1. Turbulencia

1.1. Introduccion

Las caracterısticas que debe exhibir un flujo turbulento son motivo de debatepermanente, de modo que en esta seccion se intentara dar una lista –algoarbitraria– de las mas salientes sobre la que hay un consenso bastante amplio:

Amplio espectro de escalas espaciales y temporales: este tipo de flu-jos se caracteriza por exhibir estructuras en un amplio espectro deescalas espaciales y temporales. Si por ejemplo L es la escala espacialde las estruturas mas grandes y ` la de las mas pequenas, que el es-pectro sea amplio implica L >> `. La escala ` es tıpicamente aquellaen la cual la disipasion comienza a ser relvante, consumiendo energıadel flujo, mientras que L viene dada por la escala de los mecanismode exitacion que provocan el flujo en la escala mas grande. El cocienteL/` es proporcional al numero de Reynolds Re, de modo que los flujosturbulentos tienen asociados Re altos. Usualmente tanto la frecuenciacomo el numero de onda son las magnitudes que mejor caracterizanlas estructuras temporales y espaciales respectivamente y es en termi-nos de estas cantidades que se dice que la turbulencia tiene un amplioespectro.

Dominancia de la adveccion no lineal: existen ejemplos de campos deondas de amplio espectro que sin embargo no son turbulentos: ¿porque? porque para que el flujo sea turbulento, las diferentes esclas debeninteractuar entre si a traves de los terminos no lineales de la ecuacion demovimiento siendo estas interacciones no lineales las responsables de lapresencia de las estucturas. Ası, en el caso turbulento, que el espectrosea amplio aparece como resultado de la dinamica interna del flujo.

Impredictibilidad en el espacio y el tiempo: Los flujos turbulentos sonpredecibles solo a corto plazo. Esto es ası por la alta sensibilidad delflujo a las condiciones iniciales y de contorno, resultado de la alta no li-nealidad. La predictibilidad puede recuperarse, sin embargo, en sentidoestadıstico. Esta sensibilidad a las condiciones iniciales y de contornoes caracterıstica de los sitemas caoticos. Sin emabrgo, ası como la tur-bulencia es caotica, los movimientos caoticos no son necesariamenteturbulentos: en efecto, algunos regimenes caoticos pueden ocurrir auncon pocos grados de libertad, es decir, pueden ser de pequeno espectro.La turbulencia es distinta del caos en el sentido que es compleja tantoen el espacio como en el tiempo.

1

Irreversibilidad: a medida que un flujo turbulento evoluciona, tiende adesconectarse de su estado incial y a adoptar un estado equilibrado.Esta irreversibilidad, caracterıstica de los fenomenos termodinamicos,no aparece en los sistemas descriptos por la mecanica de Newton. Sinembargo, y a pesar de que la dinamica del flujo turbulento esta des-cripta con estas leyes se observa que la turbulencia tiende a mezclary no a separar: esta observacion se explica observando que, si no hu-biera terminos difusivos, una solucion para (t, ~u, p) serıa solucion para(−t,−~u, p); sin embargo, cuando se incorporan los terminos difusivoshay un quiebre en esta simetrıa.

Disipacion: conectado con la observacion anterior, si no hubiera terminosdifusivos, el flujo resultarıa conservativo. Sin embargo los flujos tur-bulentos son disipativos a pesar de estar conducidos por mecanismosde exitacion que actuan en la escala mayor. Se concluye que para quese provoque la disipacion debe haber un mecanismo de transferenciade las propiedades del flujo desde las escalas mayores a las menores,en las cuales los terminos difusivos se vuelven dominantes sobre losadvectivos. Este proceso se denomina de cascada turbulenta y es carac-terıstico de la turbulencia.

En varias referencias, se sugiere que una buena forma de aproximarse al pro-blema de la turbulencia es a traves de la observacion de flujos que ocurren enla naturaleza: el oceano, la atmosfera, lagos y rıos exhiben complejos flujoscon las caracterısticas antes mencionadas.

Existen numerosas resenas historicas recientes sobre el estudio cientıfico de laturbulencia (mecionamos las de Lumley (1992) y de Frisch (1999)). En ellasse indica que fue Leonardo quien acuno el termino turbolenza; sin embargo,no fue hasta el Siglo XIX en que el estudio sistematico de este tipo de flujoscomenzara, con los trabajos de Hagen y Darcy. Trabajando independiente-mente, ambos encontraron que las perdidas de presion en las canalizacionesurbanas tenıan dos componentes: una, la ya presentada dependencia linealcon el largo de la canalizacion, la viscosidad y la velocidad del flujo, y unasegunda, en que la dependencia era con el cuadrado de la velocidad media eindependiente de la viscosidad.

Bousinesq, en 1877, publico un trabajo en el que por primera vez distingueentre los regımenes laminar y turbulento. Indico ademas que el transportede cantidad de movimiento era mayor en el caso de los flujos turbulentos,fenomeno que explico proponiendo una analogıa con el caso de transportelaminar e incorporando una viscosidad turbulenta.

2

El siguiente aporte significativo fue el que realizo Reynolds, quien medianteexperimentos en tubos de seccion circular observo y explico el fenomeno detransicion, es decir, el mecanismo por el cual un flujo laminar deviene tur-bulento. Su aporte consistio en determinar que la transicion ocurre cuandociertoparametro adimensional –el Re = RU

ν– toma valores por encima de

cierto umbral –el Rec. Fue tambien Reynolds quien incorporo el tratamientoestadıstico, utilizando para ello una descomposicion de los campos de descrip-cion en suma de una valor medio y una fluctuacion, de media nula. Asociadasa esta decomposicion estan las llamadas ecuaciones de Reynolds y el proble-ma de clausura [Cfr. Secciones 2 y 3].

