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INTRODUCCIN

Mediante ste trabajo se pretende realizar el proceso de transferencia de los temastratados en la primera Unidad a saber: Vectores en R 2, Vectores en R 3, Matrices yDeterminantes.

Ahora bien, definimos a una Matriz como el arreglo de filas y columnas organizadas demanera tal, que cada entrada contiene una determinada informacin.

A travs del desarrollo de los diversos ejercicios nos familiarizaremos con diversostrminos, se hallar A-1 recordando as que: A -1 = __1__ * AdjA

DetAEmpleando para ello el mtodo de Gauss- Jordn, consigo a ello se hallar eldeterminante de una matriz de orden 5, donde se describe paso a paso la operacin quelo va modificando.

Las cantidades fsicas en su forma general se dividen en: a) escalares y b) vectores. Unescalar es una cantidad fsica es utilizada para expresar un valor solo en trminos de sumagnitud mientras que un vector es utilizada para expresar un valor representado ya sea:a) por su magnitud y direccin b) por su magnitud, inclinacin (en algunos casos se ledice direccin) y sentido.

El determinante de una matriz cuadrada es un nmero que se obtiene a partir de loselementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolucin desistemas lineales y el clculo de la matriz inversa , entre otras aplicaciones.

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OBJETIVOS

Realizar el proceso de transferencia de los temas tratados en la primera Unidad.

Utilizar el plano cartesiano para representar los vectores dados en forma polar yen forma rectangular.

Encontrar el ngulo entre los vectores dados en la temtica.

Emplear el mtodo de Gauss-Jordn para encontrar A -1, en determinada matriz,describiendo el proceso que se lleva.

Aplicar una herramienta computacional adecuada para verificar el resultado de unamatriz dada en el trabajo.

Adquirir destreza en el desarrollo de los diversos ejercicios propuestos en latemtica.

Interactuar con los compaeros con el fin de consolidar mejor las ideas y por endeaclarar dudas.

Alcanzar nuevos conocimientos, mediante la investigacin y ejercitacin de los

diversos ejercicios.

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COORDENADAS DEL VECTOR EN LOS EJES X y Y

4 Sen 225 = 4 (-0.707106781) = - 2.82

4 Cos 225 = 4 (- 0.707106781) = - 2.82

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COORDENADAS DEL VECTOR EN LOS EJES X y Y 3 Sen 60 = 3 (0.866025403) = 2.59

3 Cos 60 = 3 (0.5) = 1.5

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5. Dada la siguiente matriz, encuentra A -1 empleando para ello el mtodo de Gauss-Jordn.

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1 0 0 2A=

0 1 5 1

4 2 1 -11 6 -

50

Vamos a hallar los cofactores para hallar de ello su determinante.

A11 = (-1) 1+1 |M11 |=|M 11 |=

A12 = (-1) 1+2 |M12 |=|M 12 |=

A13 = (-1) 1+3 |M13 |=|M 13 |=

A14 = (-1) 1+4 |M14 |=|M 14 |=

Tomando la Fila 1 (1 0 0 2)

|A|= 1 (-51) + 0 (26) + 0 (21) + 2 (-131) = - 51 + 0 + 0 262 = - 313

A21 = (-1) 2+1 |M21 |=|M 21 |=

A22 = (-1) 2+2 |M22 |=|M 22 |=

1 5 12 1 -

1= -

51

6 -5 0- 0 5 1

4 1 -1

= 26

1 -5

0

0 1 14 2 -

1= 21

1 6 0

- 0 1 54 2 1 = -1311 6 -

5

- 0 0 2

0 1 -1 = 326 -

50

1 0 24 1 -

1= -

471 -

50

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A23 = (-1) 2+3 |M23 |=|M 23 |=

A24 = (-1) 2+4 |M24 |=|M 24 |=

Tomando la Fila 2 (0 1 5 1)

|A|= 0 (32) + 1 (-47) + 5 (-50)+ 1 (-16) = 0 -47 -250 -16 = - 313

A31 = (-1)3+1

|M31 |=|M 31 |=

A32 = (-1) 3+2 |M32 |=|M 32 |=

A33 = (-1) 3+3 |M33 |=|M 33 |=

A34 = (-1) 3+4 |M34 |=|M 34 |=

Tomando la Fila 3 (4 2 1 -1)

