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Variables Parcialmente Continuas
Walter Sosa Escudero
Universidad de San Andr¶es
1
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Introduccion
² Variables aleatorias discretas: los valores del soporte
pueden ocurrir con probabilidad no nula (bernoulli,
poisson, etc.), cara o ceca, numero de hijos.
² Variables aleatorias continuas: si bien cada punto del
soporte ocurre con probabilidad cero, intervalos del
soporte ocurren con probabilidad no nula (normal, chi2.
Ingresos, llegada a clase, etc.
² Variables aleatorias parcialmente continuas: ciertos
valores pueden ocurrir con probabilidad no nula. Gasto
en seguro de vida, re¯nanciamiento de deuda, ingresos
de fuentes tributarias.
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Porque?
² Censura: algun mecanismo altera la informacion (datos
tributarios)
² Soluciones de esquina: el resultado observable permite
`soluciones de esquina': gasto en durables, restricciones
de capacidad.
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Un modelo simple
8<: y¤ = x0¯ + u
y = max (0; y¤)
,con E(ujx) = 0.Si observasemos una muestra aleatoria (y¤i ; xi); i = 1; : : : ; n,podriamos estimar consistentemente ¯ por MCO,
regresando y¤i en xi.
Que pasa si solo observamos (yi; xi)?
² Regresar yi en xi.² Regresar yi en xi, solo para los casos en que yi > 0.Ambas estrategias conducen a estimaciones inconsistentes.
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Ejemplo: consumo, gasto y stocks
(Gourieroux, 2000)
Objetivo: estimar c¶omo factores observables (ingresos,
tama~no de la familia, etc.) afectan el consumo de un
durable.
c¤ =consumo (valor monetario)s¤ = stock disponible del bien (valor monetario)
e¤ = variacion deseada en el stock = c¤ ¡ s¤
g = gasto
g =
8<: e¤ si e¤ > 0
0 si e¤ · 0
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Supongamos que: c¤ = x0¯ + º, x= vector de caracteristicas
observables, v termino no observable. De¯niendo u ´ º ¡ s¤:
g =
8<: x¯ + u si e¤ > 0
0 si e¤ · 0
² Tipicamente, en las encuestas se observa solo g y x.
² Los datos presentan muchas familias con g = 0
² El punto clave es que estamos interesados en el consumo, el cual
no es directamente observable (se observa el gasto): los datos son
censurados. Es importante notar que las caracteristicas de los
hogares se observan para todas las familias.
² Si solo se observase informacion para familias con gasto positivo,
los datos serian truncados.
² Regresar los gastos en x no funciona. Tampoco funciona restringir
la muestra a las familias con gastos positivos.
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Distribuciones truncadas
X » f(x), XjX > a: variable truncada en a,
f(xjX > a) =f(x)
Pr(X > a)
Si X » N(¹; ¾2), recordando quePr(X < a) = Pr(1=¾(X ¡ ¹) < 1=¾(a¡ ¹)) = Pr(z < ®)
f(xjX > a) =
1¾
1p2¼exp
h¡12
¡x¡¹¾
¢2i1¡©(®)
=(1=¾)Á(z)
1¡©(®)
,® ´ (a¡ ¹)=¾; z ´ (x¡ ¹)=¾.
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Se puede veri¯car que si X » N(¹; ¾2):
E(XjX > a) = ¹+ ¾Á(®)
1¡©(®)² Este resultado es muy importante. En primer lugar,
dice que si el truncamiento ocurre a la izquierda, la
esperanza se corre a la derecha.
² Tambien informa en cuanto se corre a la derecha.
Depende del truncamiento ® y de la varianza de la
variable aleatoria (¾2)
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Distribucion normal truncada
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
La linea punteada corresponde a la densidad y esperanza de la normal truncada
La linea solida, a la normal estandar
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Sesgo en la estimacion de MCO
La insesgadez del estimador de MCO descansa en que si
y = x0¯ + u, E(ujx) = 0, o bien, en que:
E(yjx) = x0¯
Consideremos el problema de estimar ¯ utilizando el
estimador MCO de regresar yi en xi solo para las
observaciones con yi > 0 (la muestra truncada).
En este caso, deberiamos veri¯car que sucede con
E(yjx; y > 0)
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yjy > 0 = x0¯ + u
E(yjx; y > 0) = x0¯ + E(u j x; y > 0)= x0¯ + E(u j x; u > ¡x0¯)= x0¯ + ¾
Á(¡x0¯=¾)1¡©(¡x0¯=¾)
= x0¯ + ¾Á(x0¯=¾)©(x0¯=¾)
= x0¯ + ¾¸(x0¯=¾)
6= x0¯
lo que muestra que el estimador de MCO es sesgado si se
utiliza la muestra truncada.
¸(z) ´ Á(z)=©(z) se conoce como la inversa de la razon deMills.
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Un argumento similar muestra que MCO es tambien
sesgado si se utiliza la muestra censurada.