Durante la primera parte del Siglo XX, hubo dos lıneas de trabajo: una con-centrada en el desarrollo de los modelos de turbulencia, necesarios para cerrarlas ecuaciones de Reynolds. Aquı destacan los trabajos de Taylor, Prandtly von Karman. La otra lınea, de caracter mas fundamental se inicia en eltrabajo de Richardson quien incorpora la idea de que la turbulencia es unfenomeno multiescala: el postulo que las estructuras mas grandes, generadaspor las fuerzas exteriores al sistema fluido son inestables y se rompen, dandolugar a estructuras mas pequenas, que a su vez se rompen en otras estructurasmas pequenas, hasta que el tamano de las estructuras es tan pequeno comopara que el efecto de la viscosidad sea dominante y las disipe. Esta idea fuefecunda ya que estimulo el trabajo de Taylor sobre turbulencia homogenea[Cfr. Seccion ??] y el de von Karman y Howarth sobre la transferencia deenergıa entre las estrucutras de distinto tamano.

A principios de la decada del 1940, Kolmogorov presento su teorıa –teorıa dela cascada turbulenta o K41– formalizando y extendiendo la idea de fenomenomultiescala de Richardson. Este trabajo marca un antes y un despues en elestudio de la turbulencia. [Cfr. Seccion ??]

La segunda mitad del Siglo XX trajo a la atencion dos cuestiones rela-cionadas: en 1949, Batchelor y Towsend presentan evidencia de un fenomenodenominado intermitencia, que aparecen cuando se analizan las series tem-porales de las velocidades de las estructuras mas pequenas. Las teorıas quemejor explican este fenomeno estan basadas en modelos de cascadas multi-plicativas: sin entrar en detalles, las consideraciones asociadas a estos modelosindican que en un flujo turbulento coexisten diversas estructuras fractales.La otra cuestion se plantea anivel metodologico, cuando se deja el enfoqueestadıstico para proponerse un enfoque determinista, basado en el estudio dela organizacion estructural de cada flujo. Este nuevo aboradaje se apoya enla evidencia experimental de los experimentos de Brown y Roshko de 1974,en los que se encontraron grandes estructuras coherentes, o grandes paquetesde ondas.

3

2. Ecuaciones de Reynolds

La descripcion de la turbulencia se hace a partir del sistema Continuidad-Navier/Stokes-Transporte, que para el caso de un fluido incompresible resulta

div(~v) = 0

D(ρ~v)

Dt=

∂(ρ~v)

∂t+ ~v · grad(ρ~v) = ~g − gradp + 2µ D(~v) (1)

Dc

Dt=

∂c

∂t+ ~v · grad(c) = div(κ · gradc)

Los tres numeros adimensionales que se utilizan en el analisis de la turbu-lencia son: i) el numero de Reynolds Re = UL

ν, que expresa el cociente de

fuerzas inerciales a viscosas y describe el mecanismo dominante de trans-porte de la cantidad de movimiento, ii) el numero de Peclet, Pe = UL

κ, que

evalua la razon de la adveccion a la difusion y que es analogo al Re para elcaso de transporte de un escalar y iii) el numero de Prandtl Pr = ν

κ, que es

el cociente de las escalas de difusividad de la cantidad de movimiento y dedifusividad de un escalar.

De lo dicho mas arriba, se concluye que es imposible realizar una descripciondetallada de cada torbellino que se forma en un flujo turbulento. Sin embar-go, como tambien se indico mas arriba, la turbulencia admite predictibilidaden sentido estadıstico. Ası, se construira una descripcion estadıstica de laturbulencia, basada en la descomposicion del campo de velocidades segun

~v = ~V + ~v′ (2)

donde ~V representa el campo medio y ~v′ es la flutuacion del campo, es decir,su desviacion de la media. El valor medio puede ser un promedio en el tiempo,de modo que ~V sea solo funcion de punto en un intervalo pequeno; de acuerdoa esto, notese que por defincion el valor medio de la fluctuacion debe ser nula< ~u′ >= 0. Reemplazando esta descomposicion en el Sistema (1), se intentaconstruir una expresion cerrada para ~v. Sin embargo, como se vera en breve,asociada a esta descripcion y en virtud de los terminos no lineales de laecuacion, aparecera el denominado problema de clausura.

Considerese primero la ecuacion de continuidad: reemplazando en ella la des-composicion (2) para la velocidad, resulta que div~V = div~v′ = 0.

4

Considerese ahora la ecuacion de Navier-Stokes: reemplazando en esta ladescomposicion (2) y tomando promedios resulta:

∂ <~V +~v′>

∂t+ <(~V + ~v′)·grad

[

~V + ~v′

]

> = ~g − 1

ρgrad <p> +ν<∆

[

~V + ~v′

]

>

∂~V

∂t+ ~V · grad~V + < ~v′ · grad~v′ > = ~g − 1

ρgrad < p > +ν∆~V

∂~V

∂t+~V ·grad~V = ~g− 1

ρdiv[

<p>I− ρνgrad~V +ρ <~v′~v′>]

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Reynolds, mientras que eltermino extra que aparece en el segundo miembro se denomina tensor de ten-siones de Reynolds. Esta interpretacion motivara una estrategia de clausura,que asume para esta tension adicional un modelo de Ficks.

Analogamente, descomponiendo c = C + c′, en una funcion media y su fluc-tuacion, la ecuacion de transporte en promedio, resulta

∂C

∂t+ ~V · gradC = −div [−κgradC+ < ~v′c′ >] .

El termino < ~v′c′ > es el denominado flujo de Reynolds del trazador. Elproblema de modelar la turbulencia reside en representar las tensiones yflujos de Reynolds en terminos de las cantidades medias.

3. El problema de clausura

Para exponer este problema considerese el siguiente problema simplificado(Vallis, G. K., 2006. Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics: Fundamen-tals and Large-Scale Circulation. Cambridge University Press)

du

dt+ uu + νu = 0 .

La ecuacion promediada resulta

d < u >

dt+ < uu > +ν < u >= 0 .

Observese que no puede inferirse el valor del termino < uu > a partir delvalor de < u > ya que este se obtiene de hacer

< uu >=< (U + u′)(U + u′) >= UU+ < u′u′ > 6=< u >< u > .

5

Es posible escribir una ecuacion de momentos para el valor de < uu >:multiplıquese la ecuacion original por u y obtengase una expresion para u2,que en promedio resulta

1

2

d < uu >

dt+ < uuu > +ν < uu >= 0 .

En esta expresion aparece ahora un termino cubico < uuu >, indeterminado.Si se construyese la siguiente ecuacion de momentos, aparecerıa un terminocuartico y ası siguiendo se generarıa una jerarquıa abierta de incognitas, sinclausura. Para lograr cerrar el problema se hace necesario recurrir a hipotesisfısicas sobre el modelo que no esten contenidas en el Sistema (1).

