100412a_288 trabajo fase 2 (1)

8/17/2019 100412A_288 Trabajo Fase 2 (1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412


FASE DOS

Presentado a:Jorge Enrique Taboada

Tutor

Entregado por:

!!!!!! !!!! !!!!!C"digo: !!!!!

!!!!!! !!!! !!!!!C"digo: !!!!!

UNI#ERSIDAD NACIONAL A$IERTA % A DISTANCIA & UNADESCUELA DE CIENCIAS $ASICAS' TECNOLO()A E IN(ENIER)A

PRO(RA*A DE IN(ENIERIA ELECTR+NICACEAD I$A(UE

A$RIL ,-./I$A(UE 0 TOLI*A

INTRODUCCION

8/17/2019 100412A_288 Trabajo Fase 2 (1)

2/24



Cod. 100412

DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD INDI#IDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior 1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales

homogéneas con coecientes constantes y cuáles son diferencialeslineales no homogéneas y resuélvalas.

A.

Respuesta

No1bre estudiante que rea2i3a e2e4er5i5io:

Ed6in *auri5io Casti22o (ar3"n

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PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

( )

( )

y´́ 2 ´ 8 0

: 0 0

´ 0 1

y y

Dónde y

y

+ − ==

= −

Ecuación a Solucionar

2 2 8 0

( 4)( 2) 0

4 0; 2 0

4; 2

m m

m m

m m

m m

+ − =+ − =

+ = − == − =

Polinoio !aracter"stico

4 2

1 2

−= + x x y c e c eSolución #eneral

( 4(0) (2(0)

1 2

1 2 1 2

( 4 ) 2

1 2

0

0

4 2 x x

c e c e

c c c c

y c e c e

−

−→

= +

= + = −= − +

!oo y(0)$0

( 4(0) (2(0)

1 2

1 2

2 2

2 2

2

2

1 4 2

1 4 2

1 4( ) 2

1 4 2

1 %

1

%

c e c e

c c

c c

c c

c

c

−− = − +

− = − +

− = − − +

− = +

− =

− =

1 2

1

1

1

%

1

%

= −

− = − ÷

=

c c

c

c

!oo y´(0)$1

4 21 1

% %

−= − x x y e eSolución #eneral

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&.

Respuesta


Ri59ard Torres

PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA RA8ON O EPLICAC ION

´´ +8 ´ + 16 = 0 Ecuación a Resol'er

m2+8m+16=0

(m+4 ) (m+4 )=0

(m+4 )2=0

m+4=0o m+4=0

m1=−4 o m

2=−4

Ecuación diferencial lineal homogénea

dado que es igual a cero y con

coeficientes constantes dado que cada

uno de los valores que acompaan a

las derivadas y a la varia!le " sontodos n#meros reales$

%esolvemos haciendo uso de la

ecuación au&iliar asociada a esta

ecuación

y=c1 e−4 x+c2 x e

−4 x 'omo las ra(ces son iguales se tiene

entonces que la solución general a esta

ecuación es)

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!.

Respuesta

No1bre estudiante que rea2i3a e2 e4er5i5io: Ri59ard Torres Sn59e3PROPOSICION ENUNCIADO O

EPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

'$ ´´ +* ´ = 0,

-onde y.0/=0, y´.0/=1

Ecuación a Resol'er

´´ +* ´ = 0

Ecuación diferencial lineal homogénea

dado que es igual a cero y con

coeficientes constantes dado que cada

uno de los valores que acompaan a

las derivadas y a la varia!le " sontodos n#meros reales$

m2+2m−1=0 %esolvemos haciendo uso de la

ecuación au&iliar asociada a esta

ecuación

m=

−b± √ b2−4ac2a ; donde a=1; b=2 ; c=−

m=−2±√ 2

2−4 (1)(−1)2(1)

m=−2±√ 4+4

2(1) =

−2±√ 82

=−2±2√ 2

2=−1±

samos la formula cuadr2tica para ello

m1=−1+√ 2 y m2=−1−√ 2 -adas estas soluciones se puedededucir que

y=c1

e (−1+√ 2) x+c2

e (−1−√ 2) x 3s( la solución general de la ecuación

diferencial es)

