1.1 la ecuacion del movimiento ondulatorio
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CAPITULO 1
O N D A S
1.1 LA ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
La experiencia cotidiana de la perturbación que se genera en un estanque de agua cuando
dejamos caer una piedra permite decir que todos tenemos una idea bastante clara de lo que es una onda; en el caso descrito podemos ver que, a partir del punto en el cual cayó la piedra,
sobre la superficie del agua se propaga una perturbación que se irradia en todas las
direcciones.
También podemos observar como la membrana de un altoparlante vibra cuando encendemos
un equipo de sonido y como esa vibración se propaga en el aire produciendo un sonido
detectable por nuestros oídos.
Por otro lado cuando una emisora de radio está en funcionamiento despide en el espacio una
onda electromagnética que luego es captada por la antena del aparato receptor y por éste
vuelta a transformar en una perturbación sonora.
Todos los anteriores son ejemplos de ondas y todos exhiben dos importantes características:
a) Hay una propagación de energía desde las fuentes hacia el espacio.
b) El medio en el cual se propaga la onda no participa de la propagación.
Eso quiere decir, por ejemplo, que en el caso de la piedra que cae en el estanque de agua, las
partículas de agua no se propagan radialmente juntas con la perturbación sino que
simplemente oscilan alrededor de su posición de equilibrio, en este caso, en la dirección vertical.
Consideremos ahora el caso sencillo de un pulso que se propaga a lo largo de una cuerda
tensa; esto puede realizarse con una cuerda fija por un extremo mientras por el otro extremo el
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experimentador produce, con su mano, un movimiento arriba y abajo; podemos ver que, en
este caso, la cuerda toma la forma representada en la Figura 1.1 a).
La perturbación que se ha generado no permanece quieta sino que se propaga a lo largo de la cuerda de manera que si tomaramos fotos sucesivas de la cuerda encontraríamos que el pulso
viaja a lo largo de la cuerda manteniendo inmutada su configuración (en ausencia de fricción)
como se muestra en la Figura 1.1 b).
La configuración que asume la cuerda por efecto de la perturbación en un instante
determinado (por ejemplo t = 0 ) se define como perfil de la onda y tiene ecuación:
( )y f x= (1.1)
en donde la variable y representa el desplazamiento, con respecto a su posición de equilibrio,
de cualquier partícula de la cuerda. Dado que la perturbación viaja a lo largo de la cuerda, la
posición de las partículas de la cuerda con respecto a sus posiciones de equilibrio cambiará con el tiempo de acuerdo con la ecuación:
( )y f x t= , (1.2)
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Esta ecuación que permite determinar las posiciones de todas las partículas del medio de
propagación en cualquier momento se llama entonces ecuación horaria de la perturbación o
ECUACION DE LA ONDA.
Podemos explicitar un poco más la ecuación (1.2) teniendo en cuenta que,si la perturbación se
propaga a lo largo de la cuerda tendida sobre el eje x , su velocidad de propagación (que no
debe confundirse con la velocidad con la cual las partículas del medio de propagación oscilan alrededor de su posición de equilibrio) será v = dx dt .
Consideremos ahora una pulso que viaja a lo largo del eje x propagando una perturbación que desplaza las partículas en la dirección y , en un sistema de referencia O fijo y en un
sistema de referencia O' cuyo eje horizontal x' coincida con x y que se mueve con respecto
a O con la velocidad v igual a la velocidad de propagación de la perturbación.
Al tiempo t = 0 , instante en el cual se produce la perturbación, los dos sistemas O O, '
coinciden de manera que:
( ) ( )y y f x f x= = =' '
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Al tiempo t > 0 , en el sistema O , el pulso se habrá desplazado, por lo tanto la ecuación que
describe la posición instantánea de las partículas del medio de propagación será:
( )y f x t= ,
En el sistema O' , que viaja junto con la perturbación, el pulso aparecerá inmovil, de manera
que:
( )y f x' '= .
De la Figura 1.2 es fácil deducir que:
x x t x x t= + = −' ; 'v v
y que por lo tanto:
( )y f x t' = − v
Pero como y y= ' obtendremos inmediatamente:
( ) ( )y f x t f x t= = −, v (1.3)
La (1.3) es la ecuación de la onda viajera progresiva (la que se propaga en el sentido de las x crecientes); la función f es una función arbitraria que depende de la forma del pulso, pero el argumento de la función solamente puede ser ( )x t− v y ninguna otra combinación de las
dos variables x t, .
Con procedimiento análogo podríamos mostrar que la onda viajera regresiva (que se propaga
en el sentido de las x decrecientes) corresponde a la ecuación:
( ) ( )y f x t f x t= = +, v (1.4)
donde f es una función arbitraria del argumento ( )x t+ v .
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La función f depende únicamente de la forma de la perturbación; en otras palabras es la
función matemática que representa el perfil de la onda.
