12 carlos ochoa
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Sistemas Dinamicos Difusos
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino
Proyecto Curricular de Matematicas
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Semillero LOTO
25 de enero de 2013
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 1 / 1
Parte I
Desde La Logica
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 2 / 1
Algo de Historia
Ano 1965, Lotfi A. Zadeh: Primeras ideas de teorıa de conjuntos difusos,
Objetivo: Encontrar en las matematicas modelos apropiados para el
estudio de problemas complejos de control que se presentan en la teorıa de
la informacion;
Resultado: Se supero la rigidez de la teorıa clasica de conjuntos y
clasificando objetos de un universo conocido que responden a una
determinada propiedad de manera que no solo la verifican o no, sino que la
pueden verificar parcialmente.
Consecuencias: Estrecha relacion entre la teorıa de los conjuntos difusos
y la logica multi-valuada.
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Algo de Historia
Ano 1965, Lotfi A. Zadeh: Primeras ideas de teorıa de conjuntos difusos,
Objetivo: Encontrar en las matematicas modelos apropiados para el
estudio de problemas complejos de control que se presentan en la teorıa de
la informacion;
Resultado: Se supero la rigidez de la teorıa clasica de conjuntos y
clasificando objetos de un universo conocido que responden a una
determinada propiedad de manera que no solo la verifican o no, sino que la
pueden verificar parcialmente.
Consecuencias: Estrecha relacion entre la teorıa de los conjuntos difusos
y la logica multi-valuada.
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Algo de Historia
Ano 1965, Lotfi A. Zadeh: Primeras ideas de teorıa de conjuntos difusos,
Objetivo: Encontrar en las matematicas modelos apropiados para el
estudio de problemas complejos de control que se presentan en la teorıa de
la informacion;
Resultado: Se supero la rigidez de la teorıa clasica de conjuntos y
clasificando objetos de un universo conocido que responden a una
determinada propiedad de manera que no solo la verifican o no, sino que la
pueden verificar parcialmente.
Consecuencias: Estrecha relacion entre la teorıa de los conjuntos difusos
y la logica multi-valuada.
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Algo de Historia
Ano 1965, Lotfi A. Zadeh: Primeras ideas de teorıa de conjuntos difusos,
Objetivo: Encontrar en las matematicas modelos apropiados para el
estudio de problemas complejos de control que se presentan en la teorıa de
la informacion;
Resultado: Se supero la rigidez de la teorıa clasica de conjuntos y
clasificando objetos de un universo conocido que responden a una
determinada propiedad de manera que no solo la verifican o no, sino que la
pueden verificar parcialmente.
Consecuencias: Estrecha relacion entre la teorıa de los conjuntos difusos
y la logica multi-valuada.
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Desde la logica clasica
Definicion
Principio de Bivalencia: Cada proposicion tiene exactamente uno de los
dos valores de verdad: ⊥ (falso) o > (verdadero) que usualmente se
codifican con 0 y 1 respectivamente.
Definicion
Principio de Composicion, el valor de verdad de cada formula bien formada
compuesta es funcion del valor de verdad de sus componentes.
Conjunto de valores de verdad: {0, 1}
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Desde la logica clasica
Definicion
Principio de Bivalencia: Cada proposicion tiene exactamente uno de los
dos valores de verdad: ⊥ (falso) o > (verdadero) que usualmente se
codifican con 0 y 1 respectivamente.
Definicion
Principio de Composicion, el valor de verdad de cada formula bien formada
compuesta es funcion del valor de verdad de sus componentes.
Conjunto de valores de verdad: {0, 1}
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Desde la logica clasica
Definicion
Principio de Bivalencia: Cada proposicion tiene exactamente uno de los
dos valores de verdad: ⊥ (falso) o > (verdadero) que usualmente se
codifican con 0 y 1 respectivamente.
