7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 1/13

 

FASE 2- UNIDAD 2

LUZ ANDREA NUNZABA CÓD. 10496037SANDRA ROCIO AMADO PORRAS CÓD. 63555323

VICTOR HUGO ARCINIEGAS CÓD. 1075229553WILLIAM ANDRES ARIAS DELGADO CÓD. 1083882946

YENIFER ELIZABETH GALINDOTUTORA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

INGENIERIA AMBIENTALECUACIONES DIFERENCIALES

ABRIL DE 2015

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 2/13

 

INTRODUCCIÓN

Este trabajo colaborativo permite abarcar la temática de la unidad 2, a través del aprendizaje

autónomo y su aplicación en el desarrollo de los ejercicios y problemas planteados. Así mismo,

la interacción que se establece a través del foro en la participación activa con cada uno de losaportes, conlleva a una dinámica de aprendizaje conjunto, que confluye en la solución de unaserie de ecuaciones diferenciales de segundo orden, de n orden y de orden superior.

En este documento encontrará la solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y lineales no homogéneas, la aplicación de los métodos de variación de

 parámetros y coeficientes indeterminados, como la determinación del operador diferencial

anulador de la función establecida.

De igual forma se realiza una modelación matemática a través de los campos de aplicación de un

 problema propuesto para encontrar la ecuación diferencial y a su vez resolverla.

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 3/13

 

EJERCICIOS FASE 2

1.  Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales

homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales nohomogéneas y resuélvalas.

c.  06     y y y   Sandra Rocío Amado Porras

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

Tenemos que ( ) = 0 

Por lo tanto

6 = 0( 2)( 3) = 0  = 2 = 3 

Sabemos que =1   2   Entonces reemplazamos los valores de m1 y m2

=   − 

d. 

549     y y  Víctor Hugo Arciniegas 

( 9) = 5 4 → uación diferencial lineal homogénea

( 3)( 3) = 5 4 = 3 = 3 

− 

e.   senx y y   625    Víctor Hugo Arciniegas

Ecuación diferencial lineal no homogénea

( 25)=6  =5 =5 ℎ = [1cos(3) 2(3)] ℎ=[1cos(3) 2(3)] 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 4/13

 

=cos(3)  =(3)  =()  =() 

2. 

Demostrar que   ||-, son soluciones linealmente independientes de la siguienteecuación diferencial: Víctor Hugo Arciniegas

xy´´4x dydx 6y = 0 en el intervalo ∞ < x < ∞ 

Solución:

Realizamos el proceso de derivación

xy´´ 4x y´ 6y = 0 

Luego entonces y = x y ´ = 3 x y´ ´ = 6 x 

Reemplazamos:

x(6x) 4x(3x) 6(x) = 0 6x 12x 6x = 0 0=0

Entonces si x= 0, la derivada de |x|3 no existe.

Ahora comprobamos que |x| es una solición de xy 4x 6 y = 0 

|x| = { x si x > 00 si x = 0x si x < 0 

Entonces dado que: xy 4x 6 y = 0  (1)

a.  Para |x| = x si x > 0 Ya se hizo la comprobación

 b.  Entonces para |x| = 0 si x = 0, se tiene

0y 4(0) 6 y = 0 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 5/13

 

6 y = 0, luego entonces se cumple que: y = 0 

c.  Para |x

|

= x 

 si x < 0; sea

y = x 

Derivamos

y =3x 

y =6x 

Reemplazamos en (1)

x(6x) 4x(3x) 6(x) = 0 

6x 12x 6x = 0 

Por consiguiente se cumple que  || , son soluciones lineales independientes

3.  a. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación deparámetros: Luz Andrea Nunzaba 

=() 

= 0 4 l n ( ) 

Por variación de parámetros

= = 0 

=   Derivada de y

′= −  Derivada de y’ 

′′ = ( 1)−  Derivada de y’’ 

Remplazamos los valores en la ecuación

= 0 

( 1)− −   = 0 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 6/13

 

 Nos queda al simplificar

1( 1) = 0 

( 1) 1 = 0 

1 = 0 

2 1 = 0( 1 ) = 0 

= 1 

=1

 Nos queda la solución de la ecuación diferencial

yh =      

Solución por Parámetros

= ()  ( x ) ()  (x) 

Entonces

=  

′ = ′ ( ) 

= 0 

′ = ′ (1 ) 

′′ = ′ ′ (1 ln( ) ( 12  )

Luego sustituimos en

′′ =4 

′ ′ (1 ln( ) ( 12  ) ′ (1 ) = 4 

′ (  ln() ( ) ( = 4 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 7/13

 

 ′  (1 l n ) = 4 

Se divide por  

′

(1 l n )

=4

 