1.2 ONDAS ARMONICAS
Supongamos ahora que el extremo libre de una cuerda tensa semi-infinita, tendida a lo largo del eje x , se mueva en la dirección y de movimiento armónico con oscilaciones repetidas; en
este caso cada pulso (representado por una oscilación completa del extremo libre) se propaga a
lo largo de la cuerda seguido inmediatamente por otro igual. Resulta así que a lo largo de la
cuerda se propaga una serie de pulsos sinusoidales o sea un tren de ondas.
Se dirá entonces que el extremo libre de la cuerda es la fuente de la onda y, de acuerdo con
nuestras hipótesis, su movimiento tendrá ecuación horaria:
( )y t a t0 2, cos= π ν (1.5)
en donde se ha supuesto que el extremo libre de la cuerda está localizado en el origen de las coordenadas ( )x = 0 y que su movimiento armónico tenga amplitud a y frecuencia ν .
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Como hemos visto, en el caso del pulso, la energía del movimiento armónico de la partícula
fuente se propaga a lo largo de la cuerda con cierta velocidad v , por lo tanto, en tiempos
sucesivos, todas las partículas del medio de propagación ejecutarán el mismo movimiento de
la partícula x = 0 ; de manera que, cuando ésta haya efectuado cierto número de oscilaciones, las posiciones de todas las partículas de la cuerda en un instante determinado
corresponderán a las reportadas en la Figura 1.4.
Si el medio de propagación es unidimensional y no dispersivo entonces todas las partículas, sobre las cuales llega la perturbación, ejecutan exactamente la misma oscilación de la partícula fuente, con la misma amplitud a y la misma frecuencia ν ,( 1 ) de manera que, después de
cierto número de oscilaciones de la partícula fuente, en cualquier instante hay varias partículas
del medio que se encuentran exactamente con el mismo desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio y con la misma velocidad (Figura 1.4) es decir que se encuentran en el
mismo estado de perturbación.
( 1 ) Aún en los medios no dispersivos en los cuales no se disipa energía, la amplitud de la
onda disminuye a medida que la perturbación se aleja de la fuente cuando el medio de propagación no es unidimensional. En los medios bidimensionales (p.e. la superficie de un estanque), o tridimensionales (p.e. el espacio en el cual se propaga una onda sonora) debe tenerse en cuenta que la energía transportada por la onda se distribuye sobre frentes de ondas siempres más extensos, lo que no ocurre para los medios unidimensionales en los cuales la energía de la onda siempre está concentrada en un punto.
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El conjunto de las partículas o de los puntos del espacio a las que llega simultáneamente la
perturbación ondulatoria se llama frente de onda.
El frente de onda puede ser un punto, una línea o una superficie según la onda se propague en un medio uni-, bi- o tridimensional; por ejemplo cuando dejamos caer una piedra en un
estanque, los frentes de onda son círculos con centro en el punto de impacto.
La menor distancia entre dos partículas que pertenezcan a diferentes frentes de onda y que se encuentran en el mismo estado de perturbación se define como longitud de onda λ y
corresponde a la distancia recorrida por la perturbación en un período T , que es el tiempo
durante el cual la partícula fuente ejecuta una oscilación completa.
Es evidente que T = λ v , y que , por lo tanto:
v = =λ λ νT . (1.6)
Con base en estas observaciones queremos ahora determinar la posición instantánea de cualquier partícula del medio en el cual se está propagando la perturbación ondulatoria; la
ecuación (1.5) nos proporciona la información relativa a la posición de la partícula fuente de
la perturbación que suponemos situada en x = 0 ; se trata entonces de encontrar la ecuación horaria de la perturbación o sea la forma explícita de la función ( )y x t, .
Para resolver el problema propuesto debemos tener en cuenta que, el tiempo t0 , la posición de
la partícula fuente es, de acuerdo con (1.5):
( )y t a t0 20 0, cos= π ν (1.7)
Lo anterior implica que al tiempo t t> 0 , habiendo recorrido la perturbación una distancia
( )v . t t− 0 , la partícula situada a la distancia ( )x t t= −v 0 de la partícula fuente deberá
encontrarse desplazada de su posición de equilibrio de la misma forma como se encontraba la partícula x = 0 al tiempo t0 , es decir:
( ) ( )y x t y t a t, , cos .= =0 20 0π ν
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Pero, dado que t t x0 = − v , obtenemos:
( ) ( )y x t a t x, cos .= −2 π ν v
de donde:
( ) ( )y x t a x t, cos= −2 π ν
vv (1.8)
Esta última ecuación demuestra que la perturbación analizada es una onda viajera progresiva de la forma ( )f x t− v para la cual, en este caso, la función f tiene la forma de un coseno.
Las perturbaciones para las cuales la función f tiene la forma de seno o coseno se llaman
ondas armónicas.