Definicion
Principio de Composicion, el valor de verdad de cada formula bien formada
compuesta es funcion del valor de verdad de sus componentes.
Conjunto de valores de verdad: {0, 1}
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Los conectivos clasicos son definidos a partir de la conjuncion, disyuncion
y negacion i. e. se considera el junto con las funciones
mın,max y 1− . . .
La estructura de valores de verdad puede ser un algebra Booleana
B = {B,∧,∨,c , 0, 1},
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Los conectivos clasicos son definidos a partir de la conjuncion, disyuncion
y negacion i. e. se considera el junto con las funciones
mın,max y 1− . . .
La estructura de valores de verdad puede ser un algebra Booleana
B = {B,∧,∨,c , 0, 1},
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Las funciones de verdad para conjuncion, disjuncion y negacion son
escogidos de acuerdo a
∧,∨,c
respectivamente y
Validez de una formula bien formada H con respecto a una interpretacion
dada significa que H tiene el valor 1 de B en esa interpretacion.
Que Cambia. La logica multi-valuada solamente cambia el principio de
bivalencia;
Se asume que
{0, 1} ⊆ WS . (1)
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Las funciones de verdad para conjuncion, disjuncion y negacion son
escogidos de acuerdo a
∧,∨,c
respectivamente y
Validez de una formula bien formada H con respecto a una interpretacion
dada significa que H tiene el valor 1 de B en esa interpretacion.
Que Cambia. La logica multi-valuada solamente cambia el principio de
bivalencia;
Se asume que
{0, 1} ⊆ WS . (1)
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Las funciones de verdad para conjuncion, disjuncion y negacion son
escogidos de acuerdo a
∧,∨,c
respectivamente y
Validez de una formula bien formada H con respecto a una interpretacion
dada significa que H tiene el valor 1 de B en esa interpretacion.
Que Cambia. La logica multi-valuada solamente cambia el principio de
bivalencia;
Se asume que
{0, 1} ⊆ WS . (1)
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Ejemplo (1.2)
De los Grados de Verdad
No hay restricciones para el conjunto WS de grados de verdad de S ; es
usual tener ademas de (??) la estructura
WS ⊆ [0, 1] ⊆ R, (2)
en este ambiente, algunos ejemplos:
W0 =: { x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ 1} o, (3)
W∞ =: { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}, (4)
Wn =: { k
n − 1| 0 ≤ k ≤ n − 1}, (5)
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Conjuncion
(Lukasiewicz y Godel), una conjuncion es la operacion binaria
et1(u, v) =: mın{u, v}, (6)
Ejemplo
la tabla de verdad correspondiente para W4 es
et1 0 13
23 1
0 0 0 0 013 0 1
313
13
23 0 1
323
23
1 0 13
23 1
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Conjuncion
(Lukasiewicz y Godel), una conjuncion es la operacion binaria
et1(u, v) =: mın{u, v}, (6)
Ejemplo
la tabla de verdad correspondiente para W4 es
et1 0 13
23 1
0 0 0 0 013 0 1
313
13
23 0 1
323
23
1 0 13
23 1
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otro ejemplo procedente de Lukasiewicz es
et2(u, v) =: max{0, u + v − 1}, (7)
Ejemplo
La tabla de verdad correspondiente para W4 es
et2 0 13
23 1
0 0 0 0 013 0 0 0 1
323 0 0 1
323
1 0 13
23 1
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otro ejemplo procedente de Lukasiewicz es
et2(u, v) =: max{0, u + v − 1}, (7)
Ejemplo
La tabla de verdad correspondiente para W4 es
et2 0 13
23 1
0 0 0 0 013 0 0 0 1
323 0 0 1
323
1 0 13
23 1
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Ejemplo
En tiempos recientes se ha considerado la conjuncion
et3(u, v) =: u · v , (8)
Definicion
Una Operacion binaria t en [0, 1] es una t-norma si
T1. t es asociativa y conmutativa,
T2. t es no creciente en cada argumento,
T3. 1 es elemento neutro para t.
