103956 31622 ejercicios resueltos funciones mat62100
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1UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANADEPARTAMENTO DE MATEMTICAProf.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMTICAS I MAT62100
FUNCIONES
1.- Sea 0B BB , determine .H970Solucin: , luego debemos resolver la inecuacin .H970 B ! ! B BB B
Los puntos crticos para poder aplicar el "TVI" son ! . De esta manera podemosconstruir el "cuairito":
B _! ! ! _
! b
& & # #BB /
H970 ! .
2.- Sea 0B $ # BB #B ** , determine .H970
Solucin: , luego debemos resolver la ecuacinH970 B ! B #B **#B #B **# !, cuyo conjunto solucin es . "" * H970 "" * .
3.- Sea 0B $B%%$B , determine .H970
Solucin: H970 % $B !H970 % $B
H970 B
B
B
B
%$
H970 _ %$ .
4.- Sea 0B $691$B% , determine .H970
-
2Solucin: H970 $B % ! $B % "H970 $B % $B &
H970 B B
B B
B B
B B
% &$ $
H970 _ % &$ $ .
5.- Sea 0B #691 &B '%
, determine .H970
Solucin: H970 &B ' ! &B ' "H970 &B ' &B (
H970 B B
B B
B B
B B
' (& &
H970 _ ' (& & .
6.- Sea 0B %" B$ , determine .H970
Solucin: H970 " B $ !H970 " B $ !
H970 B $ "
H970 B $ "
H970 B #
B
B
B
B "
B %
H970 % # .
7.- Sea 0B %691 $B" #
& , determine .H970
Solucin: H970 $B " # ! $B " # "H970 $B " # $B " $
H970 $B " # $B " # $B " $
H970
B B
B B
B B
$B $ $B " $B "$
H970 B " B B
B B
B B
" "$$ $
H970 _ " _ " # %$ $ $ .
8.- Sea 0B %% ",B%B# , determine todos los valores de para los cuales la,funcin est definida.0 no
-
3Solucin: 0 no est definida si " ,B %B# ! o, luego el discriminante de laexpresin cuadrtica %B ,B "# debe ser un nmero no-negativo, es decir:
, % % " !
, "' !
, "'
, %
#
#
#
, _ % % _ .
9.- Sea 0B $ #B B "$ . Determine .V/-0
Solucin: B " "
0B
B #
#B # $
$ #B " "
$
$
$
$
luego V/-0 _" .
10.- Sea 0B "! %B B ! . Determine .V/-0
Solucin: B !!!
0B !
%B "! %B " "
luego V/-0 _"! .
11.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0B 0%B "$ #B
Solucin: Sea .C %B "$ #B
Para que se debe tener que .C B H970 $ $# #
-
4Si C B %B " $$ #B #
$C"%#C
$C #BC %B " $C " %B #BC $C " B% #C
B
Para que se debe tener que .B C # V/-0 #
12.- Sea . Determine dominio y recorrido de .0B 0 B "$ &BSolucin: .H970 B ! " B "$ &B $&
V/-0 C C C ! B H970 B "$ &BC
$ &B
B &B
B" &
B " B "$ &B $ &B
$C ""&C
C
C B "
$C " C
$C " C
B
#
#
# #
# #
#
#
V/-0 ! _ .
13.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0B 0$B ") &B
Solucin: Sea .C $B ") &BPara que se debe tener que .C B H970 ) )& &
Si C B $B " )) &B &
)C"$&C
)C &BC $B " )C " $B &BC )C " B$ &C
B
Para que se debe tener que .B C V/-0 $ $& &
14.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0B 0#B $B#
-
5Solucin: Sea .C #B $B#
Para que se debe tener que .C B ! H970 !
Si C B !
C !
C !
#B $B#
B C #B $
CB #B $ !
B
B
#
#
# # %C$#C
# %"#C#C
#
Para que se debe tener que , adems que si ,B C B " $$ #
entonces , .C ! V/-0 _ "$
15.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0> 0$#>>#
Solucin: Sea .C $#>>#
Para que se debe tener que .C > ! H970 !
Si C > !
C !
C !
$#>>
# # %C$#C
# %"#C#C
#
#
> C $ #>
C> #> $ !
>
>
#
#
Para que se debe tener que , adems que si , entonces> C > " $$ #
C ! V/-0 _, . "$
16.- Sean 0B 1B B
B
#
y & #B . Es ?0 1
Solucin: , luego H970 H971 _ _& # 0 1.