Es usual definir ω π ν= 2 frecuencia angular de la onda, de manera que la (1.8) puede
adquirir la forma un poco más sencilla:
( ) ( )y x t a x t, cos= −ωv
v
Por otra parte teniendo en cuenta que v = λ ν se obtiene también:
( ) ( )y x t a x t, cos= − =2πλ
v = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a x tcos 2 2πλ
π ν
y definiendo el número de onda k de manera que k = 2π λ obtenemos:
( ) ( )y x t a kx t, cos= −ω (1.9)
En general una onda armónica se escribirá entonces:
( ) ( )y x t a kx t, sen= ± +ω ε (1.10)
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en donde el signo positivo corresponde a la onda regresiva y el negativo a la progresiva. El
argumento de la función seno se define como fase de la onda:
( )ϕ ω εx t k x t, = ± +
y su valor en x = 0 , el tiempo t = 0 es ( )ϕ ε0 0, = = fase inicial de la onda. De acuerdo
con esta definición es fácil calcular la diferencia de fase δ entre dos partículas x x1 2, del
medio de propagación al tiempo t : ( ) ( ) ( )δ ϕ ϕ= − = −x t x t k x x2 1 2 1, , (1.11)
De la misma manera podemos calcular la diferencia de fase que se presenta, en una partícula x , entre los instantes t t1 2, :
( ) ( ) ( )δ ϕ ϕ ω= − − = −x t x t t t, 2 1 2 1 (1.12)
los ejemplos anteriores demuestran que la fase inicial ε puede fácilmente hacerse nula
cambiando la escala de los tiempos o mediante una traslación del origen de las coordenadas a
lo largo del eje x .
1.3 LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ONDA
Hemos visto ya que la ecuación horaria de una perturbación ondulatoria que se propaga con
velocidad v es de la forma: ( ) ( )y x t f x t, = ± v
donde f es una función arbitraria que da cuenta de la forma de la perturbación, es decir del
perfil de la onda; el signo positivo o negativo indica si se trata de una onda que se propaga en el sentido de las x decrecientes o crecientes.
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Consideremos ahora la ecuación horaria de una onda progresiva:
( ) ( )y x t f x t, = − v (1.13)
Es obvio que, si la función f tuviera la forma seno o coseno, la ecuación (1.13) podría
reducirse a la (1.10) que es la ecuación de una onda armónica; mantengamos sin embargo la arbitrariedad en la forma de la función f y calculemos las derivadas segundas de la ( )y x t,
con respecto a las variables x t, . Se obtiene inmediatamente:
( )∂∂
2
2y
xf x t= −'' v
( )∂∂
2
22y
tf x t= −v v. ''
La comparación de las dos derivadas nos permite concluir que:
∂∂
∂∂
2
2 2
2
21y
xy
t=
v. (1.14)
La ecuación (1.14) es una ecuación diferencial lineal a las derivadas parciales, homogénea, del
segundo orden, de la cual podemos obtener la posición, la velocidad y la aceleración de
cualquier partícula del medio en el cual se está propagando una onda mecánica. cuando se
conozcan las condiciones iniciales del sistema; por esta razón la (1.14) se conoce como la ecuación diferencial de la onda.( 1 ) .
En los próximos parágrafos estudiaremos entonces el comportamiento de diferentes sistemas
físicos (cuerda, resorte, columna de aire etc...) en los cuales se introduce una perturbación y
( 1 ) Con procedimiento similar podemos ver que la ecuación horaria de la onda viajera
regresiva ( ) ( )y x t g x t, = + v , donde g es una función arbitraria, también obedece a la ecuación diferencial de la onda (1.14), lo que nos permite concluir que la solución general de la ecuación diferencial puede escribirse como una combinación lineal de las dos ondas viajeras en la forma:
( ) ( ) ( )y x t A f x t B g x t, . .= − + +v v .
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veremos como el comportamiento de estos sistemas puede describirse a través de la ecuación
diferencial de la onda.
1.4 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA
Nos proponemos ahora determinar la ecuación del movimiento de todas las partículas de una
cuerda infinita cuando, en algún punto de la misma, se introduzca una perturbación.
Consideremos una cuerda infinita no sometida a la gravedad e introduzcamos una
perturbación bastante pequeña para que podamos suponer la tensión uniforme y constante.
Supongamos que, en condiciones de equilibrio, al tiempo t = 0 , la cuerda esté tendida sobre
el eje x y, en esas condiciones, determinemos un tramo infinitésimo de longitud dx comprendido entre los puntos P0 y Q0 cuyas abscisas son x x dx, + ; cuando se introduce
la perturbación el tramito se desplazará verticalmente de manera que todas las partículas, que inicialmente estaban contenidas en el elemento de longitud P Q dx0 0 = , se encontrarán
ahora contenidas en el tramo PQ deformado de longitud ds .
Calculemos las fuerzas que actúan sobre el tramo PQ cuando la cuerda vibra.
Las fuerzas son simplemente las tensiones F tangentes a la cuerda en los puntos P Q,
como se muestra en la Figura 1.5.
.