Para todo x ∈ [0, 1], t(x , 0) = 0 pues t(x , 0) = t(0, x) ≤ t(0, 1) = 0.
([0, 1], t) es un monoide.
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Ejemplo
En tiempos recientes se ha considerado la conjuncion
et3(u, v) =: u · v , (8)
Definicion
Una Operacion binaria t en [0, 1] es una t-norma si
T1. t es asociativa y conmutativa,
T2. t es no creciente en cada argumento,
T3. 1 es elemento neutro para t.
Para todo x ∈ [0, 1], t(x , 0) = 0 pues t(x , 0) = t(0, x) ≤ t(0, 1) = 0.
([0, 1], t) es un monoide.
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Conectivos Negacion
Godel y Lukasiewicz proponen:
non0(x) =
1 si x = 0
0 si x 6= 0,y non1(x) = 1− x ; (9)
Post propone non2 para Wm:
non2(x) =
1 si x = 0
x − 1m−1 si x 6= 0
(10)
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Definicion
Una funcion n : [0, 1]→ [0, 1] es una negacion si es no creciente y
n(0) = 1 y n(1) = 0. Una negacion es etricta si es estrictamente
decreciente y continua, es fuerte si es estricta y es una involucion, es decir,
satisface n(n(x)) = x para todo x ∈ [0, 1].
Ası, non2 no es una negacion para m > 2, non0 es una negacion y non1 es
una negacion fuerte. Otro ejemplo de negacion no estricta es
non∗(x) =
1 si x < 1
0 si x = 1,(11)
toda funcion negacion n satisface
non0 ≤ n ≤ non∗
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Definicion
Una funcion n : [0, 1]→ [0, 1] es una negacion si es no creciente y
n(0) = 1 y n(1) = 0. Una negacion es etricta si es estrictamente
decreciente y continua, es fuerte si es estricta y es una involucion, es decir,
satisface n(n(x)) = x para todo x ∈ [0, 1].
Ası, non2 no es una negacion para m > 2, non0 es una negacion y non1 es
una negacion fuerte. Otro ejemplo de negacion no estricta es
non∗(x) =
1 si x < 1
0 si x = 1,(11)
toda funcion negacion n satisface
non0 ≤ n ≤ non∗
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Un ejemplo de una negacion estricta que no es fuerte es
non3(x) = 1− x2, (12)
un surtidor de negaciones fuertes lo constituye la familia de funciones
nλ(x) =1− x
1 + λx(13)
donde λ > −1.
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Un ejemplo de una negacion estricta que no es fuerte es
non3(x) = 1− x2, (12)
un surtidor de negaciones fuertes lo constituye la familia de funciones
nλ(x) =1− x
1 + λx(13)
donde λ > −1.
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Teorema
Sean t una t-norma continua y n una negacion estricta, para todo
x ∈ [0, 1] se tiene que t(x ,n(x)) = 0 si y solo si existe un automorfismo φ
del intervalo [0, 1] tal que para todo x , y ∈ [0, 1] es
t(x , y) = φ−1(et2(φ(x), φ(y))) y
n(x) ≤ φ−1(1− φ(x)). (14)
Una situacion tıpica la presentan et2 y non1.
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Teorema
Sean t una t-norma continua y n una negacion estricta, para todo
x ∈ [0, 1] se tiene que t(x ,n(x)) = 0 si y solo si existe un automorfismo φ
del intervalo [0, 1] tal que para todo x , y ∈ [0, 1] es
t(x , y) = φ−1(et2(φ(x), φ(y))) y
n(x) ≤ φ−1(1− φ(x)). (14)
Una situacion tıpica la presentan et2 y non1.
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Conectivos Disyuncion
Una operacion binaria s en el intervalo [0, 1] es una t-conorma si
S1 Es asociativa y conmutativa,
S2 Es no decreciente en cada argumento,
S3 0 es elememto neutro, es decir; s(x , 0) = x para todo x ∈ [0, 1].