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y (0 )=0→ c1

e (−1+√ 2 )0+c2

e (−1−√ 2)0=0

c1

e(0 )+c

2e

(0 )=0

c1+c

2=0→c

1=−c

2

samos las condiciones iniciales para

hallar las constantes)

y' =(−1+√ 2) c1 e

(−1+√ 2) x+(−1−√ 2 ) c2 e(−1−√ 2 ) x

y' (0 )=−1

(−1+√ 2) c1 e(−1+√ 2)0+(−1−√ 2 ) c2e

(−1−√ 2)0=−1

(−1+√ 2) c1 e(0)+(−1−√ 2 ) c2 e (

0 )=−1

(−1+√ 2) c1+(−1−√ 2 ) c2=−1

−1c1+c1√ 2−c2−√ 2c2=−1

-erivamos la función

−1(−c2)+(−c2)√ 2−c2−√ 2c2=−1

c2−c2 √ 2−c2−√ 2c2=−1

−2√ 2c2=−1

c2= −1−2√ 2

=√ 2

4

c1=−c

2→c

1=−√ 2

4

4ero comoc

1=−c

2 entonces se

deduce que)

y=c1

e (−1+√ 2) x+c2

e (−1−√ 2) x

y=−√ 2

4e

(−1+√ 2) x+√ 2

4e

(−1−√ 2) x

'onocidas las constantes de la

ecuación diferencial esta se reduce a)

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y=−√ 2

4e

(−1+√ 2) x+√ 2

4e

(−1−√ 2) x

.

Respuesta

No1bre estudiante que rea2i3a e2 e4er5i5io:PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

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Cod. 100412

E.

Respuesta

No1bre estudiante que rea2i3a e2e4er5i5io: Car2os (eo;an< *oran


RA8ON O EPLICACION

y' ' −4 ' +4 y=0 Ecuaciones a Resol'er

m2−4 m+4=0 Ecuación lineal homogénea

Asignamos una ecuación auxiliar

(m−2)2=0 Trinomio cuadrado perfecto

√ (m−2)2=√ 0

m−2=0

y1=e2 x

, y2= xe2 x

e sacamos ra!" cuadrada a am#os

lados

y ( x )=C 1 e2 x+C 2 e

2 x

a solución de la ecuación seria$

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1=C 1

e2 (1)+C

2e2 (1 )

1=C 1e2+C 2 e

2

C e

2(¿¿1+C 2)1=¿

Le damos valor a (x)

Donde y(1) = 1

C 1=

1

e2−C

2

1±2e

2

(

1

e2−C 2+C 2)

%espe&amosC

1

y=C 1 e2 x+C 2e

2 x

y=2C 1 e2 x+2C 2 e

2 x

1=2C 1 e2(1)+2C 2 e

2 (1)

1=2C 1 e2

+2C 2e2

Donde y’ (1) =1

1=2e2(C 1+C 2) 'acamos términos seme&antes

2. %emostrar que

X

(

X

) son soluciones linealmente independientes de

la siguiente ecuación diferencial$

RespuestaNo1bre estudiante que rea2i3a e2 e4er5i5io:PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

2 4 % 0n dy

x y x ydx

− + =

En el inter'alo:

Ecuación a resol'er

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Cod. 100412

* +*−∞ ∞

. *esolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de

parámetros$

2, sec y y x+ =

Respuesta


Ri59ard Torres

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RA8ON O EPLICACION

2, sec y y x+ = Ecuación a resol'er

m2+1=0

m2=−1→ m=±√ −1=± i

4artimos resolviendo la ecuación

au&iliar de esta ecuación diferencial

yc=c1 cos x+c2 sin x -e manera que las ra(ces de la

ecuación au&iliar sonm

1=i y m

2=−i

cuya solución complementaria es)

x , sin x

cos¿¿

W ¿

-e aqu( identificamos que

y1=cos x y y

2=sin x

'alculamos ahora el 5ronsiano

w1=|

0 y2f ( x) y2' |=|

0 sin xsec

2 x cos x|=−sin x sec

w2=| y1 0 y1' f ( x)|=|

cos x 0

−sin x sec 2 x|=cos x sec

4ara este caso se tiene quef ( x )=sec2 x calculamos as( 51 y 5*

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Cod. 100412

μ1'

=

w1

W =−sin x sec2 x

1 =−sin x sec2

x

μ1=∫−sin x sec2 x dx=−∫ sin x∗(1+tan2 x )

μ1=−(−cos x )−∫ ( sec2 x−1 ) dx=cos x−∫ s

μ1=cos x−tan x+ x

μ2

' =w

2

W

=cos x sec

2 x

1

=cos x sec2 x

μ2=∫cos x sec2 xdx=∫ cos x∗(1+ tan2 x )dx

μ2=sin x+∫ ( sec2 x−1) dx=cos x+∫ sec2 x

μ2=sin x+tan x− x

3hora encontraremos las funciones

μ1 y μ2 que determinar la ecuación

particular de la solución general de la

ecuación diferencial$

y p= μ1 y1+u2 y2

y p=(cos x−tan x+ x )cos x+(sin x+ tan x− x )

y p=cos2 x−tan x cos x+ xcos x+sin2 x+ tan

cos

(¿¿2 x+sin2 x)−tan x cos x+ xcos x+ tan x si y p=¿

y p=1−tan x cos x+ xcos x+ tan x sin x− xsin

3s( la solución particular de la ecuación

diferencial es)

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y= yc+ y p

y= yc+ y p= (c1cos x+c2 sin x )+ (1−tan x cos

y=( c1 cos x+c2sin x )+(1+ tan x (sin x−cos x

y=( c1cos x+c2sin x )+[1+ tan x (sin x−cos x-e manera que la solución general de

la ecuación diferencial es)

4. *esolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coecientes

indeterminados$

Respuesta

No1bre estudiante que rea2i3a e2 e4er5i5io: Ed6in *auri5io Casti22o (=PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

2 1+ + =′′ +' y y y x Ecuación a solucionar

2 2 0

( 2)( 1) 0

2 0; 1 0

2; 1

m m

m m

m m

m m

+ + =+ + =

+ = + == − = −

Polinoio caracter"stico

2

1 2

− −= + x x p y c e c eSolución -e la Ecuación oo/nea

isocia-a

( ) ( )

´ ; ´´ 0

2 0 2

2 2

p p y A y

= +

= =

+ + = + + +

= + +

p

'' '

p p p

y Ax B

y y y A Ax B

A Ax B

!oo /(+)$1 es lineal suponeosue un solución particular tiene la

3ora:

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2 1 2

2

1 2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

2 2

2

5

22

1

5

4

= = +

=

= +

= + ÷

= +

− =

−=

−

=

−=

Ax x ˆ A B

A

A B

B

B

B

B

B

B

Entonces

5

2 4= −

p y x Solución particular

2

1 2

5

2 4

− −= + = + + − x x h p

y y y c e c e x Solución #eneral

6. +ncontrar el operador diferencial que anule a$

a.

% x x xye+

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7.