-
617.- Sean y 0B $ 1B " 0 1 B 1 0 B" "B &B# , determine y y
sus respectivos dominios.
Solucin: y .H970 ! H971 _! _ "&
0 1 B 0 1B
0 " B _! _
$ B _! _
$
" "&B &
" "&
&B&B"
#!B$&B"
" "&B#
Luego H97 0 1 _! _ "& .
1 0 B 1 0B
1 $ !
" !
" !
!
"B
"& $
B"&B &
"%B ""&B &
#
"B#
#
#
#
#
Luego H97 1 0 ! .
18.- y , determine y .Sea 0B 1B & B$B$ & 1 0 B V/-1 0
Solucin:
.
.
.
1 0
B 1 0B
1 B $
B $
B $
&B$
$
&
&
&B$
$B"%B$
Luego 1 0 B $B"% $&B"& & y V/- 1 0 .
-
719.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 0B "B# 0 0 BSolucin: y .H970 # V/-0 !
0 0 B 0 0B
0 B #
B #
B #
"B#
"
#
B# &B #
.
.
.
"B#
Luego , H97 0 0 # V/- 0 0 ! & "# # .
20.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 1B &BB$ 1 1 BSolucin: y .H970 $ V/-0 &
1 1 B
1 1B0 B $
B $
B $
B $
&BB$
&
$
*)
#&B *)B* )
&BB$
&BB$
#&BB$)B*B$
.
Luego , H97 $ V/- & 1 1 1 1 * #&) ) .
21.- y . Determine .Sea 0B 1B #B$ B$B" B# 0 1 B H970 1 V/-0 1, y
-
8Solucin:
.
0 1
B 0 1B
0 B #
B #
B #
B B #
B$B#
# $
"
B$B#B$B#BB#"B#
Luego 0 1 B B H970 1 0 1, y # V/- # .
22.- y . Determine Sea 0B B & 1B # " %B 0 1 B H970 1 V/-0 1, y
Solucin:
.
0 1
B 0 1B
0 B
& B
B
B
" %B
" %B
" %B &
' %B
"%
"%"%"%
#
Luego 0 1 B H970 1 _' %B y "% .Adems,
Si B %B " %B "
B
"%
0 1
' %B &
& 0 1 _V/- &
23.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 0B "$B% 0 0 B
Solucin: y .H970 V/-0 ! %$
-
9
0 0 B 0 0B
0 B
B
B
" %$B% $
" %$ % $
$B% % "*"*"#B $ "#
.
.
.
"$B%
Luego , H97 0 0 V/- 0 0 ! % "* "$ "# % .
24.- Sea , determine recorrido de haciendo uso del grfico de .0B $B 'B & 0 0#
Solucin: El grfico de est dado por una parbola convexa ( ) con vrtice0 + $ !Z " # V/-0 # _, por lo que .
25.- Sea , determine recorrido de haciendo uso del grfico de .0B ( #B &B 0 0#
Solucin: Sea y 0B #B &B ( + # , & - (#
Como la parbola es cncava hacia abajo y su vrtice es + # Z & )"% )
-
10
V/-0 _ )")
26.- Sea , determine .0B ( %B $B##0"&0#&0##0"
Solucin: 0" ! 0 # $ 0# "$ , y
#0"&0#&0##0" & "$#!
#!&$
!"&'&!"&'&$"$
27.- Sea , determine .0B $ &B #B#$0!%0#%0#$0!
Solucin: 0! $ 0# " 0 # #" , y
-
11
$0!%0#%0#$0! %#"$$
$$%"
*%)%*&(&""&
28.- Sea . Determine .0B $ 0! & 0# % 0%$B % =3 B # & =3 B #
& #B =3 B #
#
Solucin: 0! % 0# & 0% $( $ 0! & 0# % 0% ")&, y .
29.- Sea . Determine 0B %B & =3 B $ ) =3 B $
' $B =3 B $
#
0!#0$$0%0"
Solucin: , , y 0! & 0$ ) 0% %# 0" "
0!#0$$0% )$%#
0" "&"' "#'
"
"!&.
30.- Sea . Determine 0B $B ' =3 B # % =3 B #
' $B =3 B #
#
#
0"#0#$0&0$
Solucin: , , y 0 " $ 0# % 0& '* 0$ #"
0"#0#$0& $#%$'*
0$ #"$) #!(
#"#)$
.
.
31.- Sea . Determine 0B %B ( =3 B # % =3 B #
( %B =3 B #
#
#
0"#0#$0&0$
Solucin: , , y 0 " $ 0 # % 0 & *$ 0$ #*
-
12
0"#0#$0&
0$$#%$*$
#*$) #(*
#*#)%#*
.