Una estrategia de clausura clasica para las ecuaciones de Reynolds es lade Boussinesq, que relaciona < ~v′~v′ > con el flujo medio a traves de uncoeficiente de viscosidad de torbellino (eddy viscosity) mediante la relacion

~v′~v′ = −νT grad~V . (3)

Fısicamente, la hipotesis que subyace reduce el efecto dinamico de la turbu-lencia a una propiedad del fluido. Ası el efecto de la turbulencia modifica elvalor de la viscosidad: en otras palabras, se asume que los torbellinos tur-blentos se comportan como los movimientos moleculares, redistribuyendo yhomogeneizando la cantidad de movimiento. Analogamente para el flujo deltrazador, se define una difusividad de torbellino, κT y se propone que

< ~v′c′ >= −κT grad < C > .

Esta viscosidad/difusividad de torbellino se utiliza extensivamente en el mo-delado de flujos turbulentos a gran escala. En los modelos mas simples κT

y νT se consideran constantes mientras que en modelos mas sofisticados selos asume dependientes del flujo a escala mayor. A pesar de su popularidad,esta estrategia de clausura no suele ser apropiada.

6

Otra estrategia de clausura es la adoptada por Prandtl, que deja el modelode Ficks, en el que haya una proporcionalidad entre el tensor de Reynolds yel gradiente de velocidad media, para evaluar en su lugar una cantidad aso-ciada a la dinamica del flujo, denominada longitud de mezcla, de particularutilidad en el caso de flujos de corte.Para explicar el concepto, considerese una partıcula de fluido, en una posicion(x, y). Por efecto de las fluctuaciones del flujo, otras partıculas, ubicadas en(x′, y ± `′) interactuaran con ella, intercambiando cantidad de movimiento yproduciendo como resultado de dicho intercambio una fluctuacion en la com-ponente longitudinal del flujo. La magnitud de las fluctuaciones dependera delas velocidades medias de los alrededores de (x, y) y del valor de `′.Asociadas a las fluctuaciones en la componente longitudinal del flujo, apare-ceran fluctuaciones del mismo orden en las componentes transversales, demodo de satisfacer la ecuacion de continuidad. Ası, la fluctuacion producidapor el intercambio de cantidad de movimiento entre la partıcula en conside-racion y una de posicion inical (x′, y ± `′) podra escribirse como

∆vx = ±`′dvx

dy, o en valor absoluto|∆vx| = `′

∣∣∣∣

dvx

dy

∣∣∣∣

.

Como ya se indico, la fluctuacion lateral debera ser del mismo orden que lalongitudinal, de modo que puede escribirse una relacion del tipo

|∆vy| = c`′∣∣∣∣

dvx

dy

∣∣∣∣

.

Si se construye el producto de |∆vy||∆vx| = c`′2|dvx

dy|2 y si se acepta una pro-

porcionalidad entre la fluctuacion de los flujos ası calculadas con las corres-pondientes componentes fluctuantes: v′

yv′x = −k|∆vy||∆vx|1, tomando valor

el valor medio de esta expresion resulta

< v′

yv′

x >= −kc`′2

∣∣∣∣

dVx

dy

∣∣∣∣

2

= −`2

∣∣∣∣

dVx

dy

∣∣∣∣

2

, (4)

donde `2 = kc`′2 define la longitud de mezcla.

Notese que tanto la expresion (3) como la (4) son definiciones para la vis-cosidad de torbellino y la longitud de mezcla, respectivamente: la hipotesises que estas cantidades seran mas facilmente correlacionables empıricamenteque las tensiones de Reynolds. En todos los casos, sera necesario contar conun modelo para representar estas cantidades.

1Observese que el producto |∆vy ||∆vx| es siempre positivo, mientras que en el razona-

miento, v′

yv′

xdebe ser negativo, para satisfacer la ecuacion de continuidad.

7

4. Modelos de turbulencia

La especificacion de νT o de ` puede realizarse en terminos de relacionesalgebraicas o de una combinacion de ecuaciones algebraicas y diferenciales, loque da lugar a una taxonomıa basada en la cantidad de ecuaciones (diferen-ciales) que tiene el modelo. Tıpicamente, los modelos seran de cero, una y dosecuaciones, por lo que se organiza el resto de la seccion con esta clasificacion.

4.1. Modelos de cero ecuaciones

Para el caso de flujos externos, un metodo totalmente algebraico de ampliadifusion es el de Cebeci y Smith (CS). Este modelo asume que la capa lımiteturbulenta puede diferenciarse en dos regiones -una interior y otra exterior-las que pueden representarse con una viscosidad de torbellino distinta paracada region de la misma. Las correspondientes funciones son empıricas ybasadas en consideraciones experimentales.En la region interior: 0 ≤ y ≤ yc

(νT )int = `2

∣∣∣∣

∂u

∂y

∣∣∣∣γtr

donde la longitud de mezcla viene dada por

` = κy[

1 − exp(

− y

A

)]

.

En esta expresion, κ = 0,4 y A es un factor de amortiguamiento, constante,representado por

A = 26ν

Nu−1

τ , N = (1 − 11,8p+)1

2 , p+ =νue

u3τ

due

dx.

En la region exterior: yc ≤ y ≤ yδ

(νT )ext = αueδ∗γtrγ .

Aquı, δ∗ es el espesor de desplazamientos dado por

δ∗ =

∫ δ

0

(

1 − u

ue

)

dy ,

y γ es un factor de intermitencia para la region exterior representado como

γ =1

2

[

1 − erf(y − Y )√

2σ

]

,

8

donde Y y σ son parametros de intermitencia generales: Y es el valor de y enque γ = 0,5 y σ es la desviacion estandar. Los parametros adiemnsionales deintermitencia, Y/δ∗ y σ/δ∗ vienen dados en funcion de H en la Figura 1,(a),mientras que la variacion de δ/δ∗ en la Figura 1,(b).El parametro α se calcula con la expresion

α =0,0168

[

1 − β(

∂u∂x

/∂u∂y

)

m

]1,5 .

