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PROGRAMACIN DE METAS

INTRODUCCIN

Los modelos de programacin lineal que se presentaron en mtodo cuantitativos se basan

en la optimizacin de una sola funcin objetivo. Hay casos donde lo ms adecuado es tener

varios objetivos (posiblemente opuestos). Por ejemplo, los polticos aspirantes pueden

prometer reducir la deuda nacional y, al mismo tiempo, ofrecer rebajas de impuesto sobre

la renta. En tales casos podr ser imposible encontrar una solucin una solucin nica que

optimice los objetivos contrapuestos. En lugar de ello se podr buscar una solucin

intermedia, o de compromiso basada en la importancia relativa de cada objetivo.

La mayora de las situaciones de decisin real, sean personales o profesionales, se

caracterizan por metas (atributos) y objetivos mltiples ms que por un simple objetivo.

Estas metas (atributos) pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas

y tambin inconmensurables. Por ejemplo, un productor de autos como la General Motors

deseara construir un vehculo de pasajeros que pudiera venderse por menos de

$200,000.00, tuviera 250 caballos y consiguiera 40 millas por galn. Consideremos, por

ejemplo, las metas (atributos) de economa de combustible y de potencia, entre ms alta

sea la potencia, menor es la economa de combustible, indicando que las dos metas

(atributos) estn en conflicto. Adems estas dos metas (atributos) son inconmensurables,

pues la potencia y las millas por galn tienen diferentes escalas y dimensiones.

PROGRAMACIN META.

La formulacin de un modelo de Programacin Meta es similar al modelo de P.L. El

Primer paso es definir las variables de decisin, despus se deben de especificar todas las

metas gerenciales en orden de prioridad. As, una caracterstica de la Programacin Meta

es que proporciona solucin para los problemas de decisin que tengan metas mltiples,

conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la

administracin.

La Programacin Meta es capaz de manejar problemas de decisin con una sola meta o con

metas mltiples. En tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de

decisiones son logradas nicamente con el sacrificio de otras metas.

Las caractersticas que distinguen la programacin Meta es que las metas se satisfacen en

una secuencia ordinal. Esto es, las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por

el tomador de decisiones son satisfechas secuencialmente por el algoritmo de solucin. Las

metas con prioridad baja se consideran solamente despus de que las metas de prioridad

alta se han cumplido. La Programacin meta es un proceso de satisfaccin, en el sentido de

que el tomador de decisiones tratar de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor

resultado posible para un solo objetivo.

La nocin fundamental de la Programacin Meta, comprende incorporar todas las metas

gerenciales en la formulacin del modelo del sistema. En la programacin Meta, en vez de

intentar minimizar o maximizar la Funcin Objetivo directamente, como en la

programacin lineal, se minimizan las desviaciones entre las metas y los lmites logrables

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dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos. Estas variables de

desviacin, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en programacin lineal toman un

nuevo significado en la Programacin Meta. Ellas se dividen en desviaciones positivas y

negativas de cada una de las submetas o metas. El objetivo se convierte entonces en la

minimizacin de estas desviaciones, dentro de la estructura prioritaria asignada a estas

desviaciones.

UNA FORMULACIN DE PROGRAMACIN DE METAS

Ilustraremos con un ejemplo la idea de la programacin de metas.

Fairville es una ciudad pequea con unos 20 000 habitantes. El consejo de la ciudad est en vas de desarrollar una tabla equitativa de impuestos urbanos. La base

impositiva anual para la propiedad catastral es $550 millones. Las bases impositivas

anuales para alimentos y medicinas es $35 millones, y para ventas en general es $55

millones. El consumo local anual de gasolina se estima en 5.5 millones de galones. El

consejo ciudadano desea establecer las tasas de impuesto basndose en cuatro metas

principales.

1. Los ingresos impositivos deben ser $16 millones, cuando menos, para satisfacer los compromisos financieros municipales.

2. Los impuestos en alimentos y medicinas no pueden ser mayores que le 10% de todos los impuestos recabados.

3. Los impuestos por ventas en general no pueden se mayores que el 20% de todos los impuestos recabados.

4. El impuesto a la gasolina no puede ser mayor que 2 centavos por galn.

Sean las variables (expresadas como proporcionales de las bases impositivas):

Las metas del consejo municipal se expresan entonces como sigue:

A continuacin se simplifican las tres restricciones como sigue:

Cada una de las desigualdades del modelo representa una meta que el consejo municipal

desea satisfacer. Sin embargo, lo ms que se puede hacer es buscar una solucin de

compromiso entre estos planes contrapuestos.

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La forma en que la programacin de metas determina una solucin de compromiso es

convirtiendo cada desigualdad en una meta flexible, en la que la restriccin

correspondiente puede violarse si es necesario. En el modelo de Fairville, las metas

flexibles se expresan como sigue:

Las variables no negativas is y

is , , se llaman variables de desviacin,

porque representan las desviaciones arriba y abajo respecto al lado derecho de la

restriccin .

