10.1) resp series de potencia

7/25/2019 10.1) Resp Series de Potencia

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Respuestas Gua de ejercicios N10 parte Complemento

Series de Potencias

1. 1) Usando el criterio de la raz obtenemos que:

lmn

|an| =|x+ 3|2


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Six = 1max{ea,ea} , entonces el termino general lmn

sinh(an)max{ea,ea} =

12

, entonces la seriediverge.

pues el termino general no tiende a cero.

8) Usando el criterio de la raz obtenemos que:

lmn|an| = lmn |an

x| = 0< 1Entonces la serie converge parax R

9) Usando el criterio de la raz obtenemos que:

lmn

|an| =e|x|


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Six = 1, se obtiene

1n ln(n)a

la cualconvergesia >1ydivergesea 1.Six = 1, se obtiene (1)nn ln(n)a la cualconvergepues lmn 1n ln(n)a .

2. Six [1, 1]n=0

|cnxn| n=0

|cn| <

3. Haciendo el cambio de variabley = x2 obtenemos la serie original, de esta forma se obtiene que el radio

de convergencia es |y| < Ro lo que es equivalente a |x| < Rcon lo cual el radio de convergencia de estaserie es

R

4. Basta notar que podemos reescribir esta expresion como

f(x) = 1

(1 x2)2 = d

dy

1

1 y

y=x2=

n=0

nx2(n1)

5. Tenemos quey = f(x) =x+ex

, es decir

d2y

dx2 =ex

que reemplazando, cumple la ecuacion.

6. La formula del resto de Taylor nos dice que R(f) = f(n+1)()(n+1)! (x a)n+1 para algun [0, 12 ], luego

R(f) (xa)n+1(n+1)!

. Paran = 4, obtenemos que el restoR(f)< 103.

e12

4k=0

(1)k2kk!

= 0,606

7. En el ejercicio (21) mostramos que:n=1

nxn = x

(1 x)2

Es decir

n=0

n2n

= 2

8. Haremos el desarrollo para elsinh(x)(cosh(x)se resuelve de forma analoga).

sinh x=ex ex

2 =

1

2

n=0

(1 (1)n) xn

n!

Ademas(1 (1)n) =

2, nimpar;0, 0par.

. Es decir

sinh x=

n=0x2n+1

(2n+ 1)!y cosh x=

n=0x2n

(2n)!

9. x2 d

dy

1

1 y

y=x3=

n=0

(1)n1nx3n1. Notemos que el coeficiente que acompana al terminox100 es

0luegof(100)(0) = 0.

10. Como f(x) =

n=0cnxn es par, tenemos que f(x) = f(x), es decir n=0cnxn =n=0(1)ncnxn.

Luego[(1)n 1]cn = 0 n. Paranpar, la igualdad se cumple y paranimpar 2cn = 0 cn = 011. Sabemos que la serie esta centrada enx0= 3, luego, como la serie converge parax = 1y la derivada

tiene el mismo radio de convergencia obtenemos que el radio de convergencia 4 R 7.

12. 1

1 x =

ln(1

x) =

n=0xn+1

n+ 1

y 1

1 +x

= ln(1 +x) =

n=0(1)nx

n+1

n+ 1

. Entonces

ln

1 +x

1 x

= ln(1 +x) ln(1 x) =n=0

[(1)n + 1]xn+1

n+ 1= 2

k=0

x2k+1

2k+ 1

3


4/8



13. d2y

dx2 =

n=0

ann(n 1)xn2 =n=0

an+2(n+ 2)(n+ 1)xn.

Reemplazandoy(x)en las condiciones iniciales obtenemos que

y(0) = 1 =a0

y(0) = 0 =a1

Utilizando la ecuacion obtenemos que

d2y

dx2+y =

n=0

an+2(n+ 2)(n+ 1)xn +

n=0

anxn =

n=0

[an+2(n+ 2)(n+ 1) +an] xn = 0

Es decir

an+2= an

(n+ 2)(n+ 1)

14. ex1x =

11!

