Actividades de la unidad TRIGONOMETRIAÁngulos

1. Reduce al primer giro:

a)1230º b) -730º c) 9,63 rad, d) rad

2. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 9 y 20? ¿Y a las 9 y 15? ¿Y a las 6 y media?

3. En una circunferencia de radio 10 cm, un arco mide 20 cm. Averiguar el valor del ángulo central correspondiente y qué longitud tiene la cuerda que determina.

Razones trigonométricas

4. A partir de las razones trigonométricas de 0º, 30º y 45º calcula

a) sin 135º b) cos 720º c) cos 210º d) tg 300º

e) cos 450º f) tag 135g)tag 210

5. Calcula los ángulos que cumplen:a) cos = 0,989b) tan = 2,5

6. Utilizando la calculadora, averigua el valor del ángulo a) sin = - 0,15 < 3/2b) cos = - 0,92 > c) tg = 2,35 > d) cotg = 0,36 < /2

Triángulos rectángulos

7. En un triángulo ABC, rectángulo en A, conocemos la altura correspondiente al vértice A, 7cm, y el cateto b, 9 cm. Calcula el valor de los ángulos B y C, del cateto c, y de la hipotenusa, a.

8. En un triángulo rectángulo, conocemos la altura correspondiente relativa a la hipotenusa, 3cm, y la hipotenusa, a = 10 cm. Calcula el valor de loa ángulos agudos, y la medida de los catetos.

9. Conociendo la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, 16 cm, y que la proyección ortogonal de uno de los catetos sobre ella es de 9 cm, calcula el área del triángulo

10. En un triangulo rectángulo, un cateto mide 5 cm, y su proyección sobre la hipotenusa, 4 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y del otro cateto

11. Construye un triángulo rectángulo de catetos 5 y 12 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, la altura correspondiente a la hipotenusa y los ángulos agudos de dicho triángulo.

12. En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa, la divide en dos segmentos de 4,3 y 7,8 cm, respectivamente. Calcula la longitud de los catetos, los ángulos agudos del triángulo y su área.

13. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 27º 45' 12'',y su cateto opuesto, 4 cm. ¿Cuánto miden los otros lados y ángulos del triángulo?

14.Calcula el perímetro del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que la longitud del segmento CP es 2 cm

Problemas de aplicación

15. Una circunferencia mide 48,56 cm y las dos tangentes trazadas desde un punto exterior forman un ángulo de 25º. Calcula la distancia del centro de la circunferencia a dicho punto.

16. Los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente son de 15 cm y 8 cm, respectivamente. Calcula el ángulo que forman sus tangentes comunes.

17. Bajo un ángulo de 90º, un barco divisa dos plataformas petrolíferas. Sabe que la distancia a una de las plataformas es de 6,8 km, y que la distancia ala línea imaginaria que las une es de 6 km. Calcula la distancia entre las plataformas y la distancia del barco a la segunda plataforma..

18. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 32º 24' 36''. El lado desigual mide 7 cm. Calcula el área del triángulo

19. El área de un triángulo rectángulo es 30 cm2, y su hipotenusa mide 13 cm. Averigua el valor de los ángulos agudos de dicho triángulo.

20. Situados en un punto de un terreno horizontal, el ángulo que forma la visual dirigida al punto más alto de un árbol con la horizontal, es de 60º. ¿Cuál será el ángulo que formará si nos alejamos una distancia el triple de la inicial?

21. Desde el suelo, vemos la terraza de un rascacielos bajo un ángulo de 40º. ¿Con qué ángulo la veríamos desde una distancia que fuera la mitad de la anterior?

22. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide el triple que uno de los catetos. Averigua el valor de los ángulos de este triángulo y la relación entre la hipotenusa y el otro cateto.

23. Calcula los ángulos que determina la diagonal de una caja de zapatos de 35x20x15 cm con cada una de las caras.

24. Un rectángulo de 3cmx4cm está inscrito en una circunferencia. Calcula cuánto miden los arcos que determina en ella.

25. Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcula: a) el área del pentágonob) el área de la corona circular que forman dicha circunferencia y la circunferencia inscrita en el pentágono.

