Mi consejo es uno: Afrrense con todas sus fuerzas

y conviccin a la educacin. No desfallezcan;

estudien mucho. El futuro no lo sabemos pero,

con certeza, si nos educamos ser mucho mejor.

Sergio Fajardo

EDUCACIN=LIBERTAD

p r o b l e m a s q u etodo bachiller debe entender y resolver

100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver

Una publicacin de la GOBERNACIN DE ANTIOQUIA

Primera edicin: abril, 2015

Hace parte del Plan de mejoramiento de la enseanza

y apropiacin de las matemticas en Antioquia 2012 2015

Sergio Fajardo Valderrama Gobernador

Andrs Felipe Gil Barrera Secretario de Educacin

Horacio Arango Marn Asesor Educacin Seleccin y solucin de los 100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver

Diseo y diagramacin: Luisa Santa

Impresin: Litografa Dinmica

Medelln

DISTRIBUCIN GRATUITA

PROHIBIDA SU VENTA

Gobernacin de Antioquia

Antioquia la ms educada

www.antioquia.gov.co

tabla de Contenido

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Estadstica descriptiva y tcnicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Matemticas financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Geometra Analtica e Introduccin al Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Estadstica descriptiva y tcnicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Matemticas financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Geometra Analtica e Introduccin al Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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PRLOGO

Con certeza, la emocin que ms se asocia con la palabra matemticas es proble-ma. Para quienes amamos las matemticas, los problemas son la esencia y alegra de ese mundo mgico que empieza con los nmeros y llega ms all de las fronte-ras del infinito, en las alturas de las abstracciones ms profundas que los humanos jams hayamos construido y conocido.

Pero la realidad es que esa alegra, dado el nmero de habitantes del planeta, la compartimos muy pocas personas. Para la gran mayora las matemticas son difi-cultad, obstculo, molestia o, dicho de otra manera, un dolor de cabeza. El lo es que este dolor dura muchos aos. A veces, toda una vida.

Desde que entramos a la guardera, ya tenemos que vrnoslas con los nmeros y as, ao tras ao, en el colegio y en la gran mayora de programas de educacin superior. Es importante aclarar que esto no se debe a la decisin caprichosa de las autoridades educativas, confabuladas para hacerles la vida imposible a nios y ni-as. La razn est en que no es exagerado afirmar que el universo se expresa en el lenguaje de las matemticas, y si queremos comprenderlo y transformarlo, estamos obligados a conocer sus secretos, y por supuesto a conocer muy bien su lenguaje.

El espacio que tengo es muy reducido para extenderme en el protagonismo de las matemticas en la vida de las personas. Baste con decirles que las matemticas estn por todos lados, muchas veces pasan inadvertidas, pero ah estn, y sin vaci-lar me atrevo afirmar que si queremos ser parte de este mundo, en nuestro equipaje debemos cargar por lo menos con una dosis mnima de conocimiento matemtico. Por eso tenemos que estudiarlas durante tantos aos.

Como es de esperarse, las matemticas suscitan numerosas y acaloradas pol-micas. As ocurre con los temas verdaderamente trascendentales en la vida. Pero, polmicas aparte, nosotros en Antioquia la ms educada nos hemos propuesto hacer de este un mundo mejor y por lo tanto es lgico que mejoremos los conoci-mientos matemticos de nuestros estudiantes. Y saben cmo vamos a hacerlo?

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Ponindoles ms problemas. No se alarmen, para alcanzar un conocimiento razo-nable de matemticas, que nos sea til para la vida, tenemos que resolver muchos problemas. Con muy contadas excepciones, a la mayora de los humanos nos toca ganarnos el pan con el sudor de la frente y aprender matemticas dedicando mu-chas horas a hacer problemas.

De cualquier forma, no es para asustarse. Las cosas no son tan difciles como a veces parecen. De hecho, estamos convencidos de que resolver problemas mate-mticos es una actividad divertida. Esta coleccin de problemas es una muestra. Trabjenlos, dedquenles tiempo, disfrtenlos con sus amistades, en el colegio con sus docentes, en la casa cada noche, en fin, ahora los problemas son de ustedes! Si los saben resolver, van por muy buen camino, no lo duden. Se puede.

Sergio Fajardo Valderrama

Gobernador de Antioquia

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100 Problemasque todo bachiller debe entender y resolver

Las Matemticas son como un edificio. Para que el edificio se sostenga firmemen-te es necesario que tenga buenas bases.

Los conceptos elementales que se recogen en los textos de la Red Matemtica Antioquia son las bases que debe haber construido, con ayuda de sus maestros, un alumno que aspire a tener un buen desempeo en Matemticas. Se observar que en ellos se ha tratado de describir en detalle los pasos a seguir en cada tema, ejerci-cio o problema propuesto.

Pensamos, basados en nuestra propia experiencia, que sta es una buena manera de aprender Matemticas. Volviendo a la analoga inicial, as como un muro del edifi-cio se construye poco a poco poniendo cada uno de los ladrillos que lo componen, la solucin de un ejercicio o problema matemtico es una sucesin ordenada de pasos lgicos y coherentes.

Si en la construccin del muro faltan ladrillos o hay ladrillos mal puestos es muy posible que el muro se derrumbe.

Si en la solucin de un problema matemtico los pasos estn mal concatenados o faltan pasos, probablemente la solucin sea incorrecta.

As como un deportista debe dedicar muchas horas diarias a su entrenamiento, para poder soar con triunfar, si queremos mejorar nuestra comprensin de las Matemticas es necesario repasar lo mismo muchas veces, aunque parezca mon-tono y repetitivo, de esta forma podremos enfrentar con mayor lucidez la construc-cin del edificio de las Matemticas (Sociedad Colombiana de Matemticas).

Hemos seleccionado 100 ejercicios de Matemticas de las reas de Aritmtica, Geometra, lgebra, Teora de Conjuntos, Matemticas Financieras, Geometra Analtica, Trigonometra, Pre Clculo y Estadstica Descriptiva.

Estos ejercicios se han construido a partir de los problemas publicados por las Olimpiadas del Conocimiento, por los Retos Matemticos de la Red, en los exmenes de admisin de diferentes universidades, en las Pruebas Saber y Pisa, y en las dife-rentes bases de datos de las Olimpiadas de Matemticas que circulan en internet, como las mexicanas, espaolas, venezolanas, bolivianas, etc.

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Para trabajar los ejercicios consideramos necesario repasar o estudiar los con-ceptos tericos que son esenciales para conocer, comprender y desarrollar las Matemticas y para lograr una buena formacin y desempeo en Matemticas du-rante el bachillerato. A continuacin haremos una enumeracin de estos conceptos tericos en las diferentes reas de la matemtica:

ARITMTICA

1. Los nmeros naturales, operaciones, propiedades y sistemas de numeracin. 2. Los nmeros enteros, operaciones, propiedades, valor absoluto de un

nmero.3. Nmeros primos, descomposicin en factores primos. Teorema fundamen-

tal de la aritmtica.4. Criterios de divisibilidad, el mximo comn divisor y el mnimo comn

mltiplo.5. Los nmeros racionales, operaciones, propiedades, relaciones de orden.6. Los nmeros reales, propiedades, intervalos, aproximacin de nmeros

reales.7. Proporciones, porcentajes, magnitudes, regla de tres simple y compuesta. 8. Progresiones aritmticas, geomtricas, sumatorias.

GEOMETRA

9. Puntos, rectas y segmentos de recta.10. Congruencia y operaciones con segmentos de recta.11. ngulos y clasificacin de ngulos.12. Perpendicularidad y paralelismo.13. ngulos formados por rectas cortadas por una secante.14. Tringulos, clasificacin de tringulos, congruencia de tringulos.15. Rectas en el tringulo y Proporcionalidad de segmentos de recta.16. Semejanza de tringulos.17. Cuadrilteros, cuadrilteros especiales, polgonos, reas, permetro.18. Teorema de Pitgoras.19. La circunferencia y sus propiedades.

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LGEBRA

20. Concepto de variable: nmeros y letras.21. Polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin de polinomios.22. Factorizacin o descomposicin en factores, productos y cocientes notables. 23. Divisin sinttica, teorema del residuo y teorema del factor.24. Teorema fundamental del lgebra, ecuaciones de primer grado o lineales.25. Fracciones algebraicas: suma, resta, multiplicacin y divisin.26. Potenciacin y radicacin.27. Ecuaciones de segundo grado o cuadrticas.28. Sistema de dos ecuaciones lineales y determinantes.

TEORA DE CONJUNTOS

29. Definicin, conjunto universal, conjunto vaco, diagramas de Venn, subcon-juntos, inclusin y complemento de un conjunto.

30. Operaciones de unin, interseccin y diferencia entre conjuntos.31. Producto cartesiano, conjuntos infinitos, lgica proposicional.

ESTADST ICA DESCRIPT IVA Y COMBINATORIA

32. Poblacin, muestra, obtencin de datos y su representacin grfica.33. Frecuencia, histograma, media, varianza y percentiles. 34. Permutaciones, combinaciones y tcnicas de conteo.

MATEMTICAS F INANCIERAS

35. Capital presente, futuro, inters simple.36. Inters compuesto, capitalizacin.

TRIGONOMETRA

37. Funciones trigonomtricas de ngulos en posicin cannica.38. Funciones trigonomtricas de nmeros reales.39. Identidades trigonomtricas.40. Ecuaciones trigonomtricas.41. Resolucin de tringulos: ley del seno, ley del coseno.

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GEOMETRA ANAL T ICA

42. Lnea recta, perpendicularidad y paralelismo.43. Circunferencia.44. Elipse, parbola, hiprbola.45. Vectores algebraicos.