+ x2!

+ x2

3!+ . . .=

k0

xk

(k+1)!. El valor dese obtiene al reemplazar porx= 0en la representacion

en serie de potencia, es decir = 1. 10

f(x)dx=k0

1

(k+ 1)!(k+ 1).

15. Seananlos coeficientes de la serie de Taylorf(x) =k=0

anxn

(1) an =

1, si;n= 05, si;n= 11, si;n= 50, eoc.

(2) an =

2, si;n= 03, si;n= 51, si;n= 70, eoc.

(3) f(x) n

k=0

(1)k(2k)!

x6k+1.

(4) f(x) 1 +n

k=0

(1)k(2k+ 1)!

22k+1x2k+1.

(5) f(x) n

k=0

xk

2k+1.

(6) f(x) nk=0

(1)k x2k+1k!

(7) cosh(x) =k=0

x2k

(2k)!

f(x) k=0

32kx2k

(2k)!

(8) f(x) 2n

k=0

x4k+2

2k+ 1(Ver ejercicio 16.8).

(9) f(x)

n

k=0

(

1)kxk.

16. (1)

10

cos

x

dx=

10

n=0

(1)n(2n)!

x2n

dx=

n=0

(1)n(2n)!

xn+1

n+ 1

1

0

=

n=0

(1)n(2n)!

1

n+ 1.

4


5/8



(2)

20

sin

x2

dx=

20

n=0

(1)n(2n+ 1)!

x4n+2dx=

n=0

(1)n(2n+ 1)!

24n+3

4n+ 3.

(3)

10

x cos

x

dx=

10

n=0(1)n(2n)!

xn+1dx=

n=0(1)n(2n)!

1

n+ 2.

(4)

11

ex2

dx=

11

n=0

(1)n x2n

n! dx=

n=0

(1)nn!

x2n+1

2n+ 1

1

1=

n=0

(1)nn!

2

2n+ 1.

(5) Notemos quearctan (x) =

x0

du

1 +u2 =

x0

n=0

(1)nu2ndu=n=0

(1)n x2n+1

2n+ 1. Luego

1/50

arctan (x) dx=

1/50

n=0

(1)n x2n+1

2n+ 1dx=

n=0

(1)n2n+ 1

(1/5)2n+2

2n+ 2 .

(6)

10

sin x

x dx=

10

n=0

(1)n(2n+ 1)!

x2ndx=

n=0

(1)n(2n+ 1)!

1

2n+ 1.

(7) 1/20

x

2

1 +x dx= 1/20

x2

n=0

(1)nxn =n=0

(1)n xn+3

n+ 31/2

0=

n=0

(1)n (1/2)n+3

n+ 3 .

(8) Notemos que

1

1 x = ln(1 x) =n=0

xn+1

n+ 1. Entonces

ln(1 +x2) =n=0

(1)nn+ 1

x2n+2

ln(1 x2) =n=0

x2n+2

n+ 1

ln1 +x2

1 x2

=n=0

(1)n + 1n+ 1

x2n+2

= 2

n=0

x4n+2

2n+ 1.

Finalmente r0

ln

1 +x2

1 x2

dx= 2n0

r4n+3

(4n+ 3)(2n+ 1)

donde |r|


6/8



Por lo tanto

sin3 x= 3

4

k0

(1)k x2k+1

(2k+ 1)!+

1

4

k0

(1)k32k+1 x2k+1

(2k+ 1)!= 3

k0

1 + 32k

4

(1)k x

2k+1

(2k+ 1)!

c) f(x) = x

1 +x 2x2

= x

(1 + 2x)(1 x) =1

3

11 x

1

1 + 2x

= 1

3

k=0

xk (2x)k = 13

k=0

(1 (2)k)xk

d) f(x) =

12 5x

6 5x x2

= 1

7

17

x+ 6+

18

x 1

= 1

7

k0

(1)k

6

x6

k xk

e) f(x) =

1

1 +x+x2

(1 x)(1 x) = (1 x)

k=0

x3k =k=0

x3k x3k+1

21.