26. Calcula el área del segmento circular correspondiente a un ángulo central de 115º en una circunferencia de 15 cm de radio

27. Dos observadores ven el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 58º y 75º, respectivamente, tal como indica la figura. La distancia que los separa es de 25 metros. Calcula la altura de la torre.

28. Se observa la cima de un promontorio de altura 100m bajo un ángulo de 17º. Nos acercamos una cierta distancia y entonces el ángulo de elevación es de 30º. Calcula qué distancia nos hemos acercado.

29. Para medir la anchura de un río, dos amigos se colocan en una de las orillas separados una distancia de 150m. Los dos miden el ángulo que forma su visual a un mismo punto de la orilla contraria con la recta que los une y resultan 39º y 75º, tal como indica la figura. ¿Cuál es la anchura del río?

30. Desde un punto situado a una cierta distancia de la fachada de un edificio, observamos su punto más alto bajo un ángulo de 49º, tal como se indica en la figura. Nos alejamos 60 m, bajando unas escaleras, y desde un punto 10 m por debajo del anterior, vemos el mismo punto en lo alto del edificio bajo un ángulo de 26º. Calcula la altura del edificio.

31. Para calcular la altura de un mural, realizamos dos mediciones desde dos puntos A y B, como se indica en la siguiente figura. Calcula la distancia de ambos puntos al mural, y la altura de este.

32. El poste central de una carpa se sujeta con cables al suelo. Si en el punto de fijación del cable con el suelo, el ángulo que forma el cable con el terreno, supuestamente horizontal, es de 45º, se gastan 2 m más de cable que si el cable y el terreno forman un ángulo de 55º. Si hacen falta 6 cables para realizar una sujeción segura del poste, averigua cuanto cable hace falta si gastamos la menor cantidad posible, y cuál es la altura del poste.

33. Queremos averiguar la anchura de un voladizo situado a 8 m de altura. Desde un mismo punto realizamos dos mediciones y obtenemos los ángulos que se indican en la figura. Calcula la anchura del voladizo.

34. Desde un barco A se divisa la luz de un faro bajo un ángulo de 45º, y su base que está en una pequeña elevación de la costa, bajo un ángulo de 20º. Una barca, B, situada a 15 m del punto de la costa en que está el faro, ve su luz bajo un ángulo de 65º. Calcula cuanto mide el faro desde su base hasta su luz

35. Para calcular la altura de un punto P inaccesible, dos amigos, A y B, han realizado las mediciones que se reflejan en la figura. Sabiendo que el ángulo OAB es recto, calcula la altura del punto P, perpendicular al plano OAB.

Fórmulas trigonométricas

36. Si es un ángulo del que se conoce que /2 < , y tg = -10, calcula sen (cos ( y tg (

37. Sabiendo que sen = 3/4 , /2 < , y cos = -1/3, /2 < , averigua:

a) sen 2cos 2 y tg 2b) sen(), cos ( b) y tg ()

c) sen (/2), cos 2

38. Sabiendo que dos ángulos son agudos y que sus tangentes son 3 y 0,75, respectivamente, calcula el seno de su suma , el coseno de su diferencia y la tangente de su semisuma

39. Conocemos que tg = 14/5, < , y que sen = -2/7, < < 3/2. Averigua:

a) sen 2, cos 2 y tg 2b) sen /2 , cos/2 y tg/2 c) sen (), cos () y tg (2/2)

40. Demuestra que si A+B = / 2, se cumple que:

(sen A + sen B) · (cos A + cos B) = 1 + sen 2A

41. Simplifica:

42. Sin utilizar la calculadora , averigua el valor de las siguientes expresiones:

a)

b) (sen 75º · sen 45º)· ( cos 75º · cos 45º) · ( 1- cos 15º)

43. Halla el valor del seno de 2x sabiendo que sen x - cos x = 1/3

Ecuaciones trigonométricas

44. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

b)

c)

Resolución de triángulos. Teoremas del seno y del coseno

45. Calcula el área de cada uno de los triángulos siguientes, sabiendo:

a) b = 30 cm, A = 50º y B = 74ºb) a = 41 cm, C = 45º, y B = 75ºc) a = 18 cm, b = 15 cm, C = 19º 42'd) a = 6 cm, b = 12 cm, A = 17º30'e) a = 33 cm, b = 24 cm, c = 20 cm

46. El ángulo entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles es de 40º y el lado desigual tiene una longitud de 40 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados iguales del triángulo?