INTRODUCCIN AL CLCULO

46. El plano cartesiano, representacin de un punto en el plano.47. Conjuntos reales, intervalos y valor absoluto.48. Desigualdades lineales y cuadrticas.49. Definicin de n-factorial, coeficiente binomial y teorema del binomio.50. Funciones, funcin biyectiva y funcin inversa, funciones pares e impares.51. Funcin lineal, cuadrtica, cbica, polinmica y funcin racional. 52. Funcin exponencial y logartmica.53. Funciones trigonomtricas.54. lgebra de funciones y composicin de funciones.55. Grfica de las funciones en el plano cartesiano.

Al conocimiento de los conceptos bsicos lo debemos acompaar de una meto-dologa para la resolucin de problemas. En 1945 el matemtico hngaro George Polya, en el prefacio de un texto an vigente titulado How to Solve It (Cmo plantear y resolver problemas), nos dice:

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solucin de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modes-to; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad convenien-te, pueden determinar una aficin para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carcter.

A modo de ejemplo presentamos la solucin de un problema de Matemticas usando la metodologa de Polya.

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Ejemplo del mtodo para resolver problemas matemticos segn Polya Daniel con sus ahorros compr, por cuotas, un libro de Julio Verne y lo pag de la siguiente manera: la primera semana abon 3

8 de sus ahorros, la segunda semana 1

6

y cancel en la tercera semana 2.200 pesos. Cuantos pesos tena ahorrados Daniel?

SolucinPrimer Paso: Leer y comprender el problema.Para poder resolver un problema primero hay que entenderlo. Se debe leer despacio y con mucho cuidado. Si en una primera lectura no se tiene claridad, volver a leerlo y analizarlo con los compaeros de estudio. Seguir explorando, hasta entender las relaciones dadas en la informacin proporcionada. Para ello podemos formularnos preguntas del siguiente tipo:

Qu nos dice el ejercicio? Qu nos solicita encontrar? Cules son los datos y las condiciones del problema? Podemos hacer una figura, un esquema o un diagrama? Podemos estimar la respuesta?

En nuestro caso lo que nos dice el problema es que Daniel va a gastar sus ahorros comprando un libro y lo paga por cuotas en tres semanas. Nos pregunta por el valor de los ahorros que tena.

Y nos da la siguiente informacin sobre los datos y condiciones del problema.En la primera semana utiliza 3

8 de sus ahorros para pagar el libro, en la segunda 1

6

y en la tercera semana cancela 2.200 pesos. Con la siguiente grfica representamos la informacin dada en el enunciado del

problema:

Pagos semanales

1semana3/8

2semana1/6

3semana2.200

Segundo paso: Elaborar un plan o definir una estrategia.En esta fase tratamos de hallar relaciones entre los datos y el tipo de respuesta que nos piden hallar. Se debe elaborar un plan o estrategia para hallar la respuesta solicitada.

Debemos definir cmo denominamos los datos y las incgnitas, definir cules son las operaciones que las relacionan e indicar las etapas para realizarlas.

Algunas preguntas que se pueden responder en esta fase son:Conoce otro problema anlogo que le ayude? Puede escribir de otro modo el

enunciado?

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Qu notacin se va escoger para denominar los datos y las incgnitas? Us todos los datos, condiciones? Tratamos de organizar los datos en tablas o grficos? Existen diferentes alternativas de solucin del problema? Pensada una estrategia se puede realizar?

Denominamos con la letra x la cantidad de ahorros, en pesos, que gasta Daniel en la compra del libro.

Pagos de la primera semana x38

pesos. Pagos de la segunda semana x16

pesos. Pagos de la tercera semana 2.200 pesos.

El total de ahorros x es igual a la suma de los gastos durante las tres semanas y esta informacin la podemos escribir como una ecuacin algebraica:

= + +x x x38 6

2.200

Tercer paso: Ejecutar el plan.De acuerdo a la estrategia definida en primera instancia, realizamos las operaciones en el orden establecido, verificando paso a paso si los resultados estn correctos. Si en la verificacin encontramos errores lgicos en el planteamiento debemos redefi-nir o buscar otras alternativas de solucin. Si se encuentran errores numricos en los clculos, basta hacer las correcciones debidas. Si no se tiene xito en la primera bs-queda de la solucin es necesario volver a empezar con paciencia con la seguridad que estos intentos son experiencias positivas para enfrentar nuevos retos.

Para resolver esta ecuacin agrupamos todos los trminos que contienen la incg-nita x en el lado derecho de la ecuacin y obtenemos:

=x x x38 6

2.200. La suma de estos fraccionarios la realizamos encontrando el mnimo comn mltiplo de 8, 6 y 1 es decir, el =mcm(8,6,1) 24 . Entonces:

=x x x24 9 424

2.200 . Simplificando la expresin algebraica tenemos =x1124

2.200 y as en-contramos el valor de la incgnita = = =x 2.200 24

11200 24 4.800

De esta manera podemos afirmar que los ahorros que tena Daniel eran 4.800 pesos.

Cuarto paso: Hacer la verificacin.En la verificacin analizamos la solucin obtenida, revisando si la respuesta es co-rrecta y cumple con los datos y condiciones del enunciado y adicionalmente pen-samos si podramos usar otro plan diferente al realizado. En esta etapa podemos tambin hacer una generalizacin del problema o formular otros nuevos a partir de l. Para ello podemos preguntarnos:

La respuesta tiene sentido? Cumple con las condiciones establecidas en el

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enunciado? Hay otra manera de hallar la solucin? Hay posibilidades de generalizar?

Sabiendo que =x 4.800 , los pagos realizados son: En la primera semana =3 4.8008

1.800

En la segunda =1 4.8006

800 y en la tercera semana 2.200

Sumando + + =1.800 800 2.200 4.800 .

Dejamos al lector la bsqueda de otros problemas anlogos al que hemos resuelto.

En la parte final de este trabajo suministraremos toda la bibliografa usada, as como las direcciones de internet de las bases de problemas consultadas.

Esperamos que estos problemas y sus soluciones sean una fuente de aprendiza-je para los estudiantes y que adems les permita abordar con xito el ingreso a la Universidad, as como tener un desempeo acadmico adecuado en las carreras que hayan elegido e ingresado.

red matemtica antioquia2015

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problemas

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Aritmtica

1Resolver: + {31 [17 (23 20) 1506] 9 2}23

2Hallar la respuesta de la siguiente suma de fraccionarios + +

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5

19

9

17

3

23

15

2

45

3La familia Restrepo consumi el domingo 1

2 de una pizza y el lunes consumi 2

7 del resto de

la pizza. Cunta cantidad de pizza les falta por consumir?

4Al realizar las operaciones propuestas con las reas sombreadas de los tres crculos de reas unitarias que se muestran en la figura. Cul es el resultado?

+ -

5Determinar el mnimo comn mltiplo de 5, 8 y 10 y el mximo comn divisor de 18, 45, 63.

6Felipe, puedes encontrar dos nmeros enteros positivos p y q que cumplen la siguiente con-dicin: el mximo comn divisor de p y q es 10, =mcd p q( , ) 10 y el mnimo comn mltiplo de p y q es 240, =mcm p q( , ) 240?

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7Daniel realiza la divisin 1

7, la cual no es exacta y por ello continu realizando la divisin hasta

que obtuvo 2.000 cifras despus de la coma decimal. Cul es la ltima cifra que Daniel obtuvo?

8Hallar todos los nmeros enteros positivos de dos cifras =ab

ba7

4

tales que: =abba

7

4

9Cunto suman los primeros 100 dgitos que aparecen despus de la coma al desarrollar

1

13?

10Cul nmero de estos nmeros 999! o 500999 es el mayor? Explicar la respuesta.

11Cules son las dos ltimas cifras del resultado de la suma =

=n!

n

n

1

1645

En donde = n n n! 1 2 3 ..... ( 1)

12En Cisneros, tres trapiches A, B y C producen la panela de la siguiente manera: por cada 7 kilos de panela que produce el trapiche A, el B produce 5 y por cada 3 kilos que produce B, el trapi-che C produce 2. En ocho horas, el trapiche A produjo 550 kilos ms que el C. Cuntos kilos produjo el trapiche B en esas 8 horas?

13En una vivienda rural hay un tanque de almacenamiento de agua potable de 2.400 litros. El tan-que tiene dos tuberas que lo llenan en 10 y 12 horas respectivamente. La tubera de desage lo puede vaciar en 20 horas. Si las tres tuberas se abren simultneamente y luego se cierran, cuando el tanque se llena, Cuntos litros salieron por la tubera de desage?

14Daniel, puedes encontrar los nmeros enteros m y n que cumplen con la siguiente ecuacin:

+ + + + +

=m n

1

3

1

15

1

35

1

63...

1 23

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Geometra

15Determinar los lados del tringulo rectngulo del que se conocen el permetro =p cm60 y la altura sobre la hipotenusa =h cm12 .

b ch

a

16 Si tomamos una hoja rectangular y la pegamos como se indica en la figura, obtenemos un rectngulo de 3 cm por 4 cm.

4

L

3

K

Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.

17Se tiene un tanque en forma de cono recto invertido de 3 m de altura y de 2 m de dimetro en la parte superior. Si el tanque est parcialmente lleno de agua, con 1.8 m desde el vrtice hasta la superficie, calcule el radio de la superficie de agua.

2 m

3 m

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18En un hexgono DEFGHI, Daniel y sus amigos dibujaron el tringulo ABC trazando rectas per-pendiculares a los lados del hexgono en los vrtices F, D y H. Luego trazaron perpendiculares a estas, desde los vrtices E, G y I. Si el rea del hexgono es de 196 cm2, Cul es el rea del tringulo ABC?