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Sean ϕ ϕ ϕ, + d los ángulos que estas tensiones forman con el eje x , podemos entonces
calcular fácilmente las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultantes así:
Fuerza neta horizontal = ( )F F d Fx = + −cos cosϕ ϕ ϕ .
Fuerza neta vertical = ( )F F d Fy = + −.sen .senϕ ϕ ϕ .
La fuerza neta horizontal puede considerarse nula dado que, si así no fuera, la cuerda se
deslizaría a lo largo del eje x , mientras nos interesa analizar el movimiento de las partículas de la cuerda en sentido vertical.
Podemos ahora igualar la fuerza neta vertical con el producto de la masa del tramito PQ por la aceleración vertical ay obteniendo:
( )[ ] ( )F F d m PQ ay y= + − =sen sen .ϕ ϕ ϕ (1.15)
Si la densidad lineal de la cuerda es ρ , la masa del tramo PQ es la misma masa del tramo
imperturbado P Qo o dado que todas las partículas que inicialmente pertenecían al tramo
P Qo o se trasladan al tramo PQ cuando se propaga la perturbación:
( ) ( )m PQ m P Q dxo o= = ρ .
Por otra parte la aceleración vertical es evidentemente igual a la derivada segunda de la y con
respecto a t , de manera que la (1.15) puede escribirse:
( )[ ]F F d dx yty = + − =sen sen . .ϕ ϕ ϕ ρ ∂
∂
2
2 (1.16)
Si la perturbación es pequeña, como hemos supuesto, los ángulos ϕ ϕ ϕ+ d , son suficientemente pequeños para que podamos decir que ( ) ( )tan d dϕ ϕ ϕ ϕ+ ≅ +sen y
tanϕ ϕ≅ sen , aproximaciones que remplazadas en la (1.16) dan lugar a:
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( )[ ]F F tan d tan dx yty = + − =ϕ ϕ ϕ ρ ∂
∂. .
2
2 (1.17)
Teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada se obtiene:
F F yx
yx
dx yty x dx x= −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =+
∂∂
∂∂
ρ ∂∂
| | . .2
2
y cuando la longitud del tramito de cuerda es infinitésimo ( )dx → 0 :
F yx
yt
. .∂∂
ρ ∂∂
2
2
2
2=
de donde: ∂∂
ρ ∂∂
2
2
2
2y
x Fy
t= (1.18)
Comparando esta última ecuación con la (1.14) encontramos que la ecuación del movimiento
de una cuerda sometida a una perturbación es la ecuación diferencial de la onda; una consecuencia importante de esta comparación es que la velocidad con la que se propaga la
perturbación resulta ser:
v = Fρ (1.19)
lo que demuestra que la velocidad de propagación de una perturbación ondulatoria es una característica del medio y no del agente perturbador; en este caso depende de la tensión y de la
densidad lineal de la cuerda.
Esta conclusión contradice aparentemente la ecuación (1.6) que establece la proporcionalidad entre la velocidad de la perturbación y su frecuencia; la frecuencia de una onda depende
exclusivamente del agente perturbador, sin embargo una vez el agente perturbador genera una onda con una frecuencia ν determinada, la longitud de onda λ queda determinada por la
característica de la cuerda de manera que:
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v = =λ ν ρF
1.5 ONDAS LONGITUDINALES EN UN RESORTE
Hemos visto hasta ahora perturbaciones que se propagan a lo largo de una cuerda dando lugar a vibraciones de las partículas del medio en dirección perpendicular a la dirección de
propagación de la perturbación; cuando eso ocurre se dirá que se está propagando una onda
transversal.
Hay medios de propagación, sin embargo, en los cuales puede propagarse también o
únicamente otra clase de perturbaciones; el caso típico es el de un resorte largo en el cual
puede propagarse una onda transversal como en una cuerda u otra perturbación que se genera
comprimiendo un extremo del resorte en la dirección de su longitud. Esta perturbación también se propaga a lo largo del resorte de manera que la zona de compresión produce un
movimiento de las espiras en la misma dirección en la que viaja la perturbación; en este último
caso se dirá que se está propagando una onda longitudinal. (Figura 1.6).
Como primer caso de ondas longitudinales consideremos un resorte de longitud l y masa m (por lo tanto con densidad lineal ρ = m l ) que cuelga por un extremo fijo y que, en el otro
extremo, está cargado con una masa M .
Podemos considerar el resorte en tres estados:
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a) Suspendido y sometido únicamente a la fuerza peso.
b) En equilibrio cuando se le haya colgado la masa M .
c) En vibración debido al hecho que ha sido jalado hacia abajo y luego soltado.
Consideremos un elemento PP' del resorte sin perturbación de longitud dx localizado a una distancia x del extremo superior; cuando se cuelga la masa M y se establece el equilibrio el elemento PP' tendrá la configuración QQ' en donde P se ha desplazado una distancia X
en Q y P' se ha desplazado una distancia X dX+ en Q' . Finalmente, cuando se
introduce la perturbación todas las partículas del elemento PP' se encontrarán en el tramo RR' de longitud dx dX d+ + ξ donde R está a la distancia x X+ +ξ del extremo
superior; naturalmente la masa del elemento deformado RR' es la misma del elemento PP' , es decir ρ .dx .