En esta expresion, el subındice m indica que se trata del valor donde el cortees maximo. El parametro β resulta

β =

61+2Rt(2+Rt)

Rt ≤ 1,01+Rt

Rt

Rt > 1,0donde Rt =

τw

(−ρ < ~v′~v′ >)max.

Para completar el modelo, indiquemos que γtr es un parametro de intermi-tencia de transicion, definido como

γtr = 1−exp

[

−G(x − xtr)

∫ x

xtr

dx

ue

]

, G =3

C2

u3e

νR−1,34

xtr , Rxtr = (uextr/ν)

C = 60 para Reynolds altos, o C = 213(log Rxtr − 4,7323) para Reynoldsmas bajos.

Figura 1: Dependencia de Y/δ∗, σ/δ∗ y δ/δ∗ con H de acuerdo a datos deFriedler y Head.

9

4.2. Modelos de una ecuacion

De los muchos metodos que caben en esta categorıa, se presenta el metodode Spalart y Allmars (SA). El metodo emplea una unica ecuacion para eltransporte para la viscosidad de torbellino. Permite obtener buenos resulta-dos tanto en flujos de corte –por ejemplo, cerca de una pared– como en flujossin corte –chorros o estelas. Las ecuaciones de este modelo son:

νT = εfv1(5)

Dε

Dt= cb1 [1−ft2 ]Sε−(cw1

fw−cb1

κ2ft2)

( ε

d

)2

+1

σdiv [(ν + ε)gradε]+

cb2

σ∆ε . (6)

Aquı las constantes son

cb1 = 0,1355 , cb2 = 0,622 , σ =2

3, cν1

= 7,1 ,

cw1=

cb1

κ2+

1 + cb2

σ, cw2

= 0,3 , cw3= 2 , κ = 0,41 ,

fν1=

χ3

χ3 + c3ν1

, fν2= 1− χ

1 + χfν1

, fw = g

[1 + c6

w3

g6 + c6w3

] 1

6

, ft2 = 1,1e−2χ2

,

χ =ε

ν, g = r + cw2

(r6 − r) , r =ε

Sκ2d2, S =

√2Ω : Ω +

ε

κ2d2fν2

.

En el modelo, d es la menor distancia a la pared y Ω el tensor de torbellino.Junto a esta ecuacion, se debn proveer condiciones inciales y de contorno:sobre la pared, se asume que ε = 0. Como condicion inicial suelen aceptarsevalores entre 0 y ν

10.

4.3. Modelos de dos ecuaciones

Hay varios modelos de dos ecuaciones que demuestran buena performance.De entre ellos, se presentara el modelo k−ε, de Jones y Launder, que es el demas amplia adopcion. En este modelo, la viscosidad de torbellino se expresacomo:

νT =cµk2

ε, (7)

donde k la energıa cinetica y ε la tasa de disipacion de la energıa del flujo, seobtienen de dos ecuaciones diferenciales que evaluan el transporte de estascantidades, escritas como:

Dk

Dt= div

[(

ν +νT

σk

)

gradk

]

+ νT

(

2D(~V ) · grad~V)

− ε , (8)

10

Dε

Dt= div

[(

ν +νT

σε

)

gradε

]

+ cε1

ε

kνT

(

2D(~V ) · grad~V)

− cε2

ε2

k. (9)

Los valores de las constantes que aparecen en las ecuaciones son:

cµ = 0,09, cε1 = 1,44, cε2 = 1,92, σk = 1,0, σε = 1,3.

Las ecuaciones de continuidad y de Reynolds, junto con este par de ecua-ciones y el juego de valores propuestos para las constantes, constituyen unconjunto cerrado de ecuaciones. Para completarlo y permitir su solucion, esnecesario, sin embargo, proveer de condiciones de contorno apropiadas: enefecto, las ecuaciones, tal como esan, pueden aplicarse sin problemas a flu-jos libres. Sin embargo, cerca de paredes donde es valida la condicion de nodeslizamiento y donde, por ende, los gradientes de velocidad seran pronun-ciados, es necesario considerar las denominadas funciones de pared.Por ejemplo, Launder y Sharma proponen modificar la ecuacion para la vis-cosidad de torbellino de modo que:

νT = cµfµk2

ε, (10)

donde la funcion de pared fµ resulta

fµ = exp

[

− 3,4

(1 + Rt/50)2

]

, Rt =k2

νε. (11)

Las condiciones de contorno resultan

y = 0 , k = ε = 0 y y = δ , k → kδ, ε = εδ .

Los valores kδ y εδ no deben ser nulos sino solucion de las ecuaciones (8) y(9) sobre la frontera de la capa lımite.

5. La energıa del flujo turbulento

El estudio del contenido y distribucion de la energıa del flujo turbulento,permite comprender los mecanismos de produccion y decaimiento de la tur-bulencia. Algunas preguntas que se buscan contestar con este estudio son:¿cual es la fuente de energıa de la turbulencia? esto es, ¿que aspectos delflujo en la escala mayor dan lugar a la turbulencia? ¿donde va la energıa dela turbulencia? ¿se realimenta en la escala mayor o es disipada por la visco-cidad en la escala manor? una vez generada, ¿como se redistribuye la energıatanto en el espacio como entre las distintas componentes del flujo?

11

Para realizar este analisis, se separa el campo bajo estudio en una compo-nente en la escala mayor y otra en la escala menor. Por ejemplo, para unescalar u,

u = U + u′ , con1

∀

∫

∀

u d3x = U ,1

∀

∫

∀

u′ d3x = 0 (12)

donde ∀ es el volumen sobre el que se realiza el promedio espacial.

Considerese la energıa cinetica

K =1

2~v · ~v, que se descompone como Km =

1

2~V · ~V, Kt =

1

2~v′ · ~v′ .

