11.hipotesis con una muestra

Tema

1111HIPÓTESIS CON

UNA SOLA MUESTRA

Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003

1. Utilizar datos provenientes de una muestra aleatoria para conocer el parámetro poblacional.

2. Comprender los dos tipos de errores posibles que se producen al probar una hipótesis.

3. Plantear pruebas de una cola y pruebas de dos colas.

4. Realizar el procedimiento para probar hipótesis.5. Usar con propiedad las distribuciones t ,Z y 2 para

probar hipótesis sobre medias, proporciones y varianzas de población.

Al finalizar el Tema 11, el participante será capaz de:

OBJETIVOS


1. Conceptos básicos

2. Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional

3. Prueba de hipótesis acerca de la proporción poblacional

4. Prueba de hipótesis acerca de la varianza poblacional

CONTENIDO


11.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Hipótesis planteada o nula. Hp ó H0

Es la suposición que el parámetro tome un determinado valor.

Ejemplo: La hipótesis nula es que la media de la población es igual a 200.

Ho : = 200

(A) Hipótesis: Suposición acerca del parámetro.


Hipótesis alternativa (Ha o H1) Es el complemento de la hipótesis nula. Se acepta cuando se rechaza la hipótesis nula.FormasSi Ho : = 200 Ha : 200Si Ho : 200 Ha : > 200Si Ho : 200 Ha : < 200

La condición “igual” siempre se considera en la hipótesis nula


Las siguientes afirmaciones son hipótesis estadísticas.

La media de vida de los peruanos es de 72 años.

La eficacia de dos medicamentos para curar el cáncer es similar.

Las notas de la el aula sigue un modelo normal de media de 12 y desviación estándar de 2.5

Una prueba de hipótesis permite aceptar o rechazar si determinadas afirmaciones son ciertas o falsas en función de los datos observados en una muestra.


El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro.

(B) Objetivo de la prueba de hipótesis.


(C) Nivel de significación ()

Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación.

-Z0 Z0

(1 -

Zona deAceptación


El nivel de confianza (1-), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.


EN LA POBLACIÓN ACEPTAR Hp RECHAZAR Hp

Hp es cierta Decisión correcta Error tipo I ó

Hp es falsa Error tipo II ó Decisión correcta

Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de aceptación de la Hp o de la Ha, puede incurrirse en error:

La muestra seleccionada conduce a

(D) Tipos de errores


Zona de Rechazo Hp

(1 -

(1 -

Poder de la pruebaHp o

Zona de aceptación Hp1

Ha o

Zona de rechazo

si Hp es cierta

o


Si la hipótesis planteada, Hp : 0 , es cierta, la zona de rechazo, , medirá la probabilidad de que se rechace dicha hipótesis siendo cierta, incurriendo en Error Tipo I o .

Supongamos que la hipótesis planteada es falsa, Hp: 0 , y que la alternante Ha: > 0 es verdadera, y si los resultados de la muestra nos conducen a aceptar la hipótesis planteada, estamos cometiendo el Error Tipo II ó


La magnitud del Error depende de la magnitud del Error y de la discrepancia entre 0 y 1

Se observa la existencia de una relación inversa entre la magnitud de los errores y : conforme aumenta, disminuye.


Esto obliga a establecer con cuidado el valor de para las pruebas estadísticas. Lo ideal sería establecer y . En la práctica se establece el nivel y para disminuir el Error se incrementa el número de observaciones en la muestra, pues así se acortan los limites de confianza respecto a la hipótesis planteada.


La meta de las pruebas estadísticas es rechazar la hipótesis planteada. En otras palabras, es deseable aumentar cuando ésta es verdadera, o sea, incrementar lo que se llama poder de la prueba (1- )

La aceptación de la hipótesis planteada debe interpretarse como que la información aleatoria de la muestra disponible no permite detectar la falsedad de esta hipótesis.