Obtengamos entonces la ecuación del movimiento del elemento RR' teniendo en cuenta que
las fuerzas que actúan son el peso y las tensiones en R y R' ; a través de la Ley de Hooke podemos decir que la tensión en R calculada cuando dx → 0 está dada por:
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F K Xx xR = +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟. ∂
∂∂ ξ∂
(1.20)
mientras que la tensión en R' es:
( )F F Fx
dx dX dR R' = + + +∂∂
ξ
por lo tanto la fuerza neta es:
( )F F Fx
dx dX dR R' − = + +∂∂
ξ
recordando la (1.20) para dx → 0 y teniendo en cuenta que dX d, ξ son infinitésimos de
orden superior:
F F K Xx x
dxR R' .− = +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
∂∂
∂ ξ∂
2
2
2
2
Incluyendo la fuerza peso e igualando la fuerza neta total con el producto de la masa por la
aceleración podemos escribir para el elemento de resorte:
g dx K Xx x
dx dxt
. . . .ρ ∂∂
∂ ξ∂
ρ ∂ ξ∂
+ +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
2
2
2
2
2
2
Esta última ecuación debe satisfacerse para ξ = 0 , dado que esta condición corresponde al
estado b) y por lo tanto:
g K Xx
.ρ ∂∂
+ =2
2 0
lo que nos conduce a:
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∂ ξ∂
ρ ∂ ξ∂
2
2
2
2x K t= (1.21)
que es otra vez la ecuación diferencial de la onda para una perturbación longitudinal que se
propaga con velocidad v = Kρ .
1.6 ONDAS SONORAS
Las ondas sonoras son ondas elásticas longitudinales cuya velocidad de propagación depende del medio; entre las ondas sonoras se definen como acústicas aquellas que se propagan en el
aire y pueden excitar el oído humano.
Para un oido normal son ondas acústicas las ondas sonoras cuya frecuencia esté comprendida entre 16 y 20000 Hz, siendo el Hertz (Hz) = ciclo/ s , la unidad de medida de la frecuencia
de una onda o más en general de un movimiento periódico.
Frecuencias inferiores a 16 Hz o superiores a 20.000 Hz normalmente no puede ser percibida por el oído humano y se llaman respectivamente infrasonidos y ultrasonidos.
Como en los casos anteriores queremos obtener ahora la ecuación que describe la propagación
de las ondas sonoras haciendo referencia al caso sencillo de un tubo en el cual se generan compresiones sucesivas que producen movimientos longitudinales en las moléculas de aire.
Supongamos entonces tener un tubo cuya sección A transversal sea constante y analicemos lo que ocurre a una porción de gas (aire) inicialmente contenida entre las secciones P Q, ,
cuando se introduzca una perturbación.
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Sea dx la longitud del tramo de aire sin perturbación contenido entre las secciones transversales P y Q y supongamos que cuando se introduzca la perturbación todas y únicamente las moléculas contenidas en el tramo PQ llenan el tramo P Q' ' de longitud
dx d+ ξ ; obviamente la masa total de las moléculas contenidas en el tramo PQ es igual a la
masa de las moléculas contenidas en el tramo P Q' ' , así que si los tramos PQ y P Q' ' tienen
diferentes longitudes, el gas, en esos tramos, tendrá diferentes densidades volumétricas. Si indicamos con ρ 0 la densidad del gas sin perturbación y con ρ la densidad del gas
perturbado, deberá ser:
( ) ( ) ( )m PQ m P Q A dx A dx d= = = +' ' . . . .ρ ρ ξ0
La ecuación anterior permite establecer una relación entre las dos densidades así:
ρ ρξ
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟0
dxdx d
(1.22)
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Pasando el límite para dx → 0 y desechando las potencias superiores de ∂ ξ∂ x
se obtiene:
ρ ρξ
ρ ∂ ξ∂
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
→lim dx
dx d xd x 00 0 1 (1.23)
Calculemos ahora la fuerza que actúa sobre el elemento perturbado P Q' ' teniendo en cuenta
que, tratándose de un gas, es lógico hacer referencia a las presiones P en los diferentes
puntos del tubo:
F P AP P' ' .=
( )F F Fx
dx dQ P' '= + + =∂∂
ξ
≅ +P A A Px
dxP' . . .∂∂
donde se ha tenido en cuenta que para dx → 0 , dξ es un infinitésimo del segundo orden.