Es claro que para todo x ∈ [0, 1], s(x , 1) = 1 pues
s(x , 1) = s(1, x) ≥ s(0, 1) = 1.
El intervalo [0, 1] con la operacion s es un monoide.
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Conectivos Disyuncion
Una operacion binaria s en el intervalo [0, 1] es una t-conorma si
S1 Es asociativa y conmutativa,
S2 Es no decreciente en cada argumento,
S3 0 es elememto neutro, es decir; s(x , 0) = x para todo x ∈ [0, 1].
Es claro que para todo x ∈ [0, 1], s(x , 1) = 1 pues
s(x , 1) = s(1, x) ≥ s(0, 1) = 1.
El intervalo [0, 1] con la operacion s es un monoide.
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Teorema
Si n es una negacion fuerte y s y t son dos operaciones binarias
relacionadas por
s(x , y) = n(t(n(x),n(y))), ∀x , y ∈ [0, 1],
entonces t es una t-norma y s es una t-conorma.
Es usual que se considere la negacion fuerte non1; ası, para una t-norma t
se tiene la t-conorma:
st(x , y) = 1− t(1− x , 1− y), ∀x , y ∈ [0, 1], (15)
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Teorema
Si n es una negacion fuerte y s y t son dos operaciones binarias
relacionadas por
s(x , y) = n(t(n(x),n(y))), ∀x , y ∈ [0, 1],
entonces t es una t-norma y s es una t-conorma.
Es usual que se considere la negacion fuerte non1; ası, para una t-norma t
se tiene la t-conorma:
st(x , y) = 1− t(1− x , 1− y), ∀x , y ∈ [0, 1], (15)
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Se obtener las t-conormas mas populares
vel1(x , y) = max{x , y}, (16)
vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)
vel3(x , y) = x + y − x · y (18)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 17 / 1
Se obtener las t-conormas mas populares
vel1(x , y) = max{x , y}, (16)
vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)
vel3(x , y) = x + y − x · y (18)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 17 / 1
Se obtener las t-conormas mas populares
vel1(x , y) = max{x , y}, (16)
vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)
vel3(x , y) = x + y − x · y (18)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 17 / 1
Se obtener las t-conormas mas populares
vel1(x , y) = max{x , y}, (16)
vel2(x , y) = mın{1, x + y} y (17)
vel3(x , y) = x + y − x · y (18)
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Conectivos Implicacion
De Lukasiewicz
seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)
ahora de Godel,
seq1(x , y) =
1 si x ≤ y ,
y en otro caso.(20)
Como es de esperarse,
seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)
= non1(et2(x , non1(y))), (22)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 18 / 1
Conectivos Implicacion
De Lukasiewicz
seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)
ahora de Godel,
seq1(x , y) =
1 si x ≤ y ,
y en otro caso.(20)
Como es de esperarse,
seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)
= non1(et2(x , non1(y))), (22)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 18 / 1
Conectivos Implicacion
De Lukasiewicz
seq2(x , y) = mın{1, 1− x + y}, (19)
ahora de Godel,
seq1(x , y) =
1 si x ≤ y ,
y en otro caso.(20)
Como es de esperarse,
seq2(x , y) = vel2(non1(x), y) (21)
= non1(et2(x , non1(y))), (22)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 18 / 1
vel2 la disyuncion (aritmetica) de Lukasiewicz
et2 la conjuncion (aritmetica) de Lukasiewicz;
. . . pero en lo que concierne a seq1 . . . ???
seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)
la situacion expuesta en (??) es equivalente a
w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)
de donde se dice que et1, seq1 forman un par adjunto.