Hp : = 200

Ha : 200

a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad

E) Tipos de prueba

Ejemplo

-Z0 Z0

(1 -

Zona deAceptación


Hp : 200

Ha : < 200

Hp : 200Ha :> 200

b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con o

(1 - (1 -


11.2 Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional

Se afirma que el salario diario medio de los técnicos de una cierta zona minera es de S/.65,42, con una desviación estándar S/. 2,32. Una muestra de 144 técnicos que laboran en esa zona reciben un salario diario medio de 64,82 soles. ¿Puede considerarse este resultado como sustento para afirmar que técnicos de esa zona tienen un salario diario diferente de S/. 65,42 a un nivel de significación = 0,05 ?.

(A) Con varianzas conocidas (muestras grandes)Ejemplo:


1) Plantear las hipótesis:

Hp : = 65,42

Ha : 65,42

2) Seleccionar el nivel de significación: = 0.05

3) Elegir la prueba estadística:

Los supuestos son:• la población está normalmente distribuida.• la muestra ha sido seleccionada al azar.

c

-x

x

Procedimiento


Si { -1.96 Zc 1.96 } se acepta la Ho, en caso contrario se rechaza.

5) Cálculos: 10,3

14432,2

42,6582,64c

-Z0

-1.96

Z0

1,96

(1 -

4) Determinación de los criterios de decisión


(1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó ser significativa.

(2) La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis planteada.

(3) Por lo tanto los datos muestrales confirman que el promedio de salarios diarios de los técnicos de la zona de estudio es menor de S/.65,42.

6) Conclusiones


El administrador de un centro de salud desea saber si el tiempo medio invertido por los pacientes en la sala de espera es mayor que 20 minutos. Una muestra de 100 pacientes permanecieron, en promedio, 23 minutos en la sala de espera entre el registro y la atención por algún médico del centro de salud. La desviación estándar de la muestra fue de 10. Sea =0.05

EJEMPLO

: 20Ho : 20Ha

2.Definir la prueba estadística: Como n = 100, entonces se aplica PRUEBA Z

1. Plantear las hipótesis


4. Determinar el valor crítico: Como = 0,05 y es de una sola cola, entonces Z = 1.645

1,645

Criterios de decisión

Si prueba Z es mayor que 1,645, se rechaza Ho.

Si prueba Z es menor o igual que 1,645, se acepta Ho.

0

3. Seleccionar el nivel de significación = 0,05


5. Realizar el cálculo del estadístico Z

23 20 33

10 1100

x

xZ

s

6. Conclusiones

(A) Se rechaza la hipótesis planteada, se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó significativa

(B) Los datos disponibles como evidencia empírica, han permitido rechazar la hipótesis planteada.

(C) El tiempo que espera un paciente muy probablemente sea mayor a los 20 minutos.


EJEMPLO

Una encuesta en 64 laboratorios médicos reveló que el precio medio cobrado por realizar cierta prueba es de S/. 12.00 con una desviación estándar de S/. 6.00. ¿ Proveen estos datos la suficiente información para indicar que la media de la población es mayor que 10?. Sea = 0.01


EJEMPLO

Los siguientes datos son los consumos de oxígeno (en ml) durante la incubación de una muestra aleatoria de 15 suspensiones celulares: 14.0, 14.1, 14.5, 13.2, 11.2, 14.0, 14.1, 12.2, 11.1, 13.7, 13.2, 16.0, 12.8, 14.4, 12.9.

¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia, aun nivel de 0.05 de significación , de que la media de la población no es igual a 12 ml.?.


El administrador de una clínica quiere saber si la población que concurre a una clínica A tiene un ingreso medio familiar mayor al de la población que concurre a una clínica B. Los datos consisten en los ingresos familiares de 75 pacientes internados en la clínica A y 80 pacientes internados en la clínica B. Las medias de las muestra son S/ 6800 y S/ 5450 respectivamente, y varianzas de S/ 600 y S/ 500 respectivamente.

EJEMPLO


Un epidemiólogo desea comparar dos vacunas antirrábicas para averiguar si es posible concluir que existe diferencia en su efectividad. Las personas que previamente habían sido vacunada contra la rabia se dividieron en dos grupos. El grupo 1 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 1, y el grupo 2 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 2. Las respuestas de los anticuerpos se registraron dos semanas después: Grupo n s

1 10 4.5 2.5

2 9 2.5 2.0

x

EJEMPLO


EJEMPLO

Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la efectividad de cierta dieta, combinada con un programa de ejercicios, para la reducción de los niveles de colesterol en suero. ¿ proporcionan estos datos la evidencia suficiente para concluir que el programa de ejercicios y dieta es efectivo para la reducción de los niveles de colesterol en el suero?.