Para el flujo de mayor escala, para la i–esima componente de la velocidad,resulta:

1

2

∂V2i

∂t+ Vi

3∑

j=1

Vj∂Vi

∂xj

+ Vi

3∑

j=1

v′

j

∂v′i

∂xj

= ~g · ~niVi −Vi

ρ

∂P∂x

+ νVi∆Vi

Utilizando las identidades

Vi∆Vi = ∆Vi −3∑

j=1

∂Vi

∂xj

∂Vi

∂xj

Vi

3∑

j=1

v′

j

∂v′i

∂xj

=3∑

j=1

∂

∂xj

(v′

jv′

iVi) − v′

i

3∑

j=1

v′

j

∂Vi

∂xj

y promediandola, la anterior se reescribe como

(∂

∂t+

3∑

j=1

Vj∂

∂xj

)V2

i

2= −1

ρ

∂(ViP )

∂xi

+ν

2∆V2

i −3∑

j=1

∂

∂xj

< v′

jv′

iVi > +

−ν

3∑

j=1

∂Vi

∂xj

∂Vi

∂xj+

3∑

j=1

< v′

iv′

j >∂Vi

∂xj+

+~g · ~niVi +P

ρ

∂Vi

∂xi

Los promedios son en el sentido de la descomposicion (12). Sumando ahorapara las tres componentes, se obtiene la evolucion de Km: en forma conser-vativa resulta

DKm

Dt:=

3∑

i=1

DV2

i

2

Dt=

3∑

i=1

div

(

−P

ρVjδij + νgrad

(V2i

2

)

− < ~v′v′

iVi >

)

+

+

3∑

i=1

(−νgradV2

i + < v′

i~v′ > ·gradVi

)+ ~g · ~V

12

Los tres primeros terminos de esta expresion expresan la redistribucion de laenergıa cinetica media en el volumen: representan respectivamente, el trabajode la presion, el transporte por tensiones viscosas y el transporte debido a lastensiones de Reynolds. Si estas cantidades se integran en un volumen cerrado–uno a traves del que no hay flujo– estos terminos se anulan. El cuarto yquinto termino representan las fuentes o sumideros de energıa cinetica: elprimero de ellos es la disipacion viscosa de energıa cinetica del flujo a escalamayor, mientras que el otro es la transferencia de energıa cinetica del flujode mayor escala al flujo de escala menor: este termino se llama de produccionde corte (shear production), ya que el corte –gradientes finitos– da lugar ala produccion de energıa cinetica turbulenta. Notese que el ultimo terminode la expresion anterior –P

ρdiv~V– se cancela en virtud de la ecuacion de

continuidad.Para hallar la evolucion de la energıa cinetica del flujo turbulento se procedeen forma analoga:

D

Dt

< v′2

i >

2= −1

ρ

∂ < v′ip

′ >

∂xi+ ν∆

< v′2

i >

2−

3∑

j=1

∂

∂xj< v′

jv′2

i > +

−ν3∑

j=1

⟨∂v′

i

∂xj

∂v′i

∂xj

⟩

−3∑

j=1

< v′

iv′

j >∂Vi

∂xj

+

+1

ρ< p′

∂v′i

∂xi

>

Es posible reconocer en esta expresion tres terminos de re-distribucion: eltrabajo de la presion, el transporte visocoso y el debido a las tensiones deReynolds. El cuarto termino es la disipacion de energıa turbulenta, ε y eltermino de produccion de corte aparece nuevamente, pero con signo opuestoal que tiene en la ecuacion para la energıa del flujo medio: esto indica queno se trata de una perdida de energıa sino de una transferencia de la mismadesde el flujo medio al turbulento.

Sumando la contribucion de las tres componentes, resulta

DKt

Dt=

3∑

i=1

div

(

−1

ρ< p′vj > δij + νgrad

(

< v′2

i >

2

)

− < ~v′v′2

i >

)

+

+

3∑

i=1

− ν < gradv2i >

︸ ︷︷ ︸

ε

− < v′

i~v′ > ·gradVi

(13)

Se distinguen entonces dos mecanismos: el de produccion y el de disipacion.

13

Turbulencia estacionaria: si la turbulencia es estacionaria, DK/Dt = 0y al integrar sobre todo el sistema, debe haber un balance entre la energıaproducida y la disipada.Flujo de corte simple: en el caso en que ~v = (v1(x3), 0, 0), la produccion deenergıa cinetica turbulenta toma la forma < v′

1v′3∂V1/∂z >, apareciendo solo

en la ecuacion para < v′2

1 >. Ası el flujo a escala mayor genera directamenteenergıa turbulenta solo en la direccion x1. Las componentes v′

2 y v′3 se generan

por transferencia de energıa cinetica desde el flujo a lo largo de x1 a travesde los terminos de interaccion con la presion.Invarianza de los trazadores: al igual que para las componentes de laenergıa cinetica, es posible obtener una ecuacion para < c′

2

>, donde c es unescalar pasivo, transportado por la turbulencia, que denominaremos trazador.La ecuacion para tal trazador es

D<c′2>

2

Dt= κ∆ < c′

2

> −div < ~v′c′2

> /2− < c′~v′ > ·gradC −κgradc′ · gradc′ .

Al igual que en el caso de la energıa cinetica, los dos primeros terminos sonterminos de transporte, mientras que la varianza del trazador viene producidapor el termino PT = − < c′~v′ > ·gradC y disipada por εT = κgradc′gradc′.Si el trazador es una cantidad invariante, debe verificarse que PT = εT .

6. Leyes de friccion

6.1. Capa lımite

Considerese un flujo uniforme, paralelo a una pared plana infinita Γ en reposo.Debido a la condicion de no deslizamiento, ~v = 0 sobre Γ, se formara unacapa de corte en las cercanıas de la pared, denominada capa lımite. En ella segenerara vorticidad, la que se transportara hacia el resto del flujo provocandola posterior aparicion de turbulencia.

Figura 2: Imagen por fluorsecencia laser de una capa lımite turbulenta in-compresible sobre una placa plana.

14

Para poder describir este fenomeno, considerense las ecuaciones de Coninuidad–Navier/Stokes para el caso estacionario bidimensional, del flujo uniforme deintensidad ~v0 = v0~e1 paralelo a una placa plana [Cfr. Figura 3]:

~v0

δx

z

Figura 3: Ilustracion del sistema bajo analisis.

∂vx

∂x+

∂vz

∂z= 0 ,

vx∂vx

∂x+ vz

∂vx

∂z= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2vx

∂x2+

∂2vx

∂z2

)

,

vx∂vz

∂x+ vz

∂vz

∂z= −1

ρ

∂p

∂z+ ν

(∂2vz

∂x2+

∂2vz

∂z2

)

.