F

GB

E

C

D

A

I H

19Raquel dibuj un tringulo equiltero ABC, de permetro . Daniel superpuso sobre l, otro tringulo equiltero del mismo permetro y con sus lados paralelos a los del tringulo ABC. Cul es el permetro del hexgono sombreado MNPQRS?

B

P QTN

MS

R

CL

a

A

20Un cuadrado ABCD de centro O y lado 1, gira un ngulo en torno a O. Hallar el rea comn a ambos cuadrados.

O

D

AB

C

D'

A'

C'

B'

M P

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21 Las alturas del tringulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH. Determinar el valor del ngulo BCA.

A

C B

C'

A'

B'

H

90

90

A

C BA'

C'

H

90

22Dado un tringulo de vrtices A, B y C, y con lados de longitud a = BC, b = AC y c = AB, llamemos D al punto de interseccin del lado AB con la bisectriz del ngulo C. Entonces mostrar que CD es igual a:

=

+CD

ab c

a b

2 cos(2

)

A

C

EF

B

Db

caa/2

23 Si un punto situado en el interior de un tringulo equiltero dista de los vrtices 3, 4 y 5 unida-des. Cunto mide el lado del tringulo?

C

AP4

5

3

B

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24Los lados del tringulo ABC miden =AC cm26 , =AB cm17 y =CB cm19 . Las bisectrices de los ngulos de vrtices A y B se cortan en el punto D. Por D se traza una paralela a AB que corta a los lados AC y CB en los puntos G y H respectivamente. Calcule el permetro del tringulo CGH.

C

HGD

A B

25En el rectngulo ABCD los puntos E, F, G y H son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y AD, respectivamente, y I es el punto medio de HG. Qu fraccin del rea del rectngulo ABCD tiene el tringulo EFI?

CGD

F

BEA

H

I

26Una alfombra de 1 cm de grosor es enrollada hasta formar un cilindro de un metro de dime-tro. Cul es el valor mejor estimado del largo de la alfombra?

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27Si el paralelogramo ABCD tiene un rea de 1 m2 y los puntos E y F son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente, Qu rea tiene la regin sombreada?

C F D

BA

G

E

H

I

28Dado un tringulo cualquiera ABC y un punto P situado en el lado BC, construir una recta que pase por P y divida el rea del tringulo ABC en dos regiones de rea igual.

A

Q

R

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lgebra

29 Hallar un nmero positivo tal que su cuadrado menos el doble de dicho nmero es 48 y si a b y a b , Cul es el resultado que se obtiene al simplificar la expresin algebraica +

+ +

a ba b

a ab ba ab b

( )

( )

( 2 )

( )

3 3

2 2

2 2

2 2?

30Un rectngulo tiene una altura de 3 veces la longitud de la base. Si se incrementan la base en 3 cm y la altura en 5 cm entonces el rea es de 319 cm2. Cules son las dimensiones del rectngulo?

31Dividir el polinomio +x x5 2 13 entre +x x5 2 13

32Factorizar la expresin algebraica + y y6 11 212

33En mi calculadora una de las teclas del 1 al 9 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dgito entre 1 y 9 que no es el que corresponde. Cuando trat de escribir el nmero 987654321, apareci en la pantalla un nmero divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9. Cul es la tecla descompuesta? Cul es el nmero que apareci en la pantalla?

34Daniel, Anita y Teo deben entregar impresas las 4.200 tarjetas de navidad que disearon en su taller. En la primera semana imprimieron 50 tarjetas diarias y a partir de la segunda semana, aumentaron la impresin en 100 tarjetas por semana. Si empezaron un lunes y no trabajaron los domingos, cuntos das se demoraron en entregar todas las tarjetas?

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35Paola, Teo y Daniel escuchan el nmero 13 y uno de ellos le suma 1 y dice 14, otro le suma 2 a este nmero y dice 16 y el ltimo le suma a este nmero 3 y dice 19, como le toca el turno al primero este suma 1 y dice 20 y as siguen contando. A Teo se le escucha decir 61, a Daniel 40 y a Anita el 602. Cul de los tres dice 2.006?

36Hallar las cuatro ltimas cifras de 32.004

37 En el colegio de Daniel tienen tres tarros de pintura blanca para pintar el saln de clase. Anita vierte

1

3 del primer tarro en el segundo. En seguida, Felipe vierte 1

4 del contenido del segundo

tarro en el tercero y por ltimo Mateo vierte 110

del tercer tarro en el primero. Al final cada tarro qued con 9 galones de pintura. Qu cantidad de pintura haba inicialmente en cada tarro?

38 Si un nmero positivo x verifica la relacin + =x

x1

72

2. Entonces cual es el valor entero de +x x

15

5

39Usando los productos notables, simplificar la expresin + + + +

+ +x x x y xy y

x x y3 3

6 3 2 2 3

2

40Si p es un nmero real y las races de la ecuacin + + =x px px2 10 03 2 estn en progresin arit-mtica, determinar dichas races.

41Cuntos nmeros, comprendidos entre 1.000 y 9.999, verifican que la suma de sus cuatro dgitos es mayor o igual que el producto de los mismos? Para cuntos de ellos se verifica la igualdad?

42Hallar todos los nmeros naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

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43Racionalicemos el denominador de la expresin

x yx y

2( )

Y adems racionalicemos el numerador ++

x x hh x x h

44Cul es el resultado de la operacin + +log 8 log 27 log 642 3 4 ?

45Dado el polinomio = + + +p x x Bx Cx D( ) 3 2 , probar que si el cuadrado de una de sus races es igual al producto de las otras dos, entonces B3D=C3

46 Calcular los nmeros p y q tales que las races de la ecuacin + + =x px q 02 Sean D y 1-D, siendo D el discriminante de esa ecuacin de segundo grado.

47Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

+ =

=x yx y

3 5 2 (1)4 2 9 (2)

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Teora de Conjuntos

48Tenemos los conjuntos de nmeros enteros A 1,3,4,8{ }= , B 3,4,5,6{ }= , C 1,0,2,5{ }= , Cul es el resultado de la operacin A B C ?

49Qu operaciones entre los conjuntos A, B y C representa la regin no sombreada de la siguiente grfica?

A B

CU

50En un colegio del departamento de Antioquia se hizo una encuesta a 100 estudiantes sobre las preferencias con respecto a las asignaturas de matemticas y de biologa. Al analizar los datos que entrega la encuesta se encuentra que las personas que le gustan las dos asignatu-ras son el triple de los que les gustan solo las matemticas, el doble de los que les gusta solo la biologa y cuatro veces el nmero de los que no les gustan estas dos materias. A cuntos estudiantes les agradan las materias de matemticas?

51En un municipio de Antioquia al 60% de los jvenes les gusta el equipo Barcelona, al 50% les gusta el Nacional y al 40% de los que les gusta el Nacional tambin les gusta el Barcelona. Qu porcentaje de los jvenes no les gusta ninguno de estos dos equipos?

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52Felipe da a cada uno de los libros de la biblioteca de su colegio una clave de tres letras utili-zando el orden alfabtico: AAA, AAB, AAC,... AAZ, ABA, ABB, etc. Considerando un alfabeto de 26 letras y que en la biblioteca hay 2203 libros Cul fue el ltimo cdigo que Felipe utiliz en la coleccin de libros de la biblioteca?

53La mitad de los estudiantes que termina el grado 11 en un colegio, han decidido presentar-se al examen de admisin de la carrera de Bioingeniera,

8

13 se presentaran a Sistemas y

2

7

quieren presentarse a las dos carreras mencionadas. Si el resto de los estudiantes, que son 31, an no han escogido a qu carrera presentarse, cul es el nmero de estudiantes que termina el grado 11?

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Estadstica Descriptiva y Tcnicas de Conteo

54En el colegio de Paola, su profesora de matemticas hace exmenes que se califican de a puntos. Paola tiene una media de 60 puntos en cuatro exmenes. En el quinto examen sac 80 puntos. Cul es la media de las notas de Paola en matemticas en los cinco exmenes?

55Cul es la probabilidad de que al tirar 2 dados, el resultado sea un nmero primo?

56De cuntas formas se puede elegir un comit de 3 personas de un grupo de 20? Y de cun-tas maneras, si uno debe ser el presidente, otro el vicepresidente y el tercero el secretario?

57Cuntas iniciales diferentes podemos hacer con dos o tres letras del alfabeto? Cuntas letras debera tener el alfabeto para que un milln de personas diferentes se pueda identificar con iniciales de dos o tres letras?

58En el colegio de Daniel la razn del nmero de mujeres al nmero de hombres es de 10 a 9. Si la edad promedio (media aritmtica) de las mujeres es 16 y la edad promedio de los hombres es 18. Cul es la edad promedio del colegio?

59En una reunin hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo pas, de la misma edad y del mismo sexo.

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60En cuntos partidos de un torneo de ftbol con 32 equipos participantes, como en el mundial 2014, se pueden encontrar en las alineaciones iniciales, dos jugadores que hayan nacido el mismo da.

61En un equipo de ftbol tenemos 11 jugadores, cuyas camisetas estn numeradas del 1 al 11. Elegimos al azar 6 de ellos. Cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros de sus camisetas sea impar?

62Cul es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces salga al menos una cara?

63Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, si el ltimo nme-ro debe ser cero y un nmero dgito no se puede repetir al formar cada nmero?

64Si con los dgitos 1, 2, 3, 4 formamos nmeros de dos dgitos diferentes y luego selecciona-mos al azar uno de estos nmeros, cul es la probabilidad de sacar un nmero impar?

65En la siguiente tabla se muestran las calificaciones de matemticas de un grupo de 7 estu-diantes. Cul es el valor de la media de estas calificaciones?

