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Bloque 1. Operaciones con números naturales, decimales y fraccionarios y expresiones algebraicas Tema 1. Los números naturales y sus operaciones: potenciación, múltiplos, conteo, divisores y criterios de divisibilidad Los números naturales En una entrevista de trabajo, a Octavio le pidieron algunos datos como: fecha de nacimiento, edad, estatura, peso, domicilio, número telefónico, tiempo que laboró en el trabajo anterior, sueldo deseado, número de personas que dependían de él, número de seguro social, etc. Octavio se dio cuenta de la cantidad de números que debe conocer y manejar respecto a sus datos personales. ¿En qué casos es necesario usar los números?, ¿en tu vida diaria cuándo utilizas las matemáticas? Los números surgieron, desde el hombre primitivo por la necesidad que existe de contar y ordenar una cierta cantidad de objetos. El sistema de numeración que se usa en México es decimal, esto quiere decir que su base es el número 10. Se utilizan diez cifras o guarismos para representar los números:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve Con estas cifras se representa la infinidad de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Un número natural puede estar formado por una o varias cifras, por ejemplo el número 4 903 está formado por 0, 3, 4 y 9.

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El sucesor de un número natural es aquél que le sigue: del 5 sigue el 6, del 11 sigue el 12, etc. El antecesor de un número natural es el que se encuentra antes: del 5 está el 4, del 11 está el 10, del 10 000 está el 9 999, etc. Los números naturales tienen ciertas propiedades: Al comparar dos números naturales uno es menor que el

otro o son iguales, entonces siempre que se tenga un conjunto de números naturales se puede ordenar.

Cada número natural tiene un sucesor. Cada número natural tiene un antecesor, excepto el cero. Los números naturales son infinitos, es decir, nunca se

acabarán de nombrar: 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, 1 000 000,…. En ocasiones a los números naturales se les representa por medio de una recta numérica. Ésta es una línea recta donde se relacionan puntos y números. En ella se elige un punto llamado origen, que representa al 0, los demás puntos se colocan a la derecha en orden ascendente; la distancia entre cada uno es igual. Todas las cifras de un número tienen un valor absoluto y un valor relativo: - El valor absoluto de la cifra 7 en el número 378 indica la misma cifra. 7 - El valor relativo de la cifra 7 en el número 378 depende de su posición, en este caso representa 7 decenas. 70 En la lectura y escritura de un número se agrupan las cifras de tres en tres de derecha a izquierda, por ejemplo: el número 100 503 408 se lee:

57 58 59 60 61

sucesor antecesor

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Millones Millares Unidades cien millones, quinientos tres mil cuatrocientos ocho 100 503 408

La notación desarrollada de un número es representar a éste como la suma de los valores relativos de sus cifras. Por ejemplo: la notación desarrollada de 2 974 es 2 000 + 900 + 70 + 4. Operaciones básicas

En la vida diaria siempre se requiere resolver problemas donde se utiliza la suma, la resta, la multiplicación y/o la división de números naturales. Por ejemplo:

a) Paco quiere comprar un añillo que cuesta $287, lleva ahorrado $136, ¿cuánto le falta? Se realiza la resta: 287 – 136 = 151, a Paco le faltan $151.

b) En una tienda de ropa compraron 50 pantalones a $100 cada uno. El precio al público será de $132. ¿Cuál será la ganancia? La ganancia por pantalón es de $32, pues 132 – 100 = 32; en total, la ganancia de 50 pantalones es de $1 600 ya que 32 x 50 = 1 600. Múltiplos y divisores En la siguiente tabla se han multiplicado los números 4 y 5 por algunos números naturales.

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Número natural ×0 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 ×8 ×9 ×10 ×11 …4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 …5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 …

Un múltiplo de cierto número se obtiene multiplicándolo por un número natural. Por ejemplo: 20 y 35 son múltiplos de 5 pues

2045 =× y 3575 =× . Todo número natural diferente de cero tiene una infinidad de múltiplos.El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el más pequeño de los múltiplos en común diferente de cero. En la tabla anterior están marcados algunos múltiplos de 4 y 5 en común: 0, 20 y 40. El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, pues es el más pequeño diferente de cero.

Ernesto necesitaba guardar 6 víboras en varios costales en partes iguales, se dio cuenta que con dos o tres costales sí podría hacerlo, pero con cuatro costales no.

2 costales 3 costales 4 costales

En este caso quedan dos víboras sin guardar.

En el ejemplo anterior se observa que al dividir 6 entre 2 ó 3 el residuo es cero, sin embargo 6 entre 4 tiene residuo 2. Un divisorde un número es aquél que al dividir el número se obtiene residuo igual a cero.¿El número 4 es divisor de 320?

Para saberlo se realiza la división: 80

03204

El residuo es cero, 4 sí es divisor de 320.