Sean las siguientes escalas: vx ∼ O(v0), x ∼ O(L), z ∼ O(δ). De la ecuacionde continuidad, se concluye que

vx

L∼ vz

δ→ v0

L∼ vz

δ,

de modo que vz ∼ O(v0δ/L). Adimensionalizando las variables y funcionescon estas escalas, el sistema anterior resulta:

v0

L

(∂v′

x

∂x′+

∂v′z

∂z′

)

= 0 ,

v20

L

(

v′

x

∂v′x

∂x′+ v′

z

∂v′x

∂z′

)

= − P

ρL

∂p′

∂x′+

νv0

L2∂2

x′x′v′

x +νv0

δ2∂2

z′z′v′

x ,

δ

L

v20

L

(

v′

x

∂v′z

∂x′+ v′

z

∂v′z

∂x′z

)

= − P

ρδ

∂p′

∂z′+

νv0

L2

δ

L∂2

x′x′v′

z +νv0

δ2

δ

L∂2

z′z′v′

z ,

de donde resulta

∂v′x

∂x′+

∂v′z

∂z′= 0 ,

v′

x

∂v′x

∂x′+ v′

z

∂v′x

∂z′= − P

ρv20

∂p′

∂x′+

1

Re

(

∂2x′x′v′

x +L2

δ2∂2

z′z′v′

x

)

,

v′

x

∂v′z

∂x′+ v′

z

∂v′z

∂z′= − P

ρv20

L2

δ2

∂p′

∂z′+

1

Re

(

∂2x′x′v′

z +L2

δ2∂2

z′z′v′

z

)

,

15

Siendo Re >> 1, para conservar el termino viscoso dominante en la ecuacionpara vx, debera verificarse que

δ

L∼ Re−1/2 ,

lo que implica que dentro de la capa lımite, las fuerzas viscosas seran com-parables a las de inercia. Asımismo, para conservar el orden de la tercerecuacion, es necesario que

∂p′

∂z∼ O

(δ

L

)2

,

es decir muy pequeno. Esto implica que la variacion de presion en la direcciontransversal al flujo es practicamente nula: se dice que la distribucion de pre-sion viene impresa por el flujo fuera de la capa lımite. Allı, donde los esfuerzosde corte son despreciables, la ecuacion de Bernoulli permite expresar

v0∂v0

∂x=

∂p′

∂x.

Reemplazando esta expresion en las expresiones anteriores, resulta la denom-inada aproximacion de Prandtl para la capa lımite (1905), que en variablesfısicas resulta:

∂vx

∂x+

∂vz

∂z= 0

vx∂vx

∂x+ vz

∂vx

∂z= −1

ρv0

∂v0

∂x+ ν ∂2vx

∂z2

(14)

Como a se menciono, este flujo puede devenir turbulento: utilizando ideassemejantes a las desarrolladas en la Seccion ??, pueden distinguirse distintosregimenes dentro del flujo de capa lımite:

subcapa viscosa: a distancias muy cercanas a la pared, z < zf , donde zf

es la distancia a la cual Re = 1, los efectos de la friccion son impor-tantes. Siguiendo la comparacion con la turbulencia homogenea, estaescala puede compararse con la escala `d < 1/kd donde la viscosidad esimportante,

escala integral: esta escala viene dada por el tamano maximo de los tor-bellinos, que definen el espesor δ de la capa lımite turbulenta,

16

subcapa inercial: a mayores distancias de la pared, zf << z << δ, puededespreciarse la viscosidad. En esta region puede asumirse que el flujono dependera del espesor de la capa lımite, definiendose una subca-pa inercial. Esta region es similar al rango inercial de la turbulenciahomogenea, donde el flujo no se ve afectado por ν o por k0.

la corriente libre: finalmente y a distancias z < δ, el flujo deja de serturbulento deviniendo uniforme.

Las ecuaciones de gobierno para la velocidad, pueden derivarse de las ecua-ciones generales del flujo o de la aproximacion de Prandtl. [Cfr. nuevamentela Figura 3]. Como se establecio ya, si L es la escala de longitud en la di-reccion del fujo, δ/L << 1, y las variaciones en la direccion del flujo sondespreciables, comparadas con las variaciones del flujo en la direccion nor-mal a la pared. Con estas hipotesis, las ecuaciones de Reynolds, promediadasresultan:

VzdVx

dz=

d

dz

(

νdVx

dz− < v′

zv′

x >

)

dVz

dz= 0

Respecto a las condiciones de contorno, considerando impermeable la pared,Vz = v′

z = 0 sobre Γ := (x, z = 0). Considerando entonces la segundaecuacion, resulta que Vz = 0 para todo z de modo que el sistema se reduce a

d

dz

(

νdVx

dz− < v′

zv′

x >

)

= 0 . (15)

La ecuacion (15) permite hallar una expresion para la tension τ sobre lapared: en efecto,

τ = ρ

(

νdVx

dz− < v′

zv′

x >

)

z=0

=

(

µdVx

dz

)

z=0

. (16)

Esta tension es constante sobre toda la placa. Lejos de la pared resultara

τ = −ρ < v′

zv′

x > .

Esta expresion permite definir una escala de velocidad:

ρv2∗ = τ =

(

µdVx

dz

)

z=0

(17)

17

donde v∗ es la velocidad de friccion. Lejos de la pared, la ecuacion (16) implicaque v∗ es la escala de la fluctuacion turbulenta. Es posible definir, entonces,una escala de longitud, asociada a la velocidad de friccion, de la forma

zf =ν

v∗(18)

que representa la escala a la cual Re = 1, es decir la distancia en la queocurre la transicion desde la subcapa viscosa a la inercial.

Los comportamientos del flujo en las capas viscosa e inercial estan dadospor mecanismos distintos. En la subcapa viscosa, z < zf , la velocidad debedepender de la distancia normal a la pared, z, ası como de la viscosidad y dela velocidad de friccion. Es posible escribir una relacion adimensional de laforma

Vx

v∗= f

(z

zf

)

= f(zv∗

ν

)

.

Definiendo V + = Vx/v∗ y z+ = zv∗/ν, la anterior suele presentarse comoV + = f(z+). En el caso de una pared rugosa, es conveniente utilizar comoescala de longitud la rugosidad z0, especialmente si z0 > zf .

