfera de diámetro 8 cm con estas amplitudes.a) 45ºb) 120ºc) 135ºd) 300º

Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico.

•16,4 cm

77

78

79

80

81

82

Un depósito con forma de cono tiene una rotura y pierde agua. Se acaba de llenar y, pasados unos días, el depósito tiene la altura que indica el dibujo. ¿Cuántos litros se han perdido?

12 m

9 m

5 m

3,75 m

Calcula cuántas copas enteras como la de la ilustración se pueden llenar con una botella de capacidad 1 L si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura de 7,2 cm y el diámetro es igual a 7,8 cm.

Una pelota de tenis tiene un radio de 3,4 cm. ¿Qué volumen queda libre en un cilindro en el que entran exactamente tres pelotas de tenis?

Calcula el volumen de la siguiente pieza.

1 cm

Andrés tiene que llenar un depósito con un grifo que vierte 15 L de agua por minuto.

a) Si el depósito tiene forma de prisma de base hexagonal de 1 m de radio y 2 m de altura, ¿qué volumen tiene?

b) ¿Cuánto tardará en llenarse?

91

92

93

94

95



74 Una pirámide de 15 cm de altura y base cuadrada de 6 cm de lado ha sido seccionada por un plano paralelo a la base, con lo que se ha generado una pirámide de 5 cm de altura y una base de 2 cm de lado, además de un tronco de pirámide. Halla el volumen del tronco de pirámide.

Vtronco de pirámide = Vpirámide grande − Vpirámide pequeña = 62 ⋅15

3−

22 ⋅5

3 = 180 − 6,67 = 173,33 cm3

75 La altura de varios cilindros y conos es de 12,5 cm. Calcula el volumen de cada figura si sus bases son círculos con estas dimensiones.

a) Radio de 2,5 dm

b) Diámetro de 6,2 cm

c) Diámetro de 7 cm

d) Radio de 4,2 cm

Expresamos todas la medidas en centímetros.

a) V = 3,14 ⋅ 252 ⋅ 12,5 = 24 531,25 cm3

b) V = 3,14 ⋅ 3,12 ⋅ 12,5 = 377,19 cm3

c) V = 3,14 ⋅ 3,52 ⋅ 12,5 = 480,81 cm3

d) V = 3,14 ⋅ 4,22 ⋅ 12,5 = 692,37 cm3

76 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

8,4 cm

52 mm

b)

1,5

dm

16 cm

c)

5 cm1

dm

d)

1,5

dm

0,12 m

Expresamos todas las dimensiones en la misma unidad y calculamos el volumen en cada caso.

a) V = 3,14 ⋅ 5,22 ⋅ 8,4 = 713,21 cm3

b) V = 1

3⋅ 3,14 ⋅82( ) ⋅15 = 1 004,8 cm3

c) V = 1

3⋅ 3,14 ⋅52( ) ⋅10 = 261,67 cm3

d) V = 3,14 ⋅ 0,62 ·1,5 = 1,70 dm3

77 Halla el volumen de los cuerpos geométricos que se generan al hacer girar cada figura en torno al eje representado.

a)

10 cm

4 cm

b)

3 cm

7 cm

a) V = 3,14 ⋅ 42 ⋅ 10 = 502,4 cm3

b) Calculamos la altura del cono por el teorema de Pitágoras: h2 + 32 = 72 → h = 40 = 6,3

V = 1

3⋅ 3,14 ⋅32( ) ⋅6,3 = 59,35 cm3

415



78 Halla el volumen de estos conos.

a)

10 cm

26 cm

b)

16 cm

34 cm

a) h2 + 102 = 262 → h = 576 = 24 cm

V = 1

3⋅ 3,14 ⋅102( ) ⋅24 = 2 512 cm3

b) h2 + 162 = 342 → h = 900 = 30 cm

V = 1

3⋅ 3,14 ⋅162( ) ⋅30 = 8 038,4 cm3

79 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

a) Un cilindro oblicuo de 18 cm de altura y 9 cm de diámetro.

b) Un cono oblicuo de 7,2 cm de radio y 15 cm de altura.

a) V = 3,14 ⋅ 4,52 ⋅ 18 = 1 144,53 cm3

b) V = 1

3⋅ 3,14 ⋅7,22( ) ⋅15 = 813,89 cm3

80 ¿Cuál es el volumen de estas esferas?