Sustituimos a ′ en la ecuacion

′ ( l n ) = 0 

′ (1 l n ) = 4−  caso 1

′ (ln ) = 0 

′ (1 l n )

= 4−

  caso 2

Determinate

1 l n = 0 

1 1 l n = 1 l n l n = 1 

Solución

′ = +  = 4−( ) 

′ =    = 4− 

Solución

′ = 4 ∫ 1 ()2 = 4 ∫( )     = 43 ( )

′ = 4 ∫ 1 ln = 4 ∫( )   = 2( )

Tomamos =− ( )  y = 2( ) 

Tenemos la solución particular

= = − ( )  + = 2( )  

()=  ( )

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 8/13

 

Con esto tenemos que

=

=

 

  23 ( )

b.  Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientesindeterminados: Luz Andrea Nunzaba 

=  

Colocamos la ecuación de forma estándar

() () = ℎ ( )  2 5 = 0  2 5 = 0 

Resolvemos con la ecuación cuadrática

=(±√(^24))/2 

(2±√(2^24(1)(5)))/2(1) x=(2±√(420)/2  

x=(2±√(24)/2 

x = ( 2 ± √ 2 x 2.1)/2 

x = ( 2 ± (2)√ 2)/2 

x = 2 / 2 ± (2)√ 2/2 

x = 1 ± √ 2 / 1

= 1 √ 2 / 1 = 2.41

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 9/13

 

= 1 √ 2 / 1 = 0.41

=  

= . . Ecuación general

Solución particular

Sabemos que h (x) = 24  

Derivamos =  

= 3 =

′′=

9  =

Remplazamos en la ecuación

2 5 = 2 4  

9  -2(3 )+ 5 = 24 

(9 6 5 ) = 24 

(9 6 5 ) = 24 

8

= 24  

  = 24/8 

  = 3 

= 3  

Entonces Y =    

= . .  

4.   Encontrar un operador diferencial que anule a:

a.    Sandra Rocío Amado Porras 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 10/13

 

Anulador de x = D2

Anulador de xe6x

= (D-6)2

Entonces

D( D 6 )[ (3)] 

D[( D 6 ) ( D 6 )(3)] D[( 1236)x( 1236)(3)] D[(1236x)( (3) 1 2 (3) 36(3))] D[01236x)(108 18 18 216 36 108)] D[0 1 2 3 6 x ) ] D1 2 D3 6 D = 0 0 0= 0

Por lo tantoD( D 6 )[ (3)] = 0 

Por lo tanto el operador anulador es D2

(D-6)2

b.  ( )( ) Sandra Rocío Amado Porras 

( 2)( 1) = 2 2 

Operador anulador es P1 (D)= (D)n+1

D+

 [

2

2] 

D [ 2 2] = 5 3 6 2 D [ 2 2] =20 6 1 2  D [ 2 2] =60 6 1 2 D [ 2 2] =120  

D [ 2 2] =120 

D [ 2 2] = 0 

c.   x

 xe   Sandra Rocío Amado Porras

Operador anulador es P1 (D)= (D-∞)n+1

∞=1 y n=1 

( 1 )+ [ ] = 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 11/13

 

( 1 ) [ ] = 

( 2 1 ) [ ] = 

[  ] 2[ ] [ ]  = 

2 2  

2 2 2 2   = 0 

Por lo tanto

( 1 ) [ ] =0

El operador diferencial anulador es ( )

d. 32

851   x x    Sandra Rocío Amado Porras

Operador anulador es P1 (D)= (D)n+1

D+[1 5 8] = 

[1 5 8] =1024 

[1 5 8] =1048 

[1 5 8] = 48 

[1 5 8] = 0 

El operador es  

5.  Resolver la siguiente ecuación diferencial: william Andres Arias

" ′ =  

− = 0 

= 0 

( 1) = 0 Como x es diferente de 0 1 = 0  = ±   =   = (cos(ln ) sin(ln )) (cos(ln ) s in(ln ))  = ( ) cos(ln ) ( )sin(ln )  = cos(ln ) sin(ln ) 

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 12/13

 

CONCLUSION

Las ecuaciones diferenciales contituye un instrumento teorico para la interpretación y

modelación de fenómenos cientificos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que

contiene dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en terminos de algúnconjunto de parámetros. Son entonces de importancia práctica y teórica para los ingenieros de

cualquier rama.

7/18/2019 100412_319_Fase 2

http://slidepdf.com/reader/full/100412319fase-2 13/13

 

BIBLIOGRAFÍA

Cuartas, R., (2011). Módulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. [Videos]. Disponible

en http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES

Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer páginas 104 a

137. Texto completo en http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Franquet, J. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Leer páginas

207 a 331, 359 a 395. Texto completo en http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1367/