Estudiante Juan Andrs Felipe Santiago Matas Jacobo Lucas

Calificacin 4,5 3,5 4,2 4,3 3,8 3,7 4

66Anita reparte al azar tres invitaciones a su cumpleaos entre tres amigos. Cul es la proba-bilidad de que al menos una de las invitaciones llegue a su destino correcto?

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67Anita coloca tres balotas marcadas con los nmeros 1, 2, 3 en una bolsa. Se saca una balota y se anota el nmero y ella se devuelve a la bolsa. Este proceso se repite otras dos veces. Si todas las balotas tienen la misma posibilidad de ser extradas cada vez, y si la suma de los tres nmeros anotados es 6, cul es la probabilidad de que se haya sacado la balota marca-da con el nmero 2 en las tres ocasiones?

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Matemticas Financieras

68Felipe le presta $800.000 a Daniel para organizar su taller y le pone como condicin que a los cuatro meses le devuelva la suma de $960.000. En esta transaccin Cul es la tasa de inters simple mensual que cobra Felipe?

69Un banco otorga al padre de Anita un prstamo de $1.200.000 a 6 meses y a una tasa de inters simple del 24% anual. Qu inters i mensual paga el pap de Anita y cul es el valor futuro F ?

70Una cooperativa de ahorro, otorga al propietario de un caf internet un prstamo de $5.000.000 durante 8 meses. Si al final de lo pactado, la persona ha pagado $6.600.000, cunto dinero pag en intereses y cul es la tasa de inters simple mensual?

71Daniel deposita $1.000.000 en una corporacin financiera, ella le paga por el depsito, un di-nero por el cual le reconoce una tasa de inters del 24% anual con capitalizacin trimestral. Cul ser el valor ahorrado al final de un ao, con inters compuesto y con inters simple?

72Para dentro de un ao, la mam de Teo necesita $1.800.000 para pagar su matrcula. Si la corporacin le ofrece 20% anual con capitalizacin trimestral. Cunto deber depositar hoy para conseguir el valor de la matrcula de Teo?

73Si un banco presta dinero al 2% mensual En cunto tiempo duplica su capital?

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74Una entidad financiera ofrece, que por cualquier cantidad de dinero que un ciudadano deposi-te en sus oficinas, le entregar el doble del depsito al cabo de 36 meses. Cul es el inters que est pagando?

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Trigonometra

75Verifique la identidad: t t t tcos( )(tan( ) cot( )) csc( )+ =

76Encuentre la solucin de la ecuacin trigonomtrica: t t2cos( ) cos( ) 1 02 + = , para t0 2 .

77Si en un tringulo ABC conocemos dos lados b, c y su rea A b c4

5= cmo calculamos el

tercer lado a ?

Aa

b c

B

C

78Determine cuntos tringulos pueden, ver figura, construirse conociendo dos de sus lados y un ngulo con a = 5, b = 5 y 30 = . Resuelva los tringulos.

Ac

ab

B

C

79Resuelva la siguiente ecuacin trigonomtrica: x xcos5 cos7 0 =

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80La ecuacin cuadrtica x ax b 02 + = tiene como races tan( ) y tan( ) . Por otro lado, la ecuacin cuadrtica x cx d 02 + = tiene a cot( ) y a t(co ) como sus dos races. Cul es el valor de c d ?

81Realizar las operaciones necesarias para mostrar que la expresin

senx sen x sen xx x x

(3 ) (5 )

cos cos(3 ) cos(5 )

+ ++ +

Es igual a xtan(3 )

82Exprese sen x x( )

2

3cos( )

2+ en la forma k x cos( )+

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Geometra Analtica e Introduccin al Clculo

83Exprese en trminos de desigualdades los siguientes intervalos y representarlos grficamente:a) 3,8[ ]b) 5,12[ ]c) ,2](

84Hallar los intervalos que corresponden a las siguientes operaciones:a) 5,9 3,6[ ] ( ) b) ( )5,9 3,6[ ]

85Resuelva las siguientes desigualdades lineales.a) x x6 2 9 +b) x1

2

4 3

51. En este caso, la desigualdad en cuestin se traduce en:

2 1 11 2

c d c d+ + ( )

Demostremos en primer lugar que, al menos, una de las cifras c o d, debe ser un dos. Efectivamente, si por el contrario c,d 3 , entonces:

c d c d 9 3 3; ;

y as, por (2), tenemos: 1 29

1

3

1

3

8

9 + + = lo cual es una contradiccin.

Supongamos, por lo tanto que c=2 . Se obtiene entonces que:

2 1

21

d+

lo cual es equivalente a decir que d 4 .

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Resumiendo:Si d=4, entonces se obtiene la igualdad inicial (las cifras son 1, 1, 2, 4; y existen 12 nmeros de este tipo). Si d=3, entonces se obtiene la desigualdad estricta inicial (las cifras son 1, 1, 2, 3; y existen 12 nmeros de este tipo).Si d=2, entonces se obtiene la desigualdad estricta inicial (las cifras son 1, 1, 2, 2; y existen 6 nmeros de este tipo).Por lo tanto, y a modo de resumen global, la desigualdad se da en 2.439 + 33+12+12+6=2.502 nmeros y la igualdad en 12 de ellos.

42 Soluc inSea n un nmero que verifica el enunciado y s la suma de sus cifras.

Como 1000 n 9999 y n=s3, resulta que 11 s 21 (1)

Si n=x y z t, tenemos:1000x + 100y + 10z + t = s3 (2)

x + y + z + t = s Restando nos queda:999x + 99y + 9z + t = s3 s (3)

cuyo segundo miembro ha de ser mltiplo de 9 (por serlo el primero) y como:

s s s s s3 1 1 = ( ) +( )

Y de acuerdo con (1), slo hay tres valores de s3 s que son mltiplos de 9:16 17 18; 17 18 19; 18 19 20 sustituimos en (3) y analizamos cada caso.1 Caso 999x + 99y + 9z = 161718 111x + 11y + z = 544 resulta inmediatamente x = 4; y = 9; z = 1, valores que llevados a (2) con s = 17 se obtiene t = 3 y finalmente n = 49132 Caso 999x + 99y + 9z = 171819 111x + 11y + z = 646 de donde x = 5; y = 8; z = 3, valores que llevados a (2) con s = 18 se obtiene t = 2 y finalmente n = 58323 Caso 999x + 99y + 9z = 181920 111x + 11y + z = 760 resulta x = 6; y = 8; z = 6, valores que lleva-dos a (2) con s = 19 resulta una contradiccin.

Resumiendo, las nicas soluciones son 4.913 y 5.832

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43 Soluc inRacionalicemos el denominador de la expresin:

( )( ) ( )( )

( )x yx y

x yx y

x yx y

x y x y

x y

x y x y( )

=

++

= +

( )=

+( ))x y

2 2 2 22 2

x y( )= +2

Y adems racionalicemos el numerador:

h x( ) x x( )

( )x x h

h x x hx x h

h x x hx x hx x h

x x h

h x x h x x h

hh x x

++

= ++

+ ++ +

= +( )+ + +

= ++ + +

=+ + +x h x x x h h

1

44 Soluc inEl logaritmo logb a de un nmero a en base b, se define como el exponente d al cual hay que elevar la base b para obtener el nmero a, es decir bd=a. Entonces log2 8 3= , porque 23=8, as mismo log327 3= , ya que 33=27 y log4 64 3= .

Por tanto: log log log2 3 48 27 64 9+ + =

45 Soluc inLlamemos r, s, y t las tres races del polinomio. El polinomio entonces lo podemos escribir como: p x x r x s x t( ) = ( ) ( ) ( ) . Haciendo las operaciones tenemos:

p x x r s t x rs st tr x rst( ) = + +( ) + + +( ) 3 2

Y si igualamos coeficientes, obtenemos las conocidas relaciones de Cardano-Vieta:

=+ +r s t B

rs st tr C+ + =

rst D= y como r2 = st por la hiptesis del problema, estas relaciones pueden escribirse de la siguiente forma: C rs r tr r s r t rB

D rst r

= + + = + +( ) =

= =

2

3

Finalmente, elevando al cubo esta primera expresin conseguimos lo pedido: ( )C rB B D= =3 3 3

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46 Soluc inPor las frmulas que relacionan las races y los coeficientes de la ecuacin, se tiene:

D D p

D D q

+ + =

( )=1

1

De la primera se obtiene inmediatamente p= 1; de la segunda, q= DD2 Pero:

D p q q D D= = = ( )2 24 1 4 1 4Es decir 4D25D+1=0Y por ello D=1 o =D 1

4. Si D=1, entonces q=112=0

Si, =D 14

entonces q =

=

1

4

1

4

3

16

2

Los valores obtenidos son:

p q

p q

, ,

, ,

( ) = ( )

( ) =

1 0

13

16

47 Soluc in+ =

=x yx y

3 5 2 (1)4 2 9 (2)

De la ecuacin (1) despejamos la variable x:

( )= +x y23

5

33

Sustituimos el valor de x en la ecuacin (2):

42

3

5

32 9+

+ =y y

Resolvemos esta ecuacin en la variable y:+ + =y y8

3

20

32 9 , es decir = y26

39

8

3

=y263

19

3

, de donde =y 1926

.

Reemplazamos el valor de y en la ecuacin (3) para obtener el respectivo valor de x:

x = +

=

+=

2

3

5

3

19

26

52 95

78

147

78

Por lo tanto, la nica solucin del sistema es =x 14778

, =y 1926

o el par ordenado 147

78

19

26,

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Teora de Conjuntos

48 Soluc inPrimero se realizar la operacin A interceptado B (A B), para esta operacin se toman los nmeros que se repiten en ambos conjunto. Entonces A B={3,4}.Para completar la operacin A interceptado B unido C (A B C), se adicionan a la intercep-cin A B={3,4} los nmeros del conjunto C quedando como respuesta

A B C={ 1,0,2,3,4,5}.