Antes: 201, 231, 221, 260, 228, 237, 326, 235, 240, 267, 284, 201

Después: 200, 236, 216, 233, 224, 216, 296, 195, 207, 247, 210, 209


Antes del inicio de un programa de inmunización contra la rubéola en un área metropolitana, una encuesta reveló que 150 integrantes de una muestra de 500 niños de primaria habían sido inmunizados contra esta enfermedad. ¿son compatibles estos datos con el punto de vista de que el 50% de los niños de primaria de dicha área habían sido vacunados contra la rubéola?.

EJEMPLO


Ejemplo: En un programa de mejoramiento del desempeño en un centro de salud los participantes miden su progreso mediante el tiempo que les toma realizar cierto proceso. Se tomó una muestra de 25 sujetos de esta empresa para medirles el tiempo que requieren para culminar el proceso (en minutos) de otorgar una cita a un paciente, encontrándose una media muestral de 11,7 minutos y una desviación de estándar de 2,3 minutos. ¿Se puede afirmar que el tiempo medio para culminar este proceso es inferior de 12 minutos?. Utilice un nivel de significación = 0,05.

(B) Con varianzas desconocidas (muestras chicas)


1) Hipótesis: Hp : 12

Ha :12

2) Nivel de significación: = 0,05

3) Prueba estadística:

Los supuestos son:•la población se distribuye normalmente.•la muestra elegida al azar.

tcxSn

-

Solución


4) Criterios de decisión

to con GL = 24 y = 0,05

Si { tc>-1,711} se acepta la Hp en caso contrario se rechaza

-t0-1.711

(1 -


5) Cálculos:

6522,0

253,2

1270,11c t


6) Conclusiones

Se acepta la hipótesis planteada a un nivel de significación de = 0,05. La prueba resultó no significativa.

Los datos muestrales no permiten afirmar que el tiempo requerido para culminar la tarea es inferior a 12 minutos.


Ejemplo

Se hizo un estudio de una muestra de 25 registros de pacientes de un hospital de enfermedades crónicas tomando como base pacientes externos. El número medio de visitas por paciente fue 4,8 y la desviación estándar muestral fue de 2. ¿Puede concluirse a partir de estos datos que la media de la población es mayor que cuatro visitas por paciente?. Suponga que la probabilidad de cometer error del tipo I es de 0,05.


11.3 Prueba de hipótesis acerca de la proporción poblacional ()

El Gerente de la Clínica Santa María afirma que por lo menos 55% de los pacientes se encuentra plenamente satisfecho con los servicios recibidos. ¿Qué conclusión puede obtenerse si de una muestra aleatoria de 500 pacientes 245 manifestaron su preferencia?. Utilice un nivel de significación = 0,01 para comprobar la afirmación.

Proporción muestral 49,0

500

245=p :

Ejemplo:


1) Planteo de Hipótesis:

Hp : 0,55

Ha : 0,55

2) Nivel de significación: = 0,01

3) Prueba estadística:

Los supuestos son:• la población se distribuye

normalmente.• la muestra ha sido seleccionada al

azar.

p

-pc


Si { Zc>-2,33} se acepta la hipótesis planteada, en caso contrario se rechaza.

Z-2,33

(1 -



5) Cálculos

p n

( )1

022,0500

)45,0)(55,0(p

Reemplazando valores en Z:

73,2022,0

06,0

022,0

55,049,0 Z


6) Conclusiones 1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta

la hipótesis alternante a un nivel de significación = 0,01. La prueba resultó ser altamente significativa.

2) La evidencia empírica nos permite rechazar la hipótesis planteada.

3) El Gerente de Clínica está equivocado en su afirmación, puesto que el resultado de la prueba indica que los pacientes que se encuentran plenamente satisfechos es menor a 55%.