32.- Sea . Determine .0B 0+ #$B % =3 B # & =3 B #
& #B =3 B #
#
Solucin: 0B $+ # % =3 + # # $+ "! =3 + % & =3 + # # & =3 + %
& #+ # =3 + # # #+ )+ "$ =3 + %
# #
33.- Sea . Determine .0B 0, $%B & =3 B $ ) =3 B $
' $B =3 B $
#
Solucin: 0, $ %, $ & =3 , $ $ %, "( =3 , ' ) =3 , $ $ ) =3 , '
' $, $ =3 , $ $ "), $, #" =3 , '
# #
34.- Sea . Determine .0B 0& >$B ' =3 B # % =3 B #
' $B =3 B #
#
#
Solucin: 0& > $& > ' =3 & > # $> $!> '* =3 > $ % =3 & > # % =3 > $
' $& > =3 & > # $> $!> '* =3 > $
# #
# #
35.- Sea . Determine .0B 0% D%B ( =3 B # % =3 B #
( %B =3 B #
#
#
Solucin:
0 % D%% D ( =3 % D # %D $#D &( =3 D ' % =3 % D # % =3 D '
( %% D =3 % D # %D $#D &( =3 D '
# #
# #
36.- Si , determine .1%B & B " 1$#
-
13
Solucin: Sea %B & B # 1$ # " * $ , luego .#
37.- Si , determine .1#B $ B 1
Solucin: Sea #B $ & B % 1& % "', luego .#
38.- Si , determine .1&B % B # 1>#
Solucin: Sea &B % B 1> # > >% >% >'& & &, luego . # #
39.- Si , determine .1$ #B # B 1>#
Solucin: Sea $ #B > B 1> # $> $> "># # #, luego . # #
40.-Sea 0B &B %B#. Demuestre que si 2 ! "$ %2, .02"0"
2
Solucin: 02"0" &2"%2" *
2 2"$2 %2
2
"$ %2
#
#
41.- Sea . Demuestre que si 0B B $B$ 2 !, 0B 20B
2 $B $ $B2 2# #.
Solucin: 0B 20B
2 2
B 2 B 2
B 2
2 2
$B $B2 2 $
$ $$ # # $ $
# #
$ B $B
$B 2$B2 2 $B$2 B $B
$B $B22 $
# #
42.- Complete el siguiente cuadro. Simplifique y racionalice cuando corresponda.
0B &B # #B $B "" (B
0"02 "
# #&B% $B
02"0"2 2 !
-
14
Solucin:
0B &B # #B $B "" (B
0" $ " # (
02 " &2 $ $2 %2 " % (2
& $2 %
#
#
#&B% $B
&2(" $2
02"0"2 " $2
( #'
%(2# 2 !
a)02"0"
2 2&2$ $
&22
&
b)02"0" $2 %2" "
2 2$2 %2
22$2%
2
#
#
$2 %
c)02"0"
2 2%(2 # %(2 #
%(2 #%(2 %
2 %(2 #
(2
2 %(2 #
(
%(2 #
d)02"0"
2 2
(
2#'2
2" $2#'
" $2
&2(" $2
&2((#"2" $2
43.- Sea . Demuestre que si , 0B 2 !" #
#B" 20B 20B
#B#2" #B" .
-
15
Solucin: 0B 20B
2 2
#B" #B2"
2
#B" #B#2"2
#22
" "#B2" #B"
#B#2" #B"
#B#2" #B"
#B#2" #B"
# #B#2" #B" .
44.- Sea . Demuestre que si , 0B 2 !" #B2B 2
0B 20B
B# #
B2# .
Solucin: 0B 20B
2 2
B B22B B2
B B #B22 2B B2
B B #B222B B2
#B222B B2
2#B2
" "B2 B# #
# #
# #
# # #
# #
# # #
# #
#
# #
2B B2# #
0B 20B
2#B2
B#B2# .