49 Soluc in A B

CU

En el conjunto Universal U de la figura se encuentran los conjuntos A, B y C, la zona no sombreada hace referencia a los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, pero no perte-necen al conjunto C, es decir (A B) C

50 Soluc inSean M el conjunto de los estudiantes que les gusta las Matemticas y B el conjunto de los que les gusta la Biologa. Para realizar y facilitar la solucin del problema consideremos el m-nimo comn mltiplo de los nmeros 3, 2 y 4. Sabemos que mcm(3,2,4)=12. Entonces deno-minemos con 12x el nmero de estudiantes que les gusta simultneamente las Matemticas y la Biologa es decir el nmero de elementos que tiene el conjunto M B. Por lo tanto, de acuerdo con el enunciado, el nmero de los estudiantes que les gusta solo las Matemticas es 4x, el nmero de los que les gusta solo la biologa es 6x y el nmero de los que no le gustan ni las Matemticas ni la Biologa es 3x. En un grfico de Venn organizamos esta informacin

M

B

4x12x 6x

3x100

U

De acuerdo a lo anterior podemos escribir 4x+12x+6x+3x=100 y as 25x=100 y x=4 De este modo, el nmero de estudiantes a los que les gustan las Matemticas es 4x+12x=64.

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51 Soluc inDenominamos con B el conjunto de jvenes aficionados al Barcelona y con N los hinchas del Nacional y ahora se calcula cual es el porcentaje de los jvenes que son aficionados a los dos equipos, es decir el nmero de jvenes que pertenecen a B N.

Para ello, calculamos el 40% del porcentaje de jvenes aficionados al Nacional que es el 50% de todos los jvenes o sea 40

10050 20 =% % . Con este dato, entonces realizar el siguiente

Diagrama de Venn:

B

N

40%20% 30%

x100%

U

De este modo, siendo x los jvenes que no son hinchas de ninguno de los dos equipos, te-nemos 40%+20%+30%+x=100 y as x=10%. Entonces el porcentaje de jvenes que no les gusta ni el Barcelona ni el Nacional es el 10%.

52 Soluc inDe la A a la Z, en orden, hay 26 letras, as que de AAA a AAZ hay 26 cdigos (AAZ es el nmero 26). De la misma manera, de AAA a AZZ hay 2626=676 cdigos. Podemos ver que 2203=6763+175, as que an nos faltan 175 cdigos despus de CZZ, que es el cdigo 32626=2028. Como 175=626+19, despus de DFZ (que es el cdigo 626+266) nos faltan an 19 cdigos, as que la etiqueta es DGS.

53 Soluc inLlamemos x al nmero total de estudiantes de grado 11, sea B el conjunto de estudiantes que se van a presentar a Bioingeniera y ellos son

x, S el conjunto de los que se presentan a

Sistemas y ellos son 8

13

x. La interseccin de B con S, B S tiene 2

7

x estudiantes. Entonces los estudiantes que solo aspiran a Bioingeniera son x x

2

2

7 y los estudiantes que solo se van a

presentar a Sistemas son 813

2

7

x x .

Veamos el diagrama de Venn correspondiente a esta informacin:

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B

S

x/22x/7 8x/13

x

U

Con ella podemos entonces escribir la siguiente ecuacin + =x x x x x x227

27

813

27

31

+ +

Simplificando y realizando la operacin con los fraccionarios tenemos:

91 112 52

18231

+ ( )+ =

xx

Y por ltimo 31 182182

151

182=

x y por tanto x=182. Este es el nmero total de estudiantes de

grado 11.

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Estadstica Descriptiva y Tcnicas de Conteo

54 Soluc inSi denominamos con E E E E E

1 2 3 4 5, , , , , los 5 exmenes de matemticas que present Paola.

De acuerdo al enunciado tenemos:E E E E

1 2 3 4

460

+ + +=

Como en el quinto examen sac 80 puntos entonces ES=80. Con este dato podemos calcular: E E E E E

1 2 3 4 5

5

+ + + +

Veamos como:E E E E

1 2 3 44 60 240+ + + = = y entonces E E E E E

1 2 3 4 5240 80 320+ + + + = + =

Por lo tanto la media de las notas de Paola en los cinco exmenes es:320

464=

55 Soluc inPor cada dado se tiene la posibilidad de sacar 6 nmeros, al tirar dos dados hay 36 resultados posibles, que resulta de la multiplicacin de las 6 opciones de cada dado.

La suma de los nmeros formados por los dos dados est comprendida entre el 2 y el 12 el conjunto de los resultados de dicha suma es {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} y los nmeros primos de este conjunto son = {2,3,5,7,11}

Al conocer el nmero de resultados posibles y el nmero de primos del conjunto de resulta-dos de cada lanzamiento, encontramos la probabilidad de que al tirar 2 dados, el resultado sea un nmero primo.

=casos favorables

casos posibles5

36

69

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56 Soluc inEmpecemos y contestemos la segunda pregunta porque es ms sencilla. El presidente po-demos elegirlo primero de 20 formas distintas. Una vez elegido el presidente quedan 19 per-sonas para elegir el vicepresidente y por ltimo, quedan 18 personas para elegir al secretario. En total, hay 201918=6.840 posibilidades. Esto se llama variaciones sin repeticin de 20 elementos tomados de 3 en 3.(Se llaman variaciones sin repeticin porque se supone que una persona no puede ocupar dos cargos).

Para responder a la primera pregunta:Tengamos en cuenta que cada posibilidad PVS de presidente vicepresidente y secretario ele-gida anteriormente, prescindiendo de los cargos, da lugar a seis posibilidades que la primera pregunta considera iguales: PVS, PSV, VPS, VSP, SPV y SVP. Por tanto resultan slo 6840/6=1140 formas de elegir tres personas para un comit.

57 Soluc inSi partimos de que el alfabeto tiene 27 letras, con dos letras podemos hacer 272 iniciales y con 3 letras podemos hacer 273 iniciales. As que con dos o tres iniciales podemos hacer 272+ 273=20.412 iniciales. En un alfabeto con n letras tendremos n3+n2=n2(n+1) iniciales, nmero que debe ser mayor o igual que 1.000.000. Para n=100 se supera claramente esta cifra. Para n=99 tenemos 992 100=980.100, as que n debe ser n 100.

58 Soluc inSea m el nmero de mujeres y h el nmero de hombres. El enunciado nos dice que m=11k y que h=9k, para algn entero k. Adems 16m es la suma de las edades de las mujeres y 18h es la suma de las edades de los hombres. Entonces el promedio de la edad en el colegio es:

16 18 16 11 18 9

11 9

16 11 18 9

11 9

338 + +

= ( ) + ( )

+ =

+ +

=m hm h

k kk k 220

1618

20=

59 Soluc inSi en cada grupo de 6 personas, 2 son de la misma edad, slo puede haber 5 edades diferen-tes, ya que, si hubiese 6 edades diferentes, eligiendo una persona de cada edad tendramos 6 personas de edades distintas contra la hiptesis. Veamos ahora las siguientes operaciones:

200=2100+1, entonces al menos hay 101 personas del mismo sexo.101=520+1, y hay al menos 21 personas de la misma edad y sexo.21=45+1 y por tanto al menos hay 5 personas de la misma nacionalidad, edad y sexo.

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60 Soluc inEn un torneo, como el mundial 2014, se jugarn 64 partidos. En la primera ronda se juegan 48 partidos: 6 partidos en cada uno de los 8 grupos. En los octavos de final se juegan 8, en cuartos 4, en semifinales 2 y en las finales se juegan los ltimos 2 partidos.La probabilidad de que dos jugadores no cumplan aos el mismo da es:

364

3650 997= ,

Si los dos primeros jugadores no cumplen aos el mismo da, existen 363 das en los cuales, un tercer jugador puede cumplir aos sin coincidir con los otros dos. Esto es, la probabilidad de ninguno de tres jugadores cumpla aos el mismo da es:

363 364

365 3650 992

= ,

Para 22 jugadores, la probabilidad de que ninguno de ellos cumpla aos el mismo da es: 344 345 346 362 363 364

365 365 365 365 365 365

.....

.....==0 524,

Ahora podemos calcular la probabilidad de que algn jugador cumpla aos el mismo da que otro. Ella es igual a: 10,524=0,476Y como se juegan 64 partidos, el 0,476 de 64 partidos es igual a 30,5. Entonces en aproximada-mente 30 partidos, encontraremos en las alineaciones iniciales, dos jugadores que nacieron el mismo da.

61 Soluc inHay 11

6

11

5 6

=

!

! ! elecciones posibles de los jugadores.( Recuerde que nr

n!r! n r

= ( )! )

La suma de los nmeros de las camisetas de los elegidos ser impar si hay entre ellos una cantidad impar de nmeros impares. En las camisetas hay 6 nmeros impares y 5 pares.Escribamos ahora los casos en los cuales la suma de las camisetas sea impar:

Una camiseta impar y 5 pares: 6

1

5

56 1

=

Tres camisetas impares y 3 pares: 63

5

3520 10

=

Cinco camisetas impares y 1 par: 6

5

5

16 5

=

As pues, la probabilidad pedida ser:6 200 30

11

6

236

462

118

2310 51

+ +

= = ,

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62 Soluc inSi lanzamos una moneda dos veces, el nmero de caras C y sellos S posibles son 4, a saber CC, CS, SC y SS y de estos eventos hay 3 en donde al menos se presenta una cara. Por ello la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces salga al menos una cara es 3

4.