F F F A Px
dxneta P Q= − = −' ' . .∂∂
Igualando la fuerza neta al producto de la masa por la aceleración:
− =A Px
dx A dxt
. . . . .∂∂
ρ ∂ ξ∂0
2
2
de donde:
− =∂∂
ρ ∂ ξ∂
Px t0
2
2
ecuación que podemos reescribir así:
− =∂∂ρ
∂ ρ∂
ρ ∂ ξ∂
Px t
. 0
2
2 (1.24)
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Con base en la ecuación (1.23):
∂ ρ∂
ρ ∂ ξ∂x x
= − 0
2
2
expresión que remplazada en la (1.24) conduce a:
∂ ξ∂ ∂
∂ ρ
∂ ξ∂
2
2
2
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x P t= . (1.25)
Esta ecuación, formalmente igual a la (1.14), describiría la propagación del sonido en un gas siempre que resultara que la velocidad de la onda sonora en el medio de propagación fuera
igual a ∂∂ρ
P.
Ahora bien, la relación entre la presión y la densidad de un gas perturbado depende del tipo de
transformación termodinámica a la cual se somete el sistema; si, por ejemplo, se supone que
las compresiones y rarefacciones producidas por la perturbación son muy espaciadas en el
tiempo, de manera que la temperatura del gas pueda considerarse constante, diremos que el gas está sometido a una transformación isoterma y la relación entre presión y densidad es lineal de la forma p K= .ρ ; pero si las compresiones y rarefacciones son muy frecuentes,
por lo general, no es posible algún intercambio de calor que pueda mantener constante la
temperatura del gas perturbado; en este caso la relación entre presión y densidad es de la forma
p K= .ρ γ (1.26)
y la transformación sufrida por el gas es adiabática.
En la (1.26) γ = c cp v es la relación entre los calores específicos a presión constante y a
volumen constante y K es una constante que depende de la naturaleza del gas.
Asumiendo que el gas fuera aire a la temperatura de 0°C y a la presión de 1 atmósfera, se
encontraría para una transformación adiabática que la velocidad de propagación de la onda
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sonora sería igual a 332 m/s, valor que está en excelente acuerdo con las medidas
experimentales.
1.7 ENERGIA Y POTENCIA DE UNA ONDA MECANICA
Una característica fundamental de la onda es la de transportar la energía desde la fuente a
través del medio de propagación sin que éste participe del movimiento; veamos entonces como podemos calcular la energía de una onda transversal que se propaga a lo largo de una
cuerda tensa.
Supongamos que la ecuación horaria de la perturbación sea ( ) ( ) ( )y x t A f x t B g x t, . .= − + +v v
podemos fácilmente calcular la energía cinética de la onda a partir de la velocidad con la cual
cada partícula de la cuerda oscila alrededor de su posición de equilibrio ∂∂
yt
y= & . Esta
velocidad no debe confundirse con la velocidad de propagación de la perturbación; como
hemos visto, esta última es una característica del medio mientras la velocidad de oscilación de
las partículas del medio depende únicamente del agente perturbador.
Ahora bien, la energía cinética de la onda podrá calcularse, para un tramo de longitud de la
cuerda, de la forma usual:
d E y dxc =12
2ρ . & . (1.27)
y evidentemente podrá obtenerse la energía cinética sobre toda la cuerda integrando la (1.27)
sobre la longitud total:
E y dxc = ∫12
2ρ & . (1.28)
Por otra parte podemos determinar la energía potencial, sobre un tramo de longitud dx , con
base en el alargamiento producido por la perturbación, dado que, como puede verse en la
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Figura 1.5, el tramo que sin perturbación tenía longitud dx , tendrá longitud ds cuando es
sometido a la perturbación ondulatoria; la energía potencial será entonces igual al trabajo
realizado por la fuerza de tensión F para deformar el tramo:
( )d E dW F ds dxp = = − (1.29)
Teniendo en cuenta que: ds dx dy= +2 2 se obtiene :
d E F dydx
dxp = + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟1 1
2
Desarrollando en serie de Taylor( 1 ) el radical hasta el segundo término:
d E F yx
dxp =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
2∂∂
. (1.30)
Como en el caso de la energía cinética, si queremos calcular la energía potencial distribuida a
lo largo de la cuerda será necesario integrar sobre la longitud, obteniendo:
E F yx
dxp =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫
12
2∂∂
. (1.31)
Como un caso particular calculemos las energías cinética y potencial distribuidas sobre una
cuerda en la cual se propague una perturbación progresiva arbitraria de la forma ( ) ( )y x t f x t, = − v .
( 1 ) El desarrollo en serie al que se hace alusión daría:
1 1 12
12 2
1 32 3
2 2
2
4
3
6+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−dydx
dydx
dydx
dydx. !
.. !
.....
23
Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.28) y (1.31) obtenemos:
( )E f dx f dxc = − =∫ ∫12
12
2 2 2ρ ρv v. ' . ' .
E F f dxp = ∫12
2' .