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vel2 la disyuncion (aritmetica) de Lukasiewicz
et2 la conjuncion (aritmetica) de Lukasiewicz;
. . . pero en lo que concierne a seq1 . . . ???
seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)
la situacion expuesta en (??) es equivalente a
w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)
de donde se dice que et1, seq1 forman un par adjunto.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 19 / 1
vel2 la disyuncion (aritmetica) de Lukasiewicz
et2 la conjuncion (aritmetica) de Lukasiewicz;
. . . pero en lo que concierne a seq1 . . . ???
seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)
la situacion expuesta en (??) es equivalente a
w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)
de donde se dice que et1, seq1 forman un par adjunto.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 19 / 1
vel2 la disyuncion (aritmetica) de Lukasiewicz
et2 la conjuncion (aritmetica) de Lukasiewicz;
. . . pero en lo que concierne a seq1 . . . ???
seq1(x , y) = sup{w | et1(x ,w) ≤ y} (23)
la situacion expuesta en (??) es equivalente a
w ≤ seq1(x , y)⇔ et1(x ,w) ≤ y , (24)
de donde se dice que et1, seq1 forman un par adjunto.
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GL-monoides
Generalizando
([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;
(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es
parcialmente ordenado,
Para todo A ⊂ L,∨
A y∧
A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =
∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧
A)∨ α =
∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)
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GL-monoides
Generalizando
([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;
(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es
parcialmente ordenado,
Para todo A ⊂ L,∨
A y∧
A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =
∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧
A)∨ α =
∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 20 / 1
GL-monoides
Generalizando
([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;
(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es
parcialmente ordenado,
Para todo A ⊂ L,∨
A y∧
A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =
∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧
A)∨ α =
∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 20 / 1
GL-monoides
Generalizando
([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;
(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es
parcialmente ordenado,
Para todo A ⊂ L,∨
A y∧
A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =
∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧
A)∨ α =
∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)
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GL-monoides
Generalizando
([0, 1], et1, vel1), enriquecido con (et1, seq1) . . . ;
(L,6) un retıculo infinitamente distributivo y completo, i. e. (L,6) es
parcialmente ordenado,
Para todo A ⊂ L,∨
A y∧
A estan definidos y para todo α ∈ L es(∨A)∧ α =
∨{a ∧ α | a ∈ A} y (25)(∧
A)∨ α =
∧{a ∨ α | a ∈ A}. (26)
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Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 21 / 1
Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
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Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 21 / 1
Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L, ∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
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Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
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Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 21 / 1
Definicion
Un GL−monoide es un retıculo completo enriquecido con una operacion
binaria ⊗ tal que la tripleta (L,6,⊗) satisface:
(1) ∀α, β, γ ∈ L α 6 β implica α⊗ γ 6 β ⊗ γ;
(2) ⊗ es conmutativa, i.e. ∀α, β ∈ L, α⊗ β = β ⊗ α,
(3) α⊗ (β ⊗ γ) = (α⊗ β)⊗ γ, ∀α, β, γ ∈ L;
(4) (L,6,⊗) es entero, i.e. α⊗> = α, ∀α ∈ L;
(5) α⊗⊥ = ⊥, ∀α ∈ L;
(6) α⊗ (∨
j βj) =∨
j(α⊗ βj), ∀α ∈ L,∀{βj : j ∈ J} ⊂ L;
(7) (L,6,⊗) is divisible, i.e. α 6 β implica la existencia de γ ∈ L tal
que α = β ⊗ γ.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 21 / 1
Todo GL−monoide es residuado, i.e. existe 7−→ en L que satisface:
α⊗ β 6 γ ⇐⇒ α 6 (β 7−→ γ) ∀α, β, γ ∈ L. (27)
La implicacion esta dada por:
α 7−→ β =∨{λ ∈ L | α⊗ λ 6 β}, (28)
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 22 / 1
Todo GL−monoide es residuado, i.e. existe 7−→ en L que satisface:
α⊗ β 6 γ ⇐⇒ α 6 (β 7−→ γ) ∀α, β, γ ∈ L. (27)
La implicacion esta dada por:
α 7−→ β =∨{λ ∈ L | α⊗ λ 6 β}, (28)
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Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 23 / 1
Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 23 / 1
Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 23 / 1
Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 23 / 1
Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 23 / 1
Otras propiedades
Teorema
Si L es un GL−monoide, entonces:
(i) α 7−→ β = > ⇐⇒ α 6 β;
(ii) α 7−→ (∧
i βi ) =∧
i (α 7−→ βi );
(iii) (∨
i αi ) 7−→ β =∧
i (αi 7−→ β);
(v) α⊗ (∧
i βi ) =∧
i (α⊗ βi );
(vi) (α 7−→ γ)⊗ (γ 7−→ β) 6 α 7−→ β;
(vii) α⊗ β 6 (α⊗ α) ∨ (β ⊗ β).