63 Soluc inSi en la posicin de las unidades colocamos el cero en la posicin de las decenas podemos colocar uno de los tres nmeros 1, 2, 3 o sea tres posibilidades. Colocado este, en la posicin de las centenas solo tenemos 2 posibilidades porque ya solo nos quedan dos nmeros. Por lo tanto podemos formar 6 nmeros de tres cifras con el ltimo digito el cero y los dgitos de las decenas y centenas diferentes.

64 Soluc inCon los dgitos 1, 2, 3, 4 podemos formar 12 nmeros diferentes porque para la posicin de las decenas podemos escoger como dgito, uno cualquiera de los 4 nmeros dados y colocado el dgito de las decenas nos quedan 3 dgitos para las unidades ya que los nmeros son diferen-tes. Con ello formamos los doce siguientes nmeros: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. Y entre ellos hay 6 nmeros impares 13, 21, 23, 31, 41, 43. Por lo tanto la probabilidad de sacar un nmero impar es 6

120 5= . .

65 Soluc inLa media aritmtica tambin conocida como la media o el promedio, se obtiene a partir de la suma de todos los datos de un mismo conjunto dividida entre el nmero de sumandos. La suma de las calificaciones es S=4,5+3,5+4,2+3,8+4,3+3,7+4=28 y la media X s

n= =

28

7 de las cali-

ficaciones es X sn

= =28

7

.

66 Soluc inSean A, B y C los amigos de Anita. Ella puede repartir las invitaciones de la siguiente manera: 123, 132, 213, 231, 312, 321, donde usamos la notacin anterior para indicar que al primer destinatario se le ha entregado la invitacin del destinatario A, al segundo la del destinatario B y al tercero la del destinatario C. Observando estas seis maneras de repartir, el nmero de invitaciones que llegan al destinatario correcto son respectivamente 3, 1, 1, 0, 0, 1. Vemos que en 4 de los seis casos posibles hay al menos una invitacin que llega a su destino correcto. Por tanto, la probabilidad de que al menos una de las invitaciones llegue al destino correcto es p = =4

6

2

3

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67 Soluc inCon los nmeros 1, 2 y 3 se puede obtener una suma de 6, mediante las siguientes 7 ternas ordenadas e igualmente probables. Ellas son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2). La balota marcada con el nmero 2 est en la terna (2, 2, 2) una vez entre las siete posibles.Por ello la probabilidad de que se haya sacado la balota marcada con el nmero 2 en las tres ocasiones es p = 1

7 .

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Matemticas Financieras

68 Soluc inMiremos con detalle los elementos que estn presentes en el prstamo de Felipe a Daniel. En primer lugar Felipe gan $160.000 por prestarle a Daniel $800.000. En esta transaccin: $800.000 es el capital invertido y se llama capital presente que representamos con la letra P; $160.000 representa el inters devengado por el prstamo, se denota con la letra I; $960.000 representa el valor en que se transforman los $800.000 durante los tres meses; el valor inicial ms los intereses, se denominar valor futuro y se representa con la letra F. Por lo tanto, valor futuro es el valor en que se convierte un capital inicial prestado a una tasa de inters fijada y en tiempo determinado y as F=P+I. En el inters simple, los intereses no producen intereses.

En efecto, I=FP=960.000800.000=160.000.

Estos intereses corresponden a un periodo de 4 meses el cual se representa con letra n:

i In P

=

100

As, el porcentaje o el inters i simple devengado en un mes es:

i = =40 000 100800 000

5.

.%

69 Soluc inLos elementos presentes en la transaccin bancaria son:

El capital presente en el prstamo bancario es P=$1.200.000. El inters anual es de i=24% anual = 2% mensual =0,02. El periodo del prstamo es 6 meses.

El inters devengado por el prstamo I lo podemos calcular como:

I P i n= = =1 200 000 0 02 6 144 000. . . . . Entonces el pap de Anita paga mensualmente 2% de inters que equivalen a $24.000 y el capital futuro:

F P P i n P i n

F

= + = + ( ) = + ( )

= =

1 1 200 000 1 0 02 6

1 200 000 1 12 1

. . .

. . . .. .344 000

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70 Soluc inEn esta operacin crediticia el capital presente P es $5.000.000 y como ha pagado 6.600.000, este es el capital futuro y entonces I=FP=6.600.0005.000.000=1.600.000.Estos son los intereses pagados durante 8 meses.La tasa de inters simple mensual la podemos calcular del siguiente modo:Como F P P i n= + podemos despejar i de esta expresin

i F PP n

=

=

=1 600 000 100

5 000 000 84. .

. .%

El porcentaje del inters simple mensual pagado el propietario del caf internet es del 4% mensual y pag $200.000 mensuales en intereses.

71 Soluc inPara poder resolver el problema planteado repasemos el concepto de inters compuesto y de capitalizacin. En una transaccin se presenta el inters compuesto, cuando los intereses simples se suman peridicamente al capital inicial.

A este proceso se le llama capitalizacin y el tiempo que dura la operacin se denomina perodo de capitalizacin. El inters compuesto, es importante debido que la mayora de las corporaciones financieras lo usan y l da el rendimiento efectivo de cualquier inversin.

El capital futuro, cuando se trabaja con el inters compuesto, viene dado por la expresin: F P i n= +( )1

De donde P es el capital presente, i el inters del periodo y n los periodos de capitalizacin y adems el capital presente es P F i n= +( )1 .

En nuestro caso tenemos que P=1.000.000, el inters trimestral es i = =24

46

%% y el nmero

de periodos, 4 trimestres en un ao, es n=4

Por lo tanto F = +( ) 1 000 000 1 0 06 1 000 000 1 26247696 1 262 4774. . , . . , . . .

Con inters simple F = + ( ) =1 000 000 1 0 06 4 1 240 000. . , . . .En el primer trimestre el capital con intereses es 1.000.000(1,06)=1.060.000. En el segundo trimestre es 1.060.0001,06=1.123.600, en el tercer trimestre es 1.123.6001,06=1.191.016 y en el ltimo, el capital con intereses es 1.191.016 1.06=1.262.477Los intereses al final del ao son: Con inters compuesto 262.477 y con inters simple 240.000

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72 Soluc inEl capital que necesita la mam de Teo es 1.800.00 pesos y debemos conocer cul valor presente produce ese capital, usando el inters compuesto. Entonces el inters es 5%.Y el nmero de periodos es n=4 , cuatro trimestres en un ao. Con estos datos podemos calcular el valor presente P.

P F i Fi

= +( ) =+( )

=( )

1

1

1 800 000

1 05

4

4 4

. .

,

Y as P =1 800 0001 2155

1 480 864 45. .

.. . ,

La mam de Teo debe depositar 1.480.864,45 hoy para dentro de un ao tener un capital de 1.800.000 pesos.

73 Soluc inEn este caso F=2P, el capital futuro es dos veces el capital presente, el periodo es un mes en-tonces con esos datos y la expresin para el inters compuesto podemos calcular el valor de n.

Como FP

i n= +( )1 y entonces 2=(1+0,02)n

Por tanto:

n = ( )( )

log

log ,

,

,

2

1 02

0 3010299956

0 008600171735meses

En cambio un usurero que presta al 10% duplica su capital en:

n = ( )( )

log

log ,

,

,,

2

1 1

0 3010299956

0 04139268517 3meses

74 Soluc inLos datos que nos entrega el enunciado son: P capital presente o inicial, F=2 P n=36 meses meses y nos piden averiguar el inters compuesto mensual i. De la expresin:

( )F P i n= +1Podemos despejar:

FP

in =1

1

Entonces: i = ( ) 2 1 0 0194

1

36 ,

Es decir, el porcentaje de inters que la entidad est pagando es 1,94% mensual.

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Trigonometra

75 Soluc inUna buena idea es reemplazar las funciones trigonomtricas en trminos de las funciones seno y coseno. Tambin es buena idea efectuar los productos indicados y simplificar al mxi-mo las fracciones. En este caso, para iniciar, seleccionamos el lado izquierdo de la igualdad por ser ms elaborado y contener ms operaciones para realizar. As,

cos tan cot csc

cos tan cot

cos

t t t t

t t t

t

( ) ( ) + ( )( ) = ( )

( ) ( ) + ( )( )

= ( ) senn

sensen

sen

tt

tsen t

ttt

t

( )( )

+( )( )

( ) + ( )( )=

(

cos

cos

cos2

)) + ( )( )

=( )

= ( )2 2

1coscsc

tt t

tsen sen

Con este procedimiento hemos verificado la identidad: cos tan cot csct t t t( ) ( ) + ( )( ) = ( )

76 Soluc inObserve que sta es una ecuacin cuadrtica en cos (t). Entonces:

cos t( ) = +1 1 84

Entonces cos t( ) = 1 o cos t( ) = 12

Si cos t( ) = 1 , el valor de t en el intervalo 0 t < 2 es t= y para cos t( ) = 12

, los valores en el intervalo 0 t < 2 son t=3 o t =

5

3

Fcilmente se verifica que todos los valores obtenidos de t son soluciones de la ecuacin.

77 Soluc in

Aa

b c

B

C

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Podemos usar para calcular el lado a la ley del coseno que podemos escribir de la siguiente manera: a b c b c2 2 2 2= + ( )cos

Por hiptesis sabemos que el rea del tringulo ABC es A b c= 45

y adems el rea de un

tringulo tambin se puede calcular con la expresin A b c= ( )sen 2

. Entonces de estas dos

expresiones para el rea del tringulo, podemos deducir que sen ( ) = 45

.

Con este valor podemos determinar que cos ( ) = 35

y reemplazando en la primera expresin tenemos:

a b c b c= + 2 2 65

Y esta es la expresin para el lado del tringulo.