|A|= 4 (-70) + 2 (5) + 1 (-8) -1 (35) = -280 + 10 -8 -35 = - 313

A41 = (-1) 4+1 |M41 |=|M 41 |=

A42 = (-1) 4+2 |M42 |=|M 42 |=

- 1 0 24 2 -

1= -

501 6 01 0 04 2 1 = -

161 6 -

5

0 -0 21 5 1 = -

706 -

50

- 1 0 20 5 1 = 51 -

50

1 0 20 1 1 = -81 6 0

- 1 0 00 1 5 = 351 6 -

5

- 0 0 21 5 1 = 182 1 -

1

1 0 20 5 1 = -

464 1 -

1

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VERIFICACIN

A * A -1 = I = A -1 * A

A*A -1 = _1__-313

-51 32 -70 1826 -

475 -

4621 -

50

-8 11

-131

-16

35 -9

1 0 0 20 1 5 1 *4 2 1 -

11 6 -

50

-313

0 0 0

0 -31

3

0 0

0 0 -313 00 0 0 -313

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A*A -1 _1__313

A*A -1 =

6. Emplee una herramientacomputacional adecuada para verificar el resultado del numeral anterior. Paraesto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

1 0 0 00 1 0 0 = I0 0 1 00 0 0 1

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7. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso laoperacin que lo va modificando.

1 0 9 2 1-1

1 3 -2

1

A=

-3

0 -4

2 1

0 0 0 3 -2

0 4 0 1 1

Tomo la primera fila con el fin de pasar la matriz de orden 5 a una matriz deorden 4.

1 3 -2

1

1 0 -4

2 1

0 0 3 -2

4 0 1 1

-1

3 -2

1

0 -3

-4

2 1

0 0 0 -20 0 1 1

-1

1 -2

1

9 - 0 2 1

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30 0 3 -

20 4 1 1

-1

1 3 1

2 -3

0 -4

1

0 0 0 -2

0 4 0 1

-1

1 3 -2

1 -3 0 -4 2

0 0 0 30 4 0 1

Vamos a hallar el determinante de la PRIMERA matriz.

Mediante la fila 1 y fila 2. En ambos casos nos deben coincidir los resultados.

A11 = (-1) 1+1 |M11 |=|M 11 |=

A12 = (-1) 1+2 |M12 |=|M 12 |=

A13 = (-1) 1+3 |M13 |=|M 13 |=

A14 = (-1) 1+4 |M14 |=|M 14 |=

1 -4

2 1

0 3 -2

= -20

0 1 1-1 0 2 1

0 3 -2

= 28

4 1 1

1 0 -4

1

0 0 -2

= 32

4 0 1

-1 0 -4

2

0 0 3 = 484 0 1

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|A|= 1(-20) + 3 (28) -2 (32) + 1 (48) = -20 + 84 64 + 48 = 48

A21 = (-1) 2+1 |M21 |=|M 21 |=

A22 = (-1) 2+2 |M22 |=|M 22 |=

A23 = (-1) 2+3 |M23 |=|M 23 |=

A24 = (-1) 2+4 |M24 |=|M 24 |=

|A|= 0 (-15) + -4 (9) + 2(24) +1 (36) = 0 -36 +48 +36 = 48

Vamos a hallar el determinante de la SEGUNDA Matriz

Vamos a calcularlo por la fila 3 y la columna 4

A31 = (-1) 3+1 |M31 |=|M 31 |=

A32 = (-1) 3+2 |M32 |=|M 32 |=

A33 = (-1) 3+3 |M33 |=|M 33 |=

A34 = (-1) 3+4 |M34 |=|M 34 |=

-1 3 -2

1

0 3 -2

= -15

0 1 11 1 -

21

0 3 -2

= 9

4 1 1-1 1 3 10 0 -

2= 24

4 0 1

1 1 3 -2

0 0 3 = 364 0 1

0 3 -2

1

-4

2 1 = -9

0 1 1-0 -

1-2

1

-3

2 1 = 10

0 1 10 -1

3 1

-3

-4

1 = 13

0 0 1-0 -

13 -

2-3

-4

2 = -13

0 0 1

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19/28

|A|= 0 (-9) + 0(10) + 0(13) -2 (-13) = 26

A14 = (-1) 1+4 |M14 |=|M 14 |=

A24 = (-1) 2+4 |M24 |=|M 24 |=

A34 = (-1) 3+4 |M34 |=|M 34 |=

A44 = (-1) 4+4 |M44 |=|M 44 |=

|A| = 1 (-0) + 1 (0) -2 (-13) +1 (0) = 26

Vamos a hallar el determinante de la TERCERA matriz


A21 = (-1) 2+1 |M21 |=|M 21 |=

A22 = (-1) 2+2 |M22 |=|M 22 |=

A23 = (-1) 2+3 |M23 |=|M 23 |=

-0 -3

-4

2

0 0 0 = -00 0 1

0 -1

3 -2

0 0 0 = 00 0 1

-0 -

1

3 -

2-3

-4

2 = -13

0 0 10 -1

3 -2

-3

-4

2 = 0

0 0 0

-9 1 -2

1

0 3 -2

= -9

4 1 1

9 -1

-2

1

0 3 -2

= -5

0 1 1

-9 -1

1 1

0 0 -2

= 8

0 4 1

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A24 = (-1) 2+4 |M24 |=|M 24 |=