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Ejemplos importantes de GL-monoides son
Definicion
Un algebra de Heyting es un GL-monoide del tipo (L,6,∧,∨,∧), es
decir, en un algebra de Heyting ∧ = ⊗.
Definicion
Un GL-monoide es una MV -algebra si
(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)
Ası, en una MV -algebra existe una involucion c : L→ L que invierte el
orden y que se define de manera natural como
αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)
Presente la categorıa de los GL-monoides.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 24 / 1
Ejemplos importantes de GL-monoides son
Definicion
Un algebra de Heyting es un GL-monoide del tipo (L,6,∧,∨,∧), es
decir, en un algebra de Heyting ∧ = ⊗.
Definicion
Un GL-monoide es una MV -algebra si
(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)
Ası, en una MV -algebra existe una involucion c : L→ L que invierte el
orden y que se define de manera natural como
αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)
Presente la categorıa de los GL-monoides.
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Ejemplos importantes de GL-monoides son
Definicion
Un algebra de Heyting es un GL-monoide del tipo (L,6,∧,∨,∧), es
decir, en un algebra de Heyting ∧ = ⊗.
Definicion
Un GL-monoide es una MV -algebra si
(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)
Ası, en una MV -algebra existe una involucion c : L→ L que invierte el
orden y que se define de manera natural como
αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)
Presente la categorıa de los GL-monoides.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 24 / 1
Ejemplos importantes de GL-monoides son
Definicion
Un algebra de Heyting es un GL-monoide del tipo (L,6,∧,∨,∧), es
decir, en un algebra de Heyting ∧ = ⊗.
Definicion
Un GL-monoide es una MV -algebra si
(α 7−→ ⊥) 7−→ ⊥ = α ∀α ∈ L. (29)
Ası, en una MV -algebra existe una involucion c : L→ L que invierte el
orden y que se define de manera natural como
αc := α 7−→ ⊥ ∀α ∈ L. (30)
Presente la categorıa de los GL-monoides.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 24 / 1
Parte II
Conjuntos Difusos
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 25 / 1
De los Conjuntos Difusos
X 6= ∅ y L un GL-monoide, el conjunto de L-partes de X es
LX := {f | f : X → L}
LX hereda la estructura de GL-monoide;
1 f ≤ g sii f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ,
2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),
Los L-conjuntos 1X y 0X definidos por
1X (x) := > y 0X (x) := ⊥
para todo x ∈ X son el maximo y el mınimo en LX respectivamente.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 26 / 1
De los Conjuntos Difusos
X 6= ∅ y L un GL-monoide, el conjunto de L-partes de X es
LX := {f | f : X → L}
LX hereda la estructura de GL-monoide;
1 f ≤ g sii f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ,
2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),
Los L-conjuntos 1X y 0X definidos por
1X (x) := > y 0X (x) := ⊥
para todo x ∈ X son el maximo y el mınimo en LX respectivamente.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 26 / 1
De los Conjuntos Difusos
X 6= ∅ y L un GL-monoide, el conjunto de L-partes de X es
LX := {f | f : X → L}
LX hereda la estructura de GL-monoide;
1 f ≤ g sii f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ,
2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),
Los L-conjuntos 1X y 0X definidos por