a) Radio: 3,7 cm b) Diámetro: 10 cm c) Diámetro: 5,8 cm d) Radio: 10,5 cm

a) V =4

3⋅3,14 ⋅3,73 = 212,07 cm3 c) V =

4

3⋅3,14 ⋅2,93 = 102,11 cm3

b) V =4

3⋅3,14 ⋅53 = 523,33 cm3 d) V =

4

3⋅3,14 ⋅10,53 = 4 846,59 cm3

81 Calcula el volumen de una cuña esférica, de una esfera de diámetro 8 cm con estas amplitudes.

a) 45º b) 120º c) 135º d) 300º

a) V =

4

3⋅3,14 ⋅ 43 ⋅ 45

360 = 33,49 cm3 c) V =

4

3⋅3,14 ⋅ 43 ⋅135

360 = 100,48 cm3

b) V =

4

3⋅3,14 ⋅ 43 ⋅120

360 = 89,32 cm3 d) V =

4

3⋅3,14 ⋅ 43 ⋅300

360 = 223,29 cm3

82 Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico.

•16,4 cm

Hallamos el volumen de esta media esfera:

V =1

2

4

3⋅3,14 ⋅8,23

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 1 154,20 cm3



83 Un rollo de papel continuo tiene las medidas que puedes ver en la imagen. Calcula el volumen que ocupa el papel de este rollo.

22 cm

2,5 cm

5 cm

Vcilindro grande = 3,14 ⋅52( ) ⋅22 = 1 727 cm3

Vcilindro pequeño = 3,14 ⋅2,52( ) ⋅22 = 431,75 cm3

V = Vcilindro grande − Vcilindro pequeño = 1 727 − 431,75 = 1 295,25 cm3

84 Una empresa de mensajería cobra según el volumen de la caja que se vaya a enviar. Si tiene una tarifa de 90 € por cada metro cúbico, ¿cuánto cuesta enviar una caja de 50 cm de alto, 50 cm de largo y 25 cm de ancho?

Vcaja = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,25 = 0,0625 m3 Precio del envío de la caja es: 0,0625 ⋅ 90 = 5,63 €85 Según el servicio de información meteorológica, durante la tormenta de ayer por la tarde cayeron 60 L de agua por metro

cuadrado. ¿Qué altura alcanzó el agua caída en un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro?

60 L = 60 dm3 = 60 000 cm3

La altura que alcanzó el agua en el recipiente es:

3,14 ⋅ 152 ⋅ h = 60 000 → h = 60000

3,14 ⋅225 → h = 84,9 cm

86 Un artesano fabrica velas de cera con forma de pirámide de base cuadrada de 5 cm de lado y 14,5 cm de altura. Si la densidad de la cera es de 0,9 g/cm3. ¿Cuál es el peso de una vela?

Vpirámide = 52 ⋅14,5

3 = 120,83 cm3

Utilizando la densidad de la cera, obtenemos: d =m

V→ 0,9 =

m

120,83→ m = 108,74 g

87 Una pelota de caucho tiene un radio de 25 cm y un grosor de 5 mm. ¿Qué volumen de caucho tiene la pelota?

Vesfera grande = 4

3⋅3,14 ⋅253 = 65 416,7 cm3 Vesfera pequeña =

4

3⋅3,14 ⋅24,53 = 61 569,6 cm3

El volumen de caucho de la pelota es: V = Vesfera grande − Vesfera pequeña

= 65 416,7 − 61 569,6 = 3 847,1 cm3

88 Se ha desprendido la etiqueta que rodeaba una lata cilíndrica de conservas. Si la etiqueta tiene unas dimensiones de 25,12 cm de ancho y 4,5 cm de alto, ¿cuál es el volumen de la lata?

El ancho de la etiqueta es la longitud de la circunferencia de la lata.