Si recordamos que para una cuerda la velocidad de propagación es v = Fρ se obtiene
fácilmente ρ .v2 = F , lo cual implica E Ec p= ; al mismo resultado se llegaría si
consideráramos una perturbación regresiva arbitraria de la forma ( ) ( )y x t f x t, = + v ,
mientras el resultado es generalmente diferente si la perturbación fuera de la forma ( ) ( ) ( )y x t A f x t B g x t, . .= − + +v v . Un caso particularmente interesante se presenta
cuando la perturbación es una onda progresiva (o regresiva) armónica: ( ) ( )y x t a k x t, sen= − +ω ϕ
El cálculo de Ec y Ep , para este caso, daría lo siguiente:
( )E a kx t dxc = − +∫12
2 2 2ρ ω ω ϕsen .
( )E F a k kx t dxp = − +∫12
2 2 sen .ω ϕ
Teniendo en cuenta que ω π ν= 2 , k = 2π λ y que v = =λ ν ρ. F , se obtiene
evidentemente E Ec p= , dado que la onda progresiva armónica considerada es un caso
particular de la perturbación progresiva arbitraria ( ) ( )y x t f x t, = − v ; tenemos entonces
para la energía total distribuida a lo largo de la cuerda:
24
E E E E Etot c p c p= + = =2 2
( )E a kx t dxtot = − +∫ρ ω ω ϕ2 2 2sen . (1.32)
lo que demuestra que la energía transportada por la onda es proporcional a los cuadrados de la
amplitud y de la frecuencia. Aquí se presenta una situación inesperada; recordemos la distribución de las energías cinética y potencial de una partícula sometida a movimiento
armónico simple; en ese caso había una conversión permanente de energía cinética en potencial y viceversa, de manera que cuando Ec fuera máxima (partícula en su posición de equilibrio) Ep resultaba nula y por el contrario cuando Ep fuera máxima (máximo
desplazamiento de la partícula) la Ec era nula; de manera que E E E E Etot c p c max p max= + = = = constante.
Ahora bien las partículas de una cuerda en la que se propaga una onda armónica, ejecutan movimientos armónicos simples pero, por el hecho de estar conectadas entre sí, tienen, en todo
momento y cualquiera que sea su desplazamiento con respecto a sus posiciones de equilibrio, iguales valores para Ec y Ep ; concretamente Ec y Ep son máximas cuando las
partículas están en su posición de equilibrio y nulas cuando se encuentran lo más alejadas de
la posición de equilibrio.
Esta conclusión es razonable si se piensa que la energía cinética es proporcional a la velocidad
de la partícula que es obviamente máxima en la posición de equilibrio y nula en las posiciones de desplazamiento máximo; al mismo tiempo la (1.31) muestra que Ep es proporcional a la
25
pendiente de la cuerda y esta pendiente ∂ ∂y x (véase Figura 1.9) es máxima para las
partículas que están en su posición de equilibrio y nula cuando la partícula está en la posición
de máximo desplazamiento.
Este resultado también puede obtenerse observando que, siendo la Ep proporcional al
estiramiento del elemento de cuerda (véase ecuación 1.29), el estiramiento de un elemento de cuerda de longitud dx es máximo para un tramo cercano a una partícula que está en su
posición de equilibrio y mínimo para un tramo cercano a una partícula que se encuentra en la
posición de desplazamiento máximo.
Si dividimos las ecuaciones (1.27), (1.30) por la longitud del tramo de cuerda dx obtenemos
las densidades de energía cinética y de energía potencial respectivamente así:
( )d Edx
E ycc= =σ ρ1
22. &
26
( )d Edx
E F yx
pp= =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟σ ∂
∂12
2
.
Cuando el tramo de cuerda no es infinitésimo es necesario integrar las energías sobre la
longitud considerada y dividir el resultado por la longitud. Por ejemplo las densidades de energías cinética y potencial sobre una longitud L están dadas por:
( )σ ρEL
y dxcx
x L=
+
∫22&
( )σ ∂∂
E FL
yx
dxpx
x L=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
∫2
2
.
Normalmente se calculan estas densidades sobre un tramo de cuerda largo como una longitud de onda λ , obteniendo así:
( )σ ρλ
λE y dxc
x
x=
+
∫22& . (1.33)
( )σλ
∂∂
λE F y
xdxp
x
x=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
∫2
2
. (1.34)
Obviamente la densidad de energía total estará dada por:
( ) ( ) ( )σ σ σE E Etot c p= +
De manera similar podemos calcular la potencia P transportada por una onda integrando las
energías con respecto al tiempo y dividiendo el resultado por el intervalo de tiempo
considerado; por lo general se hace el cálculo sobre el intervalo de tiempo igual al período T
de la onda:
27
PT
y dxdt
dt FT
yx
dxdt
dtondat
t T
t
t T= +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ +
∫ ∫ρ ∂
∂2 22
2
& . . .
y teniendo en cuenta que dx dt para dt → 0 es la velocidad de propagación de la onda, se
obtiene:
PT
y dt FT
yx
dtondat
t T
t
t T= +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ +
∫ ∫ρ ∂
∂v v
2 22
2
& . . . (1.35)
1.8 ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Si en el espacio vacío están presentes los campos eléctricos y magnéticos, éstos deben
satisfacer las ecuaciones de Maxwell. En el caso en el cual no haya cargas eléctricas ni corrientes [ ]ρ = =0 0;
rj el comportamiento de estos campos se rige por las ecuaciones de
Maxwell en el vacío que se escriben así:
r rE d a
S.∫∫ = 0 , donde S es una superficie cerrada.