1X (x) := > y 0X (x) := ⊥
para todo x ∈ X son el maximo y el mınimo en LX respectivamente.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 26 / 1
De los Conjuntos Difusos
X 6= ∅ y L un GL-monoide, el conjunto de L-partes de X es
LX := {f | f : X → L}
LX hereda la estructura de GL-monoide;
1 f ≤ g sii f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X ,
2 (f ⊗ g)(x) = f (x)⊗ g(x),
Los L-conjuntos 1X y 0X definidos por
1X (x) := > y 0X (x) := ⊥
para todo x ∈ X son el maximo y el mınimo en LX respectivamente.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 26 / 1
ademas, si X es finito, el cardinal de f es
|f | =∑x∈X
f (x) (31)
y el grado de contenencia de f en g es
S(f , g) =1
|f |(|f | −
∑x∈X
max{0, f (x)− g(x))
(32)
notese que la suma da una medida de aquellos elementos x en donde la
relacion f (x) ≤ g(x) no se satisface; tambien se tiene S(g , f ), se puede
pensar en el grado de coincidencia en [0, 1]-partes, tiene el problema de
evocar la estructura (R,+, ·), esto es, [0, 1] es visto como subconjunto de
los numeros reales.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 27 / 1
Parte III
Sistemas Dinamicos Difusos
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 28 / 1
Espacios Difusos Medibles
Sea X un conjunto no vacıo, I ≡ [0, 1]; para c ∈ I, se define la funcion
c ∈ IX que asigna el valor c a cada x ∈ X , esto es, se trata de la funcion
constante de valor c .
Definicion
Una σ-algebra difusa sobre X es una subfamilia M ⊆ IX que satisface:
A1. 1 ∈M.
A2. λ ∈M⇒ 1− λ ∈M; donde (1− λ) (x) = 1− λ (x) para todo
x ∈ X .
A3. Para toda sucesion {λi}∞i=1 de elementos en M,∨∞i=1 λi = supλi ∈M.
Si M es una σ-algebra difusa sobre X , al par (X ,M) se le denomina
Espacio Difuso Medible.Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 29 / 1
Los espacios difusos medibles se relacionan entre si tal como lo hacen
varias estructuras, esta manera de relacionarse es como sigue:
Definicion
Una transformacion T : (X ,M)→ (Y ,N) se dice Difusa Medible si, para
µ ∈ N,←T (µ) ≡ µ ◦ T ∈M, es decir
←T (N) ⊆M.
En otras palabras, T es difusa medible si el diagrama
X Y
I
-T
@@
@@Rµ◦T
?
µ
conmuta.
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 30 / 1
Teorema
Sea T : (X ,M)→ (Y ,N) una transformacion difusa medible, µ y µj con
j ∈ N conjuntos difusos en Y . Entonces:
1←T (c) = c
2 1−←T (µ) =
←T (1− µ)
3∨∞
i=1
(←T (µj)
)=←T (∨∞
i=1 (µj))
4∧∞
i=1
(←T (µj)
)=←T (∧∞
i=1 (µj))
5 Si {µj}∞j=1 es una sucesion creciente y lim µj = µ, entonces
lim←T (µj) =
←T (µ)
Ver Demostracion
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 31 / 1
Teorema
Sea T : (X ,M)→ (Y ,N) una transformacion difusa medible, µ y µj con
j ∈ N conjuntos difusos en Y . Entonces:
1←T (c) = c
2 1−←T (µ) =
←T (1− µ)
3∨∞
i=1
(←T (µj)
)=←T (∨∞
i=1 (µj))
4∧∞
i=1
(←T (µj)
)=←T (∧∞
i=1 (µj))
5 Si {µj}∞j=1 es una sucesion creciente y lim µj = µ, entonces
lim←T (µj) =
←T (µ)
Ver Demostracion
Carlos Orlando Ochoa Castillo y Adriana Quintero Palomino (Proyecto Curricular de Matematicas Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Semillero LOTO )Sistemas Dinamicos Difusos 25 de enero de 2013 31 / 1
Generacion de σ-algebras difusas mediante la imagen reciproca de las
transformaciones difusas medibles,
Corolario
Sean (X ,M), (Y ,N) espacios difuso medibles, T : X → Y una
transformacion difusa medible, entonces
←T (N) =
{←T (µ) : µ ∈ N
}es una σ-algebra difusa sobre X .