2( 2 )( 1) x x x− −

c.

x xe

RespuestaNo1bre estudiante que rea2i3a e2 e4er5i5io:PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESI+N *ATE*7TICA

RA8ON O EPLICACION

Ecuación a resol'er

%. *esolver la siguiente ecuación diferencial$

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Cod. 100412

Respuesta


Ri59ard Torres


RA8ON O EPLICACION

2 , ´ 0 x y xy y+ + = Ecuación a resol'er

a=1b=1c=1

am2+ (b−a )m+c=0

8órula para la solución

1m2+(1−1 ) m+1=0 Reepla9aos la 3orula por los 'alores

-e a 7 y c

1m2+m+1=0

m2=−1

m=√ −1

m=± j

esarrollaos la ecuación

y1=c1 x0

cosLn| x|

y2=c2 x0senLn| x|

Reepla9aos en la 3órula -e ra"ces

cople;as por lo cual:

y=c1

cosLn| x|+c2

senLn| x| Solución /eneral

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DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD COLA$ORATI#A

Pri1era A5ti;idad

,na masa que pesa - l# estira un resorte / pulgadas al llegar al reposo en

equili#rio y se le aplica una velocidad de 0 pies2seg dirigida hacia a#a&o.

%espreciando todas las fuer"as de amortiguación o externas que puedan estar

presentes determine la ecuación de movimiento de la masa &unto con su

amplitud periodo y frecuencia natural. 3uánto tiempo transcurre desde que se

suelta la masa hasta que pasa por la posición de equili#rio4

PROPOSICION ENUNCIADO OEPRESION *ATE*ATICA

RA8ON O EPLICACION

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Cod. 100412

Segunda A5ti;idad

EJERCICIO % SOLUCI+N PLANTEADA O$SER#ACIONES' ANEOS'

*ODIFICACIONES A LA

SOLUCI+N PLANTEADAEnuncia-o:

Enuncia-o: El o'iiento -e un sistea masa-resorte con

aorti/uación est< re/i-o por la ecuación -i3erencial:

0262

2

=++ xdt

dxb

dt

xd

En -on-e

1)0( = x

0)0(= = x.

Encuentre la ecuación -el o'iiento para los si/uientes casos:

Caso 1: >o'iiento su7aorti/ua-o:

%=b.

Caso 2: >o'iiento cr"ticaente aorti/ua-o:

10=b.

Caso 3: >o'iiento so7reaorti/ua-o:

14=b.

Solucin:

Caso 1:

%=b?a ecuación caracter"stica es:

Enuncia-o:

Enuncia-o: El o'iiento -e un sistea masa-

resorte con aorti/uación est< re/i-o por la

ecuación -i3erencial:

d2 x

d t 2 +b

dx

dt +25 x=0

En -on-e

x (0 )1Y x ' (0)0.

Encuentre la ecuación -el o'iiento para los

si/uientes casos:

Caso 1: >o'iiento su7aorti/ua-o:

%=b.

Caso 2: >o'iiento cr"ticaente aorti/ua-o:

10=b.

Caso 3: >o'iiento so7reaorti/ua-o:

14=b.

So2u5i"n

Caso .: 7 = %

?a ecuación caracter"stica es:

λ2+6 λ+25=0 cuyas ra"ces son

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Cod. 100412

0262 =++ λ λ b cuyas ra"ces son

i42

100%% 2±−=

−±−

?a ecuación -e o'iiento tiene la 3ora:

t eC t seneC t x t t cos)( 42

4

1

−− +=

++−= − )cos()(=

21

4

1 t C t senC et x t

)cos(4 21 t senC t C e t +−−

Para

1)0( = x y

0)0(= = x se tiene el sistea:

11 C =

21 40 C C +−=

Por tanto:

11 =C

y

4

2 =C

8inalente la ecuación -e o'iiento tiene la 3ora:

)cos4

()( 4 t t senet x t += −

Caso 2:

10=b


0262 =++ λ λ b

cuyas ra"ces son

62

1001010 2=

−±−


t t t et C C teC eC t x 621

6

2

6

1 )()( +=+=

t t et C C eC t x

6

21

6

2 )(6)(= +−=

Para

1)0( = x y


11 C =

λ=−6±√ 6

2−4 (1 ) (25 )2 (1 )