45.- . Sea Demuestre que si , 0B 2 !B " %B" 2 B2 "B2 "0B 20B2
Solucin: 0B 20B2
2 2
2
B 2 " B 2 "
2B2 "B2 "
B2 " B2 "B2 " B2 "
B 2 " B 2 "
B2 "B2 "
# # # #
# # # # %2
2B2 "B2 "%
B2 "B2 "
-
16
46.- . .Sea Demuestre que si ,0B 2 ! B # )B# 2 B 2#B 2#0B 20B2
Solucin: 0B 20B2
2 2
2
B 2# B 2#B 2# B 2#
B 2#B 2#B 2#B 2#B 2#B 2#
B 2 %2%B 2 %2 %B 2#B 2#
# # # #
2)2
2B 2#B 2#)
B 2#B 2#
47.- . .Sea Demuestre que si ,0B 2 ! #B " )"#B 2 "#B#2"#B#20B 20B2
Solucin: 0B 20B2
2 2
2
#B2" #B2""#B2 "#B2
#B#2" #B#2""#B#2 "#B#2
#B#2""#B#2#B#2""#B#2
"#B#2"#B#2
)2"#B#2"#B#2
2
2)2
2"#B#2"#B#2)
"#B#2"#B#2
48.- . .Sea Demuestre que si ,0B 2 !#B $ #B 'B#B2$2B 2 B B20B 0B2
# # #
#
Solucin: 0B 0B2
2 2
2#B %B 2#B2 $B 'B2$2 #B #B 2$B
2B B
#B $B B2
#B2$
#B $B #B22 #B#2$B
B B2
# #
# # #
# #
$ # # # # $ # #
#
2#B 2'B2#B2 $2
2B B2
2#B 'B#B2$22B B2
#B 'B#B2$2B B2
#
# # #
# #
#
# #
#
# #
-
17
49.- .Sea Demuestre que si ,0> 2 !$#>> 2
0> 0>2# .
'>$2#> #>2> >2
#
# #
Solucin: 0> 0>2
2
$#>> >2
$#>2# #
2
2$> '>2$2 #> %> 2#>2 $> #> #> 2
2> >
$#>> #>22 $#>#2>
> >2
# # #
# #
# # $ # # # $ #
# 2'>2$2 #> 2#>2
2> >2
2'>$2#> #>22> >2
'>$2#> #>2> >2
#
# # #
# #
#
# #
#
# #
50.- Los puntajes medios en las pruebas PSU de matemticas, en el ingreso deestudiantes a cierta universidad, han disminuido a una tasa constante en los aosrecientes. En 2003, el puntaje medio fue 525, mientras en 2008 fue 495. Expresar el puntaje medio como una funcin del tiempo. Si la tendencia contina, cul ser elpuntaje medio de los estudiantes en el ao 2010?
Solucin: Sea el T puntaje medio en las pruebas PSU de matemticas y el ao en> que se toma la PSU (con , para el ao 2003); luego si , y> ! > ! T & si , . De esta manera> & T %*&
7 %*&&&! '
T & T> o .'> ! '> &
Adems, en el ao 2010 se tiene que > (, por lo que el puntaje medio delos estudiantes en ese ao ser de puntos.T( %)$
51.- El modelo exponencial aproxima la cantidad de personas con laU> ")$!!
#*!$#!#!&>
influenza AH1N1, durante una epidemia, despus de das. Cuntas personas con la influenza>AH1N1 haba en un comienzo? En qu momento habr 61 personas con la influenza AH1N1?
Solucin: En un comienzo haba U! $!")$!!
#*!$#!#! personas, aproximadamente, con la
influenza AH1N1.
Para determinar en que momento habr 61 personas con la influenza AH1N1 debemos
resolver la ecuacin .'" ")$!!
#*!$#!#!&>
-
18
Si '"
#*! $#! #
#*! $#! #
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'"
$#!
$#
> "!
Por lo tanto, a los 10 das habr 61 personas, aproximadamente, con la influenza AH1N1.
52.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones 0B B #,1B % y .2B % B
Solucin:
53.- Grafique la funcin dada por: .0B =3 B "
$ =3 B "
=3 B "
$ &B
" B#
Solucin:
-
19
54.- Trazar la grfica de la funcin , incluidas todas las0B B B # intersecciones con los ejes y \ ] (si existen) Con la ayuda del grfico determineV/-0 .
Solucin: si si 0B B #B #
#B # #
Luego V/-0 _ #
55.- Hallar los puntos de interseccin (si los hay) de las parejas de curvas dadas ydibujar las grficas. e C % #B C B (B %#
Solucin: B (B % % #BB *B !BB * #
#
#
-
20
B ! B * * ## y , luego los puntos de interseccin son: y! %. Y su grfico es:
56.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin limitada por las curvasC # C # ]""B B", y el eje , identificando claramente los puntos de interseccin.
Solucin: C #""B C #B"
-
21
57.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin limitada por las curvasC $B (B# y .B $C !