E(yjx) = ©(x0¯=¾)hx0¯ + ¾¸(x0¯=¾)
i6= x0¯
(v/Wooldridge, p. 521). Resultado util:
E(y) = E(yjy > 0)P (y > 0) + E(y · 0)(1¡ P (y > 0))= E(yjy > 0)P (y > 0)
² Tanto para el caso de la muestra truncada como para
el de la censurada, la funcion de regresion (la esperanza
de y condicional en x y en la informacion relevante) no
es una funcion lineal
² Los `sesgos' aparecen por querer estimar la esperanza
como si fuese una funcion lineal.
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Sesgo en el estimador MCO con datos truncados
xt
yt
0 1 2 3 4 5 6
-20
24
68
² Los puntos con circulos mas grandes son observaciones truncadas² La linea solida es la estimacion MCO con la muestra original
² La linea punteada es la estimacion con la muestra truncada
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Funcion de regresion en el modelo original y truncado
xt
yt
0 1 2 3 4 5 6
-20
24
68
² La linea solida es E(yjx) = ® + ¯x
² La linea punteada es E(yjx; y ¸ 0) = x0¯ + ¾¸(x0¯=¾)
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Estimacion e inferencia del modelo tobit
Al modelo de datos censurados con errores normales se lo
conoce como modelo tobit.
Bajo el supuesto de normalidad, es sencillo derivar un
estimador maximo verosimil.
Comencemos por dividir la muestra (yi; xi) en pares que
tienen yi = 0 y pares en que yi > 0. Los primeros ocurren
con probabilidad Pr(yi = 0jxi) y los segundos ocurren con`probabilidad' f(yijxi; yi > 0). Llamemos wi ´ 1[yi > 0].
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Entonces:
L(¯) =Yijyi=0
Pr(yi = 0)Yijyi>0
f(yijxi; yi > 0)
=
nYi=1
nPr(yi = 0)
(1¡wi) f(yijxi; yi > 0)wio
l(¯) =nXi=1
n(1¡ wi) ln [1¡©(x0i¯=¾)] + wi ln [(1=¾)Á[(yi ¡ x0i¯)=¾]]
oque, bajo condiciones estandar, produce un maximo unico
utilizando metodos numericos simples.
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Interpretacion de resultados
El estimador MV provee estimaciones consistentes de:
¯ =@E(y¤jx)@x
lo cual prove una interpretacion posible: los coe¯cientes
estimados son derivadas parciales de la variable latente (ej,
consumo).
Pero muchas veces el interes recae sobre otras magintudes.
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Efecto sobre la esperanza no-condicional
Recordar que:
E(yjx) = P (y > 0jx) E(yjx; y > 0) = ©(x0¯)£x0¯ + ¾¸(x0¯=¾)
¤Usando la regla de la cadena:
@E(yjx)@xk
=@P (y > 0jx)
@xkE(yjx; y > 0) + P (y > 0jx)@E(yjx; y > 0)
@xk
Esta es la descomposicion de Donald-Mo±t. Es facil
mostrar que en este caso:
@E(yjx)@xk
= ©(x0¯=¾) ¯k
que es simplemente un reescalamiento de los coe¯cientes
originales.
Ejemplo: efectos sobre el gasto (no consumo). Una parte proviene de
las familias que pasan de no gastar a hacerlo, y otra parte proviene del
aumento en el gasto de las familias que ya lo hacian.
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Efecto sobre la esperanza condicional
Tambien de los resultados anteriores
E(yjx; y > 0) = x0¯ + ¾¸(x0¯=¾)
Tomando derivadas:
@E(yjx; y > 0)@xk
= ¯k
h1¡ ¸(x0¯=¾) [x0¯=¾ + ¸(x0¯=¾)]
iEjemplo: efectos sobre el gasto para las familias que gastan algo.
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The e®ects of liquidity constraints on
consumption: a cross-sectional analysis (Hayashi, 1985)
Test de restricciones de liquidez. c¤ = consumo deseado, c
= consumo observado. Supongamos que:
c¤ = x0¯ + º (1)
x= vector de caracteristicas observables, º no es observable.
No restriccion de liquidez () c¤ = c.
Con restriccion de liquidez:
c =
8<: x0¯ + º si c¤ < K
K si c¤ ¸ K(2)
Hayashi: K = 0:85 (Y D + 0:2 LIQ). Y D = ingreso disponible,
LIQ = activos liquidos.
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² En la practica, la idea es censurar arti¯cialmente los
consumos de todas las familias que estan ahorrando
poco, se las trata como potencialmente restringidas.
² Independientemente de que haya restricciones de
liquidez, ¯ puede ser consistentemente estimado por
tobit en (2). OLS produce estimaciones inconsistentes.
² Solo si no hay restricciones de liquidez, OLS es
consistente.
² Si no hay restricciones de liquidez, tobit y OLS
coinciden: rechazar H0 en un Test de Hausman implica
que hay restricciones de liquidez.
² Tarea: leer el paper y mirar los resultados empiricos
Walter Sosa Escudero. Microeconometria Aplicada 21