47. El ángulo agudo de un rombo mide 25º. El lado mide 13 cm. Calcula el área del rombo.

48. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 11 cm y 13 cm, respectivamente. Calcula el valor del seno del ángulo más pequeño.

49. Los tres ángulos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula sus ángulos y su área.

50. En un triángulo ABC, conocemos A = 34,5º, B = 78º y a + b = 43 cm. Calcula cuánto miden los lados a y b.

51. En un triángulo ABC, conocemos a = 15 cm, b = 11 cm y A + B = 104º. Calcula cuánto miden los ángulos A y B.

52. En un triángulo ABC, conocemos A - B = 16º, a = 23 cm y b = 19 cm. Calcula los ángulos del triángulo.

53. Demuestra que en todo triángulo ABC, se cumple la igualdad:

, conocida como Teorema de Nepper. (Indicación: debes usar el teorema del

seno para escribir la relación entre a y b)

54. En los lados de un triángulo ABC se cumple que b - a = 1 y c - b = 1, y se tiene que cos A = 0,6. Calcula a, tg (B/2) y sin 2C

55. De un triángulo se conocen los lados b = 2,5 cm y c = 3,5 cm y se sabe que el ángulo B es la mitad del ángulo C. Calcula a y los ángulos A, B y C.

56. Un triángulo de lados 3 cm , 4 cm y 6 cm, está inscrito en una circunferencia. Averigua el perímetro y el área de dicha circunferencia.

57. En una circunferencia de radio 10 cm, hay inscrito un triángulo isósceles cuyo lado desigual también mide 10 cm. Calcula el área de dicho triángulo.

58. Determina el área de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, sabiendo que dos de sus lados miden 2 y 4 cm, respectivamente.

59. Calcula el área del triángulo ABC representado en la siguiente figura:

60. El área de un triángulo de vértices A, B y C, tiene una superficie de 50 m2. El ángulo A de este triángulo es de 45º y el ángulo B es de 30º. Sea D el pie de la altura desde el vértice C, es decir, el punto del segmento AB en que se cumple que CD es perpendicular a AB. Calcula la longitud de los segmentos CD, AD, BD, AB, BC y AC.

61. Las manecillas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.

a) ¿Cuál es la distancia entre sus extremos cuando son las 16:00?b) ¿Qué área tiene el triángulo que determinan a esta hora?

62. De un triángulo conocemos la suma de la longitud de dos lados a y b, que es 11 cm, el ángulo C, 30º, y el área, 7 m2. Calcula:

a) La longitud de cada uno de los lados del triángulo.b) Los ángulos del triángulo.

63. El lado más largo de un paralelogramo mide 20 cm, su área es de 120 cm2 y su ángulo menor, 30º. Determina:

a) El ángulo mayor del paralelogramo.b) La longitud del lado menor.c) La longitud de la diagonal mayor

64. Sobre una circunferencia de radio 1 m y centro en el punto O, consideramos los cinco vértices A, B, C, D y E de un pentágono regular, como el de la figura:

Calcula:a) El ángulo que forma el radio que acaba en el vértice A con el lado AB y el ángulo que forman en el vértice A los dos lados que lo tienen como extremo.b) La longitud de cada uno de los lados del pentágono.c) La longitud de cualquiera de las diagonales.d) El área del triángulo EAB

Aplicaciones de la trigonometría

65. En un cierto lugar de su recorrido un río tiene sus orillas paralelas. En ese punto se desea medir su anchura. Para ello desde dos puntos A y B de una de sus orillas, que están separados 25 m, se observa un punto P de la otra orilla, situado río abajo. Si las visuales desde A y B a P forman con la orilla unos ángulos de 39º 25' y 52º 48' respectivamente, averigua la anchura del río en ese punto.

65. Averigua el ángulo que forman dos fuerzas de 52 N y 31 N, cuya resultante es de 70 N.

66. Queremos colgar una lámpara a una determinada distancia del techo de una habitación. Para ello, cogemos un cable, fijamos la lámpara y lo clavamos por sus extremos en dos puntos del techo que están separados 140 cm, de modo que los ángulos entre el cable y el techo son de 40º y 60º en cada uno de los puntos de fijación.

a) ¿Cuál es la longitud del cable?b) ¿A qué distancia del techo quedará la lámpara?