(1.36) r rB d a
S.∫∫ = 0 , donde S es una superficie cerrada.
r r
l
rrE d E
td a
SC. .= −∫∫∫
∂∂
, donde S la superficie encerrada por la curva C .
r rl
rrB d E
td a
SC. .= ∫∫∫ µ ε ∂
∂0 0 , donde S la superficie encerrada por la curva C .
Las primeras dos ecuaciones expresan el Teorema de Gauss para los campos eléctrico y
magnético respectivamente, mientras las otras dos establecen la relación entre el campo eléctrico y la variación temporal del campo magnético o entre el campo magnético y la
variación temporal del campo eléctrico.
28
Estas últimas ecuaciones muestran que hay una relación espacio-temporal entre las
magnitudes que describen el campo e.m. en el vacío y esto sugiere que una perturbación en los
campos eléctrico y magnético puede propagarse por ondas tal como ocurría en una cuerda en
donde el desplazamiento transversal de las partículas también presentaba una relación espacio-temporal parecida.
1.8.1 Transversalidad de la onda e.m. Veamos, en efecto, como una perturbación e.m. se propaga en el espacio de acuerdo con una
ecuación diferencial formalmente igual a la perturbación que viaja a lo largo de una cuerda,
aunque los orígenes de las dos perturbaciones sean completamente diferentes.
Consideremos el caso simple en el cual la onda electromagnética se propaga a lo largo del eje
x y analizamos el campo eléctrico rE el cual, obviamente, deberá variar en el espacio y en el
tiempo si está asociado con una onda.
Supongamos que el campo eléctrico tenga la misma intensidad en todo los puntos de cualquier plano paralelo al plano yz aunque esa intensidad varía de uno de esos planos a otro, y sobre
un mismo plano en el tiempo.
Eso significa que el campo eléctrico es una función de x y t , o sea ( )
r rE E x t= , .
Empecemos por demostrar que la perturbación e.m. es una onda transversal aplicando la
primera de las ecuaciones (1.36) a una superficie cerrada de forma cúbica cuyos lados tienen longitud dx dy dz, , (véase Figura 1.11).
29
Si la superficie considerada no encierra cargas (tal como hemos supuesto), el flujo total del
campo eléctrico debe ser nulo:
r rE d a. =∫∫ 0
Ahora bien, realizando el cálculo obtenemos:
E dy dz E dy dzx x dx x x| . | . .+ − +
E dx dz E dx dz E dx dyy y dy y y z z d z| . | . | .+ +− +
− =E dx dyz z| . 0
Tengamos ahora en cuenta que las componentes E Ey z, del campo eléctrico no dependen
de y z, de manera que tienen el mismo valor cuando se calculen en y z, o en
y dy z dz+ +, , lo que implica:
E E E Ey y dy y y z z d z z z| | ; | |+ += =
Entonces:
r rE d a E dy dz E dy dzx x dx x x. | . | .= − =∫∫ + 0
Esta última ecuación implicaría que la componente Ex no depende de x dado que debería ser: E Ex x dx x x| |+ = .
30
Es posible que exista entonces un campo eléctrico uniforme en la dirección x , pero como este
eventual campo no depende de x no tiene influencia sobre la onda; en otras palabras solamente las componentes E Ey z, pueden variar con la x y por lo tanto son las únicas que
participan de la propagación de la perturbación en la dirección x .
Si aplicamos la segunda ecuación (1.36) a la misma superficie cúbica obtendríamos que para el campo magnético también la componente Bx es independiente de x y las componentes B By z, pueden depender de x , por lo tanto son las únicas que participan de la propagación
de la perturbación en la dirección x .
Queda así demostrado que la perturbación e.m. es transversal dado que se propaga en la
dirección x y produce variaciones espaciales y temporales de los campos eléctrico y magnético en las direcciones y z, perpendiculares a la dirección de propagación.
1.8.2 Los campos son mutuamente perpendiculares. Para simplificar el problema podemos entonces calcular la resultante de las componentes y z, del campo eléctrico y reorientar nuestro sistema de coordenadas para que el eje y
coincida con la dirección del campo eléctrico resultante, de manera que, para efectos de la perturbación que queremos estudiar, podemos considerar Ex = 0 , Ez = 0 ,
( )E E x ty y= , , eso es un campo eléctrico dependiente de x t, dirigido unicamente en la
dirección y .
Veamos entonces, para este caso, cuál será la dirección del campo magnético asociado aplicando la ley de Faraday o sea la tercera de las ecuaciones (1.36) a una trayectoria cerrada, en forma de cuadrado, contenida en un plano paralelo al plano xz cuyos lados sean dx dz,
(véase Figura 1.12).
31