A partir de él calculamos el radio de la lata: 2 ⋅ 3,14 ⋅ r = 25,12 → r = 4

Por tanto, el volumen de la lata es: V = 3,14 ⋅ 42( ) ⋅ 4,5 = 226,08 cm3

89 Mario tiene una pelota con un diámetro de 25 cm. La introduce en una caja en forma de cubo cuya arista mide los mismo que el diámetro de la pelota.

a) ¿Qué volumen tiene la caja?

b) ¿Qué espacio interior de la caja queda libre después de introducir la pelota?

a) Vcaja = 253 = 15 625 cm3

b) Calculamos el volumen de la esfera: Vesfera = 4

3⋅3,14 ⋅12,53 = 8 177,1 cm3

El espacio libre en la caja es: Vcaja − Vesfera = 15 625 − 8 177,1 = 7 447,9 cm3

90 Un helado está compuesto por un cono de barquillo de 10 cm de altura y una base de 6 cm de diámetro, relleno de helado de chocolate sobre la que se ha puesto nata montada. ¿Qué volumen de helado se ha utilizado?

Vcono = 3,14 ⋅32( ) ⋅10

3 = 94,2 cm3

417



91 Un depósito con forma de cono tiene una rotura y pierde agua. Se acaba de llenar y, pasados unos días, el depósito tiene la altura que indica el dibujo. ¿Cuántos litros se han perdido?

12 m

9 m

5 m

3,75 m

Vcono grande =

3,14 ⋅52( ) ⋅12

3 = 314 m3

Vcono pequeño =

3,14 ⋅3,752( ) ⋅93

= 132,5 m3

V = Vcono grande − Vcono pequeño = 314 − 132,5 = 181,5 m3 → 181 500 dm3 = 181 500 L

Por tanto, se han perdido 181 500 L.92 Calcula cuántas copas enteras como la de la ilustración se pueden llenar con una botella de capa-

cidad 1 L si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura de 7,2 cm y el diámetro es igual a 7,8 cm.

Vcono =

3,14 ⋅3,92( ) ⋅7,2

3 = 114,6 cm3 = 0,1146 dm3

Como 1 L = 1 dm3 → 1 : 0,1146 = 8,7

Se llenan 8 copas enteras.

93 Una pelota de tenis tiene un radio de 3,4 cm. ¿Qué volumen queda libre en un cilindro en el que entran exactamente tres pelotas de tenis?

Vpelota de tenis = 4

3⋅3,14 ⋅3,43 = 164,6 cm3

El radio del cilindro es el mismo que el de la esfera, y la altura es 6 veces el radio. Por tanto:

Vcilindro = (3,14 ⋅ 3,42) ⋅ (6 ⋅ 3,4) = 740,5 cm3

El espacio libre en el cilindro es: Vcilindro − 3 ⋅ Vpelota de tenis = 740,5 − 3 ⋅ 164,6 = 246,7 cm3 94 Calcula el volumen de la siguiente pieza.

1 cm El volumen coincide con el de un cubo de arista 3 cm menos 8 cubos de arista 1 cm.

Vpieza = 33 − 8 ⋅ 13 = 27 − 8 = 19 cm3

95 Andrés tiene que llenar un depósito con un grifo que vierte 15 L de agua por minuto.

a) Si el deposito tiene forma de prisma de base hexagonal de 1 m de radio y 2 m de altura, ¿qué volumen tiene?

b) ¿Cuánto tardará en llenarse?

a) Calculamos la apotema de la base: ap2 + 0,52 = 12 → ap = 0,86 m

Calculamos el área de la base: AB = (6 ⋅1) ⋅0,86

2 = 2,58 m2

Hallamos el volumen del prisma: Vprisma = 2,58 ⋅ 2 = 5,16 m3

b) 5,16 m3 = 5 160 dm3 = 5 160 L 5 160 : 15 = 344 min

Tardará en llenarse 344 min.



Matemáticas vivas. Envases


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, los envases, en la que intervienen los volúmenes de cuerpos geométricos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Argumenta, Resuelve o Utiliza el lenguaje matemático.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson.

Los alumnos investigarán sobre la forma que tenían antiguamente los envases de lácteos y calcularán las dimensiones que debería tener un tetraedro cuya capacidad sea de 1 L.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos formarán grupos de 4 personas. Cada alumno pensará la respuesta durante unos minutos y formulará su respuesta junto con un compañero de su grupo. Las parejas contrastarán sus respuestas dentro del equipo y consensuarán una respuesta final. El profesor pedirá a un miembro de cada equipo que explique la respuesta del grupo.