Por definicin, las variables is y

is son dependientes y en consecuencia no pueden ser al

mismo tiempo variables bsicas. Esto quiere decir que en cualquier iteracin smplex,

cuando menos una de las variables de desviacin puede asumir un valor positivo. Si la

sima desigualdad original es del tipo y su is , entonces se satisfar la sima

meta; en caso contrario, si is , la meta no se satisfar. En esencia, la definicin de

is

y is permite satisfacer o violar la sima meta cuando se desee. sta es la clase de

flexibilidad que caracteriza a la programacin de metas cunado busca una solucin de

compromiso. Naturalmente, una buena solucin de compromiso trata de minimizar la

cantidad por la cual se viola cada meta.

En el modelo de Fairville, como las tres restricciones son del tipo y la cuarta es , las

variables de desviacin 4321 y ,, ssss del problema representan las cantidades por las que

se violan las metas respectivas. As, la solucin de compromiso trata de satisfacer todo lo

posible los siguientes cuatro objetivos:

Cmo se puede optimizar un modelo con varios objetivos y metas quiz conflictivas?

Para este fin se ha desarrollado dos mtodos:

1) El mtodo de los factores de ponderacin y 2) El mtodo de jerarquas.

Ambos se basan en convertir los diversos objetivos en una sola funcin, como se

detallarn en adelante.

ALGORITMOS DE PROGRAMACIN DE METAS

Ambos mtodos convierten las metas mltiples en una sola funcin objetivo.

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En el mtodo de los factores de ponderacin la funcin objetiva nica es la suma

ponderada de las funciones que representan las metas del problema.

El mtodo de jerarquas comienza dando prioridades a las metas en orden de importancia.

A continuacin se optimiza el modelo usando una meta cada vez, de tal modo que el valor

ptimo de una meta con mayor prioridad nunca se degrade debido a una meta con menor

prioridad.

En general, los dos mtodos propuestos no producen la misma solucin. Sin embargo,

ninguno de ellos es mejor que el otro, porque cada tcnica tiene por objeto satisfacer

ciertas preferencias en la toma de decisiones.

EL MTODO DE FACTORES DE PONDERACIN

Supongamos que el modelo de programacin de metas tiene metas, y que la sima meta se expresa como sigue:

El parmetro , representa factores de ponderacin positivos que reflejan las preferencias de quien toma las decisiones, respecto a la importancia relativa de cada

meta. Por ejemplo, , para toda significa que todas las metas tienen el mismo factor de ponderacin. La determinacin de los valores especficos de esos factores es subjetiva.

Ejemplo 2: TopAd es una nueva agencia de publicidad, con 10 empleados; ha recibido un

contrato para promover un producto nuevo. La agencia puede anunciarlo por radio y por

TV. La tabla siguiente contiene datos sobre la cantidad de personas a las que llega cada

tipo de anuncio, y sus requisitos de costo y mano de obra.

El contrato prohbe a TopAd que use ms de 6 minutos en anuncios por radio. Adems, los

anuncios por radio y TV deben llegar cuando menos a 45 millones de personas. TopAd ha

establecido para el proyecto una meta de presupuesto de $100 000. Cuntos minutos de

anuncios en radio y TV debe programar TopAd?

Solucin:

Sean las variables:

los minutos asignados a los anuncios por radio, los minutos asignados a los anuncios por TV.

La formulacin de programacin de metas para el problema es

sujetas a

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La gerencia de TopAd supone que la meta de exposicin tiene dos veces importancia de la

meta de presupuesto. Entonces, la funcin objetivo combinada se convierte en

La solucin ptima es

Todas las variables restantes son iguales a cero.

El hecho que el valor ptimo de no sea cero indica que no se cumple con al menos una meta.

En forma especfica, 1s indica que la meta de exposicin (de un mnimo de 45

millones de personas) no se cumple por 5 millones de individuos.

Al revs, la meta de presupuesto (no excederse de $10 000) no se viola, porque 2s .

La programacin de metas slo produce una solucin eficiente del problema, que no

necesariamente es la ptima. Por ejemplo, la solucin produce la misma exposicin ( millones de personas), pero cuesta menos ( ). En esencia, lo que hace la programacin de metas es determinar una solucin que satisfaga

slo las metas del modelo, sin considerar la optimizacin.

Esa eficiencia de encontrar una sola funcin ptima causa dudas sobre la viabilidad de la programacin de metas como tcnica de optimizacin.

EL MTODO DE JERARQUAS

En el mtodo de jerarquas, quien toma las decisiones debe clasificar las metas del

problema por orden de importancia.

Dado un caso de n metas, los objetivos del problema se escriben como sigue:

La variable es

is o

is representan la meta .

Por ejemplo, en el modelo TopAd,

1s y

2s .

El procedimiento de solucin considera una meta cada vez, comenzando con la mxima

prioridad y terminando con la mnima, . El proceso se hace de tal modo que la solucin obtenida con una meta de menor prioridad nunca degrade a alguna solucin de

mayor prioridad.