78 Soluc inDe acuerdo con la ley del seno tenemos para un tringulo ABC de lados a, b y c y con ngulos opuestos , , se tiene la ley del seno:

Ac

ab

B

C

sen sen sen a b c

= =

De acuerdo con los datos podemos escribir la siguiente ecuacin:

sen sen30

5 5

( )=

( )

Por tanto:

sensen

( ) = ( ) = =5 305

5

5

1

2

1

2

Las soluciones de la ecuacin sen ( ) = 12

estn en el primer y segundo cuadrante, las podemos llamar 1 2 1 30 y = y 1 2 1 30 y = y 2 1180 150= = . Indaguemos si 2 es apropiado, como + 2=180, se concluye que el tercer ngulo debe ser 0 y entonces con el ngulo 2 no se forma un tringulo. Con =30 y 1=30 , concluimos que el tercer ngulo =1803030=120. Ahora calculamos el tercer lado c con la expresin:

sen sen b c

=

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y as:sen30 sen

5

120=

c

Y entonces:

c = ( )( )

= = 5120

305

3

2

1

2

5 3sen

sen

En conclusin hay un solo tringulo que satisface las condiciones dadas.

79 Soluc in

cos 6x cos x + sen 6x sen x cos 6x cos x + sen 6x sen x = 0

cos (6x x) cos (6x + x) = 0

2 sen 6x sen x = 0sen 6x = 0 o sen x = 0

6x = k o x =k, k

Entonces: x k x k k= =

6 o , o x k x k k= =

6 o , son las soluciones de la ecuacin original.

80 Soluc inA partir de la relacin existente entre los coeficientes de la ecuacin cuadrtica y sus races podemos escribir las siguientes relaciones:a=tan()+ tan() y b=tan()tan()c=cot()+ cot() y d=cot()cot()

De acuerdo a estas relaciones podemos escribir:

c ab

=( )

+( )

=( ) + ( )( ) ( )

=1 1

tan tantan tantan tan

Tambin tenemos que:

( )

1n t

1b

= ( )

=ta an

( )t c d= ( )co ot

De este modo: c d ab2

=

79

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81 Soluc inUsando las identidades trigonomtricas bsicas de adicin y sustraccin podemos escribir:

sen sen sen sen senx x xx x x

x x x+ ( ) + ( )+ ( ) + ( )

=( ) + (3 5

3 5

3 2 3

cos cos cos

)) + +( )( ) + ( ) + +( )

sen 3 2

3 2 3 3 2

x xx x x x xcos cos cos

Esta expresin es idntica: 2 3 2 3

2 3 2 3

sen senx x xx x x

( ) ( ) + ( )( ) ( ) + ( )

cos

cos cos cos

Sacando el factor comn sen(3x) en el numerador y cos(3x) en el denominador obtenemos:sen x x

x x( ) ( ) +( )( ) ( ) +( )

2 2 1

3 2 2 1

cos

cos cos

Simplificando en el numerador y denominador obtenemos: sen 3

33

xx

x( )( )

= ( )cos

tan

82 Soluc inConsideremos que las expresiones de la forma Asen(x) + B cos x siempre pueden escribirse en la forma k sen (x + ) o k cos (x + ) con k > 0.

k cos (x +) = k [cos x cos sen x sen ]= k cos x cos k sen x sen = (k sen ) sen x + (k cos ) cos x.

Para que se cumpla la igualdad es necesario que:= 1

2(k sen ) y que = 3

2k cos

Elevando cuadrado ambas expresiones:

=14

(k sen )2 y =34

(k cos )2

(k sen )2+(k cos )2=k2=1 o sea k=1

De esta forma y conociendo el valor de k: Tenemos que = 1

2sen() y como = 3

2k cos deducimos que = 32cos

Como sen()0 concluimos que est en el IV cuadrante. Por lo tanto:

=6

As x+

2

32 6

cos(x)sen(x) =k cos (x + )=1cos

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Geometra Analtica e Introduccin al Clculo

83 Soluc ina) [3,8]={x/3 x 8}. Grficamente podemos representar esta desigualdad en la recta real como un intervalo con los extremos incluidos:

b) (5,12]={x/5 < x 12} Grficamente:

c) (,2)={x/x

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85 Soluc ina) Empleando propiedades de orden de los nmeros reales:

6 2 9 +x x

6 2 9 + + +x x x x

6 9 3 9 9 + x

13

3 13

3( )

( )x

1 x

6 3x + 9

3 3x

Luego, el conjunto solucin es x x: { }1 es decir, el intervalo [ )1, .

b) Empleando propiedades de orden de los nmeros reales:

3

11

4

13

6

11

12x

Es decir: 11

12

13

6< x

Luego, el conjunto solucin es el intervalo:

11

12

13

6

11

12

13

6, :

= <

x x

82

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86 Soluc ina) Procedemos haciendo uso de las propiedades de los exponentes:

4 5 4 54 32 2 5 2 4 2 3 2 2 5a b a b a b a b( ) ( ) = ( ) ( )( )( )

16 58 6 2 5a b a b= ( )( )16= ( ) 55 8 2 6 5( )a a b b

80 10 11= a b

b) Procedemos haciendo uso de las propiedades de los exponentes:

32 3

34 3

2

1 2

2 2 2

2

2 2 4 2 2

2 2 4xy

x zx z

yx y x z

x y z

=

x y z6 2 234

=

x yz

6 2

23

4=

3 34

2 1

= xx x y y z z4 2 4 2 2 4

87 Soluc ini. x x

xxx

x xx x

xx

x x22

129

34

4 53 3

34

4 3

+

=( ) +( )( ) +( )

+

( )=

( ) +(( ) +( ) ( ) +( ) ( )

xx x x

33 3 4

= +

xx

33

ii. 4 9

2 9 182 3

5 64 9

2 9 185 6

2

2

2

2

2

2

2

2

2y

y yy y

y yy

y yy y

y y

+

+ +

=

+

+ + 33

2 3 2 32 3 6

6 12 3 1

1=( ) +( )( ) +( )

+( ) ( )+( ) ( )

=y yy y

y yy y

iii. 2 3 212 5 2

2

2 3 2 21 2 5

2

2

2

2

2 2

2 2

x xx

x xx x

x x x x

x x x

+ ++

= ( ) + ( )( ) + +22

2 1 2 2 11 1 2 1 2( )

=+( ) ( ) +( ) ( )+( ) ( ) +( ) +( )x x x x

x x x x21

=+

xx

88 Soluc in2

A

B

C

1

-1

00 1 2 3 4 5

83

100

prob

lem

as q

ue t

odo

bach

ille

r de

be e

nten

der

y re

solv

er

Sean L1 la recta que queremos hallar y L2 la recta que pasa por los puntos A y B. Denotemos por m1 y b1 la pendiente y el intercepto con el eje y de la recta L1, respetivamente; es decir, la ecuacin de L1 es y =m1 x+b1. As mismo denotemos por m2 la pendiente de la recta L2. Empleando los puntos (x1, y1) = (1,1) y (x2, y2) = (5,1) podemos calcular m2:

m2

1 1

5 1

2

4

1

2=

= =

Como L1 es perpendicular a L2 tenemos que m1m2= 1 y por tanto m

1

1

1

2

2=

=. As la ecua-

cin de L1 es y = 2 x+b1. El valor del intercepto b1 se obtiene al reemplazar el punto C(3,2) en la ecuacin de la recta, es decir, 2=2(3)+b1. Por lo tanto b1= 4, as la ecuacin de la recta L1 es y = 2 x 4.

89 Soluc inLa simetra con respecto al eje x significa que para cualquier punto (x, y) del plano cartesiano su simtrico con respecto al eje x es el punto (x, y). Sabiendo que la recta L2 es simtrica a L1, con respecto del eje x, tenemos que el simtrico del intercepto de la recta L1 con respecto al eje y, el punto (0, 3), es entonces (0, 3) y este punto es entonces el intercepto de L2. El intercepto de L1 con respecto al eje x es el punto 3

40,

y su simtrico con respecto a x es el

mismo 34

0,

.

Como dos puntos definen una recta, con ellos encontramos la ecuacin de L2 como y = 4x+3

90 Soluc inPor la definicin de valor absoluto sabemos que f(x)=|x + 2|=x + 2 cuando x+ 2 0 es decir si x 2.

Cuando x+2

84

Red

mat

emt

ica

anti

oqui

a - g

ober

naci

n d

e an

tioq

uia

91 Soluc inEl dominio de f son todos los reales (-,+ ) puesto que x2+4 es un nmero real para todo nmero real x. Puesto que x2 0, para todo x, entonces x2+ 4 4, de lo anterior deducimos que f(x) 4. Por lo tanto, cualquier nmero 4 es la imagen de al menos una x del dominio. Por ejemplo, para encontrar una x tal que f(x)=7, resolvemos la ecuacin 7= x2+4 para x y obtene-mos x = 3. En general, para cualquier k 4, al hacer f(x) = k , obtenemos k = x2+4 y eso nos da las soluciones = 4. Esto prueba que el rango de la funcin es el conjunto de todos los nmeros 4. Es decir el intervalo [4,+ ).

92 Soluc inAcorde con la definicin de la funcin compuesta de dos funciones, tenemos que:

(gof)(x) = g( f (x)) = g(x) = (x)2 5 = x 5. Aunque la funcin x 5 est definida para todos los nmeros reales, el dominio de gof no es el conjunto de los nmeros reales. Veamos porque:El dominio de la funcin g es el conjunto de todos los nmeros reales y su rango el intervalo [5,+ ), pero la funcin f(x) = x slo est definida para los nmeros x 0 y su rango es igual. As que el dominio de gof es el conjunto de los nmeros reales positivos, es decir, el intervalo (0,+ ). Observa la representacin de los dominios de las funciones f, g y gof en la grfica de las tres funciones:

g(x)

(gof)(x) = g( f (x)) 10

5

00

-5

-5 5 10

f (x)

85

100

prob

lem

as q

ue t

odo

bach

ille

r de

be e

nten

der

y re

solv

er

93 Soluc inEl radicando 3 6x debe ser positivo. Al resolver 3x 6 0 se obtiene x 2, por lo cual el do-minio de f es [2,+ )

Ahora, por definicin 3 6 0x para x 2, y en consecuencia, y x= + 7 3 6 7 . Puesto que 3x6 y 3 6x crecen cuando x 2, se concluye que el rango de f es [7,+ ).