Soluciones de las actividades

Ya sea en supermercados, en perfumerías o en cualquier tipo de establecimiento, el envase o embalaje es lo primero que nos llama la atención. Estos envases son cuerpos geométricos con un volumen y una superficie concretas.

Habitualmente, los fabricantes de productos de primera necesidad buscan el envase que tenga un mayor volumen con una menor superficie. Sin embargo, esto no ocurre, por ejemplo, con los perfumes; aquí, los fabricantes se afanan por encontrar un envase de diseño atractivo sin tener en cuenta la relación entre volumen y superficie.

12 MATEMÁTICAS VIVAS 12Envases

268 269

RELACIONA

Una empresa cosmética comercializa un perfume en dos frascos distintos: uno tiene forma de esfera, y otro, forma de cono. Ambos son empaquetados en cajas con forma cúbica de 12 cm de arista.

a. Calcula el volumen de la caja donde se empaquetan los perfumes.

b. Calcula el volumen del frasco con forma de esfera y el volumen del frasco con forma de cono.

RESUELVE

c. Copia y completa la tabla que registra el porcentaje del cubo ocupado por cada recipiente.

Esfera Cono

Volumen O O

Porcentaje O O

3

COMPRENDE

En el tetrabrik de la fotografía cabe 1 L de líquido.

a. Calcula la superficie mínima necesaria para construir el tetrabrik.

b. ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener este envase?

PIENSA Y RAZONA

Un bote de perfume tiene la siguiente forma, con las medidas que aparecen en el dibujo.

a. Calcula la superficie mínima necesaria para construir este envase de perfume.

b. ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener el envase?

ARGUMENTA

1

2

Ya sea en supermercados, en perfumerías o en cualquier tipo de establecimiento, el envase o embalaje es lo primero que nos llama la atención. Estos envases son cuerpos geométricos con un volumen y una superficie concretas.

Habitualmente, los fabricantes de productos de primera necesidad buscan el envase que tenga un mayor volumen con una menor superficie. Sin embargo, esto no ocurre, por ejemplo, con los perfumes; aquí, los fabricantes se afanan por encontrar un envase de diseño atractivo sin tener en cuenta la relación entre volumen y superficie.

17 cm

15 c

m

8 cm

Una empresa conservera va a comercializar atún en latas y presenta un dossier con las medidas de los envases propuestos. Las dimensiones de cada lata van a ser de 4 cm de alto y 8 cm de diámetro, con un peso neto de 210 g.

4 cm8 cm

Las latas se guardarán en una cajas de 35 cm de largo, 26 cm de ancho y 16 cm de alto.

16 cm

26 cm

26 cm

35 cm 35 cm

a. ¿Cuántas latas de atún caben en cada caja? Explica por qué.

b. ¿Qué porcentaje de volumen queda libre en cada caja?

Una empresa elabora cajas con forma de prisma con altura y área de la base fijas. El cliente tiene que indicar el número de lados del polígono que forma la base.

a. Un cliente ha solicitado un presupuesto para construir una caja con forma de prisma regular de 12 cm de altura y una base de 20 cm2 de área. Copia y completa la tabla siguiente.

Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono

Lado de la base 6,8 cm 4,5 cm 3,4 cm 2,8 cm 2,3 cm

Volumen O O O O O

Área total O O O O O

b. ¿Cuál es el poliedro que tiene una mejor relación volumen-área total utilizada?

c. Si mantenemos las condiciones de área de la base y altura fijas, ¿cuál es el cuerpo geométrico que tiene el mismo volumen y una menor área utilizada?el mismo volumen y una menor área utilizada?

PIENSA Y RAZONA

4

ARGUMENTA

5

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

REFLEXIONA

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

Los primeros envases de lácteos eran, hace hoy mucho tiempo, tetraedros regulares; sin embargo, dejaron de fabricarse a favor de los actuales en forma de primas de bases cuadradas o rectangulares.

❚ Investigad acerca de por qué dejaron de fabricarse.

❚ ¿Cuál debería ser la dimensión de su arista para que su volumen fuese de 1 L? Explicad vuestra respuesta.