Solucin:
58.- Grafique, en un mismo sistema de coordenadas, la regin limitada por las curvas C #$B,C #B" , identificando claramente los puntos donde se intersectan cada una de las y el eje ]curvas.
Solucin: Sean C #$B y C #B"
Para determinar el punto de interseccin de la curva con el eje , hacemos yC #$B ] B !obtenemos el punto ; para determinar el punto de interseccin de la curva con! ) C #B"
el eje , hacemos y obtenemos el punto ; finalmente para determinar el punto de] B ! ! #
-
22
interseccin de la curva con la curva resolvemos la ecuacin C #$B C #B" # #$B B"
y obtenemos el punto ." %
59.- El ingreso mensual por concepto de la venta de unidades de cierto artculo est dado porBMB 'B ! "B#. Determine el nmero de unidades que deben venderse cada mes con elpropsito de maximizar el ingreso. Cul es el correspondiente ingreso mximo? Haga un dibujoque represente la funcin ingreso.
Solucin:
Como la funcin ingreso M se representa como una parbola cncava, el punto mximo
es el vrtice dado por , donde y ; luego el + ! " , '!, ,#+ #+ M vrtice es As, $! *! deben venderse 30 unidades cada mes con el propsito demaximizar el ingreso y el ingreso mximo es de 90 (u.m.).
60.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin limitada por las curvasC
"B , e , identificando claramente los puntos de interseccin.C %B C )
Solucin:
-
23
61.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin limitada por las curvasC B )B "## , e , identificando claramente los puntos deB &C #% ! C ' Binterseccin.
Solucin: Para determinar los puntos de interseccin , y se resuelven,E F Grespectivamente, los sistemas
C ' B
!B &C #%
yC 'B
B )B "##
C
C
!
B )B "#
C #%
#
B &
-
24
62.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin en el primer cuadrantelimitada por las curvas BC ", e , C *B ! B *C identificando claramente lospuntos de interseccin.
Solucin: Para determinar los puntos de interseccin , y se resuelven,E F Grespectivamente, los sistemas
B B
B
C " C C *B !
C *B B
"
! *C *C
y
-
25
63.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin en el primer cuadrantelimitada por las curvas C "B , e , C %B ! B %C identificando claramente lospuntos de interseccin.
Solucin: Para determinar los puntos de interseccin , y se resuelven,E F Grespectivamente, los sistemas
C
! %C %C
" "
B BBC %B B
C C %B ! y
64.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la regin limitada por las curvasC B "#, e , identificando claramente los puntos deC B " C #B #interseccin.
Solucin:
-
26
65.- El ingreso mensual (en cientos de dlares) obtenido por la venta de cierto artculo seM
relaciona con el precio unitario (en dlares) mediante la ecuacin .: M: "#: $!:
#
Determine el precio unitario que maximiza el ingreso mensual. Cul es el correspondienteingreso mximo? Haga la grfica que represente la funcin ingreso
Solucin:
Como la funcin ingreso M se representa como una parbola cncava, el punto mximo
es el vrtice dado por , donde y ; luego el vrtice + , $!, ,#+ #+ M "#es As, $! %&! el precio unitario que maximiza el ingreso mensual es de 30 dlares y elingreso mximo es de 45.000 dlares.
66.- Halle dos nmeros tales que la suma de sus cuadrados sea mnima y la suma de ellos sea .#!
Solucin: Sean B C e los nmeros. La suma de los cuadrados est dada por:W B C# # (*)
y la restriccin porB C #!.
Despejando de esta ecuacin se tiene queCC #! B,
sustituyendo esta expresin en (*), tenemos queW B #! B #B %!B %!!# # # .
De esta manera hemos expresado la suma de los cuadrados como una funcin de lavariable ,B
-
27
WB #B %!B %!!# ,cuya grfica es:
Puesto que la parbola se abre hacia arriba, el valor mnimo de se da en el vrticeWZ "! #!! B "! C "!. Luego los nmeros son e .
67.- Halle los valores de y para que y sean races del polinomio E F " ":B B EB FB B "& % $ .
Solucin: Si y son races del polinomio , entonces" " :B B EB FB B "& % $
:" "EF " " ! : " "EF " " ! y ,luego:
" EF !EF " !
Y resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que y .E " F !
68- Sean y . Usando divisin sinttica, determine :B B #B " ;B B -B$ "#y , con , tal que .
-
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Solucin: Coeficientes de
Coeficientes de y
:B " ! # "
+ " " " "# # # # "
-B "
" (# %
" (# %