94 Soluc inSupongamos que tenemos en la pantalla de la calculadora el nmero x. Camilo al pulsar A obtiene

x1. Si a continuacin pulsa B obtiene x

x1. Si luego pulsa A nuevamente, obtiene xx 1 .

Despus pulsa nuevamente B y en pantalla aparece x1

1 . Luego de pulsar A otra vez resulta 1x, y si a continuacin se pulsa B se obtiene x. Es decir que la secuencia de seis pulsaciones ABABAB deja en la pantalla el mismo nmero inicial. Ahora bien, 848 = 6 141+2 o lo que es lo mismo 6482 mod (6), es decir que al pulsar ABAB. . . hasta completar 848 pulsaciones es lo mismo que pulsar AB. Si el nmero que estaba inicialmente en la pantalla era x, al pulsar A y luego B, resulta

x1 1. Por lo tanto 1 1 0 8 =

x. y as 1 0 2

x= . y por ltimo x=5.

95 Soluc inEn general, tenemos que la ecuacin de la circunferencia de centro (h,k) y radio r es:

(x h)2 + (y k)2 = r2

En este caso, h = 4, k = 2 y r = 2 y entonces la ecuacin de la circunferencia es:(x + 4)2 + (y 2)2 = 22 = 4

Si realizamos las operaciones indicadas en esta ecuacin tenemos que:x2 + 8x + 16 + y2 4y + 4 = 4, y simplificando:x2 + y2 + 8x 4y + 16 = 0Luego, la ecuacin x2 + y2 + 8x 4y + 16 = 0 tambin representa la circunferencia de centro en el punto A (-4,2) y radio 2.

4

2

-2

A

-4-60

0

86

Red

mat

emt

ica

anti

oqui

a - g

ober

naci

n d

e an

tioq

uia

96 Soluc inDebemos expresar la ecuacin dada en la forma ( )( )x h y k r + =2 2 2

x y x y

x x y y

2 2

2 2

1

22

1

160

1

22

1

16

+ + + + =

+ + + =

En donde podemos completar dos trinomios cuadrados perfectos, es decir:

x x y y2 212

1

162 1

1

16

1

161+ +

+ + +( ) = + +

Para obtener:x y+

+ +( ) =

1

41 1

2

2

Luego, la ecuacin representa una circunferencia de centro en

1

41, y radio 1.

97 Soluc inComo los focos estn ubicados en (2,2) y (10,2) entones el eje focal de la elipse es la recta y=2 y tenemos una elipse horizontal.

Observe que la distancia entre los focos es 8 unidades y por lo tanto 2c = 8, es decir c = 4 y el centro de la elipse se ubica a 4 unidades de cada foco y por lo tanto el centro de la elipse debe ser el punto (6,2), es decir que (h, k) = (6,2).

Al ubicar en este punto el origen del sistema de coordenadas xy, obtenemos las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas, estas son x = x - 6 y y = y 2.

Con este par de ecuaciones podemos obtener las coordenadas de los focos y el vrtice dado en el sistema de coordenadas xy:

Focos (2 6,2 - 2) = (4,0) y (10 6,2 2) = (4,0).Vrtices (0 6,2 2) = (6,0).

Luego el otro vrtice se encuentra en el punto (6,0) en el sistema de coordenadas xy y en el sistema de coordenadas xy en el punto (6 + 6,0 + 2) = (12,2)

En la figura se muestra la ubicacin del sistema de coordenadas xy, los focos y los vrtices. Segn sus coordenadas en el sistema xy podemos concluir que c = 4 y a = 6. Por lo tanto b a c= = =2 2 36 16 20 y entonces la ecuacin de la elipse, en el sistema de coordenadas xy, es:

87

100

prob

lem

as q

ue t

odo

bach

ille

r de

be e

nten

der

y re

solv

er

xa

yb

x y

' '

' '

( )+( )

=

( )+( )

=

2

2

2

2

2 2

1

36 201

y en el sistema de coordenadas xy, es:

x y( )+

( )=

6

36

2

201

2 2

Los principales elementos de la elipse en el sistema de coordenadas xy son los siguientes:

Centro C = (0,0).Focos F1 = (4,0) y F2 = (4,0).Vrtices V1 = (6,0) y V2 = (6,0).Extremos del eje menor A1 = (0,20) y A2 = (0,20).

A continuacin, se muestra la grfica de la elipse.

O

A2

V1 F1 F2 V2 x'

x

A1

O'

88

Red

mat

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ica

anti

oqui

a - g

ober

naci

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uia

98 Soluc ina) En este caso, h = 1, k = 3 y p = 1 (p se despeja de la igualdad (h,p+k) = (1,2)). Por tanto, la ecuacin requerida es y x =

( )+( )3 1

4 11

2 , que se puede escribir tambin como 4y+x2+2x11=0.

b) En este caso, h = 3, k = 0 y p = 2 (p se despeja de la igualdad (h + p,k) = (1,0)). Por tanto, la ecuacin requerida es x y = ( )

31

4 2

2 , que se puede escribir tambin como 8x+y2+24=0. A continuacin tenemos la grfica del punto a):

3v

F(-1,3)

(-1,2)2

1

0-4-5 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1

99 Soluc inComo los focos de la hiprbola se encuentran en los puntos (-8,0) y (8,0) entonces identifica-mos c = 8. Ahora, como el punto (2,0) pertenece a la grfica de la hiprbola y la ecuacin de este tipo de hiprbolas es de la forma:

xa

yb

2

2

2

21 =

Entonces se debe cumplir que 2 0 12

2

2

2a b = y as a2= 4, como a>0 entonces a=2

b2=c2a2=8222=60 . Por lo tanto la ecuacin de la hiprbola es: x4

y60

2 2

1 =

10

F1 P F2

5

0-10 -5 0 5

(2,0)10

-5

-10

89

100

prob

lem

as q

ue t

odo

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r de

be e

nten

der

y re

solv

er

100 Soluc inTeniendo en cuenta la informacin suministrada podemos suponer que la parbola que des-cribe el puente tiene su vrtice sobre el eje Y de un plano cartesiano como muestra la grfica:

B C

-50 50(75,0)(-75,0)

(0,7)

00

De acuerdo con la grfica, la parbola que describe el puente corresponde a una parbola con vrtice en el punto (0,7) que se abre hacia arriba. Por lo tanto su ecuacin es: y7=k x2 donde k es una constante que se puede determinar conociendo que cuando x = 75 x = 75 se tiene que y = 22. Es decir, 22 7 = k (75)2 de donde k = =15

75

1

3752

.

As que la ecuacin de la parbola es:

y x= +7375

2

Ahora, si un punto se encuentra situado a 15m de alguna de las torres entonces estar ubica-do sobre el eje X en un punto con coordenadas (75 + 15,0) o (75 15,0), es decir (60,0) o (60,0). En cualquier caso, la altura de la parbola corresponder a:

h= + = + =7 60375

748

5

83

5

2

metros

90

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mat

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anti

oqui

a - g

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naci

n d

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tioq

uia

Referencias

1. Nociones bsicas de Aritmtica, Geometra, lgebra, Trigonometra y Geometra analtica, Pre clculo, Red Matemtica Antioquia, 2014.

2. Resolucin de Problemas Matemticos Jos Heber Nieto Said, 2010.

3. El Circo matemtico, Martin Gardner, preparado por Patricio Barrios.

4. Pisa 2003, Pruebas de Matemticas y solucin de problemas, Madrid 2005, Instituto Nacional de Evaluacin y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). Ministerio de Educacin y Ciencia de Espaa.

5. 150 Problemas de olimpiadas matemticas cochabambinas, lvaro H. Carrasco C., Carlos E Gonzales C, 2010.

6. Olimpiadas Colombianas de Matemticas, Pruebas de 1982 -1983, Universidad Antonio Nario.

7. Resolucin de Problemas, Ministerio de Educacin del Per, http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/

8. Olimpiadas Matemticas de Mxico, http://ichi.fismat.umich.mx/recursos/prob15/

9. Un Pequeo Manual para la Resolucin de Problemas, Francisco Javier Garcia Capitn, pacoga@ctv.es, Priego de Crdoba, 2002.

10. Olimpiadas Espaolas de Matemticas: Problemas y Soluciones 1998 a 2014, http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm

11. Preguntas PISA, ciclos anteriores, (PISA 2000 PISA 2006), Alfabetizacin matemtica, Per.

12. Olimpiada Costarricense de Matemticas, 2011, Christopher Trejos Castillo, lgebra.

13. Olimpiadas Matemticas 2012, (OJM, OM, OMCC, OIM, IMO), Problemas y Soluciones, Jos H Nieto S, Rafael Snchez L, Laura Vielma H.

14. Problemas Resueltos de Funciones, Para: Clculo Diferencial, Dr. Jos Luis Daz Gmez.

Mi consejo es uno: Afrrense con todas sus fuerzas

y conviccin a la educacin. No desfallezcan;

estudien mucho. El futuro no lo sabemos pero,

con certeza, si nos educamos ser mucho mejor.

Sergio Fajardo

EDUCACIN=LIBERTAD

p r o b l e m a s q u etodo bachiller debe entender y resolver

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