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Los divisores de un número son menores o iguales que éste. Por ejemplo los divisores de: a) 6 son 1, 2, 3, 6 b) 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 c) 22 son 1, 2, 11, 22. Los criterios de divisibilidad son reglas para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de ellos son:

Un número es divisible por:

Ejemplos 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 14, 22, 90, 466, 7 898. 3 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 3. 75 (7 + 5 = 12), 2112 (2 + 1 + 1 + 2 = 6).

4 si sus dos últimas cifras (decenas y unidades) son múltiplos de 4.

348 (48 es divisible por 4), 1 828 (28 es divisible por 4).

5 si termina en 5 ó 0. 5, 35, 2 145, 40. 9 si la suma de sus cifras es

múltiplo de 9. 9, 495 (4 + 9 + 5 = 18), 945, 53 640.

10 si termina en 0. 20, 100, 2 340. - Martha tiene $216, los cuales va a repartir entre sus cuatro sobrinos, ¿a cada uno de ellos le tocará una cantidad exacta? Sí, 216 es divisible por cuatro pues el número que se forma con sus dos últimas cifras (16) es múltiplo de cuatro. - El museo se inauguró hace ya 40 años, ¿es posible saber si tiene una cantidad exacta de lustros? Sí, 40 es múltiplo de cinco pues termina en cero. Potenciación Lorenzo tiene 12 cartones con 12 huevos cada uno. Para saber cuántos huevos tenía en total multiplicó 12 x 12 y lo denotó por 122. El 2 pequeño es el exponente e indica el número de veces que el 12 aparece como factor. Así que Lorenzo tiene 122 = 144 huevos.

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Elevar al cuadrado un número significa multiplicar el número por sí mismo.

32 se puede representar como un cuadrado de 3 unidades por lado.

La notación exponencial nos ayuda a abreviar un producto de factores iguales, por ejemplo:

32222 =××

Base: número que se va a multiplicar por sí mismo. Exponente: indica el número de veces que se multiplica la base.

Se lee: dos a la tercera potencia o dos al cubo.

Jesús tiene un terreno cuadrado con 196 m2 de área, quiere saber cuánto mide de cada lado. El terreno tiene todos sus lados iguales, es por eso que se busca un número tal que al multiplicarlo por sí mismo dé como resultado 196. Este número es 14 pues 142 = 196.

La raíz cuadrada de un número es la operación inversa de elevar al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 81 es 9 pues 81999 2 ==× , esto se denota: Conteo Se quieren coser flores en un mantel, se tienen que elegir hilos de varios colores y hacer varias combinaciones. Acomodando la información en una tabla se puede saber cuántas combinaciones distintas existen.

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M

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M

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A

S

Color del centro de la flor C

olor

de

lo

s p

éta

los

Amarillo Naranja Rojo

Rojo pétalos rojos, centro amarillo

pétalos rojos, centro naranja

pétalos rojos, centro rojo

Amarillo pétalos amarillos, centro amarillo

pétalos amarillos, centro

naranja

pétalos amarillos,

centro rojo

Naranja pétalos naranjas, centro amarillo

pétalos naranjas, centro

naranja

pétalos naranjas,

centro rojo En el ejemplo anterior existen nueve combinaciones diferentes. Otra forma de conocer las combinaciones posibles es hacer un diagrama de árbol, se le llama así porque tiene un tronco y varias ramas para ordenar la información. Por ejemplo: Angélica quiere comprar un pantalón y una blusa, hay tres diferentes colores de pantalones: café, negro y blanco. Los colores de blusas son: blanco y rosa. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir los pantalones y la blusa?

Existen seis formas diferentes de combinar tres pantalones de distinto color y dos blusas de distinto color.

Negro

Blanco

Café Blanca

Rosa

Rosa

Blanca

Rosa

Blanca

Combinaciones: pantalón café y blusa blanca pantalón café y blusa rosa pantalón negro y blusa blanca pantalón negro y blusa rosa pantalón blanco y blusa blanca pantalón blanco y blusa rosa

Pantalón: Blusa:

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En ciertas situaciones, existen otras formas para hacer conteos fácilmente, en este tipo de conteo se aplica la técnica de la multiplicación:

Don Juan tiene cuatro parcelas, va a sembrar fríjol, calabaza, ajo y chile. Sólo puede sembrar una especie por parcela, ¿cuántas combinaciones diferentes podrá hacer?

- En la parcela uno se tienen 4 especies diferentes para sembrar.

- Sólo le quedan 3 especies diferentes para la segunda parcela, pues ya eligió una y no se puede repetir.

- La tercera especie, para la parcela tres, se escoge de 2 maneras diferentes.

- La cuarta especie, para la parcela cuatro, se escoge de una manera.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas de hacer ambas cosas.

En primer lugar, Angélica puede escoger un pantalón de tres diferentes colores, después podrá escoger una blusa de dos colores distintos. Podrá escoger 3 × 2 = 6 combinaciones diferentes.

colores de blusas

diferentes

colores de pantalones diferentes

3 x 2 = 6