|A|= -3 (-9) + 0 (-5) + 2 (8) + 1 (12) = 27 + 0 + 16 + 12 = 55

A12 = (-1) 1+2 |M12 |=|M 12 |=

A22 = (-1) 2+2 |M22 |=|M 22 |=

A32 = (-1) 3+2 |M32 |=|M 32 |=

A42 = (-1) 4+2 |M42 |=|M 42 |=

|A|= 1 (15) + 0 (-5) + 0(10) + 4 (10)= 15 + 0+ 0 + 40= 55

Vamos a hallar el determinante de la CUARTA matriz


A31 = (-1) 3+1 |M31 |=|M 31 |=

9 -1

1 -2

0 0 3 = 120 4 1

-9 -3

2 1

0 3 -2

= 15

0 1 19 -1

-2

1

0 3 -2

= -5

0 1 1

-9 -1

-2

1

-3

2 1 = 10

0 1 1

9 -1

-2

1

-3

2 1 = 10

0 3 -2

2 1 3 10 -

41 = 24

4 0 1

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A32 = (-1) 3+2 |M32 |=|M 32 |=

A33 = (-1) 3+3 |M33 |=|M 33 |=

A34 = (-1) 3+4 |M34 |=|M 34 |=

|A|= 0 (24) + 0 (-13) + 0 (-5) -2 (52) = -104

A11 = (-1) 1+1 |M11 |=|M 11 |=

A21 = (-1) 2+1 |M21 |=|M 21 |=

A31 = (-1) 3+1 |M31 |=|M 31 |=

A41 = (-1)4+1

|M41 |=|M 41 |=

|A|= -1 (32) -3 (24) + 0(24) + 0 (-8) = -32 72 = -104

-2 -1

3 1

-3 -4 1 = -130 0 1

2 -1

1 1

-3

0 1 = -5

0 4 1

-2 -1

1 3

-3 0 -4 = 520 4 0

2 0 -4

1

0 0 -2

= 32

4 0 1

-2 1 3 10 0 -

2= 24

4 0 1

2 1 3 10 -

41 = 24

4 0 1

-2 1 3 10 -

41 = -8

0 0 -2

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A32 = (-1) 3+2 |M32 |=|M 32 |=

A42 = (-1) 4+2 |M42 |=|M 42 |=

|A|= 1 (-0 + 0 (0) + 0 (-13)+ 4 (39) = 156

1 3 -2

1

1 0 -4

2 1 =48

0 0 3 -2

4 0 1 1

-1

3 -2

1

0 -3 -4 2 1 =260 0 0 -

20 0 1 1

-1

1 -2

1

9 -3

0 2 1 =55

0 0 3 -20 4 1 1

-1

1 3 1

2 -3

0 -4

1 =-104

-1 -1

3 -2

-3

-4

2 = -13

0 0 1

1 -1

3 -2

-3

-4

2 = 39

0 0 3

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0 0 0 -2

0 4 0 1

-1 1 3 -21 -

30 -

42 =

1560 0 0 30 4 0 1

SOLUCIN:

|A| = 48 (1) + 26 (0)+ 55 (9) - (-104) (2) + 156(1)

|A| = 48 + 0 + 495 + 208 + 156|A| = 907

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NOTA: El resultado de A31 es igual a 4 disculpas me hizo falta colocarlo.

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CONCLUSIONES

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Hay satisfaccin al haber culminado ste trabajo ya que se exploro mediante lainvestigacin para el desarrollo de los ejercicios.

Adquirimos relevantes conocimientos mediante el avance de ste trabajo.

Apropiamos la temtica de la Unidad 1, para la elaboracin de las actividades.

Opino que cuando se logra interactuar, mediante ello se obtiene consolidar mejor las ideas y del mismo modo aclarar las inquietudes que existan.

De la perseverancia para alcanzar las cosas con xito, depende en gran parte lasuperacin personal.

Para el desarrollo de los ejercicios se requiere dedicacin y esfuerzo personal ycuando exista dificultad, es indispensable buscar nuevas alternativas de solucin.

BIBLIOGRAFIA

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Modulo Algebra Lineal, Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera.Camilo Ziga. Universidad Nacional Abierta y a Distancia, UNAD. Bogot. D.C.,2008.

Protocolo del Curso- Algebra Lineal-.

http://www.phy6.org/stargaze/Mvector.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/determinantes_de_cualquier_orden.htm

http://www.terra.es/personal/ijic0000/inversa.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible
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