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CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las fun-ciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una funciónestá escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despe-jada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explícita:

23 11 9y x x= − −

( )2 3 22y x tan x= −

( )26 2xy e tan x cos x= −

6 9ln xy

x x=

−

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, sedice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funcionesescritas en forma implícita:

Funciones implícitas

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3 3 8x y xy− = −

( ) 44 3tan x y x y− = +2 25 7 9 22 6 0x xy x y y− + − + − =

4 2y arc sen x y= −

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la va-riable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuandoaparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por

ejemplo, en la variable dependiente y aparece como parte del argumento( )24 2y sen x y= −

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convinoescribirla, como en (se podría despejar la y )

2 3 5 0x y+ + =

Para obtener la derivada de una función implícita se emplean las mismas fórmulasdydx

y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente elcuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra for-ma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.

Por ejemplo, para derivar debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la pá-3ygina 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

3 13 3d dy y y

dx dx

−

=

n - 1

n u dudx

Funciones implícitas

143

Por lo tanto3 23d dyy y

dx dx=

Para derivar, por ejemplo, debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en6 3x yla página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

6 3 6 3 3 6d d dx y x y y xdx dx dx

= +

u + v dvdx

dudx

Para derivar debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,3y

6 2 3 53 6dx y y y xdx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

6 3 6 2 5 33 6d dyx y x y x ydx dx

= +

En general, para obtener la derivada de cualquier función implícita deben derivarsedydx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar , lodydx

Funciones implícitas

144

Para derivar funciones implícitas:

1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismasfórmulas antes vistas.

2) Despejar , para lo cual:dydx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términosque contengan a la derivada y del lado derecho todos los térmi-nos que no la contengan.

b) Factorizar en el lado izquierdo .dydx

c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que ledydx

multiplica.

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Ejemplo 1: Obtener si dydx

7 35 9 4xy y x y− = +

Solución: Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

( ) ( )7 35 9 4d dxy y x ydx dx

− = +

Funciones implícitas

145

7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx

− = +

( )7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx

− = +

son de la forma: uv un cdudx

3 17 75 5 3 9 4d d d dyx y y x y ydx dx dx dx

−+ − = +

n-1

u + v n udvdx

dudx

dudx

[ ]6 7 25 7 5 3 9 4dy dy dyx y y ydx dx dx

⎡ ⎤ + − = +⎢ ⎥⎣ ⎦

6 7 235 5 3 9 4dy dy dyxy y ydx dx dx

+ − = +

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada ydel lado derecho los que no lo contengan:

6 2 735 3 4 9 5dy dy dyxy y ydx dx dx

− − = −

Funciones implícitas

146

Paso 2b: Factorizando dydx

( )6 2 635 3 4 9 5dy xy y ydx

− − = −

Paso 2c: Despejando dydx

7

6 2

9 535 3 4

dy ydx xy y

−=

− −

Ejemplo 2: Calcular la derivada si dydx

3y x ln y sen x= +

Solución: Debe tenerse cuidado con casos como éste. Aparentemente la variable y está despejado poraparecer del lado izquierdo como único término, pero realmente no está despejada por el he-cho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una función implícita.

Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad

( )3d dy x ln y sen xdx dx

= +

3dy d dx ln y sen xdx dx dx

= +

son de la forma uv sen u

Funciones implícitas

147

3 3dy d d dx ln y ln y x cos x xdx dx dx dx

= + +

u + v cos udvdx

dudx

dudx

[ ] [ ]1 3 3

d ydy dxx ln y cos xdx y

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

dydy dxx ln y cos xdx y

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

= + +

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

− = +

factorizando la derivada:

1 3 3dy x ln y cos xdx y

⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Funciones implícitas

148

y finalmente despejando la derivada:

3 3

1

dy ln y cos xxdxy

+=

−

Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fracción compleja, esdecir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el denominador parcial y basta multipli-car numerador y denominador por y:

( )3 3

1

y ln y cos xdydx xy

y

+=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 3dy y ln y y cos xdx y x

+=

−

Ejemplo 3: Hallar si dydx

2 33 5 4 3 0x y x y+ − − + =

Solución: Derivando en ambos lados:

2 33 5 4 3 0d d d d d dx y x ydx dx dx dx dx dx

+ − − + =

26 15 4 0dy dyx ydx dx

+ − − =

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen:

Funciones implícitas

149

215 4 6dy dyy xdx dx

− = −

Factorizando la derivada:

( )215 1 4 6dy y xdx

− = −

y finalmente despejando la derivada:

2

4 615 1

dy xdx y

−=

−

Funciones implícitas

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EJERCICIO 16 (Áreas 1, 2 y 3)

Obtener la derivada de las siguientes funciones implícitas:dydx

1) 2)8 24 5 7xy x y= − 2 36 3 9 4y x x y+ = −

3) 4)2 2y y x x− = − 6 611 11 3 12x y xy x− = −

5) 6)3 52 7 6 8xy x y y x− + = − 3 4 6 24x y x y− =

7) 8)3 62 7y x y= + 4 4y y x= −

9) 10)x yy e e= + 723

xy xy

= −

11) 12)ln y ln x y x+ = − ln xy xy=

13) 14)sen xy xy= ( )2 3 2 3cos x y x y− = −

15) 16)( )2 23 3tan x y x y− = +2

2 0x yy x− =

17) 18)x y xy− = 0y ln x x ln y+ =