9 cm

19,5 cm

6 cm

419



Comprende1 En el tetrabrik de la fotografía cabe 1 L de líquido.

a) Calcula la superficie mínima necesaria para construir el tetrabrik.

b) ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener este envase?

a) A = AL + 2 ⋅ AB = 2 ⋅ (6 + 9) ⋅ 19,5 + 2 ⋅ (6 ⋅ 9) = 585 + 108 = 693 cm2

b) V = AB ⋅ h = (6 ⋅ 9) ⋅ 19,5 cm3 = 1 053 cm3

2 Un bote de perfume tiene la siguiente forma, con las medidas que aparecen en el dibujo.

a) Calcula la superficie mínima necesaria para construir este envase de perfume.

b) ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener el envase?

a) A = AL + AB = 3,14 ⋅ 8 ⋅ 17 + 3,14 ⋅ 82 = 427,04 + 200,96 = 628 cm2

b) V =AB ⋅h

3=

3,14 ⋅82( ) ⋅15

3 = 1 004,8 cm3

Relaciona3 Una empresa cosmética comercializa un perfume en dos frascos distintos: uno tiene forma de esfera, y otro, forma de

cono. Ambos son empaquetados en cajas con forma cúbica de 12 cm de arista.

a) Calcula el volumen de la caja donde se empaquetan los perfumes.

b) Calcula el volumen del frasco con forma de esfera y el volumen del frasco con forma de cono.

c) Copia y completa la tabla que registra el porcentaje del cubo ocupado por cada recipiente.

Esfera Cono

Volumen O O

Porcentaje O O

a) V = 123 = 1 728 cm3

b) Vesfera = 4

3⋅3,14 ⋅63 = 904,32 cm3 Vcono =

3,14 ⋅62 ⋅6

3 = 226,08 cm3

c) Esfera Cono

Volumen 904,32 226,08

Porcentaje904,32

1728= 0,52 → 52%

226,08

1728= 0,13 → 13%

Reflexiona4 Una empresa conservera va a comercializar atún en latas y presenta un dossier con las medidas de los envases propuestos.

Las dimensiones de cada lata van a ser de 4 cm de alto y 8 cm de diámetro, con un peso neto de 210 g.

Las latas se guardarán en unas cajas de 35 cm de largo, 26 cm de ancho y 16 cm de alto.

4 cm8 cm

16 cm

26 cm

26 cm

35 cm 35 cm

9 cm

19,5 cm

6 cm

17 cm

15 c

m

8 cm



a) ¿Cuántas latas de atún caben en cada caja? Explica por qué.

b) ¿Qué porcentaje de volumen queda libre en cada caja?

a) Dividimos las dimensiones entre las longitudes de la lata.

Largo → 35 : 8 = 4 latas Ancho → 26 : 8 = 3 latas Alto → 16 : 4 = 4 latas

4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 48 latas

b) Calculamos el volumen de la caja: V = 35 ⋅ 26 ⋅ 16 = 14 560 cm3

Calculamos el volumen de las 48 latas: V = 48 ⋅ (3,14 ⋅ 42) ⋅ 4 = 9 646,08 cm3

El porcentaje libre es: 9646,08

14560= 0,66 → 34%

5 Una empresa elabora cajas con forma de prisma con altura y área de la base fijas. El cliente tiene que indicar el número de lados del polígono que forma la base.

a) Un cliente ha solicitado un presupuesto para construir una caja en forma de prisma regular de 12 cm de altura y una base de 20 cm2 de área. Copia y completa la tabla siguiente.

Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono


Volumen O O O O O

Área O O O O O

b) ¿Cuál es el poliedro que tiene una mejor relación volumen-área utilizada?

c) Si mantenemos las condiciones de área de la base y altura fijas, ¿cuál es el cuerpo geométrico que tiene el mismo volumen y una menor área utilizada?

a) Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono


Volumen 240 cm3 240 cm3 240 cm3 240 cm3 240 cm3

Área 3 ⋅ 6,8 ⋅ 12 + 40 = = 284,8 cm2

4 ⋅ 4,5 ⋅ 12 + 40 == 256 cm2

5 ⋅ 3,4 ⋅ 12 + 40 == 244 cm2

6 ⋅ 2,8 ⋅ 12 + 40 == 241,6 cm2

7 ⋅ 2,3 ⋅ 12 + 40 == 233,2 cm2

b) El heptágono

c) El cilindro

Trabajo cooperativo

TAREALos primeros envases de lácteos eran, hace hoy mucho tiempo, tetraedros regulares; sin embargo, dejaron de fabricarse a favor de los actuales en forma de primas de bases cuadradas o rectangulares.