11.4 Prueba de Hipótesis acerca de la varianza poblacional

El Gerente de Producción una fábrica productora de material quirúrgico, entre ellos agujas N° 21, desea que la variabilidad de éstas sea a lo más 0,0005 pulgadas cuadradas y para el efecto, decide tomar una muestra de su producción escogiéndola al azar obteniendo los resultados: 1,13; 1,12; 1,15; 1,10; 1,11; 1,18; 1,20; 1,14; 1,12; 1,19; 1,10; 1,14; 1,13.La probabilidad de cometer error tipo I escogido por el fabricante es 0,01.

Ejemplo:


1) Planteo de Hipótesis:

Hp : 0,0005

Ha : 0,00052) Nivel de significación: = 0,013) Prueba estadística: (n – 1) S2

Los supuestos son:• la población se distribuye normalmente.• la muestra ha sido seleccionada al azar.


Si { 26,217 } se rechaza la hipótesis planteada, en caso contrario se acepta.

2=0,01

(1 - 0,99

2

2

26,217



Datos:n = 13S2= 0,0011634

(13 – 1) (0,0011634) 0,0005

= 27,92736

5) Cálculos


6) Conclusiones

1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación = 0,01. La prueba resultó ser altamente significativa.

2) La evidencia empírica nos permite rechazar la hipótesis planteada.

3) La variabilidad de la longitud de las agujas N° 21 excede a los límites establecidos. El producto no tiene una calidad uniforme.


HOJA DE COMPROBACIÓN

1. En la prueba de hipótesis, suponemos que algún parámetro de población toma un valor particular antes de muestrear. Esta suposición que debe probarse se denomina hipótesis alternativa

2. Suponiendo que una hipótesis dada acerca de la media de una población es correcta entonces el porcentaje de medias de muestra que pudieran caer fuera de ciertos limites de esta media hipotetizada se denomina nivel de significancia

2. En la prueba de hipótesis, la distribución de probabilidad apropiada es siempre la distribución normal


4. Si cometiéramos un error de tipo I, rechazaríamos una hipótesis nula cuando realmente es verdadera

5. Una prueba en la escala sin procesar o en la escala estandarizada nos llevaría a la misma conclusión

6. Si 1,96 es el valor critico de z, entonces el nivel de significancia de la prueba es 0,05

7. Si nuestras hipótesis nula y alternativa son Ho: = 80 y H1: < 80, es apropiado utilizar una prueba de extremo izquierdo


8. Si la media de muestra estandarizada esta entre cero y el valor critico, entonces no debería rechazar Ho

9. El valor 1 - se conoce como la potencia de la prueba

10. Después de efectuar una prueba de un extremo y rechazar Ho se da usted cuenta de que debería haber hecho una prueba de dos extremos, al mismo nivel de significancia. También rechazará Ho para esa prueba

11. A menudo, aunque no siempre, es posible establecer el valor de de manera que obtengamos un equilibrio libre de riesgos en la prueba de hipótesis


12. Usted efectúa una prueba de hipótesis de dos extremos en una media de población y ha establecido el nivel = 0,05. Si la estadística cae dentro de 0,95 del área alrededor de Ho , usted ha probado que la hipótesis nula es cierta

13. Si las pruebas de hipótesis se hicieran a un nivel de significancia de 0,60, la hipótesis nula generalmente se aceptaría cuando no es verdadera

14. Si Ho , = 50 y = 0,05, entonces 1 - debe ser igual a 0,95 cuando = 50.


15. Para un nivel de significancia dado, los valores críticos de t se acercan a 0 al incrementarse el tamaño de la muestra

16. Elegir el nivel de significancia apropiada es mas fácil que elegir la prueba correcta que se debe utilizar

17. Existen métodos matemáticos que garantizan que el nivel de significancia escogido siempre será el apropiado

18. La prueba de hipótesis nos ayuda a sacar conclusiones sobre parámetros estimados


19. Una prueba de hipótesis será útil para determinar si una media de población es 45 o 60 (es decir, Ho: = 45; H1 : = 60)

20. La prueba de hipótesis no puede aprobar inequivocadamen- te la verdad con respecto al valor de un parámetro de población

21.Es apropiado utilizar la potencia de una prueba de hipótesis solo con pruebas de un extremo

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