68. Para medir la altura de una nube se han hecho dos observaciones simultáneas desde los puntos A y B, que distan entre si 1 km, y que están situados los dos al nivel del mar. La inclinación de la visual desde A a la nube, respecto de la horizontal, es de 47º. Los ángulos que

forman las visuales desde A y desde B con la recta AB son, respectivamente, 38º y 53º, tal como se indica en la figura. Calcula la altura de la nube respecto del nivel del mar.

69. Dos amigos están cada uno de ellos en la terraza de su casa y observan un barco. Quieren determinar a qué distancia se encuentra y para ello disponen cada uno de un teodolito.

a) En primer lugar quieren conocer qué distancia hay entre ellos. Llamemos A y B a los puntos en que se encuentran sus respectivos teodolitos. Desde el punto A miden una distancia de 10 m a un punto C, AC = 10 m, de manera que el triángulo ACB es rectángulo en A. Desde el punto B resulta que el ángulo B de este triángulo es de 5,6º. Calcula la distancia entre A y B.

b) Para determinar a qué distancia está el barco, desde el punto A miden el ángulo que forman las visuales barco-A y AB, y desde el punto B hacen lo mismo con las visuales barco-B y BA, y obtienen unos ángulos de 75,5º y 81,6º, respectivamente. ¿A qué distancia está el barco de cada uno de ellos? ¿Podemos saber, sin hacer cálculos, quien está más cerca del barco? ¿Por qué?

70. El circo ha llegado a una ciudad y hay que instalarlo. El especialista que lo monta no ha llegado y los operarios no saben cuánto cable necesitan. Hay uno que recuerda que, una vez tensado el cable desde el extremo del palo principal hasta un punto determinado del suelo, con el cual forma un ángulo de 60º, hacen falta 2 m más de cable que si forma con el suelo un ángulo de 70º. En total han de colocar 6 cables tensados formando con el suelo un ángulo de 60º cada uno de ellos. ¿Cuántos metros de cable necesitan?

71. Hay que realizar un mapa de una cierta zona montañosa y A; B y C son las cimas de tres montañas de la misma altura, de manera que la situación de A y B están bien determinadas y representadas en el mapa, mientras que la situación de C está por determinar. Subimos a lo alto de la cima A y medimos el ángulo entre la línea AB y la línea AC, que resulta de 68º. Subimos a B y el ángulo entre las líneas BC y BA es de 35º. En el mapa la distancia entre A y B es de 3 cm

a) Haz un diagrama de la situación, anotando el ángulo que forman en C las líneas CA y CB.b) Halla, sobre el mapa, las distancias entre A y C y entre B y C.c) Si la escala del mapa es 1:50 000, calcula la distancia entre las cimas de las tres montañas.

72. En el momento de marcar el último gol de Alemania en la final de la Eurocopa de Inglaterra, Bierhoff estaba situado a 5 metros de uno de los palos y a 8 metros del otro, y veía la portería bajo un ángulo de 60º. Calcula la distancia del jugador a la línea de gol.

73. En la terraza de un edificio hay instalada una antena de telefonía móvil. Desde un punto P de la calle, el ángulo entre la horizontal y la línea que va desde P hacia el extremo superior de la antena es de 34º. Nos acercamos a un punto Q que está 15 metros más cerca del edificio y en este punto Q el ángulo entre la horizontal y la línea que va al extremo superior de la antena es de 42º, mientras que con el extremo inferior de la antena es de 35º.

a) Haz un esquema de la situación, señalando todos los ángulos que se dan en el enunciado y todos los que se pueden deducir.b) Calcula la distancia de Q a los dos extremos de la antena.c) Averigua la altura del edificio y de la antena.

74. Las diagonales de un paralelogramo miden 16 cm y 12 cm, respectivamente. Uno de los ángulos que determinan es de 40º. Calcula su perímetro.

75. Dos vías de tren se cortan con un ángulo de 20º 16'. Del cruce salen al mismo tiempo dos locomotoras, una por cada vía. Una de las locomotoras va a una velocidad de 100 km/h. ¿A qué velocidad debe ir la otra para que a las 3 horas estén separadas 150 km?