❚❚ Investigad acerca de por qué dejaron de fabricarse.

❚❚ ¿Cuál debería ser la dimensión de su arista para que su volumen fuese de 1 L? Explicad vuestra respuesta.

La fórmula del volumen del tetraedro es: V =2

12a3 → 1 =

2

12a3 → a3 =

12

2= 8,49 → a = 2,04 dm = 20,4 cm

421



270


La mayoría de los monumentos, piezas y fi guras que nos encontramos a nuestros alrededor están formados por composición de diferentes cuerpos geométricos. El volumen de estos cuerpos geométricos se calcula sumando o restando el volumen de cada uno de los cuerpos que lo componen.

Por ejemplo, la siguiente pieza está formada por un cilindro al que se le ha añadido una semiesfera.

15 cm

6 cm

15 cm

6 cm

+=

Para calcular su volumen sumamos el de ambos cuerpos geométricos.

VPIEZA = VSEMIESFERA + VCILINDRO =

=1

2⋅

4

3⋅ π ⋅ r3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + π ⋅ r2( ) ⋅h =

1

2

4

3⋅3,14 ⋅63

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + 3,14 ⋅62( ) ⋅15 =

= 904,32 + 1 695,6 = 2 599,92 cm3

AVANZA Volúmenes de cuerpos compuestos

A1. Determina el volumen de estas fi guras.

a) b)

7 cm

12 c

m

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

A2. Halla el volumen de las siguientes fi guras.

a) b)

3 cm

9 m

7 cm7 cm

14 cm

15 cm

GEOMETRÍA EN EL ARTE Cúpulas geodésicas

En arquitectura, la construcción de esferas resulta muy complicada; sin embargo, muchas veces se superan las dificultades mediante la realización de cúpulas geodésicas.

Una cúpula geodésica es una estructura formada por triángulos que componen una superficie inscrita en una semiesfera. Hoy en día, las podemos observar en edificios y construcciones modernas, como el Centro Epcot de Disney World, en Orlando.

G1. ¿Cuál es, aproximadamente, el volumen de la cúpula del centro Epcot si su diámetro es de 50,3 m?

G2. Encuentra otras construcciones que utilicen cúpulas geodésicas.


En la sección Avanza de esta unidad se trabaja, al igual que en la unidad anterior, los cuerpos compuestos. En este caso, el cálculo de su volumen.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Determina el volumen de estas figuras.

a) 7 cm

12 c

m

b)

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

a) Es el volumen de un cono más media esfera.

V =3,14 ⋅3,52 ⋅12

3+

1

2

4

3⋅3,14 ⋅3,53

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 243,61 cm3

b) Es el volumen de un cubo más el de una pirámide.

V = 53 +1

3⋅52 ⋅5 = 166,67 cm3

A2. Determina el volumen de las siguientes figuras.

a) 3 cm

9 m

7 cm

b)

7 cm

14 cm

15 cm

a) V = 3,14 ⋅ 3,52 ⋅ 9 − 3,14 ⋅ 1,52 ⋅ 9 = 346,19 − 63,59 = 282,6 cm3

b) V = 3,14 ⋅7,5 2 ⋅14−1

3⋅3,14 ⋅7,52 ⋅7 = 2 472,75 − 412,13 = 2 060,62 cm3

Geometría en el arte. Cúpulas geodésicasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la presencia de la geometría en el arte. En este caso, las cúpulas geodésicas que aparecen distribuidas por todo el planeta. En el texto aparece la espectacular cúpula del Centro Epcot y se les propone a los alumnos que investiguen sobre este tipo de estructuras y su presencia en la arquitectura.


G1. ¿Cuál es, aproximadamente, el volumen de la cúpula del centro Epcot si su diámetro es de 50,3 m?

V =4

3⋅3,14 ⋅50,33 = 532 810 m3

G2. Encuentra otras construcciones que utilicen cúpulas geodésicas.

Respuesta abierta.