n=1

nxn =x n=1

nxn1 =x ddx

n=0

xn =x ddx

11 x = x(1 x)2

Tiene el mismo radio de convergencia de la serie geometrica.

n=1

n

5n =

n=1

n 1

5n =

x

(1 x)2x=1/5

22. Notemos que al definirf(0) = 16

, la funcion es infinitamente diferenciable, luego, tiene sentido calcularsu serie de Taylor.

sin x xx3

=

x x3

3! +. . .

x

x3

= k0(1)k

(2k+ 1)!

x2k2

Notemos, ademas, que al evaluar en cero el desarrollo en serie de la funcion f(x), obtenemos quef(0) =a0= 16 , que corresponde al valor con que se definio.

23.

a)n=0

(1)n xn =n=0

(x)n = 11 +x

b) 1 +x+n=2

(1)n xn = 1 +x+ 11 +x

(1 x) = 2x+ 11 +x

c)

n=0

(1)n x

n

n! =ex

d)n=0

(1)n2n

xn = 1

1 x2

e)n=0

(1)n x5n

n+ 1=

n=0

(1)nyn+1

n+ 1

1

y

y=x5

= 1

y

y0

n=0

(u)nduy=x5

= 1

y

y0

1

1 +udu

y=x5

= 1

yln(1 +y)|y=x5 =

1

x5ln(1 +x5)

f)n=0

(n+ 2) (n+ 1) xn = d

dx2

n=0

xn+2 = d

dx2x2

n=0

xn = d

dx2x2

1 x = 2x

1 x + x2

(1 x)2

24. a) Usando el criterio del cociente tenemos que |x| < 1, ademas, notamos que para x =1, la serietambien converge, es decir, el dominio de la funcion es[1, 1].

b) Al igual que el ejercicio anterior |x|


7/8



c)n=1

xn

(2n 1)(2n+ 1)x=1

=

n=1

1

(2n 1)(2n+ 1) = 1

2

n=1

1

2k 1 1

2k+ 1 =

1

2

25.

n=1

n(n+ 1)!

= n=1

1n!

n=1

1(n+ 1)!

= 1

1! = 1

n=0

(1)n+1(n+ 3)n!

=

10

n=0

(1)n+1xn+2n!

=

10

x2n=0

(x)nn!

10x2ex =13e2

26.

a)

x3 + 1 = (1 +x3)12 . Seaf(x) =

1 +x, luego

f(0) = 1

f(0) = 1

2

1 +x

x=0

= 1

2

f(k)(0) = dk

dxk(1 +x)

12

x=0

= 1

2

12

32

. . .

=(1)k12

12

22

32

42 2

. . .

=(1)k1

2

(2k 3)!22k(k 2)!

Entonces

f(x) =

1 +x= 1 +x

2+

k2

(1)k12

(2k 3)!xk22k(k 2)!k!

Por lo tanto 1 +x3 = 1 +

x3

2 +

k2

(1)k12

(2k 3)!x3k22k(k 2)!k!

b)

f(x) = d

dx

1 +x

= d

dx

2

1 + x

2+

k2

(1)k12

(2k 3)!xk22k(k 2)!k!

= 1 +k2

(1)k122k+1

(2k 3)!xk1(k 2)!(k 1)!

= 1

1 +x

11 +x2

= 1 +k1

(1)k22k+3

(2k 3)!x2k(k 1)!k!

7


8/8



c) Analogo al ejercicio anterior, tenemos que f(x) = 1

2

11 +

x22

. Entonces

1

2 x2

= 1

2+

1

2 k1(1)k+1

22k+4

(2k 3)!x2k

(k 1)!k!

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10.1) resp series de potencia

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