En la subcapa inercial, en cambio, se desprecian los efectos viscosos. Ası,cerca del borde de la capa lımite turbulenta, el flujo debera depender dela escala de velocidad turbulenta –la velocidad de friccion– del espesor dela capa lımite, δ y de la distancia normal a la placa. Esta relacion puedeexpresarse como

dVx

dz=

v∗δ

g(z

δ

)

.

La condicion de borde para esta ecuacion indica que para z → ∞, Vx → v0.Integrando la EDO, resulta

∫∞

z

dVx

dz′dz′ =

v∗δ

∫∞

z

g

(z′

δ

)

dz′

Vx(z) − v0

v∗= G

(z

δ

)

= G (ζ)

donde ζ = z/δ. Este tipo de expresiones se denominan leyes para la deficien-cia de velocidad. Esta es una solucion de semajanza para V + = Vx/v∗ queasume que a medida que cambia el espesor de la capa lımite o para distin-tas capas lımites, la forma de V + permanece invariante. Observese que estasolucion de semajanza es valida fuera de la subcapa viscosa y no satisface lacondicion Vx = 0 sobre Γ.

18

Resta encontrar una solucion para la zona de transicion, que permita ajustarlas soluciones obtenidas para las subcapas viscosa e inercial. Considerese queambas leyes de velocidad deben coincidir en esta region de transicion

dV +

dz+

(v)

=df

dz+=

ζ

z+

dG

dζ=

dV +

dz+

(i)

o reordenando

z+ df

dz+= ζ

dG

dζ(19)

El primer miembro de la ecuacion (19) solo puede depender de z+ mientrasque el segundo miembro solo puede depender de ζ : esto solo se cumple si soniguales a una constante

z+ df

dz+= ζ

dG

dζ=

1

K . (20)

La constante K ≈ 2,46 es la constante de von Karman. Esto implica que

dVx

dz=

v∗Kz

,

de modo que en esta region de transicion, el flujo esta determinado por v∗ yz, resultando independiente de ν o δ. Integrando las (20), resulta

Vx

v∗=

1

K ln(v∗z

ν

)

+ A ,

(21)

o formando la deficiencia de velocidadVx − v0

v∗=

1

K ln(z

δ

)

+ B . (22)

La region de aplicacion, que definimos por ζ << 1 y z+ >> 1 se denominasubcapa logarıtmica.

Nota: La tension en la pared suele expresarse en terminos del coeficiente defriccion cf :

τ =1

2ρcfv

20 , donde cf = 2

(v∗v0

)2

.

Para una pared lisa, resulta

cf =

[1

2K ln(cf

2

)

+1

K ln

(v0δ

ν

)

+ A − B

]2

.

19

6.2. Friccion en tubos de seccion circular

Considerese ahora el caso del flujo en un tubo de seccion ciruclar, con eleje x − x orientado longitudinalmente. El campo de velocidades tendra suestructura dada como ~v = (v′

r, v′θ, Vx + v′

x): esto es que superpuesto al flujomedio longitudinal, esta el flujo turbulento, resultando Vθ = Vr = 0. Lasvelocidades v′

r, v′θ, v

′x son independientes de x y de θ.

Las ecuaciones de gobierno del flujo –esto es las ecuaciones de Reynolds encoordenadas cilındricas– son

∂rVx

∂x= 0 , (23)

−1

ρ

∂p

∂x− 1

r

∂(r < v′xv

′r >)

∂r+

ν

r

∂

∂r

(

r∂Vx

∂r

)

= 0 , (24)

−1

ρ

∂p

∂r− 1

r

∂ < rv′rv

′r >

∂r+

< v′θv

′θ >

r= 0 . (25)

Integrando la Ecuacion (25) entre 0 y r, resulta

−p

ρ−∫ r

0

1

r

∂(r < v′rv

′r >)

∂r+

∫ r

0

< v′θv

′θ >

r= −p(x, 0)

ρ= −p0(x)

ρ.

Derivando esta expresion respecto de x, resulta

∂p

∂x=

∂p0

∂x⇒ p(x, r) = p0(x) + Φ(r) ,

la que reemplazada en la Ecuacion (24) resulta

−1

ρ

dp0

dx− 1

r

d(r < v′xv

′r >)

dr+

ν

r

d

dr

(

rdVx

dr

)

= 0 , (26)

en virtud de que ni Vx ni < v′rv

′x > dependen de x. De la Ecuacion (26) se

deduce que dp0

dxes constante, de modo que al integrar esta Ecuacion respecto

de r resulta

− r2

2ρ

dp0

dx− r < v′

xv′

r > +νrdVx

dr= 0 .

Si se evalua esta expresion en la pared del tubo, r = R, se obtiene que

−R

2

dp0

dx= µ

(dVx

dr

)

r=R

= τ = ρv2∗ =

1

2ρcfV

20 =

λ

8ρV 2

x , (27)

donde V0 =∫ R

0Vx2πdr es la velocidad media del flujo medio y λ = 4cf es el

coeficiente de Darcy. La velocidad de friccion puede expresarse como

v∗ = V0

√

λ/8 = V0

√

cf/2 .

20

Sustituyendo la expresion para el gradiente de presion expresado en terminosde v∗ sobre la pared en (26), resulta

rv2∗

R− < v′

xv′

r > +νdVx

dr= 0 . (28)

La evidencia experimental muestra que Vx es del orden de V0, mientras que< v′

xv′r > es del orden de v2

∗. Utilizando las variables adimensionales

f =Vx

V0

, g =< v′

xv′r >

v2∗

, y = 1 − r

R,

la Ecuacion (28) toma la forma

1 − y − g − νV0

Rv2∗

df

dy= 0 . (29)

Esta es una EDO de primer orden, que junto con la condicion f = 0 eny = 0, constituye un PVI para f . Sin embargo, como en todos los modelosturbulentos, aparece una incognita extra, la funcion de esfuerzos de corteadimensionales turbulentos g, la que sera necesario modelar con hipotesisadicionales o mediante experimentos para cerrar el problema.