Ver demostracion
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Generacion de σ-algebras difusas mediante la imagen reciproca de las
transformaciones difusas medibles,
Corolario
Sean (X ,M), (Y ,N) espacios difuso medibles, T : X → Y una
transformacion difusa medible, entonces
←T (N) =
{←T (µ) : µ ∈ N
}es una σ-algebra difusa sobre X .
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Definicion
Sea (X ,M) un espacio difuso medible, se dice que m : M→ I es una
medida de probabilidad difusa si:
M1. m (1) = 1, m (0) = 0;
M2. Para λ, µ ∈M,
m (λ ∨ µ) + m (λ ∧ µ) = m (λ) + m (µ) ;
M3. Para cada sucesion {µj}∞j=1 en M tal que lim λj = λ,
m (λ) = sup m (λj).
La tripleta (X ,M,m) recibe el nombre de espacio de probabilidad difusa
medible.
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Definicion
Sea (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible, se dice que
φ : X → X es una transformacion que preserva medida difusa si para cada
λ ∈M se tiene que←φ (λ) = λ ◦ φ ∈M y m
(←φ (λ)
)= m (λ).
Es decir, si φ preserva medida difusa cuando
X X
I
-φ
@@
@@Rλ◦φ
?λ
A la cuarteta (X ,M,m, φ) se le denomina Sistema Dinamico Difuso
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Teorema
Sean (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible y φ : X → X
una transformacion difusa medible; si n : M→ I esta definida por
n (µ) = m
(←φ (µ)
), µ ∈M,
entonces n es una medida de probabilidad difusa sobre M,
Ver Demostracion
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Teorema
Sean (X ,M,m) un espacio de probabilidad difusa medible y φ : X → X
una transformacion difusa medible; si n : M→ I esta definida por
n (µ) = m
(←φ (µ)
), µ ∈M,
entonces n es una medida de probabilidad difusa sobre M,
Ver Demostracion
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Definicion
Sean Φ1 = (X ,M,m, φ), Φ2 = (Y ,N, n, ϕ) Sistemas Dinamicos Difusos.
Si existe ψ∗ : N→M una funcion biyectiva tal que, para µ ∈ N, se
satisface que:
m (ψ∗ (µ)) = n (µ)
m
(←φ (ψ∗ (µ))
)= m
(ψ∗(←ψ (µ)
))Se dice que Φ1 es equivalente a Φ2.
Teorema
La equivalencia entre Sistemas Dinamicos Difusos es una relacion de
equivalencia.
Ver demostracion
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Definicion
Sean Φ1 = (X ,M,m, φ), Φ2 = (Y ,N, n, ϕ) Sistemas Dinamicos Difusos.
Si existe ψ∗ : N→M una funcion biyectiva tal que, para µ ∈ N, se
satisface que:
m (ψ∗ (µ)) = n (µ)
m
(←φ (ψ∗ (µ))
)= m
(ψ∗(←ψ (µ)
))Se dice que Φ1 es equivalente a Φ2.
Teorema
La equivalencia entre Sistemas Dinamicos Difusos es una relacion de
equivalencia.
Ver demostracion
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Parte IV
Bibliografıa
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Topology and Measure Theory, Kluwer Academic Publisher, Boston,
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