Avanza. Volúmenes de cuerpos compuestos



1. Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de lado 5 cm y altura 1,2 dm.

Expresamos la altura en centímetros: 1,2 dm = 12 cm

Por tanto, el volumen del prisma de base cuadrada es:

V = 52 ⋅ 12 = 1 500 cm3

2. Halla el volumen de una pirámide de base rectangular de lados 5 cm y 4 cm, y altura 15 cm.

Calculamos el área de la base: Abase = 5 ⋅ 4 = 20 cm2

Por tanto, el volumen de la pirámide de base rectangular es:

V =20 ⋅15

3= 100 cm3

3. Javier guarda el azúcar en un recipiente en forma de cilindro de diámetro 12 cm y altura 15 cm. ¿Qué volumen máximo de azúcar puede guardar?

Calculamos el área de la base: Abase = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2

Por tanto, el volumen del cilindro es:

V = 113,04 ⋅ 15 = 1695,6 cm3

4. Calcula el volumen de un cono de 100 mm del altura y diámetro de la base 1,5 dm.

Expresamos todas las medidas en las mismas unidades.

100 mm = 10 cm

1,5 dm = 15 cm

Calculamos el área de la base: Abase = 3,14 ⋅ 7,52 = 176,63 cm2

Por tanto, el volumen del cono es:

V =176,63 ⋅10

3= 588,77 cm3

5. Una esfera maciza de madera tiene diámetro 13 cm. ¿Qué volumen de madera tiene?

La esfera tiene un radio de 6,5 cm.

Por tanto, el volumen de la esfera es:

V =4

3⋅3,14 ⋅6,53 = 1149,76 cm3

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

423



1. Calcula el volumen de un prisma de base hexagonal de lado 7 cm y altura 1,4 dm.

Primero calculamos la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras.

ap2 + 3,52 = 72 → ap

= 36,75 = 6,06 cm

Calculamos el área de la base: Abase =(6 ⋅7) ⋅6,06

2= 127,26 cm2

Por tanto, el volumen del prisma es:

V =127,26 ⋅14

2= 890,82 cm3

2. A un cono de altura 6 cm le cortamos a una altura de 4 cm de la base y nos queda un tronco de cono con radio de las bases 2 cm y 6 cm. Halla el volumen del tronco de cono.

Cono grande: Abase = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2 Vcono grande =113,04 ⋅6

3= 226,08 cm3

Cono pequeño: Abase = 3,14 ⋅ 22 = 12,56 cm2 Vcono pequeño =12,56 ⋅2

3= 8,37 cm3

Por tanto, el volumen del tronco de cono es:

V = Vcono grande − Vcono pequeño = 226,08 − 8,37 = 217,71 cm3

3. Un tubo de 5 m de longitud tiene un radio de 40 cm y un grosor de 5 cm. Calcula el volumen de material necesario para su construcción.

Expresamos la longitud del cilindro en centímetros: 5 m = 500 cm

Cilindro exterior: Abase = 3,14 ⋅ 402 = 5 024 cm2 Vcilindro exterior = 5 024 ⋅ 500 = 2 512 000 cm3

Cilindro interior: Abase = 3,14 ⋅ 352 = 3 846 cm2 Vcilindro interior = 3 846 ⋅ 500 = 1 923 000 cm3

Por tanto, el volumen del tubo es:

V = Vcilindro exterior − Vcilindro interior = 2 512 000 − 1 923 000 = 589 000 cm3

4. Calcula el volumen de un pirámide de base cuadrada de lado 10 cm y apotema de la pirámide 13 cm.

Calculamos la altura de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por la mitad de la base, la altura de la pirámide y la apotema de la pirámide:

h2 + 52 = 132 → h = 144 = 12 cm

Calculamos el área de la base: Abase = 102 = 100 cm2

Por tanto, el volumen del prisma es:

V =100 ⋅12

3= 400 cm3

5. Halla el volumen de un esfera que tiene una superficie de 314 cm2.

Calculamos el radio de la esfera con ayuda del dato de la medida de la superficie.

314 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 → r = 5 cm

Por tanto, el volumen es:

V =4

3⋅3,14 ⋅53 = 523,33 cm3

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

12 vmen de ces emtics 12 volumen de cuerpos … · largo y 5 m de profundidad, necesitamos calcular...

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