Las observaciones experimentales indican que el numero de Reynolds de unflujo turbulento totalmente desarrollado es tal que Re = V0R/ν >> 1 y elproducto de este por el factor de friccion es tal que λRe = λV0R/ν >> 1.Incorporando esta observacion al modelo, la Ecuacion (29) se reduce a

1 − y − g = 0 ,

que cumple con la condicion en el centro del tubo (r = 0 o y = 1) dondeg = 0, pero que no cumple la condicion en la pared (r = R o y = 0) donde gresulta 1 en vez de anularse, como deberıa ser en virtud de que se anulan lasfluctuaciones de velocidad. La Figura 4 ilustra la distribucion de g dada porla expresion anterior comparada con la observada: la discrepancia se produce,como se comento antes para valores pequenos de y, esto es, cerca de la pared.

21

1

g

y0

0,0

0,5

0,5

1,0

Figura 4: Distribucion radial de esfuerzos turbulentos.

Esta claro que sera necesario considerar, al igual que se hizo en el caso delflujo sobre la placa plana, al menos tres regiones de flujo: en la zona centraldel tubo, esto es, en la region inercial (y ∼ 1), los esfuerzos viscosos sondespreciables, con lo que el campo de velocidad dependera de la intensidaddel flujo medio, dada por V0, la del flujo turbulento, v∗ y la distancia desdela pared del tubo, y = 1 − r

R, pudiendoselo representar como

Vx = V0 + u∗F (y) o alternativamente comoVx − V0

u∗

= F (y) .

Con esta representacion, el gradiente en esta region resulta

dV(i)x

dy= u∗

dF

dy. (30)

Por el contrario, en la region cercana a la pared (y → 0) se define una regionlaminar, dominada por la viscosidad, en la que la Ecuacion (29) se reduce a

1 − g − νV0

Rv2∗

dV(v)x

dy= 0 .

Adoptando la definicion de V + = Vx

v∗e introduciendo la variable η := yR

y+ , con

y+ = νv∗

, la anterior permite obtener una expresion para V +: en efecto

dV +

dη= 1 − g , V + = η −

∫ η

0

g(η′)dη′ .

22

Analogamente a lo discutido en el caso del flujo sobre la placa plana, exis-tira una region intermedia en la cual ambas soluciones deben empalmar (losvalores del campo y de la derivada deben coincidir): en esta region, la zonalogarıtmica, debe verificarse que

dV(i)x

dy:= v∗

dF (y)

dy= v∗

dV +

dη

dη

dy=:

dV(v)x

dy.

Teniendo en cuenta que dη/dy = Rv∗/ν = 1/δ (Cfr. la seccion anterior),resulta

dF (y)

dy=

1

δ

dV +

dη.

el caso es analogo al del flujo sobre una placa plana: la relacion solo sesatisface si ambos miembros son constantes: introduciendo nuevamente laconstante de von Karman e integrando ambos miembros, resulta

F (y) = K ln y + Cy , V +(η) = K ln η + Cη (31)

analogas de las ecuaciones (21) y (22) para el caso del flujo en un tubo.Con estas expresiones, reemplazando en las expresiones para el campo develocidades e igualando, resulta

V0 + v∗(K ln y + Cy) = u∗(K ln η + Cη) ,

la que, reduciendo a la variable y se reduce a

V0 + v∗Cy = u∗K ln

(Rv∗ν

)

+ v∗Cη .

Dividiendo por v∗ e introduciendo el coeficiente de friccion de Darcy (√

λ/8 =v∗/V0) resulta

√

8

λ= K ln

(

RV0

ν

√

λ

8

)

+ Cη − Cy . (32)

Esta es la expresion para el coeficiente de friccion de Darcy en funcion delnumero de Reynolds. Experiemntalmente se verifica que, para el caso detubos lisos, Cη − Cy ∼ 2.

23

Cuando se tiene en cuenta la rugosidad del tubo, esta puede caracterizarsemediante su rugosidad ε, o mediante la rugosidad relativa ε/D. Al incor-porar este parametro, la expresion de la velocidad para la subcapa laminaradoptara la forma

Vx = Φ(v∗, ν, y, ε) .

Aplicando tecnicas del analisis dimensional es facil mostrar que

Vx

v∗= Ψ(

v∗Ry

ν,v∗ε

ν) = Ψ(η,

v∗ε

ν) = V + .

Este es el perfil que debera empalmarse con el de la region inercial, resultandopara la region logarıtmica

V + = K ln η + Cε

(v∗ε

ν

)

.

Observese que la constante Cε no es la misma para todos los flujos sino quedepende de λ –a traves de v∗– y del numero de Reynolds Reε = v∗ε

ν.

Si se reemplaza esta expresion y la expresion para F (y) dada en la Ecuacion(31)–en forma analoga a como se hizo antes– en la expresion para el campode velocidad, se obtiene una expresion analoga a la Ecuacion (32), pero paratubos rugosos:

√

8

λ= K ln

(

RV0

ν

√

λ

8

)

+ Cε

(v∗ε

ν

)

− Cy . (33)

Esta expresion no puede evaluarse porque se desconoce Cε

(v∗εν

). Sin embargo,

observese que cuando ν/v∗ ε, se tiene el lımite del tubo liso y se verificaque Cε

(v∗εν

)→ Cη; si por el contrario ν/v∗ ε, conviene escribir la relacion

en terminos del factor νv∗ε

: procediendo ası se puede escribir una relacion deltipo

√

8

λ= K ln

(R

ε

)

+ C0

(ν/v∗

ε

)

− Cy . (34)

Tomando el lımite para νv∗ε

→ 0, C0

(ν/v∗

ε

)

→ C0(0) =: C0, donde C0 −Cy ≈4,92. En esta expresion, para el flujo totalmente turbulento, λ es indepen-diente del Re, dependiendo solo de la rugosidad relativa. Para el caso queh ∼ ν/v∗, se usa la expresion

√

8

λ= 4, 92 − 2,46 ln

(

ε

R+ 3,28

ν

V0R

√

8

λ

)

. (35)

Toda esta informacion se compila en un grafico, denominado diagrama deMoody, (Figura 5).

24

Figura 5: Diagrama de Moody, producido con el scriptmoody.m de Matlab escrito por Tom Davis [Acceder al sitiohttp://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/ y utilizar elbuscador con la palabra ”moody”].

25