Las publicaciones sobre programacin de metas presentan un mtodo smplex especial que garantiza la no degradacin de las soluciones de mayor prioridad. En l se usa la regla

de eliminacin de columna que requiere eliminar una variable no bsica con de la tabla ptima de la meta , antes de resolver el problema de la meta . La regla reconoce que esas variables no bsicas, si se elevan respecto a cero en la optimizacin de

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las metas siguientes, pueden degradar (pero nunca pueden mejorar) la calidad de una meta

de mayor prioridad. En el proceso se requiere modificar la tabla simplex, para que

contenga las funciones objetivo de todas las metas del modelo.

La modificacin propuesta de eliminacin de columna complica la programacin de metas

sin necesidad. En esta presentacin demostramos que se puede llegar a los mismos

resultados en una forma ms directa, con los siguientes pasos:

Paso 0. Identificar las metas del modelo y clasificarlas en orden de prioridad:

Paso i. Resolver el PL que minimice a , y hacer que *

i defina el valor ptimo

correspondiente de la variable de desviacin . Si , detenerse; el PL resuelve el

problema de metas. En caso contrario, aumentar la restriccin *

i a las

restricciones del problema , para asegurar que no se degrade el valor de en los problemas futuros. Igualar , y repetir el paso .

Ejemplo 3: se resolver el problema del ejemplo 2 (TopAd) con el mtodo de jerarquas.

Supongamos que la meta de exposicin tiene mayor prioridad.

La solucin ptima (determinada por solver) es minutos, minutos,

1s

millones de personas y las variables restantes son iguales a cero.

La solucin indica que la meta de exposicin, , se viola con 5 millones de personas.

En el PL 1 se tiene que

1s . As, la restriccin adicional que se usar con el problema

es

1s .

Paso 2. Se debe resolver el PL 2, cuya funcin objetivo es

sujeto al mismo conjunto de restricciones que n el paso 1, ms la restriccin adicional 1s

.

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Eliminamos a 1s por sustitucin en la primera restriccin. El resultado es que le lado

derecho de la restriccin de la meta de exposicin cambiar de 45 a 40, y as el PL 2 se

reduce a

La nueva formulacin tiene una variable menos que la del PL1;

En realidad, la optimizacin del PL2 no es necesario en este ejemplo, porque la solucin

ptima al problema ya se obtiene 02 s .

Por consiguiente, la solucin del PL1 es ptima automticamente tambin para el PL2.

A continuacin indicaremos con un ejemplo cmo se puede obtener una solucin mejor del

problema del ejemplo anterior, si se usa el mtodo de jerarquas para optimizar los

objetivos ms que para satisfacer las metas.

Este ejemplo tambin sirve para demostrar la regla de eliminacin de columna para

resolver problemas de meta.

Ejemplo 4: Las metas del ejemplo 2 se pueden replantear como sigue:

Los lmites especficos de meta para exposicin y costo, que son 45 y 100, se eliminan,

porque el mtodo smplex los determinar en forma ptima.

As, el nuevo problema se puede plantear como sigue:

Paso 1.

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La solucin ptima (obtenida con slver) es , con , que muestra que la mxima exposicin que se puede alcanzar es 40 millones de personas.

Paso 2.

La solucin ptima del PL2, obtenida con Solver, es , minutos y minutos. Obtiene la misma exposicin ( millones de personas) pero a un costo menor que en el ejemplo anterior, donde el objetivo principal es satisfacer las metas ms que

optimizarlas.

Se resolver ahora el mismo problema usando la regla de eliminacin de columnas. Esta

regla indica conservar las filas objetivo asociadas con las metas en el cuadro smplex.

PL1 (maximizacin de la exposicin): la tabla smplex del PL1 tiene las dos filas objetivo

y . La condicin de optimalidad se aplica slo a la fila del objetivo . La fila desempea un papel pasivo en el PL1, pero debe actualizarse con el resto del cuadro

smplex, para prepararlo para la optimizacin en el PL2.

El PL1 se resuelve en dos iteraciones como sigue:

Iteracin Bsica Solucin 1 1 2 1 0 10

1 0 0 1 6 -4 -8 0 0 0 -8 -24 0 0 0

2

1

0 5

1 0 0 1 6 0 0 4 0 40 4 0 12 0 120

La regla de eliminacin de columnas establece la eliminacin de toda variable no bsica del cuadro ptimo del PL1, antes de optimizar el PL2.

Programa lineal 2 (minimizacin de costo): Con la regla de eliminacin de columna se

elimina (que tiene ). Se puede ver, en la fila de que si no se elimina

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ser la variable entrante al comenzar las iteraciones de y producir la solucin ptima , que degradar el valor objetivo ptimo del PL1 de a . El PL2 es del tipo de minimizacin. Despus de la eliminacin de . La tabla siguiente muestra las iteraciones del PL2. Los elementos de la fila de se han eliminado, pues esa fila ya no sirve para la optimizacin del PL2.

Iteracin Bsica Solucin 1

1 0 5

1 0 1 6 40 4 0 0 120

2 0 0

2

1 0 1 6 40 0 0 -4 96

La solucin ptima ( ) con una exposicin total de y un costo total de es igual que la que se obtuvo ms arriba.