λ=−6±√ 36−100

2

λ=−6±√ −64

2

λ=−6±8 i

2

λ=−3±4 i

?a ecuación -e o'iiento tiene la 3ora

y=C 1 eα cos ( βx )+C 2 e

α sen ( βx )

x (t )=C 1e3 t sin (4 t )+C 2e

3 t cos (4 t )

x' (t )=3C 1 e

3 t sin ( 4 t )+4C 1e

3 t cos ( 4 t

x' (t )=C 1 e

3 t [3sin (4 t )+4cos (4 t ) ]+C

Para x (0 )=1

y x' (0 )=0 se tiene

el sistea1=C

2

0=4C 1+3C

2

−3=4 C 1

C 1=−34

C 1=1 y C

2=

3

4

x (t )=e3 t (−3

4sin (4 t )+cos (4 t ))

Caso ,: 7 =10.


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Cod. 100412

12 60 C C −=

Por tanto:

11 =C

y

62 =C


)61()( 6 t et x t +=

Caso 3:

14=b


0262 =++ λ λ b

cuyas ra"ces son

2452

1001414

2

±−=−±−


t t eC eC t x )245(2

)245(

1)( −−+− +=

t t eC eC t x )245(2

)245(

1 )245()245()(= −−+− −−++−=

Para

1)0( = x y


211 C C += )245()245(0 21 −−++−= C C

Por tanto:

λ2+dλ+25=0

cuyas ra"ces son

−10±√ 102−1002

=5


x (t )=C 1e5 t +C 2t e

5 t =(C 1+C 2 t )e5 t

y (t )=(C 1+C 2t )e−5 t

x (t )=C 2e5 t −5(C 1+C 2t )e

5 t

Para x(0) $1 y x=(0) $0 se tiene el sistea:

1=C 1

0=C 2−5C

1

Por tanto C

1=1 y C

2=5

8inalente la ecuación -e o'iiento tiene la

3ora:

x (t )=e5 t (1+5 t )

Caso >: 7$14?a ecuación caracter"stica es:

λ2+bλ+25=0

cuyas ra"ces son:

λ−7±√ 72−4∗25

2

¿−7±√ 24

Ecuación -e o'iiento tiene la 3ora

El e;ercicio no especi3ica la 3ora /eneral pero

creo ue es iportante ponerlo

x (t )=C 1e λt +C 2e

λt

x (t )=C 1e(−7+√ 24)t +C

2e(−7−√ 24)t

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Cod. 100412

48

245241

+=C

y

48

245242

−=C


t t eet x )245()245(

48

24524

48

24524)( +−−−

−+

+=

eri'aos:

x' (t )=(−7+√ 24)C 1 e

(−7+√ 24 ) t +(−7−

Para +(0)$1 y +@(0)$0 teneos ue !1 y !2

eui'alen a:

x (0 )=1=C 1e (−7+√ 24) .0+C

2e(−7−√ 24 ) .0

1=C 1+C

2

C 1=1−C

2

x' (0 )=0=(−7+√ 24)C

1e(−7+√ 24) .0+(−

El e;ercicio ostra-o en la /u"a oite unos

pasos ue son iportantes para el -esarrollo -ele;ercicio

0=(−7+√ 24 )C 1+(−7−√ 24 )C 2

−(−7−√ 24 )C 2=(−7+√ 24 )C 1

−(−7−√ 24) C 2=(−7+√ 24)(1−C 2)

Por lo tanto:

C 1=

24+7√ 2448

=1,215

Entonces !1 ser"a:

C 1=

24−7√ 2448

=−0,215

8inalente la ecuación -e o'iiento tiene la

3ora:

x (t )=24+7 √ 24

48e

(−7+√ 24 ) t +24−7√ 2

48

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22/24



Cod. 100412

CONCLUSIONES

8/17/2019 100412A_288 Trabajo Fase 2 (1)

23/24



Cod. 100412

REFERENCIAS $I$LIO(R7FICAS

8/17/2019 100412A_288 Trabajo Fase 2 (1)

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Cod. 100412

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